lineales y no lineales. Inecuaciones
3.1 Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 3 (2x−5) + 2 (2x+ 1) = 3−4 (2−3x) b) 2−x+ 36 = 1−x−6 3 c) x−2 6 − 3x−2 4 =x−3 d) 2x−4 2 + 3x+ 1 4 = 3x−3 6 e) 3x+ 2 2 −2x= 2x−4 5 f) 5 6− 4x−1 4 = 2x+ 3x−2 3 3.2 Calcula el n´umero de soluciones de las siguientes ecuaciones SIN resolverlas:
a) 2x2−3x+ 1 = 0 b) 3x2−2x−8 = 0 c) x2−3x+ 2 = 0 d) 2x2+ 8x+ 8 = 0 e) x2+ 2x+ 4 = 0 f) x2−x+ 1 = 0 g) 2x2−3x−5 = 0 h) x2+x+ 3 = 0 i) 2x2−5x−3 = 0
3.3 Resuelve las ecuaciones del ejercicio anterior:
3.4 Resuelve las siguientes ecuaciones por el m´etodo m´as adecuado: a) 7x2 −3x+ 6 = 2 (x−1) + 2(4−3x) b) 4x2 −1 + 6x= 2 (1−x) + 2(4x−3) c) 2 (3x−3) +x= 2 (x2 −3) d) (x−3)2+ 4 = 3 (4 −2x) e) 3 (2x−1) + (2x−1)2= 0 f) (2x−1)·(3x+ 2) = 3 (2x−1) 3.5 Resuelve las siguientes ecuaciones, reduci´endolas a un ecuaci´on de segundo grado:
a) x4−2x2−8 = 0 b) 9x4+ 6x2+ 1 = 0 c) x4+ 4x2+ 3 = 0 d) 4x4−4x2+ 1 = 0 e) x2(x2−6) =x2−12 f) x6+ 27(1−x3) =x3 g) x8= 17x4−16 h) (x2+ 1)3+ 2x3= (x3+ 1)2 i) (x3−1)2+ (x3+ 1)2= 4x3+ 8
3.6 Resuelve las siguientes ecuaciones por factorizaci´on: a) 2x3 −3x2 −8x+ 12 = 0 b) x3+ 3x2 −4x−12 = 0 c) 2x4+ 3x3−6x2−13x−6 = 0 d) x4 −2x3+ 2x −1 = 0 e) x5+ 3x4+ 7x3+ 13x2+ 12x+ 4 = 0 f) x5−7x4+ 19x3−25x2+ 16x−4 = 0 3.7 Resuelve: a) x4−4x+ 3 = 4x2·(x−1) b) 2x2·(x2−4) + 6 =x·(1−x2) c) x·(2x3+ 3x+ 1) = 5x3+ 1 d) 2x4+x+ 1 =x2·(3 +x) e) x5−6x= 5x2·(x2−x−1) f) (2x−3)3+ 54 = (2x+ 3)3
3.8 Resuelve la siguiente ecuaci´on:
(2x−3)2
−(2x+ 3)2= 24
Pista: Recuerda que:a2−b2= (a+b)·(a−b)
3.9 Dada la ecuaci´on: x·(2x−5)·(x4+x2+ 1) ·(x6+ 9x3+ 8) ·(x3 −3x2+ 3x −1) = 0
a) D´ı, razonadamente, de qu´e grado es la ecuaci´on.
b) ¿Cu´al es su t´ermino independiente?. Razona.
c) Encuentra todas sus soluciones.
3.10 Resuelve las siguientes ecuaciones logar´ıtmicas: a) logx3= log 6 + logx
b) 2 logx−log(x−16) = 2 c) 2 logx= log(10−3x)
d) logx= 1 + log(22−x) e) 2 logx3= log 8 + 3 logx
f) 2 logx= 2 + logx
g) logx+ log100x= 12
h) log4(x−3)−log4x= 1
i) 3 logx−log 32 = logx
2
3.11 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) logx= log 2 + 2 log(x−3)
b) log (2x+ 1) + log (3x−4) = 1
c) log(2x+ 4) + log(3x+ 1)−log 4 = 2 log(8−x)
d) 2 logx−log 16 = logx 2
e) log 2 + log(11−x2) = 2 log(5−x)
f) log3(x+ 1) + log3(x+ 3) = 1
3.12 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: a) 2·3x−32x+ 3 = 0 b) 52x−6·5x=−5 c) 32x+2+ 3 = 28·3x d) 4x−5·2x+ 4 = 0 e) 2x+ 4x= 272 f) 3x−1+ 3x+ 3x+1= 117 g) 22x+2+ 2x+2= 3 h) 31−x2 = 1 27 i) 5x2−5x+6= 25
3.13 Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales: a) √5x+ 6 = 3 + 2x b) x+√7−3x= 1 c) √2−5x+x√3 = 0 d) x+√14 + 2x= 5 e) √3x+ 4 + 2x= 4 f) x−√7−3x= 1 g) √5x+ 6−3 = 2x h) √x2+x=√x+ 1 i) √x2+ 3 =√3−x
3.14 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) √2x+√5x−6 = 4 b) √2x−1 = 1 +√x−1 c) √2x−7 =3 + √ x−2 d) 2√x+ 4−√3x+ 1 = 2 e) √6x+ 7−√3x+ 3 = 1 f) x−√2x−1 = 1−x
3.15 D´ı qu´e tipo ecuaci´on es y resuelve:
log 8 + (x2
−5x+ 7)·log 3 = log 24 3.16 D´ı qu´e tipo de ecuaci´on es y resuelve:
(x2 −x+ 3)·log 4 = 3·log1 4 3.17 Resuelve: 4· 2 x+ 1 2x−1 = 33 3.18 Resuelve: 2·log log2t = log(log 2t)3+ 1−1
3.19 Representa gr´aficamente estos sistemas de ecuaciones y di cu´ales no tienen soluci´on. x−3y = 2x+ 1 4x+ 3y = 3x−5 2x+ 4 = 4−y 5x−3 = 9y−3 3x+ 2 = y−5 6x+ 1 = 2y−3
3.20 Resuelve gr´aficamente los siguientes sistemas y comprueba, anal´ıticamente, la soluci´on obtenida para el que es compatible. x+y = 1 2x+y = 4 2x+ 3y = 0 x−y = −4 x+y = 8 2x−3y = 1
3.21 Resuelve los siguientes sistemas gr´afica y anal´ıticamente (el primero por sustituci´on, el segundo por igualaci´on y el tercero por reducci´on). Comprueba que las soluciones obtenidas, gr´afica y anal´ıtica-mente, te coincidan. −3x+y = −5 y+ 2x−5 = 0 y+ 3x = 2x 3y−x = 3x−2y 3x+ 2 = y−5 6x+ 1 = 2y−3
3.22 Resuelve por el m´etodo que quieras: x+ 1 3 +y = 1 x−3 4 + 2y = 1 x−1 2 + y+ 1 4 = 1 2x−1 2 − 2y+ 1 6 = 1 x+ 3 2 + y+ 3 4 = 1 1−x 2 − 2−y 6 = 1
3.23 Resuelve los siguientes sistemas anal´ıticamente, por todos los m´etodos: sustituci´on, reducci´on, igualaci´on y por le m´etodo de Gauss.
x+ 2y+z = 9 x−y−z = −10 2x−y+z = 5 3x+ 4y−z = 3 3x−3y+z = −8 x−y+ 2z = −6
3.24 Resuelve por el m´etodo de Gauss: x− y+ 2z = 7 2x+ y+ 5z = 10 x+ y−4z = −9 2x−3y+ 4z = 7 −2x−y+ 2z = 5 4x+ 2y−z = 2 x+y+ z = 2 2x+ 3y+ 5z = 11 x−5y+ 6z = 29 x− y+ 2z = −6 3x+ 4y− z = 3 6x−6y+ 2z = −16 x−2y+ z = 3 2x−5y+ 3z = 4 5x+ y+ 7z = 11 3x+ 2y+z = 10 y+z−x = 4 3y−2z+x = 1
3.25 La edad de un padre es cuatro veces la de su hijo pero, dentro de 16 a˜nos ser´a solamente el doble. ¿Cu´al es la edad actual de cada uno?.
3.26 Las dos cifras de un n´umero N suman 12.Si se invierte el orden de las cifras, se obtiene otro n´umero 18 unidades mayor. Calcula el n´umero N.
3.27 Una empresa vende tres tipos de art´ıculos, A, B y C, a 10,20,y 30 euros, respectivamente. Calcula el n´umero de unidades de cada art´ıculo que vende, sabiendo que: en total vende 500 art´ıculos; obtiene unos ingresos de 10000 euros; y, adem´as, por condiciones del mercado, tiene que vender el mismo n´umero de art´ıculos de tipo A, que de B y C juntos.
3.28 Un padre reparte 100 euros entre sus tres hijos, de edades 3, 6 y 12 a˜nos. Calcula cuando da a cada uno, sabiendo que el mayor recibe 10 euros m´as que lo que reciben los otros dos juntos, y el peque˜no recibe 50 euros menos que su hermano mayor.
3.29 Calcula los siguientes sistemas no lineales por sustituci´on: a) y = 4x−x2 y = x b) y = x2+ 1 1 = x−y c) x−y+ 3 = 0 x2+y2 = 5 d) x+y = 1 xy+ 2y = 2 e) 3x+ 2y = 0 x(x−y) = 2(y2−4) f) 2x+y = 3 xy−y2 = 0 g) (x2+ 1)y2 = 5 4x−y = 0 h) x2−y2 = 5 xy = 6 i) x−y = 3 x2 −(1 +y)2 = 16
3.30 Resuelve los siguientes sistemas no lineales: aplicando un cambio de variable (opera y simplifica las ecuaciones previamente) a) (x+ 1)2+y2 = 2x+ 11 x2−(y−1)2 = 2y+ 7 b) 2(x+y)2−(2x+y)2 = 2 (2x+ 3y)2−(3x+ 2y)2 = 15 c) 4 log3x+ log3y = 2 6 log3x+ log3y = 4 d) 3−logx = logy log (x5 ·y−2) = 1 e) 3·3x+ 4·2y = 4 5·3x+ 2·2y = 11 2 f) 5x−1+ 7y+1 = 12 5x−2+ 7y+2 = 12 g) √ x+√4x = 5 √ 4x−√9y = −4 h) √3 81x = 1 +√8y 7 = √6 9x2+ 4 4y2 i) log3x+ 3y+3 = 1 log3 1 x+ 3 y+2 = 3
3.31 Escribe los siguientes enunciados de las cuatro formas siguientes: En forma de desigualdad, en forma de intervalo y gr´aficamente.
a) El conjunto de los n´umeros reales no negativos.
b) El conjunto de los n´umeros reales menores que 7 y mayores o iguales que 1
c) El conjunto de los n´umeros reales positivos menores o iguales que 5
d) El conjunto de los n´umeros menores que 5 ´o mayores que 7.
3.32 Resuelve las siguientes inecuaciones lineales con una inc´ognita, expresando el resultado de tres for-mas: en forma de desigualdad, en forma de intervalo y gr´aficamente.
a) 3 (2x−5) + 2 (2x+ 1)≤3−4 (2−3x) b) 2−x+ 3 6 ≥1− x−3 6 c) x−2 6 − 3x−2 4 < x−3 d) 2x−4 2 + 3x+ 1 4 > 3x−3 6 e) 3x+ 2 2 −2x≤ 2x−4 5 f) 5 6 − 4x−1 4 ≥2x+ 3x−2 3 3.33 Calcula el v´ertice y los puntos de corte con el ejeOX,de las siguientes par´abolas:
a) y= 2x2−3x+ 1 b) y=−3x2+ 2x+ 8 c) y=x2−3x+ 2 d) y=−2x2−8x−8 e) y=x2+ 2x+ 4 f) y=−x2+x−1 g) y= 2x2−3x−5 h) y=−x2−x−3 i) y= 2x2−5x−3
3.35 A la vista de la representaci´on anterior, resuelve las siguientes inecuaciones cuadr´aticas, expresando el resultado en forma de desigualdad, intervalo y gr´aficamente.
a) 2x2−3x+ 1≤0 b) −3x2+ 2x+ 8≥0 c) x2−3x+ 2<0 d) −2x2−8x−8>0 e) x2+ 2x+ 4≤0 f) −x2+x−1≥0 g) 2x2−3x−5<0 h) −x2−x−3>0 i) 2x2−5x−3≤0
3.36 Resuelve las siguientes inecuaciones: a) 7x2−3x+ 6≤2 (x−1) + 2(4−3x) b) 4x2−1 + 6x≥2 (1−x) + 2(4x−3) c) 2 (3x−3) +x <2 (x2−3) d) (x−3)2+ 4>3 (4−2x) e) 3 (2x−1) + (2x−1)2≤0 f) (2x−1)·(3x+ 2)≥3 (2x−1)
3.37 Resuelve las siguientes inecuaciones, dando la soluci´on en forma de desigualdad, intervalo y gr´afica-mente: a) x2−2x−15≥0 b) (x+ 1)2 −(x−2)2 ≤(x+ 3)2+x2 −20 c) x 2+ 5 4 − 2x+ 1 2 ≤0
3.38 Mediante el planteamiento de una inecuaci´on y su posterior resoluci´on, calcula cinco n´umeros cuyo doble supere en m´as de una unidad a su cuadrado.
3.39 Resolver las siguientes inecuaciones: a) 2x3−3x2−8x+ 12≤0 b) x3+ 3x2−4x−12≥0 c) 2x4+ 3x3−6x2−13x−6<0 d) x4−2x3+ 2x−1<0 e) x5+ 3x4+ 7x3+ 13x2+ 12x+ 4≤0 f) x5−7x4+ 19x3−25x2+ 16x−4≥0
3.40 Resolver las siguientes inecuaciones: a) 3x−6 2x+ 4 ≥0 b) x4+ 9x+ 18≥11x2+x3 c) x5+ 13x2+ 36x≤x4+ 13x3+ 36 d) x(5−x) x2−1 + x+ 1 x−1 ≥ 2x−1 1 +x e) |3x−5| ≤4 f) |4−2x| ≥6
3.41 Resuelve las dos inecuaciones siguientes. ¿C´omo son sus soluciones? |x|<1 y x2<1
3.42 Resuelve las dos inecuaciones siguientes. ¿C´omo son sus soluciones? |x|>3 y x2>9 3.43 Extracci´on de ra´ıces en una desigualdad:
¿Cu´ales de las siguientes implicaciones son correctas?. Justifica tu respuesta. a) x2 ≥a2 ⇐⇒ x≥a b) x2≥a2 ⇐⇒ |x| ≥a c) x2≤a2 ⇐⇒ x≤a d) x2 ≤a2 ⇐⇒ |x| ≤a e) x2< a2 ⇐⇒ x < a f) x2> a2 ⇐⇒ |x|> a
3.44 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: a) x 2−3x+ 2 ≤ 0 |x| ≥ 1 b) 3(x−2) + 4(x−1) < 5x+ 2 x2−2x ≥ −4 x2 −2 < 2
3.45 Tenemos tres empresas de telefon´ıa en el mercado, A, B y C, con las siguientes caracter´ısticas: La empresa A oferta una tarifa plana mensual de 60 euros al mes.
La empresa B, factura de la siguiente forma: - Una cuota fija de 20 euros al mes
- Cada llamada se factura a 20 c´entimos por minuto.
La empresa C, no cobra cuota fija, pero las llamadas cuestan el doble con A. Se pide:
a) Si este mes he hablado 3 horas, ¿cu´anto me hubiera costado la factura telef´onica con cada una de las tres empresas?
b) Para el pr´oximo mes, s´olo dispongo de 25 euros para el gasto telef´onico:
- ¿cu´anto tiempo podr´e hablar, como m´aximo, si contrato con la empresa B? - ¿cu´anto tiempo podr´e hablar, como m´aximo, si contrato con la empresa C?
c) ¿Cu´anto tiempo tengo que hablar al mes para que sea m´as rentable contratar con A que con B?
d) ¿Cu´anto tiempo tengo que hablar al mes para que sea m´as rentable contratar con B que con C?
e) ¿Cu´anto tiempo tengo que hablar al mes para que sea m´as rentable contratar con A que con C?
f) ¿Cu´anto tiempo tengo que hablar para que la me interese contratar con A?
g) ¿Cu´anto tiempo tengo que hablar para que la me interese contratar con B?
h) ¿Cu´anto tiempo tengo que hablar para que la me interese contratar con C? 3.46 Representa el conjunto de puntosdel planoque verifican las siguientes desigualdades:
a) x <0 b) x≤0 c) x >0 d) x≥0 e) x≥2 f) x≤ −2
3.47 Representa el conjunto de puntosdel planoque verifican las siguientes desigualdades: a) y <0 b) y≤0 c) y >0 d) y≥0 e) y≥2 f) y≤ −2
3.48 Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x≤y b) x≥y c) x≤ −y d) x≥ −y e) x≤x+ 3 f) x≥ −y−2
3.49 Representa el conjunto de soluciones de los siguientes sistema de inecuaciones lineales: a) x+y≤6 3x−2y≥ −6 b) x+y≥9 −2x+ 3y≤12 c) x3x−+ 2yy+ 1≥0 ≥6 d) x+y≥9 −2x+ 3y≥12 e) x≥3 y≤2 f) x≤y y≥ −5 g) 2x−y≤3 2x+y≤5 h) 3x−2y≤5 x+y≥8 i) 2xy+≥0 y≥0
3.50 Representa los puntos del plano que verifican las condiciones dadas:
a) 2x−3y≤ −3 x+y≤11 x≥2 b) 2x−3y≥ −3 x+y≤11 x≥2 c) 2x−3y≥ −3 x+y≥11 x≤2 d) x+y≥11 −x+ 2y≥10 y≤9 e) x+y≤11 −x+ 2y≥10 y≤9 f) x+y≤11 −x+ 2y≤10 y≥9 g) x≥0 y≥0 x−y≤5 h) y≥1 x≤3 −x+y≤1 i) y≥0 x+y≤9 x−y≤ −9 3.51 Ejercicio voluntario:
Representa gr´aficamente las soluciones de la inecuaci´on x2−3x+ 2≤0 3.52 Ejercicio voluntario:
Representa gr´aficamente las soluciones del sistema: x2−3x+ 2≥0