TRANSITORIOS EN SISTEMAS ELECTRICOS

(1)

TRANSITORIOS EN SISTEMAS ELECTRICOS

Dr. Armando Llamas Dr. Federico Viramontes

Enero 16 de 2013

Agenda

• Políticas del curso

• Maniobras con interruptores

• Descargas atmosféricas

• Circuito LC

• Circuito RC

• Circuito RLC

(2)

3

Políticas del curso

Evaluación basada en:

Tareas 15%

Examen de medio término 30%

Examen Final 30 % Proyecto 30 %

Políticas del curso

Libro de texto:

• Electrical Transients in Power Systems Second Edition

Allan Greenwood John Willey

• Estándares de la IEEE

4

(3)

Políticas del curso

Libro de Consulta:

• Transients in Electrical Systems:

Analysis, Recognition, and Mitigation J. C. Das

McGraw-Hill (2010)

Depósito para las notas del curso:

http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/ie/profesores/allamas/cursos/Transitorios/Transitorios_Sist_Pot_Enero_2013.docx

5

Políticas del curso

Software:

• SimPowerSystems

Herramienta de MATLAB para modelar y simular sistemas eléctricos de potencia.

http://www.ifba.edu.br/professores/castro/powersys.pdf

(4)

7

Maniobras con interruptores

A

B

C D

E F

8

Maniobras con interruptores

*

* . . . . Case identification card PROBLEMA 3-3 CONEXION DE UN BANCO CON DOS CAPACITORES

*

* . . . . Time card 1.0E-06 0.0035

*

* . . . . Lumped RLC branch

A B 1.0567 3

B C 0.03 3

D 69.64 3

E 41.78 3

$ = = End of level 1: Linear and nonlinear elements = = = = = = = = = = = = * * . . . . Time-controlled switch B D 0. 0.2 3

C E 8.5E-04 0.2 3

$ = = = End of level 2: Switches and piecewise linear elements = = = = = = = = * * . . . . Voltage or current sources 14 A 1 11267.7 60 0 0

$ = = = End of level 3: Sources = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1 **** All voltages will be printed ****

$ = = = Level 5: End of data case = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

(5)

9

Maniobras con interruptores

(6)

11

Descargas atmosféricas

F P

B Q X

R L=1.208 μH/m

C=9.323*10

^-12

F/m

L=0.201 μH/m C=196.2*10-12 F/m Descarga atmosférica

1 km

12

Descargas atmosféricas

*

* . . . . Case identification card ONDA VIAJERA (LINEA SIN PERDIDAS) PROBLEMA 9-7

*

* . . . . Time card 20.E-9 25.E-6

*

* . . . . Constant-parameters line

-1 F P 359.910.E-6 2 3

-1 P B 359.93.3E-6 2 3

-1 B Q 32.06.3E-6 2 3

-1 Q X 32.020.E-6 2 3

-1 B R 32.026.E-6 2 3

$ = = End of level 1: Linear and nonlinear elements = = = = = = = = = = = = * * . . . . Time-controlled switch G F 0.0 25.0E-6 3

$ = = = End of level 2: Switches and piecewise linear elements = = = = = = = =

*

* . . . . Voltage or current sources 15 G 750.E3 -93.E3 -100.E10

$ = = = End of level 3: Sources = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1 **** All voltages will be printed ****

$ = = = Level 5: End of data case = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

(7)

13

Descargas atmosféricas

Circuito LC

0 v

_l

v

_r

i

(8)

15

Modelo de las Componentes

 









t c

c l

c idλ v 1

dt C dv i

dt L di v

v

_l

v

_c

i

16

Modelo Matemático























t

0 0

t c l

c idλ idλ 1

c 1 dt L di

c idλ 1 dt L di

v v V

Ley de Kirchhoff de voltajes.

(9)

17

Modelo Matemático

  _c   _c0

t

0 co

v 0

t v 0, 0

t i

C idλ v 1

dt L di V





 

Transformada de Laplace

 ^1/LC ^t  ^u(t)

1/LC sen 1 L

v i(t) V

LC s 1

1 L

v V Cs

Ls 1 s

v I(s) V

Cs I(s) 1 s 0) v Li(t LsI(s) s

V

c0

2 c0 c0

co

 

 



 





 







 







 

 

 



 

 









(10)

19

Solución

u(t) LC t

)cos 1 v

(V

u(t) LC t

cos 1 LC

1 L/C

v L V

dt L di v

u(t) LC t

sen 1 L/C

v i(t) V

c0

c0 l

co

 

 



 



 

 



 



 

 



 



20

Solución

t

0 c0

c0

t

0 c0

c0

t

0 c0 0

c

LC λ )cos 1

v (V v

LC λ cos 1

L/C LC v V C v 1

λ dλ LC sen 1

L/C v V C idλ 1 C v 1

 

 



 





 

 



 



 



  



 

 



 



  





(11)

21

Solución

 

V v

v

u(t) v

LC t cos 1

1 v V v

c l

c0 c0

c





 



 

   

 



 



 



 





Ejemplo

s 0.0063 /1000

2π periodo

t))u(t) 50cos(1000

(100 v

t)u(t) 50cos(1000 v

u(t) sen(1000t) 5

i(t)

0 0) i(t μF,

100 C

mH, 10 L

V 50 v

0) (t v

V,

100 V

c l

c0 c







(12)

23

MATLAB

0 v

_l

v

_c

Ecuaciones Diferenciales

24

c l

c c

c0 c

c c

c c c

l

v V v

0 L V v

i C 0

1 L

0 1

dt dv dt di

v 0) (t v c i dt dv

dt c dv i

0 0) i(t L v L V dt di

dt v L di v v V



















 















 





























(13)

MATLAB

driver.m global v l c;

i0=0.0;

vc0=50.0;

tf=0.03;

v=100.0;

l=10.0e-03;

c=100.0e-06;

val_in=[i0; vc0];

rango=[0 tf];

[t,y]=ode45('cir_l_c', rango, val_in);

i=y(:,1);

vc=y(:,2);

vl=v-vc;

vf=vl+vc;

plot(t, vf, t, vl, t,vc) xlabel ('Tiempo, s') ylabel ('Voltajes, V') title ('Circuito L - C') grid

pause;

plot(t, i) xlabel ('Tiempo, s') ylabel ('Corriente, A') title ('Circuito L - C') grid

Cir_l_c.m

function yprime=cir_l_c(t,y) global v l c yprime=[-y(2)/l+v/l y(1)/c];

25

Solución

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

-50 0 50 100 150

Tiempo, s

Voltajes, V

Circuito L - C

vc

V

vl

(14)

Solución

27

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

-6 -4 -2 0 2 4 6

Tiempo, s

Corriente, A

Circuito L - C

28

Circuito RC

(15)

29

Modelo de las Componentes

i

v

_r

v

_c

 









t c

c r

c idλ v 1

dt C dv i

Ri v

Modelo Matemático























t

0 0

t c r

C idλ idλ 1

C Ri 1

C idλ Ri 1

v v V

Ley de Kirchhoff de voltajes.

(16)

31

Modelo Matemático

c0 c

t

0 c0

v 0) (t

v

C idλ v 1

Ri V





 

32

Transformada de Laplace

 

 







 

 

 

  

 





1/RC s

1 R

v I(s) V

Cs R 1 s I(s)

v V

Cs I(s) 1 s

RI(s) v s

V

c0 c0

c0

(17)

33

Solución

dλ R e

v V C v 1

v

u(t) )e

v (V Ri(t) v

u(t) R e

v i(t) V

RC λ t 1

0 c0 c0

c

RC t 1 c0 r

RC t 1 c0



 ^









 

Solución

u(t) e

v e

1 V

v ^RC ^t

1 c0 RC t

1 c  





 



   





 



 

 ^ ^

(18)

35

Potencia y Energía



 ^ ^





 



 

 





 



  



0 RC t 2 2 c0 0

r r

RC t 2 2 c0

2 RC t

1 2 c0

r

dt R e

) v dt (V

P W

R e ) v (V

R R e

v R V

i P

36

Potencia y Energía

2 c0

0 2 2

c0 r

) v 2 (V C

2 RC R

) v W (V





 



 t 

e RC

(19)

37

Potencia y Energía

  



 

 



  

 

 



  



0 RC t 1 c0 f

RC t 1 c0 f

dt R e

v V V

W

R e v V V

Vi P

Potencia y Energía

C Vv C V )C v V(V

R RCe v V V

W

c0 2

c0

0 RC t

1 c0

f









 

 



  



 

(20)

Potencia y Energía

39

) t (Cuando 2

W CV

0) t (Cuando 2

W Cv

2 c

2 c0 c0





Balance de energía:

c f c0

f W W W

W   

40

Potencia y Energía

 ² _c0  ^c0 ²  _c0  ² ^V ²

2 v C

2 V C 2

C Cv Vv C

V     

10Ω R

F

100μ C

V 50 v

V, 100

V _c0



Ejemplo.

Balance de energía:

(21)

41

Ejemplo

)u(t) 50e

(100 v

u(t) 50e

v

u(t) 5.0e

i

1000t c

1000t r

1000t





Ejemplo

J 0.125 2

W Cv

J 2 0.5

W CV

J 0.125 )

v 2 (V W C

J 0.5 C Vv C V W

2 c0 c0

2 c

2 c0 r

c0 2

f











(22)

43

Ejemplo

0.5 0.125 0.125

0.5 W W

W

W _f _c0 _r _c











Balance de energía.

44

Microtran

(23)

45

Solución

(24)

47

Circuito RLC

48

Modelo matemático

0 i : Donde

sC R 1 Ls s I(s)

v - V

sC I(s) s RI(s) v Li

LsI(s) s

V

C idλ idλ 1 C Ri 1 dt L di V

1o co

co lo

t

0 o



 

 



  











  





(25)

49

Transformada de Laplace

LC 1 L s R s

)/L v - (V sLC

1 L s R sL

v - I(s) V

LCs 1 L s R I(s)L

sC R 1 Ls s I(s)

v - V

2 co co

co





 

 



  



 

 



  



 

 



  



Transformada de Laplace

 

 







 

 





 









 

 

 





 









2 n n 2

2 n co

2 co

ω ω s 2ξ s )C ω v - (V

LC 1 L s R s

LC 1 )C

v - (V

LC LC LC

1 L s R s

1 L

v

-

I(s) V

(26)

51

Transformada de Laplace

C 2 L ζ R

L R LC 2ζ 1

LC ω 1

LC

ω

_n²

1

_n







52

Transformada de Laplace

 ê ê  û(t)

ζ 1 2 )C ω v (V i(t)

iguado) sobreamort (Sistema

ζ 1 Cuando

t )ω ζ 1 (ζ t )ω ζ 1 (ζ 2

n co

n 2 n

2   



 





 





 





μF 100.0 C

mH 40.0 L 60.0 Ω,

R

V 0.0 v V, 1,500.0 V

: Si

co



(27)

53

Solución

1.5 10.0

* 100.0

10.0 * 2 40.0 ζ 60.0

r/s 500.0 10

* 100.0

* 10.0

* 40.0 ω 1

6 3

6 n 3





A )u(t) e

33.541(e i(t)

: Finalmente

1309.017t 190.933t

-



