Determinantes
Problemas te´oricos
Adradezco por varios problemas e ideas a los profesores de la ESFM Myriam Rosal´ıa Maldonado Ram´ırez y Eliseo Sarmiento Rosales y al estudiante de servicio social Sadi Manuel Ram´ırez Gonz´alez.
Definici´ on de la funci´ on determinante
Definici´on (el determinante de una matriz cuadrada). Sea A ∈ Mn(F). Entonces det(A) se define de la siguiente manera:
det(A) := X
ϕ∈Sn
sgn(ϕ)
n
Y
i=1
Ai,ϕ(i). (1)
1. De la f´ormula general (1) deduzca la f´ormula para el determinante de orden 2.
2. De la f´ormula general (1) deduzca la f´ormula para el determinante de orden 3.
3. Lema: correspondencia entre permutaciones y sus inversas. Demuestre que la funci´on g : Sn → Sn definida mediante la f´ormula g(ϕ) = ϕ−1 es biyectiva.
4. Teorema (determinante de la matriz transpuesta). Sea A ∈ Mn(F). Demuestre que
det(A>) = det(A).
5. Lema sobre las permutaciones distintas de la permutaci´on identidad. Sea ϕ ∈ Sn, ϕ 6= e. Entonces existe un ´ındice i ∈ {2, . . . , n} tal que ϕ(i) < i.
6. Teorema (determinante de una matriz triangular superior). Sea A ∈ utn(F).
Demuestre que
det(A) =
n
Y
i=1
Ai,i.
Determinantes, problemas te´oricos, p´agina 1 de 10
7. Corolario (determinante de una matriz triangular inferior). Sea A ∈ ltn(F).
Demuestre que
det(A) =
n
Y
i=1
Ai,i.
8. El polinomio f est´a definido como el siguiente determinante. Escriba las permutaciones que corresponden a los miembros (sumandos) del determinante que contienen x4 y calcule el coeficiente de x4 en el polinomio f .
f (x) = det
x 3 −1 2x
4 1 2x 3
−x 2 3 5x
7 7x 1 2
.
Funciones polilineales alternantes
Definici´on (funci´on polilineal). Sea V un espacio vectorial sobre un campo F y sea f : Vk → F una funci´on. Se dice que f es polilineal si f es lineal respecto a cada uno de sus k argumentos. De manera formal: para cualquier p ∈ {1, . . . , k} y cualesquiera a1, . . . , ap−1, ap+1, . . . , ak ∈ V , b, c ∈ V , λ ∈ F,
f (a1, . . . , ap−1, λb + c, ap+1, . . . , ak) = λf (a1, . . . , ap−1, b, ap+1, . . . , ak) + f (a1, . . . , ap−1, c, ap+1, . . . , ak).
Tambi´en se usan los t´erminos multilineal y k-lineal.
Definici´on (funci´on alternante). Sea f : Xk → F una funci´on de n argumentos. Se dice que f es alternante (alternada, alterna) si f se anula siempre que al menos dos de sus argumentos coinciden. De manera formal: si i, j ∈ {1, . . . , k}, i 6= j, x1, . . . , xn∈ X y xi = xj, entonces f (x1, . . . , xk) = 0.
9. Para cada una de las siguientes funciones f : (R2)2 → R determine si esta funci´on es bilineal alternante o no:
1. f a b
,
c d
:= ab − cd.
2. f a b
,
c d
:= ad − bc.
3. f a b
,
c d
:= a.
4. f a b
,
c d
:= 0.
5. f a b
,
c d
:= 1.
10. Teorema (cualquier funci´on polilineal alternante es antisim´etrica). Sea V un espacio vectorial sobre un campo F y sea f : Vk→ F una funci´on polilineal alternante.
Demuestre que f es antisim´etrica, es decir, f cambia el signo al intercambiar cualesquiera dos de sus argumentos.
11. Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 → R una funci´on 3-lineal alternante y sean a, b, c ∈ V . Exprese f (a + 2b − c, 5a + c, 2b + c) a trav´es de f (a, b, c).
Determinantes, problemas te´oricos, p´agina 3 de 10
12. Sea V un espacio vectorial real, sea f : V5 → R una funci´on 5-lineal alternante y sean v1, v2, v3, v5 ∈ V . Demuestre que
f v1, v2, v3, 4v1− 5v2+ 7v3, v5 = 0.
13. Sean V un EV/F, f : Vk→ F una funci´on polilineal alternante y p ∈ {1, . . . , k}. Sean v1, . . . , vp−1, vp+1, . . . , vk ∈ V , α1, . . . , αp−1 ∈ F. Demuestre que
f v1, . . . , vp−1,
p−1
X
j=1
αjvj, vp+1, . . . , vk
!
= 0.
14. Sea V un EV/F y sea f : Vk → F una funci´on polilineal alternante. Sea (v1, . . . , vk) una lista linealmente dependiente de vectores de V . Demuestre que
f (v1, . . . , vk) = 0.
Indicaci´on: use el problema anterior.
Determinante como una funci´ on polilineal alternante
15. Definici´on (determinante como funci´on de los renglones de la matriz).
Definamos la funci´on D : (Fn)n → F de la siguiente manera. Para cualesquiera a1, . . . , an∈ Fn pongamos D(a1, . . . , an) = det(A), donde A es la matriz formada de los renglones a1, . . . , an:
A =(ai)jn i,j=1,
esto es, A ∈ Mn(F) y Ai,j := (ai)j para cualesquiera i, j ∈ {1, . . . , n}. Por ejemplo, si a1, a2 ∈ F2, entonces
A = (a1)1 (a1)2 (a2)1 (a2)2
, D(a1, a2) =
(a1)1 (a1)2 (a2)1 (a2)2
.
16. Teorema. Demuestre que D es una funci´on polilineal.
17. Teorema. Demuestre que D es una funci´on alternante. Indicaci´on: antes de estudiar la demostraci´on general se recomienda comprender el caso particular n = 3. Suponer que a1 = a3 y comprender c´omo agrupar los 6 t´erminos del determinante en pares de tal manera que en cada par los dos sumandos se cancelen.
18. Expresi´on de una funci´on polilineal alternante a trav´es de la funci´on determinante. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on n sobre un campo F, sea B = (b1, . . . , bn) una base de V y sea f : Vn → F una funci´on n-lineal alternante. De- muestre que para todos a1, . . . , an∈ V
f (a1, . . . , an) = det(A)f (b1, . . . , bn)
donde A es la matriz formada por las columnas de coordenadas de los vectores a1, . . . , an respecto a la base B:
A =(a1)B . . . (an)B.
19. Determinante es la ´unica funci´on polilineal alternante de los renglones de la matriz que toma valor uno en la matriz identidad. Sea f : Mn(F) → F.
Supongamos que f es una funci´on n-lineal alternante de los renglones de la matriz y cumple con la condici´on f (In) = 1. Demuestre que f = det.
20. Determinante del producto de matrices. Sean A, B ∈ Mn(F). Demuestre que det(AB) = det(A) det(B).
21. Determinante de una matriz triangular superior por bloques. Sean A ∈ Mm(F), B ∈ Mm×n(F), C ∈ Mn(F). Demuestre que
det
A B
0n×m C
= det(A) det(C).
Determinantes, problemas te´oricos, p´agina 5 de 10
Expansi´ on del determinante por cofactores a lo largo de una fila o columna
22. Lema: encaje can´onico de Sn−1 en Sn. Consideremos la funci´on g : Sn−1 → Sn definida mediante la siguiente regla:
(g(ϕ))(i) =
(ϕ(i), i ∈ {1, . . . , n − 1}, n, i = n.
Demuestre que g est´a bien definida, es decir, g(ϕ) ∈ Sn para toda ϕ ∈ Sn−1. Demuestre que g es inyectiva. Calcule la imagen (el conjunto de los valores) de la funci´on g.
23. Lema: determinante de una matriz con el ´ultimo rengl´on casi nulo. Sea A ∈ Mn(F) una matriz tal que An,j = 0 para todo j ∈ {1, . . . , n − 1}. Denotemos por B a la submatriz de la matriz A ubicada en los primeros n − 1 renglones y las primeras n − 1 columnas:
B = A{1,...,n−1},{1,...,n−1}. Demuestre que
det(A) = An,ndet(B).
24. Lema: determinante de una matriz con un rengl´on casi nulo. Sea A ∈ Mn(F) una matriz y sean p, q ∈ {1, . . . , n} tales que Ap,j = 0 para todos j ∈ {1, . . . , n} \ {q}.
Denotemos por B a la submatriz de la matriz A ubicada en los renglones {1, . . . , n} \ {p}
y las columnas {1, . . . , n} \ {q}:
B = A{1,...,n}\{p},{1,...,n}\{q}. Demuestre que
det(A) = Ap,q(−1)p+qdet(B).
25. Notaci´on (cofactores). Sea A ∈ Mn(F) y sean p, q ∈ {1, . . . , n}. Denotemos por Abp,qal determinante de la matriz que se obtiene de la matriz A al quitar el p-´esimo rengl´on y la q-´esima columna.
26. Teorema: expansi´on de un determinante por cofactores a lo largo de un rengl´on. Sea A ∈ Mn(F) y sea p ∈ {1, . . . , n}. Demuestre que
det(A) =
n
X
j=1
Ap,jAbp,j.
27. Enuncie el teorema sobre la expansi´on del determinante por cofactores a lo largo de una columna.
C´ alculo de algunos determinantes del n-´ esimo orden
En cada uno de los siguientes problemas hay que calcular el determinante D4 y escribir una f´ormula general para Dn. Sugerencia: aplicando operaciones elementales transforme la matriz a una matriz triangular. Haga las operaciones elementales de tal manera que el procedimiento se pueda generalizar naturalmente a cualquier orden n.
28. D4 =
a a a a a b a a a a b a a a a b
. 29. D4 =
0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1
. 30. D4 =
1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1
.
31. D4 =
1 1 1 1
a2 b2 a2 a2 a3 a3 b3 a3 a4 a4 a4 b4
. 32. D4 =
1 + x1 x2 x3 x4 x1 1 + x2 x3 x4 x1 x2 1 + x3 x4 x1 x2 x3 1 + x4
.
33. D4 =
a b b b c d 0 0 c 0 d 0 c 0 0 d
. 34. D4 =
7 2 2 2 2 7 2 2 2 2 7 2 2 2 2 7
. 35. D4 =
b a a a a b a a a a b a a a a b
.
36. D4 =
a1 a2 a3 a4
−x x 0 0
0 −x x 0
0 0 −x x
. 37. D4 =
a1+ x x x x
x a2+ x x x
x x a3+ x x
x x x a4+ x
.
38. D4 =
a0 a1 a2 a3
−1 x 0 0
0 −1 x 0
0 0 −1 x
. 39. D4 =
x −1 0 0
0 x −1 0
0 0 x −1
a0 a1 a2 a3+ x .
En los siguientes problemas las entradas de matrices est´an dadas por medio de ciertas f´ormulas. Se recomienda escribir A4 de manera expl´ıcita y calcular D4 de tal manera que los c´alculos se puedan generalizar al caso de n arbitrario.
40. Dn= det An, donde An =min{i, j}ni,j=1.
41. Dn= det An, donde An =max{i, j}ni,j=1.
42. Dn= det An, donde An =|i − j|ni,j=1.
Determinantes, problemas te´oricos, p´agina 7 de 10
Matriz adjunta cl´ asica
43. Definici´on (matriz adjunta cl´asica de una matriz cuadrada). Sea A ∈ Mn(F).
Entonces la matriz adjunta cl´asica de A es la matriz n × n cuya (i, j)-´esima entrada es el (j, i)-´esimo cofactor de la matriz A:
adj(A) := Abj,in
i,j=1.
44. Teorema: propiedad principal de la matriz adjunta cl´asica. Sea A ∈ Mn(F).
Demuestre que
A adj(A) = det(A) In, adj(A) A = det(A) In.
45. Sea A ∈ Mn(F) una matriz no invertible. Demuestre que cualquier columna de su matriz adjunta cl´asica adj(A) es soluci´on de la ecuaci´on Ax = 0n.
Criterio de la invertibilidad de una matriz en t´ erminos de su determinante
46. Si el determinante de una matriz es cero, entonces la matriz no es inver- tible. Sea A ∈ Mn(F) tal que det(A) = 0. Demuestre que A no es invertible.
47. Expresi´on de la matriz inversa a trav´es de la matriz adjunta cl´asica. Sea A ∈ Mn(F) tal que det(A) 6= 0. Pongamos
B := 1
det(A)adj(A).
Demuestre que AB = In y BA = In.
Resumiendo los dos problemas anteriores obtenemos el siguiente criterio:
48. Criterio de la invertibilidad de una matriz en t´erminos de su determinante.
Sea A ∈ Mn(F). Demuestre que A es invertible si y s´olo si det(A) 6= 0.
49. Sea A una matriz de orden 2:
A = A1,1 A1,2
A2,1 A2,2
.
Calcule adj(A) y det(A). ¿Cu´ando es invertible la matriz A? En el caso si A es invertible calcule A−1.
50. Sea α ∈ R y sea
A =
cos(α) − sen(α) sen(α) cos(α)
. Demuestre que A es invertible, calcule adj(A) y A−1.
51. Sean a, b, c algunos n´umeros complejos diferentes a pares. Para la siguiente matriz A calcule det(A), adj(A) y A−1:
A =
1 a a2 1 b b2 1 c c2
.
52. Descripci´on de las matrices que son divisores de cero. Sea A ∈ Mn(F).
Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) Existe una matriz B ∈ Mn(F) distinta de 0n×n tal que AB = 0n×n. (b) det(A) = 0.
Nota: Una matriz A ∈ Mn(F) se llama divisor derecho de cero si cumple con (a) y es distinta de 0n×n.
Regla de Cramer
53. Enuncie y demuestre la regla de Cramer.
Rango y menores de una matriz
La demostraci´on del siguiente teorema no se incluye en el examen (est´a en tareas adicio- nales).
54. Sea A ∈ Mm×n(F) y sea r = r(A). Entonces para cualquier k ∈ {1, . . . , r} en la matriz A hay por lo menos un menor no nulo de orden k, y cualquier menor de A de orden > r es cero.
Determinantes, problemas te´oricos, p´agina 9 de 10
Determinante de Vandermonde
y su aplicaci´ on a la interpolaci´ on polinomial
55. Notaci´on (matriz de Vandermonde). Sean α1, . . . , αn ∈ F. Denotemos por V (α1, . . . , αn) a la siguiente matriz:
V (α1, . . . , αn) :=αj−1i n i,j=1. Por ejemplo,
V (α1, α2, α3) =
1 α1 α12 1 α2 α22 1 α3 α32
.
56. F´ormula recursiva para el determinante de Vandermonde, n = 4. Sean α1, . . . , α4 ∈ F. Demuestre que
det V (α1, α2, α3, α4) = (α4− α1)(α4− α2)(α4− α3) det V (α1, α2, α3).
57. F´ormula recursiva para el determinante de Vandermonde. Sean α1, . . . , αn∈ F. Demuestre que
det V (α1, . . . , αn) =
n−1
Y
i=1
(αn− αi)
!
V (α1, . . . , αn−1).
58. F´ormula para el determinante de Vandermonde. Sean α1, . . . , αn∈ F. Demues- tre que
det V (α1, . . . , αn) = Y
i,j∈{1,...,n}
i<j
(αj − αi).
59. Corolario: determinante de Vandermonde generado por n´umeros diferentes por pares es no nulo. Sean α1, . . . , αn ∈ F n´umeros diferentes por pares, esto es, para todos i, j ∈ {1, . . . , n} si i 6= j, entonces αi 6= αj. Demuestre que
det V (α1, . . . , αn) 6= 0.
60. Existencia y unicidad del polinomio interpolante. Sean α1, . . . , αn∈ F n´umeros diferentes por pares y sean β1, . . . , βn ∈ F. Demuestre que existe un ´unico polinomio P ∈ Pn−1(F):
P (z) =
n−1
X
j=0
cjzj, tal que
∀k ∈ {1, . . . , n} P (αk) = βk.