5. RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO

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(1)

5.

RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO

5.1 PUNTOS EN EL ESPACIO

Sabemos que para determinar la posición de un punto en el plano necesitamos tomar, por una parte, un sistema de referencia y , por otra, medir las coordenadas del punto respecto al sistema de referencia elegido.

En curso anteriores hemos visto que si se eligen en el plano un sistema de referencia cartesiano, cada punto viene determinado por sus dos coordenadas

(

x

0

,

y

0

)

; de esta forma localizamos el punto midiendo sus distancias a los dos ejes de referencia:

Para poder medir las distancias

x

0

e

y

0 necesitamos tomar unidades de referencia en los dos ejes coordenados. Si representamos dichas unidades de referencia por medio de dos vectores perpendiculares unitarios

( )

i

.

j

, estos serán una base para los vectores del plano

( )

V

2 , y el vector que une el origen con el punto

P

[

x

0

,

y

0

]

se puede escribir como combinación lineal de los vectores de la base:

OP

=

x

0

i

+

y

0

j

(2)

De igual manera si queremos determinar un punto del espacio debemos tomar un sistema de referencia y las coordenadas del punto respecto al sistema elegido.

Tomamos un punto fijo O (origen) y tres direcciones indicadas par tres vectores no coplanarios

→ → → 3 2 1

e

e

e

,

,

que forman una base en

V

3; cualquier punto

P

determina con

O

el vector

OP

que se puede escribir como combinación lineal de los vectores dela base

→ → → →

+

+

=

x

1

e

1

x

2

e

2

x

3

e

3

OP

como sabemos , los números

(

x

1

,

x

2

,

x

3

)

son las coordenadas del vector

OP

respecto a la base

→ → → 3 2 1

e

e

e

,

,

Dado que de esta forma determinamos cualquier punto

P

del espacio, podemos decir que el conjunto

→ → → 3 2 1

e

e

e

O

;

,

,

es un sistema de referencia en el espacio

E

3 , ya que a cada punto le hacemos corresponder un vector y a cada vector le corresponden unas coordenadas de

R

3

De aquí en adelante, y mientras no se diga otra cosa, emplearemos una base ortonormal, formada por tres vectores iguales, perpendiculares entre sí, que tomaremos de módulo unidad, y que designaremos por

(

i

,

j

,

k

)

; dichos vectores orientan tres ejes coordenados

(

x

,

y

,

z

)

, como indican la figura: ( 1 2 3) 3 3 3 x OP P R V E DE S COORDENADA UNAS e correspond le DE VECTOR UN e correspond le DE PUNTO CADA A x x , , ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ← ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ← →

(3)

5.2 ECUACIONES DE LA RECTA

Podemos considerar una recta como un conjunto de puntos en EL espacio que mantienen una misma dirección. Estamos acostumbrados a representar una recta en dibujo por los que nos es fácil imaginarnos qué forma tiene.

Como hemos visto en el apartado anterior, un punto queda determinado por las tres coordenadas del vector que une el origen con el punto. De la misma manera, una recta puede determinarse mediante una ecuación cuyas soluciones sean los puntos que pertenecen a la misma:

a) Ecuación vectorial de la recta.

Sea una recta

r

que pasa por el punto

P

0

(

x

0

,

y

o

,

z

o

)

y que la dirección del vector

ck

bj

ai

v

=

+

+

, llamado “vector director de la recta”

Representemos por

P

(

x

,

y

,

z

)

cualquier punto que pertenezca a la recta

r

; como vemos en la figura, se cumple:

(4)

→ → → → →

+

=

+

=

OP

0

P

0

P

OP

λ

v

OP

siendo

λ

un número (parámetro) que dependerá de la situación del punto

P

Si expresamos la igualdad anterior en función de las coordenadas de los vectores tenemos la ecuación vectorial de la recta:

(

x

,

y

,

z

) (

=

x

0

,

y

0

,

z

0

) (

+

λ

a

,

b

,

c

)

Ejemplo 1. a) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto

A

(

1,-1,2

)

y contiene como vector director

w

=

(

3

i

j

+

5

k

)

. b) Encontrar un punto de la recta . c) Encontrar el punto de dicha recta cuya coordenada

y

=

0

. d) Indicar si el punto

(

1

,

1

,

3

)

pertenece a dicha recta

a) La ecuación de la recta es:

(

x

,

y

,

z

) (

=

1

,

1

,

2

) (

+

λ

3

,

1

,

5

)

b) Para encontrar puntos en la recta debemos dar valores a

λ

en la ecuación anterior, por ejemplo para

λ

=

3

(

1

,

1

,

2

) (

+

3

3

,

1

,

5

) (

=

10

,

4

,

17

)

el punto

(

10

,

4

,

17

)

es un punto de la recta

c) El punto buscado será de la forma

(

x

,

0

,

z

)

luego:

(

x

,

0

,

z

) (

=

1

,

1

,

2

) (

+

λ

3

,

1

,

5

)

debemos encontrar el valor de

λ

que cumple esa ecuación; para ello identificamos las coordenadas

0

=

1

1

·

λ

de donde

λ

=

1

y el punto buscado

(

1

,

1

,

2

) (

1

3

,

1

,

5

) (

=

2

,

0

,

3

)

d) Para que el punto

(

1

,

1

,

3

)

pertenezca a la recta debe existir algún valor de

λ

que cumpla:

(

1

,

1

,

3

) (

=

1

,

1

,

2

) (

+

λ

3

,

1

,

5

)

identificando las coordenadas obtenemos el siguiente sistema:

+

=

=

+

=

λ

λ

λ

5

2

3

1

1

3

1

1

que es incompatible, luego el punto

(

1

,

1

,

3

)

no pertenece a la recta.

b) Ecuación paramétrica de la recta

Si en la ecuación vectorial de la recta separamos las tres coordendas, tenemos la ecuación paramétrica

(5)

+

=

+

=

+

=

λ

λ

λ

λ

con

0 0 0

c

z

z

b

y

y

a

x

x

Ejemplo 2. Encontrar el vector director de la recta

+

=

=

=

λ

λ

2

-1

z

1

y

3

-2

x

r

La recta

r

tiene al vector

3

i

+

2

k

como vector director

c) Ecuación continua de la recta

Si en la ecuación paramétrica de la recta despejamos el parámetro e igualamos tenemos:

=

+

=

+

=

+

=

λ

λ

λ

λ

0 0 0

c

z

z

b

y

y

a

x

x

c

z

z

b

y

y

a

x

x

0 0

0

=

=

que es la ecuación de la recta en forma continua

Ejemplo 3. Escribir la forma continua de la ecuación de la recta que pasa por los puntos

A

(

2

,

2

,

3

)

y

(

1

,

1

,

1

)

B

Si tenemos en cuanta que los denominadores de la forma continua son las coordenadas de un vector de la recta

4

3

1

2

3

-2

-x

3

1

3

2

1

2

2

1

2

+

=

=

+

+

=

=

y

z

y

z

x

o también

4

1

1

1

3

1

x

1

3

1

1

2

1

1

2

1

=

=

+

=

=

+

+

y

z

y

z

x

d) Ecuación implícita de la recta

Si en la ecuación continua desglosamos las ecuaciones que expresan la igualdad obtenemos la ecuación implícita:

(6)

=

+

+

=

+

+

2 2 2 2 1 1 1 1

D

z

C

y

B

x

A

D

z

C

y

B

x

A

en la que

A

i

,

B

i

,

C

i

,

D

i , son números

El significado de los coeficientes y del sistema lo terminaremos de entender cuando veamos el párrafo siguiente; por ahora sólo adelantamos que se trata de la recta delimitada por dos planos que se cortan

Ejemplo 4. Escribir en todas sus formas la ecuación de la recta que pasa por el punto

(

1

,

2

,

1

)

y contiene el vector

(

1

,

1

,

1

)

- forma vectorial

(

x

,

y

,

z

) (

=

1

,

2

,

1

) (

+

δ

1

,

1

,

1

)

- forma paramétrica

=

+

=

+

=

δ

δ

δ

1

2

1

z

y

x

- forma continua:

x

y

z

x

=

y

+

=

z

=

+

=

1

2

1

1

1

1

2

1

1

- forma implícita

1

2

3

1

1

1

1

2

1

1

x

y

x

y

x

z

x

z

+

=

− =

+ =

=

Ejemplo 5. Escribir en forma paramétrica y en forma continua la recta

=

=

+

3

3

2

1

z

y

x

z

y

x

y encontrar el vector director

El sistema lo podemos escribir en la forma :

+

=

=

z

y

x

z

y

x

3

3

2

1

que es compatible indeterminado; de donde:

2 4

1 5

x

z

y

z

= +

⎨ = +

(7)

y haciendo

z

=

λ

tenemos

2 4

1 5

x

y

z

λ

λ

λ

= +

⎪ = +

⎪ =

y en forma continua:

2

1

4

5

x

y

z

=

=

cuyo vector director es

4

i

+

5

j

+

k

Ejemplo 6. Demostrar que la ecuación de la recta que pasa por los puntos

(

x

0

,

y

0

)

y

(

x

1

,

y

1

)

, puede escribirse en la forma:

0

1

1

1

1 1 0 0

=

y

x

y

x

y

x

En efecto el vector director de la recta es

(

x

0

x

1

,

y

0

y

1

)

, luego su ecuación paramétrica es:

(

)

(

)

=

(

(

)

)

=

+

=

+

=

1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1

y

y

y

y

x

x

x

x

y

y

y

y

x

x

x

x

λ

λ

λ

λ

para poder eliminar el parámetro

λ

tendrá que ser

0

1 0 1 1 0 1

=

y

y

y

y

x

x

x

x

o bien

0

1 0 1 0 1 1

=

y

y

x

x

y

y

x

x

determinante cuyo desarrollo es igual al propuesto como fácilmente se puede comprobar: 1 0 1 1 0 1

y

y

y

y

x

x

x

x

1

1

1

1 1 0 0

y

x

y

x

y

x

5.3. ECUACIONES DEL PLANO

Podemos considerar un plano como el conjunto de puntos que mantienen dos direcciones. La ecuación que determina los puntos del plano se puede expresar de varias formas:

(8)

a) Ecuación vectorial del plano

Sea el plano

π

en el cual tomamos un punto fijo

P

0

(

x

0

,

y

0

,

z

0

)

y dos direcciones según los vectores

v

=

a

1

i

+

b

1

j

+

c

1

k

y

w

=

a

2

i

+

b

2

j

+

c

2

k

Si tomamos un punto genérico del plano

P

(

x

,

y

,

z

)

, se cumple que: → → →

+

=

OP

P

P

OP

o o pero el vector →

P

P

o es combinación lineal de los vectores

v

y →

w

, es decir → → →

+

=

w

P

P

o

λ

v

η

luego → → → →

+

+

=

OP

v

w

OP

o

λ

η

que puede considerarle como la

ecuación vectorial del plano; si expresamos dicha ecuación en función de las coordenadas de los vectores, tenemos:

(

x

,

y

,

z

) (

=

x

0

,

y

0

,

z

0

)

+

λ

[

a

1

,

b

1

,

c

1

]

+

η

(

a

2

,

b

2

,

c

2

)

λ

,

η

Ejemplo 7. Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto

(

1

,

1

,

5

)

y contiene a los vectores

j

i

+

2

y

i

2

j

+

3

k

(9)

Ejemplo 8. Estudiar si los puntos A

(

1

,

1

,

2

)

y

2

5

2

0

,

,

B

está, en el plano

(

x

,

y

,

z

) (

=

0

,

1

,

5

) (

+

λ

3

,

3

,

3

) (

+

μ

4

,

2

,

1

)

El punto A estará en el plano si existen valores de

λ

y

μ

, que cumplan las igualdades:

(

1

,

1

,

2

) (

=

0

,

1

,

5

) (

+

λ

3

,

3

,

3

) (

+

μ

4

,

2

,

1

)

que identificando las coordenadas nos da el sistema:

+

+

=

+

+

=

=

μ

λ

μ

λ

μ

λ

3

5

2

2

3

1

1

4

3

1

para que este sistema tenga sea compatible y determinado deberá cumplirse que el rango de la matriz ampliada debe ser 2, luego:

57

0

1

3

3

2

3

0

4

3

1

=

luego el sistema es incompatible, por lo que no existen valores de los parámetros que cumplan las igualdades anteriores; así pues, el punto

(

1

,

1

,

2

)

no es un punto del plano

Repitamos los pasos para el punto

⎛ −

2

5

2

0

,

,

B

+

+

=

+

+

=

=

μ

λ

μ

λ

μ

λ

3

5

2

5

2

3

1

2

4

3

0

=

1

3

2

5

3

2

3

-4

-3

0

0

luego el punto

B

está en el plano

b) Ecuación paramétrica del plano

Si en la ecuación vectorial separamos las coordenadas en tres ecuaciones, obtenemos la ecuación paramétrica del plano:

+

+

=

+

+

=

+

+

=

μ

λ

μ

λ

μ

λ

μ

λ

,

2 1 0 2 1 0 2 1 0

c

c

z

z

b

b

y

y

a

a

x

x

(10)

Para poder eliminar los dos parámetros

λ

y

μ

en la ecuación paramétrica , el rango de la matriz ampliada debe ser 2 , luego:

0

2 1 0 2 1 0 2 1 0

=

c

c

z

z

b

b

y

y

a

a

x

x

que es una ecuación implícita del plano.

Si desarrollamos el determinante , obtenemos la ecuación general del plano

Ax

+

By

+

Cz

+

D

=

0

Ejemplo 9. Encontrar la ecuación implícita y general del plano que pasa por los puntos

A

(

1

,

1

,

3

)

,

(

1

,

2

,

0

)

B

y

C

(

0

,

2

,

1

)

Los vectores

=

(

2

1

3

)

,

,

AB

y

=

(

1

1

4

)

,

,

AC

pertenecen al plano, luego:

0

4

3

3

1

1

1

1

2

1

=

z

y

x

es la ecuación implícita del plano buscado.

Si desarrollamos el determinante obtenemos la ecuación general

x

+

5

y

+

z

9

=

0

d) Ecuación normal del plano

En las tres situaciones anteriores hemos determinado la ecuación del plano a partir de un punto y dos vectores, linealmente independientes, contenidos en el plano.

Otra forma de determinar un plano es conociendo un punto del mismo y una dirección perpendicular a él.

Sea

P

0

(

x

0

,

y

0

,

z

0

)

un punto del plano

π

y tomemos un vector perpendicular

Ck

Bj

Ai

n

=

+

+

. Para cualquier punto

P

(

x

,

y

,

z

)

, el vector

P

P

o es perpendicular al vector

(11)

Luego 0

=

0

→ →

P

P

n

·

A x

(

x

0

)

+

B y

(

y

0

)

+

C z

(

z

0

)

=

0

que es la ecuación normal del

plano.

Si desarrollamos y efectuamos los cálculos obtenemos la ecuación general del plano

0

=

+

+

+

By

Cz

D

Ax

en la que

D

=

(

Ax

0

+

By

0

+

Cz

0

)

Ejemplo 10. Encontrar el plano que pasa por el punto

P

(

1

,

3

,

2

)

y es perpendicular a la recta

=

+

=

=

λ

λ

λ

3

3

2

1

2

z

y

x

Como el vector

(

1

,

2

,

3

)

está en al recta, será perpendicular al plano buscado, luego

1

(

x

1

) (

+

2

y

+

3

) (

3

z

2

)

=

0

será el plano buscado.

Efectuando las operaciones y simplificando tenemos la ecuación general del plano buscado:

x

2

y

+

3

z

13

=

0

5.4 POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS

Sabemos que en el plano dos rectos o coinciden, o se cortan, o son paralelas; pero en el espacio hay una tercera posición ya que las rectas pueden cruzarse sin tener ningún punto en común

Sean dos rectas:

+

=

+

=

+

=

1 1 1 1 1 1

c

z

z

b

y

y

a

x

x

r

λ

λ

λ

:

y

+

=

+

=

+

=

2 2 2 2 2 2

c

z

z

b

y

y

a

x

x

s

μ

μ

μ

:

(12)

a) Supongamos que la rectas se cortan en un punto

En esta caso existe un valor de

λ

y una valor de

μ

para los cuales se cumple:

1 1 1 1 1 1

c

z

b

y

a

x

λ

λ

λ

+

+

+

2 2 2 2 2 2

c

z

b

y

a

x

μ

μ

μ

+

=

+

=

+

=

para que este sistema tenga solución, el rango de la matriz ampliada debe ser 2, luego:

2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

=

c

c

z

z

b

b

y

y

a

a

x

x

Rang

b) Si las rectas no se cortan, entonces el determinante de la matriz anterior no es nulo, en este caso estudiamos la situación de los vectores directores de las rectas.

- b1) Las rectas se cruzan en el espacio si:

2 1 2 1 2 1

c

c

b

b

a

a

Rang

=2

- b2) Las rectas son paralelas o coinciden si

2 1 2 1 2 1

c

c

b

b

a

a

Rang

=1

Para ver si son paralelas o coincidentes basta con sustituir un punto de una recta en la otra y comprobar si cumplen la ecuación

Ejemplo 11. Estudiar la posición relativa de las rectas r:

+

=

=

=

λ

λ

λ

1

3

2

z

y

x

y s:

=

=

+

=

μ

μ

μ

z

y

x

3

2

1

26

0

1

1

1

3

1

2

1

3

3

1

1

0

1

3

1

2

0

1

3

1

2

=

=

+

(13)

luego las rectas no se cortan Como

2

1

1

3

1

1

3

=

Ran

, las rectas no son ni paralelas ni coincidentes, se trata de dos

rectas que se cruzan en el espacio.

Ejemplo 12. Estudiar la posición relativa de las rectas r:

=

+

=

=

λ

λ

λ

z

y

x

3

2

5

y s:

+

=

=

+

=

μ

μ

μ

2

3

2

1

4

2

z

y

x

2

2

1

3

2

1

2

4

2

3

=

Rang

Por otra parte como

1

2

1

2

1

4

2

=

Rang

los vectores directores tienen la misma dirección, luego las rectas son paralelas o coincidentes; si sustituimos el punto

(

5

,

3

,

0

)

de r en la recta s, tenemos:

+

=

=

+

=

μ

μ

μ

2

3

0

2

1

3

4

2

5

que es un sistema incompatible, luego las rectas son paralelas

5.5 POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS

(14)

- Si el sistema formado por los planos

=

+

+

+

=

+

+

+

0

0

2 2 2 2 1 1 1 1

d

z

c

y

b

x

a

d

z

c

y

b

x

a

tiene solución, los planos se cortan en una recta; para ello

⎟⎟

⎜⎜

=

⎟⎟

⎜⎜

2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1

d

c

b

a

d

c

b

a

Rang

c

b

a

c

b

a

Rang

=2

- Si los rangos anteriores no coinciden el sistema es incompatible, por los que los planos no tiene ningún punto en común y son paralelos.

- Finalmente si

⎟⎟

⎜⎜

=

⎟⎟

⎜⎜

2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1

d

c

b

a

d

c

b

a

Rang

c

b

a

c

b

a

Rang

=1

los planos son coincidentes:

Ejemplo 13. Estudiar la posición relativa de los planos

π

1

:

3

x

+

2

y

z

+

1

=

0

,

0

5

2

:

x

y

+

z

=

π

⎟⎟

⎜⎜

=

=

⎟⎟

⎜⎜

0

1

1

5

1

1

2

3

2

1

1

5

1

2

3

Ran

Rang

los planos se cortan en la recta

=

+

=

+

+

0

5

0

1

2

3

z

y

x

z

y

x

Ejemplo 14. Encontrar el vector director de la recta delimitada por los planos del ejemplo 13

Sabemos que la recta es

=

+

=

+

+

0

5

0

1

2

3

z

y

x

z

y

x

Por otra parte, el vector

(

3

,

2

,

1

)

es perpendicular al plano

π

1 , mientras el que el vector

(

5

,

1

,

1

)

es perpendicular al plano

π

2. El vector director de la recta será perpendicular a ambos vectores ya que se encuentra en los dos planos, luego tendrá la mima dirección que el producto vectorial de los dos vectores; es decir:

i

j

k

K

J

I

13

8

1

1

5

1

2

3

=

+

(15)

5.6 POSICIÓN RERLATIVA DE UNA RECTA Y UN PLANO

Una recta y una plano pueden cortarse o ser paralelos según tenga solución o no el sistema formado por la recta y el plano

Ejemplo 15. Estudiar la posición relativa del plano

π

1

:

3

x

y

+

2

z

+

4

=

0

y la recta

2

3

1

2

1

=

+

=

y

z

x

Si escribimos la recta en forma paramétrica

=

+

=

+

=

λ

λ

λ

2

3

1

2

1

z

y

x

y sustituimos en la ecuación del plano

3

(

1

+

2

λ

) (

1

+

3

λ

) (

+

2

2

λ

)

+

4

=

0

obtenemos una ecuación cuya incógnita es el parámetro y cuya resolución nos dará , si existe, el punto de intersección de la recta y el plano.

Como

λ

=

8

, la recta y el plano se cortan en el punto:

(

17,23,-16

)

8

2

8

3

1

8

2

1

=

+

=

+

=

·

·

·

z

y

x

Ejemplo 16. Estudiar la posición relativa del plano de la recta r y el plano

π

:

+

=

+

=

+

=

δ

δ

δ

1

3

3

2

z

y

x

r

:

+

+

=

=

+

+

=

μ

λ

μ

λ

μ

λ

-1

z

-y

3

2

1

x

:

s

(16)

+

+

=

+

=

+

+

+

=

+

μ

λ

δ

μ

λ

δ

μ

λ

δ

1

1

3

3

3

2

1

2

que por tratarse de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, tendrá solución si es de Cramer.

0

1

1

1

1

1

3

3

2

1

=

luego la recta y el plano no tienen ningún punto en común, es decir, son paralelos.

Ejemplo 17. Encontrar la situación relativa de la recta r:

=

+

=

+

0

3

2

0

1

3

2

z

y

x

z

y

x

y el plano

0

2

=

+

+

+

y

z

x

Si esas rectas se cortan, el sistema formado por los tras planos debe tener por solución el punto de intersección de ambas rectas.

como

1

1

1

2

1

1

1

3

2

=13, el sistema

=

+

+

+

=

+

=

+

0

2

0

3

2

0

1

3

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

tiene solución , por lo que

ambas rectas son secantes en el punto

13

15

13

1

1

2

2

1

3

1

3

1

=

=

x

13

16

13

1

2

1

2

3

1

1

1

2

=

=

y

13

25

13

2

1

1

3

1

1

1

3

2

=

=

z

Figure

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Referencias

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