Àlgebra Lineal M1 - FIB. Continguts: 5. Matrius, sistemes i determinants 6. Espais vectorials 7. Aplicacions lineals 8.

Texto completo

(1)

`

Algebra Lineal

M1 - FIB

Continguts:

5.

Matrius, sistemes i determinants

6.

Espais vectorials

7.

Aplicacions lineals

8.

Diagonalitzaci´o

Anna de Mier

Montserrat Maureso

Dept. Matem`atica Aplicada II

Setembre 2014

(2)

5. Matrius, sistemes i determinants

5.1 Matrius: operacions b`asiques i matrius escalonades

1

Rep`as de l’`algebra de matrius

2

Els escalars

Per un cos d’escalarsK entendrem un conjunt de nombres amb dues operacions (suma i producte) tals que

- es satisfan les propietats habituals (commutativa, associativa, distributiva, elements neutres)

- s´on invertibles (podem restar i dividir)

Exemples: R, Q, Zp,C

3

Matrius

Siguin m, n≥ 1 enters. Una matriu de tipus m × n amb

elements al cos Kconsisteix en mn elements de K arranjats en una taula de m files i n columnes

Denotarem per aij l’element que es troba a la fila i, columna j

Una matriu gen`erica la representem aix´ı:

A =      a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n .. . ... . .. ... am1 am2 · · · amn     

Farem servir tamb´e la notaci´o A = (aij)m×n

El conjunt de totes les matrius m× n el denotarem per Mm×n(K)

(3)

Tipus de matrius

I Una matriu de tipus 1× n s’anomena matriu fila I Una matriu de tipus m× 1 s’anomena matriu columna I La matriu nul.la Om,n (o simplement O) ´es la matriu tipus

m× n on tots els elements s´on iguals a 0

I Una matriu de tipus n× n s’anomena quadrada. El conjunt de totes les matrius quadrades n× n amb elements a K es

denota per Mn(K). Una matriu quadrada (aij)n×n ´es

I triangular superiorsi aij = 0 per tot i > j

I triangular inferiorsi aij = 0 per tot i < j

I diagonalsi ´es triangular superior i inferior simult`aniament

I La matriu Diag(λ1, . . . , λn) ´es la matriu diagonal (dij)n×n

amb dii = λi per tot i

I La matriu identitat In ´es la matriu diagonal Diag(1, 1, . . . , 1)

5

Suma de matrius

Siguin A, B ∈ Mm×n(K) amb A = (aij) i B = (bij)

La seva suma ´es la matriu A + B = (cij)∈ Mm×n(K) definida per

cij = aij + bij Propietats Si A, B, C ∈ Mm×n(K), es compleix: I (Associativa) (A + B) + C = A + (B + C ) I (Commutativa) A + B = B + A I (Element neutre) A + O = O + A = A

I (Element oposat) Existeix una matriu B tal que A + B = B + A = O

(a aquesta B l’anomenem −A)

6

Producte per escalars

Siguin A∈ Mm×n(K) amb A = (aij) i λ∈ K un escalar

El producte d’A per l’escalar λ´es la matriu λA = (bij)∈ Mm×n(K) definida per

bij = λaij

Propietats

Si λ, µ∈ K i A, B ∈ Mm×n(K), es compleix:

I (Pseudoassociativa) λ(µA) = (λµ)A

I (Distributiva 1) λ(A + B) = λA + λB

I (Distributiva 2) (λ + µ)A = λA + µA

I (Identitat) 1A = A Fixem-nos que (−1)A = −A

Transposici´o

Sigui A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K)

La seva transposada´es la matriu At = (bij)n×m ∈ M(K)n×m

definida per bij = aji

Clarament (At)t = A Una matriu quadrada A ´es

sim`etrica si At = A

(4)

Producte de matrius

Siguin A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K) i B = (bij)n×p ∈ Mn×p(K)

El seu producte´es la matriu AB = (cij)m×p ∈ Mm×p(K) amb

cij = n X k=1 aikbkj = ai1b1j+ ai2b2j +· · · + ainbnj Observacions

I El producte de dues matrius qualssevol no t´e per qu`e estar definit

I AB pot estar definit per`o BA no

I Encara que AB i BA estiguin definits, en general AB 6= BA

I El producte ´es una operaci´o interna dins deMn(K)

9

Propietats del producte de matrius

Si A, B, C s´on matrius i les operacions seg¨uents estan definides, es compleix:

I (Associativa) (AB)C = A(BC )

I (Distributives) A(B + C ) = AB + AC i (A + B)C = AC + BC

I (Element unitat) IA = A = AI , on I ´es la matriu identitat del tipus que convingui

I (Relaci´o amb la transposada) (AB)t = BtAt

Si A∈ Mn(K), denotarem per Ak el producte AA· · · A

(´es a dir, A2 = AA, A3 = AAA, etc.)

10

Matriu inversa

Siguin A, B ∈ Mn(K). Diem que B ´es la matriu inversa d’A si

AB = BA = In

Si aix`o es compleix diem que A ´es invertiblei denotem per A−1 la matriu inversa

Observacions

I Si existeix la inversa, ´es ´unica

I No tota matriu t´e inversa

I Les matrius invertibles no tenen files ni columnes nul·les

11

Propietats de la matriu inversa

Si A i B s´on matrius invertibles del mateix tipus i λ ´es un escalar no nul, es compleix:

I la matriu A−1 ´es invertible i (A−1)−1 = A

I la matriu Ak ´es invertible i (Ak)−1 = (A−1)k

I la matriu λA ´es invertible i (λA)−1= (λ)−1A−1

I la matriu At ´es invertible i (At)−1= (A−1)t

I el producte AB ´es invertible i (AB)−1 = B−1A−1

(5)

Transformacions elementals i matrius escalonades

13

Transformacions elementals

Sigui A∈ Mm×n(K)

Una transformaci´o elemental per files d’A consisteix en una de les tres operacions seg¨uents:

(I) intercanviar dues files d’A

(II) multiplicar una fila d’A per un escalar no nul

(III) sumar a una fila d’A el resultat de multiplicar una altra fila per un escalar no nul

Una matriu ´es elemental (per files) si es pot obtenir a partir d’una matriu identitat mitjan¸cant una ´unica transformaci´o elemental per files

14

Matrius equivalents

Teorema

Sigui T una transformaci´o elemental i sigui M ∈ Mm×n(K). El

resultat d’aplicar la transformaci´o T a la matriu M ´es EM, on E ´es la matriu elemental resultant d’aplicar T a la identitat Im

Una matriu B ´es equivalent (per files) a una matriu A si B es pot obtenir a partir d’A fent una seq¨u`encia finita de

transformacions elementals

Per tant, si B ´es equivalent a A podem escriure B = ErEr−1· · · E2E1A,

on les Ei s´on matrius elementals

Matrius escalonades

Una matriu ´es escalonada (per files) si

- si una fila ´es nul.la (composta enterament per zeros), totes les que estan per sota d’ella tamb´e son nul.les

- en cada fila no nul.la, el primer element no nul ´es un 1 (anomenat l’1 dominant o el pivot de la fila)

- el pivot d’una fila sempre es troba m´es a la dreta que el pivot de la fila anterior

Teorema

Tota matriu ´es equivalent a una matriu escalonada per files

El rang d’una matriu A ´es el nombre de files no nul.les de qualsevol matriu escalonada equivalent a A

(6)

Aplicaci´o al c`alcul de la inversa (I)

Lema

Si E ´es una matriu elemental, aleshores E ´es invertible i la seva inversa E−1 tamb´e ´es una matriu elemental

Comprovaci´o:

(I) Si B ´es una matriu elemental corresponent a una

transformaci´o de tipus (I) (intercanvi files i i j), tenim BB = I

(II) Si Cλ ´es la matriu elemental corresponent a una transformaci´o

de tipus (II) (multiplicar una fila per λ6= 0), tenim CλCλ−1 = I = Cλ−1Cλ

(II) Si Dk ´es la matriu elemental corresponent a una transformaci´o

de tipus (III) (sumar a la fila i la fila j multiplicada per k), tenim DkD−k = I = D−kDk

17

Aplicaci´o al c`alcul de la inversa (II)

Teorema

Siguin A∈ Mn(K) i M una matriu escalonada equivalent a A.

Aleshores A ´es invertible si i nom´es si tots els elements de la diagonal de M s´on iguals a 1

Corol·lari

Siguin A∈ Mn(K), aleshores A ´es invertible si i nom´es si el rang

d’A ´es n

18

M`etode de Gauss-Jordan per al c`alcul de la inversa

Sigui A∈ Mn(K)

La demostraci´o del teorema anterior implica que

si In = Er· · · E2E1A, aleshores A−1= Er· · · E2E1

Donada A, podem seguir els passos seg¨uents per trobar A−1, si existeix:

I Comencem amb la matriu (A|In)

I Apliquem transformacions elementals a (A|In), amb l’objectiu

d’arribar a (In|B)

I Si ho aconseguim, A−1 = B

I Altrament, A no ´es invertible

(7)

5. Matrius, sistemes i determinants

5.2 Sistemes d’equacions lineals

20

Sistemes d’equacions lineals

Una equaci´o lineal en les variables x1, . . . , xn ´es una expressi´o del

tipus

a1x1+ a2x2+· · · + anxn = b,

on a1, . . . , an, b pertanyen al cos d’escalars K

Una soluci´o ´es (s1, . . . , sn)∈ Kn tal que

a1s1+ a2s2+· · · + ansn = b

(Obs. Una equaci´o lineal pot tenir entre zero i infinites solucions)

21

Sistemes d’equacions lineals

Un sistema d’equacions lineals´es un conjunt d’equacions lineals (totes amb les mateixes variables x1, . . . , xn)

La forma gen`erica d’un sistema d’equacions lineals seria doncs:          a11x1+ a12x2+· · · + a1nxn = b1 a21x1+ a22x2+· · · + a2nxn = b2 .. . ... am1x1+ am2x2+· · · + amnxn = bm

Una soluci´o del sistema´es una n-upla (s1, . . . , sn)∈ Kn que ´es

soluci´o de totes les equacions del sistema

Solucions d’un sistema

Direm que un sistema ´es

I incompatiblesi no t´e cap soluci´o

I compatible determinat si t´e una ´unica soluci´o

I compatible indeterminat si t´e m´es d’una soluci´o

La soluci´o general d’un sistema ´es el conjunt de totes les seves solucions

(8)

Sistemes equivalents

Dos sistemes amb les mateixes equacions per`o ordenades de manera diferent s´on equivalents

I si en un sistema

I multipliquem una equaci´o per un escalar (no nul), o b´e

I a una equaci´o li sumem un m´ultiple d’una altra el sistema resultant ´es equivalent al primer

24

Matriu associada a un sistema

Donat el sistema          a11x1+ a12x2+· · · + a1nxn = b1 a21x1+ a22x2+· · · + a2nxn = b2 .. . ... am1x1+ am2x2+· · · + amnxn = bm

la seva matriu associadai les matrius de variables i de termes independents s´on A =      a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n .. . ... . .. ... am1 am2 · · · amn      x =      x1 x2 .. . xn      b =      b1 b2 .. . bm     

Podem escriure el sistema com un producte de matrius: Ax = b

25

Matriu ampliada

La matriu ampliada ´es la matriu (A|b), ´es a dir,

(A|b) =      a11 a12 · · · a1n b1 a21 a22 · · · a2n b2 .. . ... . .. ... ... am1 am2 · · · amn bm     

Obs. Si es realitzen transformacions elementals a la matriu

ampliada d’un sistema, el sistema resultant ´es equivalent al primer Per tant, tot sistema d’equacions lineals ´es equivalent a un en qu`e la matriu ampliada ´es escalonada

26

Sistemes escalonats compatibles

Un sistema escalonat gen`eric compatible seria          x1+ c12x2+ c13x3+· · · + c1rxr +· · · + c1nxn = d1 x2+ c23x3+· · · + c2rxr +· · · + c2nxn = d2 .. . ... xr +· · · + crnxn = dr

(si cal reordenem les variables) Les variables x1, . . . , xr les anomenarem principals i la resta les

anomenarem lliures

Podem resoldre el sistema a¨ıllant “cap amunt”

La variable principal xr la podem a¨ıllar en termes de les variables

lliures:

xr = dr − cr ,r +1xr +1− · · · − crnxn

Ara podem a¨ıllar xr−1 en termes de xr i de les variables lliures, etc

(9)

Soluci´o general d’un sistema escalonat

En un sistema escalonat podem expressar totes les variables principals en termes de les lliures (i de constants escalars):

x1 = f1+ e1,r +1xr +1+· · · + e1,nxn

x2 = f2+ e2,r +1xr +1+· · · + e2,nxn

..

. ...

xr = fr + er ,r +1xr +1+· · · + er ,nxn

Aquesta ´es la soluci´o general del sistema

Obs. Per a cada assignaci´o de valors que donem a les variables lliures xr +1, . . . , xn obtindrem una soluci´o particular del sistema

Diem que el sistema t´e n− r graus de llibertat

28

Forma param`etrica de la soluci´o general

Si la soluci´o general d’un sistema ´es

x1 = f1+ e1,r +1xr +1+· · · + e1,nxn

x2 = f2+ e2,r +1xr +1+· · · + e2,nxn

..

. ...

xr = fr + er ,r +1xr +1+· · · + er ,nxn

anomenarem forma param`etrica de la soluci´o a l’expressi´o             x1 x2 .. . xr xr +1 .. . xn             =             f1 f2 .. . fr 0 .. . 0             + xr +1             e1,r +1 e2,r +1 .. . er ,r +1 1 .. . 0             +· · · + xn             e1,n e2,n .. . er ,n 0 .. . 1             29

Discussi´o de sistemes: el teorema de Rouch´e-Frobenius

Teorema

Considerem un sistema d’equacions lineals que t´e matriu associada A∈ Mm×n(K) i matriu ampliada (A|b)

Sigui r el rang d’A i sigui r0 el rang de (A|b) Aleshores,

I si r < r0, el sistema ´es incompatible (SI)

I si r = r0= n, el sistema ´es compatible determinat (SCD)

I si r = r0< n, el sistema ´es compatible indeterminat (SCI) amb n− r graus de llibertat

Anomenarem rang d’un sistema lineal compatible al rang de la matriu associada

Sistemes homogenis

Un sistema d’equacions lineals ´es homogeni si tots els termes independents s´on iguals a 0

Obs. Un sistema homogeni sempre ´es compatible (ja que tenim la soluci´o trivial x1 =· · · = xn = 0)

Corol.lari

Sigui A la matriu associada a un sistema homogeni en n variables; sigui r el rang d’A. Aleshores

I si r = n, el sistema ´es compatible determinat i l’´unica soluci´o ´es la trivial

I si r < n, el sistema ´es compatible indeterminat i t´e alguna soluci´o diferent de la trivial

(10)

Resoluci´o de sistemes: eliminaci´o gaussiana

Per trobar la soluci´o general d’un sistema d’equacions lineals qualsevol fem el seg¨uent:

1. Cerquem la matriu ampliada (A|b)

2. Cerquem la matriu escalonada M equivalent a (A|b)

3. Apliquem el teorema de Rouch´e-Frobenius per determinar si el sistema ´es compatible

4. Cas que el sistema sigui compatible, trobem la soluci´o general a partir del sistema equivalent amb matriu ampliada M

(11)

5. Matrius, sistemes i determinants

5.3 Determinants

33

Definici´o de determinant

Sigui A = (aij)∈ Mn(K). Un menor d’A´es qualsevol matriu

formada a partir d’A eliminant un cert nombre de files i el mateix nombre de columnes

El menor associat a l’element aij ´es la matriu Aij obtinguda en

eliminar la fila i i la columna j de la matriu A.

El menor Aij ´es una matriu quadrada de tipus (n− 1) × (n − 1)

El determinant d’A es defineix recursivament com

- si n = 1, aleshores det(A) = a11 - si n≥ 2, aleshores

det(A) = a11det(A11)− a12det(A12) +· · · +

(−1)1+ja1jdet(A1j) +· · · + (−1)n+1a1ndet(A1n)

L’adjunt de l’element aij ´es (−1)i+jdet(Aij)

34

C`alcul de determinants

(Enlloc de det(A), a vegades escriurem |A|)

I Matrius 2× 2 i 3 × 3: a bc d = a det((d)) − b det((c)) = ad − bc a b c d e f g h i = a e fh i − b d fg i + c dg he

= a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg) = aei + cdh + bfg− ceg − afh − bdi

I Es demostren per inducci´o:

Si A t´e una fila o una columna nul.la llavors det(A) = 0 Si A = Diag (a , a , . . . , a ), llavors det(A) = a a . . . a

Teorema Siguin A∈ Mn(K) i i, j ∈ [n]. Aleshores det(A) = n X k=1 aik(−1)i+kdet(Aik)

(C`alcul del determinant desenvolupant per la fila i)

det(A) =

n

X

k=1

akj(−1)k+j det(Akj)

(12)

Determinants i transformacions elementals

Siguin A, B ∈ Mn(K). Si B ´es la matriu que s’obt´e d’A

I intercanviant dues files, aleshores det(B) =− det(A) (transformaci´o tipus (I))

I multiplicant la fila i-`esima d’A per λ, aleshores det(B) = λ det(A) (transformaci´o tipus (II))

I sumant-li a una fila un m´ultiple d’una altra, aleshores det(B) = det(A) (transformaci´o tipus (III))

Corol.lari

Si M s’obt´e a partir d’A fent transformacions elementals, det(M) = K det(A), on K 6= 0 Per tant, si A i M s´on matrius equivalents aleshores,

det(A) 6= 0 ⇔ det(M) 6= 0

37

Caracteritzaci´o de matrius invertibles

Teorema

Una matriu A∈ Mn(K) ´es invertible si i nom´es si det(A) 6= 0

Corol.lari

Una matriu A∈ Mn(K) t´e rang n si i nom´es si det(A) 6= 0

Teorema

Sigui A∈ Mm×n(K). El rang d’A ´es r si i nom´es si el m´es gran

menor d’A amb determinant no nul ´es r × r

38

Determinants i operacions amb matrius

Si A, B ∈ Mn(K), aleshores

I det(AB) = det(A) det(B)

I det(At) = det(A)

I si A ´es invertible, det(A−1) = det(A)−1 Per`o en general, det(A + B)6= det(A) + det(B)

(13)

6. Espais vectorials

40

6.1

R

n

i les seves operacions

Rn ={      x1 x2 .. . xn     : xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n} Siguin x =      x1 x2 .. . xn     i y =      y1 y2 .. . yn     elements de R n i λ∈ R Suma aRn: x + y =      x1+ y1 x2+ y2 .. . xn+ yn     

Producte per escalars a Rn:

λx =      λx1 λx2 .. . λxn     

(´Es a dir, les dues operacions s´on “component a component”) 41

Propietats

La suma a Rn satisf`a les propietats seg¨uents, per a tot u, v , w ∈ Rn:

s1) (associativa) u + (v + w ) = (u + v ) + w

s2) (commutativa) u + v = v + u

s3) (element neutre) u + 0 = u on 0 = (0 0 . . . 0)t

s4) (element oposats) per tot u existeix u0 tal que u + u0= 0 El producte per escalars a Rn satisf`a les propietats seg¨uents, per a tot u, v ∈ Rn i λ, µ∈ R:

p1) λ(µu) = (λµ)u

p2) λ(u + v ) = λu + λv

p3) (λ + µ)u = λu + µu

p4) 1u = u

(Totes les propietats s´on certes perqu`e ho s´on a R i les operacions

6.2 Espais vectorials

Un espai vectorial sobre un cos K consisteix en

1. un conjunt no buit E

2. una operaci´o interna E × E → E (suma +) i

3. una aplicaci´o K × E → E (producte per escalars ·) de manera que per a tot u, v , w ∈ E i tot λ, µ ∈ K es satisf`a:

e1) (associativa) u + (v + w ) = (u + v ) + w

e2) (commutativa) u + v = v + u

e3) (element neutre) existeix un ´unic element 0E ∈ E tal que

u + 0E = u

e4) (element oposat) per cada u∈ E existeix un ´unic u0 ∈ E tal que u + u0 = 0E

e5) λ(µu) = (λµ)u

e6) λ(u + v ) = λu + λv

(14)

Alguns exemples d’espais vectorials

I Rn

I Zn

2: cadenes de n bits

La suma ´es bit a bit: p. ex.,     0 1 1 0     +     1 1 1 0     =     1 0 0 0    

Producte per escalars: 0u = 0Zn

2 i 1u = u

I Mm×n(K) (les matrius m × n amb entrades en el cos K)

I Les matrius de Mn(R) que s´on triangulars superiors

I P(R): conjunt dels polinomis amb coeficients a R i variable x

I Pd(R): els polinomis de grau com a molt d amb coeficients a

R i variable x

I L’espai vectorial trivial format per un ´unic element: {0E}

I Les solucions d’un sistema d’equacions lineals homogeni

44

Anomenem vectors als elements d’un espai vectorial i escalars als elements del cos

Propietats

Si v pertany a l’espai vectorial E i λ ´es un escalar, es satisf`a:

I 0v = 0E

I λ 0E = 0E

I Si λ v = 0E, aleshores λ = 0 o v = 0E

I L’element oposat de v ´es (−1)v; normalment escriurem −v

45

6.3 Subespais vectorials i combinacions lineals

Un subconjunt S ⊆ E ´es un subespai vectorial (SEV) si compleix

(s1) S 6= ∅

(s2) per tot u, v ∈ S, u + v ∈ S

(s3) per tot u∈ S i tot λ ∈ K, λu ∈ S

El vector 0E pertany a tots els subespais vectorials

Alguns exemples de subespais espais vectorials

I Pd(R) ´es un subespai vectorial de l’espai de polinomis P(R)

I Les matrius triangulars superiors de Mn(R) formen un SEV

de Mn(R)

I Les solucions d’un sistema d’equacions lineals homogeni amb n variables i coeficients a K ´es un SEV de Kn

46

Intersecci´o de subespais

Lema Si S i S0 s´on subespais vectorials d’E , aleshores S∩ S0 tamb´e ho ´es

La uni´o de subespais vectorials no ´es normalment un subespai vectorial, com ´es el cas per exemple de

S = {  x x  : x ∈ R} i S0={  x −x  : x ∈ R}, on  1 1  +  2 −2  6∈ S∪S0

Combinaci´o lineal

Donats u1, . . . , uk vectors d’E , una combinaci´o lineal de

u1, . . . , uk ´es una expressi´o del tipus

λ1u1+· · · + λkuk,

on λ1, . . . , λk s´on escalars

El vector v ´es combinaci´o lineal de u1, . . . , uk si existeixen

escalars α1, . . . , αk tals que

v = α1u1+· · · + αkuk

(15)

Subespai generat

Siguin u1, . . . , uk vectors d’E . Elsubespai generat per u1, . . . , uk

´es el conjunt

hu1, . . . , uki = {λ1u1+ λ2u2+· · · + λkuk : λ1, . . . , λk ∈ K},

´es a dir, el conjunt de totes les combinacions lineals de u1, . . . , uk

Proposici´o

El subespai generat hu1, . . . , uki ´es, com el seu nom indica, un

subespai vectorial. A m´es, ´es el subespai m´es petit que cont´e u1, . . . , uk

Si un espai S el podem escriure com S = hu1, . . . , u`i, direm que

{u1, . . . , u`} ´es un conjunt de generadorsde S. El conjunt de

generadors d’un espai no ´es ´unic

Observem que v ´es combinaci´o lineal de u1, . . . , uk si i nom´es si

v ∈ hu1, . . . , uki

48

Exemples de subespais generats

I Rn =h      1 0 .. . 0     ,      0 1 .. . 0     , . . . ,      0 0 .. . 1     i

I L’espai de les matrius Mm×n(R) est`a generat per les matrius

Mij que tenen totes les entrades iguals a 0, excepte la de la

posici´o i, j, que ´es igual a 1, 1≤ i ≤ n i 1 ≤ j ≤ m Per exemple, M2(R) = hM11, M12, M21, M22i, on M11=  1 0 0 0  , M12 =  0 1 0 0  , M21=  0 0 1 0  , M22 =  0 0 0 1  I Pd(R) = h1, x, . . . , xdi

(Aquests exemples es poden generalitzar per a qualsevol cos K)

49

I Si volgu´essim generar les matrius triangulars superiors, agafar´ıem de les matrius Mij anteriors nom´es les que tenen

i ≤ j

I Subespai donant els vectors en funci´o de par`ametres {a + (b − a)x + (c − b)x2+ (a− c)x3 : a, b, c ∈ R} ={a(1 − x + x3) + b(x − x2) + c(x2− x3) : a, b, c ∈ R} =h1 − x + x3, x− x2, x2− x3i

6.4 Independ`encia lineal

Siguin u1, . . . , uk ∈ E . L’equaci´o λ1u1+ λ2u2+· · · + λkuk = 0E

sempre t´e la soluci´o λ1 =· · · = λk = 0.

Si aquesta ´es l’´unica soluci´o direm que els vectors u1, . . . , uk s´on

linealment independents (LI)

Si hi ha alguna soluci´o amb un λi 6= 0, direm que els vectors s´on

linealment dependents (LD)

(Tamb´e direm que el conjunt {u1, . . . , uk} ´es LI o LD, resp.)

Exemples:

I El vector 0E ´es linealment dependent

(16)

Per determinar si un conjunt de vectors u1, u2, . . . , uk de Rn s´on

linealment independents seguim els passos seg¨uents:

(1) formem una matriu A amb els vectors donats, posant-los per columnes

(2) calculem el rang r d’A

(3) I si r = k, aleshores els k vectors s´on LI

I si r < k, aleshores s´on LD; si hem calculat el rang escalonant la matriu A, aleshores els vectors que corresponen a les columnes on hi ha els uns dominants s´on un subconjunt LI el m´es gran possible; si hem calculat el rang per menors, els vectors que corresponent a les columnes del menor d’A m´es gran amb determinant no nul s´on un subconjunt LI el m´es gran possible

52

En general, per determinar si un conjunt de vectors u1, u2, . . . , uk

d’un K-espai vectorial E s´on linealment independents seguim els passos seg¨uents:

(1) a partir de l’equaci´o vectorial

λ1u1+ λ2u2+· · · + λkuk = 0E

obtenim un sistema homogeni amb inc`ognites λ1, λ2, . . . , λk (2) discutim el sistema, si ´es

I compatible determinat els vectors u1, u2, . . . , uk s´on LI I compatible indeterminat els vectors u1, u2, . . . , uk s´on LD

53

Propietats

Sigui S ={u1, . . . , uk} un conjunt de vectors d’un K-espai

vectorial E

I Si 0E ´es a S, llavors u1, . . . , uk s´on LD

I Si u1, . . . , uk s´on LI, llavors 0E no ´es a S

I Si u1, . . . , uk s´on LI, tot subconjunt de S ´es LI

I Si u1, . . . , uk s´on LD, tot conjunt que cont´e S ´es LD

Teorema

Si u1, . . . , uk s´on LD i u1 ´es combinaci´o lineal dels altres vectors de

S, aleshores

hu1, u2, . . . , uki = hu2, . . . , uki

54

Caracteritzacions

Teorema

Un conjunt de vectors S ´es LD si, i nom´es si, hi ha un vector v a S que ´es combinaci´o lineal de la resta de vectors de S

Corol.lari

Sigui v ∈ E . Si u1, . . . , uk s´on LI, aleshores

v , u1, . . . , uk s´on LI si, i nom´es si, v 6∈ hu1, . . . , uki

(17)

6.5 Bases i dimensi´o

Sigui E un K-espai vectorial. Un conjunt de vectors B ={b1, b2, . . . , bn} ´es una base d’E si

(b1) B ´es linealment independent

(b2) E =hb1, b2, . . . , bni, ´es a dir, b1, b2, . . . , bn generen E

La base can`onica

I de Kn ´es {      1 0 .. . 0     ,      0 1 .. . 0     , . . . ,      0 0 .. . 1     }

I de Mm×n(K) ´es la formada per les mn matrius Mij que tenen

totes les entrades nul.les excepte la i, j, que ´es igual a 1

I de Pd(K) ´es {1, x, x2, . . . , xd}

(tamb´e a {xd, xd−1, . . . , 1} li direm base can`onica, caldr`a especificar quina usem)

56

Sigui B ={b1, . . . , bn} una base d’E

Proposici´o

Tot vector d’E s’escriu de manera ´unica com a combinaci´o lineal dels vectors de B

Sigui v ∈ E . Si v = α1b1+· · · + αnbn, diem que

vB=    α1 .. . αn   

´es el vector de coordenades de v en la base B

Proposici´o

Sigui {u1, . . . , uk} un conjunt de vectors d’E que s´on LI. Aleshores

k ≤ n

Corol.lari

Tota base d’E t´e n elements

57

Dimensi´o

Al cardinal de les bases d’un espai vectorial E (o d’un SEV) l’anomenem la dimensi´o de l’espai, denotada dim(E)

Les dimensions dels espais amb els que treballem habitualment s´on: dim(Kn) = n, dim(Mm×n(K)) = nm, i dim(Pd(K)) = d + 1

La dimensi´o del subespai {0E} ´es 0

Suposem que la dimensi´o d’E ´es n i sigui W = {w1, . . . , wn} un

subconjunt d’E

I si W ´es un conjunt LI, aleshores W ´es una base d’E

I si W genera E , aleshores W ´es una base d’E Si S ´es un subespai d’E aleshores

I dim(S)≤ dim(E )

I si dim(S) = dim(E ), S = E

Canvi de base

Siguin B ={b1,· · · , bn} i B0={b10,· · · , b

0

n} dues bases d’un

K-espai vectorial E. Sigui u un vector d’E

Veiem com es relacionen els vectors de coordenades uB i uB0

Anomenem matriu del canvi de la base B a la base B0 a la matriu que t´e per columnes els vectors de coordenades

(b1)B0, . . . , (bn)B0. La denotem per PBB0 PBB0 =     .. . ... ... (b1)B0 (b2)B0 . . . (bn)B0 .. . ... ...     Aleshores

I uB0 = PBB0uB, expressant els vectors de coordenades en

columna

(18)

7. Aplicacions Lineals

61

7.1 Definicions, exemples i propietats

Siguin E i F dos K-espais vectorials. Una aplicaci´o f : E → F ´es

lineal si satisf`a:

(a1) per tot u, v ∈ E , f (u + v) = f (u) + f (v)

(a2) per tot u∈ E i tot λ ∈ K, f (λu) = λf (u) Si E = F , direm que f ´es un endomorfisme

Exemples

I Aplicaci´o trivial. f : E → F on f (u) = 0F, u ∈ E , ´es lineal

I Aplicaci´o identitat. IE : E → E on IE(u) = u, u∈ E , ´es lineal

I Sigui A∈ Mm×n(K).

L’aplicaci´o f :Kn → Km on f (v ) = Av , v ∈ Kn, ´es lineal

I L’aplicaci´o seg¨uent no ´es lineal f :M2×2(R) → P2(R), f  a b c d  = x2−(a+d)x+(2c−b) I L’aplicaci´o f :R2→ R2, f  x y  =  x2y2 x + y  no ´es lineal 62

Propietats

Sigui f : E → F una aplicaci´o lineal. Aleshores

I f (0E) = 0F

I f (Pλivi) =Pλif (vi), per a tot u ∈ E

I si S ´es un subespai d’E , f (S) ´es un subespai d’F

I si S0 ´es un subespai d’F , f−1(S0) ´es un subespai d’E

Proposici´o

Sigui B ={b1, . . . , bn} una base d’E . Aleshores f est`a

un´ıvocament determinada per f (b1), . . . , f (bn)

´

Es a dir, a partir de la imatge d’una base podem obtenir la imatge de qualsevol vector d’E :

si u = α1b1+· · · + αnbn, aleshores f (u) = α1f (b1) +· · · + αnf (bn)

Corol.lari

Si S =hv1, . . . , vki ´es un subespai d’E , aleshores

f (S) =hf (v1), . . . , f (vk)i

63

Siguin B ={b1, . . . , bn} una base d’E , W una base de F i m la

dimensi´o de F

La matriu associada a f en les bases B i W ´es una matriu de Mm×n(K) que t´e per columnes les coordenades en la base W de

les imatges dels vectors de la base B. La denotem per MB W(f) MWB (f ) =     .. . ... ... f (b1)W f (b2)W . . . f (bn)W .. . ... ...     ∈ Mm×n(K)

Per trobar el vector de coordenades de la imatge d’un vector u ∈ E n’hi ha prou en fer el producte matricial seg¨uent

f (u)W = MWB (f )uB.

(19)

7.2 Caracteritzaci´o del tipus d’aplicaci´o

Una aplicaci´o lineal bijectiva l’anomenem isomorfisme

Caracteritzaci´o del tipus d’aplicaci´o

Sigui f : E → F una aplicaci´o lineal i M una matriu associada a f fixades una base de E i una de F .

I f ´es injectiva ⇔ rang(M) = dim(E )

I f ´es exhaustiva ⇔ rang(M) = dim(F )

I f ´es un isomorfisme ⇔ rang(M) = dim(E ) = dim(F )

I Si E i F tenen la mateixa dimensi´o, llavors

f ´es un isomorfisme ⇔ f ´es injectiva ⇔ f ´es exhaustiva

65

7.3 Composici´o d’aplicacions lineals

Siguin E , F i G espais vectorials i B, W i V bases d’aquests espais, respectivament.

Proposici´o

Si f : E → F i g : F → G s´on aplicacions lineals, l’aplicaci´o composici´o g ◦ f : E → G tamb´e ´es lineal i

MVB(g ◦ f ) = MVW(g )MWB (f )

Proposici´o

Si f : E → F ´es un isomorfisme, l’aplicaci´o inversa f−1: F → E

tamb´e ´es lineal i

MBW(f−1) = (MWB(f ))−1

66

7.4 Canvi de base

Veiem com es relacionen dues matrius associades a una mateixa aplicaci´o lineal fixant bases diferents a l’espai de sortida i/o a l’espai d’arribada.

Siguin f : E → F una aplicaci´o lineal, B i B0 bases d’E , i W i W0 bases d’F EB −−−−→f MB W(f) FW IE x  PBB0 PW 0W   yIF EB0 −−−−−→f MB0 W 0(f) FW0 f = IF ◦f ◦ IE MWB00(f) = PWW0 MWB(f) PB 0 B

(20)

8. Diagonalitzaci´o

70

El problema de la diagonalitzaci´o

Sigui f : E → E un endomorfisme. Hi ha alguna base B d’E en qu`e la matriu MB(f ) sigui senzilla? M´es concretament, diagonal?

Def

Un endomorfisme f : E → E ´es diagonalitzable si existeix alguna base B d’E tal que MB(f ) sigui diagonal.

Obs. Suposem que la matriu MB(f ) no ´es diagonal, per`o sabem

que l’endomorfisme f diagonalitza en una altra base B0. Aleshores la matriu

(PBB0)−1MB(f )PBB0

´es diagonal.

Per tant, ser diagonalitzable ´es equivalent a que existeixi una matriu P invertible tal que P−1MB(f )P sigui diagonal.

71

Valors i vectors propis

Def

L’escalar λ ´es un valor propi de l’endomorfisme f si existeix algun vector v 6= 0E tal que f (v ) = λv .

Tots els vectors v 6= 0E que compleixen f (v ) = λv s’anomenen

vectors propis de valor propi λ.

Teorema

L’endomorfisme f : E → E diagonalitza si i nom´es si hi ha alguna base d’E formada per vectors propis.

72

C`alcul dels valors propis

Sigui M la matriu associada a f : E → E en una base B

Def

El polinomi caracter´ıstic de l’endomorfisme f ´es pf(x) = det(M− xIn)

Teorema

Els valors propis d’f s´on les arrels del polinomi caracter´ıstic La multiplicitat algebraica d’un valor propi λ ´es la multiplicitat de λ com a arrel de pf(x) i es denota mλ

L’equaci´o pf(x) = 0 s’anomena equaci´o caracter´ıstica

Teorema

El polinomi caracter´ıstic no dep`en de la base en la que calculem la matriu associada M

(21)

Espais de vectors propis

Sigui ara λ un valor propi de l’endomorfisme f : E → E L’espai propi del valor propi λ ´es el conjunt

Eλ ={u ∈ E : f (u) − λu = 0E}

Propietats

I Eλ ´es un subespai vectorial d’E

I 1≤ dim(Eλ)≤ mλ

La dimensi´o d’Eλ s’anomena multiplicitat geom`etrica de λ

74

Caracteritzaci´o dels endomorfismes diagonalitzables

Sigui f : E → E un endomorfisme d’un espai vectorial E de dimensi´o n.

Teorema

L’endomorfisme f ´es diagonalitzable si i nom´es si t´e n valors propis (comptant multiplicitats) i per a cada valor propi les multiplicitats algebraica i geom`etrica coincideixen.

Corol.lari

Si f t´e n valors propis diferents, aleshores ´es diagonalitzable.

75

Algorisme de diagonalitzaci´o

Per a decidir si l’endomorfisme f : E → E ´es diagonalitzable, podem seguir els passos seg¨uents:

(1) Trobem la matriu associada a f en una base qualsevol i calculem el polinomi caracter´ıstic pf(x).

(2) Trobem els valors propis i les seves multiplicitats resolent pf(x) = 0.

(3) Si les multiplicitats dels valors propis sumen menys de dim(E ), l’endomorfisme no diagonalitza. Altrament anem a (4).

(4) Per a cada valor propi λ, trobem l’espai propi Eλ i la seva

dimensi´o dim(Eλ).

(5) Si per a tot λ es compleix mλ = dim(Eλ), l’endomorfisme

diagonalitza. Altrament no diagonalitza.

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :