Cap 1 Lógica y Conjuntos

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(1)

Lógica y Conjuntos

Lógica y Conjuntos

1.1 Proposiciones 1.1 Proposiciones

1.

1. Identifique cuales de los siguientes enunciados son proposiciones y en caso de noIdentifique cuales de los siguientes enunciados son proposiciones y en caso de no serlo justifique su respuesta.

serlo justifique su respuesta. a.

a. El lunes es un día aburrido.El lunes es un día aburrido. b.

b. 659659 es un número par.es un número par.

c.

c. 22 77 66 00

 x

 x − − xx+ + == ..

d.

d. ¡Feliz Cumpleaños!¡Feliz Cumpleaños! e.

e. ¿Estás cansado?¿Estás cansado? f.

f. Los racionamientos de energía continúan.Los racionamientos de energía continúan. g.

g. ElEl 00 es un número natural. es un número natural.

h.

h. La caída del Sol me La caída del Sol me inspira.inspira. i.

i. El día de la Madre es el segundo domingo del mes de Mayo.El día de la Madre es el segundo domingo del mes de Mayo.  j.

 j. Los días de Enero son grises.Los días de Enero son grises. k.

k. Las ventas de automóviles han aumentado.Las ventas de automóviles han aumentado. l.

l. Espera aquí un momento.Espera aquí un momento.

2.

2. Escriba 5 enunciados que no sean Escriba 5 enunciados que no sean proposiciones y justifique su respuesta.proposiciones y justifique su respuesta.

1.2 Operadores Lógicos 1.2 Operadores Lógicos

3.

3. Determine el valor de verdad de las siguientes proposicionesDetermine el valor de verdad de las siguientes proposiciones a)

a) No es verdad que Cuenca es la capital de Azuay.No es verdad que Cuenca es la capital de Azuay. b)

b) 33 7

+

+ =

7

=

44 o o 44 22 2 2

=

=

..

c)

c) Tres es divisible porTres es divisible por 22 puesto que puesto que 55 es impar. es impar.

d)

(2)

4.

4. Dadas las siguientes proposiciones:Dadas las siguientes proposiciones: a: La Asamblea aprueba la ley. a: La Asamblea aprueba la ley. b: El pueblo se opone.

b: El pueblo se opone.

c: El oficialismo tiene la mayoría de los

c: El oficialismo tiene la mayoría de los votos.votos. d: La ley se debate.

d: La ley se debate.

e: La ley beneficia al pueblo. e: La ley beneficia al pueblo.

Traduzca literalmente las siguientes proposiciones Traduzca literalmente las siguientes proposiciones

[

[

dd

∨ ¬

∨ ¬ →

cc

] [

]

→ ¬ ∧

[

¬ ∧ ¬

bb a

¬

a

]]

[ [

c c a

∨¬

¬ ↔

a

]]

↔ ¬

¬ ∧

( (

d d ee

))

(

(

e e d

∧ →

)

d

)

→ ∨

c c

∨ ¬

(

(

¬ ∧

b ab

a

))

⎤⎤

⎦⎦

5.

5. Defina simbólicamente las proposiciones e indique la traducción al Defina simbólicamente las proposiciones e indique la traducción al lenguaje formal.lenguaje formal. a)

a) No estudio toda la noche No estudio toda la noche y asisto al concierto.y asisto al concierto.

b)

b) No es verdad que estudio toda la noche y asisto al concierto.No es verdad que estudio toda la noche y asisto al concierto.

c)

c) Ni fumar ni beber es bueno para la saludNi fumar ni beber es bueno para la salud

d)

d) Si tu vehículo no tiene aire acondicionado no tendrás amigos.Si tu vehículo no tiene aire acondicionado no tendrás amigos.

e)

e) Si el uso del internet aumenta, más personas se harán adictas a este y lasSi el uso del internet aumenta, más personas se harán adictas a este y las relaciones interpersonales se deteriorarán.

(3)

f) Barcelona será campeón en la presente temporada siempre que la dirigencia haga buenas contrataciones y los jugadores hagan un buen papel.

g) Tomo las medicinas pero no guardo reposo ya que tengo mucho trabajo por hacer.

h) Me voy al cine o voy al partido de futbol, pero no me quedaré toda la tarde en casa.

i) Un triángulo es equiángulo si y solo si es equilátero.

 j) Podré asistir a la cita solo si cancelo todas mis actividades pendientes.

6. Escriba en lenguaje común y formal la recíproca, la inversa y la contrarrecíproca de la proposición “Los aranceles se aprueban puesto que los artesanos ecuatorianos ofrecen productos de calidad”.

Recíproca:

Inversa:

Contrarrecíproca:

7. Escriba en lenguaje común y formal la recíproca, la inversa y la contrarrecíproca de la proposición “Siempre que juego fútbol, me divierto con mis amigos”.

(4)

Inversa:

Contrarrecíproca:

8. Si la proposición “Las ventas se incrementan siempre que se optimicen los procesos logísticos de la empresa” es verdadera entonces es falso que:

a) Si se optimizan los procesos logísticos de la empresa, entonces se incrementan las ventas.

b) Cuando se optimicen los procesos logísticos de la empresa, las ventas se incrementarán.

c) El incremento de las ventas es condición necesaria para la optimización de los procesos logísticos.

d) La optimización de los procesos logísticos de la empresa es necesario para el incremento de las ventas.

e) Para el incremento de las ventas es suficiente que se optimicen los procesos logísticos.

9. La contrarrecíproca de la expresión: “Si no entiendo las clases, no estoy preparado  para el examen” es:

a) No estoy preparado para el examen sólo si no entiendo las clases. b) No entiendo las clases cuando estoy preparado para el examen. c) Entiendo las clases siempre que estoy preparado para el examen. d) Estoy preparado para el examen si entiendo las clases.

e) No entiendo las clases debido a que no estoy preparado para el examen.

10.Si la proposición “Terminaremos pronto el trabajo solo si trabajas eficientemente” es verdadera, entonces la condición necesaria de la proposición es:

a) Terminaremos pronto el trabajo. b) No terminaremos pronto el trabajo.

c) Terminamos pronto o trabajas eficientemente. d) Trabajas eficientemente.

(5)

11.La condición suficiente de la proposición “84  es múltiplo de 2  puesto que es divisible para 4”

a) 84 es múltiplo de 2.

b) 84 es divisible para 4 o es múltiplo de 2. c) 84 es divisible para 4.

d) 84 no es divisible para 4.

e) 84 es múltiplo de 2 y es divisible para 4.

1.3 Proposiciones simples y compuestas

12.Sean las proposiciones simples:

:

a  Me voy :

b  Me quieres

Escriba la traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta:  “Es suficiente que me vaya para que me quieras”

13.Determine el valor de verdad de las proposiciones simples  p, q y r  para que el valor de verdad de la proposición compuesta

(

 p

→ ∧ → →

)

q r

(

r

)

q  sea falso.

14.Si la proposición ⎡

(

 p ∧ ¬ → ∨q

) ( )

r q ⎤ es falsa, entonces una de las siguientes

proposiciones es falsa. Identifíquela.

a) ⎡

(

 p → ∧ ∧ ¬ ≡q

) (

r q

)

0 b) ⎡

( ) (

q r ∧ ∨ ¬ ∨ p q

)

≡ 0 c) ⎡

(

r q r p→ ∧ →

) (

)

≡ 0 d) ⎡

(

¬ → ∧ ¬ → ¬ r p

)

(

r q

)

≡1 e) ⎡

( ) (

 p r ∨ ∨ → ¬ ≡q r 

)

1

(6)

15.Sean las proposiciones simples

a: Hoy tengo que rendir una prueba b: He estudiado con responsabilidad c: Obtendré buenos resultados

La traducción al lenguaje lógico de la proposición: “Hoy tengo que rendir una prueba y obtendré buenos resultados, puesto que he estudiado con responsabilidad” es: a)

(

a c

∧ →

)

b b) a

→ ∨

(

b c

)

c)

¬ ∧ ∨

b

(

a c

)

d)

¬ ∨ ∧

b

(

a c

)

e) b

→ →

(

a c

)

16.Si la proposición

(

a

→ ¬ ∨ ¬ →

b

) (

c d  

)

es FALSA identifique la proposición VERDADERA: a) b c∧ b) a b∧ c) b →d  d) ¬a e) a → d 

17.Si la proposición compuesta

(

¬ ∧ ∧ → ¬ ∨a b

)

b

(

c d  

)

 es verdadera, los valores de

verdad de , , ,a b c d   son respectivamente:

a) 0, 1, 0, 0

b) 0, 0, 1, 0

c) 1, 0, 1, 0

d) 1, 0, 0, 1

(7)

18.Sean las proposiciones simples:  p: Uribe miente.

q: Correa miente. r : Hay conflicto.

s: Las FARC entregan a los rehenes.

La traducción de la proposición compuesta “Si Uribe y Correan mienten, entonces hay conflicto. Las FARC no entregan a los rehenes, debido a que hay conflicto”, es:

a) ⎡

(

 p q ∧ → ∧ ¬ →

)

r ⎤

(

s r 

)

b) ⎡

(

¬ ∧ ¬ → ∧ ¬ → p q

)

r ⎤

(

r s

)

c) ⎡

(

 p q ∧ → ∧ → ¬

)

r ⎤

(

r s

)

d) ⎡

( )

 p q ∧ → ∧ ∨r ⎤

( )

r s

e) ⎡

(

 p → ∧ → ∧ ¬ ∨r

) (

q r

) (

r s

)

19.Si la proposición ⎡

(

a b d ∧ ¬ → ∨ ¬ ∨

)

(

d e

)

 es FALSA, entonces es VERDAD que:

a) b a∨  es falsa.

b) a →d  es falsa.

c) ¬ ∨ ¬d e es falsa.

d) d a∨  es falsa.

e) e

a es falsa.

20.Dadas las proposiciones simples:

a: Jennifer suspende su viaje a Quito.

b: Jennifer no toma medidas de prevención de riesgos. c: Se presenta un fuerte invierno.

Entonces una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta “Jennifer suspende su viaje a Quito y toma medidas de prevención de riesgos, ya que se presenta un fuerte invierno”, es:

a)

(

a

∧ ¬ →

b

)

c b) a ∧ ¬ ∧b c

c) c

→ ∧ ¬

(

a b

)

d)

(

a b

∧ →

)

c e) c

→ ∧

(

a b

)

(8)

21.Sean las proposiciones simples: a: Carlos estudia lógica.

b: Carlos realiza los talleres. c: Carlos es responsable.

La traducción a lenguaje formal del enunciado “Carlos estudia lógica porque realiza los talleres y es responsable” es:

a) a → ∧(b c) b)

(

b c

∧ →

)

a c) a

→ ∨

(

b c

)

d)

(

b c

∨ →

)

a e)

(

a c

∧ → ¬

)

b

22.Si a, b y c  son proposiciones atómicas tales que: a: apruebo matemáticas

b: ingreso a la universidad c : no apruebo física

Entonces la traducción al lenguaje formal de la proposición molecular: “No ingreso a la universidad y apruebo física, siempre que no apruebe matemáticas” es:

a)

(

¬ ∧ ¬ → ¬

b c

)

a b)

(

¬ ∧ → ¬

b c

)

a c)

¬ → ¬ ∧

a

(

b c

)

d)

¬ → ¬ ∧ ¬

a

(

b c

)

e)

(

¬ → ¬ ∧ ¬

a b

)

c 1.8 Conjuntos

23.Si se define el conjunto  A

=

{

a b c d e, , ,

{ }

, ,

}

determine el valor de verdad de las

siguientes proposiciones. a) a ∈A b) d ∈A c)

{ }

d

A d)

{ }

d e ,

A e) ∅ ∈ A

(9)

24.Determine la cardinalidad del conjunto dado en el ejercicio anterior. 25.Represente los siguientes conjuntos por extensión

{

/ es vocal de la palabra murciélago

}

 A

=

x x

{

/ es un número par entre 15 y 21

}

 B

=

x x

{

/ es un mamífero marino

}

C

=

x x

{

/ es un número primo par mayor a 2

}

 D

=

x x

{

/ es un reptil que vive en Saturno

}

 E

=

x x

1.9 Cuantificadores

26.Dado el referencial Re

=

{

0, 1, 2, 3, 4, 5

}

. Identifique la proposición verdadera. a)

 x x

(

+ =

6 0

)

b)

 x x

(

+ ≤

1 5

)

c)

 x x

(

+ =

1 0

)

d)

 x x

(

+ >

1 2

)

e)

 x x

(

− =

1 0

)

27.Si  A =

{

a, %

{ }

}

, entonces es FALSO que: a)  A P A∈ ( )

b) φ  ⊆ P A( )

c) φ  ∈P A( )

d)

{

{ }

%

}

⊆ P A( )

(10)

28.Determine el conjunto potencia de los siguientes conjuntos

{

, , ,

}

 A

=

 ○

 B

=

{ }

φ χ ,

 =

{

1,2,

}

29.Sean los conjuntos  A

=

{

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

}

,  B

 =

{

2,4,6,8

}

, C 

 =

{

1,3,5,7,9,11

}

,

{

/ es un número par entre 1 y 9

}

 D

=

x x . Determine el valor de verdad de las

siguientes proposiciones. Justifique su respuesta.

a)  N A

( ) ( )

=

N B . b)  N B

( ) ( )

=

N C  . c)  B C ≠ . d) C

A . e)  B

A . f)  B D

=

. g)  D

A . h)  D

B . i) C

B .  j)  D

B .

(11)

30.Para el conjunto S 

 =

{

@,$, ?,¡

{ }

}

. Determine el valor de verdad de las siguientes

proposiciones, justifique su respuesta.

a)  N S 

( )

=

4 . b)  N P S 

(

( )

)

=

8 . c)  N P P S 

(

(

( )

)

)

=

64 . d) @

P S 

( )

. e)

{ }

{ }

$

P S 

( )

. f)

{ }

{ }

?,¡

S  . g)

{

{ }

{ }

?,¡

}

P P S 

(

( )

)

. h)

{

{

{

@,$

}

}

}

P P P S  

(

(

( )

)

)

. i)

∅ ⊆

S  .  j)

∅ ⊆

P S 

( )

.

31.Identifique la proposición VERDADERA:

a) Si  A

=

{ }

φ  , entonces  A P A

( )

A. b) Si A

=

{

φ φ ,

{ }

}

, entonces  N P A

(

( )

)

=

2.

c) Si  A

By  A C 

, entonces  A

(

B C 

)

. d)  A B

− =

{

x x B /

∈ ∧ ¬ ∈

x A

}

(12)

1.10 Operaciones entre Conjuntos

32.Determine los conjuntos  A,  B y C  si se conoce que Re

 =

{

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

}

{

1, 2, 3, 4 ;

}

{ }

1, 2, 7 ;

{ }

8, 9 ;

(

) { }

c 5, 6

 A ∩ = B A C − = B C A − − = A ∪ ∪ =B C 

( ) ( )

6

 N A

=

N B

= .

Para los ejercicios 33 y 34 utilice los siguientes datos:

{

}

Re

=

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ;  A B

∩ =

{ }

1, 6 ;  A C  –

 =

{

2,3,6

}

(

 B C  –

)

– A

=

{ }

4,5 ;

(

 A B C 

∪ ∪

)

=

10; C

(

A B

) { }

=

7,8,9

33.Determine los conjuntos  A,  B y C 

34.Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones justificando su respuesta:

a)  A B C 

∩ ∩ =

{ }

1,9

b) C A

− =

{

7,8,9

}

c) C B

− =

{

1,7,8

}

(13)

35.Si  A,  B y C   son subconjuntos no vacíos del conjunto

{

}

Re

=

α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ  , , , , , , , , , , que satisfacen las siguientes condiciones:

(

 A B C 

∪ ∪

) { }

=

κ η ,  A B

=

{

α γ ,

}

 B C 

− =

{

ε ϕ ι , ,

}

 A B

∩ =

{ }

ε ϕ ,

(

)

C

∩ ∪ = ∅

A B

Determine el conjunto C .

36.Sea el Re

=

{

1,2,3,4,5,6,7,8,9

}

y los conjuntos  A,  B, y C  no vacíos que cumplen

las siguientes condiciones:

C

B;  A y C   son disjuntos;  B C 

− =

{

3,5,7,8

}

;

( ) {

 A B

∩ ∪ =

C  3,4,8,9

}

y

(

 A ∪ ∪ B C 

) {

c = 6

}

 determine el conjunto  A.

37.La región sombreada del gráfico adjunto representa el conjunto:

a) C

(

A B

)

b)

(

C

A

)

B c)

(

 A C

)

B d)

(

C

B

)

A e)

(

 B C

)

A  A  B C   Re

(14)

38.Si  A,  B, C  y  D  son conjuntos no vacíos, entonces la región sombreada del gráfico adjunto corresponde a:

a)

(

)

(

c

)

 A B

D C 

b)

[

(

) (

)

]

c  D C   B  B  A− ∩ − ∩ c)

( ) ( )

 A C Δ ∩ ΔB D d)

(

)

(

c c

)

 A D

Δ −

D

C  e)

(

c

)

( ) ( )

 D C B D A B

∪ − Δ ∪ −

39.Si  A,  B y C son conjuntos no vacíos entonces la región sombreada corresponde

a: a)

[

(

 A− B

)

−C 

] [ ]

c ∩  A∪ B b)

[

(

 A

)

 B

]

[

 A

 B

]

c)

[

 A∩ B∩C 

] [ ]

c ∪ C − B d)

(

 A

 B

)

c

C  e)

[

(

 B

 A

)

]

 A  B C   D  Re  A  B C   Re

(15)

40.Si A, B, C son conjuntos no vacíos representados en el diagrama de Venn adjunto, entonces la región sombreada corresponde a:

a)

(

 A B

∩ ∩ ∪ ∪ − ∩ ∪

)

(

A B C

)

C

(

A B

)

b)

( ) ( )

 A B

∩ ∩ ∪ ∪ − ∩

C  A B

C

( )

A B

c)

(

 A

∪ ∪ − ∩ ∪ − ∪

B C

)

(

A

)

B

(

C

(

A

)

B

)

d)

( ) ( ) (

 A B

∪ ∩ ∪

C  A B

∩ ∪ ∪

A B C 

)

e)

( ) ( )

 A B

− ∪ − ∪ − ∩

B A

C

(

A B

)

41.La región sombreada del gráfico adjunto representa el conjunto:

a)  A

Δ

(

B C 

)

b)

(

 A

∪ ∪

B C

)

A c)

(

 A B

) (

C A

)

d)

(

(

 A C

∩ − ∪ − ∪

)

B

)

(

C

(

A B

)

)

e)

(

 A B

) (

B C 

)

 A  Re C   B

 A

 B

 Re

(16)

42.Los siguientes son los datos que muestran las preferencias de algunos aspirantes ingresar a la universidad por ciertos programas:

50 prefieren medicina. 47 prefieren ingeniería. 35 prefieren biología.

16 prefieren ingeniería y biología. 11 prefieren medicina e ingeniería.

15 prefieren medicina y biología.

9 prefieren las tres.

Determinar:

a) ¿Cuántos aspirantes fueron encuestados?

b) ¿Cuántos aspirantes prefieren únicamente medicina? c) ¿Cuántos aspirantes no prefieren biología?

d) ¿Cuántos aspirantes prefieren medicina o biología pero no ingeniería? e) ¿Cuántos aspirantes prefieren medicina o ingeniería?

43.De un total de 60 alumnos de un colegio:

15 estudian francés solamente, 11 estudian francés e inglés; 12 estudian alemán

solamente; 8 estudian francés y alemán; 10 estudian ingles solamente; 5 estudian

inglés y alemán; y 3 los tres idiomas.

Determine:

a) ¿Cuántos no estudian algún idioma? b) ¿Cuántos estudian alemán?

c) ¿Cuántos estudian alemán e inglés solamente? d) ¿Cuántos estudian francés?

(17)

44.En una investigación realizada en 100 muestras de agua, se observó que 50 de ellas tenían microorganismos de tipo A, 30  muestras tenían microorganismos de tipo B, y 40  muestras tenían microorganismos de tipo C. A 6  muestras se les encontró los tres tipos de microorganismos, a 10  muestras se les encontró microorganismos de tipo B y C, y a 20 muestras se les encontró microorganismos de tipo A y B. Determine el número de muestras que tenían microorganismos sólo de tipo B.

45.En una entrevista realizada a 40 estudiantes del curso del nivel cero A, acerca de

los deportes que les gusta practicar, se obtuvo la siguiente información: • 12 practican ajedrez, 14 tenis y 16 fútbol.

• No hay estudiantes que practiquen ajedrez y tenis. • 4 practican ajedrez y fútbol.

• 20 practican tenis o fútbol, pero no ajedrez.

Determine la cantidad de estudiantes que no practican deporte alguno.

46.En una encuesta aplicada a 1000 personas sobre el tipo de transporte que utilizan para ir de la casa al trabajo se obtuvo la siguiente información: 431 usan metrovía, 396 utilizan autobús, 101 utilizan metrovía y taxi pero no autobús, 176 no utilizan transporte alguno, 341 viajan en taxi, 634 utilizan metrovía o taxi, y 201 se transportan solo en metrovía. Determine el número de personas que utilizan los tres medios de transporte.

(18)

47.En una encuesta realizada a 80 personas sobre el tipo de películas de su preferencia, se obtuvieron los siguientes resultados:

• 27 prefieren las películas ROMANTICAS, pero no las de SUSPENSO.

• 26 prefieren las películas de SUSPENSO pero no las de CIENCIA FICCIÓN. • 19 prefieren las películas de CIENCIA FICCIÓN, pero no leían la revista

ROMANTICAS.

• 2 prefieren los tres tipos de películas. ¿Cuántos no prefieren algún tipo de película?

1.13 Pares ordenados y Producto cartesiano

48.Dados los conjuntos  A

=

{

  ○, ,

}

y  B

 =

{

1,2,3,4

}

 construya

a)  A A

×

b)  A B

×

c)  B A

×

d)  B B

×

49.Sean  A B , y C  conjuntos cualesquiera. Entonces es FALSO que:

a)  A

× − = × − ×

(

B C

)

A B A C 

b) Si  N A

( )

=2, entonces  N P A

(

( )

)

= N A A

(

×

)

c) Si  N A

( ) ( )

= N B , entonces  A B × = ×B A

d)  B A

× =

{

(

x y ,

)

/ x B y A

∈ ∧ ∈

}

(19)

50.Considere los conjuntos  A

=

{

a,*, 0

}

y  B

 =

{ }

1, 0 ; entonces es verdad que: a)  B

×

(

A B

) ( ) ( )

=

{

0,1 , 0, 0

}

b)  N A

(

×

(

A B

)

)

=

6 c)  N A B

(

(

∪ × − =

) (

A B

)

)

4 d)

(

 A B

∩ × ∪ = ∅

) (

B A

)

e)  B

×

(

A B

) ( ) ( )

=

{

1,a , 0,*

}

51.Sean  A,  By C  tres conjuntos tales que  A

=

{

1, 2, 3

}

,  B

=

{

a b c, ,

}

 y C 

 =

{ }

 , .

Entonces, es FALSO que:

a)

{

( ) ( )

2,c , 3,a

}

⊆ ×

A B b)  N A B C 

(

× ×

)

=

18

c)

( )

b ,

∈ ×

B C  d)

( )

a ,

∈ ×

B C  e)

( )

 ,

⊆ ×

C C 

52.Sean  A y  B dos conjuntos tales que:  A

=

{

1, 2, 3

}

y  B

=

{

a b c, ,

}

. Entonces es

verdad que: a)

(

b , 3

)

∈ ×

A B b)

{

( ) ( ) ( )

1,b a c ; , ; 4,a

}

⊂ ×

A B c)

( )

2,c

∈ ×

B A d)  N B B

(

×

)

=

9 e)

{

( ) ( )

2, 2 ; ,b b

}

⊂ ×

A A 1.14 Relaciones

Para los ejercicios 53 y 54  utilice los conjuntos  A

=

{

1,3,5,7,9,11,13,15

}

y

{

2,4,6,8,10,12,14

}

 B

 =

53.Construya las siguientes relaciones de  A en  B. Adicionalmente determine el dominio y el rango de cada una de las relaciones

a)  R 1

=

{

(

x y ,

)

/ x

= +

y 1

}

(20)

c)  R 3

=

{

(

x y ,

)

/ x

=

y

}

d)  R 4

=

{

(

x y ,

)

/ x y

<

}

e)  R 5

=

{

(

x y ,

)

/ x

=

3

}

f)  R 6

=

{

(

x y ,

)

/ y

=

2

}

54.Construya las siguientes relaciones de  B en  A. Adicionalmente determine el dominio y el rango de cada una de las relaciones.

a)  R 7

=

{

(

x y ,

)

/ y

= −

x 1

}

b) 8

(

,

)

/ 2  x  R

=

x y

<

y

c)  R 9

=

{

(

x y ,

)

/ x

=

5

}

d)  R 10

=

{

(

x y ,

)

/ y

= ∨ =

1 y 5

}

e) 11

(

,

)

/ 2  x  R

=

x y y

=

f)  R 12

=

{

(

x y ,

)

/ y

=

3

}

(21)

55.Sea el conjunto  A

=

{

1,2,3,4,5

}

  y dos relaciones definidas sobre este conjunto 1: r A

A y r 2: A

A.

(

)

{

}

1 , / es par r

=

x y x y

+

(

)

{

}

2 , / es múltiplo de 3 r

=

x y x y

+

Determine el número de elementos de r 1

2

1.15 Funciones

56.Respecto a los ejercicios 53 y 54 determine si cada relación es o no una función en

caso de no serlo justifique su respuesta.

1  R 2  R 3  R 4  R 5  R 6  R 7  R 8  R 9  R 10  R 11  R 12  R

57.Si  A

=

{

1, 2, 3,

,50 ,

}

 B

 =

{

1, 2, 3,.., 40

}

  y la relación  R de  A en  B  DEFINIDA POR:  R

=

{

(

a b ,

)

/ a b

>

}

,entonces determine el valor de verdad de las siguientes

proposiciones justificando su respuesta: a)  R es una función de  A en  B

b) dom R

( )

=

A

c) rg R

( )

=

B d)  R A B

= ×

(22)

e)  R = ∅

58.Sean  A

=

{

a b c d , , ,

}

, B

=

{ }

1, 2,3 y las relaciones  R1 y  R2 de  A en  B tales que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

{

}

1 ,1 , , 3 , ,3 , ,1 , , 2  R

=

a b c c d  ,

( ) ( ) ( ) ( )

{

}

2 ,3 , ,3 , ,1 , ,1  R

=

d b a c

Entonces es VERDAD que:

a)  R1 es una función de  A en  B. b)  R 1

R2 es una función de  A en  B.

c) rg R

( )

1

rg R

( )

2 d) dom R

( )

1

=

dom R

( )

2 .

e)  R 1

R2 es una función de  A en  B

59.Sean los conjuntos  A

=

{

1,2,3

}

y  B

 =

{

2,4,6

}

. Construya las siguientes relaciones

de  A → Be identifique cual es función.

a)  R

=

{

(

x y ,

)

∈ ×

A B x y/

− =

0

}

b)  R

=

{

(

x y ,

)

∈ ×

A B / 2x y

− =

0

}

c)  R

=

{

(

x y ,

)

∈ ×

A B y /

>

x

}

d)  R

=

{

(

x y ,

)

∈ ×

A B x/

=

1

}

e)  R

=

{

(

x y ,

)

∈ ×

A B / 3x y

− =

0

}

60.Si se tienen los conjuntos  A

=

{

○  , ,

}

 y  B

=

{

β α ,

}

. Determine el valor de verdad

de las siguientes proposiciones justificando su respuesta. a) Es posible construir una función inyectiva de  A en  B.

. b) Es posible construir una función sobreyectiva de  A en  B.

(23)

d) Es posible construir una función sobreyectiva de  B en  A.

. e) Es posible construir una función biyectiva de  B en  A.

.

61.Dados los conjuntos  Ay  B tales que  A B

= =

{

1,3,5,7

}

 y las funciones  f  y gde  Aen  B:

( ) ( ) ( ) ( )

{

}

( ) ( ) ( ) ( )

{

}

1,3 , 3,1 , 5,5 , 7, 7 1, 7 , 3, 7 , 5,1 , 7,3  f  g

=

=

Determine 1  f − g.

62.Considere las funciones  f M :

N  y g N :

M  tales que:

( ) ( ) ( )

{

}

( ) ( ) ( ) ( )

{

}

,1 , ,1 , , 2 1, , 2, , 3, , 4,  f A B C  g B B C A

=

=

Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones justificando su respuesta. a)  f  es inyectiva . b) g es biyectiva . c)  M 

=

{

1,2,3

}

. d) rg f 

=

{

1,2,3,4

}

. e) Es posible construir g f  .

(24)

63.Sean los conjuntos  A

=

{

1,3,5,7

}

y  B

 =

{

1,2,5,6,8,9

}

, y r   una relación definida

por r

=

{

( , )a b A B b a

∈ ×

/

= −

2 1

}

. Entonces es VERDAD que:

a) dom r A=

b) dom r 

 =

{

1,3,5

}

y rg r 

 =

{

1,5,9

}

c) rg r 

 =

{

1,2,5

}

d) rg r 

 =

{

6,8,9

}

e) dom r 

 =

{

1,3,5

}

y rg r 

 =

{

5,6,8

}

64.Si  f  es una función de  A en  B, entonces es VERDAD que:

a)  f  es inyectiva,

∀ ∈ ∀

 x A y y 1, 2

B y

(

1

=

f x

( )

∧ =

y 2 f x

( )

)

→ =

y 1 y2

b)  f  es sobreyectiva, si y sólo si rg f = A.

c)  f   es una función inversible, si y sólo si la relación inversa de  f   es una

función.

d) Si  N A

( ) ( )

> N B , entonces  f  es sobreyectiva.

e) Si  f  es inyectiva, entonces  N A

( ) ( )

> N B .

65.Si  f  es una función de  A en  B y g es una función de  B  en  A, tales que:

{

(1, ), (2, ), (3, ), (4, )

}

 f 

=

  ○  y

{

( ,1), ( , 2), ( ,3), ( ,3)

}

g

 =

   ○

Entonces es VERDAD que:

a)  f  es inyectiva o g es sobreyectiva. b) g es la función inversa de  f .

c) 1

g−  existe o  f −1 existe.

d) No es posible construir la función  f g .

(25)

66.Si  Res una relación sobre el conjunto A

=

{

1,2,3,4

}

, definida por

{

2

}

( , ) /

 R

=

x y

∈ ×

A A y

=

x , determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a)  R

 =

{

( ) ( ) ( ) (

1 ,1 , 2 , 4 , 3 , 9 , 4 ,16

)

}

b)  N R

( )

=

4 c)  Res una función d) rg R A

=

e) domR

 =

{ }

1 , 2

67.Si  A

=

{

a e i o u, , , ,

}

  y se define una función  f sobre  A  de modo que  f a

( )

=

u,

( )

 f e

=

i,  f i

( )

=

a,  f o

( )

=

o,  f u

( )

=

i determine el rango de la función  f f 

68.Sea la función biyectiva  f A :

B, tal que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

{

1, , 2, , 3, , 4, , 5,

}

 f

=

a e i u o

Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones justificando su respuesta. a)  f

( ) ( )

1

=

f  2 . b) rg f −1

=

A . c)

(

)

1 , 2 a

f − . d)

{ }

1 1

dom f − . e)  N A N B

( ) ( )

=

10 .

(26)

69.Sean  f X :

Y  y g X :

Y  dos funciones dadas según el diagrama sagital.

Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, justifique su respuesta: a)  f  es inyectiva . b)  f  es sobreyectiva . c) g f   es sobreyectiva . d) g f   es inyectiva . e) g es biyectiva .

70.Si  f   es una función de  A en  B, g  es una función de  Ben C  y C ∩ = ∅A ,

determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones justificando su respuesta.

a) La función  f g  está definida

. b) Basta que  f  sea inyectiva para que g f   sea inyectiva

. c) Es suficiente que g sea sobreyectiva para que g f   sea sobreyectiva

. d) Si g f   es sobreyectiva entonces ges sobreyectiva

. e) Si g f   es biyectiva entonces  f es biyectiva

a  x  f g   x  y 1 2 3 1 2 3 b c

Figure

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