R o g e lio Fe r n ¶a n d e z A lo n s o Go n z ¶a le z
D e p a r t a m e n t o d e Ma t e m ¶a t ic a s , CB I, U A M-I.
En este trabajo se encuentra una f¶ormula para deter-minar la direcci¶on de salida (y como consecuencia la de puesta) del Sol, desde cualquier punto sobre la su-per¯cie terrestre y en cualquier fecha del a~no. Pa-ra efectos pr¶acticos puede suponerse que la super-¯cie terrestre es una esfera de radio uno, y que la ¶orbita de la Tierra es un c¶³rculo con el Sol en su cen-tro. Se asociar¶a la fecha del a~no con el ¶angulo µ que forma la l¶³nea que une la Tierra al Sol en la po-sici¶on dada, medido a partir de la popo-sici¶on corres-pondiente al equinoccio de primavera en el hemisfe-rio Norte (aproximadamente el 21 de marzo); en es-te caso µ = 0±. As¶³ µ = 90± en el solsticio de
vera-no, µ = 180± en el equinoccio de oto~no y µ = 270±
en el solsticio de invierno. En la Figura 1 dichas po-siciones est¶an marcadas con las letras P, V, O e I.
F ig ura 1 .
Si d es el n¶umero de d¶³as transcurridos a partir del ¶
ultimo equinoccio de primavera en el hemisferio nor-te, µ puede obtenerse en grados por la f¶ormula
µ = 360 d 365:25:
Denotemos por ¸ la latitud a la que se encuentra nuestro punto de observaci¶on (PO) en la super¯cie terrestre. En vez de considerar latitud Norte y lati-tud Sur, se medir¶a ¸ como positivo o negativo, res-pectivamente. Se llegar¶a entonces a una f¶ormula donde se obtenga, en t¶erminos de los ¶angulos µ y ¸,
el ¶angulo ±1, medido desde nuestro punto de
observa-ci¶on, sobre el plano del horizonte, a partir de la di-recci¶on Este (en cuyo caso ±1 = 0±), hacia la
di-recci¶on de salida del Sol. Se demostrar¶a que dicho ¶angulo es igual al ¶angulo ±2medido a partir de la
di-recci¶on Oeste (±2= 0±) hacia la direcci¶on de la
pues-ta del Sol.
Es sabido que el eje de rotaci¶on de la Tierra tie-ne una posici¶on (que podemos considerar ¯ja para efectos pr¶acticos) que forma un ¶angulo de 23.5± res-pecto a una l¶³nea perpendicular al plano de la ¶orbita terrestre (ecl¶³ptica). Este es el hecho que implica que los rayos solares no lleguen de la misma mane-ra a un punto determinado sobre la super¯cie terres-tre en distintas fechas del a~no.
En vez de considerar un sistema de referencia co-mo el de la Figura 3, donde la Tierra se mueve alre-dedor del Sol y el eje de rotaci¶on est¶a ¯jo, se conside-rar¶a un sistema tridimensional de coordenadas car-tesianas, cuyo origen est¶a situado en el centro de la Tierra. Los ejes x; y; z se nombran de la manera con-vencional. El Sol est¶a ¯jo en un punto lejano sobre la parte positiva del eje y, de tal forma que los rayos so-lares son siempre paralelos al plano xy, el cual sentar¶a el plano de la ecl¶³ptica. El plano xz repre-sentar¶a la divisi¶on entre el d¶³a y la noche sobre la su-per¯cie terrestre. Ya que la rotaci¶on terrestre se rea-liza de Oeste a Este, en los puntos de la Tierra que se encuentren sobre el plano xz estar¶a en ese mo-mento amaneciendo o atardeciendo, seg¶un su coor-denada x sea positiva o negativa, respectivamente. El movimiento circular de la ¶orbita terrestre est¶a re-presentado en el nuevo sistema de referencia por un movimiento circular del eje de rotaci¶on terrestre alre-dedor del eje x, de tal forma que el ¶angulo entre am-bos ejes es el ¶angulo ¯jo Á0. El ¶angulo µ es
justamen-te el ¶angulo que forma la proyecci¶on del eje de rota-ci¶on sobre el plano xy, medido a partir del eje x, con la direcci¶on positiva convencional (de hecho, para co-rresponder a esta convenci¶on se consider¶o µ en el sen-tido negativo en la Figura 1). En la Figura 5 se mues-tran las cuatro posiciones en el nuevo sistema de re-ferencia que corresponden a los dos equinoccios y a los dos solsticios. Obs¶ervese c¶omo el eje de rota-17
18 ContactoS 32, 17{25 (1999)
F ig ura 2 .
Figura 3.
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ci¶on se encuentra sobre el plano xz en los equinoc-cios y sobre el plano yz en los solstiequinoc-cios.
El ¶angulo ±1que buscamos es el ¶angulo entre el
vec-tor unitario j = h0; 1; 0i (que apunta en la direc-ci¶on del Sol) y un vector e1 que apunta en la
di-recci¶on Este a partir del punto de observaci¶on en el amanecer (P1 en la Figura 4), sobre el plano del
ho-rizonte, es decir, sobre el plano tangente a la es-fera terrestre en el punto P1. Para encontrar
di-cho ¶angulo ±1 necesitamos las coordenadas del
vec-tor e1, el cual se encuentra tanto sobre el plano PP
que atraviesa la Tierra en el paralelo correspondien-te a la latitud ¸, como sobre el plano del Horizon-te P H. As¶³pues, el vector e1ser¶a ortogonal a un
vec-tor normal al plano P P (es decir, un vecvec-tor parale-lo al eje de rotaci¶on) y tambi¶en ser¶a ortogonal a un vector normal al plano P H. Por lo tanto e1
pue-de obtenerse como el producto cruz pue-de ambos vec-tores normales. Dichos vecvec-tores pueden ser aque-llos cuyas coordenadas son los puntos PN (el Po-lo Norte) y P1 (el punto de observaci¶on al
amane-cer), respectivamente. A estos vectores les llamare-mos pn y p1.
Las coordenadas esf¶ericas del Polo Norte son (1; Á0; ±) en una fecha correspondiente al ¶angulo
µ. Sus coordenadas cartesianas, que pue-den obtenerse mediante las f¶ormulas de con-versi¶on a partir de las coordenadas esf¶ericas, son (sin µ0cos µ; sin ¼0sin µ; cos ¼0), a las que
lla-maremos simplemente (a, b, c). Podemos en-contrar la ecuaci¶on de un plano en el espa-cio a partir de un vector normal a dicho pla-no y de un punto sobre el plapla-no. Como el vec-tor es normal al plano PP, s¶olo necesitamos un pun-to sobre este plano para encontrar su ecua-ci¶on. Un punto con esta caracter¶³stica es el cen-tro del c¶³rculo paralelo correspondiente a la la-titud ¸, nombrado C en la Figura 6. Esta ¯gu-ra muest¯gu-ra la secci¶on t¯gu-ransversal de la esfe¯gu-ra te-rrestre sobre el plano que contiene al eje de rota-ci¶on y al eje z.
El punto C tiene coordenadas esf¶ericas (sin ¸; ¼0; µ).
Por lo tanto, sus coordenadas cartesianas son (sin ¸¼0cosµ; sin ¸ sin ¼0sin µ; sin ¸ cos ¼0), es
de-cir, (a sin ¸; b sin ¸; c sin ¸). La ecuaci¶on del pla-no PP resulta entonces:
ax + by + cz = sin ¸:
Cuando consideramos la intersecci¶on entre el pla-no PP, el plapla-no xz y la esfera terrestre, se obtie-nen en general dos puntos. Uno de ellos es el pun-to P (el punto de observaci¶on al amanecer), y el otro
es el punto P2 (que puede considerarse como el
mis-mo punto de observaci¶on al atardecer). Las coor-denadas de ambos puntos pueden obtenerse como las soluciones del sistema de tres ecuaciones con tres inc¶ognitas: 8 < : ax + by + cz = sin ¸ y = 0 x2+ y2+ z2 = 1
que se reduce al sistema de dos ecuaciones con dos inc¶ognitas:
½
ax + cz = sin ¸ x2+ z2 = 1 (¤)
Las dos soluciones obtenidas son:
x = a sin ¸§ c p a2+ c2¡ sin2¸ a2+ c2 z = c sin ¸¨ a p a2+ c2¡ sin2¸ a2+ c2
Ya que seg¶un nuestro sistema de referencia el punto P1 tiene una coordenada x mayor que el punto P2,
las coordenadas de ambos puntos son P1(®1; 0; °1) y
P2(®2; 0; °2), donde : ®1= a sin ¸ + c p a2+ c2¡ sin2¸ a2+ c2 °1= c sin ¸¡ a p a2+ c2¡ sin2¸ a2+ c2 ®2= a sin ¸¡ cpa2+ c2¡ sin2¸ a2+ c2 °2= c sin ¸ + apa2+ c2¡ sin2¸ a2+ c2
Efectivamente resulta que ®1 ¸ ®2, puesto que
c = cos ¼0> 0. Obs¶ervese que el sistema (*) no
tie-ne soluci¶on si y s¶olo si a2+ c2 < sin2¸. Esta
si-tuaci¶on corresponde a los puntos sobre la Tierra, muy cercanos a los polos, donde en una fecha de-terminada siempre es de d¶³a o de noche (as¶³ que en dichos puntos no tiene sentido preguntarse por d¶onde amanece o atardece). Cuando se da la igual-dad a2+ c2 = sin2¸, el sistema (*) tiene soluci¶on
¶ unica:
Figura 6.
® = sin ¸a ¸ = sin ¸c
En este caso, el punto P(®; 0; °) representar¶³a un lu-gar sobre la Tierra donde en una determinada fe-cha el Sol apenas toca el horizonte, para seguir sien-do de d¶³a, o de noche.
Si analizamos m¶as detenidamente la desigualdad a2+ c2· sin2¸, descubrimos que en realidad se
ne-cesita estar muy cerca de los polos para observar es-tas situaciones tan extra~nas para la mayor¶³a de los habitantes del planeta. De hecho:
a2+ c2· sin2¸, sin2Á
0cos2µ + cos2Á0· sin2¸,
cos2µ ¸ sin 2¸ ¡ cos2Á 0 sin2Á0
Esto s¶olo puede tener sentido cuando sin2¸ ¸ cos2Á
0, es decir, cuando j ¸ j¸ 66:5±. Por lo
tan-to, en la mayor parte del planeta, para latitudes me-nores de 66.5± se tienen dos soluciones para el
siste-ma (*).
Como hab¶³amos dicho anteriormente, el vector e1 es el vector tangente al c¶³rculo del paralelo sobre el plano PP en el punto P1, y representa la direcci¶on
Este desde P1. Este vector puede obtenerse como el
siguiente producto cruz: e1 = pn£ p1 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ i j k a b c ®1 0 °1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = hb°1; ®1c¡ a°1;¡®1bi
Por lo tanto, el ¶angulo ±1 que buscamos, entre los
vectores e1 y j, es tal que:
cos ±1 = e1¢ j ke1k = ®1c¡ a°1 q b2+ (®1c¡ a°1)2 = r a2+ c2 ¡ sin2¸ 1¡ sin2¸
La primera igualdad es la f¶ormula del ¶angulo entre dos vectores utilizando el producto punto de ellos. La segunda igualdad se obtiene considerando que alpha12+ °12 = 1 se obtiene sustituyendo los
va-lores obtenidos de ®1 y de °1, y simpli¯cando la
ex-presi¶on.
Ahora consideremos el vector e2, tangente al c¶³rculo
del paralelo sobre el plano PP en el punto P2, y
que representa la direcci¶on Este desde el punto P2
(por lo tanto el vector¡e2representar¶³a la direcci¶on
Oeste desde P2). Dicho vector se obtiene mediante
el producto cruz: e2 = pn£ pi = ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ i j k a b c ®2 0 °2 ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = hb°2; ®2c¡ a°2;¡®2bi
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El ¶angulo ±2, entre los vectores¡e2 y j es tal que:
cos ±2 = ¡e2¢ j ke2k = q ¡®2c + a°2 b2+ (®2c¡ a°2)2 = r a2+ c2 ¡ sin2¸ 1¡ sin2¸
Esto signi¯ca que ±1= ±2. A dicho ¶angulo le
llamare-mos simplemente ± (ver Figura 2). Sustituyendo los valores de a y c, obtenemos la siguiente f¶ormula pa-ra ±: ± = arccos r a2+ c2¡ sin2¸ 1¡ sin2¸ = arccos r sin2¼
0cos2µ + cos2¼0¡ sin2¸
1¡ sin2¸
Recordemos que esta f¶ormula s¶olo tiene sentido pa-ra latitudes menores o iguales a los 66.5±, debido a
que siempre da valores positivos para ±, al aplicar-la debemos recordar aplicar-las convenciones mostradas en la tabla 1.
En las Tablas 2 y 3 se ha calculado el ¶angulo ± me-diante la f¶ormula obtenida, para diversos valores de µ correspondientes a diversas ¶epocas del a~no, y pa-ra diversas latitudes, en intervalos de 10±.
En Gr¶a¯cas 1 se observa una gr¶a¯ca por cada lati-tud ¸ especi¯cada en las tablas anteriores. Las Ta-blas 4 y 5 muestran la misma informaci¶on que las tablas anteriores para algunas ciudades importan-tes del mundo que se encuentran en diversas latitu-des. En Gr¶a¯cas 2 se observa una gr¶a¯ca por ca-da una de las ciuca-dades consideraca-das. En ambos gru-pos de gr¶a¯cas cada curva representa el ¶angulo delta como funci¶on de la ¶epoca del a~no, dada por theta. Se considera delta como positivo si se mide en direc-ci¶on Noreste, y negativo si se mide en direcdirec-ci¶on Su-reste.
Bibliograf¶³a
1. Thomas, George B., y Finney, Ross L., Calculus and Analytic Geometry. 8± Edici¶on,
Addison-Wesley, USA, 1992.
2. Goth, George, The Magnitudes of Phy-sics, The Physics Teacher. December 1996 American Association of Physics Tea-chers, USA.
http://giseis.alaska.edu/Seis/Input/ lahr/magphys.html#top
3. Look-Up Latitude and Longitude
http://www.bcca.org/misc/qiblih/latlong.html
Tabla 1. Convenciones para la medici¶on de ±.
Epoca del a~no (hemisferio Norte) Direcci¶on de salida del sol Direcci¶on de puesta del sol Del equinoccio de primavera
al equinoccio de oto~no: ± se mide hacia el Sureste ±se mide hacia el Suroeste (0±< µ < 180±)
Del equinoccio de oto~no
al equinoccio de primavera: ± se mide hacia el Noreste ± se mide hacia el Noroeste (180±< µ < 360±)
Tabla 2. Direcciones de salida del sol para diversas latitudes en diversas ¶epocas del a~no (del equinoccio de primavera al equinoccio de oto~no).
µ= 0± 30± 45± 60± 90± 120± 135± 150± 180±
Latitud Direcci¶on sureste
0± 0± 11.5± 16.3± 20.2± 23.5± 20.2± 16.3± 11.5± 0± 10± 0± 11.7± 16.6± 20.5± 23.8± 20.5± 16.6± 11.7± 0± 20± 0± 12.2± 17.4± 21.5± 25.1± 21.5± 17.4± 12.2± 0± 30± 0± 13.3± 19.0± 23.5± 27.4± 23.5± 19.0± 13.3± 0± 40± 0± 15.0± 21.5± 16.7± 31.3± 16.7± 21.5± 15.0± 0± 50± 0± 18.0± 26.0± 32.4± 38.3± 32.4± 26.0± 18.0± 0± 60± 0± 23.5± 34.3± 43.6± 52.7± 43.6± 34.3± 23.5± 0±
Tabla 3. Direcciones de salida del sol para diversas latitudes en diversas ¶epocas del a~no (del equinoccio de oto~no al equinoccio de primavera).
µ= 180± 210± 225± 240± 270± 300± 315± 330± 360±
Latitud Direcci¶on Noreste
0± 0± 11.5± 16.3± 20.2± 23.5± 20.2± 16.3± 11.5± 0± 10± 0± 11.7± 16.6± 20.5± 23.8± 20.5± 16.6± 11.7± 0± 20± 0± 12.2± 17.4± 21.5± 25.1± 21.5± 17.4± 12.2± 0± 30± 0± 13.3± 19.0± 23.5± 27.4± 23.5± 19.0± 13.3± 0± 40± 0± 15.0± 21.5± 16.7± 31.3± 16.7± 21.5± 15.0± 0± 50± 0± 18.0± 26.0± 32.4± 38.3± 32.4± 26.0± 18.0± 0± 60± 0± 23.5± 34.3± 43.6± 52.7± 43.6± 34.3± 23.5± 0±
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Gr¶a¯cas 1. ± como funci¶on de µ, para diversos valores espec¶³¯cos de ±.
Tabla 4. Direcciones de salida del sol para diversas ciudades del mundo en diversas ¶epocas del a~no (del equinoccio de primavera al equinoccio de oto~no).
0± 30± 45± 60± 90± 120± 135± 150± 180±
Ciudad Direcci¶on Sureste
Bogot¶a (4.6±N) 0± 11.5± 16.4± 20.2± 23.5± 20.2± 16.4± 11.5± 0± Helsinki (60.2±N) 0± 23.6± 34.5± 43.9± 53.2± 43.9± 34.5± 23.6± 0± M¶exico (19.4±N) 0± 12.2± 17.4± 21.4± 25.0± 21.4± 17.4± 12.2± 0± N. York (40.8±N) 0± 15.2± 21.8± 27.1± 31.7± 27.1± 21.8± 15.2± 0± Par¶³s (48.8±N) 0± 17.6± 25.3± 31.6± 37.2± 31.6± 25.3± 17.6± 0± Punta Arenas (53.2±S) 0± 19.4± 28.0± 35.1± 41.6± 35.1± 21.0± 19.4± 0± Sidney (33.9±S) 0± 13.9± 19.8± 24.5± 28.7± 24.5± 19.8± 13.9± 0± Tokio (35.7±N) 0± 14.2± 20.3± 25.1± 29.3± 25.1± 20.3± 14.2± 0±
Tabla 5. Direcciones de salida del sol para diversas ciudades del mundo en diversas ¶epocas del a~no (del equinoccio de oto~no al equinoccio de primavera).
180± 210± 225± 240± 270± 300± 315± 330± 360±
Ciudad Direcci¶on Noroeste
Bogot¶a (4.6±N) 0± 11.5± 16.4± 20.2± 23.5± 20.2± 16.4± 11.5± 0± Helsinki (60.2±N) 0± 23.6± 34.5± 43.9± 53.2± 43.9± 34.5± 23.6± 0± M¶exico (19.4±N) 0± 12.2± 17.4± 21.4± 25.0± 21.4± 17.4± 12.2± 0± N. York (40.8±N) 0± 15.2± 21.8± 27.1± 31.7± 27.1± 21.8± 15.2± 0± Par¶³s (48.8±N) 0± 17.6± 25.3± 31.6± 37.2± 31.6± 25.3± 17.6± 0± Punta Arenas (53.2±S) 0± 19.4± 28.0± 35.1± 41.6± 35.1± 21.0± 19.4± 0± Sidney (33.9±S) 0± 13.9± 19.8± 24.5± 28.7± 24.5± 19.8± 13.9± 0± Tokio (35.7±N) 0± 14.2± 20.3± 25.1± 29.3± 25.1± 20.3± 14.2± 0±
