CURV
CURVAS
AS HO
HORIZONT
RIZONTALES: C
ALES: CIRCULAR
IRCULARES, C
ES, COM
OMPUESTAS, EN
PUESTAS, EN "S",
"S",
DE TRANSICIÓN, ESPIRAL
DE TRANSICIÓN, ESPIRAL
1.1.
Elementos de las curvas simples.
Elementos de las curvas simples.
2.2.
Cálculo y trazo de la curva circular simple: por desviaciones y cuerdas, por el PI
Cálculo y trazo de la curva circular simple: por desviaciones y cuerdas, por el PI
inacces
inaccesible, por un
ible, por un punto obligado, cuando
punto obligado, cuando hay obstáculos.
hay obstáculos.
..
Curvas compuestas. !eor"a y cálculo.
Curvas compuestas. !eor"a y cálculo.
#.#.
Curvas en $.
Curvas en $.
%.%.
Curvas de transici&n. !eor"a.
Curvas de transici&n. !eor"a.
'.'.
Curvas espirales. Curva simple con espirales sim(tricas. En curvas compuestas.
Curvas espirales. Curva simple con espirales sim(tricas. En curvas compuestas.
)ormulario
)ormulario de
de la
la parábola
parábola c*bica
c*bica empleada
empleada en
en caminos
caminos y
y la
la curva
curva compuesta
compuesta empleada
empleada
en
en +errocarriles.
+errocarriles.
..
Clotoide. !eor"a y cálculo.
Clotoide. !eor"a y cálculo.
CURVAS VERTICALES
CURVAS VERTICALES
1.1.
$oluci&n
$oluci&n de
de la
la curva
curva vertical
vertical mediante
mediante la
la y-/
y-/
22..
2.2.
$oluci&n de la curva vertical, mediante la +&rmula de variaci&n de pendiente.
$oluci&n de la curva vertical, mediante la +&rmula de variaci&n de pendiente.
1.
1.
ELEMENTOS DE
ELEMENTOS DE LAS C
LAS CURV
URVAS SIMPLES
AS SIMPLES
1.11.1
Generaliae!
Generaliae!
Curva es el lugar geom(trico de todos los puntos 0ue se van apartando o desviando de la
Curva es el lugar geom(trico de todos los puntos 0ue se van apartando o desviando de la
direcci&n recta sin +ormar ángulos.
direcci&n recta sin +ormar ángulos.
a necesidad de trazar curvas sobre el terreno cumple prop&sitos muy diversos, una curva puede a necesidad de trazar curvas sobre el terreno cumple prop&sitos muy diversos, una curva puede +ormar parte de una carretera, o el borde de un anden en una es0uina o un surco en un campo +ormar parte de una carretera, o el borde de un anden en una es0uina o un surco en un campo agr"cola, pero indudablemente el uso mas com*n de las curvas es en el área de las v"as terrestres. agr"cola, pero indudablemente el uso mas com*n de las curvas es en el área de las v"as terrestres. os tramos rectos de la mayor parte de las v"as terrestres de transporte como carreteras, v"as +(rreas, os tramos rectos de la mayor parte de las v"as terrestres de transporte como carreteras, v"as +(rreas, etc, y de conducci&n como acueductos, oleoductos, etc, están conectados por curvas en los planos etc, y de conducci&n como acueductos, oleoductos, etc, están conectados por curvas en los planos horizontal y vertical. na e/cepci&n se tiene en el caso de una l"nea a(rea de transmisi&n el(ctrica, en horizontal y vertical. na e/cepci&n se tiene en el caso de una l"nea a(rea de transmisi&n el(ctrica, en lo 0ue s&lo se emplean tramos rectos con cambios de rumbo en algunas torres.
lo 0ue s&lo se emplean tramos rectos con cambios de rumbo en algunas torres. En el plano horizontal se emplean dos tipos de curvas: las circulares y las espirales. En el plano horizontal se emplean dos tipos de curvas: las circulares y las espirales. En el caso de las circulares se tiene la siguiente clasi+icaci&n:
En el caso de las circulares se tiene la siguiente clasi+icaci&n: aa33 $$iimmppllee
b3
b3 CompuesCompuestata cc33 44ii//ttaa dd33 IInnvveerrssaa
CURV
CURVAS
AS HO
HORIZONT
RIZONTALES: C
ALES: CIRCULAR
IRCULARES, C
ES, COM
OMPUESTAS, EN
PUESTAS, EN "S",
"S",
DE TRANSICIÓN, ESPIRAL
DE TRANSICIÓN, ESPIRAL
1.1.
Elementos de las curvas simples.
Elementos de las curvas simples.
2.2.
Cálculo y trazo de la curva circular simple: por desviaciones y cuerdas, por el PI
Cálculo y trazo de la curva circular simple: por desviaciones y cuerdas, por el PI
inacces
inaccesible, por un
ible, por un punto obligado, cuando
punto obligado, cuando hay obstáculos.
hay obstáculos.
..
Curvas compuestas. !eor"a y cálculo.
Curvas compuestas. !eor"a y cálculo.
#.#.
Curvas en $.
Curvas en $.
%.%.
Curvas de transici&n. !eor"a.
Curvas de transici&n. !eor"a.
'.'.
Curvas espirales. Curva simple con espirales sim(tricas. En curvas compuestas.
Curvas espirales. Curva simple con espirales sim(tricas. En curvas compuestas.
)ormulario
)ormulario de
de la
la parábola
parábola c*bica
c*bica empleada
empleada en
en caminos
caminos y
y la
la curva
curva compuesta
compuesta empleada
empleada
en
en +errocarriles.
+errocarriles.
..
Clotoide. !eor"a y cálculo.
Clotoide. !eor"a y cálculo.
CURVAS VERTICALES
CURVAS VERTICALES
1.1.
$oluci&n
$oluci&n de
de la
la curva
curva vertical
vertical mediante
mediante la
la y-/
y-/
22..
2.2.
$oluci&n de la curva vertical, mediante la +&rmula de variaci&n de pendiente.
$oluci&n de la curva vertical, mediante la +&rmula de variaci&n de pendiente.
1.
1.
ELEMENTOS DE
ELEMENTOS DE LAS C
LAS CURV
URVAS SIMPLES
AS SIMPLES
1.11.1
Generaliae!
Generaliae!
Curva es el lugar geom(trico de todos los puntos 0ue se van apartando o desviando de la
Curva es el lugar geom(trico de todos los puntos 0ue se van apartando o desviando de la
direcci&n recta sin +ormar ángulos.
direcci&n recta sin +ormar ángulos.
a necesidad de trazar curvas sobre el terreno cumple prop&sitos muy diversos, una curva puede a necesidad de trazar curvas sobre el terreno cumple prop&sitos muy diversos, una curva puede +ormar parte de una carretera, o el borde de un anden en una es0uina o un surco en un campo +ormar parte de una carretera, o el borde de un anden en una es0uina o un surco en un campo agr"cola, pero indudablemente el uso mas com*n de las curvas es en el área de las v"as terrestres. agr"cola, pero indudablemente el uso mas com*n de las curvas es en el área de las v"as terrestres. os tramos rectos de la mayor parte de las v"as terrestres de transporte como carreteras, v"as +(rreas, os tramos rectos de la mayor parte de las v"as terrestres de transporte como carreteras, v"as +(rreas, etc, y de conducci&n como acueductos, oleoductos, etc, están conectados por curvas en los planos etc, y de conducci&n como acueductos, oleoductos, etc, están conectados por curvas en los planos horizontal y vertical. na e/cepci&n se tiene en el caso de una l"nea a(rea de transmisi&n el(ctrica, en horizontal y vertical. na e/cepci&n se tiene en el caso de una l"nea a(rea de transmisi&n el(ctrica, en lo 0ue s&lo se emplean tramos rectos con cambios de rumbo en algunas torres.
lo 0ue s&lo se emplean tramos rectos con cambios de rumbo en algunas torres. En el plano horizontal se emplean dos tipos de curvas: las circulares y las espirales. En el plano horizontal se emplean dos tipos de curvas: las circulares y las espirales. En el caso de las circulares se tiene la siguiente clasi+icaci&n:
En el caso de las circulares se tiene la siguiente clasi+icaci&n: aa33 $$iimmppllee
b3
b3 CompuesCompuestata cc33 44ii//ttaa dd33 IInnvveerrssaa
as curvas de alivio sirven para aminorar el cambio repentino de curvatura en la uni&n de una as curvas de alivio sirven para aminorar el cambio repentino de curvatura en la uni&n de una tangente y una curva circular. na curva espiral es la ideal y usual como curva de alivio. $e tiene la tangente y una curva circular. na curva espiral es la ideal y usual como curva de alivio. $e tiene la siguiente clasi+icaci&n:
siguiente clasi+icaci&n:
aa33 EsEspipiraraleles s eentntre re tatangngenentetes s y cy cuurvrva ca cirirccululaarr.. b3
b3 Espiral Espiral doble.doble.
cc33 EsEsppiriraal el ennttre re ccuurvrvaas s ccirirccuulalareress..
Circular Circular
Espiral
Espiral EspiralEspiral
! ! a a n n g
g e e n n t
t e e ! ! a a n n
g g e e n n t t e e
a) Espirales entre tangentes y curva circular a) Espirales entre tangentes y curva circular
!angente !angente C C i i r r c c u u l l a a r r C C i i r r c c u u l l a a r r ! ! a a n n g g e e n n t t e e Espiral Espiral Espiral Espiral Circular Circular Circular Circular b ) Espiral Doble b ) Espiral Doble
1.2 Elementos de una Curva Horizontal Simple $ ! . P.C P.!. P $ . . $ ! . P.I. E 4 .C ) 5 6 7 P.$.! 8 P.$.C. C. ∆ 2 ∆ En donde:
8 8rado de curva circular.
P.I Punto de in+le/i&n entre dos tangentes 0ue se cortan. 9ngulo de de+le/i&n en el P.I.
$! $ubtangente: porci&n de tangente P.C P.I & P.I P.!.
P.C Principio de la curva circular o terminaci&n de la tangente. P.!. Principio de la tangente o terminaci&n de la curva.
7 7adio de la curva.
6 Centro de la curva circular. .C ongitud total de la curva arco3. C. Cuerda arga longitud total3.
E/terna; distancia del P.I al punto medio de la curva 43. 4 Punto medio de la curva.
5 Punto medio de la cuerda largo C.3.
) )lecha; distancia del punto 4 de la curva al punto 5 de la cuerda larga C.3.
P.$.C Punto sobre curva. P.$.$.! Punto sobre subtangente. P.$.! Punto sobre tangente.
1.3 Cálculo de los Elementos Geométricos de la Curva Circular Rdio (R): 2< 8 2π7 '<= = 8 o > ? 2π7 2<< 8 = 7 2<< 2π8 = 11#%.@2 8 = 2<< 2π8 7 11#%.@2 8 = Grado (G): si 7 11#%.@2 8 = de donde 8 11#%.@2 7 = Subtangente (ST) Del Triágulo: 6−PC −PI !an ∆ 2
$! 7 = $! 7!an ∆ 2
=Longitud Total de la Curva (LC):
8 P.!. 2< mts P.C. .C. ∆ 2< 8 C ∆ = C 2<∆ 8 = Cuerda Larga (CL): Del Triángulo: !C " !# " $ sen ∆ 2
PC −5 7 = 1 2C 7 = C 27 = C 2 7sen ∆ 2
=Del triángulo: !C !# " $ cos ∆ 2
PC −5 $! = 1 2C $! = C 2$! = C 2 $!cos ∆ 2
= Externa (E! Del Triángulo: % " !C " !# cos ∆ 2
7 6−PI =pero %"!#&R'E por lo tanto cos ∆ 2
7 7 + E = 7 + E 7 cos ∆ 2
= 7sec ∆ 2
= E 7sec ∆ 2
−7 = E 7 sec ∆ 2
−1
= E 7EA$EC ∆ 2 = "lec#a (" Del Triángulo : %"!C"$ cos ∆ 2
6 5− 7 = por lo tanto: !ero : %"$&R" cos ∆ 2
7 −) 7 = 7 −) 7cos ∆ 2
= ) 7 7cos ∆ 2
− = ) 7 1 cos ∆ 2
−
=Dele*i+n por ,etro (S-): !or Deinici+n: $ 8 2 = Proporcionalmente P.C P.!. P.I. 6 7 8 2 < m 8B2-$ $ 2< $ 1 = $ $ 2< = 8 2 2< = 8 #< = $ '<8 #< = ∆ $ 1.% 8= NOTA:
Gra e C#r$a%#ra.& es el ángulo en el centro de la curva +ormado por dos radios de circun+erencia 0ue limitan un arco de 2< mts. De la misma.
8eneralmente el trazado de las curvas sobre el arco de circun+erencia no es practicable; lo acostumbrado es considerar cuerdas con determinadas longitudes para 0ue estos se con+undan con lo arcos.
En una curva cuando el grado es grande el radio es pe0ueo y viceversa. Para no incurrir en errores 0ue produzcan discrepancias considerables en longitud, ya 0ue las estaciones y cuerdas unitarias se han establecido de 2< mts, conviene toma el siguiente criterio:
a3 sar cuerdas de 2< mts. hasta 8-1<= b3 sar cuerdas de 1< mts. hasta 8-2<= c3 sar cuerdas de % mts. hasta 8F2<=
'. C(l)#l e #na )#era )ir)#lar *r e+leine! - )#era! Datos tomados del campo
PI =1% + #.G
8:= == ∆ =2=2H
'<Jm h := Jm Soluci+n : 7 11#%.@2m 8 := 8 7 =G1.@mts $! 7 tan ∆ 2
⋅ := 7 $!= @.'2mts C 2<m⋅ ∆ 8 := 8 C 1%.<<mts= C 2 7 ⋅ sin ∆ 2
⋅ := 7 CL &1../0 ,ts E 7 sec ∆ 2
−1
⋅ := 7 E =G.21mts ) 7 1 cos ∆ 2
−
⋅ := 7 )= G.<#mts $H:= 1.% 8⋅ $H $H = #H%Cálculo de los ilo,etra2es (!C y !T)
$.% = 1. ' 34563 S.& = 1. ' 5/78 $.C = 1. ' 87681 '.C = 1. ' 1.500 $.& = 1. ' 48.81 PC:= PI −$!$! P!:= PCPC + C
!C& 1.' 87681 """"" 0; 00-86000 """"" 0;.31-30000 """"" 8;831-38000 """"" 3;.31-34000 """"" .;831-37000 """"" 7;.31-36000 """"" 6;831-40000 """"" /;.31 48000 """"" 11;831-!T & 1. ' 48.81 """""
11;47.-S80 ,ts & 8000*4.- &/00-&1;30- """(Dee*i+n) 86000 "" 87681 & 115/ ,ts
S115/ ,ts & 115/ ,ts 48.81 " 48000 &.81 ,ts
S .81&.81 * 4.- &834- (Subdele*i+n) Comprobaci&n ∆ 2 2= 2 = =11=#'.%
'.1 Tra e #na C#r$a Cir)#lar *r De+leine! - C#era!
El trazo por de+le/iones desde las tangentes es el m(todo normal y es más usual, siempre y cuado no e/ista obstáculo alguno 0ue impida el trazo.
M/%:
Con el instrumento emplazado en el P.C 1%K2'G.213, se visa el P.I, con <=<<H en el circulo horizontal. uego se gira el ángulo de la subde+le/i&n <=%H3 y se mide la correspondiente distancia 11.@3 desde el P.C. hasta la visual dada por el instrumento 1%K2G<.<<3
P.I. P.C P.!. 11.@ mts <=%.1H 1%K2G<.<< 1%K2'G.21
? continuaci&n se gira el ángulo de la de+le/i&n siguiente 1=<H o sumado a la anterior 2= 2H3 y se mide la distancia cuerda3 correspondiente 2< mts3.
P.I.
P.C
P.!. 2< mts
2=2.1H
Desde el punto 1 hasta el punto 2, 0ue es la visual dada por el ángulo 2=2H 1%K<<.<<3.
El procedimiento es igual para las demás de+le/iones y la *ltima subde+le/i&n, en la cual su ángulo será igual a
∆<8 11=#'.H%3, hasta llegar al P.! 1%K#2%.213. '.'. P.I INACCESI0LE
6casionalmente se presenta el problema de no poder llegar al P.I. en +orma directa, como sucede en los siguientes casos:
a3 El P.I. accidentalmente se ubica en alguna andonada u obstáculo 0ue +uera impráctico establecerlo ah". b3 Por caer en alguna barranca, r"o, pantano, ladera, acantilado por ser un lugar bastante leLano y 0ue
+uera impráctico medir las distancias del P.I. al P.C. o al P.!. Cálculo de una Curva Circular con P.I Inaccesible
P.I. P.? C a 7M6 > c b %<=1%H G%=#H
Datos tomados del campo:
v '< Jm h
8:= @== C:= %<=1%H=1%H
=, !9& 6' 31456 b := 1<%.#2m
Ru,bo !9 " !#& $30; 18- E c:= G<.2m
! 9& 6.; 45- ! 9& (10000> 10000)
5ota:
a posici&n de las tangentes P.? P.I y P.INC debe obtenerse por medio de una poligonal 0ue las una; las condiciones del terreno determinaran el trazado de la poligonal.
Calculo de los Elementos; a, O, , Q. Del triángulo P.?N >NC a - R #<=12H c - G<.2 b - 1<%.#2 C P.?. > γ&? β&? α&? b:= 1<%.#2m c:= G<.2m β:= 1.<@<@2%2deg α := 1G<deg−#<.<12deg α =1@.@2@ deg a2:= b2+ c2 −2 b⋅ ⋅c⋅cos( ) α a2 a:= b2 + c2 −2 b⋅ ⋅c⋅cos( ) α a =1#.'2G m sin( ) α a sin( ) β b := sin( ) α a
sin( ) β b sin⋅ α a := sin( ) β =<.2@'''<% γ := α β+ γ =22=%'H#HH
%btenci+n de los Ele,entos: ∆> d y e
'G=1H# 2=1GH2%.1S P.I. P.?. C a e d Del triángulo !9 " !# " C ∆ θ en !9: G%=#H 1=1%H2'HH− = 'G=1H#HH en C: %<=1%H −22=%'H# =2=1GH2%HH θ =1G<= −'G=1H#HH+ 2=1GH2%H3 θ =G#=1<H<H ∆ =1G<= −θ ∆ =1G<= G#=1<H<HH− ∆ =@%=#@H%HH sin G#.<%##GGdeg 3 1#.%' sin 2=1GH2%HH1 3 d =
d 1#.%'3sin 2=1GH2%HH1 3 sin G#=1<H<HH 3
:= =1GH2%HH1
d = G<.#@@G%1
Cálculo del il+,etra2e del !# =, !9& 6'31456 ' d & 60.0 =, !# & 6'3/.86
El cálculo continua de ,anera nor,al con los ele,entos geo,@tricos de la curva 7 =12.2mts $! 7 tan ∆ 2
⋅ := 7 $!= 1#<.@@mts C 2<m⋅ ∆ 8 := 8 C 212.@'mts= δH =1.%H8 = 1.% H @ 3 = 1.%HCálculo del ilo,etra2e !C y !T: !# & 6 ' 3/.86 "ST & 140// !C & 6 ' 8.48/ LC & 818/7
!T & 6 ' 4758. Cálculo de las dele*iones:
!C & 6 ' 8.48/ AAAAAAAAA 0;00-87000 AAAAAAAAA 1;151-86000 AAAAAAAAA .;451-30000 AAAAAAAAA 10;151-38000 AAAAAAAAA 14;451-34000 AAAAAAAAA 1/;151-37000 AAAAAAAAA 83;451-36000 AAAAAAAAA 86;151-40000 AAAAAAAAA 38;451-48000 AAAAAAAAA 35;151-44000 AAAAAAAAA 41;451-47000 AAAAAAAAA 47;151-!T & 6 ' 4758. AAAAAAAAA
45;..0-δ- 80&8000*13.&850-&4;30-87000 " 8.48/&.51, δ -(.51)&.51*13.-&551-&1;151-4758. " 470& 58. , δ-(58.) & 58.*13.-&/5/-&1;35/-Co,probaci+n : ∆ 2 @%=%<H<1HH 2 =#=%%H<1HH := ∆ 2
El traBo es ide@ntico al caso anterior
'..& CALCULO 2 TRAZO DE UNA CURVA CIRCULAR SIMPLE POR UN PUNTO O0LIGADO Con +recuencia se presenta el caso en 0ue no es posible trazar toda la curva desde un solo punto, ya sea del P.C. o del P.!.; sino con un punto 0ue puede caer +uera o sobre la misma curva P.$.C3. a continuaci&n se analizará el caso cuando el punto obligado coincide con la curva.
? > P.I. A 6 7 7 P y ∆ β α ∆ 2 Datos de ca,po: 1) ∆ & Dele*i+n 8) !# " !&l & Distancia
3 ) α & ángulo ue or,a la tangente con el lado l Deducci+n del ángulo :
1G<= ∆ 2 + @<=+ α + β = β 1G<= ∆ 2 + @<=+ α
− := =Resolviendo el triángulo ! " % "!#> tene,os: seny PI −6 senβ 7 = !or lo tanto seny PI − 6 7 senβ := 7
!ero ta,bi@n del triángulo %""!#> tene,os: sec ∆ 2
PI −6 7 = PI −6 7sec ∆ 2
= !or lo tanto seny senβ cos ∆ 2
= seny PI −6 7 senβ = 7sec ∆ 2
7 sen( ) β = Entonces * se deduce: β + y+ /= 1G<= / 1G<== −( β + y)Fna veB obtenido el valor de *> el valor del radio nos lo da la siguiente e*presi+n: r senβ
sen/l = 3. C)*+S C,-$ES&+S
E/isten dos clases de curvas compuestas; las 0ue tienen los centros de las curvas e un solo lado del eLe curvas compuestas3, y las 0ue tienen los centros a cada lado del eLe curvas en $ o inversas3.
as curvas compuestas se emplean +recuentemente para adaptar el eLe de la v"a a la +orma del terreno.
as curvas en $ o inversas s&lo tienen uso donde se circula a baLa velocidad, como en los patios de los +errocarriles. El problema +undamental de las curvas inversas esta en el cambio de sobre elevaci&n peralte3 al terminar una y comenzar otra o sea el paso del P.! al P.C, pues se presenta el +en&meno de torcedura, 0ue en un veh"culo chico ser"a imperceptible, más no en un cami&n de varios eLes o en un +errocarril.
!m !4 P.I. > 74 7m ? 6 C ∆ ∆m ∆4 ∆4 ∆m Conociendo :R,> R>∆,> ∆ Encontrar:∆> T> T, ∆ ∆= 4 + ∆m !m 7mE7$∆ + 74−7m3E7$∆4 sen∆ = !4 74E7$∆ + 74− 7m3E7$∆m sen∆ = Conociendo :∆> T,> T>R, Encontrar:∆,>∆> R !an1 2 ∆4 !msen∆ −7mE7$∆ !4+ !mcos∆−7msen∆ = ∆m =∆ ∆− 4 74 7m !msen∆ −7mE7$∆ E7$∆4 + = Conociendo: R,> R> T,> ∆ Encontrar : ∆>∆,> T,
E7$∆4 !msen∆− 7mE7$∆ 74− 7m = ∆m =∆ ∆− 4 !4 74E7$∆ −74−7m3E7$∆m sen∆ = Conociendo : R,> R>∆> T
Encontrar : T,>∆,> ∆
E7$∆m 74E7$∆ −!4sen∆ 74− 7m = ∆4 =∆ ∆− m !m 7mE7$∆ + 74−7m3E7$∆4 sen∆ = Conociendo :∆> T,> ∆,>R, Encontrar:∆Μ>T> R ∆4 =∆ ∆− m 74 7m !msen∆ −7mE7$∆ E7$∆4 + = !4 74E7$∆ + 74− 7m3E7$∆m sen∆ = Conociendo :∆> T>R>∆ Encontrar:∆,>T,> R, ∆m =∆4 7m 74 74sen∆− !4E7$∆ E7$∆m + = !m 7mE7$∆ + 74−7m3E7$∆m sen∆ = . C)*+S E S , %*E)S+S C > P.I. 6 71 81 $!1 71 72 72 82 62 $!2 $!2 I2 $!1 En donde:
I1 P.I de la curva CP en 81 grados. I2 P.I. de la curva P.! en 82 grados.
C y ! Puntos e/tremos de la curva en T$U o inversa. P Punto de curva compuesta.
5ormas:
I3 El ángulo +ormado entre la tangente de entrada y la prolongaci&n hacia a tras de la tangente de salida debe ser igual a la di+erencia de ángulos centrales de las dos curvas componentes de la T$U.
II3 a tangente central I1NI2 es com*n a las dos curvas circulares simples y su longitud debe ser la suma de las sub tangentes de cada curva simple.
III3 Es conveniente deLar una tangente de 2< mts. Entre cada curva, por0ue en este tramo sin sobre elevaci&n, cual0uier veh"culo se puede enderezar y entrar en el tramo de la curva sin torcerse.
Tra e la! C#r$a! C3*#e!%a!
na vez calculados los elementos necesarios para el trazo, se prosigue al replanteo en campo o sea la
materializaci&n de estos puntos principales de poyo. as curvas compuestas se trazan como si +ueran curvas simples sucesivas aplicando la propiedades de las curvas circulares simples.
4.& CURVAS DE TANSICIÓN 5ESPIRALES6
na curva espiral tiene la propiedad de 0ue el veh"culo 0ue la recorre con velocidad uni+orme, e/perimenta una +uerza centr"peta constante o sea proporciona seguridad y comodidad a los ocupantes del veh"culo, sin disminuir su velocidad.
na curva de transici&n es a0uella cuya proporci&n de curva aumento gradualmente desde cero hasta la curvatura central. Este aumento gradual comienza cotar donde se inicia la curva de transici&n, adoptando su má/imo valor al llegar a la curva central circular, donde se conserva al llegar a la curva central circular, donde se conserva constante en todo su desarrollo asta el +ina de la misma, para volver a disminuir gradualmente en a longitud del otro segmento de la curva espiral hasta adoptar nuevamente el valor cero al llegar a la tangente de salida.
TL 7) Te T) 8 * CL 0 RC RC O EC CE PSC * PSC * TE LeA 2) TL LC Le ET PI ∆! Ec ∆c θe θ e ∆
TL 7) Te T) 8
*
CL 0 RCO
ECPSC
* TE Le A 2) TL LC θe ∆ ∆c Donde :P.I Punto de intersecci&n de las tangentes.
∆! De+leci&ln total en el P.I.
Ve ángulo total de cada espiral de+le/i&n de la espiral3.
∆c 9ngulo central de la curva circular.
Wc De+le/i&n al E.C. o al C.E ángulo de la cuerda larga3. Wm De+le/i&n a cual0uier punto T4U de la espiral.
!.E Punto de paso de la tangente a la espiral E.C Punto de paso de la espiral a circular.
C.E Punto de paso de la curva circulara a la espiral. E.!. Punto de paso de la espiral a la tangente.
7c 7adio de la curva circular. !e Distancia del P.I al !.E o al E.!.
Ec Distancia e/terna de la curva circular. C.. Cuerda larga al E.C.
!.. Distancia del punto !.E al T?U o !angente larga3. !.C. Distancia del punto T?U al E.C. o !angente corta3. Ac, Xc Coordenadas del E.C.
A4, X4 Coordenadas de cual0uier punto T4U de la espiral. .c ongitud de la curva circular.
e ongitud total de la espiral el !.E. al E.C3. J,p. Coordenadas del punto T>U.
? Punto de intersecci&n de la tangente a la curva circular en el .C con la tangente primitiva.
> Punto donde la curva circular prolongado tiene su radio perpendicular a la tangente primitiva.
4 Punto cual0uiera de la espiral. 6 Punto central de la curva. 8c 8rado de la curva circular.
",)-'+)%, ! 7c 11#%.@2 8c = e <.<%1 ⋅ 7c = θe e #<8c = ψc θe = ∆c = ∆!−2θe C # 7 ⋅ csin θe 2
⋅ =Ac C cos= ⋅
( )
ψc & Ac e1<<⋅( 1<< − .<<<#' θ⋅ e) =
Xc C sin= ⋅
( )
ψc & Xc e1<< <.%G1G θ⋅ e <.<<<<12''θe −
(
)
⋅ = Ac 7c sin= − ⋅ ( ) θe p = ψc −7c sinE7$⋅ ( ) θe ! Ac Xc 1 tan( ) θe ⋅ − = !C ψc 1 sin( ) θe
⋅ = !e 7c+ p3 tan ∆! 2
⋅ + = C 2< ∆c 8c ⋅ = ψ4 θe 4 2 ⋅ e⋅ 2 =E2e,plo:
Cálculo de los ele,entos geo,@tricos necesarios para poder traBar la siguiente curva con espirales si,@tricas de transici+n en el ca,po PI:= <<<+ #.@% ∆!:= '=#%Hderecho=#%Hderecho := '< Jm h 8c:= G== 7c 11#%.@2 8c := 8c 7c=1#.2#mts e <.<%1 ⋅ 7c := 7c e =%2.@2@mts
$ota: Le sie,pre es n,ero entero y par θe e #<⋅8c := e θe =1<=2#H<<HH ψc θe := θe ψc= =2GH<<HH ∆c:= ∆∆!! −2 θ⋅ e ∆c = 1%=%H C # 7c⋅ sin θe 2
⋅ := 7c C %1.@mts=Ac C cos:= C⋅
( )
ψc & Ac.1 e1<<⋅( 1<< −.<<<#' θ⋅ e) := e
Ac %1.Gmts= Ac.1 %1.Gmts=
Xc C sin:= C⋅
( )
ψc & Xc.1 e1<< <.%G1G θ⋅ e <.<<<<12''θe −
(
)
⋅ := e Xc .1#mts= Xc.1 .1#mts= := Ac 7c sinAc− ⋅ ( ) θe 2%.@mts=p = ψc −7c sinE7$⋅ ( ) θe sinE7$6 =1 −cos( ) θe p := ψψcc −7c 1⋅( − cos( ) θe ) p =<.@mts
! Ac Xc 1 tan( ) θe ⋅
−
:= Ac !C ψc 1 sin( ) θe
⋅ := ψc !e 7c+ p3 tan ∆! 2
⋅ +
:= 7c ! =#.2mts !C =1.@mts !e =.G1mts C 2< ∆c 8c ⋅ := ∆c C @.GGmts= d4 1.% 8c:= ⋅8c ψ4 θe e⋅ 2 := θe d4 12H= ψ4 =<.<<12G2<%42 !E:= PI −!e!e CE:= EC+ CC EC:= !E!E −e E!:= CECE+ e Cadena,ientos : PI = + #.@% !e =.G1 !E = + '#.1# e =%2.<< EC = + #1'.1# C@GG e =%2.<< CE = + #%'.<2 E! = + %<G.<2L L8 TE & 3'37414 36000 1.67 8.1.4 40000 3.67 186./4 L L8 EC & 3'41714 48000 367 14/0 44000 8367 .7/30 L L8 CE & 3'4.708 47000 4.800 80430400 46000 4608 830./8 .0000 8608 56.18 608 7438 E! = + %<G.<2 δ1:= .G' d4⋅d4 δ1 =#'H2 δ2:= 2<.<< d4⋅d4 δ 2 =#=<<H δ:= 1'.<2 d4⋅d4 δ ==12H2#HH Co,probaci+n : ∆c 2
∆c 2 := ∆c 2 ∆c 2 ==2GH θe 2 ==2GH.& CURVA SIMPLE CON ESPIRALES ASIMETRICAS d1. P.C.C !.$.!1 A1 !1. > I ) P.I. !2 Y P.I. P.C.C 7 7 6 D2 D1 d1 C ? ! δ1 Σ 2 δ2 Donde: I Punto de In+le/i&n. Z De+le/i&n en el P.I.
$ De+le/i&n central de la espiral.
! !angente
D DesaloLamiento de la curva por la introducci&n de la espiral. D-7Kd
7 7adio de la curva circular simple. !.$.! - ! K $.!
$.7 $ubtangente.
P.C. C Punto de la curva compuesta E. C. o C.E.3. A1 ?bscisa de la espiral.
Ele3en%! Ge3/%ri)! e #na )#r$a !i3*le )n E!*irale! A!i3/%ri)! TS !1&C9 ' 9 " # A1 ? C I > 7 7 !1 A1 A1 N !1 !ero :
C9 & A1"Rsenδ1& !1 De donde: R senδ1=A1− !1 A1−!1=R sen δ1 δ1 y del triángulo % " 9 ": > D1 ? 6 Σ 2
De las iguras siguientes se deduce: P > 4 ) 5 I d1 N d2 1G<= −Σ > d1Nd2 d1 I P ) d1Nd2 d1 d2 # ## ! ! ## # I4 =d1 d2− =P5 por lo tanto I4 =P5 Entonces : #""!" es un ru,bo
por lo tanto I>=I) =
(
d1 d2−)
cscΣ!$!1 !1 D1 tan= + ⋅
Σ2
−(
d1 d2−)
cscΣ por lo tantode la ,is,a or,a se obtiene !$!2 !$!2 !Y Y)= + + )I
CURVAS VERTICALES
as curvas verticales o parab&lica se emplean normalmente para obtener una transici&n gradual entre l"nea rasantes o subrasantes en el plano vertical, en el caso de carreteras y v"as +(rreas. Es decir, para unir l"neas de di+erente
pendiente.
Cuando las dos pendientes +orman una colina la curva se llama TcrestaU y cuando +orma una depresi&n se llama Tcolumpio o valleU.
P.I..
P.!..
P.C..
Cresta
P.I..
P.!..
P.C..
Columpio o valle
Para +acilidad de calculo los P.I.. e localizan de pre+erencia en estaciones enteras o medias estaciones, siendo a veces obligado a establecerlos en lugares precisos donde el terreno o el proyecto as" lo re0uiera, sin importar 0ue sea o no cadenamiento cerrado.
as pendientes de la tangentes verticales se obtienen dividiendo el desnivel encontrado por las elevaciones de los puntos e/tremos de la tangente entre la distancia horizontal de esa tangente. El resultado se e/presa en porciento
apro/imándolo con dos decimales, a menos 0ue condiciones especiales como igualdades en elevaciones o ligas re0uieran de más decimales.
Es positiva la pendiente cuando la elevaci&n del punto e/tremo delantero es mayor 0ue la de atrás, y negativa en caso contrario.
# K @<<.<< K %<<.<< h1- 2<1%.%< h1- 21<.%< ∆ P 21<.%< −2<1%.%< #@<<−%<< := P=G.21# [ ∆
Proyectadas las tangentes verticales, se procede a calcular las elevaciones de las estaciones a cada 2< mts. Para calcular las elevaciones a cada 2< mts. de una tangente vertical, es c&modo utilizar el incremento por estaci&n I3, el 0ue se obtiene dividiendo la pendiente entre cinco, 0ue es el n*mero de estaciones 0ue hay en 1<< mts.
I P
% :=
I=1.'# incremento por estaci4n
S,'C%5 /E '+ C)*+ *E)&%C+'6 -E/%+&E '+ "5)-'+ X= /2
a e/presi&n y-J/2 corresponde a la ecuaci&n de una parábola, 0ue es la recomendada para emplearse en la liga de dos tangentes verticales, a 0ue propicia el cambio gradual de direcci&n entre la tangente de entrada y la de salida, obteni(ndose una variaci&n uni+orme de la pendiente entre los dos puntos de tangencia P.C.. y >p.t.v.3 en 0ue se intercala la secci&n de la parábola.
A An-n > C y P.C. P.I. ? ) Xn-d D P.!. E n & $; de estaciones de 80 ,ts )E ?)2 CD ?C2 = )E CD ?) 2 ⋅ ?C2 =
Sustituyendo por sus literales> tene,os: y / 2 n2 yn ⋅ = yn n2 /2 = !ero : yn d= por lo tanto d n2 = y /= 2
De la siguiente igura> tene,os ue:
D E 2 2 P.!.. P P.C.. A y > + Y PH P.I. 8 ) C ? ?D =DC >E ED= >D=2+ 9C & Longitud de la curva
El triángulo 9D> es se,e2ante al triángulo 9C: Entonces: >D )C ?D ?C = 1 2 = )C =)8+ 8C >D 1 2)C = 1 2)8+ 8C3 =
P d / = d =P/ )8 2 3P = 8C 2−PH3 = Si : >D =2+ >D 2 2 3P 2 3P −
= >D #P− PH3= %rdenada ,edia (lecHa)
%tra propiedad: y /2 + 2
2 = y / 2( )
+ 2
2 = +/ 2 2 # = #+/ 2 2 =Ecuaci+n de la parábola conocida la ordenada ,edia en unci+n de las pendientes
#+ /
2
=yLa +r,ula para el cálculo de la longitud de la curva es:
C ?Dp
2
#2%
= cuando Dp I L
E2e,plo : cálculo de las elevaciones de la siguiente curva vertical> por lo ,@todos: a ) y& /2
Soluci+n (b) C?DE5?4IE5!6 EE?CI\5 P5!6 PI2 1+ 12< 1G<2.2 P entrada 3 + 2'.@% #@< = = <.<%% PI1 1'+ '< 1%. P=%.%[ #@< 2'.@% PI 1+ '2< 1GG.G2 PI2 1+ 12< 1G<2.2 P salida 3 −1.%< %<< = =− <.<2 %<< 2'.@% P=− 2.[ P.I. 1 P.I 2 PI 1K12< 1G<2.2 1'K'< 1%. 1K'2< 1GG.G2
#ncre,ento por estaci+n I1 %.% %
= =1.1<mts
?=
(
P1 P2−)
[= %.%−−2.3 =G.2 #ncre,ento por estaci+n I2 2.%
= =<.%#mts
Datos del !royecto: '< m hr = !or =2.% 7 =<.# Dp !P7 .' 2 2%#+ + = '< 2.%⋅ 3 .' '<2 2%# <.#⋅ 3 + = =#1.'+ #1.'@= G.' C ?Dp 2 #2% = G.2 G.' 2 ⋅ #2% = %'@G<.G@% #2% = =1#.<mts
≈
13405 170
LCJ& 6 Estaciones (80 ,ts) + p −p3 G ⋅ = <.<G2 1'< G
1.'# ⋅ = y1 # + ⋅ /
2 ⋅ = # 1.'#⋅ 3 2< 1'<
2 = = <.1< y2 # + ⋅ /
2 ⋅ = # 1.'#⋅ 3 #< 1'<
2 = = <.#1 y # + ⋅ /
2 ⋅ = # 1.'#⋅ 3 '< 1'<
2 = = <.@2 y# # + ⋅ /
2 ⋅ = # 1.'#⋅ 3 G< 1'<
2 = = 1.'#EST P; ELEV. TAN G - ELEV. DE<INITIVA
%.% 1K<#< PC 1@.@2 <.<< 1@2.@2 1K<'< 1@@.<2 N<.1< 1@G.@2 1K<G< 1G<<.12 N<.#1 1@@.1 1K1<< 1G<1.22 N<.@2 1G<<.< 1K12< P.I. 1G<2.2 N1.'# 1G<<.'G 1K1#< 1G<1.G N<.@2 1G<<.G' 1K1'< 1G<1.2# N<.#1 1G<<.G 1K1G< 1G<1.< N<.1< 1G<1.'< 1K2<< !TJ 1G<<.1' <.<< 1G<<.1' "85 1.1<-I1 <.%#-I2 Soluci+n (a): ELEVACIÓN
EST P; TAN. PROLONG e e' 2=>e
4.4 1K<#< P.C. 1@.@2 < < <.<< 1@.@2 1K<'< 1@@.<2 1 1 N<.1< 1@G.@2 1K<G< 1G<<.12 2 # N<.#1 1@@.1 1K1<< 1G<1.22 @ N<.@2 1G<<.< 1K12< 1G<2.2 # 1' N1.'# 1G<<.'G 1K1#< 1G<.#2 % 2% N2.%' 1G<<.G' 1K1'< 1G<#.%2 ' ' N.'@ 1G<<.G 1K1G< 1G<%.'2 #@ N%.<2 1G<<.'< 1K2<< P.!.. 1G<'.2 G '# N'.%' 1G<<.1' N2. > = 1G<<.1'N1G<'.2 N<.1<2% '# ELEVACIÓN DE<INITIVA
E2e,plo :
Calcular las elevaciones de la siguiente cuerva vertical !endiente : Datos : @< m hr = +=<.<% p entrada 3 =2.<[ p salida 3 =−1.<[ !P7 2.%= PI = + #2< h PI⋅ 3 =12.2%mts I1 = 2% =<.#mts I2 = 1% =<.2mts ? 2= − −13 =.< D p !P7 .' 2 2%#+ + = @< 2.%⋅ 3 .' @<2 2%# <.<%⋅ 3 + = ='2.% + 1<#.%' Dp =1'.<'
≈
C ?DP 2 #2% = 21'.<' 2 #2% = =1@.<<mts 1/5 800 C =1<E$! 2<mts⋅ 3 , !CJ & , !#J". Est !CJ & (3'480)"100&3'380 , !CJ & , !#J'. Est !CJ & (3'480)'100&3'.80 + p − p3 G ⋅ = ]<.<2 −<.<13^ 2<< G ⋅ = &003(8.)&05.y1 # + ⋅ /
2 ⋅ = # <.%⋅ 3 2< 2<<
2 ⋅ = = <.<1⋅ =<.< y2 # + ⋅ /
2 ⋅ = # <.%⋅ 3 #< 2<<
2 ⋅ = = <.<#⋅ =<.12 y # + ⋅ /
2 ⋅ = # <.%⋅ 3 '< 2<<
2 ⋅ = = <.<@⋅ =<.2 y# # + ⋅ /
2 ⋅ = # <.%⋅ 3 G< 2<<
2 ⋅ = = <.1'⋅ =<.#G y1 # + ⋅ /
2 ⋅ = # <.%⋅ 3 1<< 2<<
2 ⋅ = = <.2%⋅ =<.%EST P ; ELEV. TANG - ELEV. DE<INITIVA
2.< K2< P.C. 12%.2% <.<< 12%.2% K#< 12%.'% N<.< 12%.'2 K'< 12'.<% N<.12 12%.@ KG< 12'.#% N<.2 12'.1G K#<< 12'.G% N<.#G 12'. K#2< P.I. 12.2% N<.% 12'.%< K##< 12.<% N<.#G 12'.% K#'< 12'.G% N<.2 12'.%G K#G< 12'.'% N<.12 12'.% K%<< 12'.#% N<.< 12'.#2 K%2< P.!. 12'.2% <.<< 12'.2% N1.<<[ S%LFC#K$ : y /= 2
EST P ; ELEV. TANG e e' -=>e' ELEV. DE<INITIVA
K2< P.C. 12%.2% <.<< <.<< <.<< 12%.2% K#< 12%.'% 1.<< 1.<< N<.< 12%.'2 K'< 12'.<% 2.<< #.<< N<.12 12%.@ KG< 12'.#% .<< @.<< N<.2 12'.1G K#<< 12'.G% #.<< 1'.<< N<.#G 12'. K#2< P.I. 12.2% %.<< 2%.<< N<.% 12'.%< K##< 12.'% '.<< '.<< N1.<G 12'.% K#'< 12G.<% .<< #@.<< N1.# 12'.%G K#G< 12G.#% G.<< '#.<< N1.@2 12'.% K%<< 12G.G% @.<< G1.<< N2.# 12'.#2 K%2< P.!. 12@.2% 1<.<< 1<<.<< N.<< 12'.2% - 12'.2%N12@.2% - N<.< 1<<
$%T9 :
La elevaci+n del !TJ se conoce> ya ue se conocen las elevaciones de todos los cadena,ientos a cada 80 ,ts y porue el !TJ es un punto de la tangente vertical
si no se conoce la elevaci+n del !TJ co,o en el caso de un e2e,plo en clase> se puede deducir ya ue se conocen L<8> , !#J y la pendiente