Universidad de Puerto Rico, R´ıo Piedras Facultad de Ciencias Naturales
Departamento de Matem´aticas San Juan, Puerto Rico MATE 4031: ´Algebra Lineal Soluci´on Asignaci´on 9.
1. Considere las siguientes matrices
A= 0 −1 1 4 5 −2 2 2 1 , B = 6−5i 2−3i −4 + 6i 4i , C = 2 2 −1 4 .
(a) Encuentre el polinomio caracter´ıstico de cada una de ellas.
Soluci´on: Los polinomios caracter´ısticos est´an dados por
det(A−λI) = −λ3+ 6λ2−11λ+ 6 =−(λ−3)(λ−2)(λ−1) det(B−λI) = λ2−(6−i)λ+ 10 = (λ−(4−2i))(λ−(2 +i)) det(C−λI) = λ2−6λ+ 10 = (λ−(3 +i))(λ−(3−i)).
(b) Encuentre los valores propios y los vectores propios correspondientes de cada una de ellas.
Soluci´on: Los valores propios de A son λ1 = 1, λ2 = 2 y λ3 = 3 y los
vectores propios correspondientes est´an dados por
~v1 = −1 1 0 , ~v2 = 1 0 2 , ~v3 = 0 1 1 .
Los valores propios de B sonλ1 = 4−2iy λ2 = 2 +iy los vectores propios
correspondientes est´an dados por
~v1 = −1 1 , ~v2 = −1 2 .
Los valores propios deC son λ1 = 3 +i yλ2 = 3−i y los vectores porpios correspondientes est´an dados por
~v1 = 1−i 1 , ~v2 = 1 +i 1 . 2. Haga lo siguiente:
(a) Diagonalice la siguiente matriz (tiene que encontrar P y D). A= 2 2 −1 1 3 −1 −1 −2 2
Soluci´on: Tenemos que encontrar los valores propios de A y los vectores propios correspondientes. La matriz Dva a estar dada por la matriz diag-onal cuya diagdiag-onal principal est´a compuesta por los valores propios de A. La matrizP va a estar dada por la matriz cuyas columnas son los vectores propios (correspondientes a los valores propios) de A.
Ahora, el polinomio caracter´ıstico deAest´a dado por det(A−λI) =−λ3+ 7λ2−11λ+ 5 =−(λ−5)(λ−1)2. Por ende, los valores propios de la matriz son λ = 5,1 (el valor propio 1 tiene multiplicidad 2, por consiguiente, la matriz va a ser diagonalizable sii el espacio propio correspondiente aλ= 1 tiene dimensi´on 2). Un vector propio correspondiente a λ= 5 es
~v1 = −1 −1 1 .
Dos vectores propios (linealmente independientes) correspondientes a λ= 1 son ~ v2 = 1 0 1 , ~v3 = −2 1 0 . Concluimos que D= 5 0 0 0 1 0 0 0 1 y P = −1 1 −2 −1 0 1 1 1 0 . (b) Verifique que AP =P D.
Soluci´on: Note que
AP = −5 1 −2 −5 0 1 5 1 0 =P D. (c) Encuentre A10.
Soluci´on: Sabemos que A=P DP−1. Note que
P−1 = −1/4 −1/2 1/4 1/4 1/2 3/4 −1/4 1/2 1/4 .
Por lo tanto, A10 =P D10P−1. Ahora, D10= 510 0 0 0 1 0 0 0 1 y P D10P−1 = −1 1 −2 −1 0 1 1 1 0 510 0 0 0 1 0 0 0 1 −1/4 −1/2 1/4 1/4 1/2 3/4 −1/4 1/2 1/4 = (510+ 3)/4 (510−1)/2 (1−510)/4 (510−1)/4 (510+ 1)/2 (1−510)/4 (1−510)/4 (1−510)/2 (510+ 3)/4 .
3. Cierto o Falso (justifique su respuesta si es Cierto o provea un contraejemplo en el caso de Falso).
(a) Si A~x=λ~x para alg´un vector ~x, entonces λ es un valor propio deA.
Respuesta: Falso. La definici´on requiere que el vector ~x sea distinto de cero. Este enunciado no discrimina al vector cero.
(b) Una matriz A es singular sii 0 es un valor propio de A.
Respuesta: Cierto. Si 0 es un valor propio, entonces 0 es una ra´ız del polinomio caracter´ıstico det(A−λI). O sea, 0 = det(A−0I) = det(A), lo que implica que A es singular. Similarmente, si A es singular, entonces 0 = det(A) = det(A−0I). O sea, 0 es una ra´ız de det(A−λI). Concluimos que 0 es un valor propio de A.
(c) Un espacio propio de una matrizA es el espacio nulo de alguna matriz.
Soluci´on: Cierto. El espacio nulo correspondiente al valor propio λ de una matriz A es el espacio nulo de A−λI.
(d) Si A es diagonalizable, entoncesA es invertible.
(e) Suponga que A es una matriz n×n. Si A es diagonalizable, entonces A
tienen n vectores propios.
Respuesta: Falso. La matriz
A= 0 0 0 0 1 0 0 0 2
es diagonalizable (ya es diagonal, duh!!). Pero A es singular, pues el det(A) = 0.
4. Sea λ un valor propio de una matriz invertible A. Demuestre que λ−1 es un valor propio deA−1.
Demostraci´on: Suponga que A es invertible y que λ es un valor propio de
A. Por la respuesta de 3(b) sabemos queλ 6= 0 (Ano es singular). Luego, como
λ es un valor propio deA, entonces existe un vector ~x distinto de cero, tal que
A~x = λ~x⇒ ~
x = A−1λ~x⇒ λ−1~x = A−1~x.
Concluimos queλ−1 es una valor propio de A−1.
5. Demuestre que si A2 es la matriz cero, entonces el ´unico valor propio de Aes 0.
Demostraci´on: Note que siλ es un valor propio de A, entonces existe un vector propio~x tal que A~x =λ~x. Luego, multiplicando esta ecuaci´on por A tenemos
A2~x = λA~x = λ2~x. En arroz y habichuelas, si λ es un valor propio de A, en-tonces λ2 es un valor propio de A2. Ahora, A2 es la matriz cero, por lo tanto, todos sus valores propios son cero. Esto implica que siλ es un valor propio de
A, entonces λ2 = 0 (porqueλ2 es un valor propio de A2). Pero λ2 = 0 implica
λ = 0. Como λ es un valor propio arbitrario de A, entonces concluimos que
todos los valores propios de A son cero.
6. Demuestre que si A es diagonalizable e invertible, entonces tambien A−1 lo es.
Demostraci´on: Suponga queA es una matriz diagonalizable e invertible. Como
Aes diagonalizable, entonces existe una matriz invertible P y una matriz diag-onal D tal que A=P DP−1. Luego,
A−1 = (P DP−1)−1 = (P−1)−1D−1P−1
= P D−1P−1.
Como A−1 =P D−1P−1 con P invertible y D−1 diagonal, entonces concluimos
queA−1 es diagonalizable.
7. Suponga queAes una matriz 4×4 con tres valores propios distintos. Llamemos
S la suma de las dimensiones de los espacios propios de A. Uno de los espacios propios es de dimensi´on 1 y uno de los restantes dos espacios propios es de dimensi´on 2. ¿Es posible que Ano sea diagonalizable? Justifique su respuesta.
todos los espacios propios de A es 4. Llamemos S la suma de las dimensiones de los espacios propios deA. Por teorema sabemos queS ≤4. Ahora, sabemos que tenemos 3 espacios propios, que uno de ellos tiene dimensi´on 1 y que otro tiene dimensi´on 2. Del restante no sabemos nada, solo que su dimensi´on es mayor o igual a 1. Concluimos que la suma de las dimensiones de los espacios propios de A es mayor o igual a 4, i.e. S ≥ 4. Como S ≤4 y S ≥ 4, entonces