MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN JCMG

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MODELOS MATEM ´ATICOS Y SIMULACI ´ON

Sesi ´on 5

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Sistemas Mec´anicos Traslacionales

en 2D y en 3D

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Contenido

5.1 Introducci´on.

5.2 Sistemas mec´anicos traslacionales en 2D. 5.3 Sistemas mec´anicos traslacionales en 3D. 5.4 Comentarios finales.

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5.1 Introducci ´on

Una historia conocida tomada de la Wikipedia:

Cuenta la historia que Hier´on, monarca de Siracusa, hizo entrega a un platero de la ciudad de ciertas cantidades de oro y plata para el labrado de una corona.

Finalizado el trabajo, Hierón, desconfiado de la honradez del art´ıfice y aún reco-nociendo la calidad art´ıstica de la obra, solicitó a Arqu´ımedes que, conservando la corona en su integridad, determinase la ley de los metales con el propósito de comprobar si el art´ıfice la hab´ıa rebajado, guardándose para s´ı parte de lo entre-gado impulsado por la avaricia.

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COMENTARIO ARQU´IMEDES: Nacido en Siracusa, Sicilia, 287 - 212

a.c., es considerado el cient´ıfico y matemático más notable de la an-tigüedad. Arqu´ımedes fue el fundador de la hidrostática y de la estáti-ca y explicó el principio de la palanestáti-ca. Entre sus grandes logros ma-temáticos se encuentra la utilización del método de exhausción para calcular la longitud de una circunferencia y con ello el valor de p. Los trabajos matemáticos de Arqu´ımedes constituyen la base sobre la cual Isaac Newton y Gottfried Leibnitz construyeron el edificio del Cálculo.

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Preocupado Arqu´ımedes por el problema, al que no encontraba solución, un buen d´ıa al sumergirse en el baño advirtió, como tantas veces con anterioridad, que a causa de la resistencia que el agua opone, el cuerpo parece pesar menos, hasta el punto que en alguna ocasión incluso es sostenido a flote sin sumergirse.

Pensando en ello llegó a la conclusión que al entrar su cuerpo en la bañera, ocupa-ba un lugar que forzosamente dejaocupa-ba de ser ocupado por el agua, y adivinó que lo que él pesaba de menos era precisamente lo que pesaba el agua que hab´ıa desalojado.

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Dando por resuelto el problema que tanto le hab´ıa preocupado fue tal su excitación que, desnudo como estaba, saltó de la bañera y se lanzó por las calles de Siracusa al grito de ¡Eureka! ¡Eureka! (¡Lo encontré! ¡Lo encontré!).

Procedi´o entonces Arqu´ımedes a pesar la corona en el aire y en el agua com-probando que en efecto, su densidad no correspond´ıa a la que hubiera resultado de emplear el art´ıfice todo el oro y toda la plata entregados y determinando, en consecuencia, que ´este hab´ıa estafado al Rey.

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NOTA 1 Desde muy temprano, en términos históricos, la mecánica y las

matem´aticas se han desarrollado de manera interdependiente.

Los desarrollos matemáticos vinculados al análisis de los sistemas mecánicos han seguido los enfoques geométricos cuya formalización matemática surgió en la Grecia antigua.

NOTA 2 No siempre la resoluci´on de problemas ingenieriles ha requerido

de la formalización matemática de los conocimientos relacionados con la mecánica (e.g. en la Roma antigua se constru´ıa siguiendo fundamental-mente reglas de dedo basadas en la experiencia práctica y en la edad media europea se constru´ıan máquinas sofisticadas en las que el cono-cimiento matemático invertido era no sólo muy pobre, sino muchas veces inexistente).

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Dise ño de una máquina voladora por parte de Leonardo Da Vinci (Anchiano, Italia, 15 de abril de 1452 – Castillo de Clos-Lucé Francia, 2 de mayo de 1519).

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La matematizaci ´on del conocimiento cient´ıfico

La revoluci´on cient´ıfica iniciada en el renacimiento estuvo muy relacionada con la mec´anica.

Los trabajos de Isaac Newton culminaron la revoluci´on cient´ıfica y unieron para siempre las matem´aticas con la f´ısica.

NOTA 3 De cierta manera la ciencia se basa en una visi´on mecanicista del

mundo, esto es en la abstracción de fenómenos en términos de fuerzas y movimientos.

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Isaac Newton (4 de enero, 1643 – 31 de marzo, 1727) fue el primero en demostrar que las leyes naturales que gobiernan el movimiento en la Tierra y las que gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes son las mismas. Es, a menudo, calificado como el científico más grande de todos los tiempos, y su obra como la culminación de la Revolución científica.

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Reiterando...

De los trabajos de Arqu´ımedes a los logros de la mecánica anal´ıtica de los tiem-pos modernos, no cabe ninguna duda de que los sistemas mecánicos son tiem- posi-blemente los que más han sido estudiados a lo largo del tiempo (miles de años de trabajo cient´ıfico).

En lo que sigue se consideran sistemas mecánicos simples, cuyos métodos de modelado (corroborados por experimentos) están basados en las leyes de la mecánica clásica y en varias técnicas que han sido desarrolladas a lo largo de siglos.

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NOTA 4 Nuestra exposición se restringe a la mecánica clásica, teniendo en

mente que la mecánica relativista provee de un marco teórico más general y que posiblemente en el futuro se alcance una visión cuántica completa de los fenómenos mecánicos que rigen nuestro Universo (fenomenolog´ıa cuántica independiente del tiempo y del espacio, teor´ıa unificada de fuerzas -gravitacional, electromagnética, interacción nuclear fuerte e interacción nu-clear débil-).

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Seguiremos el enfoque de la mecánica clásica (no se tomarán en cuenta efectos relativistas, ya que los sistemas en cuestión se mueven lentamente, ni los cuánticos, ya que los sistemas en cuestión son “muy grandes”).

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Se empezar´a:

describiendo una t´ecnica de modelado que construye:

UN MODELO DE PARAMETROS CONCENTRADOS´

(aproximado) de un sistema por medio de su representaci´on como:

UNA INTERCONEXION DE ELEMENTOS TRASLACIONALES Y ROTACIONALES´ IDEALES

(caracterizados por leyes constitutivas simples), cuya interacci´on requiere:

CONSIDERAR FUERZAS Y PARES GENERADOS POR INTERCONEXIONES.

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5.2 Sistemas mec´anicos traslacionales en 2D

El comportamiento din´amico de un sistema mec´anico se describe por medio de vectores de: desplazamiento, fuerzas y pares.

NOTA 5 La técnica de modelado más común representa de manera

apro-ximada al sistema por medio de la interconexi´on de un n´umero finito de elementos idealizados (masas, resortes, amortiguadores, trasformadores y sus contrapartes rotacionales).

El comportamiento de cada elemento est´a gobernado por una ley simple que re-laciona la fuerza externa con el desplazamiento, la velocidad, o la aceleraci´on asociadas. Esta ley es denominada ley constitutiva del elemento.

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MODELOS MATEM ´ATICOS Y SIMULACI ´ON M 1 2 F v12 d dt (Mv(t)) = F (t) v(t) = v12(t) velocidad de la masa

F (t) fuerza aplicada a la masa (Segunda Ley de Newton)

1 2 F

y12

F

ky(t) = F (t) y(t) = yF (t) fuerza aplicada al resorte12(t) y12(t) alargamiento m´aximo (Ley de Hooke)

1 2 F

v12

F

cv(t) = F (t) v(t) = v12(t) velocidad relativa del pist´on

F (t) fuerza aplicada al amortiguador

S´IMBOLOS Y LEYES CONSTITUTIVAS DE LA MASA PURA, EL RESORTE LINEAL Y EL AMORTIGUADOR LINEAL. En la

tabla las flechas est´an asociadas con las fuerzas, lo cual no significa que las fuerzas est´en en esas direcciones, ya que la magnitud de la fuerza F (t) podr´ıa ser negativa. Por ejemplo, si en el caso del resorte y12(t) > y12, entonces la

fuerza sigue la direcci´on mostrada, pero si y12(t) < y12, entonces uno debe de comprimir el resorte y en consecuencia

F (t) < 0y la fuerza act´ua en direcci´on opuesta a la mostrada.

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Para la masa:

Para una part´ıcula simple, la Segunda Ley de Newton para el Movimiento estable-ce que:

Definici ´on SEGUNDA LEY DE NEWTON: La suma de todas las fuerzas

ac-tuando sobre la part´ıcula es igual a la tasa de cambio de su momento lineal.

En consecuencia la ley constitutiva de un elemento masa está dada por _dtd (Mv(t)) = F (t). En este caso la velocidad y la aceleración deben ser medidas con respecto a una referencia inercial (en mecánica clásica tal referencia se fija usualmente en el centro del sol).

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Para el resorte:

La ley constitutiva del resorte está dada por la ley de Hooke (i.e. ky(t) = F (t)). En la realidad esta relación lineal entre la fuerza y el alargamiento será aproxima-damente válida dentro de ciertas cotas del alargamiento.

NOTA 6 Esto ocasiona que el uso del elemento resorte lineal en un modelo

mec´anico imponga restricciones sobre las variables involucradas.

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Para el amortiguador:

De manera similar a lo que acontece con el resorte, el caso del amortiguador está muy idealizado. En efecto, una realización f´ısica de este elemento requiere de un pistón que se mueve dentro de un cilindro lleno de aceite y el pistón tiene hoyos en su parte frontal para permitir el paso del aceite.

Si las tasas de flujo se mantienen dentro de ciertas cotas viscosas, el amorti-guamiento resulta en una relaci´on lineal entre la fuerza y la velocidad relativa del pist´on con respecto al cilindro.

NOTA 7 A velocidades elevadas la realizaci´on f´ısica presentar´a

caracter´ısti-cas no lineales.

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La idealizaci ´on

El resorte, la masa y el amortiguador mostrados en la tabla precedente son tam-bi´en objetos idealizados desde otro punto de vista.

Cualquier resorte real posee inercia y amortiguamiento. De manera similar, cualquier amortiguador tiene algo de masa y algo de efectos de resorte.

Uno podr´ıa tomar en cuenta las diferencias entre los dispositivos ideales y los objetos idealizados concentrando todas las inercias de un sistema mec´anico dado en las masas, todos los efectos de rigidez en los resortes y todas las fuerzas de fricci´on en los amortiguadores.

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Este enfoque de modelado en base a par´ametros concentrados no se restringe a los sistemas lineales.

En efecto:

Las relaciones no lineales entre los estreses y las deflexiones en un sistema mec´anico pueden modelarse por medio de resortes no lineales y las fricciones viscosas no lineales entre cuerpos adyacentes pueden ser modeladas por medio de amortiguadores no lineales.

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El rol de las interconexiones

Si se describe un sistema mecánico como una interconexión de un número finito de masas, resortes y amortiguadores, el modelo total del sistema se obtiene com-binando las leyes constitutivas de sus elementos con las leyes de interconexión gobernando la interacción entre ellos.

En lo que sigue se supondr´a que que las fuerzas entre elementos mec´anicos obedecen la:

Definici ´on TERCERA LEY DE NEWTON: Cualquier fuerza de un elemento

sobre otro está acompañada por una fuerza de reacción sobre el primer elemento de igual magnitud y de dirección contraria a la l´ınea que los une.

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COMENTARIO MULTIPLICIDAD DE LOS FORMALISMOS DE MODELADO:

Cabe mencionar que existen diversos métodos para obtener las ecua-ciones del sistema mecánico total a partir de las relaecua-ciones entre sus elementos constitutivos y las leyes de interconexión, por ejemplo los métodos de gráficas de v´ınculos y los métodos de la teor´ıa de redes (más tarde se regresará a este asunto) suelen utilizarse en sistemas informáticos de modelado, tales como los que se emplean para el di-seño de robots manipuladores y otras clases de sistemas mecánicos complejos (e.g. ModelicaT M).

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Ejemplo 1 (Carro sobre Rieles) Considere el siguiente sistema mec´anico, que

muestra un carro de masa M movi´endose sobre rieles bajo la influencia de la fuerza bu(t):

Aqu´ı b es una constante que convierte a la variable de control u (e.g. voltaje) en una fuerza.

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Suposiciones

i) No se toman en cuenta fricciones de las ruedas.

ii) Se considera que el carro se comporta como un cuerpo r´ıgido.

iii) Se supone también que la l´ınea de acción de la fuerza se da a través del

centro de masa del carro, paralela a los rieles. As´ı, el carro no rota y bajo la influencia de la gravedad no pierde el contacto con los rieles.

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El modelo

Dado que la masa del carro es constante, la segunda ley de Newton da la siguiente ecuaci´on escalar del movimiento:

M ¨y(t) = bu(t),

donde y(t) denota el desplazamiento del centro de masa del carro a partir de un punto fijo en un marco de referencia inercial.

NOTA 8 Como podemos ver para determinar el movimiento del sistema

pa-ra t 0 es necesario conocer la posición inicial y(0) y la velocidad inicial ˙y(0). Además se requiere conocer la fuerza externa bu(t) en función del

tiempo t 0.

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Controlando el movimiento

Si se considera a la fuerza como una variable de control y se fija una posici´on de descanso y = 0 como el punto fijo del sistema, un problema de control t´ıpico consiste en:

Hallar una ley de control por retroalimentaci´on: u(t) = f (y(t), ˙y(t))

que lleve al carro de regreso (incluso aproximadamente) al punto de des-canso prescrito a partir de condiciones iniciales (y(0), ˙y(0)).

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Un problema de control ´optimo

Suponiendo que |u(t)|  c, t 0, donde c > 0 es una constante dada, un problema de control ´optimo t´ıpico es el siguiente:

Dadas (y(0), ˙y(0)), hallar un control u(t) : [0,t₁] _{! [ c,c] que lleve el carro} a la posici´on de descanso: (y(t), ˙y(t)) = (y(0), ˙y(0)) en un tiempo m´ınimo t₁.

Podr´ıan imponerse restricciones sobre la trayectoria del carro (e.g. |y(t)|  d, d > 0) y esto lleva a un problema de control ´optimo con restricciones en el estado.

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Un sistema con interconexiones

En el ejemplo siguiente se consideran interconexiones de elementos mecánicos. El oscilador armónico es utilizado como un modelo muy simplificado para muchos sistemas técnológicos.

Esto será ilustrado por medio de un modelo masa-resorte-amortiguador para el sistema de suspensión de un automóvil.

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Ejemplo 2 (Sistema Masa-Resorte-Amortiguador) Considere el movimiento

ver-tical de una masa M desliz´andose en alg´un sistema de cojinetes y suspendido de un soporte por medio de un resorte, tal y como se muestra en la figura siguiente:

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Además de las fuerzas exteriores (la gravedad y una fuerza adicional dependiente del tiempo bu(t)) dos tipos de fuerzas internas actúan sobre la masa, las cuales están modeladas por medio de un resorte lineal y de un amortiguador lineal con coeficientes k y c, respectivamente. En lo que sigue se determina la ecuación de movimiento de este sistema.

NOTA 9 El comportamiento del sistema est´a descrito por completo por la

posici´on vertical y la velocidad de la masa.

Para eliminar la fuerza gravitacional se introduce el desplazamiento y del centro de masa desde su posici´on de equilibrio bajo la influencia de la gravedad.

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El modelo

Por la segunda ley de Newton la suma de las fuerzas que act´uan sobre M debe igualar a M ¨y.

Note que las fuerzas ejercidas por el resorte y el amortiguador sobre la masa tienen direcciones opuestas a las del desplazamiento y de la velocidad, respecti-vamente.

En consecuencia:

M ¨y(t) + c ˙y(t) + ky(t) = bu(t).

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Un ejemplo m´as complejo

En lo que sigue se construirá un modelo masa-resorte-amortiguador para un sis-tema de suspensión de un automóvil.

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Suspensi ´on tipo MacPherson de un autom´ovil.

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Ejemplo 3 (Suspensi ón) El propósito de una suspensión es suavizar la

respues-ta del cuerpo del carro a las subidas y bajadas irregulares del camino.

Se considerará únicamente el movimiento vertical del carro y de los ejes y se hará la suposición no realista de que ambos ejes se mueven de la misma manera, por lo que se les puede concentrar y el movimiento rotacional del carro puede ignorarse.

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Primero se supone que el camino es plano

Dado que el cuerpo del carro y el eje se pueden mover independientemente, se necesitan dos variables de posici´on y₁ y y₂.

Como puntos de referencia para estas posiciones se escogen las posiciones de reposo del cuerpo del carro (masa M₁) y del eje (masa M₂) sobre el nivel nominal del camino bajo la influencia de la gravedad.

NOTA 10 Se modelan las llantas como resortes con coeficientes de rigidez

comparativamente elevados k₂ acoplados en paralelo con un amortiguador que toma en cuenta la energ´ıa disipada a trav´es de las llantas.

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Modelode suspensión de un automóvil. El mecanismo principal consiste en resortes helicoidales, resortes de ballesta y absorbedores de choques, y es modelado en términos de parámetros concentrados por medio de un resorte lineal y un amortiguador lineal que conectan el eje con el cuerpo del carro.

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Movimiento perturbado

Sea entonces w(t) el desplazamiento del punto de contacto entre llantas y camino a partir del nivel nominal del camino.

NOTA 11 w(t) se determina por medio del perfil del camino y la posici´on del

carro.

La fuerza de resorte de la llantas (en dirección hacia arriba) correspondiente a la desviación de las llanta desde el nivel nominal del camino es k₂w y la fuerza de fricción correspondiente es c₂ ˙w.

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El modelo

Aplicando la segunda ley de Newton a cada una de las dos masas y la tercera ley de Newton a la interacci´on entre las dos masas se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones para el movimiento de la suspensi´on:

⇢

M₁¨y₁+c₁(˙y₁ ˙y₂) +k₁(y₁ y₂) = 0

M₂¨y₂+c₁(˙y₂ ˙y₁) +k₁(y₂ y₁) +c₂˙y₂ +k₂y₂ = c₂ ˙w + k₂w.

NOTA 12 Aqu´ı w(t) puede considerarse como una perturbaci´on y un

objeti-vo de dise˜no importante ser´ıa asegurar que las condiciones del camino que el carro encuentre no generen vibraciones en ´este, i.e. valores no acepta-bles de y₁(t) y de ˙y₁(t) desde el punto de vista del comfort del pasajero.

(41)

Un problema de control t´ıpico

Si los mecanismos de la suspensi´on pueden ser controlados, un problema t´ıpico ser´ıa dise˜nar:

Una ley de control retroalimentado que desacople la velocidad vertical del carro ˙y₁(t) tanto como sea posible de perturbaciones w(t) largamente desconocidas, generadas por la superficie del camino (este es un proble-ma de atenuaci´on de perturbaciones).

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Resumiendo

NOTA 13 Los dos ejemplos precedentes tratan con sistemas mec´anicos

traslacionales cuyos movimientos están restringidos a una dirección. Los movimientos arbitarios de una masa en el espacio tridimensional están go-bernados por una versión vectorial de la segunda ley de Newton.

En lo que sigue se supone que las posiciones est´an determinadas con respecto a un sistema cartesiano de coordenadas que est´a fijado a un marco referencial.

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5.3 Sistemas mec´anicos traslacionales en 3D

En lo que sigue se consideran dos casos de movimiento traslacional en el espacio tridimensional:

Caso de una part´ıcula.

Caso de m´ultiples part´ıculas.

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Caso de una part´ıcula

Si el vector de posici´on de una part´ıcula de masa m en el tiempo t est´a denotado por r(t) y F(t) es el vector suma de todas las fuerzas individuales aplicadas a la masa en el tiempo t, entonces:

˙

p(t) = (m¨r)(t) = F(t), donde p = m˙r es el momento lineal del punto masa.

(45)

Caso de m ´ultiples part´ıculas

Considere ahora un sistema de N part´ıculas con masas m_i, en posiciones ri, i 2

{1,2,...,N}.

El momento lineal de tal sistema es por definici´on la suma de los momentos linea-les de cada part´ıcula:

p(t) =

Â

N i=1pi (t) = N

Â

i=1 m_ir˙_i(t). JCMG - 2013 52

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Aplicando la segunda ley de Newton a cada una de las part´ıculas uno debe dis-tinguir entre las fuerzas externas Fe_i (t) y las fuerzas interactivas Fi j(t) entre las

part´ıculas del sistema.

Sumando para todas las part´ıculas se tiene entonces: ˙ p(t) =

Â

N i=1 m_i_r¨_i(t) =

Â

N i=1F e i (t) + N

Â

i, j=1,i6= jFi j (t). JCMG - 2013 53

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NOTA 14 Por la tercera ley de Newton de acci´on y reacci´on F_{i j}(t) +F_ji(t)

es cero para todo t e i, j 2 {i,2,...,N},i 6= j, por lo que el segundo t´ermino de la ecuaci´on precedente desaparece.

As´ı, definiendo la fuerza externa total del sistema y el centro de masa en el tiempo t como sigue: Fe(t) =

Â

N i=1F e i (t), r = N

Â

i=1 m_ir_i M , donde M = N

Â

i=1 m_i, se tiene entonces p(t) = M˙r(t) y ˙p(t) = M¨r(t) = Fe(t). JCMG - 2013 54

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En particular:

NOTA 15 El centro de masa del sistema se mueve como si las fuerzas

to-tales externas estuvieran actuando sobre la masa entera del sistema con-centrada en el centro de masa.

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No basta con el movimiento traslacional

Ahora bien, para describir un cuerpo r´ıgido en el espacio tridimensional, se deben entonces especificar:

la posici´on de su centro de masa y la orientaci´on del cuerpo r´ıgido

con respecto a un marco de referencia inercial, lo cual hace necesaria una con-traparte de la segunda ley de Newton para movimientos rotacionales.

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5.4 Comentarios Finales

Los sistemas mecánicos han constituido un terreno privilegiado de intervención de la abstracción matemática del mundo f´ısico.

El modelado de los sistemas mecánicos bajo suposiciones de concentración de parámetros es una tarea relativamente simple (pertenecen a la región blanca de nuestro espectro del modelado).

NOTA 16 Modelos de sistemas mec´anicos (no realtivistas y no cu´anticos)

idealizados permiten la construcción por demás exitosa de sistemas f´ısicos equivalentes, incluso por medio de métodos automatizados.

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El modelado se simplifica al suponer que los componentes (ideales) de los siste-mas mec´anicos evolucionan en sus regiones lineales de operaci´on.

NOTA 17 Lo cual se complica al considerar las fricciones en el caso de

sistemas que presentan deslizamientos de superficies de cuerpos r´ıgidos en presencia de fen´omenos de fricci´on.

Los sistemas mec´anicos de amplio uso en la industria se construyen para operar en regiones lineales.

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Adem´as:

Existen m´ultiples formalismos de modelado de los sistemas mec´anicos.

La problemática del control en el caso de los sistemas mecánicos pasa por el di-seño de procesadores de fuerzas (o de pares al tratar movimientos rotacionales).

NOTA 18 Un nicho privilegiado de intervenci´on del control de sistemas

mecánicos concierne la clase de sistemas de dimensiones nanométricas, aunque la prevalescencia de fenómenos cuánticos al trabajar con siste-mas de dimensiones atomáticas requiere el abandono de la comodidad de los sistemas mecánicos clásicos y hace necesario el soporte teórico de la mecánica cuántica.

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Un Par´entesis Necesario

Algunos Comentarios sobre el An´alisis Geom´etrico

de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

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Sistema de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Considere un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias en la forma: dX

dt = F (X), donde:

F (X) es una funci´on vectorial.

X = X (t) con n componentes, cada uno de los cuales es una funci´on del

tiempo.

(55)

Normalmente los componentes de X se denotan como x_i (i = 1,2,...,n), o bien

cuando n = 2 o n = 3 se les duele denotar como x,y o x,y,z. A veces tambi´en se les relaciona con el problema bajo estudio, como (N,C) en el caso del quimiostato. Esto es: dX dt = F (X) = ✓ f (N,C) g(N,C) ◆ con: f (N,C) = a₁ C 1 +CN N y: g(N,C) = C 1 +CN C +a2. JCMG - 2013 62

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Equilibrio

Definici ´on ESTADO ESTACIONARIO (O EQUILIBRIO): Es cualquier ra´ız de la

ecuaci´on algebraica:

F X = 0.

Si X es un equilibrio, entonces el vector constante X (t) = X es una soluci´on del sistema, ya que una constante tiene derivada cero: dX/dt = 0 y dado que F X = 0 por definici´on del equilibrio, se tiene que dX/dt = F X .

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Rec´ıprocamente:

Si un vector constante X (t) ⌘ X es una soluci´on de la ecuaci´on diferencial dX (t)/dt = F (X (t)), entonces, como:

(d/dt)(X (t)) ⌘ 0,

entonces tambi´en F X = 0 y en consecuencia X es un equilibrio.

(58)

NOTA 19 Por lo anterior se llega a la conclusi´on de que un equilibrio es un

punto donde la solución permanece por siempre. Un equilibrio podr´ıa ser estable o inestable (un lápiz perfectamente balanceado en posición vertical, por ejemplo).

En lo que sigue se presenta un ejemplo para ilustrar la noci´on del equilibrio de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.

El ejemplo corresponde a la din´amica del quimiostato.

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Ejemplo 4 (El quimiostato) En el caso de las ecuaciones correspondientes al

quimiostato: a₁ C 1 +CN N = 0 y C 1 +CN C +a2 = . Por lo que: ✓ a₁ C 1 +C 1 ◆ N = 0.

En consecuencia, para un equilibrio X = N,C se tiene:

N = 0 o bien a₁ C

1 +C 1 = 0.

En lo que sigue se considera cada una de estas dos posibilidades por separado.

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Primer caso N = 0. En este caso sustituyendo en:

C

1 +CN C +a2 = C +a2 = 0. En consecuencia se concluye que X = (0,a₂).

Esto significa que ninguna bacteria est´a viva y que la concentraci´on del nu-triente es C⇤ ₌ _a₂ ₌_C₀_/k_n_.

(61)

Segundo caso C = _a₁1 ₁. Sustituyendo en la segunda ecuaci´on se tiene:

N = a₁ ✓ a₂ 1 a₁ 1 ◆ .

NOTA 20 As´ı, los dos puntos de equilibrio est´an dados por:

X₁ = (0,a₂) y: X₂ = ✓ a₁✓a₂ 1 a₁ 1 ◆ , 1 a₁ 1 ◆ .

En este ejemplo un equilibrio tiene significado f´ısico ´unicamente si C 0

y N 0, ya que poblaciones o concentraciones negativas no representan

soluciones f´ısicas.

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Con respecto a lo anterior

El primer estado estacionario, esto es X₁, satisface el requerimiento.

Sin embargo X₂ estará bien definido y tendrá significado f´ısico únicamente si: a₁ > 1 y a₂ > 1

a₁ 1

o equivalentemente:

a₁ > 1 y a₂(a₁ 1) > 1.

NOTA 21 Una de las ventajas de la reducci´on de par´ametros es llegar a

este tipo de condiciones compactas y elegantes.

(63)

Y con respecto a la realidad f´ısica del sistema

Ahora bien, a₁ y a₂ fueron introducidas por conveniencia matem´atica y no forman parte del problema original.

Como ˆt := V_F, a₁ = V_Fk_max y a₂ := ˆt_ˆ CVFC0 = C₀ ˆ C = C₀

k_n, las condiciones se convierten en:

k_max > F V y C0 > k_n V Fkmax 1 .

La primera condición dice que la máxima tasa de reproducción de las bacterias es mayor que la tasa de vac´ıado del tanque.

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An´alisis de las soluciones de dX/dt = F (X) cerca de un punto de equilibrio

X

Definiendo ˆX = X X se tiene:

d ˆX

dt = dXdt dXdt = dXdt 0 = dXdt = F ˆX + X

= F X + F0 X ˆX + o ˆX ⇡ A ˆX,

donde: F X = 0, o ˆX ⇡ 0 y A := F0 _X _{, que corresponde al Jacobiano de F}

evaluado en X.

NOTA 22 El Jacobiano A depende de X. Si los desplazamientos X son

pe-queños entonces ˆX será pequeña.

Se escribir´a dX/dt = AX, con X igual al desplazamiento desde X.

(65)

Ejemplo 5 En el caso del quimiostato:

d dt ✓ N C ◆ = F (N,C) = a1 ⇣ C 1+C ⌘ N N C 1+CN C +a2, !

por lo que, en cualquier punto (N,C) el Jacobiano A = F0 _{de F es:}

0 @ a1 C 1+C 1 _(1+C)a1N 2 C 1+C _(1+C)N 2 1 1 A,

por lo que en el punto ˆX₂, donde ˆC = _a₁1 ₁, ˆN = a1(a1a2 a2 1)

a₁ 1 : 0 b (a₁ 1) 1 a₁ b(a1a1)+a₁ 1 ! , con b := a₂(a₁ 1) 1. JCMG - 2013 72

(66)

El soporte te ´orico...

(67)

Teorema de Hartman-Grobman

Sea f : Rn ! Rn un mapeo suave con un punto hiperbólico p (se dice que p es hiperbólico si el jacobiano de f en p no tiene valores propios partes reales cero). Sea A la linealización de f en el punto p. Entonces existe una vecindad U de p y un homomorfismo:

h : U ! Rn

tal que f_U = h 1 A h; esto es, en una vecindad U de p el mapeo f es topologi-camente conjugado a su linealizaci´on.

NOTA 23 En otras palabras: las soluciones de dX_dT = F (X) lucen como las de dX_dt = Ax (hasta un homomorfismo local y bajo la suposici´on de hiperbo-licidad; en general esta afirmaci´on no es cierta).

(68)

La solución general de dX_dt = AX es eAtX (0), donde eB está definida en términos de expansión de series: I + B + 1₂B2+ . . ., que da lugar a la solución general:

X (t) =

Â

n

i=1

c_ielit_v_i _(Av_i ₌ l_i_v_i_{) ,}

suponiendo valores propios simples (tambi´en para valores complejos, utilizando la descomposici´on de Euler elt = eat+ibt = eat (cosbt + isinbt)).

NOTA 24 Como puede verse los términos de la solución sólo pueden

apro-ximarse a cero conforme t ! +• si ¬l < 0.

(69)

Dado que el equilibrio de X de dX/dt = F (X) es (localmente asintoticamente) estable si:

1. Todas las soluciones que est´an cerca de X permanecen cerca.

2. Para todas las soluciones que empiezan cerca de X se cumple que X (t) ! X conforme x ! •

Por la linealizaci´on se tiene que 2 ) 1 (pero en general esto no es verdad) y: est. asint´otica , las partes reales de los valores propios de A son < 0.

(70)

NOTA 25 En general, si A tiene alg´un valor propio con parte real positiva,

entonces para dX/dt = F (X) existen soluciones que empiezan cerca de X pero que se mueven alej´andose de X. Por otra parte, la linealizaci´on

dX/dt = AX en un estado estacionario X no dice nada sobre estabilidad

global.

Con respecto a la parte final de la nota precedente, consid´erese el ejemplo que se muestra a continuaci´on.

(71)

Ejemplo 6 dx/dt = x x3 y dx/dt = x + x2 se pueden linealizar en x = 0 y la linealizaci´on es dx/dt = x, que es estable.

En el primer caso todas las soluciones del sistema no lineal convergen a cero. Sin embargo en el segundo caso esto no es cierto. Para ilustrar esto, si se inicia en un estado x(0) > 1 todas las soluciones divergen hacia +_{• conforme t ! •.}

(72)

An´alisis de estabilidad en el caso en el que n = 2

En este caso no es necesario computar los valores propios, ya que la estabilidad es equivalente a que se cumplan las condiciones siguientes:

traceA < 0 y detA > 0

(recuerde que traceA = a₁₁+a₂₂ = l₁ +l₂ y detA = a₁₁a₂₂ a₁₂a₂₁ = l₁l₂).

NOTA 26 En el caso en el que n > 2 se puede utilizar el criterio de

Routh-Hurtwitz.

(73)

En lo que sigue se ilustra el an´alisis de estabilidad el el caso n = 2 con el quimios-tato.

Ejemplo 7 En el caso del quimiostato suponga que el equilibrio X₂ existe, esto es a₁ > 1 y b = a₂(a₁ 1) > 1. En este caso el Jacobiano:

A = F0 X₂ = 0₁ b (a1 1)

a₁ b(a1a1)+a₁ 1

! ,

con b := a₂(a₁ 1) 1. Como puede verse (dado que a₁ > 1 y b = a₂(a₁ 1) > 1):

traceA = b (a1 _a1) +a1

1 < 0 y detA =

b (a₁ 1)

a₁ .

En consecuencia se concluye la estabilidad (local) del equilibrio X₂, esto es si la concentraci´on inicial X (0) ⇡ X2, entonces X (t) ! X2 conforme t ! •.

(74)

En lo que respecta al equilibrio X₁:

A = F0 X₁ = 0 @ a1 C 1+C 1 _(1+C)a1N 2 C 1+C _(1+C)N 2 1 1 A N=0,C=a₂ = a1 a₂ 1+a₂ 1 0 a₂ 1+a₂ 1 ! . As´ı: detA = 1 a₁ a2 1 +a₂ = 1 +a₂(1 a₁) 1 +a₂ = 1 a₂(a₁ 1) 1 +a₂ = 1 b 1 +a₂ < 0

(recuerde que b > 1). X₁ es entonces inestable; perturbaciones pequeñas tales que N (0) > 0, harán que X (t) se aleje de X₁ (aún si únicamente está presente una pequeña cantidad de bacterias habrá crecimiento).

(75)

Sobre los ciclos l´ımite

En matemáticas, en el área de Sistemas Dinámicos, un ciclo l´ımite sobre un plano (o sobre una variedad diferencial) de segundo orden es una trayectoria cerrada en el espacio de fase que posee la propiedad de que al menos otra trayectoria se mueve hacia ella conforme el tiempo tiende hacia +• o hacia •.

Este comportamiento se presenta en ciertos sistemas no lineales (económicos, biológicos, mecánicos, . . . ).

(76)

En el caso en el que todas las trayectorias vecinas se aproximan al ciclo l´ımite conforme t ! +•, se dice que el ciclo l´ımite es estable (o atractivo). Si esto pasa cuando t ! •, se dice que el ciclo l´ımite es inestable (o no atractivo). En todos los otros casos no es ni estable ni inestable.

NOTA 27 Los ciclos l´ımite estables implican oscilaciones sostenidas.

Cual-quier perturbación pequeña de la trayectoria cerrada hará que el sistema se regrese al ciclo l´ımite.

(77)

Ejemplo 8 El sistema no lineal:

dx dt = y + Kx⇣1 x2 y2⌘ q x2 +y2 y dy dt = x + Ky⇣1 x2 y2⌘ q x2+y2 ,

posee el ciclo l´ımite x2+y2 = 1 cuando t ! •, para cualesquiera condiciones ini-ciales x(0) = x₀,y(0) = y₀, exceptu´andose el caso x₀ = y₀ = 0.

NOTA 28 Bajo ciertos condicionamientos existen m´etodos anal´ıticos para

determinar si un sistemas posee un ciclo l´ımite para ciertos rangos de sus par´ametros (teor´ıa de bifurcaciones).

(78)

Simulando un ciclo l´ımite en Java.