Acerca de la distribución comercial en una zona geográfica: Desde Hotelling hasta juegos diferenciales.

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Desde Hotelling hasta juegos diferenciales.

Juan Camilo Lesmes Vega.

Universidad Nacional de Colombia.

Departamento de Matem´aticas.

Bogot´a, Colombia.

Julio de 2019.

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Desde Hotelling hasta juegos diferenciales.

Juan Camilo Lesmes Vega

Tesis de grado presentada como requisito parcial para optar al t´ıtulo de:

Maestr´ıa en Ciencias - Matem´atica Aplicada

Director:

Arsenio Pecha Castiblanco

Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matem´aticas

Bogot´a, Colombia Julio de 2019

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Agradecimientos

El agradecimiento más importante es para mis padres, quienes siempre me han apoyado en la con- secución de mis metas y a los cuales nunca terminaré de agradecer. Al profesor Arsenio Pecha, por su infinita paciencia y su gu´ıa a lo largo de estas páginas. A René Mauricio Ram´ırez, por sus valiosos aportes en forma de ideas e interpretaciones sobre lo hecho en este trabajo. A David Siervo, por las jornadas interminables de estudio, alternadas con jornadas interminables de desparpajo, gracias por este largo, muy largo camino, que no pod´ıa ser de otra manera dada nuestra personalidad. Un agradecimiento especial a Daniela Traslaviña, quien siempre ha cre´ıdo en mis capacidades aún cuando yo no lo he hecho, y quien ha estado ah´ı para apoyarme en los momentos más dif´ıciles.

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Resumen

Este documento busca extender el análisis hecho en modelos de diferenciación horizontal dinámicos, en particular los derivados del trabajo de Hotelling. Para esto, se hace una revisión de los modelos estáticos que dieron origen a la teor´ıa, se analizan posteriormente las herramientas necesarias para llevar el análisis al escenario dinámico y se exponen los modelos dinámicos de diferenciación horizontal en los cuales se enfoca el trabajo. Finalmente, se realizan dos extensiones, en las que se ampl´ıa el número de agentes y se modifica la estructura de costos de las firmas.

Palabras clave: competencia monopol´ıstica, diferenciación horizontal, equilibrio de Nash perfecto en subjuegos, control óptimo, sistemas dinámicos.

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Abstract

This document seeks to extend the analisys made on dynamic horizontal differentiation models, in particular those derivated from Hotelling’s work. In order to do so, a review of the static models that gave rise to the theory is made, the tools required to take the analysis to the dynamic scenario are subsequently analyzed and the dynamic horizontal differentiation models in wich this work is focused on are exposed.

Finally, two extentions are made, in wich the number of agents is extended and the costs structure of the firms is modified.

Palabras clave: monopolistic competition, horizontal differentiation, subgame-perfect Nash’s equili- bria, optimal control, dynamic systems.

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´ Indice general

Agradecimientos III

Introducci´on VII

1. El modelo de Hotelling 1

1.1. El caso de dos firmas y costos de desplazamiento lineales . . . 1 1.2. El caso de dos firmas y costos de desplazamiento cuadr´aticos . . . 7 1.3. Una generalizaci´on del modelo de Hotelling . . . 8

2. Control ´optimo 12

2.1. Programación dinámica . . . 13 2.2. Principio del máximo de Pontryagin . . . 16

3. Juegos diferenciales 18

3.1. El caso dinámico de Hotelling con dos firmas y costos de desplazamiento lineales . . . 24 3.2. El caso dinámico de Hotelling con tres firmas y costos de desplazamiento lineales . . . 28 3.3. El caso dinámico de Hotelling con dos firmas y costos de desplazamiento cuadráticos . . . 33

4. Conclusiones y agenda investigativa 36

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Introducci´ on

En teor´ıa de organización industrial se estudian estructuras de mercado diferentes a las de competencia perfecta en intentos por proponer modelaciones que se aproximen más a la realidad. Un primer hito en esta teor´ıa es el trabajo del duopolio de Cournot (1838), en el que dos firmas, que son las únicas oferentes en un mercado, deciden de manera simultánea las cantidades que van a poner a disposición para la venta. En esta estructura, en comparación con la situación de competencia perfecta, las cantidades totales ofrecidas en el mercado son menores y los beneficios de las firmas son mayores. Dos de las principales variaciones a partir de esta modelación son los oligopolios de Stackelberg (1934) y Bertrand (1883).

En el oligopolio de Stackelberg la decisión no se da de manera simultánea, lo que le otorga una ventaja, que se traduce en mayores beneficios, a la firma que decide primero. En el oligopolio de Bertrand, por su parte, la variación consiste en que las decisiones de las firmas se toman sobre los precios en lugar de las cantidades a ofertar; aunque este enfoque resulta un poco más natural que los anteriores, lleva a una conclusión contraintuitiva: a pesar de que las firmas tienen un potencial poder de mercado, el resultado en términos de los beneficios de las firmas es igual al de competencia perfecta. A este resultado se le conoce en la literatura de organización industrial como paradoja de Bertrand.

Como una posible solución a la paradoja de Bertrand, surge el modelo de diferenciación horizontal de Hotelling que incorpora la consideración de bienes diferenciados a partir de un enfoque de la localiza- ción de las firmas. En este modelo, donde las firmas toman decisiones sobre los precios de la mercanc´ıa ofrecida, a la vez que deciden sobre el grado de diferenciación, es posible obtener beneficios mayores que los de competencia perfecta. Aunque la principal conclusión del trabajo original se obtiene a partir de un supuesto que se demostró falso posteriormente, esta discusión abrió el camino de una nueva rama en el análisis de la organización industrial.

A lo largo de este documento se describe el trabajo original de Hotelling y las principales variaciones que de all´ı se derivaron bajo el enfoque estático, se exponen las herramientas necesarias para abordar el modelo en tiempo continuo, y se presenta una extensión del modelo de dos firmas expuesto por Lambertini (2018). En el cap´ıtulo 1, se explica el modelo original de Hotelling, se evidencia la invalidez de su conclusión a partir del modelo expuesto por D’Aspremont et al. (1979), y se presentan variaciones estáticas respecto al número de agentes, la estructura de costos de las firmas, la disponibilidad a pagar de los consumidores y la forma del espacio de mercanc´ıas donde se realiza la diferenciación. En el cap´ıtulo 2, se desarrollan los requisitos relacionados con la estructura de control óptimo que permiten abordar el problema en su versión dinámica. En el cap´ıtulo 3, siguiendo a Lambertini (2018), se expone el modelo de Hotelling como un juego diferencial y se realizan dos contribuciones: se aumenta a tres el número de firmas involucradas en el oligopolio dinámico con una estructura de costos lineal; y se modifica la estructura de costos para el duopolio inicialmente planteado, pasando de una estructura de costos lineal a una cuadrática. Finalmente, se reseñan las conclusiones y se presenta una discusión de la agenda investigativa, incluyendo prospectos de investigaciones futuras.

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El modelo de Hotelling

En este cap´ıtulo se explica el modelo que Harold Hotelling expuso en 1929, el cual dio origen a una amplia gama de desarrollos en torno a los modelos de diferenciación horizontal de producto enmarcados en una competencia monopol´ıstica. Acá se hace un resumen del modelo y se reseñan las conclusiones que él derivó, principalmente su conocido “principio de m´ınima diferenciación”; se presenta también la cr´ıtica que D’Aspremont et al. (1979) realizan en torno a este resultado, en la cual demuestran que el análisis de Hotelling, aunque intuitivo, resulta incorrecto al suponer erroneamente que el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos existe. Además, se ponen en consideración los desarrollos de Böckem (1994), quien extiende el desarrollo de D’Aspremont et al. y analiza qué ocurre si los individuos tienen la opción de no comprar el bien diferenciado, asumiendo que tienen una utilidad de reserva proveniente de consumir un bien que se encuentra por fuera del mercado de competencia monopol´ıstica. Finalmente se referencian las extensiones hechas por Economides (1993) y Brenner (2005), para el caso con múltiples firmas con costos de desplazamiento lineales y con costos de desplazamiento cuadráticos respectivamente.

1.1. El caso de dos firmas y costos de desplazamiento lineales

Hotelling desarrolla su modelo en un escenario donde dos firmas compiten por la totalidad del mercado, y en el que los consumidores están distribuidos de manera uniforme sobre una recta. Todos los agentes del modelo se consideran maximizadores, ya sea de la utilidad si se trata de un consumidor, o de su beneficio si se refiere a una firma. Cada consumidor compra una unidad de producto de alguna de las dos firmas¹, las cuales producen y venden un bien de caracter´ısticas idénticas, salvo por la ubicación donde se encuentran. Los consumidores incurren en un costo de transporte, que depende linealmente de la distancia, al trasladarse desde sus posiciones hasta la firma a la cual le compran el bien; dado que las firmas venden bienes diferenciados (por su ubicación), el costo del que aqu´ı se habla representa una desutilidad que paga el consumidor por comprar un bien que no es exactamente el que se ajusta a su bien ideal, que no es otro que el que se halla en su misma posición. La finalidad del modelo es establecer las condiciones para que un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos (ENPS ) de dos etapas exista², en donde la primera etapa consiste en la elección de la ubicación por parte de las firmas, y la segunda etapa es la elección del precio de venta de cada uno de sus bienes.

1En el marco del modelo de Hotelling los consumidores tienen una disponibilidad a pagar que tiende a infinito, lo que trae como consecuencia que siempre que dispongan de los recursos, consumir´an de alguno de los productos ofertados.

2Vale la pena recordar que un ENPS es un equilibrio de Nash secuencial, que satisface que la decisión elegida por el individuo es óptima en cada nodo de decisión. Es común encontrar estos equilibrios mediante el proceso de inducción hacia atrás, que consiste en analizar el último nodo de decisión, encontrar la elección óptima del agente y, con esa información, regresar al nodo de información anterior y encontrar la decisión óptima del otro agente ya conociendo el proceso realizado antes; el proceso se repite hasta llegar al nodo de decisión inicial y el ENPS resulta de la senda de decisiones que se encontraron en el proceso. Para una definción más formal del concepto, puede revisarse Osborne, M. (2004).

1

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Figura 1.1: Esquema de ciudad lineal.

Las dos firmas 1 y 2, est´an ubicadas a lo largo del segmento de l´ınea recta (de longitud l), con la firma 1 a la izquierda de la firma 2, como se puede ver en la Figura 1.1; la distancia entre el inicio de la l´ınea y la firma 1 es a, mientras que la distancia de la firma 2 al final de la recta es b (a + b ≤ l, a ≥ 0, b ≥ 0).

Por simplicidad del modelo se asume que las firmas producen a costo cero, y que cada unidad produci- da se consume en cada punto de la l´ınea (esto es debido al supuesto de distribuci´on uniforme hecho antes).

Sean p1 y p2 los precios de venta de los bienes de las firmas 1 y 2 respectivamente, y sean q1 y q2 las cantidades producidas por cada una de ellas. Es claro que, dadas unas ubicaciones arbitrarias, la demanda de cada firma depende del precio de venta suyo y del precio de venta de su competidora; si el precio de una de las firmas es muy alto con respecto al precio de su rival, muchos consumidores, a´un estando m´as cerca de la primera, podr´ıan optar por comprarle a la segunda.

Al comprar algún producto, el consumidor incurre en un costo que es equivalente al precio cobrado por la firma, más el costo de traslado (c) multiplicado por la distancia recorrida desde su posición hasta la firma. La demanda de la firma 1 (por simetr´ıa para la firma 2 se obtiene un resultado equivalente) puede resumirse en tres casos:

q1(p1, p2) =







0, si p₁> p₂+ c(l − a − b), l, si p1< p2− c(l − a − b),

1

2(l − a − b + ^p²^−p_c ¹) + a, si |p1− p₂| ≤ c(l − a − b).

(1.1)

La primera condición, en la que la firma 1 obtiene una demanda nula, se obtiene analizando al consumidor localizado en la misma posición de la firma 1: si el precio de la firma 1 es mayor al precio de la firma 2 más el costo de transporte correspondiente, entonces este consumidor prefiere comprarle a la firma 2; dado que este es el consumidor al que le resulta más barato comprarle a la firma 1 y prefiere comprarle a su competidora, entonces todos los consumidores de la recta actúan del mismo modo, haciendo que la demanda por la firma 1 sea nula. La segunda condición es el mismo caso, pero visto desde la perspectiva de la firma 2, por lo que es ahora la firma 1 la que se queda con todo el mercado. Finalmente, la condición restante, que se explica en detalle a continuación, expresa la demanda que enfrenta la firma 1 cuando existe lo que Hotelling llama consumidor indiferente, situación en la que ambas firmas enfrentan una demanda positiva.

Sea x la distancia desde un consumidor hasta la firma 1, y sea y la distancia desde el mismo consumidor hasta la firma 2. Se tiene entonces que

p₁+ cx,

representa el costo pagado por un consumidor que compra el bien de la firma 1. Mientras que p2+ cy,

es el costo pagado por un agente que consume el bien de la firma 2.

El consumidor indiferente, denotado por θ en la Figura 1.2, es aquel al cual le resulta equivalente comprarle a cualquier firma; es decir, es un consumidor tal que:

p1+ cx = p2+ cy. (1.2)

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Este consumidor indiferente divide el mercado en dos segmentos: todo consumidor a la izquierda de ´el

Figura 1.2: Ubicaci´on del consumidor indiferente

le compra a la firma 1, mientras que todos a su derecha le compran a la firma 2. De la manera en que se han definido a, b, x y y, se cumple que:

a + x + y + b = l. (1.3)

Resolviendo de forma conjunta (1.2) y (1.3) se tiene que x = 1

2(l − a − b +p₂− p₁ c ), y = 1

2(l − a − b +p1− p₂ c ),

que dan lugar a la parte de la demanda de cada firma que aún no hab´ıa sido analizada en (1.1). Hotelling considera la situación en que ambas firmas enfrentan demandas positivas q1 = a + x y q2= b + y, por lo que expresa las funciones de beneficio de las firmas usando esta última condición de (1.1) as´ı:

π1= p1q1 = 1

2(l + a − b)p1− p12

2c + p1p2

2c , (1.4)

para la firma 1, y an´alogamente

π₂= p₂q₂ = 1

2(l − a + b)p₂− p22

2c + p1p2

2c , (1.5)

para la firma 2.

Ahora bien, cada firma trata de maximizar su beneficio asumiendo el precio puesto por la otra firma como constante, de manera que, dadas las caracter´ısticas de la funci´on de beneficios de ambos agentes, se pueden usar las condiciones de primer orden y encontrar los m´aximos como sigue. Derivando π1 con respecto a p₁ e igualando a cero se tiene que

∂π1

∂p1

= 1 2

l + a − b + p2− p₁

c +p1(−1) c

= 1 2

l + a − b + p2− 2p₁ c

= 0,

de donde se encuentra el punto cr´ıtico

p1= c(l + a − b) + p₂

2 .

Sabiendo que el problema es sim´etrico, se obtiene que

p2= c(l + b − a) + p1

2 ,

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y al solucionar este par de ecuaciones simult´aneas, se llega a:

p1 = c(l + a − b)

2 +c(l + b − a) + p1

4

, por lo que

p1 = 3cl 4 +ca

4 −cb 4 +p1

4, de donde, despejando p1, puede verse que

p1= c

l +a − b 3

. As´ı mismo se puede obtener el resultado para p₂:

p₂= c

l −a − b 3

.

Con estos resultados de p₁ y p₂ se obtienen las cantidades asociadas a estos precios as´ı:

q1 = a + x = 1 2

l +a − b 3

,

q₂ = b + y = 1 2

l −a − b 3

.

Se puede notar ahora fácilmente que la función de beneficios es cóncava en los precios, puesto que para la firma 1 se tiene que

∂²π1

∂p²₁ = 1 2

−2 c

= −1 c < 0,

y dado que el problema es sim´etrico, lo mismo se tiene para la segunda derivada del beneficio de la firma 2, con lo que se garantiza que los beneficios obtenidos son m´aximos.

Al usar las cantidades y los precios hallados se pueden reescribir los beneficios (de equilibrio) como π₁^∗=

c

l +a − b 3

1 2

l +a − b 3

= c 2

l +a − b 3

2

, (1.6)

para la firma 1, y an´alogamente π^∗₂ =

c

l −a − b 3

1 2

l +b − a 3

= c 2

l +b − a 3

2

, (1.7)

para la firma 2.

El beneficio de las firmas depende directamente de c, el costo por unidad de distancia, y de l, la longitud de la ciudad lineal, a partir de lo cual se obtiene lo siguiente: en cuanto mayor sea el costo de transporte en el que incurren los consumidores por comprar alguno de los bienes, ceteris paribus, mayor es el beneficio que obtienen las firmas. Al respecto Hotelling (1929) expresa, parafraseando, que estos vende- dores prefieren evitar hacer mejoras en la hipot´etica carretera que pasa por la ciudad, y por el contrario tratan de obstaculizar cualquier progreso, haciendo que sus beneficios sean mayores a´un en detrimento del consumidor, dado que el costo de transporte les da poder de mercado³. Note que para la firma 1 el

3Siguiendo este resultado, algunas empresas en la actualidad “premian” la fidelidad de sus clientes con bonos, tarjetas y demás, haciendo que el costo de pasar de una empresa a su rival, sea más elevado para el consumidor, desincentivando as´ı la transición de una firma a otra.

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beneficio crece en tanto a − b se hace más grande, mientras que para la firma 2 ocurre lo contrario (su beneficio crece conforme b − a aumenta). Cada una de las firmas controla su posición (que da lugar a la distancia a − b), de modo que si se supone, por ejemplo, que la posición de la firma 1 se ha fijado, la firma 2 elige una ubicación que le permita hacer b − a lo más grande posible, y esto se logra ubicándose tan cerca como le sea posible de la firma 1 (tanto as´ı que terminan ubicándose en el mismo lugar). Usando el mismo argumento, pero intercambiando los roles de las firmas, se llega al mismo resultado: lo ideal para la firma 1 es ubicarse lo más cerca posible de la firma 2; de este modo, la mejor respuesta de ambos coincide en una estrategia de acercamiento mutuo que luego ser´ıa conocido como principio de m´ınima diferenciación.

Pasados 50 años, en 1979, D’Aspremont et al. publican un documento revisando el modelo expuesto por Hotelling, donde se encuentran inconsistencias matemáticas en su análisis; all´ı muestran que bajo la configuración propuesta por Hotelling no necesariamente existe un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos. Para llegar a esta conclusión caracterizan las condiciones necesarias y suficientes para que un equilibrio de Nash exista, y se evidencia que existe un error en el argumento de Hotelling.

Para seguir el argumento vale recordar la siguiente definici´on:

Definici´on 1.1. Una configuraci´on (p^∗₁, p^∗₂) se denomina un equilibrio de Nash si se cumple que π1(p^∗₁, p^∗₂) ≥ π1(p1, p^∗₂),

y

π₂(p^∗₁, p^∗₂) ≥ π₂(p^∗₁, p₂), para todo p₁ y p₂.

Con esto claro, D’Aspremont et al. (1979) plantean las caracter´ısticas que debe satisfacer un equilibrio en el modelo propuesto por Hotelling:

Proposición 1.1.1. Para a + b = l, el único punto de equilibrio está dado por p^∗₁= p^∗₂= 0. Para a + b < l, existe un punto de equilibrio si, y sólo si

1.

l +a − b 3

2

≥ 4

3l(a + 2b).

2.

l +b − a 3

2

≥ 4

3l(b + 2a).

Y en caso de existir un punto de equilibrio, este est´a ´unicamente determinado por:

3. p^∗₁ = c

l +a − b 3

.

4. p^∗₂ = c

l −a − b 3

.

Demostración. El primer caso, con a + b = l es inmediato. En esta situación las firmas se ubican en el mismo lugar, y al recordar la condición (1.1) se puede ver que para que exista competencia entre las firmas, estas deben cobrar el mismo precio (pues el diferencial producido por la ubicación, que da origen a las distancias a y b es nulo); as´ı, todos los consumidores son consumidores indiferentes y compran el producto a cualquiera de las firmas. No obstante, desde la perspectiva de las firmas, el precio de venta

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juega un rol fundamental al tratar de maximizar su beneficio: una disminución del precio de venta produce el apropiarse de todo el mercado. La máxima disminución del precio puede hacerse hasta alcanzar el costo marginal, y esto termina generando que ambas firmas disminuyan su precio hasta p = 0. Este resultado se conoce en la literatura como la paradoja de Bertrand.

Con esto claro, se debe analizar qu´e ocurre en el caso en que a + b < l. Se prueba primero que cualquier equilibrio debe satisfacer que |p^∗₁− p^∗₂| < c(l − a − b).

Se usa un argumento por reducci´on al absurdo al suponer que (p^∗₁, p^∗₂) configura un equilibrio pero

|p^∗₁− p^∗₂| > c(l − a − b). En este caso, la firma que tiene el precio más alto está obteniendo un beneficio nulo y puede disminuir su precio, de tal forma que atraiga más consumidores y obtenga un beneficio positivo, pero esto contradice el hecho de que la configuración (p^∗₁, p^∗₂) sea de equilibrio.

Se supone ahora que se tiene que |p^∗₁− p^∗₂| = c(l − a − b). Si p^∗₁ = 0 entonces el beneficio de la firma 1 es nulo y podr´ıa aumentar su precio, de forma que despu´es del aumento, fuera menor a p^∗₂+ c(l − a − b) y as´ı mejorar su situaci´on. Si p^∗₁ > 0 pueden surgir dos casos:

La firma 1 podr´ıa quedarse con todo el mercado, de manera que la firma 2 (que entonces obtiene beneficios nulos) podr´ıa disminuir su precio para mejorar su situaci´on.

La firma 1 podr´ıa tener solo una fracci´on del mercado, en cuyo caso podr´ıa disminuir ligeramente su precio y quedarse con todo el mercado y mejorar su situaci´on.

Sin importar cual sea el caso se obtiene una contradicci´on, de modo que una configuraci´on de equilibrio (p^∗₁, p^∗₂) debe satisfacer que |p^∗₁− p^∗₂| < c(l − a − b).

Para que p₁ sea de equilibrio debe maximizar π₁ = ¹₂(l + a − b)p₁− ^p_2c¹² +^p¹_2c^p^∗² que llega a partir de (1.4), en el intervalo de competencia, esto es en (p^∗₂− c(l − a − b), p^∗₂+ c(l − a − b)). De manera similar para p₂. Tomando condiciones de primer orden sobre las funciones de beneficios de ambos agentes se obtienen las condiciones necesarias 3. y 4. D’Aspremont et al. muestran que estas condiciones son argumento maximizador no solo en el intervalo de competencia, sino en toda la ciudad lineal, configurando as´ı un equilibrio. Esto lo hacen mostrando que el beneficio ´optimo de cada firma es mayor o igual que el que obtendr´ıa en el caso de acaparar todo el mercado. As´ı, para todo > 0 se debe tener que:

π1(p^∗₁, p^∗₂) = c 2

l +a − b 3

2

≥ l´ım

→0l [p^∗₂− c(l − a − b) − ] ,

y al recordar la condici´on 4 que caracteriza el precio de equilibrio de la firma 2, y al reemplazar se tiene que

π₁(p^∗₁, p^∗₂) = c 2

l +a − b 3

2

≥ l´ım

→0 l

c

l −a − b 3

− c(l − a − b) −

,

≥ l´ım

→0 l

cl −ac

3 +bc

3 − cl + ac + bc −

,

≥ l´ım

→0 l 2ac 3 +4bc

3 −

,

≥ l´ım

→0 2cl a + 2b 3

− l,

≥ 2cl a + 2b 3

.

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Note que la última desigualdad se alcanza al calcular el l´ımite. De acá, transponiendo términos, se llega a la condición 1. De manera análoga se obtiene la condición 2. Esto muestra que las condiciones 3. y 4. caracterizar´ıan el equilibrio si se tienen las condiciones 1. y 2. y con esto, D’Aspremont et al. terminan su demostración.

En ese caso, tal como lo señalaba Hotelling, las derivadas parciales del beneficio de cada firma respecto a sus parámetros de ubicación (a, b) son positivas, es decir que las firmas tienen incentivos a desplazarse hacia el centro. Sin embargo, de no tenerse las condiciones 1. y 2. nada se puede decir del equilibrio, ni del comportamiento de los beneficios frente a cambios en las ubicaciones. Cabe notar en particular, que en el caso de posiciones simétricas, a = b, las condiciones 1 y 2 conducen a que a = b ≤ l

4, es decir, que las firmas deben estar ubicadas en el primer y cuarto cuartil respectivamente para que se tengan los incentivos a desplazarse hacia el centro; no obstante, nada puede decirse de su comportamiento una vez se encuentran en los cuartiles centrales. Este es el resultado principal del art´ıculo de D’Aspremont et al.:

mostrar que el equilibrio encontrado por Hotelling no es realmente un equilibrio. A continuaci´on exponen un ejemplo donde caracterizan un equilibrio con 2 firmas y costos cuadr´aticos.

1.2. El caso de dos firmas y costos de desplazamiento cuadr´ aticos

Nuevamente se debe encontrar aquel consumidor indiferente al consumo de cualquiera de las dos firmas. Para ello entonces se igualan los costos de comprarle a cada firma:

p₁+ cx² = p₂+ cy², al reorganizar y factorizar se llega a

x²− y²= p2− p₁ c , que se puede reexpresar como

(x + y)(x − y) = p2− p₁ c , al usar la condici´on de que y = l − a − b − x, se tiene que

(x − l + a + b + x)(x + l − a − b − x) = p2− p₁ c , de donde puede despejarse la variable x y llegar a

x = p2− p₁

2c(l − a − b)+l − a − b

2 .

De esta manera las cantidades demandadas a la firma 1 vienen dadas por

q₁(p₁, p₂) =











a +_{2c(l−a−b)}^p²^−p¹ +^l−a−b₂ , si 0 ≤ a + _{2c(l−a−b)}^p²^−p¹ +^l−a−b₂ ≤ l, l, si a + _{2c(l−a−b)}^p²^−p¹ +^l−a−b₂ > l, 0, si a + _{2c(l−a−b)}^p²^−p¹ +^l−a−b₂ < 0.

Con lo que para las funciones de beneficios πi = piqi, i = 1, 2, se tiene que los precios dados por p^∗₁ = c(l − a − b)

l +a − b 3

, (1.8)

p^∗₂ = c(l − a − b)

l +b − a 3

, (1.9)

(15)

caracterizan el ´unico equilibrio de Cournot-Nash de la competencia en precios para ubicaciones fijas (a, b).

Estos precios generan, para la firma 1, los beneficios dados por:

π^∗₁ =

c(l − a − b)

l +a − b 3

a + p^∗₂− p^∗₁

2c(l − a − b) +l − a − b 2

,

y al usar ac´a los precios de equilibrio se llega a π₁^∗ = c (l − a − b)

l +a − b 3

a + b − a

3 +l − a − b 2

, de donde

π₁^∗ = c

2(l − a − b)

l +a − b 3

2

.

Al realizar el ´algebra correspondiente se puede mostrar que en esta situaci´on

∂π₁^∗

∂a = −c 6

l +a − b 3

(l + 3a + b) < 0, y an´alogamente para la firma 2

∂π₂^∗

∂b < 0,

lo que ilustra que dada una configuración de ubicaciones cualquiera (a, b), las firmas en este ejemplo tienen incentivos a alejarse la una de la otra, contrario a la conclusión obtenida por Hotelling. Este ser´ıa conocido como el principio de máxima diferenciación.

1.3. Una generalizaci´ on del modelo de Hotelling

Economides (1993) expone un modelo en el que incorpora la valoración dada por los individuos al bien diferenciado, la existencia de un mercado externo que les provee la posibilidad de comprar un bien sustituto, y la existencia de múltiples firmas (de manera precisa, se analiza el caso con n firmas, con n ≥ 3), pero manteniendo los costos de desplazamiento lineales, con lo cual se generalizan las diferentes valoraciones de los consumidores y el número de firmas involucradas, pero se mantiene el mismo marco del modelo original de Hotelling. Aqu´ı se le atribuye una dotación inicial R en dinero y una función de utilidad separable ⁴ a cada uno de los individuos en la ciudad lineal dada por,

U (·) =

(U (I, z) = I + k − c|w − z|, si consume una unidad del producto tipo z, U (I, z) = R, si consume el bien sustituto,

donde, w es la posición del individuo medida como la distancia desde el extremo izquierdo de la ciudad lineal. Esta ciudad puede interpretarse como un espacio de medida de alguna caracter´ıstica sobre la cual se da la diferenciación horizontal de producto. Por ejemplo, el nivel de concentración de azúcar en una bebida, el volumen de la música en un bar, etc. As´ı, w puede representar la medida ideal de dicha propiedad para ese consumidor, es decir que w ser´ıa el “tipo” de consumidor. I = R − Pz, corresponde al remanente en dinero, después de haber comprado una unidad del bien diferenciado, z es el tipo de producto diferenciado que consume, k es la máxima disposición a pagar del consumidor por una unidad del producto diferenciado y c es el costo por unidad de diferencia entre el tipo de producto ideal y el que se consume.

4Una funci´on de utilidad U (x, y) se dice separable si se tiene que U (x, y) = f (x) + g(y).

(16)

Esta funci´on de utilidad presenta un pico cuando w = z, es decir, cuando el bien consumido coincide con el ideal de ese consumidor. El problema de los consumidores en este modelo consiste en elegir entre las variedades ofrecidas aquella que maximice su utilidad, teniendo la opci´on de no consumir dentro de este mercado y obteniendo una utilidad por ello.

Las firmas producen con una tecnolog´ıa de costos marginales constantes⁵ e iguales a m. Se asume que cada firma j ofrece su producto x_j a un precio de P_j = p_j+ m, donde p_j es el incremento sobre el costo marginal. Nuevamente, el problema se modela como un juego de dos etapas, en el que la primera etapa consiste en la elección de las ubicaciones de las firmas, y la segunda etapa consiste en la colocación de sus respectivos precios de venta. Estas etapas son llamadas por Economides de largo plazo y de corto plazo, respectivamente. Sea x = (x₁, x₂, ..., x_n), la función objetivo de la firma j es Π_j = Π_j(p₁, p₂, ..., p_n|x). Es evidente que el juego donde la firma j usa el precio Pj como estrategia, resulta equivalente al cual en el que la firma j elige el incremento sobre su costo marginal p_j = P_j− m como su estrategia. Una n-tupla (p^∗₁, p^∗₂, ..., p^∗_n) ≡ p^∗(x) es un equilibrio no-cooperativo del juego de corto plazo si

Π_j(p^∗|x) ≥ Π_j(p^∗₁, p^∗₂, ..., p^∗_j−1, p_j, p^∗_j+1, ..., p^∗_n), para todo j y todo pj.

Dado que interesa encontrar aquellos equilibrios que sean ENPS, se define un equilibrio de “largo plazo” como la configuración de ubicaciones (o variedades), que produce un único equilibrio de Nash en el juego de “corto plazo”. Sea Πû_j(x) ≡ Π_j(p^∗(x), x) la función de pagos del jugador j en el juego de “largo plazo”, donde p^∗_j ≡ p^∗_j(x) es el equilibrio de Nash en el juego de “corto plazo”, siendo la estrategia de cada firma el aumento de precio sobre el costo marginal (pj), y las ubicaciones siendo x = (x1, x2, ..., xn), todas distintas. Entonces un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos (ENPS ) es un equilibrio no cooperativo de la etapa de ubicaciones (variedades) en el cual las firmas usan Πû_j(x), j = (1, 2, ..., n), como funciones objetivo.

Una configuración competitiva debe ser una en la que las firmas estén en competencia directa. Para que esto ocurra deben tenerse dos condiciones: que todas las firmas enfrenten una demanda positiva, y que todos los consumidores de la ciudad lineal prefieran comprarle a alguna de estas firmas con producto diferenciado, en lugar de no hacerlo y comprar el bien “genérico”(externo). Dicho de otro modo, debe tenerse que, para toda firma j se tenga que:

p_j > m´ax[p_j−1− c(x_j− x_j−1), p_j+1− c(x_j+1− x_j)],

p_j < m´ın[2k − 2m − c(x_j− x_j−1) − p_j−1, 2k − 2m − c(x_j+1− x_j) − p_j+1].

Para deducir la primera condici´on puede notarse que, para cada firma j, se debe cumplir que: U_x_j >

Uxj+1 y Uxj > Uxj−1. Esto significa que la utilidad que le reporta a cada individuo consumir su producto ideal, es mayor que consumir un producto cercano al ideal. Reescribiendo se tiene

I − Pj+ k − c|xj− x_j| > I − P_j+1+ k − c|xj+1− x_j|, y

I − P_j+ k − c|x_j− x_j| > I − P_j−1+ k − c|x_j− x_j−1|.

Usando el hecho de que P_j = p_j+ m, se puede reescribir la primera desigualdad como

−p_j > −p_j+1− c(x_j+1− x_j),

5No necesariamente iguales a cero (0) como en el modelo de Hotelling.

(17)

de donde

p_j+1+ c(x_j+1− x_j) > p_j. (1.10)

Tambi´en se puede reescribir la segunda desigualdad como

pj−1+ c(xj− x_j−1) > pj, (1.11) y al asociar (1.10) con (1.11) se tiene la condici´on que se quer´ıa mostrar.

Bajo estas condiciones de competencia directa, existen dos consumidores indiferentes por cada firma j (excepto las firmas de los extremos, i.e j 6= 1, j 6= n) as´ı:

z_j = [x_j+ x_j−1+ (p_j− p_j−1)/c]

2 , z_j+1 = [x_j+ x_j+1+ (p_j+1− p_j)/c]

2 .

Con esto, la funci´on de beneficios de la firma j es:

Π_j = Z zj+1

zj

dz = p_j(z_j+1− z_j).

Maximizando con respecto a p_j se tiene que p^m_j = [p_j+1+ p_j−1+ c(x_j+1− x_j−1)]/4. Este resultado se mantiene si las firmas se encuentran en posiciones diferentes; si se encuentran ubicadas en el mismo lugar la competencia en precios se hace a la Bertrand, llevando a que los precios se igualen con el costo marginal.

Ahora bien, la primera y la ´ultima firma compiten ´unicamente con una firma vecina, de forma que para el caso de la primera firma tenemos que: Π₁= p₁z₁ = p₁[x₁+ x₂+ (p₂− p₁)/c]/2. Al maximizar se tiene que p^m₁ = [p2+c(x1+x2)]/2 y, similarmente para la firma n se tiene que p^m_n = [pn−1+c(2−(xn+xn−1))]/2.

Sea p^∗ = (p^∗₁, p^∗₂, ..., p^∗_n) el vector de incrementos en el precio sobre el costo marginal y sea A la matriz tal que ai,i = 1 para todo i; a1,2 = −¹₂; ai,i+1 = −¹₄ para todo i 6= 1; y an,n−1 = −¹₂; ai,i−1 = −¹₄ para todo i 6= 1, i 6= n; y sus dem´as entradas son iguales a 0 (A es tridiagonal). Entonces las condiciones de primer orden que dan lugar a los m´aximos hallados antes pueden expresarse como

Ap^∗= y, o de forma extendida,







1 −¹₂ 0 0 . . . 0

−¹₄ 1 −¹₄ 0 . . . 0 0 −¹₄ 1 −¹₄ . . . 0 ... . .. ... ... ... ... 0 0 0 −¹₄ 1 −¹₄

0 0 0 0 −¹₂ 1











 p^∗₁ p^∗₂ p^∗₃ ... p^∗_n−1

p^∗_n







=





 y₁ y2

y₃ ... y_n−1

y_n





 ,

donde y1 = c(x1+ x2)/2, yn = c[1 − (xn−1+ xn)/2] y yj = c(xj+1− x_x−1)/4 para j = 2, 3, ..., n − 1. La inversa de A existe y por ello las condiciones de primer orden se pueden hallar mediante

p^∗ = A⁻¹y.

Vale la pena destacar que, debido a que los costos de transporte son lineales, tanto la matriz A como su inversa, son independientes de las ubicaciones elegidas por las firmas. Economides (1989) expone un

(18)

caso en el que la matriz A depende de las ubicaciones dado que asume costos de transporte no lineales.

A partir de este marco, Economides menciona algunos resultados. En primer lugar muestra que bajo esta configuración no es posible que exista un equilibrio en el cual todas las firmas hagan los mismos beneficios, puesto que las firmas tienen incentivos a tratar de eliminar a sus vecinas mediante una reducción en el precio de venta (lo cual claramente va en contra de la definición de equilibrio); más aún, muestra que el juego de dos etapas que se ha venido analizando no posee un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos si el costo de relocalización de las firmas es gratuito (y el precio de reserva de los consumidores es alto):

todas las firmas tienen incentivos a re-ubicarse hacia la firma del centro (o firmas centrales, si el n´umero de firmas es par).

Economides entonces expone un ejemplo en el que todas las n firmas equidistan la una de la otra, en el que, dado un precio de reserva de los consumidores suficientemente alto, un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos existe.⁶ En este ejemplo, las firmas establecen precios que terminan siendo en forma de U, donde las firmas de los extremos (la firma 1 y la firma n) cobran precios m´as altos, puesto que tienen un poder de mercado superior debido a la menor competencia, mientras que las firmas restantes cobran un precio cada vez menor conforme se aproximan a la firma central, que cobra el precio m´as bajo.

Para finalizar su análisis, se trata luego el caso en el que el precio de reserva de los consumidores es bajo. Aqu´ı pueden ocurrir dos cosas: que cada firma en equilibrio funcione como un monopolio local; o que las firmas se encuentren en la parte quebrada de la demanda. En el primer caso, debido al bajo precio de reserva, hay consumidores entre firmas que prefieren no comprar el bien diferenciado y, por el contrario, consumen del bien “genérico”(del mercado externo), confirgurando as´ı un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos en el que no todos los consumidores compran a alguna de las firmas en cuestión. El caso en el que las firmas se ubican en la parte quebrada de la demanda también presenta una configuración simétrica de ubicaciones que sustenta un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos⁷.

Ahora bien, otros autores han trabajado en extender el modelo de Hotelling con costos de despla- zamientos cuadráticos (el propuesto inicialmente por D’Aspremont, Gabszewicz y Thisse en 1979), por ejemplo Böckem (1994) desarrolla un modelo en el que modifica la elasticidad de la demanda de los consumidores, y concluye que en un escenario más realista, en el que los consumidores tiene la posibilidad de consumir bienes por fuera del mercado diferenciado, el llamado principio de máxima diferenciación no es un resultado robusto; en efecto, Böckem da muestra del dilema que enfrentan las firmas cuando, por un lado, tratan de homogenizar sus productos para capturar la mayor cantidad de consumidores, y por el otro lado, compiten en precios de forma más o menos fuerte según el grado de diferenciación que alcancen. As´ı, si las firmas están lo suficientemente diferenciadas la competencia en precios se suaviza, y si por el contrario las firmas alcanzan una diferenciación leve, la competencia en precios es mayor. Por su parte Brenner (2005) modifica únicamente el número de firmas involucradas en el análisis, y muestra que de esta manera no se alcanza ni la m´ınima diferenciación, como lo aseguraba Hotelling, ni la máxima diferenciación, como lo concluyeron D’Aspremont et al, y el resultado termina siendo uno en el que las firmas de los extremos poseen un poder de mercado mayor, mientras que las firmas interiores se enfrentan a una competencia en precios más fuerte. Este resultado es consistente con el encontrado por Economi- des (1993), pero con la diferencia de que esta configuración s´ı sustenta un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos: Brenner hace la demostración para el caso de tres firmas y encuentra numéricamente las soluciones para el caso de hasta nueve firmas. Jost (2018) hace una buena s´ıntesis de lo expresado acá.

6Ver el Teorema 2, Economides (1993).

7Ver el Teorema 4, Economides (1993).

(19)

Control ´ optimo

En este cap´ıtulo se desarrollan algunos conceptos fundamentales de la teor´ıa de control óptimo, se describe el problema y se muestran los caminos usuales que se siguen para encontrar la(s) solución(es): El principio de programación dinámica y el principio del máximo de Pontryagin. Vale la pena resaltar que aunque ambos métodos arrojan el mismo valor óptimo del funcional implicado en el problema, esto no significa que las funciones solución sean iguales. Sobre esta diferencia, y sus implicaciones, se discute al final del cap´ıtulo.

En un problema de control ´optimo se desea optimizar un funcional a lo largo de un horizonte temporal, sujeto a que cierto conjunto de ecuaciones diferenciales se satisfaga. Para alcanzar el ´optimo requerido en el problema existe un conjunto de variables de control que afectan tanto el valor del funcional directamente, como las ecuaciones de estado. El objetivo es encontrar el conjunto de variables de control que logren optimizar el problema.

Siguiendo lo anterior, sea A ⊆ Rⁿ un conjunto, f : Rⁿ× A → Rⁿ una función continua Lipschitz¹, y x0 ∈ Rⁿ una condición inicial del problema. El objetivo es solucionar un sistema dinámico descrito por

(˙x(t) = f (t, x(t), u(t)),

x(0) = x0, (2.1)

para todo t > 0. Note que la función solución x(t) depende de la función u(t) y de la condición inicial x0. La función u(t) se denomina un control para (2.1).

Sin embargo no es posible usar cualquier función como control, por lo se debe tener una regla que permita determinar cuáles funciones son permitidas. Por ello se hace la siguiente definición:

Definici´on 2.1. Se define la colecci´on de controles admisibles como el conjunto A = {u : [0, ∞) → A | u(·) sea medible}.

Con esto, el interés se centra en hallar el control adecuado para este sistema. Para ello se hace necesario definir algún critero que permita decidir cuál, dentro de todos los posibles controles admisibles, es mejor.

Definición 2.2. Dado T > 0, denominado tiempo terminal, una función r : Rⁿ×A → R, llamada función de pago variable y g : Rⁿ→ R, llamada función de pago terminal, se define el funcional de pago como

P [u(t)] = Z T

0

r(t, x(t), u(t))dt + g(x(T )).

1Una funci´on f : M → N , con M y N espacios m´etricos se dice continua Lipschitz si existe una constante K ≥ 0 tal que para todo x, y en M , se tiene que

dN(f (x), f (y)) ≤ KdM(x, y).

Esta condici´on es necesaria para probar la existencia y unicidad de la soluci´on de problemas de este tipo.

12

(20)

Con x(t) siendo la soluci´on de (2.1) para el control u(t).

De esta manera se busca encontrar aquel control u^∗(t), tal que P [u^∗(t)] ≥ P [u(t)],

para todo control admisible. Al control que cumpla esta condici´on se le denomina control ´optimo.

Para dar soluci´on al problema se analiza la siguiente familia de funciones:

(˙x(s) = f (x(s), u(s)), con s ∈ [t, T ],

x(t) = x₀, (2.2)

cuyo funcional de pago es

P [u(s)] = Z T

t

r(x(s), u(s))ds + g(x(T )), (2.3)

para todo tiempo inicial t ∈ [0, T ] y condiciones iniciales x(t) ∈ Rⁿ.

2.1. Programaci´ on din´ amica

La primera v´ıa que se analiza a continuación sigue a Evans (1998), quien a su vez se basa en Bellman (1957), y transforma el problema en la búsqueda de la solución de una ecuación en derivadas parciales: el método de programación dinámica. Para esto se define la función valor:

Definición 2.3. Para x ∈ Rⁿ, 0 ≤ t ≤ T , se define la función valor v(x, t) como el máximo posible si el problema en (2.3) da inicio en el tiempo t con x ∈ Rⁿ. Esto es,

v(x, t) = sup

u∈A{P [u(t)], x ∈ Rⁿ, t ∈ [0, T ]}.

En el caso en el que el tiempo de inicio coincida con el tiempo final, esto es t = T , la funci´on valor asigna el pago terminal, es decir

v(x, T ) = g(x), x ∈ Rⁿ.

Ahora bien, esta función valor es consistente con el principio de optimalidad de Bellman, que en palabras dice que una trayectoria óptima debe ser óptima en cada momento del tiempo; es decir, que para el caso particular de la función valor, esta debe ser el supremo de todos los pagos posibles en cualquier intervalo de tiempo analizado, siempre que se encuentre en el horizonte temporal del problema. Esta caracter´ıstica se garantiza por el siguiente teorema, cuya demostración puede verse en Chiappara (2011).

Teorema 2.1. Para cada h > 0 lo suficientemente peque˜no tal que t + h ≤ T , se tiene que v(x, t) = sup

u∈A

Z t+h t

r(x(s), u(s))ds + v(x(t + h), t + h), donde x(·) es la soluci´on de (2.2) para el control u(s).

Se debe encontrar una ecuaci´on diferencial para la funci´on v, por lo que se recurre al siguiente teorema.

(21)

Teorema 2.2. Suponga que v ∈ C¹(Rⁿ× (0, T )). Entonces, v es soluci´on de la ecuaci´on de Hamilton- Jacobi-Bellman² (HJB) dada por

vt(x, t) + m´ax

a∈A{f (x, a) · ∇_xv(x, t) + r(x, a)} = 0, (2.4) en Rⁿ× (0, T ), con la condici´on final

v(x, T ) = g(x), x ∈ Rⁿ.

A partir de lo anterior se construye el control óptimo solucionando primero (2.4) para obtener la función v. Una vez conocida v se define, para cada x ∈ Rⁿ y para cada t ∈ [0, T ] un u(t) = a, con a ∈ A, de manera que a sea aquel donde se alcanza el máximo en (2.4) para los argumentos (t). Dicho de otro modo, se define un u(t) tal que

vt(x, t) + f (x, u(t)) · ∇xv(x, t) + r(x, u(t)) = 0. (2.5) Con esto se soluciona, suponiendo que la funci´on u(t) es suficientemente regular, el siguiente sistema:

(˙x(s) = f (x^∗(s), u(x^∗(s), s)), s ∈ [t, T ],

x^∗(t) = x. (2.6)

Y finalmente se elige el control óptimo u^∗(s) = u(x^∗(s), s). Esto significa que, si el estado del sistema dinámico en el tiempo t es x, se elige el control que en ese instante del tiempo t, tome el valor a ∈ A, donde a es aquel en el cual se alcanza el máximo de Hamilton-Jacobi-Bellman. Chiappara posteriormente demuestra que este control es efectivamente óptimo, demostración que se replica a continuación añadiendo algunos comentarios.

Teorema 2.3. El control u^∗(s) que soluciona (2.6) es un control ´optimo.

Demostraci´on. De (2.3) se tiene que P [u^∗(s)] =

Z T t

r(x^∗(s), u^∗(s))ds + g(x^∗(T )).

Por la forma en que el control u^∗(·) fue construido, puede despejarse la funci´on r de (2.5) y reemplazarse para obtener

P [u^∗(s)] = Z T

t

[−v_t(x^∗(s), s) − f (x^∗(s), u^∗(s)) · ∇_xv(x^∗(s), s)]ds + g(x^∗(T )).

Al factorizar y sacar la constante con signo negativo de la integral se obtiene P [u^∗(s)] = −

Z T t

[v_t(x^∗(s), s) + f (x^∗(s)), u^∗(s) · ∇_xv(x^∗(s), s)]ds + g(x^∗(T )), de lo cual, al usar la igualdad de ˙x(s) de la ecuaci´on (2.6), se llega a

P [u^∗(s)] = − Z T

t

[vt(x^∗(s), s) + ∇xv(x^∗(s), s) · ˙x^∗(s)]ds + g(x^∗(T ).

2Una ecuaci´on de Hamilton-Jacobi-Bellman tiene la forma

vt+ H(x, ∇xv) = 0, donde

H(x, ∇xv) = m´ax

a∈A{f (x, a) · ∇xv(x, t) + r(x, a)} .

(22)

Esto ´ultimo puede expresarse como

P [u^∗(s)] = − Z T

t

d

dsv(x^∗(s), s)ds + g(x^∗(T ).

Solucionando la integral y evaluando en los l´ımites de integraci´on P [u^∗(s)] = −

Z T t

d

dsv(x^∗(s), s)ds + g(x^∗(T ))

= −v(x^∗(T ), T ) + v(x^∗(t), t) + g(x^∗(T )).

Como v(x^∗(T ), T ) = g(x^∗(T )), entonces,

P [u^∗(s)] = v(x, t).

Ahora, dado que se sabe que

v(x, t) = sup

u(·)∈A

P [u(s)], se puede concluir que

P [u^∗(s)] = sup

u(·)∈A

P [u(s)], lo cual demuestra que u^∗(s) es el control ´optimo.

No obstante, en esta demostración se ha asumido que la solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi- Bellman existe y es única, lo cual no es necesariamente cierto. Para superar este impase se recurre primero a un concepto de solución más débil, que permita encontrar una solución si es que no existe una en el sentido clásico, y posteriormente se demuestra que la función valor que se dedujo es la única solución débil de la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman analizada. Para finalizar se muestra que además esta solución es consistente con el concepto clásico de solución, proceso que consiste en mostrar que la solución débil, si es suficientemente regular, es también una solución clásica.

Para presentar la soluci´on d´ebil que se ha mencionado, se debe introducir el problema de Hamilton- Jacobi-Bellman con valor inicial, esto es

(z_t+ H(x, ∇_xz) = 0 definido en Rⁿ× (0, ∞),

z(x, t) = g definido en Rⁿ× {t = 0} , (2.7)

donde H(x, ∇xv) = m´axa∈A{f (x, a) · ∇_xv(x, t) + r(x, a)} . A partir de esto se presenta lo que se conoce como una soluci´on viscosa.

Definición 2.4. Una función z acotada y uniformemente continua se denomina solución viscosa del problema con valor inicial en (2.7) si

1. z = g en Rⁿ× {t = 0} ,

2. para cada v ∈ C^∞(Rⁿ× (0, ∞)) se tiene que

a) Si z − v tiene un m´aximo local en (x0, t0) ∈ Rⁿ× (0, ∞), entonces v_t(x₀, t₀) + H(∇_xv(x₀, t₀), x₀) ≤ 0.

b) Si z − v tiene un m´ınimo local en (x₀, t₀) ∈ Rⁿ× (0, ∞), entonces vt(x0, t0) + H(∇xv(x0, t0), x0) ≥ 0.

(23)

Evans (1998) denomina subsolución a aquella función que solo verifique a), mientras que llama super- solución a aquella que solo satisfaga b). As´ı el problema de encontrar un control óptimo se convierte en encontrar la solución viscosa de la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman asociada, con lo cual, haciendo uso del método de programación dinámica es posible construir el control óptimo deseado.

Estos desarrollos son suceptibles de ser “extendidos”a ecuaciones diferenciales estoc´asticas, de manera que den cuenta de factores externos que influyen en la decisi´on. Para un estudio utilizando estos enfoques se recomienda ver Chiappara (2011) y Evans (2013).

2.2. Principio del m´ aximo de Pontryagin

La segunda v´ıa por la cual t´ıpicamente se abordan los problemas de control se debe a Pontryagin et al (1962). A continuación se expone el teorema que permite encontrarle solución al problema, en una versión que se presenta en Yeung & Petrosyan (2006):

Teorema 2.4. Un conjunto de controles u^∗(s) = ζ^∗(x₀, s) produce una soluci´on ´optima al problema de control en (2.2)-(2.3), y {x^∗(s), t ≤ s ≤ T } es la trayectoria de estado correspondiente, si existen funciones de coestado µ(s) : [t, T ] → Rⁿ tales que las siguientes relaciones se tengan:

ζ^∗(x, s) ≡ u^∗(s) = arg m´ax

u {[r, x^∗(s), u(s)] + µ(s)f [s, x^∗(s), u(s)]},

˙

x^∗(s) = f [s, x^∗(s), u^∗(s)], x^∗(t) = x₀,

˙

µ(s) = − ∂

∂x{r[s, x^∗(s), u^∗(s)] + µ(s)f [s, x^∗(s), u^∗(s)]}, µ(T ) = ∂

∂x^∗g(x^∗(T )).

Demostraci´on. Se define primero la funci´on Hamiltoniana

H(t, x, u) = r(t, x, u) + v_x(t, x)f (t, x, u).

De lo hecho con el principio de programaci´on din´amica se tiene que

−v_t(t, x) = m´ax

u H(t, x, u).

Si se usa u^∗ para denotar el control que maximiza el pago se obtiene H(t, x, u^∗) + v_t(t, x) ≡ 0.

Al diferenciar parcialmente con respecto a x se tiene

v_tx(t, x) + r_x(t, x, u^∗) + v_x(t, x)f_x(t, x, u^∗) + v_xx(t, x)f (t, x, u^∗) + [r_u(t, x, u^∗) + v_x(t, x)f_u(t, x, u^∗)]∂u^∗

∂x = 0.

Si u^∗ es un punto interior, entonces [r_u(t, x, u^∗) + v_x(t, x)f_u(t, x, u^∗)] = 0 como consecuencia de que

−v_t(t, x) = m´ax_uH(t, x, u). Si u^∗ no es un punto interior puede mostrarse que [ru(t, x, u^∗) + vx(t, x)fu(t, x, u^∗)]∂u^∗

∂x = 0, pues por ser ´optimos [r_u(t, x, u^∗) + v_x(t, x)f_u(t, x, u^∗)] y ∂u^∗

∂x son ortogonales, e incluso para algunos problemas particulares puede tenerse que ∂u^∗

∂x = 0. La expresi´on vtx(t, x)+vxx(t, x)f (t, x, u^∗) ≡ vtx(t, x)+

vxx(t, x) ˙x puede expresarse como dvx(t, x)

dt , de donde se llega a:

(24)

dvx(t, x)

dt + gx(t, x, u^∗) + vx(t, x)fx(t, x, u^∗) = 0.

Al incorporar el vector de coestados, µ(t) = v_x^∗(t, x^∗), donde x^∗ corresponde a la trayectoria de estado de u^∗, se tiene que

dv_x(t, x^∗)

dt = ˙µ(s) = − ∂

∂x{r[s, x^∗(s), u^∗(s)] + µ(s)f [s, x^∗(s), u^∗(s)]}.

Por último, la condición terminal de µ(t) viene determinada a partir de la condición terminal del control

´

optimo como se vio en el Teorema (2.3), de forma que µ(T ) = ∂v(T, x^∗)

∂x = ∂g(x^∗)

∂x , lo cual termina la demostraci´on.

La manera usual de hacer uso del teorema anterior es construir la función Hamiltoniana del problema de control (en muchas ocasiones llamada simplemente Hamiltoniano), que guarda un gran parecido con la función Lagrangiana de los problemas de optimización estática restringida, y solucionar el sistema de ecuaciones que surge de igualar todas las derivadas parciales del Hamiltoniano con respecto a los controles, a cero (0), e igualar las derivadas parciales con respecto a las variables de estado, al negativo de la variable de coestado derivada respecto al tiempo (lo que en el teorema ser´ıa − ˙µ). Una revisión del problema puede revisarse en Kamien & Schwartz (1991).

Puede mostrarse tambi´en que es posible solucionar problemas de control con horizonte temporal infinito haciendo uso del Teorema (2.4). Considere el siguiente problema con descuento:

m´ax

u

Z ∞ t

r[x(s), u(s)]e^−ρ(s−t)ds

, (2.8)

sujeto a la ecuaci´on diferencial:

˙

x(s) = f [x(s), u(s)]ds, x(t) = x. (2.9)

Se define la funci´on λ(s) = µ(s)e^ρ(s−t) y, con ello, la funci´on Hamiltoniana en valor corriente:

H(s, x, u) = H(s, x, u)eˆ ^ρ(s−t)

= r(x, u) + λ(s)f (x, u).

Al usar el Teorema (2.4) con el Hamiltoniano de valor corriente se llega a la soluci´on del problema con descuento.

La elección del método para solucionar un problema de control var´ıa según el caso: en algunas ocasiones es más fácil usar uno u otro, pero en otras ocasiones es estrictamente necesario el uso de uno en particular para lograr dar cuenta de la cantidad de información que poseen los agentes al momento de decidir;

sin embargo, en problemas como los descritos en este cap´ıtulo, en los que un solo individuo toma la desición, la escogencia del método recae casi que exclusivamente en la dificultad. Además, el método de programación dinámica genera soluciones más robustas, en cuanto son funciones que maximizan el funcional del problema en todo momento del tiempo, mientras que las soluciones dadas por el principio del máximo de Pontryagin no necesariamente: si el tiempo final se acorta, por ejemplo, las funciones encontradas por el principio de programación dinámica se mantienen como las óptimas, mientras que las del máximo de Pontryagin podr´ıan ya no ser óptimas y, por ende, el problema deber´ıa volver a ser resuelto con el nuevo tiempo final.