GRAFICAS DE CONTROL PARA LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DELPROCESO: GRAFICAS s
Desviación estándar del proceso conocida
La línea central de la gráfica de control no se sitúa en la desviación estándar designada para el proceso. La razón es que aun cuando s2 es un estimador insesgado de 2, la desviación estándar s de la muestra es un estimador sesgado de . Como se requiere que la línea central sea aplicable a las desviaciones estándar de la muestra, el valor de del proceso debe ajustarse de modo que comprenda el sesgo esperado en las desviaciones estándar.
E(s)=c4
Para determinar el error estándar de s se usa la constante c5 (factor para las gráficas de control):
s= c5
Los límites de control 3 sigmas para la gráfica s son: LC = c4 ±3c5
Desviación estándar del proceso desconocida
Cuando se conoce no se requiere ninguna corrección del sesgo de s al determinar la línea central. Esto se debe a que las desviaciones estándar muestrales individuales tienen una misma esperanza de sesgo. Sin embargo no es necesario incluir la corrección c4 para sesgo en la fórmula del error estándar estimado de s.
La línea central es:
k s s Lc= =
∑
Por lo tanto el límite de control queda así:4
3 5
c s s c
LC = ±
GRÁFICAS DE CONTROL PARA EL RANGO DEL PROCESO: GRÁFICAS R La gráfica R es una alternativa a la gráfica s para evaluar la estabilidad de un proceso respecto de la variabilidad. Se prefiere la gráfica s porque esta medida de variación considera el valor de cada uno de los elementos de la muestra y conduce a una medida mas precisa de la variabilidad.
La línea central de la gráfica R se sitúa en el estimador insesgado del rango poblacional, R, que es la media de los diversos rangos maestrales:
k R=
∑
RLos límites de control consideran las constantes d2 y d3:
±
=
±
=
2 3 2
3 1 3
3 d
R d d Rd R LC
Para obtener la fórmula simplificada para quienes ejercen la estadística, primero se definen dos factores:
2 3 4
2 3 3
3 1
3 1
d D d
d D d
+
=
−
=
Después usando los valores de D3 y D4 los límites de control de las gráficas R son:
4 3
D R LSC
D R LIC
=
=
Si la gráfica R indica que el proceso es inestable en términos de variabilidad del proceso, entonces debe tratarse este problema entes de cualquier intento de evaluar la estabilidad del proceso respecto de la media del proceso.
GRÁFICAS DE CONTROL PARA LA PROPORCIÓN DEL PROCESO: GRÁFICAS p
Proporción del proceso conocida
La proporción del proceso será conocida ya sea porque se trate de una especificación de proceso, tal como la proporción aceptable de artículos defectuosos o se base en observaciones históricas del proceso cuando se le consideró estable. La línea central de esta gráfica se sitúa en la proporción del proceso, π. Para esta gráfica los límites de control son:
LC =π ±3 π(1n−π)
Las primeras cuatro de las ocho pruebas de estándar para detectar variaciones debidas a causas asignables en la gráfica X se usan para las gráficas p.
Proporción del proceso desconocida
Cuando no se conoce la proporción del proceso se requiere suponer que las muestras recientes provienen de un proceso estable. Así lo resultados maestrales recientes se usan para determinar la estabilidad del proceso a medida que éste continúa. Por lo tanto se considera la proporción total media de las k proporciones maestrales:
k p=
∑
pUna forma alternativa es sumar el numero de elementos de cada muestra que tengan la característica identificada, tal como el numero de defectuosos en cada muestra y luego dividir entre el numero total de artículos en las k muestras (muestras de igual tamaño).
kn p=
∑
XEl error estándar de se estima mediante:
n p p p
LC = ±3 (1− )
EJEMPLOS RESUELTOS: GRÁFICA s
La siguiente tabla muestra los pesos en onzas en una sucesión de 15 muestras de subgrupos racionales de papas fritas, con n=4 en cada muestra. También se reportan las medias, las desviaciones estándar y los rangos maestrales. Suponga que las especificaciones de empacado requieren un peso promedio por paquete de 15 onzas y una desviación estándar de 0.1 onzas. Determine la LC, LSC y LIC para la gráfica s.
No. Muestra
Peso de los paquetes
(onzas) Xprom s R
1 15.01 14.98 15.16 14.80 14.99 0.148 0.36 2 15.09 15.14 15.08 15.03 15.09 0.045 0.11 3 15.04 15.10 14.93 15.13 15.05 0.088 0.20 4 14.90 15.03 14.94 14.92 14.95 0.057 0.13 5 15.04 15.05 15.08 14.98 15.04 0.042 0.10 6 14.96 14.81 14.96 14.91 14.91 0.071 0.15 7 15.01 15.10 14.90 15.03 15.01 0.083 0.20 8 14.71 14.92 14.77 14.95 14.84 0.116 0.24 9 14.81 14.80 14.64 14.95 14.80 0.127 0.31 10 15.03 14.89 14.99 15.03 14.99 0.066 0.14 11 15.16 14.91 14.95 14.83 14.96 0.141 0.33 12 14.92 15.05 15.01 15.02 15.00 0.056 0.13 13 15.06 15.03 14.95 15.02 15.02 0.047 0.11 14 14.99 15.14 15.04 15.11 15.07 0.068 0.15 15 14.94 15.08 14.90 15.17 15.02 0.125 0.27
2088 . 0 ) 10 . 0 )( 3889 . 0 ( 3 09213 . 0 3
02454 . 0 ) 10 . 0 )( 3889 . 0 ( 3 09213 . 0 3
09213 . 0 ) 10 . 0 ( 9213 . 0 )
(
5 4
5 4
4
= +
= +
=
−
=
−
=
−
=
=
=
=
=
σ σ
σ σ
σ c c
LSC
c c
LIC
c s E LC
Se considerará un límite inferior de control 0 ya que no es posible obtener un valor negativo de una desviación estándar.
La siguiente gráfica muestra los límites de control y una variación debida a causas comunes. Por lo tanto, la gráfica X asociada al proceso puede interpretarse sin preocuparse de que la variabilidad que se observa en las medias muestrales pueda deberse a falta de control en la variabilidad del proceso.
GRÁFICA S
0.00 0.10 0.20
0 5 10 15
MUESTRA
DESVIACIÓN STD
0 0.09213 0.2088
Suponiendo que no se proporciona la desviación estándar. Se procede del siguiente modo:
1938 . 9213 0
. 0
) 08551 . 0 ( 3889 . 08551 0 . 0 3
0228 . 9213 0
. 0
) 08551 . 0 ( 3889 . 08551 0 . 0 3
08551 . 15 0
280 . 1
4 5 4 5
= +
= +
=
−
=
−
=
−
=
=
=
=
=
∑
c s s c LSC
c s s c LIC
k s s LC
Se considerará un límite inferior de control 0 ya que no es posible obtener un valor negativo de una desviación estándar.
La siguiente gráfica muestra los límites de control y una variación debida a causas comunes. Por lo tanto, la gráfica X asociada al proceso puede interpretarse sin preocuparse de que la variabilidad que se observa en las medias muestrales pueda deberse a falta de control en la variabilidad del proceso.
GRÁFICA S
0.00 0.10 0.20
0 5 10 15
MUESTRA
DESVIACIÓN STD
0 0.08551 0.1938
GRÁFICA R
Con los datos del ejercicio anterior determine la Línea Central y los límites de control.
4458 . 0 ) 282 . 2 ( 19533 . 0
0 ) 0 ( 19533 . 0
19535 . 15 0
93 . 2
4 3
=
=
=
=
=
=
=
=
=
∑
D R LSC
D R LIC
k R R
La siguiente gráfica muestra los límites de control y una variación debida a causas comunes. Por lo tanto, la gráfica X asociada al proceso puede interpretarse sin preocuparse de que la variabilidad que se observa en las medias muestrales pueda deberse a falta de control en la variabilidad del proceso.
GRAFICA R
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
0 5 10 15
MUESTRA
RANGO
0.4456
0 0.1953
GRÁFICA p
Si un proceso de reembolso de boletos esta bajo control, entonces máximo 3% de las devoluciones se hacen en forma incorrecta, con una proporción máxima aceptable de error de 0.03. En 20 muestras sucesivas de 100 devoluciones de boletos, cada una, una auditoria revela que el número de errores encontrados en las muestras de subgrupo racionales es el mostrado en la tabla siguiente. Determine los límites de control para la proporción de errores de la muestra.
08118 . 100 0
) 97 . 0 ( 03 . 3 0 03 . 0
02118 . 100 0
) 97 . 0 ( 03 . 3 0 03 . 0
= +
=
−
=
−
= LSC LIC
Se considerará un límite inferior de control 0 ya que no es posible obtener un valor negativo de una proporción en esta prueba de una cola. La siguiente gráfica muestra los límites de control y una variación debida a causas comunes. Por lo tanto, la gráfica X asociada al proceso puede interpretarse sin preocuparse de
No. Muestra ERROR P
1 2 0.02
2 2 0.02
3 3 0.03
4 6 0.06
5 1 0.01
6 3 0.03
7 6 0.06
8 4 0.04
9 7 0.07
10 2 0.02
11 5 0.05
12 0 0.00
13 3 0.03
14 2 0.02
15 4 0.04
GRÁFICA P
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08
0 5 10 15 20
MUESTRA
PROPORCIÓN
0.08118
0.03
0
Desconociendo la proporción
Si consideramos que no se indico la proporción, calcule los límites de control.
09101 . 100 0
) 9645 . 0 ( 0355 . 3 0 0355 . ) 0 1 3 (
02001 . 100 0
) 9645 . 0 ( 0355 . 3 0 0355 . ) 0 1 3 (
0355 . 0
= +
− = +
=
−
=
−
− =
−
=
=
=
=
∑
n p p p
LSC
n p p p
LIC
k p p Lc
Se considerará un límite inferior de control 0 ya que no es posible obtener un valor negativo de una proporción en esta prueba de una cola.
La siguiente gráfica muestra los límites de control y una variación debida a causas comunes. Por lo tanto, la gráfica X asociada al proceso puede interpretarse sin preocuparse de que la variabilidad que se observa en las medias muestrales pueda deberse a falta de control en la variabilidad del proceso.
GRÁFICA P
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0 5 10 15 20
MUESTRA
PROPORCIÓN
0.09101
0.0355
0
