Àlgebra Lineal M1 - FIB. Continguts: 5. Matrius, sistemes i determinants 6. Espais vectorials 7. Aplicacions lineals 8.

(1)

`

Algebra Lineal

M1 - FIB

Continguts:

5. Matrius, sistemes i determinants

6. Espais vectorials

7. Aplicacions lineals

8. Diagonalitzaci´o

Anna de Mier

Montserrat Maureso

Dept. Matem`atica Aplicada II

Setembre 2014

(2)

5. Matrius, sistemes i determinants

5.1 Matrius: operacions b`asiques i matrius escalonades

1

Rep`as de l’`algebra de matrius

2

Els escalars

Per un cos d’escalars_K entendrem un conjunt de nombres amb dues operacions (suma i producte) tals que

- es satisfan les propietats habituals (commutativa, associativa, distributiva, elements neutres)

- s´on invertibles (podem restar i dividir)

Exemples: R, Q, Zp,C

3

Matrius

Siguin m, n_{≥ 1 enters. Una} _{matriu de tipus m × n amb}

elements al cos Kconsisteix en mn elements de K arranjats en una taula de m files i n columnes

Denotarem per aij l’element que es troba a la fila i, columna j

Una matriu gen`erica la representem aix´ı:

A =      a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n .. . ... . .. ... am1 am2 · · · amn     

Farem servir tamb´e la notaci´o A = (aij)m×n

El conjunt de totes les matrius m× n el denotarem per Mm×n(K)

(3)

Tipus de matrius

I Una matriu de tipus 1_{× n s’anomena} matriu fila I Una matriu de tipus m_{× 1 s’anomena} matriu columna I La matriu nul.la Om,n (o simplement O) ´es la matriu tipus

m× n on tots els elements s´on iguals a 0

I Una matriu de tipus n_{× n s’anomena} quadrada. El conjunt de totes les matrius quadrades n× n amb elements a K es

denota per _Mn(K). Una matriu quadrada (aij)n×n ´es

I triangular superiorsi aij = 0 per tot i > j

I _{triangular inferior}_{si a}_ij _{= 0 per tot i < j}

I diagonalsi ´es triangular superior i inferior simult`aniament

I La matriu Diag(λ1, . . . , λn) ´es la matriu diagonal (dij)n×n

amb dii = λi per tot i

I La matriu identitat In ´es la matriu diagonal Diag(1, 1, . . . , 1)

5

Suma de matrius

Siguin A, B _{∈ M}m×n(K) amb A = (aij) i B = (bij)

La seva suma ´es la matriu A + B = (cij)∈ Mm×n(K) definida per

cij = aij + bij Propietats Si A, B, C _{∈ M}m×n(K), es compleix: I (Associativa) (A + B) + C = A + (B + C ) I (Commutativa) A + B = B + A I (Element neutre) A + O = O + A = A

I (Element oposat) Existeix una matriu B tal que A + B = B + A = O

(a aquesta B l’anomenem _−A)

6

Producte per escalars

Siguin A_{∈ M}_m×n(K) amb A = (aij) i λ∈ K un escalar

El producte d’A per l’escalar λ´es la matriu λA = (bij)∈ Mm×n(K) definida per

bij = λaij

Propietats

Si λ, µ_{∈ K i A, B ∈ M}m×n(K), es compleix:

I (Pseudoassociativa) λ(µA) = (λµ)A

I (Distributiva 1) λ(A + B) = λA + λB

I (Distributiva 2) (λ + µ)A = λA + µA

I (Identitat) 1A = A Fixem-nos que (_{−1)A = −A}

Transposici´o

Sigui A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K)

La seva transposada´es la matriu At = (bij)n×m ∈ M(K)n×m

definida per bij = aji

Clarament (At)t = A Una matriu quadrada A ´es

sim`etrica si At = A

(4)

Producte de matrius

Siguin A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K) i B = (bij)n×p ∈ Mn×p(K)

El seu producte´es la matriu AB = (cij)m×p ∈ Mm×p(K) amb

cij = n X k=1 aikbkj = ai1b1j+ ai2b2j +· · · + ainbnj Observacions

I El producte de dues matrius qualssevol no t´e per qu`e estar definit

I AB pot estar definit per`o BA no

I Encara que AB i BA estiguin definits, en general AB _{6= BA}

I El producte ´es una operaci´o interna dins de_Mn(K)

9

Propietats del producte de matrius

Si A, B, C s´on matrius i les operacions seg¨uents estan definides, es compleix:

I (Associativa) (AB)C = A(BC )

I (Distributives) A(B + C ) = AB + AC i (A + B)C = AC + BC

I (Element unitat) IA = A = AI , on I ´es la matriu identitat del tipus que convingui

I (Relaci´o amb la transposada) (AB)t _{= B}t_At

Si A_{∈ M}n(K), denotarem per Ak el producte AA· · · A

(´es a dir, A2 = AA, A3 = AAA, etc.)

10

Matriu inversa

Siguin A, B ∈ Mn(K). Diem que B ´es la matriu inversa d’A si

AB = BA = In

Si aix`o es compleix diem que A ´es invertiblei denotem per A−1 la matriu inversa

Observacions

I Si existeix la inversa, ´es ´unica

I No tota matriu t´e inversa

I Les matrius invertibles no tenen files ni columnes nul_·les

11

Propietats de la matriu inversa

Si A i B s´on matrius invertibles del mateix tipus i λ ´es un escalar no nul, es compleix:

I la matriu A−1 ´es invertible i (A−1)−1 = A

I la matriu Ak ´es invertible i (Ak)−1 = (A−1)k

I la matriu λA ´es invertible i (λA)−1= (λ)−1A−1

I la matriu At ´es invertible i (At)−1= (A−1)t

I el producte AB ´es invertible i (AB)−1 = B−1A−1

(5)

Transformacions elementals i matrius escalonades

13

Transformacions elementals

Sigui A_{∈ M}_m×n(_K)

Una transformaci´o elemental per files d’A consisteix en una de les tres operacions seg¨uents:

(I) intercanviar dues files d’A

(II) multiplicar una fila d’A per un escalar no nul

(III) sumar a una fila d’A el resultat de multiplicar una altra fila per un escalar no nul

Una matriu és elemental (per files) si es pot obtenir a partir d’una matriu identitat mitjan¸cant una única transformació elemental per files

14

Matrius equivalents

Teorema

Sigui T una transformaci´o elemental i sigui M _{∈ M}m×n(K). El

resultat d’aplicar la transformació T a la matriu M és EM, on E és la matriu elemental resultant d’aplicar T a la identitat Im

Una matriu B és equivalent (per files) a una matriu A si B es pot obtenir a partir d’A fent una seqüència finita de

transformacions elementals

Per tant, si B ´es equivalent a A podem escriure B = ErEr−1· · · E2E1A,

on les Ei s´on matrius elementals

Matrius escalonades

Una matriu ´es escalonada (per files) si

- si una fila ´es nul.la (composta enterament per zeros), totes les que estan per sota d’ella tamb´e son nul.les

- en cada fila no nul.la, el primer element no nul ´es un 1 (anomenat l’1 dominant o el pivot de la fila)

- el pivot d’una fila sempre es troba m´es a la dreta que el pivot de la fila anterior

Teorema

Tota matriu ´es equivalent a una matriu escalonada per files

El rang d’una matriu A ´es el nombre de files no nul.les de qualsevol matriu escalonada equivalent a A

(6)

Aplicaci´o al c`alcul de la inversa (I)

Lema

Si E és una matriu elemental, aleshores E és invertible i la seva inversa E−1 també és una matriu elemental

Comprovaci´o:

(I) Si B ´es una matriu elemental corresponent a una

transformaci´o de tipus (I) (intercanvi files i i j), tenim BB = I

(II) Si Cλ ´es la matriu elemental corresponent a una transformaci´o

de tipus (II) (multiplicar una fila per λ_{6= 0), tenim} CλCλ−1 = I = Cλ−1Cλ

(II) Si Dk ´es la matriu elemental corresponent a una transformaci´o

de tipus (III) (sumar a la fila i la fila j multiplicada per k), tenim DkD−k = I = D−kDk

17

Aplicaci´o al c`alcul de la inversa (II)

Teorema

Siguin A_{∈ M}n(K) i M una matriu escalonada equivalent a A.

Aleshores A és invertible si i només si tots els elements de la diagonal de M són iguals a 1

Corol·lari

Siguin A_{∈ M}n(K), aleshores A ´es invertible si i nom´es si el rang

d’A ´es n

18

M`etode de Gauss-Jordan per al c`alcul de la inversa

Sigui A_{∈ M}n(K)

La demostraci´o del teorema anterior implica que

si In = Er· · · E2E1A, aleshores A−1= Er· · · E2E1

Donada A, podem seguir els passos seg¨uents per trobar A−1, si existeix:

I Comencem amb la matriu (A|In)

I Apliquem transformacions elementals a (A_|In), amb l’objectiu

d’arribar a (In|B)

I Si ho aconseguim, A−1 = B

I Altrament, A no ´es invertible

(7)

5. Matrius, sistemes i determinants

5.2 Sistemes d’equacions lineals

20

Sistemes d’equacions lineals

Una equació lineal en les variables x1, . . . , xn és una expressió del

tipus

a1x1+ a2x2+· · · + anxn = b,

on a1, . . . , an, b pertanyen al cos d’escalars K

Una soluci´o ´es (s1, . . . , sn)∈ Kn tal que

a1s1+ a2s2+· · · + ansn = b

(Obs. Una equaci´o lineal pot tenir entre zero i infinites solucions)

21

Sistemes d’equacions lineals

Un sistema d’equacions lineals´es un conjunt d’equacions lineals (totes amb les mateixes variables x1, . . . , xn)

La forma gen`erica d’un sistema d’equacions lineals seria doncs:          a11x1+ a12x2+· · · + a1nxn = b1 a21x1+ a22x2+· · · + a2nxn = b2 .. . ... am1x1+ am2x2+· · · + amnxn = bm

Una solució del sistemaés una n-upla (s1, . . . , sn)∈ Kn que és

soluci´o de totes les equacions del sistema

Solucions d’un sistema

Direm que un sistema ´es

I incompatiblesi no t´e cap soluci´o

I compatible determinat si té una única solució

I compatible indeterminat si té més d’una solució

La soluci´o general d’un sistema ´es el conjunt de totes les seves solucions

(8)

Sistemes equivalents

Dos sistemes amb les mateixes equacions per`o ordenades de manera diferent s´on equivalents

I si en un sistema

I multipliquem una equaci´o per un escalar (no nul), o b´e

I a una equació li sumem un múltiple d’una altra el sistema resultant és equivalent al primer

24

Matriu associada a un sistema

Donat el sistema          a11x1+ a12x2+· · · + a1nxn = b1 a21x1+ a22x2+· · · + a2nxn = b2 .. . ... am1x1+ am2x2+· · · + amnxn = bm

la seva matriu associadai les matrius de variables i de termes independents s´on A =      a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n .. . ... . .. ... am1 am2 · · · amn      x =      x1 x2 .. . xn      b =      b1 b2 .. . bm     

Podem escriure el sistema com un producte de matrius: Ax = b

25

Matriu ampliada

La matriu ampliada ´es la matriu (A|b), ´es a dir,

(A|b) =      a11 a12 · · · a1n b1 a21 a22 · · · a2n b2 .. . ... . .. ... ... am1 am2 · · · amn bm     

Obs. Si es realitzen transformacions elementals a la matriu

ampliada d’un sistema, el sistema resultant és equivalent al primer Per tant, tot sistema d’equacions lineals és equivalent a un en què la matriu ampliada és escalonada

26

Sistemes escalonats compatibles

Un sistema escalonat gen`eric compatible seria          x1+ c12x2+ c13x3+· · · + c1rxr +· · · + c1nxn = d1 x2+ c23x3+· · · + c2rxr +· · · + c2nxn = d2 .. . ... xr +· · · + crnxn = dr

(si cal reordenem les variables) Les variables x1, . . . , xr les anomenarem principals i la resta les

anomenarem lliures

Podem resoldre el sistema a¨ıllant “cap amunt”

La variable principal xr la podem a¨ıllar en termes de les variables

lliures:

xr = dr − cr ,r +1xr +1− · · · − crnxn

Ara podem a¨ıllar xr−1 en termes de xr i de les variables lliures, etc

(9)

Soluci´o general d’un sistema escalonat

En un sistema escalonat podem expressar totes les variables principals en termes de les lliures (i de constants escalars):

x1 = f1+ e1,r +1xr +1+· · · + e1,nxn

x2 = f2+ e2,r +1xr +1+· · · + e2,nxn

..

. ...

xr = fr + er ,r +1xr +1+· · · + er ,nxn

Aquesta ´es la soluci´o general del sistema

Obs. Per a cada assignaci´o de valors que donem a les variables lliures xr +1, . . . , xn obtindrem una soluci´o particular del sistema

Diem que el sistema t´e n_{− r} graus de llibertat

28

Forma param`etrica de la soluci´o general

Si la soluci´o general d’un sistema ´es

x1 = f1+ e1,r +1xr +1+· · · + e1,nxn

x2 = f2+ e2,r +1xr +1+· · · + e2,nxn

..

. ...

xr = fr + er ,r +1xr +1+· · · + er ,nxn

anomenarem forma paramètrica de la solució a l’expressió             x1 x2 .. . xr xr +1 .. . xn             =             f1 f2 .. . fr 0 .. . 0             + xr +1             e1,r +1 e2,r +1 .. . er ,r +1 1 .. . 0             +_{· · · + x}n             e1,n e2,n .. . er ,n 0 .. . 1             29

Discussi´o de sistemes: el teorema de Rouch´e-Frobenius

Teorema

Considerem un sistema d’equacions lineals que t´e matriu associada A∈ Mm×n(K) i matriu ampliada (A|b)

Sigui r el rang d’A i sigui r0 el rang de (A_|b) Aleshores,

I si r < r0, el sistema ´es incompatible (SI)

I si r = r0= n, el sistema ´es compatible determinat (SCD)

I si r = r0< n, el sistema ´es compatible indeterminat (SCI) amb n_{− r graus de llibertat}

Anomenarem rang d’un sistema lineal compatible al rang de la matriu associada

Sistemes homogenis

Un sistema d’equacions lineals ´es homogeni si tots els termes independents s´on iguals a 0

Obs. Un sistema homogeni sempre ´es compatible (ja que tenim la soluci´o trivial x1 =· · · = xn = 0)

Corol.lari

Sigui A la matriu associada a un sistema homogeni en n variables; sigui r el rang d’A. Aleshores

I si r = n, el sistema és compatible determinat i l’única solució és la trivial

I si r < n, el sistema és compatible indeterminat i té alguna solució diferent de la trivial

(10)

Resoluci´o de sistemes: eliminaci´o gaussiana

Per trobar la soluci´o general d’un sistema d’equacions lineals qualsevol fem el seg¨uent:

1. Cerquem la matriu ampliada (A_|b)

2. Cerquem la matriu escalonada M equivalent a (A_|b)

3. Apliquem el teorema de Rouch´e-Frobenius per determinar si el sistema ´es compatible

4. Cas que el sistema sigui compatible, trobem la soluci´o general a partir del sistema equivalent amb matriu ampliada M

(11)

5. Matrius, sistemes i determinants

5.3 Determinants

33

Definici´o de determinant

Sigui A = (aij)∈ Mn(K). Un menor d’A´es qualsevol matriu

formada a partir d’A eliminant un cert nombre de files i el mateix nombre de columnes

El menor associat a l’element aij ´es la matriu Aij obtinguda en

eliminar la fila i i la columna j de la matriu A.

El menor Aij ´es una matriu quadrada de tipus (n− 1) × (n − 1)

El determinant d’A es defineix recursivament com

- si n = 1, aleshores det(A) = a11 - si n_{≥ 2, aleshores}

det(A) = a11det(A11)− a12det(A12) +· · · +

(₋₁₎1+ja1jdet(A1j) +· · · + (−1)n+1a1ndet(A1n)

L’adjunt de l’element aij ´es (−1)i+jdet(Aij)

34

C`alcul de determinants

(Enlloc de det(A), a vegades escriurem _|A|)

I Matrius 2_{× 2 i 3 × 3:} a bc d = a det((d)) − b det((c)) = ad − bc a b c d e f g h i = a e fh i − b d fg i + c dg he

= a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg) = aei + cdh + bfg− ceg − afh − bdi

I Es demostren per inducci´o:

Si A t´e una fila o una columna nul.la llavors det(A) = 0 Si A = Diag (a , a , . . . , a ), llavors det(A) = a a . . . a

Teorema Siguin A_{∈ M}n(K) i i, j ∈ [n]. Aleshores det(A) = n X k=1 aik(−1)i+kdet(Aik)

(C`alcul del determinant desenvolupant per la fila i)

det(A) =

n

X

k=1

akj(−1)k+j det(Akj)

(12)

Determinants i transformacions elementals

Siguin A, B ∈ Mn(K). Si B ´es la matriu que s’obt´e d’A

I intercanviant dues files, aleshores det(B) =_{− det(A)} (transformaci´o tipus (I))

I multiplicant la fila i-`esima d’A per λ, aleshores det(B) = λ det(A) (transformaci´o tipus (II))

I sumant-li a una fila un m´ultiple d’una altra, aleshores det(B) = det(A) (transformaci´o tipus (III))

Corol.lari

Si M s’obt´e a partir d’A fent transformacions elementals, det(M) = K det(A), on K _{6= 0} Per tant, si A i M s´on matrius equivalents aleshores,

det(A) _{6= 0 ⇔ det(M) 6= 0}

37

Caracteritzaci´o de matrius invertibles

Teorema

Una matriu A_{∈ M}n(K) ´es invertible si i nom´es si det(A) 6= 0

Corol.lari

Una matriu A_{∈ M}n(K) t´e rang n si i nom´es si det(A) 6= 0

Teorema

Sigui A_{∈ M}m×n(K). El rang d’A és r si i només si el més gran

menor d’A amb determinant no nul ´es r _{× r}

38

Determinants i operacions amb matrius

Si A, B ∈ Mn(K), aleshores

I det(AB) = det(A) det(B)

I det(At) = det(A)

I si A ´es invertible, det(A−1) = det(A)−1 Per`o en general, det(A + B)_{6= det(A) + det(B)}

(13)

6. Espais vectorials

40

6.1 R

n

i les seves operacions

Rn ₌_{      x1 x2 .. . xn     : xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n} Siguin x =      x1 x2 .. . xn     i y =      y1 y2 .. . yn     elements de R n _{i λ}_{∈ R} Suma aRn: x + y =      x1+ y1 x2+ y2 .. . xn+ yn     

Producte per escalars a Rn:

λx =      λx1 λx2 .. . λxn     

(´Es a dir, les dues operacions s´on “component a component”) ₄₁

Propietats

La suma a Rn satisf`a les propietats seg¨uents, per a tot u, v , w _{∈ R}n:

s1) (associativa) u + (v + w ) = (u + v ) + w

s2) (commutativa) u + v = v + u

s3) (element neutre) u + 0 = u on 0 = (0 0 . . . 0)t

s4) (element oposats) per tot u existeix u0 tal que u + u0= 0 El producte per escalars a Rn satisf`a les propietats seg¨uents, per a tot u, v ∈ Rn _{i λ, µ}_{∈ R:}

p1) λ(µu) = (λµ)u

p2) λ(u + v ) = λu + λv

p3) (λ + µ)u = λu + µu

p4) 1u = u

(Totes les propietats són certes perquè ho són a R i les operacions

6.2 Espais vectorials

Un espai vectorial sobre un cos _K consisteix en

1. un conjunt no buit E

2. una operaci´o interna E × E → E (suma +) i

3. una aplicaci´o _{K × E → E (producte per escalars ·)} de manera que per a tot u, v , w ∈ E i tot λ, µ ∈ K es satisf`a:

e1) (associativa) u + (v + w ) = (u + v ) + w

e2) (commutativa) u + v = v + u

e3) (element neutre) existeix un ´unic element 0E ∈ E tal que

u + 0E = u

e4) (element oposat) per cada u_{∈ E existeix un ´unic u}0 _{∈ E tal} que u + u0 = 0E

e5) λ(µu) = (λµ)u

e6) λ(u + v ) = λu + λv

(14)

Alguns exemples d’espais vectorials

I _Rn

I _Zn

2: cadenes de n bits

La suma ´es bit a bit: p. ex.,     0 1 1 0     +     1 1 1 0     =     1 0 0 0    

Producte per escalars: 0u = 0_Zn

2 i 1u = u

I _M_m_×n(K) (les matrius m × n amb entrades en el cos K)

I Les matrius de _Mn(R) que s´on triangulars superiors

I P(R): conjunt dels polinomis amb coeficients a R i variable x

I Pd(R): els polinomis de grau com a molt d amb coeficients a

R i variable x

I L’espai vectorial trivial format per un ´unic element: _{0E}

I Les solucions d’un sistema d’equacions lineals homogeni

44

Anomenem vectors als elements d’un espai vectorial i escalars als elements del cos

Propietats

Si v pertany a l’espai vectorial E i λ ´es un escalar, es satisf`a:

I 0v = 0E

I λ 0E = 0E

I Si λ v = 0E, aleshores λ = 0 o v = 0E

I L’element oposat de v ´es (_{−1)v; normalment escriurem −v}

45

6.3 Subespais vectorials i combinacions lineals

Un subconjunt S ⊆ E ´es un subespai vectorial (SEV) si compleix

(s1) S 6= ∅

(s2) per tot u, v ∈ S, u + v ∈ S

(s3) per tot u_{∈ S i tot λ ∈ K, λu ∈ S}

El vector 0E pertany a tots els subespais vectorials

Alguns exemples de subespais espais vectorials

I Pd(R) ´es un subespai vectorial de l’espai de polinomis P(R)

I Les matrius triangulars superiors de Mn(R) formen un SEV

de _Mn(R)

I Les solucions d’un sistema d’equacions lineals homogeni amb n variables i coeficients a K ´es un SEV de Kn

46

Intersecci´o de subespais

Lema Si S i S0 són subespais vectorials d’E , aleshores S_{∩ S}0 també ho és

La unió de subespais vectorials no és normalment un subespai vectorial, com és el cas per exemple de

S = _{ x x : x _{∈ R} i S}0=_{ x −x : x _{∈ R}, on} 1 1 + 2 −2 6∈ S∪S0

Combinaci´o lineal

Donats u1, . . . , uk vectors d’E , una combinaci´o lineal de

u1, . . . , uk ´es una expressi´o del tipus

λ1u1+· · · + λkuk,

on λ1, . . . , λk s´on escalars

El vector v ´es combinaci´o lineal de u1, . . . , uk si existeixen

escalars α1, . . . , αk tals que

v = α1u1+· · · + αkuk

(15)

Subespai generat

Siguin u1, . . . , uk vectors d’E . Elsubespai generat per u1, . . . , uk

´es el conjunt

hu1, . . . , uki = {λ1u1+ λ2u2+· · · + λkuk : λ1, . . . , λk ∈ K},

´es a dir, el conjunt de totes les combinacions lineals de u1, . . . , uk

Proposici´o

El subespai generat _hu1, . . . , uki ´es, com el seu nom indica, un

subespai vectorial. A més, és el subespai més petit que conté u1, . . . , uk

Si un espai S el podem escriure com S = hu1, . . . , u`i, direm que

{u1, . . . , u`} ´es un conjunt de generadorsde S. El conjunt de

generadors d’un espai no ´es ´unic

Observem que v és combinació lineal de u1, . . . , uk si i només si

v _{∈ hu}1, . . . , uki

48

Exemples de subespais generats

I _Rn ₌_h      1 0 .. . 0     ,      0 1 .. . 0     , . . . ,      0 0 .. . 1     i

I L’espai de les matrius _Mm×n(R) est`a generat per les matrius

Mij que tenen totes les entrades iguals a 0, excepte la de la

posici´o i, j, que ´es igual a 1, 1_{≤ i ≤ n i 1 ≤ j ≤ m} Per exemple, _M2(R) = hM11, M12, M21, M22i, on M11= 1 0 0 0 , M12 = 0 1 0 0 , M21= 0 0 1 0 , M22 = 0 0 0 1 I Pd(R) = h1, x, . . . , xdi

(Aquests exemples es poden generalitzar per a qualsevol cos K)

49

I Si volgu´essim generar les matrius triangulars superiors, agafar´ıem de les matrius Mij anteriors nom´es les que tenen

i _{≤ j}

I Subespai donant els vectors en funci´o de par`ametres {a + (b − a)x + (c − b)x2_{+ (a}_{− c)x}3 _{: a, b, c} _{∈ R}} =_{{a(1 − x + x}3) + b(x _{− x}2) + c(x2_{− x}3) : a, b, c _{∈ R}} =_{h1 − x + x}3, x_{− x}2, x2_{− x}3_i

6.4 Independ`encia lineal

Siguin u1, . . . , uk ∈ E . L’equaci´o λ1u1+ λ2u2+· · · + λkuk = 0E

sempre t´e la soluci´o λ1 =· · · = λk = 0.

Si aquesta és l’única solució direm que els vectors u1, . . . , uk són

linealment independents (LI)

Si hi ha alguna soluci´o amb un λi 6= 0, direm que els vectors s´on

linealment dependents (LD)

(Tamb´e direm que el conjunt _{u1, . . . , uk} ´es LI o LD, resp.)

Exemples:

I El vector 0E ´es linealment dependent

(16)

Per determinar si un conjunt de vectors u1, u2, . . . , uk de Rn s´on

linealment independents seguim els passos seg¨uents:

(1) formem una matriu A amb els vectors donats, posant-los per columnes

(2) calculem el rang r d’A

(3) I _{si r = k, aleshores els k vectors s´on LI}

I si r < k, aleshores són LD; si hem calculat el rang escalonant la matriu A, aleshores els vectors que corresponen a les columnes on hi ha els uns dominants són un subconjunt LI el més gran possible; si hem calculat el rang per menors, els vectors que corresponent a les columnes del menor d’A més gran amb determinant no nul són un subconjunt LI el més gran possible

52

En general, per determinar si un conjunt de vectors u1, u2, . . . , uk

d’un K-espai vectorial E s´on linealment independents seguim els passos seg¨uents:

(1) a partir de l’equaci´o vectorial

λ1u1+ λ2u2+· · · + λkuk = 0E

obtenim un sistema homogeni amb inc`ognites λ1, λ2, . . . , λk (2) discutim el sistema, si ´es

I _{compatible determinat els vectors u}₁_{, u}₂_{, . . . , u}_k _{s´on LI} I compatible indeterminat els vectors u1, u2, . . . , uk s´on LD

53

Propietats

Sigui S =_{u1, . . . , uk} un conjunt de vectors d’un K-espai

vectorial E

I Si 0E ´es a S, llavors u1, . . . , uk s´on LD

I Si u1, . . . , uk s´on LI, llavors 0E no ´es a S

I Si u1, . . . , uk s´on LI, tot subconjunt de S ´es LI

I Si u1, . . . , uk són LD, tot conjunt que conté S és LD

Teorema

Si u1, . . . , uk són LD i u1 és combinació lineal dels altres vectors de

S, aleshores

hu1, u2, . . . , uki = hu2, . . . , uki

54

Caracteritzacions

Teorema

Un conjunt de vectors S és LD si, i només si, hi ha un vector v a S que és combinació lineal de la resta de vectors de S

Corol.lari

Sigui v _{∈ E . Si u}1, . . . , uk s´on LI, aleshores

v , u1, . . . , uk s´on LI si, i nom´es si, v 6∈ hu1, . . . , uki

(17)

6.5 Bases i dimensi´o

Sigui E un K-espai vectorial. Un conjunt de vectors B ={b1, b2, . . . , bn} ´es una base d’E si

(b1) B ´es linealment independent

(b2) E =hb1, b2, . . . , bni, ´es a dir, b1, b2, . . . , bn generen E

La base can`onica

I de Kn ´es _{      1 0 .. . 0     ,      0 1 .. . 0     , . . . ,      0 0 .. . 1     }

I de _M_m×n(_{K) ´es la formada per les mn matrius M}ij que tenen

totes les entrades nul.les excepte la i, j, que ´es igual a 1

I de Pd(K) ´es {1, x, x2, . . . , xd}

(també a _{xd, xd−1, . . . , 1_{} li direm base canònica, caldrà} especificar quina usem)

56

Sigui B =_{b1, . . . , bn} una base d’E

Proposici´o

Tot vector d’E s’escriu de manera ´unica com a combinaci´o lineal dels vectors de B

Sigui v ∈ E . Si v = α1b1+· · · + αnbn, diem que

vB=    α1 .. . αn   

´es el vector de coordenades de v en la base B

Proposici´o

Sigui _{u1, . . . , uk} un conjunt de vectors d’E que s´on LI. Aleshores

k _{≤ n}

Corol.lari

Tota base d’E t´e n elements

57

Dimensi´o

Al cardinal de les bases d’un espai vectorial E (o d’un SEV) l’anomenem la dimensi´o de l’espai, denotada dim(E)

Les dimensions dels espais amb els que treballem habitualment s´on: dim(Kn) = n, dim(_Mm×n(K)) = nm, i dim(Pd(K)) = d + 1

La dimensi´o del subespai _{0E} ´es 0

Suposem que la dimensi´o d’E ´es n i sigui W = _{w1, . . . , wn} un

subconjunt d’E

I si W ´es un conjunt LI, aleshores W ´es una base d’E

I si W genera E , aleshores W ´es una base d’E Si S ´es un subespai d’E aleshores

I dim(S)_{≤ dim(E )}

I si dim(S) = dim(E ), S = E

Canvi de base

Siguin B ={b1,· · · , bn} i B0={b10,· · · , b

0

n} dues bases d’un

K-espai vectorial E. Sigui u un vector d’E

Veiem com es relacionen els vectors de coordenades uB i uB0

Anomenem matriu del canvi de la base B a la base B0 a la matriu que t´e per columnes els vectors de coordenades

(b1)B0, . . . , (b_n)_B0. La denotem per PB_B₀ P_BB0 =     .. . ... ... (b1)B0 (b2)B0 . . . (bn)B0 .. . ... ...     Aleshores

I uB0 = P_BB0uB, expressant els vectors de coordenades en

columna

(18)

7. Aplicacions Lineals

61

7.1 Definicions, exemples i propietats

Siguin E i F dos K-espais vectorials. Una aplicaci´o f : E → F ´es

lineal si satisf`a:

(a1) per tot u, v ∈ E , f (u + v) = f (u) + f (v)

(a2) per tot u∈ E i tot λ ∈ K, f (λu) = λf (u) Si E = F , direm que f ´es un endomorfisme

Exemples

I Aplicaci´o trivial. f : E _{→ F on f (u) = 0}F, u ∈ E , ´es lineal

I Aplicaci´o identitat. IE : E → E on IE(u) = u, u∈ E , ´es lineal

I Sigui A_{∈ M}_m×n(_K).

L’aplicaci´o f :Kn → Km _{on f (v ) = Av , v} _{∈ K}n_{, ´es lineal}

I L’aplicació següent no és lineal f :M2×2(R) → P2(R), f a b c d = x2−(a+d)x+(2c−b) I L’aplicació f :R2_{→ R}2, f x y = x2y2 x + y no és lineal 62

Propietats

Sigui f : E → F una aplicaci´o lineal. Aleshores

I f (0E) = 0F

I f (Pλivi) =Pλif (vi), per a tot u ∈ E

I si S ´es un subespai d’E , f (S) ´es un subespai d’F

I si S0 ´es un subespai d’F , f−1(S0) ´es un subespai d’E

Proposici´o

Sigui B =_{b1, . . . , bn} una base d’E . Aleshores f est`a

un´ıvocament determinada per f (b1), . . . , f (bn)

´

Es a dir, a partir de la imatge d’una base podem obtenir la imatge de qualsevol vector d’E :

si u = α1b1+· · · + αnbn, aleshores f (u) = α1f (b1) +· · · + αnf (bn)

Corol.lari

Si S =_hv1, . . . , vki ´es un subespai d’E , aleshores

f (S) =_{hf (v}1), . . . , f (vk)i

63

Siguin B =_{b1, . . . , bn} una base d’E , W una base de F i m la

dimensi´o de F

La matriu associada a f en les bases B i W ´es una matriu de Mm×n(K) que t´e per columnes les coordenades en la base W de

les imatges dels vectors de la base B. La denotem per MB W(f) M_WB (f ) =     .. . ... ... f (b1)W f (b2)W . . . f (bn)W .. . ... ...     ∈ Mm×n(K)

Per trobar el vector de coordenades de la imatge d’un vector u _{∈ E} n’hi ha prou en fer el producte matricial seg¨uent

f (u)W = MWB (f )uB.

(19)

7.2 Caracteritzaci´o del tipus d’aplicaci´o

Una aplicaci´o lineal bijectiva l’anomenem isomorfisme

Caracteritzaci´o del tipus d’aplicaci´o

Sigui f : E _{→ F una aplicaci´o lineal i M una matriu associada a f} fixades una base de E i una de F .

I f ´es injectiva ⇔ rang(M) = dim(E )

I f ´es exhaustiva ⇔ rang(M) = dim(F )

I f ´es un isomorfisme ⇔ rang(M) = dim(E ) = dim(F )

I Si E i F tenen la mateixa dimensi´o, llavors

f és un isomorfisme _{⇔ f és injectiva ⇔ f és exhaustiva}

65

7.3 Composici´o d’aplicacions lineals

Siguin E , F i G espais vectorials i B, W i V bases d’aquests espais, respectivament.

Proposici´o

Si f : E → F i g : F → G són aplicacions lineals, l’aplicació composició g ◦ f : E → G també és lineal i

M_VB(g _{◦ f ) = M}_VW(g )M_WB (f )

Proposici´o

Si f : E → F ´es un isomorfisme, l’aplicaci´o inversa f−1_{: F} _{→ E}

tamb´e ´es lineal i

M_BW(f−1) = (M_WB(f ))−1

66

7.4 Canvi de base

Veiem com es relacionen dues matrius associades a una mateixa aplicaci´o lineal fixant bases diferents a l’espai de sortida i/o a l’espai d’arribada.

Siguin f : E _{→ F una aplicaci´o lineal, B i B}0 bases d’E , i W i W0 bases d’F EB −−−−→f MB W(f) FW IE x  P_BB0 P_{W 0}W   yIF EB0 −−−−−→f MB0 W 0(f) FW0 f = IF ◦f ◦ IE M_WB00(f) = P_WW0 M_WB(f) PB 0 B

(20)

8. Diagonalitzaci´o

70

El problema de la diagonalitzaci´o

Sigui f : E _{→ E un endomorfisme. Hi ha alguna base B d’E en} qu`e la matriu MB(f ) sigui senzilla? M´es concretament, diagonal?

Def

Un endomorfisme f : E _{→ E ´es} diagonalitzable si existeix alguna base B d’E tal que MB(f ) sigui diagonal.

Obs. Suposem que la matriu MB(f ) no ´es diagonal, per`o sabem

que l’endomorfisme f diagonalitza en una altra base B0. Aleshores la matriu

(P_BB0)−1MB(f )PBB0

´es diagonal.

Per tant, ser diagonalitzable ´es equivalent a que existeixi una matriu P invertible tal que P−1MB(f )P sigui diagonal.

71

Valors i vectors propis

Def

L’escalar λ ´es un valor propi de l’endomorfisme f si existeix algun vector v _{6= 0}E tal que f (v ) = λv .

Tots els vectors v _{6= 0}E que compleixen f (v ) = λv s’anomenen

vectors propis de valor propi λ.

Teorema

L’endomorfisme f : E → E diagonalitza si i nom´es si hi ha alguna base d’E formada per vectors propis.

72

C`alcul dels valors propis

Sigui M la matriu associada a f : E _{→ E en una base B}

Def

El polinomi caracter´ıstic de l’endomorfisme f ´es pf(x) = det(M− xIn)

Teorema

Els valors propis d’f s´on les arrels del polinomi caracter´ıstic La multiplicitat algebraica d’un valor propi λ ´es la multiplicitat de λ com a arrel de pf(x) i es denota mλ

L’equaci´o pf(x) = 0 s’anomena equaci´o caracter´ıstica

Teorema

El polinomi caracter´ıstic no dep`en de la base en la que calculem la matriu associada M

(21)

Espais de vectors propis

Sigui ara λ un valor propi de l’endomorfisme f : E _{→ E} L’espai propi del valor propi λ ´es el conjunt

Eλ ={u ∈ E : f (u) − λu = 0E}

Propietats

I Eλ ´es un subespai vectorial d’E

I 1_{≤ dim(E}λ)≤ mλ

La dimensi´o d’Eλ s’anomena multiplicitat geom`etrica de λ

74

Caracteritzaci´o dels endomorfismes diagonalitzables

Sigui f : E _{→ E un endomorfisme d’un espai vectorial E de} dimensi´o n.

Teorema

L’endomorfisme f és diagonalitzable si i només si té n valors propis (comptant multiplicitats) i per a cada valor propi les multiplicitats algebraica i geomètrica coincideixen.

Corol.lari

Si f t´e n valors propis diferents, aleshores ´es diagonalitzable.

75