MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO:
En algunas situaciones es necesario ubicar puntos que estén a distancias conocidas de otros puntos. Veamos un ejemplo.
Rodrigo y Paula son hermanos y tiene sus casas construidas en un mismo terreno, ubicadas a 50m una de la otra. Quieren separarlas pintando una hilera de árboles a la misma distancia de ambas.
¿Dónde tendrían que plantar los árboles?
Para planificar el lugar donde tienen que plantar los árboles podemos hacer un esquema en el que el segmento RP represente la distancia que separa a las dos casas. Lo haremos de 5cm para representar los 50m.
La distancia de cada casa a cada uno de los árboles debe ser la misma, es decir, si un árbol se encuentra, por ejemplo a 3cm de una de las casas, también debe estar a 3cm de la otra casa. Para dibujar todos los puntos que se encuentran, por ejemplo, a 3cm de R y P trazamos dos circunferencias de 3cm de radio, una con centro en R y otra con centro en P. Los puntos que están a 3cm de R y P son Z y Y, y cada uno de estos puntos representa la ubicación de un árbol.
Repetimos el procedimiento para los árboles que se encuentren, por ejemplo, a 4cm, o a 4,5cm.
Observemos que, de acuerdo con la distancia a las casas considerada, existen dos posibles puntos para plantar un árbol.
Consideremos ahora ubicar un árbol a 2,5cm de cada casa. Repetimos el procedimiento anterior y observamos que en este caso las dos circunferencias de radio igual a 2,5cm se cortan en un único punto (que llamamos T). Dicho punto equidista (se encuentra a igual distancia) de R y P, es decir, es el punto medio del segmento RP.
Trazamos la recta a la pertenecen todos los puntos anteriores y la llamamos recta c. Luego, los puntos determinados por la intersección de cualquier par de circunferencias de centro R y P y el mismo radio determinan una recta perpendicular al segmento RP en su punto medio T.
Los puntos que equidistan de los extremos de un segmento están sobre una recta que es perpendicular al segmento en su punto medio. Esta recta es la MEDIATRIZ
del segmento RP.
Luego, para que los árboles estén ubicados a la misma distancia de las dos casas, deben plantarse sobre la mediatriz del segmento que tienen como extremos a esas casas.
Utilizando solo compás, realizá lo que se indica en cada uno de los ítems.
a) Decidí cuáles de los puntos A, B, C, D pertenecen a la mediatriz del segmento PQ.
b) Encontrá tres puntos que pertenezcan a la mediatriz del ST.
LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO ES LA RECTA
PERPENDICULAR AL SEGMENTO EN SU PUNTO MEDIO.
LOS PUNTOS QUE EQUIDISTAN (ESTÁN A IGUAL
DISTANCIA) DE LOS EXTREMOS DE UN SEGMENTO PERTENECEN A LA MEDIATRIZ DEL SEGMENTO.
LOS PUNTOS DE LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
EQUIDISTAN DE LOS EXTREMOS DEL SEGMENTO.
Para que lo intentes
c) Trazá una recta perpendicular a r de manera que el punto M pertenezca a ella. Usá solamente regla no graduada y compás.
MEDIATRICES DE UN TRIÁNGULO:
En un parque que tiene una calesita, un tobogán y un puesto de pochoclos, se quiere colocar un bebedero que se encuentre a la misma distancia de ellos. ¿Dónde debe ubicarse?
Marcamos los puntos C, T y P que representen esos lugares:
Trazamos el segmento CT, el segmento CP, y sus mediatrices. Los puntos que pertenecen a cada mediatriz equidistan de los extremos del segmento correspondiente.
Las dos mediatrices trazadas se cortan en un único punto O que equidista de los puntos C, T y P. Por lo tanto el punto O representa el lugar donde debe ubicarse el bebedero.
Si trazamos el segmento TP y su mediatriz, esta corta a las otras dos mediatrices en el punto O, es decir que el punto O también pertenece a la mediatriz del segmento TP.
Al trazar el segmento TP, quedó determinado el triángulo CTP. Las mediatrices dibujadas son las mediatrices del triángulo.
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO:
Dos rutas parten de una misma ciudad formando u ángulo como muestra el dibujo. Se decide instalar un nuevo tendido eléctrico desde esa ciudad de forma tal que cada punto del tendido eléctrico encuentre a igual distancia de cada una de las rutas.
En el dibujo anterior, ¿dónde debe ubicarse el trazado del tendido eléctrico?
Si marcamos todos los puntos que están a igual distancia de los lados del ángulo, esos puntos deben pertenecer al trazado del tendido eléctrico. Llamamos A al vértice del ángulo y marquemos en cada uno de sus lados un punto de forma tal que ambos se encuentren a la misma distancia de O. Para ello, con
En todo triángulo las mediatrices se cortan en un punto que equidista de sus vértices.
No siempre el punto de intersección de las mediatrices es un punto interior al triángulo.
centro en A trazamos un arco de circunferencia de cualquier radio y llamamos B y C
a los puntos en los que el arco corta a los lados del ángulo.
Luego, para encontrar los puntos que se está a la misma distancia de B y C
trazamos dos circunferencias de igual radio, una con centro en B, y otra con centro en C. Estas circunferencias se cortan en los puntos S y P, que están alineadas con el punto A.
Trazamos la semirrecta de origen A a la que pertenecen los puntos S y P.
La semirrecta de origen O a la que pertenecen los puntos S y P está formada por todos los puntos que equidistan de los lados del ángulo AOB y, a su vez, divide al ángulo en dos ángulos congruentes. Esa semirrecta es la BISECTRIZ del ángulo AOB.
BISECTRICES DE UN TRIÁNGULO:
En una plaza triangular, delimitada por las calles Ferreira, Gonzalez y Nogueira, se desea colocar un mástil que equidista de las mencionadas calles.
¿Dónde debe ubicarse el mástil?
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta con origen en su vértice que lo divide en dos ángulos congruentes.
Los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo.
Para que lo intentes
solo…
Usando regla no graduada y compás, construí un ángulo cuya bisectriz sea una semirrecta OB. ¿Existe un único ángulo cuya bisectriz es la semirrecta OB?
Realizamos un esquema para representar la situación:
Para que un punto esté a igual distancia de las rectas que representan a las calles Gonzalez y Nogueira, ese punto debe pertenecer a la bisectriz del ángulo ABC. Luego, trazamos dicha bisectriz.
A su vez, para que un punto esté a igual distancia de las rectas que representan a las calles Ferreira y Gonzalez, este debe pertenecer a la bisectriz del ángulo ACB. Luego, trazamos dicha bisectriz.
Las dos bisectrices trazadas se cortan en un único punto O que equidista de los lados AB, BC, y CA del triángulo ABC. Por lo tanto, dicho punto representa el lugar donde debe ubicarse el mástil.
Si trazamos la bisectriz del ángulo CAB, esta corta a las otras dos bisectrices en el punto O, es decir que el punto O también pertenece a la bisectriz del ángulo CAB.
En todo triángulo, las bisectrices se cortan en un punto que equidista de sus lados.
Siempre el punto de intersección de las bisectrices es un punto interior del triángulo
