F´ısica Estad´ıstica Tarea 8
A entregar: Mi´ercoles 29 de abril de 2015.
Una manera alternativa de deducir las distribuciones de Bose-Einstein y Fermi-Dirac ... y Maxwell-Boltzmann.
En algunos textos todav´ıa se discute la forma “antigua” en la que se pueden deducir las distribuciones de FD, BE y MB. Esta deducci´on tiene la ventaja de usar de manera expl´ıcita la Segunda Ley y nos ayuda a desarrollar una intuici´on adicional a la forma “usual” de abordar este problema. Dicho sea de paso, este tipo de an´alisis lo introdujo Boltzmann en los 1870’s y fue la manera tambi´en en la que Bose (1924), Einstein (1925) y Fermi (1926) hallaron las distribuciones que llevan sus nombres.
La idea es considerar a un sistema ideal,cerrado, con n´umero de part´ıculas y energ´ıa interna,N y E, fijas. Las part´ıculas son indistinguibles. El campo externo no tiene por qu´e ser uno de paredes r´ıgidas, cualquier campo confi-nante es suficiente. El que sea ideal nos dice que el Hamiltoniano del sistema se puede escribir como,
H =
N X
i=1
hi (1)
donde hi es el mismo Hamiltoniano para cada part´ıcula. Supongamos que
las energ´ıas de hson m y que hay Γm estados (de una part´ıcula) que tienen
la misma energ´ıa m (i.e. podemos considerar Γm como la degeneraci´on de
cada nivel, o en un l´ımite continuo, como la densidad de estados).
Supongamos que el n´umero de part´ıculas es grande,N 1; entonces, un estado del sistema completo puede describirse por la colecci´on de los n´umeros de part´ıculas{N0, N1, N2, . . . , Nn, . . .}que tienen energ´ıas{0, 1, 2, . . . , n, . . .}.
Esos n´umeros son arbitrarios siempre y cuando satisfagan las condiciones,
N =X m Nm E = X m mNm. (2)
Note que, a diferencia de la convenci´on usada en la clase, la suma “P
el sistema se la pasa “cambiando” de estado, esto es, cambiando los valores {N0, N1, N2, . . . , Nm, . . .} (m´as apropiadamente, realizando transiciones
en-tre sus estados debido a las pocas pero siempre presentes colisiones enen-tre sus part´ıculas). Sin embargo, sabemos que si el sistema se encuentra en equi-librio termodin´amico los valores anteriores ser´an, casi siempre y con un alto grado de precisi´on, iguales a sus promedios, nN0, N1, N2, . . . , Nm, . . .
o
. El prop´osito de este ejercicio es hallar dicho estado de equilibrio, tomando en cuenta que las part´ıculas cu´anticas indistinguibles obedecen o la estad´ıstica de Bose-Einstein o la estad´ıstica de Fermi-Dirac.
La idea “f´ısica” (... genial, dir´ıamos algunos) que introdujo Boltzmann es el considerar a cada grupo de part´ıculas con energ´ıam, para cualquier valor
dem, como unsubsistemaen el que el n´umero de part´ıculasNm fluct´ua. As´ı,
la entrop´ıa del sistema completo puede escribirse como S =X
m
Sm(m, Nm). (3)
La Segunda Ley nos indica que en el espacio de par´ametros de los subsistemas la entrop´ıa toma su valor m´aximo en el estado de equilibrio termodin´amico. En nuestro caso, esto ocurre en el espacio de todos los valores posibles {N0, N1, N2, . . . , Nm, . . .}, sujetos a las condiciones dadas por las ecs.(2). Por
supuesto, el valor m´aximo de S ocurre para nN0, N1, N2, . . . , Nm, . . . o
. El problema se reduce ahora a hallar expresiones paraSm(m, Nm), para las
dis-tintas estad´ısticas, sustituirlas en la entrop´ıa total S, ec.(3), y maximizarla sujeta a las restricciones dadas por las ecs.(2).
Definimos, en general, aωm(m, Nm) como el n´umero de estados de lasNm
part´ıculas que existen para los Γn estados con energ´ıa m de una part´ıcula.
En otras palabras, ωm(m, Nm) es el n´umero de maneras en el que podemos
“colocar”Nm part´ıculas indistinguiblesen Γm estados de una part´ıcula. Con
esta cantidad podemos, entonces, calcular la entrop´ıa del subsistemamcomo,
Sm =kln ωm(m, Nm). (4)
Es claro queωm(m, Nm) depende de la estad´ıstica ... y calcularla es el trabajo
Prob. 29. I) Part´ıculas indistinguibles que obedecen la estad´ıstica de Bose-Einstein.
En clase hallamos que para las part´ıculas indistinguibles cuyas funciones de onda total son sim´etricas, se tiene como consecuencia que existe una probabilidad diferente de cero de hallar una o m´as part´ıculas en el mismo estado (de una part´ıcula). A esto le llamamos estad´ıstica de Bose-Einstein. (I-a). Muestre que el n´umero de maneras en el que podemos “colocar” Nm
part´ıculas indistinguibles en Γm estados de una part´ıcula, que obedecen la
estad´ıstica de Bose-Einstein, est´a dado por
ωm = Γn+Nm−1 Γm−1 (5)
... este paso es el m´as dif´ıcil de este problema ... no es poca cosa, es lo que hizo Bose! Sugerencia: Este problema es el mismo que el n´umero de maneras en el que se pueden colocar Nm pelotas del mismo color (indistinguibles) en
Γm cajas (distinguibles), pudiendo poner ninguna, una o m´as de una pelotas
en cada caja. Note que no existe ninguna restricci´on entreNm y Γm.
(I-b). Construya ahora la entrop´ıa total, ec.(3), usando la suposici´on ter-modin´amica que Nm 1 y Γm 1. Encuentre el m´aximo deS, sujeto a las
condiciones ecs.(2). Sugerencia: Introduzca dos multiplicadores de Lagrange y defina la funci´on auxiliar,
Q=S+kαN −kβE, (6)
con α y β multiplicadores de Lagrange y k la constante de Boltzmann. De esta maneraQ=Q(N0, N1, N2, . . . , Nm, . . .) es funci´on de los valoresNmpara
todam, sin ninguna restricci´on: Halle los valoresnN0, N1, N2, . . . , Nm, . . . o
(I-c). Arguya que el n´umero de ocupaci´onpromediodeunestado con energ´ıa m puede ser calculado como
nm = Nm Γm (7) y muestre que nm = 1 e−α+βm−1 (8)
que es la Distribuci´on de Bose-Einstein.
(I-d). Suponga v´alida la relaci´on de Euler de la Termodin´amica e identifique Q, α y β.
Prob. 30. II) Part´ıculas indistinguibles que obedecen la estad´ıstica de Fermi-Dirac.
En clase hallamos que para las part´ıculas indistinguibles cuyas funciones de onda total son antisim´etricas, se tiene como consecuencia que la proba-bilidad de hallar m´as de una part´ıcula en el mismo estado (de una part´ıcula) es cero; es decir, cada estado de una part´ıcula puede ser ocupado a lo m´as por una part´ıcula. A esto le llamamos estad´ıstica de Fermi-Dirac.
(II-a). Muestre que el n´umero de maneras en el que podemos “colocar” Nm
part´ıculas indistinguibles en Γm estados de una part´ıcula, que obedecen la
estad´ıstica de Fermi-Dirac, est´a dado por
ωm= Γm Nm (9)
... esto fue lo que hizo Fermi, basado en el Principio de Exclusi´on de Pauli. Sugerencia: Este problema es el mismo que el n´umero de maneras en el que se pueden colocar Nm pelotas del mismo color (indistinguibles) en Γm cajas
(distinguibles), pudiendo poner ninguna o s´olo una pelota en cada caja. Note que se tiene la siguiente restricci´on, Γm ≥Nm.
(II-c). De manera an´aloga al punto (I-c), introduzca el n´umero de ocupaci´on promedio y muestre que en este caso se tiene,
nm =
1
e−α+βn+ 1 (10)
la distribuci´on de Fermi-Dirac.
(II-d). Repita el procedimiento del punto (I-d) para esta estad´ıstica.
Prob. 31. III) Part´ıculas indistinguibles que obedecen la estad´ıstica de Maxwell-Boltzmann.
(III-a). Muestre que en el l´ımitediluidoΓm Nm, es decir, cuando el n´umero
de estados con energ´ıa m es mucho mayor que el n´umero de part´ıculas Nm,
las expresiones (5) y (9) se reducen a
ωm ≈
ΓNm m
Nm!
(11)
Note que el numerador es “bos´onico” y el denominador es “fermi´onico”, ex-plique por qu´e y discuta.
(III-b). Repita los procedimientos de los incisos (I-b) y (I-c) y muestre que el n´umero de ocupaci´on en este caso es
nm =eα−βm (12)
que es la distribuci´on de Maxwell-Boltzmann, aplicable a part´ıculas “cl´asicas” indistinguibles. Note que (III-a) implica nm 1 y por lo tanto que eα 1.
Prob. 32. Desigualdades para los gases de Fermi y Bose Muestre que
pV <N kT¯ gas de Bose pV >N kT¯ gas de Fermi
con ¯N el n´umero promedio de part´ıculas. De una interprestaci´on f´ısica de estos resultados.
Prob. 33. Unos calculitos de fermiones ...
a) Calcule la presi´on de un gas de electrones en un cristal de plata a temper-atura ambiente.
b) Estime la temperatura requerida para que la distribuci´on de velocidades de un gas de Fermi tienda a la distribuci´on de Maxwell-Boltzmann, si la densidad electr´onica es 1024 electrones/cm3.