Taller de Matemática aplicada a la ingeniería

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Euler Hacia Atrás o Euler implícito

El método de Euler hacia atrás o también conocido como método de Euler implícito, es un método de análisis numérico usado para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Este método es muy similar al método Euler, la única diferencia es que el de Euler hacia atrás es un método implícito, es decir, que para hallar yn+1 primero debemos resolver otra ecuación previamente.

Sin embargo, la resolución de este método es un poco extenso a comparación de los cálculos de los métodos explícitos; pero este método tiene una ventaja la cual es que generalmente son más estables para resolver una ecuación rígida;

sabiendo que una ecuación rígida es aquella donde sus soluciones contienen escalas significativamente diferentes para la variable independiente, esto provoca que al momento de usar ciertos métodos numéricos para resolverlos estos sean numéricamente inestables, al menos que se considere un tamaño de paso sea extremadamente pequeño; sin embargo, con el método de Euler implícito es más estable resolver estas ecuaciones, es decir, que se puede usar tamaños de paso más grandes que en los otros métodos.

Para la resolución de una ecuación diferencial con este método empleamos las siguientes ecuaciones:

Donde esta es la forma general del método Euler hacia atrás, sin embargo, realizaremos una aproximación, donde tendremos las siguientes ecuaciones:

En la primera obtendremos 𝑦̃_𝑛+1 , para esto reemplazaremos los valores iniciales que nos da el problema, es decir 𝑦_𝑛 este valor le sumamos a la función reemplazada en 𝑡_𝑛 y 𝑦_𝑛 y esto multiplicado por el tamaño de paso, una vez obtenido 𝑦̃_𝑛+1 , procederemos a obtener yn+1, para esto procederemos a usar la segunda ecuación donde reemplazaremos nuevamente el valor dado al inicio del problema, es decir, 𝑦_𝑛 y a esto le sumamos la función, sin embargo, en este caso reemplazaremos los valores de 𝑦_𝑛+1 y 𝑦̃_𝑛+1 , y todo esto multiplicado por el tamaño de paso. De esta manera obtendremos el valor de y que queremos encontrar.

Pero muchas veces el valor obtenido en este método difiere con el valor obtenido en la ecuación real, por esto debemos hallar el valor del error que genera entre estos ambos valores. En este método existe diferentes tipos de error, el error local y el error global o propagado. En el error local es una diferencia que es producida en cada iteración entre el aproximado y el valor real mediante su tangente. En el propagado o global es una acumulación de errores dada por las aproximaciones realizadas mediante las iteraciones.

A continuación, se procederá a realizar unos ejemplos para poder explicar de mejor manera el uso de este método.

Ejemplos

Ejercicio #1

𝑦^′= 2𝑦 + 𝑥 + 10, ℎ = 0.1, 𝑦(0) = 2 𝑦_𝑛+1 = 𝑦_𝑛+ ℎ𝑓(𝑡_𝑛+1, 𝑦̃_𝑛+1)

𝑦 = 2 + 0.1(2𝑦 + 𝑥 + 10)

Haciendo el respectivo despeje:

𝑦 − 2ℎ𝑦 = 2 + 0.1(𝑥 + 10) 𝑦 =2 + 0.1(𝑥 + 10)

1 − 2ℎ

Solución de la ecuación diferencial

Tabla de resultados Numero de

iteraciones 𝑥_𝑛 𝑦_𝑛 𝑦_{𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎} ^Error

0 0 1 1 0

1 0.1 2.5125 2.33377 0.17873276

2 0.2 4.41562 3.9739 0.44172064

3 0.3 6.80703 5.98824 0.81878875

4 0.4 9.80879 8.45963 1.34915826

5 0.5 13.57349 11.48926 2.0842249

6 0.6 18.29186 15.20073 3.09112714

7 0.7 24.20232 19.745 4.45732259

8 0.8 31.6029 25.30645 6.29645033

9 0.9 40.86613 32.1103 8.75583208

10 1 52.45766 40.4316 12.0260603

Tabla 1. Resultados obtenidos del ejercicio #2

Gráfica

Gráfica 1. Gráfica de la solución exacta de la ecuación vs la solución por el método Euler hacia atrás

Ejercicio #2

𝑦^′= −3𝑦 + 𝑒^2𝑥, ℎ = 0.1, 𝑦(0) = 3 𝑦_𝑛+1 = 𝑦_𝑛+ ℎ𝑓(𝑡_𝑛+1, 𝑦̃_𝑛+1)

𝑦 = 3 + 0.1(−3𝑦 + 𝑒^2𝑥)

Haciendo el respectivo despeje:

𝑦 − 3ℎ𝑦 = 3 + 0.1(−3𝑦 + 𝑒^2𝑥) 𝑦 =3 + 0.1(𝑒^2𝑥)

1 + 3ℎ

Solución de la ecuación diferencial

Tabla de resultados Numero de

iteraciones 𝑥_𝑛 𝑦_𝑛 𝑦_{𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎} ^Error

0 0 3 3 0

1 0.1 2.40165 2.31857 0.0830748

2 0.2 1.96218 1.83504 0.12713851

3 0.3 1.64953 1.50282 0.14671035

4 0.4 1.44006 1.28845 0.15161206

5 0.5 1.31684 1.16842 0.14841936

6 0.6 1.26835 1.12686 0.14148732

7 0.7 1.28759 1.15392 0.13367246

8 0.8 1.37146 1.24462 0.12683993

9 0.9 1.52032 1.3981 0.12221925

10 1 1.73787 1.61722 0.12065406

Tabla 2. Resultados obtenidos del ejercicio #2

Gráfica

Gráfica 2. Gráfica de la solución exacta de la ecuación vs la solución por el método Euler hacia atrás

Conclusión

Como se pudo observar en ambos ejercicios el método se comporta de diferentes maneras en cada uno. En el ejercicio #1 se puede observar que este método es muy inestable para esta ecuación, ya que el error entre el valor exacto y el valor obtenido por el método es de unidades y a medida que seguimos realizando las iteraciones se observa que el error aumenta cada vez mas inclusive al punto de ser un error de decenas, es decir, que este método no es lo suficientemente estable para obtener las iteraciones de la ecuación; este error también se lo puede observar en la gráfica, se puede observar como la gráfica de la solución exacta difiere por mucho con la gráfica de los valores de las iteraciones, apreciando así la inestabilidad del método.

Sin embargo, en el ejercicio #2 sucede lo contrario, aquí el error entre el valor exacto y el valor obtenido es solo de décimas, esto demuestra que el método es un poco más estable para esta ecuación porque como ya lo mencionamos su error entre los valores exactos y los experimentales es de décima, sin embargo, al mismo tiempo este error sigue siento un poco elevado a lo necesitado, ya que

es mejor que el error solo sea de milésimas o millonésimas para que no exista una alta variación; de igual manera este error se lo puede observar en la gráficas.

En conclusión, este método tiene sus ventajas y desventajas, es decir, para ciertas ecuaciones este método es estable, por lo cual el error obtenido entre los resultados será bajo, pero con otras ecuaciones este método será muy inestable y el error entre los resultados será muy alto.

Bibliografía

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https://claudiovz.github.io/metodos_numericos_II/ecuaciones_diferenciales/ode 010.html

Método de Euler. (s.f.). Wikiqube.net. Recuperado el 5 de agosto del 2021, de https://es.wikiqube.net/wiki/Backward_Euler_method

Conceptos básicos. (s.f.). Ecuaciones Rígidas. Recuperado el 5 de agosto del

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http://www.frsn.utn.edu.ar/gie/an/mnedo/36_rigidas.html#:~:text=Las%20ecuaci ones%20r%C3%ADgidas%20son%20aquellas,que%20la%20ecuaci%C3%B3n

%20es%20r%C3%ADgida.

Wikivevo. (s.f.). Ecuación rígida. Wikivevo.com. Recuperado el 5 de agosto del 2021, de https://wikitoshare.com/es/Stiff_equation.

Evidencia

Imagen 1. Resultados obtenidos por el script de Python del ejercicio #1

Imagen 2. Resultados obtenidos por el script de Python del ejercicio #2

Imagen 3. Parte 1 del script usado para la obtención de los resultados de los ejercicios.

Imagen 4. Parte 2 del script usado para la obtención de los resultados de los ejercicios.

Imagen 5. Parte 3 del script usado para la obtención de los resultados de los ejercicios