Aplicación de la función Mittag Leffler en la resolución de ecuaciones diferenciales de orden fraccional

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(1)UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS TRABAJO DE GRADO. APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN MITTAG-LEFFLER EN LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN FRACCIONAL. Autor: Michell Paulina Restrepo Segura Director: Pedro Pablo Cárdenas Alzate Ph.D(c). Trabajo presentado como requisito para optar al título de MAGISTER EN MATEMÁTICAS. Junio del 2019.

(2) Agradecimientos Agradezco a Dios, a mi madre Gloria Inés Segura, a familiares, a mis amigos y al profesor Pedro Pablo.... ii.

(3) Resumen La resolución de ecuaciones diferenciales de orden fraccional ha despertado gran interés en los últimos años en la matemática, física, química e ingeniería porque permite establecer modelos matemáticos para problemas del mundo real. En el trabajo se describe y se analiza el método propuesto por Rida y Arafa para la resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas lineales y el método propuesto por YanQuin et al. para la resolución de ecuaciones diferenciales parciales homogéneas lineales y no lineales; estos métodos construyen una función solución en series de potencias por medio de la función Mittag-Leer denida para una variable real positiva. Se comprobó la conabilidad de los dos métodos realizando las grácas de la solución establecida, variando los parámetros (α y coeciente) para determinar si la función solución en series de potencias converge a una solución exacta, adicionalmente se comparó la solución en series de potencias para. α=1. con la solución analítica cuando la ecuación diferencial es. de orden entero. Por último se resolvieron algunos ejemplos con otras técnicas de solución para comparar las soluciones obtenidas con el método de la función Mittag-Leer. Este método es eciente y poderoso para resolver ecuaciones diferenciales de orden fraccional, no obstante la técnica solo es válida para cierto tipo de ecuaciones diferenciales.. iii.

(4) Abstract The resolution of dierential equations of fractional order has aroused great interest in recent years in mathematics, physics, chemistry and engineering because it allows to establish mathematical models for real-world problems. This study describes and analyzes the proposed method Rida and Arafa for the resolution of linear homogeneous dierential equations and the method proposed by YanQuin for the resolution of linear and nonlinear homogeneous partial dierential equations; these methods build a solution in power series through the Mittag-Leer function dened for a positive real variable. The reliability of the two methods was veried by making the graphs of the established solution, varying the parameters (α and coecient) to determine if the solution in power series converges to an exact solution, additionally, the solution in power series was compared for. α = 1. with the analytical solution when the dierential equation is of integer order. Finally, some examples were solved with other solution techniques to compare the solutions obtained with the method of the Mittag-Leer function. This method is ecient and powerful to solve dierential equations of fractional order, however the technique is only valid for certain types of dierential equations.. iv.

(5) Contenido 1. Introducción. 1. 1.1.. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.2.. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.3.. 1.4. 1.5.. Objetivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. General. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.3.2.. Especícos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. Justicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.4.1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. Planteamiento del problema. 2. Generalidades del cálculo fraccional 2.1. 2.2.. 3. 1.3.1.. 6. Reseña historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. Conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.2.1.. Derivada iterada. 8. 2.2.2.. Integral iterada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2.3.. Función Gamma de Euler. 2.4.. Integral fraccional de Riemann-Liouville. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 2.5.. Derivada Fraccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 3. Método de la función Mittag-Leer. 14. 21. 3.1.. Función Mittag-Leer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 3.2.. Cálculo fraccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. 3.3.. Análisis del método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 3.4.. Aplicaciones y resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. 3.5.. Análisis de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 4. Método de la función Mittag-Leer para ecuaciones diferenciales parciales homogéneas y sus aplicaciones 35 4.1.. Descripción del método para ecuaciones diferenciales parciales homogéneas. .. 36. 4.2.. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. 5. Aplicación de otros métodos en la solución de casos aplicados. v. 50.

(6) Capítulo 1 Introducción 1.1. Generalidades Uno de los campos de interés del. Cálculo Fraccional. es la resolución de ecuaciones. diferenciales de orden fraccionario. En los últimos años ha despertado un gran interés en la matemática, física, química e ingeniería [18, 10], debido a que permite establecer modelos matemáticos de problemas del mundo real. La función Mittag-Leer es una generalización de la función exponencial [20] que ha demostrado su importancia como solución en integrales y derivadas de orden fraccionario. Por lo tanto, se ha convertido en un elemento importante para el cálculo fraccional [16], y ha sido empleada en métodos propuestos para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias [18] y parciales homogéneas [10]. En el trabajo se aplicaron los métodos propuestos por Rida y Arafa [18] y YanQuin et al. [10], los cuales construyen una nueva solución en series de potencias por medio de la función Mittag-Leer, la cual se dene para una variable real positiva. En resumen estas técnicas anteriormente nombradas, usan la función y las derivadas para reemplazarla respectivamente en la ecuación diferencial, se combinan los términos equivalentes, se comparán los coecientes con potencias idénticas, se obtiene el coeciente indeterminado, y nalmente se halla la solución general. Es importante destacar que se utiliza la derivada en el sentido de Caputo, ya que esta derivada tiene la ventaja de denir las condiciones iniciales de orden entero para ecuaciones diferenciales de orden fraccional [18]. Se aplicó el método para la solución de ejemplos y aplicaciones en física; adicionalmente se comprobó la conabilidad del método de forma gráca empleando Matlab, para ello se incluyó la solución establecida y se varían los parámetros (coeciente indeterminado y. α), con. el n de determinar si las series de potencias convergen a una solución exacta. No obstante, este método se encuentra limitado para cierto tipo de ecuaciones diferenciales.. 1.

(7) CAPÍTULO 1.. INTRODUCCIÓN. 2. 1.2. Preliminares En el cálculo fraccional, existe una gran variedad de métodos para la resolución de ecuaciones diferenciales de orden fraccionario. En los últimos años se ha venido estudiando sobre una nueva técnica, la cual ha demostrado ser eciente en determinar la solución de estas. Se utilizan dos técnicas muy similares en este trabajo, para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. El primer método es el desarrollado por Rida y Arafa para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias [18], y la técnica de YanQuin et al., para la resolución de ecuaciones diferenciales parciales lineales y no lineales homogéneas [10]. La introducción al cálculo fraccionario se aborda en el segundo capítulo, en el cual se hace un breve resumen histórico de los aportes que han realizado los matemáticos durante. 300. años [14]. También se explica la derivada, integral iterada y la función Gamma que son tan importantes para el cálculo fraccional, se naliza explicando la integral y derivada de Riemann-Liouville [17]. En el tercer capítulo se explica la derivada en el sentido de Caputo, esta derivada es muy útil con respecto a las ecuaciones diferenciales de orden fraccionario, ya que tiene la ventaja de poder utilizar las condiciones iniciales de orden entero para ecuaciones diferenciales fraccionarias. También se realiza la explicación de la función Mittag-Leer que es la generalización directa de la función exponencial y es fundamental para el desarrollo de las dos técnicas. Es importante aclarar que esta función no se trabaja con los números complejos, sino que se adapta para trabajar con dominio en los reales y nalmente se explica detalladamente la resolución de las ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando la función. [18]. En el cuarto capítulo se explica el método para ecuaciones diferenciales parciales homogéneas, esta técnica es muy similar a la primera, pero con esta se puede resolver problemas de valor inicial; sin embargo se debe cumplir con ciertas condiciones y que su solución se pueda expresar como una serie de potencias para que el método sea válido. Los ejemplos resueltos en este capítulo son aplicados a fenómenos físicos (ecuación diferencial de calor, difusión, parabólica, transporte, ecuación diferencial no lineal de difusión y ecuación diferencial de onda) [10, 4]. Los problemas desarrollados en los capítulos 4 y 5, sus soluciones expresadas en serie de potencias se comprobaron realizando las grácas en Matlab y se observó que las soluciones convergen a una solución exacta variando los parámetros (coeciente indeterminado y también se concluyo que al sustituir. α = 1,. α);. la función solución tiende a la solución exacta. cuando la ecuación diferencial es de orden entero. En el último capítulo se realizaron por medio del método de Laplace y el método iterativo algunos ejemplos de los capítulos anteriores y se vericó que la solución con otros métodos es igual a la solución que arroja el método de la función Mittag-Leer [4]..

(8) CAPÍTULO 1.. INTRODUCCIÓN. 3. Con este trabajo se pretende dar a conocer los nuevos métodos desarrollados para la resolución de ecuaciones diferenciales de orden fraccionario, los cuales han demostrado ser métodos sencillos, técnicas ecientes y poderosas [18, 10].. 1.3. Objetivos 1.3.1. General Aplicar el método de la función Mittag-Leer en la resolución de ecuaciones diferenciales de orden fraccionario con condiciones iniciales.. 1.3.2. Especícos Describir el método de la función Mittag-Leer para ecuaciones diferenciales de orden fraccionario.. Mostrar la precisión del método de la función Mittag-Leer aplicado a modelos de orden fraccionario.. Comprobar la solución que se obtiene en serie de potencias, realizando las respectivas grácas en Matlab variando los parámetros (coeciente indeterminado y. Comparar la función solución en serie de potencias cuando. α = 1,. α).. con la solución de. la ecuación diferencial cuando es de orden entero.. Probar la conabilidad del método, comprobando algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales de orden fraccionario con otras técnicas de solución.. 1.4. Justicación En las últimas décadas el cálculo fraccional y especícamente en el campo de las ecuaciones diferenciales fraccionarias, ha despertado gran interés en los matemáticos y físicos, debido a que se puede modelar fenómenos físicos-matemáticos reales [10, 4]. Hasta la actualidad existe gran variedad de métodos para resolver estas ecuaciones, pero en los últimos años se ha desarrollado métodos que han demostrado ser ecientes y sencillos para desarrollar cierto tipo de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales de orden fraccional que utilizan la función Mittag-Leer [18, 10] por lo tanto la solución se expresa en series de potencias. Para comprender este nuevo método, se realizó una búsqueda exhaustiva de métodos similares para entender mejor la técnica y no solo para ecuaciones diferenciales ordinarias, sino para ecuaciones diferenciales parciales. También se comprobó la función solución en.

(9) CAPÍTULO 1.. INTRODUCCIÓN. 4. Matlab, comparando la solución en series de potencia cuando. α=1. con la solución cuando. la ecuación diferencial es de orden entero y después se probaron las soluciones con otro método diferente [4]. El método generalizado de la función Mittag-Leer es incipiente, y por tal motivo es importante dar a conocer a la comunidad académica técnicas nuevas, efectivas y sencillas, que puedan contribuir a investigaciones futuras. Estos nuevos métodos desarrollados por Rida y Arafa. (2011). y YanQuin et al.. (2017),. se. explicaron detalladamente, con ejemplos y grácos que demostraron la efectividad de esta poderosa técnica [18].. 1.4.1. Planteamiento del problema Se constituye como un objetivo principal de esta propuesta de grado el presentar una descripción y análisis del método de la función Mittag-Leer para resolver ecuaciones diferenciales de orden fraccional y modelos físicos matemáticos con condiciones iniciales, cuya solución es aplicable a problemas de ingeniería. Cabe resaltar que el método es nuevo, razón por la cual este trabajo sería una gran oportunidad. para. ser. presentado. en. profundidad. a. nuestra. comunidad. académica. Colombiana y que sirva como soporte para futuras investigaciones en la búsqueda de soluciones a problemas que surgen de las ciencias en general. 1.5. Metodología La primera etapa correspondió a un barrido bibliográco a través de los diferentes trabajos de investigación que se encuentran disponibles en medio digital, donde se buscó el origen, las generalidades, descripción del método y su aplicación a las ecuaciones diferenciales de orden fraccional. Con esa información logramos avanzar en la resolución de diferentes modelos físicos-matemáticos. Una vez se dominó el método de la función Mittag-Leer, se avanzó a la segunda etapa, la cual consistió en la búsqueda de nuevos documentos a través de la red especializada en resolver modelos físicos-matemáticos con el método propuesto en este trabajo. A través de la etapa anterior se consultarón documentos físicos sobre temas de resolución de ecuaciones diferenciales de orden entero por métodos analíticos. La tercera etapa consistió en realizar las grácas en Matlab para cada una de la soluciones de los ejemplos y modelos físicos-matemáticos y de las cuales se varió el orden de la derivada y el coeciente para vericar que al cambiar los parámetros a variables enteras converge a una solución exacta..

(10) CAPÍTULO 1.. INTRODUCCIÓN. 5. La cuarta etapa consistió en investigar otras técnicas de resolución de ecuaciones diferenciales de orden fraccional, para realizar comparativos con el método de la función Mittag- Leer, y comprobar la ecacia de esta técnica. La quinta etapa consistió en consultar a investigadores, principalmente aquellos relacionados con la línea de ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones con el n de analizar las soluciones encontradas mediante este método. Finalmente la sexta etapa consistió en la elaboración del último borrador y su revisión previa antes de la elaboración del documento nal por parte del director..

(11) Capítulo 2 Generalidades del cálculo fraccional 2.1. Reseña historica El cálculo fraccional es una disciplina matemática de 300 años de antigüedad. Después de la n publicación sobre cálculo diferencial en donde se introdujo la notación. d y , dxn. Leibnitz recibió. una carta de Bernoulli haciéndole una pregunta sobre el signicado de la derivada de orden 1 no entera, también recibió una consulta similar de L'Hôpital: ¾Qué sucede si n es ?, la 2 repuesta de Leibnitz fue profética: Conducirá a una paradoja, una paradoja de la cual algún día se sacarán consecuencias útiles, porque no hay paradojas inútiles. Fue el comienzo de una discusión sobre el tema que involucró a otros matemáticos como Euler y Fourier [14]. Euler sugirió en 1730 una generalización de la regla utilizada para calcular la derivada de la 1 función potencia y la usó para obtener derivadas de orden . Sin embargo, podemos decir que 2 el siglo XVIII no fue fructuoso en lo que concierne al desarrollo del cálculo fraccionario. Recién a comienzos del siglo XIX, se empezaron a generar desarrollos interesantes, Laplace propuso una formulación integral (1812), pero fue Lacroix quien usó por primera vez la designación  derivada del orden arbitrario(1819). Usando la función gamma pudo denir la derivada fraccionaria de la función potencia. En 1822, Fourier presentó la siguiente generalización:. 1 dν f (t) = ν dt 2π. Z. +∞. Z. +∞. uν cos(ut − uτ + νπ/2)du,. f (τ )dτ −∞. −∞. y declaró que era válido para cualquier. ν,. positivo o negativo. Sin embargo, podemos hacer. referencia los trabajos de Liouville y Abel. Abel resolvió la ecuación integral que aparece en la solución del problema tautócrona [14]:. Z a. t. ϕ(τ ) dτ = f (t), (t − τ )µ. t > a, 0 < µ < 1. Liouville hizo varios intentos en 1832. En el primero tomó las exponenciales como punto de partida para introducir la derivada fraccional. En otro intento presentó una fórmula para la integración:. 6.

(12) CAPÍTULO 2.. GENERALIDADES DEL CÁLCULO FRACCIONAL. −p. D ϕ(t) = donde. Z. 1 (−1)p Γ(p). 7. ∞. ϕ(t + τ )τ p−1 dτ,. −∞ < t < +∞, Re(p) > 0 ,. 0. Γ(p) es la función gamma. A esta integral, le damos el nombre de la integral fraccional. de Liouville. En un artículo publicado en 1892 (después de su muerte) Riemann alcanzó una expresión similar a la integral fraccional [14].. D. −α. 1 ϕ(t) = Γ(α). Z. t. 0. ϕ(τ ) dτ, (t − τ )1−α. t>0,. esta se convirtió en la base más importante para la integración fraccional. Conviene decir que tanto Liouville como Riemann abordaron las funciones llamadas complementarias que aparecerían al tratar la derivada de orden. α. como una integración de orden. −α. [18].. Existen varios enfoques para la generalización de la noción de la derivada de orden fraccional, por ejemplo, el enfoque de funciones generalizadas de Riemann-Liouville, Grünwaldwald, Caputo. La derivada fraccional de Riemann-Liouville es utilizada principalmente por matemáticos, pero este enfoque no es adecuado para problemas físicos del mundo real ya que requiere la denición de condiciones iniciales de orden fraccional, que aún no tienen una explicación físicamente signicativa. Caputo introdujo una denición alternativa, que tiene la ventaja de denir las condiciones iniciales de orden entero para ecuaciones diferenciales de orden fraccionario. A diferencia del enfoque de Riemann-Liouville, que deriva su denición de la integración repetida, la formulación de Grünwaldwald-Letnikov aborda el problema desde el lado de la derivada. Este enfoque se usa principalmente en algoritmos numéricos. Las principales ventajas del enfoque de Caputo son las condiciones iniciales para las ecuaciones diferenciales fraccionarias, tomando la misma forma que para las ecuaciones diferenciales de orden entero [18]. En los últimos años las ecuaciones diferenciales de orden fraccionario, se han convertido de gran utilidad tanto para las matemáticas como para las aplicaciones. Estas ecuaciones fueron utilizadas en el modelado de muchos procesos físicos, químicos y de ingeniería. A su vez, muchos autores discutieron los aspectos matemáticos de las ecuaciones diferenciales fraccionarias y los métodos de sus soluciones: el método iterativo, el método de serie, la técnica de transformada de Fourier, métodos especiales para ecuaciones diferenciales de orden racional y la técnica de transformada de Laplace. Recientemente, se han desarrollado varios métodos matemáticos que incluyen el método de descomposición de Adomian y método de iteración variacional, para obtener las soluciones analíticas exactas y aproximadas. Algunos de estos métodos usan la transformada para reducir ecuaciones en ecuaciones más simples o sistemas de ecuaciones, y algunos otros métodos dan la solución en una forma de serie que converge a la solución exacta [18, 10]. Se ha desarrollado una nuevo método de la función Mittag-Leer para resolver ecuaciones diferenciales. con. derivadas. fraccionarias.. Este. sugiere. que. el. término. lineal. y(x). se. descomponga mediante una serie innita de componentes y por lo tanto para resolver las ecuaciones diferenciales de orden fraccional se desarrollará por medio de la derivada en el.

(13) CAPÍTULO 2.. GENERALIDADES DEL CÁLCULO FRACCIONAL. 8. sentido de Caputo, esta derivada tiene la ventaja de denir las condiciones iniciales de orden entero para ecuaciones diferenciales de orden fraccional. Esta técnica utiliza como base la función Mittag-Leer y sus derivadas en el sentido de Caputo. El método ha demostrado ser muy poderoso y eciente en la búsqueda de soluciones analíticas para una gran clase de ecuaciones diferenciales de orden fraccional [18, 10].. 2.2. Conceptos previos Para ahondar en los temas de derivada e integral fraccional se debe de tener claro los conceptos de derivada e integral iterada [17].. 2.2.1. Derivada iterada Si tenemos una función. f (x). y se le aplica n-veces la función compuesta sobre sí misma,. tenemos [17]:. Para. n=0 f 0 (x) = x. n=1 f 1 (x) = f (x) n=2 f 2 (x) = f (x) ◦ f (x) = f (f (x)) n=3 f 3 (x) = f (x) ◦ f (x) ◦ f (x) = f (f (f (x))) Para. n f n (x) = f (x) ◦ f (x) ◦ · · · ◦ f (x) = f (f (· · · f (x)) · · · ). Siguiendo la misma lógica explicaremos la derivada iterada. Así tenemos:. Para. n=0. d0 D f (x) = 0 f (x) = f (0) (x) = f (x) dx 0.

(14) CAPÍTULO 2.. Para. 9. n=1. D1 f (x) = Para. GENERALIDADES DEL CÁLCULO FRACCIONAL. d1 d f (x) = f (1) (x) = f 0 (x) f (x) = 1 dx dx. n=2.   d2 d d f (x) = 2 f (x) = f (2) (x) D f (x) = D[Df (x)] = dx dx dx 2. Para. n=3.    d3 d d d f (x) = 3 f (x) = f (3) (x) D f (x) = D[D[Df (x)]] = dx dx dx dx 3. Para. n.     dn d d d ··· f (x) · · · = n f (x) = f (n) (x) D f (x) = D[D · · · [Df (x)] · · · ] = dx dx dx dx n. (2.1). 2.2.2. Integral iterada Una integral iterada es una integral evaluada múltiples veces sobre una misma variable (en contraste con una integral múltiple, que consiste en un número de integrales evaluadas con respecto a diferentes variables). La integral iterada la podemos denir de la siguiente forma:. Denición 2.2.2.1 Dada una función f (x), con x > 0, se puede denir la integral indenida de. f. entre. [0, x],. y la denotamos. Jf (x). ó. D−1 f (x). [17], por lo tanto:. Z. −1. x. f (t) dt. D f (x) = Jf (x) =. (2.2). 0 Para. n=2 D−2 f (x) = J 2 f (x). Sabemos que. 0. Z Jf (x) =. f (t)dt, x. Así. −2. 2. Z. D f (x) = J f (x) = J[Jf (x)] =. x. Z. x. Z. Jf (t)dt = 0. t. f (s) ds dt 0. 0.

(15) CAPÍTULO 2.. Para. GENERALIDADES DEL CÁLCULO FRACCIONAL. 10. n=3 D−3 f (x) = J 3 f (x) = J 2 [Jf (x)].. Sabemos que. Z. 2. x. t. Z.  f (s) ds. J f (x) = 0. dt.. 0. Luego. −3. Z. 3. x. Z. t. . Z. Jf (s) ds. D f (x) = J f (x) = 0. x. Z t Z. s. dt = 0. 0. 0.   f (u) du ds dt. 0. El anterior procedimiento se puede realizar n-veces, existe un resultado de Cauchy que generaliza este resultado y se le conoce como la fórmula para integrales iteradas.. D Veriquemos para. −n. 1 f (x) = J f (x) = (n − 1)! n. 1 D f (x) = Jf (x) = 0!. Z. (2.3). 0. x. Z. 0. (x − t) f (t) dt =. x. f (t) dt.. 0. 0. Obtenemos la denición dada por la ecuación. (2.2). n=2 1 D f (x) = J f (x) = 1! −2. Sea. (x − t)n−1 f (t) dt.. n=1 −1. Para. x. Z. g(x) =. Rx 0. 2. Z. x. x. Z. (x − t)f (t) dt.. (x − t)f (t) dt = 0. 0. (x − t)f (t)dt, lo que se desea probar es g(x) = J 2 f (x). Z x Z x g(x) = (x − t)f (t) dt = [xf (t) − tf (t)] dt. Entonces tenemos:. 0. 0. Z. x. Z. 0 La expresión anterior la derivamos con respecto a. Z. 0. tf (t) dt 0. x.. x. f (t) dt + xf (x) − xf (x).. g (x) = 0 Sabemos que. −1. x. f (t) dt −. =x. Z. D f (x) = Jf (x) =. x. f (t) dt 0.

(16) CAPÍTULO 2.. GENERALIDADES DEL CÁLCULO FRACCIONAL. 11. Por lo tanto. Z. 0. x. f (t) dt = Jf (x).. g (x) = 0 Se escribe. g(x). como:. Z. x. Z. 0. g (t) dt =. g(x) = 0. x. Jf (x) = J[Jf (x)] = J 2 f (x) = D−2 f (x). 0. Finalmente obtenemos. −2. Z. 2. x. (x − t)f (t) dt. D f (x) = J f (x) = 0.  Ahora realizaremos la demostración para Sea. n. 1 g(x) = (n − 1)!. Primero resolvemos el término. (x − t)n−1. (x − t). n−1. Z. x. (x − t)n−1 f (t) dt.. (2.4). 0. con el teorema del binomio.  n−1  X n − 1 n−1−k = x (−t)k , k k=0. Así. (x − t). n−1.         n − 1 n−1 n − 1 n−2 n − 1 n−3 n − 1 (n−1)−(n−1) n−1 = x − x t+ x t + ... ± x t 0 1 2 n−1. =x. n−1.     n − 1 n−2 n − 1 n−3 − x t+ x + . . . ± tn−1 . 1 2. Después de resolver la expresión. (x − t)n−1 ,. este resultado lo reemplazamos en. g(x). f (t)dt por cada término Z x   Z x Z x n − 1 n−2 1 n−1 n−1 x f (t)dt − x tf (t)dt + . . . + (−t) f (t)dt , g(x) = (n − 1)! 0 1 0 0. multiplicamos. O lo que es lo mismo,.     Z x Z Z x 1 n − 1 n−2 x n−1 n−1 g(x) = x f (t)dt − x tf (t)dt + . . . + t f (t)dt 1 (n − 1)! 0 0 0. y.

(17) CAPÍTULO 2.. GENERALIDADES DEL CÁLCULO FRACCIONAL. 12. x, tenemos  Z x 1 n−2 0 f (t)dt + xn−1 f (x) (n − 1)x g (x) = (n − 1)!    0 Z x n−1 n−2 n−3 tf (t)dt + x xf (x) + . . . ± [xn−1 f (x)]] − (n − 2)x 1 0. Ahora derivando con respecto a. n−1 Se cancelan los términos que tengan como expresión x f (x) esto sucede debido a que n−1 el binomio (x − t) de la ecuación (2.4) es una diferencia y por lo tanto al resolverlo se cancelan los términos semejantes. Utlizando el binomio de Newton, tenemos:. n   X n n−k k (a + b) = a b k k=0 n.           n n n n−1 n n−2 2 n n n n−1 (a − b) = a − a b+ a b − ... + ab − b . 0 1 2 n−1 n n. Si tomamos los coecientes de la expresión anterior, observamos que estos se cancelan n cuando el binomio (a − b) ,. n! n! n! n! − + ... + − = 0. n! (n − 1)! (n − 1)! n! g 0 (x) y obtener    Z x Z x n−1 1 n−1 n−3 0 n−2 tf (t)dt f (t)dt +  x  f (x) − (n − 2)x g (x) = (n − 1)x 1 (n − 1)! 0 0     Z x  n − 1   n−1  n−1     n−1 n−4 2 n−1    − x f (x)+ (n−3)x t f (t)dt+ x f (x)−. . .±[ xn−1 f (x)]].       2  2  1 0. Teniendo en cuenta lo anterior, volvemos a escribir. 1 g (x) = (n − 1)! 0.     Z x Z x n−1 n−1 n−2 n−3 (n − 1)x f (t)dt − (n − 2)x tf (t)dt 0 1 0 0    Z x Z x n−1 n−1 n−4 2 + (n − 3)x t f (t)dt + . . . ± tn−2 f (t)dt]. 2 n−2 0 0. Resolviendo la combinatoria, tenemos.    Z x Z x 1 (n − 1)! n−2 n−3 g (x) = (n − 1)x f (t)dt − (n − 2)x tf (t) (n − 1)! (n − 2)! 0 0    Z x Z x (n − 1)! (n − 1)! n−4 2 + (n − 3)x t f (t)dt + . . . ± tn−2 f (t)dt]. 2!(n − 3)! (n − 2)! 0 0 0.

(18) CAPÍTULO 2.. GENERALIDADES DEL CÁLCULO FRACCIONAL. 13.   Z x  Z x (n − 2)! n−1 (n−2) n−2 x f (t)dt − xn−3 tf (t) g (x) =    (n − 1)! (n − 3)! (n − 2)  0 0     Z Z x   (n − 2)! (n− 3) (n − 2)! 0 n−2 n−4 2 t f (t)dt ]. + x t f (t)dt + . . . ±  2!(n − 4)! (n − 2)! x (n−3) 0 0. n−1 g (x) = (n − 1)! 0. x. Z. x 0. n−2. Z (n − 2)! x n−3 f (t)dt − x tf (t) (n − 3)! 0  Z x Z x (n − 2)! n−4 2 x t f (t)dt + . . . ± tn−2 f (t)dt] + 2!(n − 4)! 0 0. Tenemos que los coecientes de cada uno de los términos corresponden a las siguientes combinatorias.. (n − 2)! =1= 0!(n − 2)!. .  n−2 0. (n − 2)! = 1!(n − 3)!.   n−2 1. (n − 2)! = 2!(n − 4)!.   n−2 2. (n − 2)! =1= (n − 2)!0!. .  n−2 n−2. Por lo tanto,. n−1 g (x) = (n − 1)! 0.  Z x  Z x n−2 n−2 n−2 xn−3 tf (t)dt x f (t)dt − 1 0 0 0  Z x  Z x n−2 n−2 n−4 2 x t f (t)dt − . . . ± tn−2 f (t)dt]. + 2 n−2 0 0. La expresión entre el corchete es igual a. n−1 g (x) = (n − 1)! 0. Z. x n−2. (x − t) 0. (x − t)n−2 f (t)dt,. entonces tenemos que:. (n − 1) f (t)dt = g (x) = (n − 2)!(n − 1) 0. 1 = (n − 2)!. Z 0. Z. x. (x − t)n−2 f (t)dt. 0. x. (x − t)n−2 f (t)dt.

(19) CAPÍTULO 2.. GENERALIDADES DEL CÁLCULO FRACCIONAL. g(x) como: Z Z x 0 g (t)dt = g(x) =. 14. Podemos escribir. x. J n−1 f (x) = J[J n−1 f (x)] = J n f (x) = D−n f (x). 0. 0 Finalmente se obtuvo que. D. −n. 1 f (x) = J f (x) = (n − 1)! n. x. Z. (x − t)n−1 f (t) dt.. 0. 2.3. Función Gamma de Euler Denición 2.3.1 La función Gamma de Euler, Γ : (0, ∞) → R, está denida por [17]: ∞. Z. e−t tx−1 dt.. Γ(x) = 0. Proposición 2.3.1 La integral Demostración:. R∞ 0. e−t tx−1 dt. es convergente para. Dividimos la integral en la suma de dos integrales para demostrar la. convergencia de la función Gamma cuando. Z. ∞. Z. −t x−1. e t. x > 0:. 1 −t x−1. e t. dt =. Z. e−t tx−1 dt.. 1. R 1 −t x−1 Para la primera integral e t dt, se tiene que 0 R1 R 1 −t x−1 e t dt < 0 tx−1 dt. puede acotar así: 0 x>0. ∞. dt +. 0. 0. Si. x > 0.. 0 < t < 1,. entonces. 0 < e−t < 1,. se procede a buscar la convergencia de la integral que acota:. Z. 1 x−1. t 0. Z dt = lı́m+ a→0. a. 1. tx−1 dt = lı́m+ a→0. tx x . = lı́m+ a→0. De modo que para todo valor de Para la segunda integral. R∞ 1. x > 0,. e−t tx−1 dt,. la integral. 1 a. 1 ax − x x. R1 0.  =. e−t tx−1 dt. 1 0x 1 − = x x x converge.. es necesario contemplar dos casos.. luego se.

(20) CAPÍTULO 2.. Caso 1:. GENERALIDADES DEL CÁLCULO FRACCIONAL. Para valores. 0<x≤1 Z Z ∞ −t x−1 e t dt = 1. ∞ −t −(1−x). e t. Z dt =. 1. 1. ∞. 15. e−t dt t1−x. El intervalo de integración es [1, ∞) por lo tanto t ≥ 1, si tomamos a 0 < x ≤ 1 entonces f (t) = t1−x se comporta como una función creciente. Podemos observar en la Figura 2.1 que. t1−x ≥ 1. entonces. 1 t1−x. ≤ 1.. f (t) = t1−x. Figura 2.1:. para. t>1. y. 0 < x ≤ 1.. Por lo tanto la integral se acota de la siguiente forma:. Z. ∞. 1. Z. ∞. e−t dt = lı́m. a→∞. 1. De modo que para. Caso 2:. a. a. Z. e−t = lı́m −e−t a→∞. 1. 0 < x ≤ 1,. Para valores de. e−t dt ≤ t1−x. 1. la integral. e−t dt. 1. 0  1 1 1 = lı́m (−e−a + e−1 ) = lı́m (− a + ) = a→∞ a→∞ e e e. R∞ 1. ∞. Z. e−t tx−1 dt. converge.. x > 1.. Se usa integración por partes, donde:. Z. ∞ −t x−1. e t 1. −t x−1. dt = −e t. Z −. ∞ −t. x−2. −e (x − 1)t 1. tx−1 dt = − t + (x − 1) e. Z 1. ∞. e−t tx−2 dt.

(21) CAPÍTULO 2.. GENERALIDADES DEL CÁLCULO FRACCIONAL. 16. Ahora se procede a buscar la convergencia de la integral:. tx−1 lı́m − t a→∞ e. a. Z + (x − 1) lı́m. a→∞. 1. a. e−t tx−2 dt =. 1. ax−1 1 lı́m (− a + ) + (x − 1) lı́m a→∞ a→∞ e e. lı́ma→∞. Para demostrar que sabiendo que. n = [x]. ax−1 = 0, ea. con. x > 1. Z. a x−2. 1. t. et. dt. (2.5). para ello se usa la regla de L'Hopital,. realizamos la n-ésima derivada:. 0 (x − n)(x − n + 1) . . . (x − 2)(x − 1)ax−n−1 = =0 a→∞ ea ∞ lı́m. ax−n−1 → 0, como n = [|x|], 0 ≤ x − n < 1, luego x − n − 1 < 0, a → ∞ y como su exponente es negativo, la expresión queda:. De acuerdo a lo anterior por lo tanto cuando. lı́ma→∞. 1 = 0, ay. donde. y = |x − n − 1| > 0. ahora como el numerador tiende a cero y el. denominador crece exponencialmente, el límite tiende a cero. lı́ma→∞. ax−1 = 0. ea (2.5). Se aplica este resultado para demostrar la convergencia de la integral. . >  x−1. 0. . a 1 lı́m − a +  + (x − 1) a→∞ e  e. ∞ x−2. Z. t. 1. 1 dt = + (x − 1) t e e. Z. ∞ x−2. t. 1. Se puede repetir sucesivamente el proceso hasta demostar que la integral. x>1. converge.. Una propiedad importante de la función Gamma es la siguiente:. Propiedad 2.3.1: Γ(x + 1) = xΓ(x). Para demostrarlo se inicia con. Γ(x + 1) =. R∞ 0. e−t tx dt. :. et. dt. R∞ 1. e−t tx−1 dt. con.

(22) CAPÍTULO 2.. GENERALIDADES DEL CÁLCULO FRACCIONAL. 17. Resolvemos la integral. ∞ −t x. Γ(x + 1) = −e t. Z. −t. x−1. −e xt. −. Z. ∞. dt = x. 0. 0 De modo que. ∞. e−t tx−1 dt = xΓ(x). 0. Γ(x + 1) = xΓ(x).. Figura 2.2: Función Gamma de Euler. 2.4. Integral fraccional de Riemann-Liouville En el cálculo fraccional es conveniente explicar primero la integral fraccional y después la derivada fraccional [17, 16]. De la formula para integrales iteradas, tenemos. D Reemplazamos a. n. −n. por. 1 f (x) = J f (x) = (n − 1)!. v,. n. donde. v ∈ R+. Z. x. (x − t)n−1 f (t)dt.. 0. y aplicando una de las propiedades de la función. Gamma, observamos que: Si. Γ(n + 1) = n!,. entonces. Γ(n) = (n − 1)!. Tenemos que. D. −v. 1 = Γ(v). Z. x. (x − t)v−1 dt.. (2.6). 0. A esta integral se le conoce con el nombre de integral fraccional de Riemann-Liouville de de orden. v ∈ R.. La función. subintervalo nito. [0, ∞).. f. debe ser continua en un intervalo de. (0, ∞). f. e integrable en un.

(23) CAPÍTULO 2.. GENERALIDADES DEL CÁLCULO FRACCIONAL. Para una función de la forma Sea a. f (x) = xµ. con. µ > −1,. xµ ,. podemos hallar la integral. haremos un cambio de variable. (2.6). t = xτ. usando la función beta. y derivamos con respecto. τ. Los límites de integración son:. t=0 ⇒ τ =0 t=x ⇒ τ =1 x. 1 D f (x) = Γ(v). Z. 1 D x = Γ(v). Z. 1 = Γ(v). Z. 1 = Γ(v). Z. 1 = Γ(v). Z. xv+µ = Γ(v). Z. −v. −v µ. (x − t)v−1 f (t)dt. 0 x. (x − t)v−1 tµ dt. 0. 1. (x − xτ )v−1 (xτ )µ xdτ. 0. 1. xv−1 (1 − τ )v−1 (xτ )µ xdτ. 0. 1. 0. xv (1 − τ )v−1 xµ τ µ xdτ x . 1. τ µ (1 − τ )v−1 dτ. 0. Hacemos uso de la función Beta para reemplazarla en la expresión anterior.. 1. Z. τ m−1 (1 − τ )n−1 dτ. β(m, n) = 0 Para este caso, tenemos que. Z. 1. τ (µ+1)−1 (1 − τ )v−1 dτ. β(µ + 1, v) = 0. Z = 0. 1. τ µ (1 − τ )v−1 dτ. 18.

(24) CAPÍTULO 2.. GENERALIDADES DEL CÁLCULO FRACCIONAL. 19. Reemplazando. D−v xµ =. xv+µ β(µ + 1, v) Γ(v). (2.7). De las propiedades de la función beta, sabemos que:. β(µ + 1, v) = Reemplazando. (2.8). en. (2.7),. Γ(µ + 1)Γ(v) Γ(µ + v + 1). (2.8). tenemos,. D−v xµ =. =.   Γ(µ + 1) Γ(v) xv+µ   Γ(v)Γ(µ + v + 1) . Γ(µ + 1) xv+µ Γ(µ + v + 1). La anterior solución es la integral fraccional de la función. xµ ,. con. µ > −1. 2.5. Derivada Fraccional Si. D =. d dx. n-ésima. Si. es el operador derivada, y si. n. es un entero positivo,. Dn f (x). n. no es un entero positivo y se conoce la importancia de + como la derivada fraccional cuando µ ∈ R . [17, 16].. u ∈ R+ , n es el entero más µ entonces 0 < v ≤ 1, donde v ∈ R. D se dene u, así: Tenemos que. Sabemos que. pequeño mayor que. es la derivada. , se dene a. Dµ. v = n − u, de f (x) de orden. y sea. como la derivada fraccional. u=n−v Du f (x) = Dn−v f (x) = Dn [D−v f (x)] ,. Si se tiene. u. D. −v. x>0. f (x) = xµ , entonces Du xµ = Dn [D−v xµ ] y usando la integral de Riemann-Liouville Z x 1 −v µ D x = (x − t)v−1 tµ dt Γ(v) 0. Tomando el resultado de la sección anterior, tenemos. D−v xµ =. Γ(µ + 1) xv+µ Γ(µ + v + 1).

(25) CAPÍTULO 2.. GENERALIDADES DEL CÁLCULO FRACCIONAL. Tenemos,. Du xµ = Dn−v xµ = Dn [D−v xµ ] = Dn. D u xµ = D n. Γ(µ + 1) xv+µ Γ(µ + v + 1). Γ(µ + 1) xn−u+µ Γ(n − u + µ + 1). =. dn Γ(µ + 1) xn−u+µ n dx Γ(n − u + µ + 1). =. Γ(µ + 1)(n − u + µ)(n − u + µ − 1) . . . (n − u + µ − (n − 1))xµ−u Γ(n − u + µ + 1). =. Γ(µ + 1)(n − u + µ)(n − u + µ − 1) . . . (µ − u + 1))xµ−u Γ(µ − u + 1) Γ(n − u + µ + 1) Γ(µ − u + 1) ((. Γ(n −(u( +(µ(+ 1) Γ(µ + 1)( (( xµ−u D x = ( (µ(+(1)Γ(µ ( ( Γ(n − u + − u + 1) ( (( u µ. =. Γ(µ + 1) xµ−u Γ(µ − u + 1). En conclusión, tenemos la derivada fraccional de. D u xµ =. xµ. Γ(µ + 1) xµ−u , u > 0, x > 0 Γ(µ − u + 1). 20.

(26) Capítulo 3 Método de la función Mittag-Leer 3.1. Función Mittag-Leer La función. Eα (z). fue denida y estudiada por Mittag-Leer en 1903. Es una generalización. directa de la función exponencial. La función generalizada fue estudiada por Wiman en 1905, Agarwal en 1953 y Humbert y Agarwal en 1953, y otros.. Eα (x) :. Función Mittag-Leer [18, 11].. Eα (z) :=. ∞ X k=0. Eα,β (x) :. zk , (α  C, Re(α) > 0) Γ(αk + 1). Función Mittag-Leer generalizada.. Eαβ (z) :=. ∞ X k=0. zk , (α, β  C, Re(α) > 0, Re(β) > 0) Γ(αk + β). Ejemplo 1. Comprobemos que E1 (z) = ez E1 (z) =. ∞ X k=0. ∞. X zk zk = = ez Γ(k + 1) k=0 k!. Ejemplo 2. Probemos que E1,1 (z) = ez E1,1 (z) =. ∞ X k=0. ∞. X zk zk = = ez Γ(k + 1) k=0 k!. 21.

(27) CAPÍTULO 3.. MÉTODO DE LA FUNCIÓN MITTAG-LEFFLER. 22. 3.2. Cálculo fraccional Derivada fraccional de. f (x). en el sentido de Caputo [18, 16].. Dα f (x) = I m−α Dm f (x) Z x 1 (x − t)m−α−1 f (m) (t) dt = Γ(m − α) 0 α  R+ , sea m el 0 < u ≤ 1, donde u  R+ .. Supongamos que entonces. entero más pequeño, mayor que. (3.1). α. y sea. u = m − α,. D−u+m f (x) D−u [Dm f (x)] I u Dm f (x) I m−α Dm f (x) Z x 1 = (x − t)m−α−1 f (m) (t) dt Γ(m − α) 0. Dα f (x) = = = =. Sabemos que. 0<u≤1. por lo tanto. m − 1 < α ≤ m , m  N, x > 0. Para la derivada en el sentido de Caputo tenemos La derivada en el sentido de Caputo para. α n. D x =. xn. siendo. C. una constante.. es:.  0, . Dα C = 0,. si n ≤ [α]. Γ(n + 1) xn−α , si n > [α] Γ(n − α − 1). (3.2). Comprobemos lo anterior. Caso 1:. Para. n ≤ [α] 1 D x = Γ(m − α) α n. Si. m=n. la derivada. f (m). de la función. tn. Z. x. (x − t)m−α−1 f (m) tn dt. 0 es:. dm n dm m t = t = m(m − 1)(m − 2) . . . 2 · 1 = m! dtm dtm Si. m>n. y. m!. es una constante, por lo tanto la derivada de orden. así como las de órdenes subsiguientes.. m+1. será igual a cero,.

(28) CAPÍTULO 3.. MÉTODO DE LA FUNCIÓN MITTAG-LEFFLER. 23. Entonces,. Caso 2:. *0   f t dt . x. Z. 1 D x = Γ(m − α) α n. (x − t). m−α−1 (m)n. 0. =0. n > [α]. Para. Realizamos la derivada. f (m). x. Z. 1 D x = Γ(m − α) α n. (x − t)m−α−1 f (m) tn dt .. (3.3). 0. de la función. tn. n > m,. cuando. dm n Γ(n + 1) Γ(n − (m − 1)) = tn−m t = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − (m − 1))tn−m m dt Γ(n − (m − 1)) Γ(n − (m − 1)) Reemplazamos lo anterior en (3.3). 1 = Γ(m − α). α n. D x. x. Z. (x − t)m−α−1. 0. Γ(n + 1) = Γ(m − α)Γ(n − m + 1) Se resuelve la integral de. Z. x. (x − t). m−α−1 n−m. 0. 1 Γ(m − α). Z. (x − t)m−α−1 tn−m dt. (3.4). 0. x. (x − t)m−α−1 tn−m dt. 0. Realizamos el siguiente cambio de variable. Z. x. Z. (3.4) 1 Γ(m − α). 1 Γ(m − α). Γ(n + 1) n−m t dt Γ(n − m + 1). t. t = vx,. tenemos. 1 dt = Γ(m − α). Z. =. 1 Γ(m − α). Z. =. xn−α Γ(m − α). Z. x. (x − t)m−α−1 tn−m dt =. 0. 1. (x − vx)m−α−1 (vx)n−m xdv. 0 1. xm−α−1 (1 − v)m−α−1 v n−m xn−m xdv. 0 1. (1 − v)m−α−1 v n−m dv. 0. xn−α β(n − m + 1, m − α) Γ(m − α). xn−α Γ(n − m + 1)Γ(m − α) = Γ(m − α) Γ(n − m + 1 + m − α) =. xn−α Γ(n − m + 1) Γ(n − α + 1).

(29) CAPÍTULO 3.. MÉTODO DE LA FUNCIÓN MITTAG-LEFFLER. 24. Reemplazamos el anterior resultado en (3.4). D α xn =. Γ(n + 1) xn−α Γ(n − m + 1) Γ(n + 1) = xn−α Γ(n − m + 1) Γ(n − α + 1) Γ(n − α + 1). 3.3. Análisis del método Se aplicará la metodología propuesta por Rida y Arafa (2011), la cual sugiere que el término. y(x). se descomponga por una serie innita de componentes [18, 16, 8, 12]. La función z = axα :. Mittag-Leer se dene para el dominio de los números reales, donde. α. y = Eα (ax ) =. ∞ X n=0. ∞. X xnα (axα )n = an Γ(nα + 1) n=0 Γ(nα + 1). (3.5). Utilizamos las siguientes resultados:. Dα (y) =. ∞ X. an. n=1. 2α. D (y) =. ∞ X n=2. Vamos a comprobar el resultado. Realizamos la derivada. x(n−2)α Γ((n − 2)α + 1). (3.7). an. Z. x m−α−1 (m). (x − t). f. 0. ∞ X n=0. an. tnα dt Γ(nα + 1). (3.8). f (m). ∞ X tnα an (nα)(nα − 1) . . . (nα − (m − 1))tnα−m Γ(nα − (m − 1)) D a = · Γ(nα + 1) Γ(nα + 1) Γ(nα − (m − 1)) n=0 n=0 m. ∞ X. (3.6). (3.6). 1 D (y) = Γ(m − α) α. x(n−1)α Γ((n − 1)α + 1). n. =. ∞ X n=0. =. ∞ X n=0. an Γ(nα + 1)tnα−m Γ(nα + 1)Γ(nα − m + 1). an tnα−m Γ(nα − m + 1). (3.9).

(30) CAPÍTULO 3.. MÉTODO DE LA FUNCIÓN MITTAG-LEFFLER. Reemplazamos el resultado (3.9) en la ecuación (3.8), para resolver. 1 D (y) = Γ(m − α) α. =. ∞ X n=0. =. ∞ X n=0. Z. ∞ X n=0. 1 Γ(m − α). x. Z. (x − t)m−α−1. 0. an Γ(m − α) Γ(nα − m + 1). x m−α−1 nα−m. (x − t). (x − t)m−α−1. 0. Resolvamos la siguiente integral de. 1 Γ(m − α). x. Z. t. 0. Dα (y). 25. tenemos:. an tnα−m dt Γ(nα − m + 1) an tnα−m dt Γ(nα − m + 1). Z. x. (x − t)m−α−1 tnα−m dt. (3.10). 0. (3.10). 1 dt = Γ(m − α). Z. 1 = Γ(m − α). Z. xα(n−1) Γ(m − α). Z. =. 1. (x − ux)m−α−1 (ux)nα−m xdu. 0 1. xm−α−1 (1 − u)m−α−1 unα−m xnα−m x du. 0 1. (1 − u)m−α−1 unα−m du. 0. =. xα(n−1) β(nα − m + 1, m − α) Γ(m − α). =. xα(n−1) Γ(nα − m + 1)Γ(m − α) Γ(m − α) Γ(nα − m + 1 + m − α). =. xα(n−1) Γ(nα − m + 1) . Γ(nα − α + 1). Reemplazamos el anterior resultado en (3.10). α. D =. ∞ X n=0. ∞. an xα(n−1) Γ(nα − m + 1) X n x(n−1)α · = a . Γ(nα − m + 1) Γ(α(n − 1) + 1) Γ((n − 1)α + 1) n=1. Ahora vamos a comprobar el resultado. 1 D (y) = Γ(m − α) α. Resolvamos la derivada. Z. (3.7).. x m−α−1 (m). (x − t) 0. f. ∞ X n=1. an. t(n−1)α dt . Γ((n − 1)α + 1). (3.11). f (m) Dm (y) =. ∞ X n=1. an t(n−1)α−m . Γ((n − 1)α − m + 1). (3.12).

(31) CAPÍTULO 3.. MÉTODO DE LA FUNCIÓN MITTAG-LEFFLER. 26. Reemplazamos el resultado (3.12) en la ecuación (3.11), para resolver. α. D (y) =. ∞ X n=1. an Γ(m − α) Γ((n − 1)α − m + 1). Z. Dα (y). x. (x − t)m−α−1 t(n−1)α−m dt. (3.13). 0. Realizamos la siguiente integral de (3.13). 1 Γ(m − α). Z. x. (x − t)m−α−1 t(n−1)α−m dt. 0. Tenemos. 1 Γ(m − α). x. Z. (x − t). m−α−1 (n−1)α−m. t. 0. 1 dt = Γ(m − α). Z. xα(n−1)−α Γ(m − α). Z. =. 1. (x − ux)m−α−1 (ux)(n−1)α−m xdu. 0 1. (1 − u)m−α−1 u(n−1)α−m du. 0. =. xα(n−2) β((n − 1)α − m + 1, m − α) Γ(m − α). =. xα(n−2) Γ((n − 1)α − m + 1)Γ(m − α) Γ(m − α) Γ((n − 1)α − m + 1 + m − α). =. xα(n−2) Γ((n − 1)α − m + 1) Γ((n − 2)α + 1). Reemplazamos el anterior resultado en (3.13). D. 2α. =. ∞ X n=2. ∞. an x(n−2)α xα(n−2) Γ((n − 1)α − m + 1) X n a · = Γ((n − 1)α − m + 1) Γ(α(n − 2) + 1) Γ((n − 2)α + 1) n=2. 3.4. Aplicaciones y resultados Ejemplo 1. Dada la siguiente ecuación diferencial, obtener la función solución en serie de potencias [18, 12].. Usando. (3.5). y. (3.6),. dα y = Ay dxα encontramos. dα y − Ay = 0 dxα ∞ X n=1. an. ∞ X x(n−1)α xαn −A an =0 Γ((n − 1)α + 1) Γ(nα + 1) n=0.

(32) CAPÍTULO 3.. MÉTODO DE LA FUNCIÓN MITTAG-LEFFLER. Reemplazamos en. n. por. n+1. ∞ X. a. en la primera suma. n+1. n=0 ∞ X. a. 27. ∞ X xnα xnα −A an =0 Γ(nα + 1) Γ(nα + 1) n=0. xnα xnα n −A a =0 Γ(nα + 1) Γ(nα + 1). n+1. n=0 ∞ X. (an+1 − Aan ). n=0. xnα =0 Γ(nα + 1). Ahora hallamos el coeciente. (an+1 − Aan ) = 0 ⇒ an+1 = Aan Entonces. n=0. a = Aa0 = A. n=1. a2 = Aa1. ⇒ a2 = A 2. n=2. a3 = Aa2. ⇒ a3 = A 3. Sustituyendo (3.5). y(x) = a0 + a1 y(x) = 1 + A. xα x2α + a2 + ... Γ(α + 1) Γ(2α + 1). xα x2α + A2 + ... Γ(α + 1) Γ(2α + 1). La solución general es. y(x) =. ∞ X n=0. An. xnα Γ(nα + 1). La solución general se puede escribir.. y(x) = Eα (Axα ) Si. α=1. , la solución exacta es. ∞ X. ∞. X (Ax)n xn y(x) = A = = eAx Γ(n + 1) n! n=0 n=0 n. En la gura 3.1 la función solución expresada en serie de potencias converge a la función. y(x) = ex ,. la cual es la solución de la ecuación diferencial de orden entero. dy − y = 0. dx.

(33) CAPÍTULO 3.. MÉTODO DE LA FUNCIÓN MITTAG-LEFFLER. Figura 3.1: Aproximación de la función solución para. y. A=1. Figura 3.2: Aproximación de la función solución para. A=1. y. α = 0.2. Figura 3.3: Aproximación de la función solución para. A=1. y. α = 0.9. Las guras. A=1. α=1. 28. 3.2, 3.3. y. 3.4. representan el comportamiento de la función solución para. 0 < α ≤ 1. Observamos que cuando A > 0 la función A < 0 la función es decreciente y es representada en la gura 3.5.. y para diferentes valores de. es creciente y para valores de.

(34) CAPÍTULO 3.. MÉTODO DE LA FUNCIÓN MITTAG-LEFFLER. Figura 3.4: Aproximación de la función solución para. 29. A = 1 y diferentes valores de 0 < α ≤ 1. Figura 3.5: Aproximación de la función solución para. A = −1. y valores de. 0<α≤1. Ejemplo 2. Dada la siguiente ecuación diferencial, obtener la función solución en serie de potencias [18, 12].. d2α y −y =0 dx2α Usando. (3.5). y. (3.7) ∞ X n=2. Reemplazamos. n. por. ∞. X x(n−2)α xnα a − an =0 Γ((n − 2)α + 1) n=0 Γ(nα + 1) n. (n + 2) ∞ X n=0. en la primera sumatoria. ∞. a. n+2. X xnα xnα − an =0 Γ(nα + 1) n=0 Γ(nα + 1). ∞ X n=0. (an+2 − an ). xnα =0 Γ(nα + 1).

(35) CAPÍTULO 3.. MÉTODO DE LA FUNCIÓN MITTAG-LEFFLER. 30. Hallamos los coecientes. an+2 − an = 0 an (a2 − 1) = 0 Sabemos que. an 6= 0,. Por lo tanto. a2 − 1 = 0 ⇒ (a − 1)(a + 1) = 0 ⇒ a = 1, a = −1 Sustituyendo en. (3.5). y(x) = a0 + a1. xα x2α x3α x4α + a2 + a3 + a4 + ... Γ(α + 1) Γ(2α + 1) Γ(3α + 1) Γ(4α + 1). y1 (x) = 1 +. xα x2α x3α x4α + + + + ... Γ(α + 1) Γ(2α + 1) Γ(3α + 1) Γ(4α + 1). y2 (x) = 1 −. x2α x3α x4α xα + − + − ... Γ(α + 1) Γ(2α + 1) Γ(3α + 1) Γ(4α + 1). Solución General. y(x) =. ∞ X n=0. ∞. X (−xα )n (xα )n + = Eα (xα ) + Eα (−xα ) Γ(nα + 1) n=0 Γ(nα + 1). Representación de la función solución para valores de. 0 < α ≤ 1:. Figura 3.6: Aproximación de la función solución para En la gura. 3.6. la solución general converge a la función solución 2α. solución de la ecuación diferencial. d y −y =0 dx2α. cuando. α = 1.. α=1. y(x) = ex + e−x ,. que es la.

(36) CAPÍTULO 3.. MÉTODO DE LA FUNCIÓN MITTAG-LEFFLER. Figura 3.7: Aproximación de la función solución para. α = 0.3. Figura 3.8: Aproximación de la función solución para. α = 0.5. Figura 3.9: Aproximación de la función solución para. Las guras. 31. 3.7, 3.8. y. 3.9. 0<α≤1. representan la función solución para valores de. 0 < α ≤ 1,. en las. cuales observamos que la solución en serie de potencias converge a una solución exacta, que α α puede ser expresada por medio de la función Mittag-Leer y(x) = Eα (x ) + Eα (−x ).. Ejemplo 3. Dada la siguiente ecuación diferencial, obtener la función solución en serie de potencias [18, 12].. d2α y dα y + − 2y = 0 dx2α dxα.

(37) CAPÍTULO 3.. MÉTODO DE LA FUNCIÓN MITTAG-LEFFLER. 32. Luego,. ∞ ∞ X X x(n−1)α xnα x(n−2)α n + a −2 an =0 a Γ((n − 2)α + 1) Γ((n − 1)α + 1) Γ(nα + 1) n=1 n=0 n=2. ∞ X. n. ∞ X. a. n+2. n=0. ∞ ∞ X X xnα xnα xnα n+1 + a −2 an =0 Γ(nα + 1) n=0 Γ(nα + 1) Γ(nα + 1) n=0. ∞ X (an+2 + an+1 − 2an ) n=0. xnα =0 Γ(nα + 1). Identicamos los coecientes, así. an+2 + an+1 − 2an = 0 an (a2 + a − 2) = 0 Sabemos que. an 6= 0,. entonces. a2 + a − 2 = 0 ⇒ (a + 2)(a − 1) = 0 ⇒ a = −2, a = 1 Sustituyendo en. 3.5. y(x) = a0 + a1. xα x2α x3α x4α + a2 + a3 + a4 + ... Γ(α + 1) Γ(2α + 1) Γ(3α + 1) Γ(4α + 1). y1 (x) = 1 +. xα x2α x3α x4α + + + + ... Γ(α + 1) Γ(2α + 1) Γ(3α + 1) Γ(4α + 1). y2 (x) = 1 −. 2xα 4x2α 8x3α 16x4α + − + − ... Γ(α + 1) Γ(2α + 1) Γ(3α + 1) Γ(4α + 1). Solución General. y(x) =. ∞ X n=0. ∞. X (−2xα )n (xα )n + = Eα (xα ) + Eα (−2xα ) Γ(nα + 1) n=0 Γ(nα + 1) α = 1 converge a la función y(x) = ex + e−2x que d2 y dy + −2y = 0, esto se representa en la gura 3.10. dx2 dx. La solución en serie de potencias para es la solución de la ecuación diferencial.

(38) CAPÍTULO 3.. MÉTODO DE LA FUNCIÓN MITTAG-LEFFLER. 33. Figura 3.10: Aproximación de la función solución para. Representación de la función solución para valores de. 0 < α ≤ 1:. Figura 3.11: Aproximación de la función solución para Las gura. 3.11. α=1. representa la función solución para valores de. 0<α≤1. 0 < α ≤ 1,. en las cuales. observamos que la solución en serie de potencias converge a una solución exacta, que puede α α ser expresada por medio de la función Mittag-Leer y(x) = Eα (x ) + Eα (−2x ).. 3.5. Análisis de resultados A < 0 la función es oscilatoria amortiguada para valores de 1 < α < 2 α = 2 [8].. En el ejemplo 1 cuando y oscilatoria para. Figura 3.12: Solución del ejemplo 1 para valores de. α>1. y. A = −1.

(39) CAPÍTULO 3.. Cuando. A>0. MÉTODO DE LA FUNCIÓN MITTAG-LEFFLER. la función es creciente para valores de. α > 0.. Figura 3.13: Solución del ejemplo 1 para valores de En el ejemplo 2 cuando. 1<α≤2. 34. α>1. y. A>0. la función es creciente.. Figura 3.14: Solución del ejemplo 2 para valores de. 1<α≤2.

(40) Capítulo 4 Método de la función Mittag-Leer para ecuaciones diferenciales parciales homogéneas y sus aplicaciones En este capítulo se explica detalladamente el método de la función Mittag-Leer para ecuaciones diferenciales parciales homogéneas de orden fraccional, se realizan varios ejemplos aplicados a la ingeniería. El método del capítulo 3 tiene varias similitudes empezando por la imposición de la función Mittag-Leer, pero solo es válido para ecuaciones diferenciales ordinarias. Considere la ecuación diferencial parcial homogénea de orden fraccional [10].. Dtα u(x, t). =. n X. ai (x)Dxδii u(x, t) + A(u(x, t)). (4.1). i=1 Sujeto a la condición inicial. ∂ j u(x, 0) = ϕj (x), ∂tj donde m − 1 < α, j = 0, 1, 2, ..., m − 1, m ∈ N, δi ∈ N, 0 ≤ t < T, x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , ai (x), ϕi (x) son funciones de variable x y A(u(x, t)) es lineal o no lineal en u(x, t) y ux (x, t). Tenga en cuenta que Dtα u(x, t) es la derivada fraccional parcial en el sentido de Caputo de la función u(x, t) con respecto a t.. Denición 4.1. Derivada fraccional parcial en el sentido de Caputo de orden α (α > 0) de una función. u(x, t). se denota por. Dtα u(x, t). =.    . Dtα u(x, t),. ∂m u(x, t), ∂tm. tenemos [10]:. α = m, m ∈ N.    I m−α ∂ m u(x, t), m − 1 < α < m, m ∈ N t ∂tm. 35.

(41) MÉTODO PARA E.D.P HOMOGÉNEAS Y SUS APLICACIONES. Recordemos del capítulo y. 3, que cuando γ > −1 y C ∈ R, tenemos Dtα tγ =. Dtα C = 0.. 36. Γ(γ + 1) γ−α t Γ(γ + 1 − α). 4.1. Descripción del método para ecuaciones diferenciales parciales homogéneas Se utiliza la metodología propuesta por YanQin Liu y HongGuang Sun entre otros (2017) tomando como ejemplo una ecuación diferencial fraccionaria homogénea simple [10]. Tenemos,. Dtα u(x, t) = L(u(x, t)),. (4.2). Con la condición inicial.. u(x, 0) = ϕ(x) donde. Dtα. L. es un operador lineal denido en un espacio. α. u(x, t) = f (x)Eα (At ) =. ∞ X. f (x)An. n=0 donde. 0 < α ≤ 1, ϕ(x) es una B de Banach a sí mismo.. es la derivada parcial fraccional en el sentido de caputo,. función conocida y. tnα Γ(nα + 1). (4.3). A es un coeciente indeterminado, usando la condición inicial u(x, 0) = ϕ(x) tenemos,. u(x, 0) = ϕ(x) = Por lo tanto,. P∞. n=0. f (x)An · 0nα = f (x)A0 00 + · · · + 0 = f (x). f (x) = ϕ(x). Utilizando las ecuaciones. (3.6), (4.3). ∞ X. y sustituyendo en la ecuación. (4.2), tenemos !. ∞ X t(n−1)α tnα ϕ(x)A =L ϕ(x)An Γ((n − 1)α + 1) Γ(nα + 1) n=1 n=0 n. Combinando los términos similares y reemplazando. ∞ X. ϕ(x)An+1. n=0. n por n+1 en la primera suma, obtenemos. ∞ X tnα tnα = L(ϕ(x)) An Γ(nα + 1) Γ(nα + 1) n=0. (4.4). El método se puede aplicar, cuando se cumple la siguiente condición. L(ϕ(x)) = Bϕ(x), donde. B. es una constante.. (4.5).

(42) MÉTODO PARA E.D.P HOMOGÉNEAS Y SUS APLICACIONES. Siguiendo con el desarrollo de la ecuación. ϕ(x). (4.4),. 37. tenemos. ∞ X tnα (An+1 − BAn ) =0 Γα + 1 n=0. Identicando los coecientes, observamos. An+1 − BAn = 0 ⇒ An+1 = BAn Si. n=0. A1 = BA0 = B. Si. n=1. A2 = BA1 = BA = B 2. Si. n=2. A3 = BA2 = BB 2 = B 3 (4.3),. Sustituyendo en la ecuación. la solución general es:. Btα B 2 t2α B 3 t3α u(x, t) = ϕ(x) 1 + + + + ... Γ(α + 1) Γ(2α + 1) Γ(3α + 1) . = ϕ(x). ∞ X n=0. Observación 4.1.1: termino no lineal. . ∞ X B n tnα (Btα )n = ϕ(x) = ϕ(x)Eα (Btα ) Γ(nα + 1) Γ(nα + 1) n=0. Para las ecuaciones diferenciales no lineales de orden fraccionario, el. N (u(x, t)). puede descomponerse de la siguiente forma:. ∞ X ϕ(x)An N (u(x, t)) = N ( n=0. tnα ) Γ(nα + 1). ∞ X = N( ϕ(x)un (t)) n=0 ∞ ∞ n n−1 X X X X = N (ϕ(x))N ( un (t)) = N (ϕ(x))(N (u0 ) + (N ( uj ) − N ( uj ))) n=0. n=1. El método de la función Mittag-Leer es aplicable cuando. Observación 4.1.2:. j=0. N (ϕ(x)) = 0. 1 < α ≤ 2, sujeta a la f (x) = ϕ(x) y φ(x) = 0.. Para la ecuación diferencial fraccional de orden. u(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = φ(x), y tenemos φ(x) 6= 0 este método no se puede aplicar.. condición inicial Por lo tanto si. j=0. que. 4.2. Aplicaciones Ejemplo 1: Considere la siguiente ecuación diferencial de calor (heat-like) en una dimensión [10].. 1 Dtα u(x, t) = x2 Dx2 u, 2. (4.6).

(43) MÉTODO PARA E.D.P HOMOGÉNEAS Y SUS APLICACIONES. con condiciones de contorno. u(0, t) = 0, u(1, t) = et y la condición inicial. u(x, 0) = x2 donde. 0 < α ≤ 1, 0 < x < 1, t > 0.. Denotando. 1 L(u(x, t)) = x2 uxx , 2. 1 1 L(x2 ) = x2 Dx2 (x2 ) = x2 (2) = x2 = u(x, 0) 2 2 Esta ecuación satisface la condición(4.5) y Basándonos de la ecuación. x2. ∞ X. ∞ X. An. An. n=1 Reemplazando. n. por. n+1 x2. entonces el método es aplicable.. (4.4). n=1. x2. B = 1,. ∞ X. ∞ X tnα t(n−1)α = x2 An Γ((n − 1)α + 1) Γ(nα + 1) n=0. ∞ X t(n−1)α tnα − x2 An =0 Γ((n − 1)α + 1) Γ(nα + 1) n=0. en la primera suma, tenemos. An+1. n=0. ∞ X tnα tnα − x2 An =0 Γ(nα + 1) Γ(nα + 1) n=0. Combinando los términos similares.. x2. ∞ X n=0. (An+1 − An ). tnα =0 Γ(nα + 1). Identicando los coecientes.. An+1 − An = 0 ⇒ An+1 = An n=0. A=1. n=1. A2 = A = 1. n=2. A3 = A2 = A = 1. 38.

(44) MÉTODO PARA E.D.P HOMOGÉNEAS Y SUS APLICACIONES. 39. Entonces. u(x, t) = x. 2. ∞ X n=0. An. tnα Γ(nα + 1).  tα t2α t3α 2 3 +A +A + ... Γ(α + 1) Γ(2α + 1) Γ(3α + 1)   tα t2α t3α 2 + + + ... = x 1+ Γ(α + 1) Γ(2α + 1) Γ(3α + 1).  2 = x 1+A. = x. 2. ∞ X n=0. (tα )n Γ(nα + 1). La solución es:. u(x, t) = x2 Eα (tα ) A continuación se muestra las grácas de las aproximaciones de las funciones obtenidas con la ecuación anterior, variando el valor de alfa. (α) :. Figura 4.1: Aproximación de la función solución para La ecuación. (4.6). α=1. modela el ujo de calor en una varilla que sus extremos están a. temperaturas diferentes (condiciones de contorno)..

(45) MÉTODO PARA E.D.P HOMOGÉNEAS Y SUS APLICACIONES. Figura 4.2: Aproximación de la función solución para respectivamente y diferentes valores de. α. para. 40. α = 0.2, α = 0.5. y. α = 0.7,. t = 1.. La solución de esta ecuación es una función de dos variables: una variable espacial (posición a lo largo de la barra) y tiempo. Esta función describe el comportamiento de la temperatura a lo largo de la varilla a medida que pasa el tiempo. Observemos las supercies de las guras. 4.1. y. 4.2. que se pueden considerar como un número innito de instantáneas de tiempo. apiladas una tras otra. En la gura. 4.1. la solución converge a la función solución. de la ecuación diferencial. (4.6). cuando. α = 1,. u(x, t) = x2 et ,. al lado derecho se representa la aproximación. exacta con la aproximación de la función solución en. t = 1.. El comportamiento de la función solución para diferentes valores representa en la gura. que es la solución. 0<α≤1. y. 0<x≤1. se. 4.2.. Ejemplo 2: Dada la siguiente ecuación diferencial homogénea de difusión [10]. Dtα u(x, t) = Dx21 u(x, t) + Dx22 u(x, t) − u(x, t). (4.7). Condición inicial. u(x, 0) = sen(x1 )sen(x2 ) + cos(x1 )cos(x2 ), donde. 0 < α ≤ 1, x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , t > 0.. Denotado. L(u(x, t)) = Dx21 u(x, t) + Dx22 u(x, t) − u(x, t). L(sen(x1 )sen(x2 ) + cos(x1 )cos(x2 )) = Dx 21 (sen(x1 )sen(x2 ) + cos(x1 )cos(x2 )) + Dx 22 (sen(x1 )sen(x2 ) + cos(x1 )cos(x2 )) − (sen(x1 )sen(x2 ) + cos(x1 )cos(x2 )).

(46) MÉTODO PARA E.D.P HOMOGÉNEAS Y SUS APLICACIONES. 41. Tenemos que. Dx 21 (sen(x1 )sen(x2 ) + cos(x1 )cos(x2 )) = −sen(x1 )sen(x2 ) − cos(x1 )cos(x2 ) Dx 22 (sen(x1 )sen(x2 ) + cos(x1 )cos(x2 )) = −sen(x1 )sen(x2 ) − cos(x1 )cos(x2 ) L(sen(x1 )sen(x2 ) + cos(x1 )cos(x2 )) = −sen(x1 )sen(x2 ) − cos(x1 )cos(x2 ) − sen(x1 )sen(x2 ) −cos(x1 )cos(x2 ) − sen(x1 )sen(x2 ) − cos(x1 )cos(x2 ) = −3(sen(x1 )sen(x2 ) − cos(x1 )cos(x2 )) = −3u(x, 0) La ecuación satisface la condición. (4.5), B = −3. (sen(x1 )sen(x2 ) + cos(x1 )cos(x2 )). ∞ X n=1. An. y basándonos de la ecuación. (4.4).. t(n−1)α = Γ((n − 1)α + 1). − 3(sen(x1 )sen(x2 ) + cos(x1 )cos(x2 )). ∞ X. An. n=0 Reemplazando. n. por. n+1. tnα Γ(nα + 1). en la primera suma.. (sen(x1 )sen(x2 ) + cos(x1 )cos(x2 )). ∞ X. An+1. n=0. tnα Γ(nα + 1). + (sen(x1 )sen(x2 ) + cos(x1 )cos(x2 )). ∞ X n=0. 3An. tnα =0 Γ(nα + 1). Combinando los términos similares,. (sen(x1 )sen(x2 ) + cos(x1 )cos(x2 )). ∞ X. (An+1 + 3An ). n=0 Identicamos los coecientes. An+1 + 3An = 0 ⇒ An+1 = −3An Si. n=0. A1 = −3A0 = −3. Si. n=1. A2 = −3A = (−3)(−3) = (−3)2. Si. n=2. A3 = −3A2 = (−3)(−3)2 = (−3)3. tnα =0 Γ(nα + 1).

(47) MÉTODO PARA E.D.P HOMOGÉNEAS Y SUS APLICACIONES. 42. La solución es:. u(x, t) = (sen(x1 )sen(x2 ) + cos(x1 )cos(x2 )). ∞ X n=0. An. tnα Γ(nα + 1).  tα t2α 2 = (sen(x1 )sen(x2 ) + cos(x1 )cos(x2 )) 1 + A +A + ... Γ(α + 1) Γ(2α + 1)   tα t2α 2 = (sen(x1 )sen(x2 ) + cos(x1 )cos(x2 )) 1 + (−3) + (−3) + ... Γ(α + 1) Γ(2α + 1) . = (sen(x1 )sen(x2 ) + cos(x1 )cos(x2 )). ∞ X (−3tα )n Γ(nα + 1) n=0. = (sen(x1 )sen(x2 ) + cos(x1 )cos(x2 ))Eα (−3tα ) Cuando. α = 1,. la solución es:. ∞ X (−3t)n u(x, t) = (sen(x1 )sen(x2 )+cos(x1 )cos(x2 )) = (sen(x1 )sen(x2 )+cos(x1 )cos(x2 ))e−3t Γ(n + 1) n=0. Ejemplo 3: Considere la ecuación parabólica [10] Dtα u(x, t) = Dx4 u(x, t) + Dx2 u(x, t) + u(x, t). (4.8). Con condición inicial. u(x, 0) = cosh(x), donde. 0 < α ≤ 1, x ∈ R, t > 0 L(u(x, t)) = Dx4 u(x, t) + Dx2 u(x, t) + u(x, t) L(cosh(x)) = Dx4 (cosh(x)) + Dx2 (cosh(x)) + cosh(x). Tenemos que. Dx2 (cosh(x)) = cosh(x) Dx4 (cosh(x)) = cosh(x) Entonces. L(cosh(x)) = cosh(x) + cosh(x) + cosh(x) = 3u(x, 0) Esta ecuación satisface la condición reemplazando. n. por. n+1. cosh(x). (4.5). y. B = 3. Basándonos de la ecuación. en la primera suma, tenemos. ∞ X n=0. ∞. An+1. X tnα tnα = 3 cosh(x) An Γ(nα + 1) Γ(nα + 1) n=0. (4.4). y.

(48) MÉTODO PARA E.D.P HOMOGÉNEAS Y SUS APLICACIONES. ∞ X cosh(x) (An+1 − 3An ) n=0. 43. tnα =0 Γ(nα + 1). Identicamos los coecientes. An+1 − 3An = 0 ⇒ An+1 = 3An Si. n=0. A1 = 3A0 = 3. Si. n=1. A2 = 3A = 32. Si. n=2. A3 = 3A2 = 33. La solución es. u(x, t) = cosh(x). ∞ X n=0. An. tnα Γ(nα + 1).  tα t2α 2 = cosh(x) 1 + A +A + ... Γ(α + 1) Γ(2α + 1)   tα t2α 2 = cosh(x) 1 + 3 +3 + ... Γ(α + 1) Γ(2α + 1) . = cosh(x)Eα (3tα ) A continuación se muestra las grácas de las aproximaciones de las funciones obtenidas con la ecuación anterior, variando el valor de alfa. (α).. Figura 4.3: Aproximación de la función solución para. α=1.

(49) MÉTODO PARA E.D.P HOMOGÉNEAS Y SUS APLICACIONES. Figura 4.4: Aproximación de la función solución para respectivamente y diferentes valores de. α. para. 44. α = 0.2, α = 0.5. y. α = 0.7,. t = 1.. 4.3 se observa en el la lado izquierdo la aproximación de la función solución de la 3t ecuación diferencial (4.8) cuando α = 1 la cual converge a la función u(x, t) = cosh(x)e y al 3t lado derecho la aproximación de la función solución y la solución exacta u(x, t) = cosh(x)e cuando t = 1.. En la gura. 4.4 0 < α ≤ 1.. (4.8). En la gura. observamos la función solución de la ecuación. de. Estas grácas representan la variación de temperatura a lo largo de una. varilla a medida que pasa el tiempo. (0 ≤ t ≤ 1). para diferentes valores. y se puede interpretar que conforme avanza. el tiempo, notamos que su temperatura va aumentando en toda su longitud. También concluimos que la evolución del sistema es diferente para cada uno de los alfas pero se sigue el mismo patrón de comportamiento de la función solución cuando. α = 1.. Ejemplo 4: Dada la siguiente ecuación diferencial de transporte, obtener la función solución en series de potencias [4].. Dtα u(x, t) + ∇u(x, t) = 0, t > 0, x = (x1 , x2 , ...xn ) ∈ Rn Con la condición inicial. u(x, 0) = exp. n X k=1. ! xk.

Figure

Figura 2.1: f(t) = t 1−x para t &gt; 1 y 0 &lt; x ≤ 1.

Figura 2.1:

f(t) = t 1−x para t &gt; 1 y 0 &lt; x ≤ 1. p.20
Figura 2.2: Función Gamma de Euler

Figura 2.2:

Función Gamma de Euler p.22
Figura 3.1: Aproximación de la función solución para α = 1 y A = 1

Figura 3.1:

Aproximación de la función solución para α = 1 y A = 1 p.33
Figura 3.2: Aproximación de la función solución para A = 1 y α = 0.2

Figura 3.2:

Aproximación de la función solución para A = 1 y α = 0.2 p.33
Figura 3.3: Aproximación de la función solución para A = 1 y α = 0.9

Figura 3.3:

Aproximación de la función solución para A = 1 y α = 0.9 p.33
Figura 3.4: Aproximación de la función solución para A = 1 y diferentes valores de 0 &lt; α ≤ 1

Figura 3.4:

Aproximación de la función solución para A = 1 y diferentes valores de 0 &lt; α ≤ 1 p.34
Figura 3.5: Aproximación de la función solución para A = −1 y valores de 0 &lt; α ≤ 1 Ejemplo 2

Figura 3.5:

Aproximación de la función solución para A = −1 y valores de 0 &lt; α ≤ 1 Ejemplo 2 p.34
Figura 3.6: Aproximación de la función solución para α = 1

Figura 3.6:

Aproximación de la función solución para α = 1 p.35
Figura 3.7: Aproximación de la función solución para α = 0.3

Figura 3.7:

Aproximación de la función solución para α = 0.3 p.36
Figura 3.8: Aproximación de la función solución para α = 0.5

Figura 3.8:

Aproximación de la función solución para α = 0.5 p.36
Figura 3.9: Aproximación de la función solución para 0 &lt; α ≤ 1

Figura 3.9:

Aproximación de la función solución para 0 &lt; α ≤ 1 p.36
Figura 3.10: Aproximación de la función solución para α = 1 Representación de la función solución para valores de 0 &lt; α ≤ 1:

Figura 3.10:

Aproximación de la función solución para α = 1 Representación de la función solución para valores de 0 &lt; α ≤ 1: p.38
Figura 3.12: Solución del ejemplo 1 para valores de α &gt; 1 y A = −1

Figura 3.12:

Solución del ejemplo 1 para valores de α &gt; 1 y A = −1 p.38
Figura 3.11: Aproximación de la función solución para 0 &lt; α ≤ 1

Figura 3.11:

Aproximación de la función solución para 0 &lt; α ≤ 1 p.38
Figura 3.13: Solución del ejemplo 1 para valores de α &gt; 1 y A &gt; 0 En el ejemplo 2 cuando 1 &lt; α ≤ 2 la función es creciente.

Figura 3.13:

Solución del ejemplo 1 para valores de α &gt; 1 y A &gt; 0 En el ejemplo 2 cuando 1 &lt; α ≤ 2 la función es creciente. p.39
Figura 3.14: Solución del ejemplo 2 para valores de 1 &lt; α ≤ 2

Figura 3.14:

Solución del ejemplo 2 para valores de 1 &lt; α ≤ 2 p.39
Figura 4.1: Aproximación de la función solución para α = 1

Figura 4.1:

Aproximación de la función solución para α = 1 p.44
Figura 4.2: Aproximación de la función solución para α = 0.2, α = 0.5 y α = 0.7, respectivamente y diferentes valores de α para t = 1.

Figura 4.2:

Aproximación de la función solución para α = 0.2, α = 0.5 y α = 0.7, respectivamente y diferentes valores de α para t = 1. p.45
Figura 4.3: Aproximación de la función solución para α = 1

Figura 4.3:

Aproximación de la función solución para α = 1 p.48
Figura 4.4: Aproximación de la función solución para α = 0.2, α = 0.5 y α = 0.7, respectivamente y diferentes valores de α para t = 1.

Figura 4.4:

Aproximación de la función solución para α = 0.2, α = 0.5 y α = 0.7, respectivamente y diferentes valores de α para t = 1. p.49
Figura 4.6: Aproximación de la función solución para α = 0.2, α = 0.5 y α = 0.7, respectivamente.

Figura 4.6:

Aproximación de la función solución para α = 0.2, α = 0.5 y α = 0.7, respectivamente. p.52
Figura 4.5: Aproximación de la función solución para α = 1

Figura 4.5:

Aproximación de la función solución para α = 1 p.52

Referencias

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