Área De Una Superficie De Revolución

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SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

• ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓNÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN

• Imaginemos un arco de la curva expresada de forma explícita y =Imaginemos un arco de la curva expresada de forma explícita y = f(x).

f(x). •

• La hacemos girar alrededor del eje de abscisas entre x=a y x=b.La hacemos girar alrededor del eje de abscisas entre x=a y x=b. •

• e habr! generado un cuerpo de revoluci"n ( puede ser une habr! generado un cuerpo de revoluci"n ( puede ser un cilindro# un cono# un tronco de cono# una esfera# un $bal"n de cilindro# un cono# un tronco de cono# una esfera# un $bal"n de rugby%# o miles m!s de

rugby%# o miles m!s de todas las formas imaginables ).todas las formas imaginables ). •

• &l !rea de la super'cie así generada por la curva y = f(x) de'nida&l !rea de la super'cie así generada por la curva y = f(x) de'nida en un intervalo a# b# al gi

en un intervalo a# b# al girar en torno del eje *rar en torno del eje *+ se calcula con la+ se calcula con la formula,

formula, •

b

b

b

b

Área =

Área =

-..

-..

/

/

y.0(1(y2)

y.0(1(y2)

--

 )dx

 )dx

=

=

-..

-..

/

/

f(x).0 (1

f(x).0 (1

 

 

f 2(x)

f 2(x)

--

)

)

dx

dx

a

a

a

a

• cuyos pasos para resolver la integral son los cuyos pasos para resolver la integral son los mismos 3ue para elmismos 3ue para el c!lculo de !reas# sin m!s 3ue hallar y2 =f2(x)=dy4dx y elevarla al c!lculo de !reas# sin m!s 3ue hallar y2 =f2(x)=dy4dx y elevarla al cuadrado previamente.

(2)

-• 5allar el !rea de la curva,

• y= 0x

• &ntre los puntos 6(7#7) y 8(9#-) •

• &l !rea generada ser!,

• 9 • 6 = -.. / f(x).0 (1  f 2(x)  - ) dx • 7 • y2 = 1 4 -.0x • 9 • 6 = -.. / 0x. 0  1  (1 4 -.0x)-. dx = • 7 • 9 9 • = -.. / 0x. 0  1  1 4 9x . dx = -.. / 0  x  1 4 9 . dx : • 7 7 •   9#-; 9#-; • <ambio, x7#-; = t : dx = dt -.. / 0 t . dt = -..(-4). t 4- = >#1?? •   7#-;

EJEMPLO_1

y=

0x

7

1

-

9

x

-

(3)

@- • 5allar el !rea de la curva,

• y= x

-• &ntre los puntos 6(7#7) y 8(-#9) •

• &l !rea generada ser!,

• -• 6 = -.. / f(x).0 (1  f 2(x)  - ) dx ## y2= -x • 7 • - -• 6 = -.. / x- 0  1  (-x)-. dx = -.. / x- .0 (1  9.x- ) dx = A • 7 7

EJEMPLO_2

y= x

2

 7

1

-x

9

(4)

9

• 5allar el !rea engendrada por la rotaci"n entorno al eje + de la curva,

• B.y- = x.( C x)

-• y- = (14B).x. ( C x)-  <orta en x= 7 y en x =  • y=D (14). 0x. ( C x)

• <onsideramos la rama positiva.

• y 2 = (14). (1 4 -0x). ( C x)  (14).0x. (C 1)

•  C x 0x

• (y 2)- = (@@@@@@@@@ C @@@@@@@)

-• >0x 

• &l !rea ser!,

•  ( C x)- x  C x • 6 =

-.

 / (14). 0x. ( C x). 0  1  @@@@@@@@@@  @@@@@@@ C @@@@@@@@@@ . dx = • 7 >.x B B •  >.x  B C >x  x-  9.x- C 1-.x  9x -• =

-.

 / (14). 0x. ( C x). 0  @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ . dx

EJEMPLO_3

(5)

; • A •  B.x-  1E.x  B • =

-.

 / (14). 0x. ( C x). 0  @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ . dx • 7 >.x •  x-  -x  1 • =

-.

 / (14). 0x. ( C x). 0  @@@@@@@@@@@@@@@@ . dx • 7 9.x •  (x  1) • =

-.

 / (14). 0x. ( C x). @@@@@@@@@@@@. dx • 7 -. 0x •  • =

-.

 / (14>). ( C x). (x  1). dx • 7 •  • =

-.

 / (14>). ( C x). (x  1). dx • 7 •   • =

-.

 (14>). / (-.x   C x- ) dx =

-..

(14>). x-  x C (14).x  = 

.

u -• 7 7 7 1 -

(6)

>

LONGITUD DE UN ARCO

• LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA EN EL PLANO

• ea una curva (funci"n) expresada en forma explícita, y = f(x).

• i la funci"n# en lugar de representar una curva# representara a una línea

recta# la longitud del segmento 68 sería,

• F68F = 0(x- C x1)-  (y- C y1)- # como se vi" en cursos pasados. • Gonde 6(x1 C y1) y 8(x- C y-)

• e fundamentaba en 3ue la medida del segmento 68 era hipotenusa del

tri!ngulo rect!ngulo cuyos catetos eran los incrementos de las variables,

• F68F = 0  (Hx)-  (Hy)- 

• ues bien# en el caso de curvas en el plano# la longitud del arco se halla de

forma muy similar. &n lugar de los incrementos utiliJamos las diferenciales# dx y dy,

• b

!y

• Longitud 68 =

 L =

/ 0 (dx)-  (dy)-  =

 " # $ 1 % &''''''(

2

)* !x

• a

a

!x

(7)

?

EJEMPLO_1

• 5allar la longitud de la curva, • y= 0x

• &ntre los puntos 6(1#1) y 8(9#-) • • La longitud ser!, •

9

dy

L = / 0  1  (@@@@@@)

-

. dx

1

dx

• <omo dy 4 dx = y2  y2 = 1 4 -.0x • 9 • L = / 0  1  (1 4 -.0x)-. dx = • 1 • 9 9 • = / 0  1  1 4 9x . dx =  x  K lnx = • 1 1 • = (9  7#-;.ln9)C(17#-;.ln1)= 7#-;.1#E>- = #9>>

y=

0x

7

1

-

9

+

-1

(8)

E

EJEMPLO_2

• 5allar la longitud de la curva, • y= x

-• &ntre los puntos 6(@1#1) y 8(-#9) • • La longitud ser!, •

-

dy

L = / 0  1  (@@@@@@)

-

. dx

@1

dx

• <omo dy 4 dx = y2  y2 = -x • -• L = / 0  1  (-x)-. dx = • @1 • - -• = / 0  1  9x-. dx =  x  9. x 4   = • @1 @1

• = (-  9.E4)C(@1@9.14)= E4  ?4 = 9;4 = 1; al MMMMM

@-

@1

7

1

-+

9

1

(9)

B

EJEMPLO_2

• 5allar la longitud de la curva,

• x- y

-• @@@@@  @@@@@@ = 1 # para valores de y positivos# entre los puntos x= @- y x=9

• -; 1> • *perando, 1>.x-  -;.y- = 977  y = 0 (977 C 1>.x-) 4 ; = (94;). 0 (-; C x-) • • y 2 = dy 4 dx = @ 9.x 4 ;.0 (-; C x-) • • La longitud ser!, • 9 dy • L = / 0  1  (@@@@@@)-. dx • @- dx • 9 • L = / 0  1  @ 9.x 4 ;.0 (-; C x-)-. dx = • @-• 9 • = / 0  1  1>x-4 (>-; C -;.x-) = • @-• 9 • = / 0  (>-; C B.x-) 4 (>-; C -;.x-) = • @-9 @; @9 @ @- @1 7 1 -  9 ; +

Figure

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Referencias

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