Universidad de Antioquia

Universidad de Antioquia

Instituto de Matem´

aticas

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Unviersidad de Anquioquia

Medell´ın, 25 de julio de 2011

1.

Introducci´

on

Figura 1: Leonhard Euler

El n´umeroees un n´umero realtrascendente, es decir que no es ra´ız de ning´un polinomio con coeficientes racionales. Fue propuesto por el matem´atico suizo Leonhard Euler en el a˜no 1720. Existen varias formas de definir este n´umero: como el l´ımite de una sucesi´on, como una serie y tambi´en existe una definici´on geom´etrica . Por tratarse de un n´umero irracional, tiene representaci´on decimal no-peri´odica infinita. Hasta el a˜no 2009 Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo hab´ıan encontrado 200 mil millones de cifras decimales del n´umeroe.

La funci´on exponencial (natural) es una funci´on que tiene como base al n´umero e como m´as adelante veremos, y es una de las funciones m´as importantes en matem´aticas, ya que presenta propiedades muy interesantes que resultan de gran utilidad en diferentes disciplinas de estudio como la f´ısica, la qu´ımica y la econom´ıa, entre otras. Una de las propiedades matem´aticas de la funci´on exponencial es que es la ´unica funci´on que coincide con su derivada (concepto que puedes estudiar en elSemillero de Introducci´on al C´alculo).

Esta funci´on es un caso particular de una familia de funciones de la forma ax_{, a > 0, a}

6

= 1, tambi´en denominadas funciones exponenciales y que definiremos en este taller. A partir de estas fun-ciones, definiremos en el pr´oximo taller las funciones logar´ıtmicas como las inversas de las funciones exponenciales.

2.

Funci´

on exponencial

En el primer m´odulo vimos que. . . Para todoa∈Ry todo entero positivon,

1. an_=a ·a_{· · ·}a | {z } nveces . 2. a0_{= 1, si a} 6 = 0. 3. a−n= 1 an.

Para exponentes racionales vimos que. . .

Para todoa∈Ry todo par de enteros positivos myn, conn≥2 para el cual √n_aexiste,

1. a1/n₌ √n_{a. 2. a}m/n₌ √n

am_{= (}√n_a)m_{. 3. a−}m/n₌ 1

am/n.

*_{Esta obra es distribuida bajo una licenciaCreative Commons Atribuci´on - No comercial 2.5 Colombia.}

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Por lo anterior, sabemos lo que significa la expresi´onax_{cuando el exponente es un n´umero racional}

x=m/n, ¿pero qu´e significa la expresi´onax _{cuandoxno es racional? Por ejemplo, sabemos que no}

existen enterosm, ntales que√2 = m_n. ¿Qu´e significa entonces 2√2_{? Una manera de responder a esta}

pregunta esaproximando √2 = 1.414213562373. . .por medio de n´umeros racionales: 21.4 , 21.41 , 21.414 , 21.4142 , 21.41421 , 21.414213 , . . . (1)

A medida que el exponente racional x se aproxima a √2, la expresi´on 2x _{se aproxima a 2}√2 _(ver

ejercicio (??)):

2x_→2√2

cuando x_→√2. (2)

Realizaremos una tabla de valores para graficary = 2x _{con algunos cuantos valores racionales y}

utilizaremos la idea de aproximaci´on expuesta en (2) para bosquejar la gr´afica def(x) = 2x_conx

∈R

(no s´olo racional). A esta funci´on se le llamafunci´on exponencial de base 2.

x f(x) = 2x -10 2−10 = 1 1024 ≈0.0009 -3 2−3 = 1 8 = 0.125 -2 2−2 ₌ 1 4 = 0.25 -1 2−1 ₌ 1 2 = 0.5 0 20 = 1 1 21 _{= 2} 2 22 _{= 4} 3 23 _{= 8} 10 210 _{= 1024} 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -5 b b b b b b b x y (-3,1/8) (-2,1/4) (-1,1/2) (0,1) (1,2) (2,4) (3,8)

Observaci´on 1. Notemos que a medida que x crece (x _{→ ∞}), los valores de la funci´on y = 2x _se

incrementan arbitrariamente (y_{→ ∞}). Por otra parte, a medida quexdecrece (x_{→ −∞}), los valores de la funci´on decrecen hasta volverse casi cero (y _→0). En este caso se dice que el eje x, es decir la rectay= 0, es unaas´ıntota horizontal.

Consideremos ahora la funci´on exponencialg(x) = 1 2

x

de base1

2. Realizaremos el mismo

procedi-miento empleado para la funci´on exponencial de base 2.

x g(x) = 1 2 x -10 1 2 −10 _{= 1024} -3 1 2 −3 = 8 -2 1 2 −2 = 4 -1 1 2 −1 = 2 0 1 2 0 = 1 1 1 2 1 = 1 2 2 1 2 2 = 1 4 3 1 2 3 = 1 8 10 1 2 10 = 1 1024 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -5 b b b b b b _b x y (3,1/8) (2,1/4) (1,1/2) (0,1) (-1,2) (-2,4) (-3,8)

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Observaci´on 2. Notemos que a medida que x aumenta (x → ∞), los valores de la funci´on y = 2x

decrecen hasta volverse casi cero (y→0). A medida quexdecrece (x→ −∞), los valores de la funci´on

y = 1 2

x

aumentan arbitrariamente (y → ∞). En este caso el eje x, la recta y = 0, es unaas´ıntota horizontal.

Definici´on 2.1 (Funci´on exponencial de basea). La funci´onf :R→R+ _{dada porf(x) =a}x _con

0< a <1 ´oa >1 se denomina funci´on exponencial de basea.

Observaci´on 3. .

1. En la definici´on de funci´on exponencial, requerimos que la base asea un n´umero positivo para evitar que surgan ra´ıces de n´umeros enteros negativos, por ejemplo (−1)1/2_.

2. Excluimos que la base sea a = 1 pues en ese casof(x) = 1x _{= 1 no tiene inversa por no ser}

inyectiva y necesitamos que la funci´on exponencial sea biyectiva, pu´es su inversa nos va a permitir definir funciones logar´ıtmicas m´as adelante.

3. El rango de la funci´on exponencial esR+ por lo cualf(x) =ax_{>0 para todox∈R. Es decir,}

la funci´on exponencial nunca se anula o toma valores negativos.

4. Si a >1, la gr´afica def(x) =ax “crece” a medida quexaumenta. Se dice que la funci´on crece exponencialmente.

5. Si 0< a <1, la gr´afica def(x) =ax_{“decrece” a medida quexaumenta. Se dice que la funci´on}

decae exponencialmente.

6. El ejexes una as´ıntota horizontal de la funci´on exponencial: la gr´afica se acerca al ejexa medida quedaxcrece (para 0< a <1) o a medida quexdecrece (paraa >1) pero nunca cruza el ejex. 7. La funci´on exponencial es biun´ıvoca, en particualar:

ax1 _=ax2 ₌

⇒ x1=x2.

8. Las propiedades estudiadas para exponentes racionales son tambi´en v´alidas para exponentes reales: para todo parx1, x2∈R,

ax1_·ax2 _=ax1+x2 _y a x1

ax2 =a x1−x2 _.

Ejercicio 2.1. Resuelve la ecuaci´on 54x_{= 5}6x−2_.

Soluci´on. Por la inyectividad de la funci´on exponencialf(x) = 5x_{tenemos que}

54x_{= 5}6x−2 _{=⇒ 4x= 6x−2 =⇒ x= 1.} Ejercicio 2.2. Resuelve la ecuaci´on 25x_{= 4}2x+1

.

Soluci´on. En este caso, las expresiones que forman la ecuaci´on no tienen la misma base y por tanto no podemos aplicar la inyectividad inicialmente.

25x_{= 4}2x+1

25x= 222x+1 25x_{= 2}4x+2

5x= 4x+ 2

x= 2.

Ejercicio 2.3 (Crecimiento poblacional). En un cultivo de bacterias se observa que el n´umero de bacter´ıas se duplica cada d´ıa. Si inicialmente hab´ıan 1000 bacterias, ¿al octavo d´ıa cu´antas bacterias habr´an?

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Soluci´on. La poblaci´on de bacterias del problema crece exponencialmente como veremos a conti-nuaci´on. Supongamos quet es el tiempo en d´ıas yf(t) el n´umero de bacterias observadas en el d´ıat. Entonces f(0) = 1000 (inicio) f(1) = 1000·2 (d´ıa 1) f(2) = (1000_·2)_·2 = 1000_·22 (d´ıa 2) f(3) = 1000_·22 ·2 = 1000_·23 _{(d´ıa 3)} .. . ... f(t) = 1000·2t (d´ıat) 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 t f(t)

Al octavo d´ıa el n´umero de bacterias es

f(8) = 1000·28

= 256000.

Observaci´on 4. En general, si inicialmente hab´ıan A bacterias, el n´umero de bacterias en el d´ıa t

est´a dado por

f(t) =A·2t

Este modelo no es muy realista, pues por limitaciones de espacio y alimentos, una poblaci´on de bacterias no crece de manera exponencial siempre, sin embargo es un primer ejemplo que nos puede ayudar a plantear modelos m´as realistas.

A diferencia del ejemplo anterior, existen otros fen´omenos observados en la naturaleza donde las cantidades estudiadas decrecen exponencialmente con el tiempo.

Ejercicio 2.4(Decaimiento radioactivo). El polonio210_{Po es un is´otopo o sustancia radioactiva}

“ines-table” que se va desintegrando a medida que transcurre el tiempo. Lavida mediadel polonio es de 140 d´ıas, es decir, cada 140 d´ıas, la cantidad de polonio que hab´ıa se reduce a la mitad. Si inicialmente la cantidad de polonio es deN miligramos, ¿cu´al es la cantidad de polonio en el tiempo t?

Soluci´on. Suponiendo quet es el tiempo en d´ıas yf(t) es la cantidad de polonio que queda en el d´ıa

t. Entonces f(0) =N (inicio) f(1×140) =N·1₂ (d´ıa 140) f(2_×140) = N_·1 2 ·1₂ =N_· 1 22 (d´ıa 280) f(3_×140) = N_· 1 22 · 1₂ =N_· 1 23 (d´ıa 420) .. . ... f(t×140) =N·₂1t (d´ıat×140) 0.25 0.50 0.75 1.00 1 2 3 t×140 f(t)

Al transcurrirtd´ıas, la cantidad de polonio que queda es

f(t) =N_· 1

2t/140 =N·2

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3.

Funci´

on exponencial (natural)

Lafunci´on exponencial natural es una funci´on exponencial que tiene como base a un n´umero que es muy utilizado en matem´aticas. Este n´umero se denotada con la letra e, es irracional y es conocido comon´umero de Euler (no confunidr con la constante de Euler).

Definici´on 3.1 (N´umeroe). El n´umeroe se define como el valor al que se aproxima la expresi´on

1 + 1

n

n

(3) cuandonse hace arbitrariamente grande (n→ ∞).

En el ejercicio (??) estudiaremos un problema de inter´es compuesto cuya soluci´on conduce a la expersi´on (3). Por ahora consideremos la tabla dada a continuaci´on, en ´esta se muestra el valor apro-ximado del n´umeroe.

n 1n 1 + 1 n 1 +1 n n 1 1 2 2 2 0.5 1.5 2.25 5 0.2 1.2 2.48832 10 0.1 1.1 2.59374246 100 0.01 1.01 2.704813829 1000 0.001 1.001 2.716923932 10000 0.0001 1.0001 2.718145927 100000 0.00001 1.00001 2.718268237 1000000 0.000001 1.000001 2.718280369 1000000000 10−9 _{1 + 10}−9 _2.718281828

As´ı, tenemos que e= 2.718281828459. . .Observemos que 2< e <3.

Definici´on 3.2 (Funci´on exponencial natural). La funci´on exponencial natural es la funci´on expo-nencial de basee= 2.718281828459. . .

f(x) =ex (4)

para todox_∈R.

Observaci´on 5. .

1. La funci´on exponencial es biun´ıvoca:

ex1 _=ex2 _{=⇒ x} 1=x2. 2. e0 = 1. 3. ex1_·ex2_=ex1+x2_. 4. ex1 ex2 =e x1−x2_. 1 2 3 4 5 6 7 -1 1 2 -1 -2 -3 x y f(x) =ex

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Utilice la gr´afica de la funci´on exponencialf(x) =ex_{para graficar:}

1. f(x) =e−x 2. f(x) =ex−2 3. f(x) =ex₋3 4. f(x) = 5₋ex Soluci´on. . 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x y Figura 2:f(x) =e−x 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x y Figura 3:f(x) =ex−2 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x y Figura 4:f(x) =ex −3

La gr´afica de la figura2 se obtuvo de reflejar la gr´afica de y=ex_{respecto al eje y. La gr´afica de}

la figura 3 se obtuvo al desplazar horizontalmente 2 unidades hacia la derecha la gr´afica de y =ex_.

Finalmente, la gr´afica de la figura 4 se obtuvo al desplazar verticalmente 3 unidades hacia abajo la gr´afica dey=ex_.

Referencias

[1] M. Sullivan,Algebra y Trigonometr´ıa´ , s´eptima edici´on, editorial Pearson, 2006. [2] E. W. Swokowski,Calculus with analytic geometry, PWS Publishers, 1983.

[3] F.D. Demana, B.K. Waits, G.D. Foley, D. Kennedy,Prec´alculo, s´eptima edici´on, editorial Pearson, 2006.