TRABAJO PRACTICO N
1
DIFERENCIALES
DE
FUNCIONES
DE
VARIAS
VARIABLES.
INTERPRETACIONES GEOMETRICAS Y APLICACIONES .DERIVADAS
DE
FUNCIONES
COMPUESTAS
E
IMPLICITAS.
DERIVADA
DIRECCIONAL. GRADIENTE. DIVERGENCIA. ROTOR.
Definiciones Gradiente: Grad U = U =
U
x i U y j U z k donde U = U(x y z, , ). Divergencia: Div a = .a =
a
x a y a z 1 2 3 donde a = a i1 a j2 a k3 Rotor: Rot a = x a = i j k x y z a a a
1 2 31. .a) Hallar df x y( , ) siendo f x y( , ) y.cosxex y. .
b) Hallar df( 2 1 siendo , ) f x y( , ) x yx.
c) Hallar df x y z( , , ) siendo f x y z x
y z x
( , , )cos ln .
d) Hallar df( 11 2 siendo , , ) f x y z( , , )3x y1xzy z xyz
2
2 3 2 .
2. a) Hallar fx( , )0 0 y fy( , )0 0 si f x y( , )3 xy.
b) Indicar si dicha función es diferenciable en (0,0), justificando la respuesta.
3. El volumen del cono es V 1 r h
3
2
. Se construye un cono de altura h6 y radio r3, cometiéndose errores r y h en su radio y altura, respectivamente. Completar la tabla adjunta para mostrar la relación entre V y dV para dichos valores.
r h dV V V - dV
0.1 0.1
0.1 -0.1
0.001 0.002 -0.001 0.002
4. Aproximar el cambio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 6 y 8 u
cuando el más corto se prolonga 1
4 u y el más largo se acorta 1 8 u.
5. La aceleración de un cuerpo que se desliza hacia abajo en un plano inclinado, prescindiendo del rozamiento, viene dada por la fórmula ag.sen . Si i g varía 3cm por segundo cuadrado y si el valor de i , que mide 30 puede tener 1 de error, ¿cuál es el error
aproximado del valor calculado de a? Tómese el valor normal de g como 9 80. m 2
s .
6. Hallar Zxx,Zyy,Zxy,Zyx para cada una de las siguientes funciones:
a) z y
x
arctg b)
z
x
y c) zx.senh(xy) 7. Demostrar que la función z x yx
ln verifica la siguiente ecuación:
x y Z y Z Z x y xx xy yy 2 2 1 2
8. Hallar d f x y2 ( , ) y d f x y3 ( , ) de la función del ejercicio 1 a).
9. Hallar d f2 ( 11 2, , ) de la función del ejercicio 1 d).
10.Demostrar que las funciones dadas verifican la ecuación (llamada ecuación de Laplace):
2 2 2 2 2 2 0 z x z y a z e x y y y b z x y x ) ( sen cos ) ) ln ( )11.Reconstruir, si es posible, las funciones de las cuales provienen las siguientes expresiones:
a ydx x y dy b x y dx x y dy c x y y dx x xy y dy d xy y dx xe x dy e x y x dy xy y x dx f x z y dx xy y z dy x y dz g yz dx x ydy x z dz h y y z dx x z x y y ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( sen ) ( cos ) ) ( ) ( ) ( ) ) ln( ) ) ( ) ( 1 2 3 3 2 3 2 4 6 6 2 2 3 2 3 3 3 3 2 4 2 3 2 1 1 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 yz dy z xy z y dz ) ( )
12.Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a) 2xy dx3 (3x y2 2 2y dy) 0 ; solución particular en (1,-1). b y x y x dx y x x y dy c xy y x dy dx ) ( ) ( ) ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 0 2 0
d) ex(dxdy)ey(xdyydx) ; solución particular en (0,-2).
e y xy y x y y ) ' ln 2 1 2 2 2
13.Encontrar la trayectoria ortogonal que pasa por (3,0) de la familia de curvas
y x 1 Cex.
14.Encontrar las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a:
a z) x y 2 2 2 2 en (2,1,4) b xy) z 2 1 en (2,1,1) c z) x2 xy2y2 en (4,1,f(4,1)) d z xe y x ) 2 en ( , , ( , ))1 2 1 2 1 2 1 2 f 15.Dada z x23xy donde x t y t 2 4 2 , hallar dz
dt como derivada de una función
compuesta, verificarla luego expresando z como función de t y calcular dz
dt t2. 16.Hallar
z x y dz dx si z x x x y ln e y x2. 17.Dada f x y z( , , )xz2 y2, hallar f u f v , siendo x u v y u v z v u . 2 2 .18.Hallar las derivadas de t respecto de x, y, z para x=-2, y=0, z=/2 dada
tu3v22w2 siendo u x yz v x z w xy 2 sen .
19.Hallar y’ en las siguientes funciones: a e y e x b y y x y x ) sen cos ) 1 1
20.Hallar las derivadas parciales de z respecto de x y de y de:
1 1 2 3 3 2 0 3 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 c z b y a x ) d x cos z z cos y y cos x ) c y xyz z y x ) b y yz z y x ) a Verificar despejando z f x y( , ) .
21.Sea z=z(x,y) la función diferenciable determinada por la ecuación z3xz y 0. Hallar
dz(-1,2).
22.Calcular la derivada direccional de la función f x y( , ) x2xy en (1,3) y en la dirección de la recta y=x . Verificar aplicando la definición.
23.Hallar la derivada de la función zx32x y2 xy21 en el punto M (1,2) en la dirección que va desde éste al punto N (4,6).
24.Hallar la derivada de la función zln x2 y2 en el punto (1,1) y en la dirección:
a) de la bisectriz del primer cuadrante.
b) del semieje negativo de las x.
25.Siendo f x y( , ) 9 x2 y2, hallar D f( , ) u 2 1 → siendo → u el vector unitario en la dirección del vector U = – 4i – 3j.
26.Hallar la derivada de la función u x23yz5 en el punto M (1,2,-1) en la dirección que forma ángulos iguales con todos los ejes coordenados.
27. Calcular el gradiente de las siguientes funciones en los puntos dados:
a z x y en c z x y en e u x y z en ) ( , ) ) ( , ) ) ln( ) ( , , ) 2 2 2 2 2 1 1 4 1 1 0 1 b z x y x en d u x y z en ) cos( ) tg ( , ) ) . . ( , , ) 2 1 2 3
28.Hallar la magnitud y la dirección de la máxima razón de cambio de la función dada por: ) , , ( en z . y . x u ) d ) , , ( en z y x u ) c ) , ( en x y x z ) b ) , ( en y x z ) a 3 0 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 3 2 2 2
29.Determinar el ángulo formado por los gradientes de la función u x2y2 z2 en los puntos A (-1,0,0) y B (0,2,0).
30.Dada la función f x y( , )2x2 3y2, hallar en el punto (3,2)
a) la pendiente en la dirección y x
3 .
b) la dirección de pendiente máxima y calcular la pendiente en dicha dirección.
c) la dirección de pendiente nula.
31.Dada la superficie de ecuación x2y2 z2 29, con z > 0 :
a) Hallar el gradiente de la función en el punto (-3,4) y graficarlo.
b) Hallar el valor de la derivada en el punto (-3,4) y en la dirección que forma un ángulo = /3 con el semieje positivo de las abscisas medido en sentido antihorario.
c) Verificar gráficamente el valor hallado en b).
d) Hallar la curva de nivel de la función dada en el punto (-3,4).
e) Verificar gráfica y analíticamente la relación existente entre la curva de nivel y el gradiente de z en el punto (-3,4).
32.Dado el campo escalar U x3y3z33xyz
a) Hallar la magnitud y la dirección del gradiente en el punto (2,1,1).
b) Determinar en qué puntos el gradiente del campo U es perpendicular al eje z, y en cuales es igual a cero.
33.Hallar la divergencia y el rotor de los siguientes campos vectoriales, indicando si alguno de ellos es irrotacional o solenoidal.
a a xyz i x y z j yz k en b a x x y i y x y j x k c a ex y i ex y j ) . . . ( , , ) ) . . . ) sen . cos . 2 2 3 2 2 2 2 2 1 1 1
34.Calcular la divergencia y el rotor del gradiente de un campo escalar U. 35.Si x yz2 3 y a xz i. y2.j2x y k2 . , hallar: a) b) .a c)a d) div(a) e) rot(a ) 36.Si xyyzzx y a x y i2 . y z j2 . z x k2 . , hallar en (3,-1,2): a) a. b) ∇.a c) () a
37.Verificar las siguientes identidades:
a) div rot v 0
b) ( u) u u , (con, u: campos escalares)
a . ) ( ) a ( ) a ( ) e b a ) b a ) d b a ) b a ) c = ∇ + ∇ ∇. × ∇ + × ∇ = + ( × ∇ ∇. + ∇. = + ( ∇.
Ejercicios Propuestos
1. Analizar si la función z (x1)y es diferenciable en (1,0).
2. La resistencia de un circuito se halló empleando la fórmula I=E/R , siendo I la intensidad de la corriente y E la fuerza electromotriz. Si hay un error de 1/10 amperio en I y 1/20 voltio en E ,Cuál es un valor aproximado del máximo error de R si las lecturas son I=15 amperios y E=110 voltios?
3. Demostrar que para la función z y x y 2 ln se verifica que: 2xZ yZ Z 2 x 3 y xx xy yy ln
4. Reconstruir, si es posible, la función de la cual proviene la siguiente expresión:
(z x xln )y dx ( x ) ( ) y z dy z y xz dz 3 4 2 2 2 6 3 1 3
5. Un lado de un rectángulo de x=20m aumenta con una velocidad de 5m/s, el otro lado de
y=30m, disminuye con una velocidad de 4m/s. ¿Con qué velocidad variarán el perímetro y el área de dicho rectángulo?
6. Un punto se mueve sobre la curva de intersección de la superficie esférica
x2y2z2 49
y el plano y = 2. Sabiendo que cuando x es 6 aumenta a razón de 4 unidades por segundo, hallar:
a) a razón de cuántas unidades por segundo z cambia;
7. Siendo z x y z 2 2 2 2 demostrar que x Z yZ z x y 2 1 1 .
8. Dada la superficie de ecuación x yz xz
y x
2 2
3 1 0
; z > 0 ; y el punto P (-1,1) perteneciente al dominio de dicha función:
a) hallar la ecuación de la recta tangente a la curva intersección de dicha superficie con un plano paralelo al yoz que pasa por el punto (-1,1, f(-1,1)).
b) hallar las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie dada en (-1,1,f(-1,1)).
c) hallar el gradiente de la función en P y graficarlo.
d) hallar el valor de la derivada en P y en la dirección del semieje negativo de las x. e) hallar el valor de la derivada en P y en la dirección del eje negativo de las y.
f) verificar gráficamente los valores hallados en d) y e).
g) hallar la curva de nivel de la función dada en P.
h) verificar analíticamente la relación existente entre la curva de nivel y el gradiente de la función en P.
9. Determinar el ángulo formado por los gradientes de la función u2xyx yz2 2z2 en los puntos P (0,1,-1) y Q (1,-1, 0).
10.Contestar verdadero o falso a cada una de las siguientes proposiciones. Justificar.
a) Si f x y( , ) 1x2 y2 D f ( , )0 0 0 , b) Si f x y( , ) x y 1 D f x y ( , )1 c) Si D f x y existe ( , ) D f x y ( , ) D f x y( , ) d) Si D f x ( 0,y0)C, C 0 e) Si F x y z( , , ) f x y( , ) z F fx( , ).x y i fy( , ).x y jk 11.a) Demostrar que ( a) 2a a. b) Verificar el resultado de a) si a3xz i2 yzj(x2z k)
Respuestas a los ejercicios
1. a y x e dx x xe dy b dx dy c y x y z x dx x y x ydy x dz d dx dy dz xy xy ) (sen ) (cos ) ) ) ( sen ) sen ln ) - 2 1 5 11 2 9 2
2. fx(0,0) = 0; fy(0,0) = 0 . No es diferenciable en (0,0) pues el infinitésimo no es de orden
3. V dV V-dV 4.8391 4.7124 0.1267 2.8264 2.8274 -0.0010 0.0566 0.0566 0.0000 -0.0189 -0.0189 0.0000 4. 1/20 u 5. 0.163 m/s2 6. ) xy ( ysh x ) xy ( xch 2 Z Z ; ) xy ( sh x Z ; ) xy ( sh xy ) xy ( ych 2 Z ) c x ) x ln y 1 ( Z Z ; x ln x Z ; x ) 1 y ( y Z ) b ; ) y x ( y x Z Z ; ) y x ( xy 2 Z ; ) y x ( xy 2 Z ) a 2 yx xy 3 yy 2 xx yx xy 2 yy xx 2 2 2 2 2 yx xy 2 2 2 yy 2 2 2 xx 1 y y 2 y 8.
3 xy 3 2 xy 2 xy 2 xy 3 xy 2 3 2 xy 2 xy xy 2 xy 2 dy e x dxdy ) xy 2 ( xe 3 dy dx ) e xy ye 2 x (cos 3 dx e y x sen y ) y , x ( f d dy e x dxdy ) xye e x (sen 2 dx ) ye x (cos y ) y , x ( f d 9. d2f(1,1,2)6dx224dy2 2dz28dxdydxdz26dydz 11. x y x y Q P ) d C y xy y x ) c Q P ) b C y x ) y , x ( f ) a ≠ 2 2 ≠ 3 2 3 C z z y z xy y x x ) h R P ) g C z yz y xz xy x ) f C x ysen y x ) y , x ( f ) e x z 2 ≠ 2 3 2 3 2 2 2 2 3 2 2 12. a x y y b y x xy x y C c x y y C d e e xy e x y y C x y ) ) ln ) ) ) ln ( ) 2 3 2 2 2 2 2 3 0 1 3 1 13. x y 1 4ey 14. a x y z x y x z b x y z x y x z ) ; ) ; 2 4 4 2 3 2 10 1 2 3 2 5 1 2 c x z x z y d ey z y ez e x ) ; ) ; 9 18 9 166 1 2 0 2 2 2 1 2 1 2 15. 64 dt dz ; ) 2 t ( t 6 ) 4 t ( 3 ) 2 t ( 2 dt dz 2 t 2 16. 2 2 ) x 1 ( x x ln x x 1 dx dz ; ) y x ( x ln y y x x z 17. 2 3 3 u3 3uv2 4v3 v f ; u 4 v v u 3 u f 18. -20; -6; 0; 19. 1 x x y x y x xy 1 y ln y ' y ) b x cos e y cos e x sen e y sen e ' y ) a 20. z b y c Z ; z a x c Z ) d x cos z sen y z cos y sen x Z ; x cos z sen y x sen z y cos Z ) c ) z xy ( 3 2 xz 3 y 6 Z ; z xy yz x Z ) b y z 6 1 z y 4 Z ; y z 6 x 2 Z ) a 2 2 y 2 2 x y x 2 2 y 2 2 x y x 21. ) dy dx ( ) 2 , 1 ( dz 41 22. 2 23.1 24. a) 2 2 b) -1/2
25. 4
26. 3
3
27.a) 2(i+j) b)2i+j c)i-2j d)6i+3j+2k e)-i+k
f) a) c) 28. a)2 5 , 63 26’ b) 2 , /4 c) 6; d = 2/3i - 2/3j + 1/3k d) 9; d = j 29. /2 30. a) 6( 3-1); b) 7/4 o ( 2/2, – 2/2) , 12 2 ; c) /4 o ( 2/2, 2/2) , 5/4 o (– 2/2, – 2/2) 31. a) 2 3 i - 2j b) 4 3 - 3 -0.987 d) x2y2 25 c) e)
e) Pendiente z(-3,4) = -4/3; Pendiente curva de nivel en (-3,4) = 3/4. (-3,4) -0.98 -3 -1.5 2 4 x y (-3,4) -3 -1.5 2 4 x y 5 /3
k . j . i . ) c ) b ) a . k ) z x z xy ( j ) z y x yz x ( i ) z y x yz x )( e z y x z y x yz x ) d j ) xy x ( i x ) c y z ) b k yz x j z x i xyz ) a . ) U ( rot ; U ) U ( div . Solenoidal y al Irrotacion a rot ; a div ) c Solenoidal xj a rot ; a div ) b k j a rot ; a div ) a . z y x / R ) z , y , x ( los Todos ; xy z / R ) z , y , x ( los Todos ) b k j i d ; U a) . 47 30 56 2 25 36 2 8 4 3 4 6 3 3 4 2 2 3 2 35 0 34 0 0 2 0 6 33 11 11 3 32 4 3 3 3 3 2 3 3 3 2 3 2 3 4 2 2 4 3 2 2 4 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 11 11 11 11 11 3
Respuestas a los ejercicios propuestos
1. No es diferenciable dicha función en (1,0) pues el infinitésimo no es de orden superior al infinitésimo tipo, ya que no existe el límite.
2. 0.0522 ohmios. 4. U x y z xz x x y yz z C ( , , ) 3 ln 5 2 5 3 1 5. s m dt dA ; s m dt d 2 70 2
8. 2 z 0 1 x 3 y x 2 y x 4 ) g 2 ) e 1 ) d j 2 i ) 1 , 1 ( f ) c 1 z x 1 y x 2 ; 5 z y 2 x ) b 1 x 4 y 2 z ) a 2 f) h) Pendiente z(-1,1) = -2
Pendiente curva de nivel en (-1,1) = 1/2.
9. = 2/3
10.a) V; b) F; c)V; d)V; e)V; |Df(-1,1)| = 1