Dominio y Campo de Valores de una Función. Prof. S. Vélez 1

(1)

Prof. S. Vélez 1

Dominio y Campo de Valores

de una Función

(2)

Objetivos

•Determinar el dominio de una función dado su gráfica

•Determinar el campo de valores, recorrido

Prof. S. Vélez 2 •Determinar el campo de valores, recorrido o alcance de una función dado su gráfica.

(3)

¿Cómo se determina el dominio y

alcance (Campo de Valores) en una

gráfica?

• El dominio será el conjunto de valores en el eje de las abscisas ( eje de x) para los cuales la función tiene al menos un punto con ese valor.

Prof. S. Vélez 3

con ese valor.

• El campo de valores (alcance) será el conjunto de valores en el eje de las

ordenadas ( eje de y) para los cuales la función tiene al menos un punto con ese valor.

(4)

• La notación de intervalo es la más común representación del dominio y el campo de valores en estos conjuntos que no pueden

Intervalos

Prof. S. Vélez 4 valores en estos conjuntos que no pueden separarse uno del otro (continuos)

• Observemos distintos tipos de intervalos para los cuales a y b son números reales, tales que a < b.

(5)

[ ]

( )

(

]

[

a b

)

b a b a , , , Notación de desigualdad Intervalo b x a b x a b x a ≤ < < < ≤ ≤

Intervalos

Prof. S. Vélez 5

[

)

( )

[

)

(

)

(

b

]

b a a b a , , , , , ∞ ∞ ∞ ∞ − − b x b x a x a x b x a ≤ < ≥ > < ≤

(6)

Intervalos

[ ]

( )

(

]

[

a b

)

b a b a b a , , , , Intervalo Gráfica ¿Qué incluye?

a y b y todos los números entre ambos todos los reales entre a y b pero sin ellos todos los reales entre a y b y al número b

pero NO incluye a

todos los reales entre a y b y al número a

x x x a b a b a b Prof. S. Vélez 6

[

)

( )

[

)

(

)

(

b

]

b a a b a , , , , , ∞ ∞ ∞ ∞ − −

todos los reales entre a y b y al número a pero NO incluye b

todos los reales mayores que a pero NO incluye a

todos los reales mayores o iguales que a todos los reales menores que b pero NO

incluye b

todos los reales menores o iguales que b

x a b x x x x a a b b

(7)

Aspectos importantes de la

notación de intervalo

(8)

Ej. 1 Determina el dominio y campo de valores de cada gráfica.

1 2 3 4

y

Prof. S. Vélez 8 -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 1 2 3

x

(

−∞ ∞

,

)

D

=

C.V.

=

(

−∞ ∞

,

)

R

=

₌

_R

(9)

Ej. 2

Ej. 2 Determine el dominio y el campo de Determine el dominio y el campo de valores. valores. 2 3 4

y

D

=

(

−

∞

,

∞

)

R

=

Prof. S. Vélez 9 -3 -2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 1 2 3

x

[

0 ,

∞

)

C.V.

=

0 ≥

y

(10)

2 3 4

y

Ej. 3

Ej. 3 Determine el dominio y el campo de Determine el dominio y el campo de valores. valores.

D

=

(

−

∞

,

∞

)

=

R

Prof. S. Vélez 10 -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 1 2 3

x

(

−

∞

,

3 ]

C.V.

=

3 ≤

y

(11)

Ej. 4

Ej. 4 Determine el dominio y el campo de Determine el dominio y el campo de valores. valores. 1 2 3 4

y

Prof. S. Vélez 11 -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 1 2 3

x

(

−∞ ∞

,

)

D

=

R

=

C.V.

=

₌

(

_R

−∞ ∞

,

)

(12)

Ej. 5

y

Prof. S. Vélez 12 -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 1 2 3

x

D

=

(

−∞ ∞

_,

)

_C.V.

=

y

≥

0 ℜ

=

[

0 ,

∞

)

(13)

Ej. 6

y

Prof. S. Vélez 13 -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 1 2 3

x

D

=

(

−∞ ∞

_,

)

_C.V.

=

[

−

₂

_,

∞

)

ℜ

=

_y

_≥

₋

₂

(14)

Ej. 7

y

C.V.

=

(

−

∞

,

3 ]

3 ≤

y

Prof. S. Vélez 14 -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 1 2 3

x

D

=

(

−∞ ∞

_,

)

₌

_ℜ

(15)

Ej. 8

y

C.V.

=

(

−

₂

_,

₄

]

4

2 <

≤

−

y

Prof. S. Vélez 15 -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 1 2 3

x

D

=

(−3

, 3

]

−

3 <

x

≤

3

(16)

Ej. 9

Ej. 9 Determine el dominio y el campo de V.Determine el dominio y el campo de V.

1 2 3 4

y

(

−

∞

) ( )

∪

∞

=

,

2

2 ,

D

C

.V

.

=

(

−

∞

,

0 ) ( )

∪

0 ,

∞

Prof. S. Vélez 16 -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 1 2 3

x

D

=

{

x

≠

2 }

_C.V.

₌

{

_y

_≠

₀

}

Asíntota Vertical

(17)

Ej. 10

Ej. 10 Determine el dominio y el campo de V.Determine el dominio y el campo de V.

1 2 3 4

y

D

=

{

_x

≠

−

₁

}

(

−

∞

−

) (

∪

−

∞

)

=

,

1

1 ,

D

Prof. S. Vélez 17 -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 1 2 3

x

C.V.

=

{

y

≠

1 }

(

−

∞

) ( )

∪

∞

=

,

1

1 ,

.

.V

C

(18)

2 3 4

y

Ej. 11

Ej. 11 Determine el dominio y el campo Determine el dominio y el campo de valores. de valores.

D

=

[

)

∞

−

3 ,

3 −

≥

x

Prof. S. Vélez 18 -3 -2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 1 2 3

x

[

− 2,1

)

∪

[

3 ,

∞

)

C.V.

=

(19)

x

y

-2 2

-1 -1

0 -2

Dominio Recorrido y y = x2 _{– 2} (2,2) (-2,2) Ej. 12

Ej. 12 DeterminDeterminaa elel domindominioio y y alcancealcance

Prof. S. Vélez 19

0 -2

1 -1

2 2

x (1,-1) (0,-2) (-1,-1)

(

−∞ ∞

,

)

D =

[

0,∞

)

C.V.=

(20)

Ej. 13

Ej. 13 DeterminDeterminaa elel domindominioio

4 _{(2, 3)} y

Dominio:

[

0 ,

10 ]

=

D

10

0 ≤

x

≤

Prof. S. Vélez 20 0 -4 (0, -3) (4, 0) (10, 0) (1, 0) x

(21)

Ej. 14

Ej. 14 DeterminDeterminaa elel alcancealcance o Campo de Valoreso Campo de Valores

4 _{(2, 3)} y

Alcance o C. V.:

[

−

3 ,

3 ]

=

A

3

3 ≤

≤

−

y

Prof. S. Vélez 21 0 -4 (0, -3) (4, 0) (10, 0) (1, 0) x

(22)

Ej. 15

Ej. 15 DeterminDeterminaa los los interceptinterceptoos en X s en X dede la la siguiente

siguiente grgráficaáfica..

4 _{(2, 3)} y

_{Interceptos en x:}

( ) ( ) (

1 ,

0 ,

4,0

,

10,0

)

Prof. S. Vélez 22 0 -4 (0, -3) (4, 0) (10, 0) (1, 0) x

(23)

4 _{(2, 3)}

y

_{Interceptos en y:}

(

0 ,

−

3 )

Ej. 16

Ej. 16 DeterminDeterminaa los los interceptinterceptoos en Y s en Y dede la la siguiente

siguiente grgráficaáfica..

Prof. S. Vélez 23 0 -4 (0, -3) (4, 0) (10, 0) (1, 0) x

(24)

¿Cómo encontrar el dominio

en forma algebraica?

Posibles restricciones del dominio.

1.

1. División por cero:División por cero: La división por La división por

Prof. S. Vélez 24

1.

1. División por cero:División por cero: La división por La división por cero no está definida.

cero no está definida. Ejemplo: Ejemplo:

3

4

4 x

x

−

_{∴ ≠}

−

(25)

Posibles restricciones del dominio.

2.

2. Raíces Raíces parespares de números de números negativos:

negativos: Las raíces pares de Las raíces pares de

números negativos son números números negativos son números imaginarios o complejos. imaginarios o complejos. Ejemplo: Ejemplo: Prof. S. Vélez 25 Ejemplo: Ejemplo:

ℜ

≠

−

=

−

≥

=

∴

−

2

4

2

4

4 D

x

(26)

No hay restricciones del dominio

para raices impares.

3. Raíces

3. Raíces imparesimpares de números de números negativos:

negativos: Las raíces impares de Las raíces impares de números negativos son números números negativos son números reales reales Ejemplo: Ejemplo: Prof. S. Vélez 26 Ejemplo: Ejemplo:

ℜ

=

∴

−

ℜ

=

∴

−

D

x

D

x

5

3

2

5

(27)

4. Determine el dominio de cada función

..

Hay posible división por cero.

3 ( )

1 x

f x

x

−

=

−

1

0 x

− ≠

Prof. S. Vélez 27

=

Dominio

(

−∞

,1

)

∪

( )

_1,

∞

1

0 x

− ≠

1 x

≠

{ }

1 ℜ−

(28)

5.

5. Determine el dominio de cada funciónDetermine el dominio de cada función

..

Hay posible división por cero.

6

2

2 )

(

+

−

=

x

f

Prof. S. Vélez 28

2 x

+ ≠

6

0

3 x

≠ −

=

Dominio

(

−

∞

,

−

3 )

∪

(

−

₃

_,

∞

)

= − −

R

{ }

3

-3

(29)

0

4 ≥

−

x

Nota: Raíz cuadrada, no pueden haber números negativos dentro de la raíz.