Definici´ on de la funci´ on determinante

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(1)

Determinantes

Problemas te´oricos

Adradezco por varios problemas e ideas a los profesores de la ESFM Myriam Rosal´ıa Maldonado Ram´ırez y Eliseo Sarmiento Rosales y al estudiante de servicio social Sadi Manuel Ram´ırez Gonz´alez.

Definici´ on de la funci´ on determinante

Definici´on (el determinante de una matriz cuadrada). Sea A ∈ Mn(F). Entonces det(A) se define de la siguiente manera:

det(A) := X

ϕ∈Sn

sgn(ϕ)

n

Y

i=1

Ai,ϕ(i). (1)

1. De la f´ormula general (1) deduzca la f´ormula para el determinante de orden 2.

2. De la f´ormula general (1) deduzca la f´ormula para el determinante de orden 3.

3. Lema: correspondencia entre permutaciones y sus inversas. Demuestre que la funci´on g : Sn → Sn definida mediante la f´ormula g(ϕ) = ϕ−1 es biyectiva.

4. Teorema (determinante de la matriz transpuesta). Sea A ∈ Mn(F). Demuestre que

det(A>) = det(A).

5. Lema sobre las permutaciones distintas de la permutaci´on identidad. Sea ϕ ∈ Sn, ϕ 6= e. Entonces existe un ´ındice i ∈ {2, . . . , n} tal que ϕ(i) < i.

6. Teorema (determinante de una matriz triangular superior). Sea A ∈ utn(F).

Demuestre que

det(A) =

n

Y

i=1

Ai,i.

Determinantes, problemas te´oricos, p´agina 1 de 10

(2)

7. Corolario (determinante de una matriz triangular inferior). Sea A ∈ ltn(F).

Demuestre que

det(A) =

n

Y

i=1

Ai,i.

8. El polinomio f est´a definido como el siguiente determinante. Escriba las permutaciones que corresponden a los miembros (sumandos) del determinante que contienen x4 y calcule el coeficiente de x4 en el polinomio f .

f (x) = det

x 3 −1 2x

4 1 2x 3

−x 2 3 5x

7 7x 1 2

 .

(3)

Funciones polilineales alternantes

Definici´on (funci´on polilineal). Sea V un espacio vectorial sobre un campo F y sea f : Vk → F una funci´on. Se dice que f es polilineal si f es lineal respecto a cada uno de sus k argumentos. De manera formal: para cualquier p ∈ {1, . . . , k} y cualesquiera a1, . . . , ap−1, ap+1, . . . , ak ∈ V , b, c ∈ V , λ ∈ F,

f (a1, . . . , ap−1, λb + c, ap+1, . . . , ak) = λf (a1, . . . , ap−1, b, ap+1, . . . , ak) + f (a1, . . . , ap−1, c, ap+1, . . . , ak).

Tambi´en se usan los t´erminos multilineal y k-lineal.

Definici´on (funci´on alternante). Sea f : Xk → F una funci´on de n argumentos. Se dice que f es alternante (alternada, alterna) si f se anula siempre que al menos dos de sus argumentos coinciden. De manera formal: si i, j ∈ {1, . . . , k}, i 6= j, x1, . . . , xn∈ X y xi = xj, entonces f (x1, . . . , xk) = 0.

9. Para cada una de las siguientes funciones f : (R2)2 → R determine si esta funci´on es bilineal alternante o no:

1. f a b

 ,

 c d



:= ab − cd.

2. f a b

 ,

 c d



:= ad − bc.

3. f a b

 ,

 c d



:= a.

4. f a b

 ,

 c d



:= 0.

5. f a b

 ,

 c d



:= 1.

10. Teorema (cualquier funci´on polilineal alternante es antisim´etrica). Sea V un espacio vectorial sobre un campo F y sea f : Vk→ F una funci´on polilineal alternante.

Demuestre que f es antisim´etrica, es decir, f cambia el signo al intercambiar cualesquiera dos de sus argumentos.

11. Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 → R una funci´on 3-lineal alternante y sean a, b, c ∈ V . Exprese f (a + 2b − c, 5a + c, 2b + c) a trav´es de f (a, b, c).

Determinantes, problemas te´oricos, p´agina 3 de 10

(4)

12. Sea V un espacio vectorial real, sea f : V5 → R una funci´on 5-lineal alternante y sean v1, v2, v3, v5 ∈ V . Demuestre que

f v1, v2, v3, 4v1− 5v2+ 7v3, v5 = 0.

13. Sean V un EV/F, f : Vk→ F una funci´on polilineal alternante y p ∈ {1, . . . , k}. Sean v1, . . . , vp−1, vp+1, . . . , vk ∈ V , α1, . . . , αp−1 ∈ F. Demuestre que

f v1, . . . , vp−1,

p−1

X

j=1

αjvj, vp+1, . . . , vk

!

= 0.

14. Sea V un EV/F y sea f : Vk → F una funci´on polilineal alternante. Sea (v1, . . . , vk) una lista linealmente dependiente de vectores de V . Demuestre que

f (v1, . . . , vk) = 0.

Indicaci´on: use el problema anterior.

(5)

Determinante como una funci´ on polilineal alternante

15. Definici´on (determinante como funci´on de los renglones de la matriz).

Definamos la funci´on D : (Fn)n → F de la siguiente manera. Para cualesquiera a1, . . . , an∈ Fn pongamos D(a1, . . . , an) = det(A), donde A es la matriz formada de los renglones a1, . . . , an:

A =(ai)jn i,j=1,

esto es, A ∈ Mn(F) y Ai,j := (ai)j para cualesquiera i, j ∈ {1, . . . , n}. Por ejemplo, si a1, a2 ∈ F2, entonces

A = (a1)1 (a1)2 (a2)1 (a2)2



, D(a1, a2) =

(a1)1 (a1)2 (a2)1 (a2)2

.

16. Teorema. Demuestre que D es una funci´on polilineal.

17. Teorema. Demuestre que D es una funci´on alternante. Indicaci´on: antes de estudiar la demostraci´on general se recomienda comprender el caso particular n = 3. Suponer que a1 = a3 y comprender c´omo agrupar los 6 t´erminos del determinante en pares de tal manera que en cada par los dos sumandos se cancelen.

18. Expresi´on de una funci´on polilineal alternante a trav´es de la funci´on determinante. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on n sobre un campo F, sea B = (b1, . . . , bn) una base de V y sea f : Vn → F una funci´on n-lineal alternante. De- muestre que para todos a1, . . . , an∈ V

f (a1, . . . , an) = det(A)f (b1, . . . , bn)

donde A es la matriz formada por las columnas de coordenadas de los vectores a1, . . . , an respecto a la base B:

A =(a1)B . . . (an)B.

19. Determinante es la ´unica funci´on polilineal alternante de los renglones de la matriz que toma valor uno en la matriz identidad. Sea f : Mn(F) → F.

Supongamos que f es una funci´on n-lineal alternante de los renglones de la matriz y cumple con la condici´on f (In) = 1. Demuestre que f = det.

20. Determinante del producto de matrices. Sean A, B ∈ Mn(F). Demuestre que det(AB) = det(A) det(B).

21. Determinante de una matriz triangular superior por bloques. Sean A ∈ Mm(F), B ∈ Mm×n(F), C ∈ Mn(F). Demuestre que

det

 A B

0n×m C



= det(A) det(C).

Determinantes, problemas te´oricos, p´agina 5 de 10

(6)

Expansi´ on del determinante por cofactores a lo largo de una fila o columna

22. Lema: encaje can´onico de Sn−1 en Sn. Consideremos la funci´on g : Sn−1 → Sn definida mediante la siguiente regla:

(g(ϕ))(i) =

(ϕ(i), i ∈ {1, . . . , n − 1}, n, i = n.

Demuestre que g est´a bien definida, es decir, g(ϕ) ∈ Sn para toda ϕ ∈ Sn−1. Demuestre que g es inyectiva. Calcule la imagen (el conjunto de los valores) de la funci´on g.

23. Lema: determinante de una matriz con el ´ultimo rengl´on casi nulo. Sea A ∈ Mn(F) una matriz tal que An,j = 0 para todo j ∈ {1, . . . , n − 1}. Denotemos por B a la submatriz de la matriz A ubicada en los primeros n − 1 renglones y las primeras n − 1 columnas:

B = A{1,...,n−1},{1,...,n−1}. Demuestre que

det(A) = An,ndet(B).

24. Lema: determinante de una matriz con un rengl´on casi nulo. Sea A ∈ Mn(F) una matriz y sean p, q ∈ {1, . . . , n} tales que Ap,j = 0 para todos j ∈ {1, . . . , n} \ {q}.

Denotemos por B a la submatriz de la matriz A ubicada en los renglones {1, . . . , n} \ {p}

y las columnas {1, . . . , n} \ {q}:

B = A{1,...,n}\{p},{1,...,n}\{q}. Demuestre que

det(A) = Ap,q(−1)p+qdet(B).

25. Notaci´on (cofactores). Sea A ∈ Mn(F) y sean p, q ∈ {1, . . . , n}. Denotemos por Abp,qal determinante de la matriz que se obtiene de la matriz A al quitar el p-´esimo rengl´on y la q-´esima columna.

26. Teorema: expansi´on de un determinante por cofactores a lo largo de un rengl´on. Sea A ∈ Mn(F) y sea p ∈ {1, . . . , n}. Demuestre que

det(A) =

n

X

j=1

Ap,jAbp,j.

27. Enuncie el teorema sobre la expansi´on del determinante por cofactores a lo largo de una columna.

(7)

C´ alculo de algunos determinantes del n-´ esimo orden

En cada uno de los siguientes problemas hay que calcular el determinante D4 y escribir una f´ormula general para Dn. Sugerencia: aplicando operaciones elementales transforme la matriz a una matriz triangular. Haga las operaciones elementales de tal manera que el procedimiento se pueda generalizar naturalmente a cualquier orden n.

28. D4 =

a a a a a b a a a a b a a a a b

. 29. D4 =

0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1

. 30. D4 =

1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1

.

31. D4 =

1 1 1 1

a2 b2 a2 a2 a3 a3 b3 a3 a4 a4 a4 b4

. 32. D4 =

1 + x1 x2 x3 x4 x1 1 + x2 x3 x4 x1 x2 1 + x3 x4 x1 x2 x3 1 + x4

.

33. D4 =

a b b b c d 0 0 c 0 d 0 c 0 0 d

. 34. D4 =

7 2 2 2 2 7 2 2 2 2 7 2 2 2 2 7

. 35. D4 =

b a a a a b a a a a b a a a a b

.

36. D4 =

a1 a2 a3 a4

−x x 0 0

0 −x x 0

0 0 −x x

. 37. D4 =

a1+ x x x x

x a2+ x x x

x x a3+ x x

x x x a4+ x

.

38. D4 =

a0 a1 a2 a3

−1 x 0 0

0 −1 x 0

0 0 −1 x

. 39. D4 =

x −1 0 0

0 x −1 0

0 0 x −1

a0 a1 a2 a3+ x .

En los siguientes problemas las entradas de matrices est´an dadas por medio de ciertas f´ormulas. Se recomienda escribir A4 de manera expl´ıcita y calcular D4 de tal manera que los c´alculos se puedan generalizar al caso de n arbitrario.

40. Dn= det An, donde An =min{i, j}ni,j=1.

41. Dn= det An, donde An =max{i, j}ni,j=1.

42. Dn= det An, donde An =|i − j|ni,j=1.

Determinantes, problemas te´oricos, p´agina 7 de 10

(8)

Matriz adjunta cl´ asica

43. Definici´on (matriz adjunta cl´asica de una matriz cuadrada). Sea A ∈ Mn(F).

Entonces la matriz adjunta cl´asica de A es la matriz n × n cuya (i, j)-´esima entrada es el (j, i)-´esimo cofactor de la matriz A:

adj(A) := Abj,in

i,j=1.

44. Teorema: propiedad principal de la matriz adjunta cl´asica. Sea A ∈ Mn(F).

Demuestre que

A adj(A) = det(A) In, adj(A) A = det(A) In.

45. Sea A ∈ Mn(F) una matriz no invertible. Demuestre que cualquier columna de su matriz adjunta cl´asica adj(A) es soluci´on de la ecuaci´on Ax = 0n.

Criterio de la invertibilidad de una matriz en t´ erminos de su determinante

46. Si el determinante de una matriz es cero, entonces la matriz no es inver- tible. Sea A ∈ Mn(F) tal que det(A) = 0. Demuestre que A no es invertible.

47. Expresi´on de la matriz inversa a trav´es de la matriz adjunta cl´asica. Sea A ∈ Mn(F) tal que det(A) 6= 0. Pongamos

B := 1

det(A)adj(A).

Demuestre que AB = In y BA = In.

Resumiendo los dos problemas anteriores obtenemos el siguiente criterio:

48. Criterio de la invertibilidad de una matriz en t´erminos de su determinante.

Sea A ∈ Mn(F). Demuestre que A es invertible si y s´olo si det(A) 6= 0.

(9)

49. Sea A una matriz de orden 2:

A = A1,1 A1,2

A2,1 A2,2

 .

Calcule adj(A) y det(A). ¿Cu´ando es invertible la matriz A? En el caso si A es invertible calcule A−1.

50. Sea α ∈ R y sea

A =

 cos(α) − sen(α) sen(α) cos(α)

 . Demuestre que A es invertible, calcule adj(A) y A−1.

51. Sean a, b, c algunos n´umeros complejos diferentes a pares. Para la siguiente matriz A calcule det(A), adj(A) y A−1:

A =

1 a a2 1 b b2 1 c c2

.

52. Descripci´on de las matrices que son divisores de cero. Sea A ∈ Mn(F).

Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) Existe una matriz B ∈ Mn(F) distinta de 0n×n tal que AB = 0n×n. (b) det(A) = 0.

Nota: Una matriz A ∈ Mn(F) se llama divisor derecho de cero si cumple con (a) y es distinta de 0n×n.

Regla de Cramer

53. Enuncie y demuestre la regla de Cramer.

Rango y menores de una matriz

La demostraci´on del siguiente teorema no se incluye en el examen (est´a en tareas adicio- nales).

54. Sea A ∈ Mm×n(F) y sea r = r(A). Entonces para cualquier k ∈ {1, . . . , r} en la matriz A hay por lo menos un menor no nulo de orden k, y cualquier menor de A de orden > r es cero.

Determinantes, problemas te´oricos, p´agina 9 de 10

(10)

Determinante de Vandermonde

y su aplicaci´ on a la interpolaci´ on polinomial

55. Notaci´on (matriz de Vandermonde). Sean α1, . . . , αn ∈ F. Denotemos por V (α1, . . . , αn) a la siguiente matriz:

V (α1, . . . , αn) :=αj−1i n i,j=1. Por ejemplo,

V (α1, α2, α3) =

1 α1 α12 1 α2 α22 1 α3 α32

.

56. F´ormula recursiva para el determinante de Vandermonde, n = 4. Sean α1, . . . , α4 ∈ F. Demuestre que

det V (α1, α2, α3, α4) = (α4− α1)(α4− α2)(α4− α3) det V (α1, α2, α3).

57. F´ormula recursiva para el determinante de Vandermonde. Sean α1, . . . , αn∈ F. Demuestre que

det V (α1, . . . , αn) =

n−1

Y

i=1

n− αi)

!

V (α1, . . . , αn−1).

58. F´ormula para el determinante de Vandermonde. Sean α1, . . . , αn∈ F. Demues- tre que

det V (α1, . . . , αn) = Y

i,j∈{1,...,n}

i<j

j − αi).

59. Corolario: determinante de Vandermonde generado por n´umeros diferentes por pares es no nulo. Sean α1, . . . , αn ∈ F n´umeros diferentes por pares, esto es, para todos i, j ∈ {1, . . . , n} si i 6= j, entonces αi 6= αj. Demuestre que

det V (α1, . . . , αn) 6= 0.

60. Existencia y unicidad del polinomio interpolante. Sean α1, . . . , αn∈ F n´umeros diferentes por pares y sean β1, . . . , βn ∈ F. Demuestre que existe un ´unico polinomio P ∈ Pn−1(F):

P (z) =

n−1

X

j=0

cjzj, tal que

∀k ∈ {1, . . . , n} P (αk) = βk.

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