Capitulo 09 Intersección Plano Poliedro

GEOMETRÍA

GEOMETRÍA

DESCRIPTIVA

DESCRIPTIVA

Geometría Geometría Descriptiva Descriptiva Autor: Autor:

Víctor Vidal Barrena

Víctor Vidal Barrena

Universidad Universidad Nacional de Ingeniería Nacional de Ingeniería CAPÍTULO CAPÍTULO

9

9

Intersección

Intersección

Plano

Plano

Poliedro

Poliedro

 a  a

INTERSECCION DE PLANO

INTERSECCION DE PLANO

CON POLIEDRO

CON POLIEDRO

9.0

 a  a

INTERSECCION DE PLANO

INTERSECCION DE PLANO

CON POLIEDRO

CON POLIEDRO

9.0

 a

 a

La intersección de un plano y de un poliedro es el

La intersección de un plano y de un poliedro es el

lugar geométrico de los puntos de intersección

lugar geométrico de los puntos de intersección

(puntos perforantes) de las aristas del poliedro con

(puntos perforantes) de las aristas del poliedro con

el plano.

el plano.

9.1

9.1

INTERSECCIÒN

INTERSECCIÒN

DE

DE

PLANO

PLANO

CON

CON

POLIEDRO.

POLIEDRO.

Los principios que intervienen en las intersecciones de

Los principios que intervienen en las intersecciones de

Planos y Poliedros, tienen su aplicación en el corte de

Planos y Poliedros, tienen su aplicación en el corte de

aberturas en las superficies de los techos, en chimeneas,

aberturas en las superficies de los techos, en chimeneas,

ventiladores, en las superficies de los muros, tubos,

ventiladores, en las superficies de los muros, tubos,

rampas, en la construcción de estructuras de metal

rampas, en la construcción de estructuras de metal

laminado como las calderas y los tanques para depósito

laminado como las calderas y los tanques para depósito

de líquidos.

 a

 a

9.1 INTRODUCCIÓN.-

9.1 INTRODUCCIÓN.-

9.1

9.1

INTERSECCI

INTERSECCI

ÒN DE

ÒN DE

PLANO

PLANO

CON

CON

POLIEDRO.

POLIEDRO.

Fig.

Fig.

9.1

9.1

Intersección de

Intersección de

Plano con

Plano con

Poliedro.

Poliedro.

a) Intersección de Plano con Pirámide.

 a

9.1 INTRODUCCIÓN.-

9.1 INTERSECCIÒN DE PLANO CON POLIEDRO.

Fig. 9.2 Intersección de Plano con Poliedro.

b) Intersección de Plano con Prisma.

 a

SE LLAMA POLIEDRO, A LOS CUERPOS GEOMETRICOS CUYA PORCION DE

ESPACIO ES TOTALMENTE LIMITADA, POR POLIGONOS PLANOS NO

COPLANARES.

H E A G F C D B ARISTA CARA VERTICE DIAGONAL

9.2 POLIEDROS: SU REPRESENTACIÓN.

 a

a).- LAS CARAS: formadas por polígonos que limitan el poliedro.

b).- LAS ARISTAS:  que son los lados del polígono.

c).- LOS VÉRTICES:  que son los extremos de las aristas.

d).- LAS DIAGONALES: aristas que unen dos vértices opuestos.

e).- LOS DIEDROS: formados por dos caras consecutivas.

f).- ANGULOS POLIEDRICOS:  formados por aristas que

concurren en

un vértice.

 a

1).- POLIEDROS REGULARES: Son los poliedros que tienen todas sus caras

y ángulos iguales. Ejemplo:

9.4 CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS.

C TETRAEDRO A B D H E F HEXAEDRO A D B G C OCTAEDRO E A C F D B

 a 2) POLIEDROS IRREGULARES: Es aquel cuya cuyas caras es un polígono cualquiera y las demás caras son paralelogramos (prismas) o triángulos (pirámides) entre los principales tenemos los prismas y las pirámides. Ejemplo:

D F E L K J A C B I H I H K M E B F D C _A PRISMA TRIANGULAR TRUNCADO PRISMA HEXAGONAL OBLICUO A B C D E F H I J K L M PRISMA HEXAGONAL RECTO

 a

1)

PRISMAS: Es un sólido geométrico determinado por una

superficie engendrada por una recta generatriz que se desliza

paralela por una línea poligonal o directriz

PRISMA HEXAGONAL D F E C A B F E K D A B C L G J H I H PRISMA CUADRADO E F G C A B D PRISMA TRIANGULAR

 a

2) PIRAMIDE: Es un sólido geométrico determinado por una

superficie engendrada por una recta generatriz que esta unida a un

punto fijo llamado vértice, a la vez que se desliza por una línea

poligonal o directriz.

PIRAMIDE TRIANGULAR B C A V V PIRAMIDE DE BASE CUADRADA A D B C E PIRAMIDE HEXAGONAL B F A D C

 a

9,6 INTERSECCION DE UN PLANO CON UNA PIRAMIDE.

PROBLEMA:

 En la figura

9.3

  se dan las proyecciones

 principales del Plano

RST

  y de la Pirámide oblicua

V-ABCD

, cuya base cuadrangular es normal; se desea

determinar la intersección y mostrar la visibilidad que

 produce en la pirámide el plano dado.

R(1,3,9), S(2,7,16), T(8,4,11)

V(5,1,12.5), A(1,6,12), B(6,?,15.5), C(9,8,13),

D(4,?,9.5).

 a

9,6 INTERSECCION DE UN PLANO CON UNA PIRAMIDE.

 a

9,6 INTERSECCION DE UN PLANO CON UNA PIRAMIDE.

Fig. 9.4 Intersección de Plano con Pirámide .

Método del

 a

9,6 INTERSECCION DE UN PLANO CON UNA PIRAMIDE.

RECTA VISIB PLANO VISIB INT VISIB

H F H F H F ST + + AVB - - 1 - -AV - + RST + + 2 - + DV - + RST + + 3 - + ST + + CVD - + 4 - +

TABLA DE VISIBILIDAD

 a

9,6 INTERSECCION DE UN PLANO CON UNA PIRAMIDE.

Fig. 9.5 Intersección de Plano con Pirámide.

Método de la

Vista de Canto

 a

9,7 INTERSECCION DE UN PLANO CON PRISMA.

PROBLEMA:  En la figura 9.7  se dan las

proyecciones principales del plano RST y del

Prisma oblicuo ABC-DEF  cuyas bases

triangulares son normales; se desea

determinar la intersección y mostrar la

visibilidad que produce en el prisma el plano

dado.

R(10,3,13), S(6,1.5,8), T(1.5,5.5,13);

A(4,1,8.5), B(1,3.5,10), C(2.5, - ,11.5),

D(9,4,10.5), E(6,6.5,12), F(7.5, - ,13.5)

 a

9,7 INTERSECCION DE UN PLANO CON PRISMA.

 a

9,7 INTERSECCION DE UN PLANO CON PRISMA.

Fig. 12.8 Intersección de Plano con Pirámide .

Método del

 a

9,7 INTERSECCION DE PLANO CON PRISMA.

TABLA DE VISIBILIDAD

RECTA VIS PLANO VIS INT VIS H F H F H F CF + - RST + + 1 + -TS + + BCFE + - 2 + -TS + + ABED + + 3 + +  AD + + RST + + 4 + +

 a

PROBLEMAS FRESUELTOS

PROBLEMAS

RESUELTOS

 a

V es el vértice de una pirámide de

base ABCD. Hallar la intersección del

plano RST con la pirámide dada.

Mostrar

la

visibilidad

de

la

intersección.

PROBLEMA Nº 9.1:

V(1, 4.5, 13), A(6.5, 5, 18) , B(11, 3, 15),

C(9.5, 7, 12), D(5, 9, 15),

R(1, 9, 15.5), S(12.5, 4, 11),

H(8, 2, 17).

 a

SOLUCION:

6.5 1 2 4.5 13 5 V_F R 7 12 F 5 D_F 15 18 R_H D_H 12.5 S 9.5 11 T_F B_F CF F S T_H B_H H VH  A_F  A_H 3 H C 9 15.5 4 11 17 8

 a

SOLUCION:

H C V_F R_F  A 6 4 1 F 5 T_F 2 3 D_F CF V_H R_H 4 2 1 D_H 6 5  A_H T_H B_F F S H S B_H 1 5 6.5 8 9.5 11  12.5 5 4 3 2 4.5 11 7 9 17 15 15.5 13 12 18 PLANO + + AVD RT VD VB RS RT RS BVC + + + -+ +  AVB + + RST + + RST DVC RECTA H F + - 1 + -+ - 6 + - -+ + + + + 4 5 -2 3 + + + -+ + + H F INT H F solucion final

 a

V es el vértice de una pirámide oblicua cuya

base es ABCD. Determine la intersección y

mostrar la visibilidad del plano RST con la

pirámide dada. Hacer la tabla de visibilidad.

Resolver sin vistas auxiliares.

PROBLEMA Nº 9.2:

V(1, 4.5, 13), A(6.5, 5, 18) B(11, 3, 15) C(9.5, 7, 12)

D(5, 9, 15);

 a SOLUCION: V V_F R H F F T B F F  A_F D _SF C_F H C H S R_H  A_H D_H T_H B_H 4.5 1 2 3 9 7 5 11 12 13 5 6.5 9 9.5 11 15 18

GRAFICO DE

LAS

COORDENADAS

 a SOLUCION: V_F H V  A_F H  A B_H B_F C_H F C H D D_F H R F R F S S_H T_F H T F 1 2 3 4 5 6 2 1 3 4 5 6 + + + + + + -+ + -+ + + + + + + + -- - -+ -+ -+ + + + -+ + -TABLA DE VISIBILIDAD 18 1 9 9.5 7 11 6.5 12 15 13 4.5 5 5 11 9 2 3 RT VD DC ST ST RT AVD RST RST ABCD AVB AVB 1 2 3 4 5 6 H U U

RECTA H F PLANO _{H F} INT _{H F}

P       C      

 a V 2 F R H F 6 F T 5 B_F F 1  _A F D _SF 4 C 3 F H C H 3 2 R_H  A_H D 1 6 H T 5 4 H BH V S D R H 4 S T V _F 1 6 F  A R_F 2 H V H 2 D_F 3 S H 3 F 5 B_F F C F CH 4 B H T H 1 6  A 5 H SOLUCION SOMBRE

 a

ABCD y EFGH, son las bases de un prisma de

base cuadrada determinar la intersección

y

mostrar la visibilidad del plano

RST. con el

prisma dado Hallar la tabla de visibilidad.

resolver sin vistas auxiliares.

PROBLEMA Nº 9.3:

A(10, 9, 17), B(13, 7, 16), C(12, 5, 19), D(9, 7, 20),

E(3, 5, 12), F(6, 3, 11), G(5, 1, 14), H(2, 3, 15)

 a

SOLUCION:

H 15 7 E 2 F 3 1 5 4 H 4 G 3 5 6 F F F T 8 9 10 F F E 11 9 8 13 12 14 F R H F F D F T  A H H G H 17 16 H 19 20 H R  A H D H F 12 13 C F S F B S H H C H B GRAFICO DE LOS PUNTOS

 a

SOLUCION FINAL:

2 5 9 1 9 3 6 16 20 14 10 17 H  A  A F 7 13 F B B H C_H C F 12 19 D_F H D 12 E H F E 3 11 H F F_F 5 G H F G 15 H H H_F F R R_H 8 4 13 4 S_H F S 8 H T F T 1 1 2 3 4 2 3 4 P   _C    -  1    F P QF H P H Q 5 8 6 7 7 6 5 8 ZF W F H W H Z P      C      -   ₂      TABLA DE VISIBILIDAD -+ + BFCG RS RT + + BFCG -+ RS RT + RECTA H + AEDH + AEDH + + PLANO F H + -P + Z + - + -+ - P Z - ₊ -F INT H F SOLUCION

 a

V es el vértice de una pirámide de base

 ABCD. Hallar la intersección y visibilidad

del plano RST con la pirámide dada.

PROBLEMA Nº 9.4:

V(1, 4.5, 13), A(6.5, 5, 18) , B(11, 3, 15),

C(9.5, 7, 12), D(5, 9, 15),

R(1, 9, 15.5), S(12.5, 4, 11),

H(8, 2, 17).

 a SOLUCION 6.5 1 2 4.5 13 5 VF R 7 12 F 5 D_F 15 18 R_H DH 12.5 S 9.5 11 TF B_F CF F S T_H B_H H V_H  A_F  AH 3 H C 9 15.5 4 11 17 8

 a

SOLUCION

H C V_F RF  A 6 4 1 F 5 TF 2 3 D_F CF V_H RH 4 2 1 D_H 6 5  AH TH BF F S H S BH 1 5 6.5 8 9.5 11  12.5 5 4 3 2 4.5 11 7 9 17 15 15.5 13 12 18 PLANO + + AVD RT VD VB RS RT RS BVC + + + -+ +  AVB + + RST + + RST DVC RECTA H F + - 1 + -+ - 6 + - -+ + + + + 4 5 -2 3 + + + -+ + + H F INT H F solucion final

 a

Se dan las proyecciones principales del plano RST

y del prisma oblicuo ABC-DEF cuyas bases son

normales ; se desea determinar la intersección y

mostrar la visibilidad que produce en el prisma el

plano dado.

 a

PROBLEMA Nº 5:

SOLUCION:

Primeramente

hallamos los puntos 1y

2 por el método del

 plano cortante que

contiene a la recta TS ,

la recta TS se

intercepta con el plano

ABED en 1 , y con el

 plano BCFE en 2.

 a

PROBLEMA Nº 5:

SOLUCION:

Luego hallemos los punto 3 y 4 por el método cortante siendo la recta 3  para FC y 4 para la recta AD ; unimos los puntos de intersección 1-2-3-4; y luego se halla la tabla de visibilidad

 a

 ABCD

 _–

  EFGH son las bases de un prisma que

tiene a AE como arista lateral. Determinar la

intersección del plano PQR con el poliedro dado.

Mostrar la visibilidad de la intersección.

PROBLEMA Nº 9.6:

A(1,7,17) B(5,11,19) C(10,9,15) D(6,5,13)

E(3,3,21)