Modelo sólido hu washizu para sólidos de concreto reforzado

Texto completo

(1)

(2) INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY CAMPUS MONTERREY DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA. MODELO. SOLIDO. TIPO. HU-WASHIZU. CONCRETO. PARA. SOLIDOS. DE. REFORZADO. TESIS PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE: MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA Y ADMINISTRACIÓN DE LA CONSTRUCCIÓN EN EL ÁREA DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL POR: MELVIN ANTONIO SANTOS VELASQUEZ. MONTERREY, NUEVO LEÓN. MAYO 2011.

(3) INSTITUTO T E C N O L Ó G I C O Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE M O N T E R R E Y C A M P U S MONTERREY DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y A R Q U I T E C T U R A P R O G R A M A DE G R A D U A D O S DE INGENIERÍA. MODELO SOLIDO TIPO HU-WASHIZU PARA SOLIDOS DE CONCRETO REFORZADO TESIS. PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE: M A E S T R O EN CIENCIAS C O N ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA Y A D M I N I S T R A C I Ó N DE LA C O N S T R U C C I Ó N EN EL Á R E A DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL POR: MELVIN A N T O N I O S A N T O S V E L A S Q U E Z. MONTERREY, N. L.. MAYO 2011.

(4) INSTITUTO T E C N O L Ó G I C O Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE M O N T E R R E Y CAMPUS MONTERREY DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y A R Q U I T E C T U R A P R O G R A M A DE G R A D U A D O S DE INGENIERÍA. Los miembros del comité de tesis recomendamos que el presente proyecto de tesis presentado por MELVIN ANTONIO SANTOS VELASQUEZ sea aceptado como requisito parcial para obtener el grado académico de: MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA Y ADMINISTRACIÓN DE LA CONSTRUCCIÓN EN EL ÁREA DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL Comité de tesis:. Asesor. Raymundo Cordero Cuevas, Ph.D.. Carlos Reyes Salinas, Ph.D.. Sinodal. Sinodal Aprobado:. Sergio Gallegos Cazares, Ph.D. Director de la Maestría en Ingeniería y Administración de la Construcción Escuela de Ingeniería.

(5) DEDICATORIA. A Dios. A mi Madre. A mi Padre. A mis Hermanos. A toda mi familia. A al Dr. Sergio Gallegos por creer en mí, por su apoyo. Y a todos aquellas personas a las cuales llamo amigos y amigas que siempre me apoyaron en todo m o m e n t o para lograr mis metas y sueños, en especial aquellos amigos que hice en México, por que más que amigos encontré familia en ellos.. A todos ellos ¡Mil Gracias!.

(6) ÍNDICE CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN.. 5. 1.1. General. 5. 1.2. Antecedentes. 7. 1.3. Objetivos. 10. 1.4. Alcances.. 11. CAPÍTULO 2. MODELO DEL MATERIAL. 12. 2.1. General. 12. 2.2. Modelo del concreto. 14. 2.2.1. Comportamiento del concreto. 14. 2.2.2. Modelo de Daño. 15. 2.2.2.1.. Esfuerzo efectivo e hipótesis de la equivalencia de la deformación. 16. 2.2.2.2.. Base termodinámica. 18. 2.2.2.3.. Deformación equivalente. 20. 2.2.2.4.. Criterio de daño. 21. 2.2.2.4.1.. Forma directa. 21. 2.2.2.4.2.. Forma funcional. 22. 2.2.3. Evolución de las variables internas de daño. 23. 2.2.4. Ecuación de consistencia. 24. 2.2.5. Integración de la ecuación constitutiva. 26. 2.2.6. Operador constitutivo tangente. 28. 2.2.7. Caracterización del modelo. 30. 2.2.8. Umbral de daño. 31. 2.2.9. Función de acumulación de daño. 31. 2.2.10. Definición del esfuerzo equivalente (T). 33. 2.3. MODELO DEL ACERO DE REFUERZO. 34. 2.3.1. Comportamiento del acero de refuerzo. 34. 2.3.2. Barras elastoplásticas. Algoritmo de solución. 35. CAPÍTULO 3. MODELO DE ELEMENTOS FINITOS.. 39. 3.1. Elementos con deformación mejorada (Enhanced Assumed Strain). 39. 3.2. Formulación. 40. 3.2.1. Planteamiento del problema variacional 3.3. Discretización de las ecuaciones variacionales 3.3.1. Aproximación del campo de deformaciones compatibles. Página i. 40 43 43.

(7) 3.4. Aproximación del campo de deformaciones mejorado (Enhanced Assumed Strain). 43. 3.5. Metodología de resolución de las ecuaciones de elementos finitos. 44. CAPÍTULO 4. MODELO NOLINEAL DE SOLUCIÓN: NEWTON-RAHPSON.. 47. 4.1. Modelos conceptuales.. 47. 4.2. Análisis estático no lineal. 49. 4.2.1. Material no lineal. 49. 4.2.2. Forma Fuerte del Problema de Valores de Frontera. 49. 4.2.3. Principio Variacional Gobernante. 50. 4.2.4. Discretización. 50. 4.2.5. Solución De Las Ecuaciones De Equilibrio. 52. CAPÍTULO 5. IMPLEMENTACION EN XPLORE. 59. 5.1.1. General. 59. 5.1.2. Integración con al Gid-Xplore.. 63. CAPÍTULO 6. MODULO Y VALIDACIONES.. 68. 6.1. General. 68. 6.2. Validaciones.. 68. 6.2.1. Validación de elementos barra. 68. 6.2.1.1.. Barras con comportamiento elastoplástico (Owen & Hinton, 1980). 68. 6.2.1Í2.. Barras Acero. Comparativo entre modelo FEM y prueba de tensión en laboratorio.. 71. 6.2.1.3.. Elemento Barra Compuesto.. 73. 6.2.2. Validación de la viga con modelo de material con daño. 75. 6.2.2.1.. Viga reforzada L-6 (Feldeman & Siess, 1955). 75. 6.2.2.1.1.. Condiciones de Modelado.. 76. 6.2.2.1.2.. Resultados. 78. CAPÍTULO 7. CONCLUSIONES.. 83. CAPÍTULO 8. RECOMENDACIONES. 85. CAPÍTULO 9. REFERENCIAS. 87. Página ii.

(8) T A B L A D E FIGURAS Figura 2-1: Respuesta típica Carga-Desplazamiento. de vigas de CR. 12. Figura 2-2. a) Material dañado sujeto al esfuerzo a, (b) Material sin daño sujeto al esfuerzo efectivo a. 17. Figura 2-3. Relación unidimensional. mostrando. la degradación de la resistencia por el daño que. se acumula Figura 2-4. Deformación. 20 equivalente en el espacio de deformaciones. principales. Figura 2-5. Criterios de Daño. 21 21. Figura 2-6. Función monotónica. creciente G. 22. Figura 2-7. Condiciones de carga, carga neutral o descarga para un punto que se encuentra en la superficie de falla. 25. Figura 2-8. Modelo exponencial de daño. 32. Figura 2-9. Modelo con daño diferente en tensión y compresión. 33. Figura 2-10. Relación Esfuerzo-Deformación. 34. del Acero. Figura 4-1. Modelo General de un Cuerpo mecánico sólido. 48. Figura 5-1. Proceso de solución de Gid-Xplore. 60. Figura 5-2. Menú "Problem Type". 60. Figura 5-3. Archivo de configuración. de GID. 61. Figura 5-4. Archivo de materiales Gid-Xplore. 63. Figura 5-5. Ejemplo de archivo de material. 64. Figura 5-6. Método de solución en archivo de material. 64. Figura 5-7. Archivo tipo de problema y/o solución. 65. Figura 5-8. Menú Problem Data. 66. Figura 5-9. Archivo de entrada de datos Gid-Xplore, sección de materiales. 66. Figura 5-10. Módulo de ejecución definido en el archivo de entrada. 67. Figura 6-1. Barras Elastoplásticas. 69. Figura 6-2. Comportamiento. Elastoplástico:. Comparativos entre Modelo FEM y (Owen & Hinton,. 1980). 69. Figura 6-3. Barra Elastoplástica sometida a ciclo de carga-descarga:. Modelo FEM. 71. Figura 6-4. Barra de Acero: Prueba de Laboratorio. 72. Figura 6-5. Comparativa. 72. Modelo FEM y Prueba de Laboratorio. Figura 6-6. Propiedades de Elemento Barra Compuesto. 73. Figura 6-7. Elemento barra compuesto. Utilizando elementos 3D hexaedros. 74. Figura 6-8. Elemento Barra Compuesto. 75. Figura 6-9. Viga L-6. 76. Figura 6-10. Sección transversal viga L-6. 76. Figura 6-11. Sección de Viga para Análisis. 77. Figura 6-12. Isométrico: Sección media viga. 77. Figura 6-13. Acero de Refuerzo. 77. Figura 6-14. Tabla de Carga Viga L6. 78. Figura 6-15. Patrones de daño iniciales según incrementos de carga en Figura 614. 79. Figura 6-16. Patrones de daños últimos según incrementos de carga en Figura 614. 80. Página iii.

(9) Figura 6-17. Estado de daño ultimo. 81. Figura 6-18. Carga vrs Deflexión del Claro Medio. 81. Figura 6-19. Comparativo. 82. de la respuesta asignando el daño máximo permitido en el concreto. TABLAS Tabla 2-1. Modelo constitutivo de elasto-daño. 19. Tabla 2-2. Problema de valores iniciales que define el modelo constitutivo de elasto-daño. 26. Tabla 2-3. Algoritmo para evaluación del esfuerzo y del módulo tangente. 30. Tabla 2-4. Algoritmo Elementos Barra y Retorno Rigidez Tangente. 38. Tabla 4-1. Forma fuerte del problema. de valores de frontera estática para. deformaciones. infinitesimales. 49. Tabla 4-2. Forma débil del problema para deformaciones Tabla 4-3. Método de Newton-Raphson (Deformaciones. infinitesimales. infinitesimales). Tabla 4-4. Diagrama. al tiempo t. n+1. 50. para solución de sistemas de ecuaciones no lineales 56. de flujo de proceso para Newton-Raphson. Página iv. 58.

(10) C A P I T U L O 1. I N T R O D U C C I Ó N .. 1.1. General El Concreto Reforzado (CR) se ha convertido en uno de los materiales de construcción más importante y es ampliamente utilizado en muchos tipos de estructuras de ingeniería. La economía, la eficiencia, la fuerza y la rigidez del concreto reforzado, lo convierten en un material atractivo para una amplia gama de aplicaciones estructurales. Para su uso como material estructural, el concreto deberá cumplir las siguientes condiciones: (1). '. La estructura debe ser resistente. La correcta aplicación de los principios fundamentales de análisis, deben dar lugar a un margen de seguridad suficiente contra el colapso.. (2). La estructura debe comportarse adecuadamente. Se debe tener cuidado de controlar el desplazamiento en las cargas de servicio y de limitar el ancho de fisura a un nivel aceptable.. (3). La estructura debe ser económica. Los materiales deben ser utilizados de manera eficiente, ya que la diferencia en el costo unitario entre el concreto y el acero es relativamente grande. El objetivo último del diseño es la creación de una estructura segura y económica.. Las herramientas avanzadas de análisis puede ser una ayuda indispensable en la evaluación de la seguridad y la comodidad de un diseño propuesto. Esto es, sobre todo, una realidad para muchas estructuras modernas complejas, como las centrales nucleares, puentes, plataformas off-shore de petróleo y gas y los túneles bajo tierra o bajo el agua, que están sometidas a historias de carga complejas. La evaluación de la seguridad y facilidad de mantenimiento de estas estructuras hace necesario el desarrollo de métodos precisos y fiables para su análisis. Además, el. p¿gi. na. 5.

(11) aumento en el costo de las estructuras anima a los ingenieros a buscar alternativas económicas para los diseños de estas estructuras, a menudo recurriendo a métodos innovadores de construcción. íntimamente relacionado con el aumento de la escala de las estructuras modernas es el alcance y el impacto de los desastres en términos de pérdidas humanas y económicas en el caso de un fallo estructural. Como resultado, el análisis estructural de seguridad de una manera cuidadosa y detallada cada vez es más necesario. El objetivo de esta tesis es desarrollar un modelo tridimensional que permita modelar estructuras de concreto reforzado. Las estructuras de concreto reforzado suelen ser diseñadas para satisfacer los criterios de mantenimiento y seguridad. Con el fin de garantizar estos puntos es necesario predecir la fisuración y las Deflexiones de las estructuras de CR bajo cargas de servicio. A fin de evaluar el margen de seguridad de las estructuras CR, contra la falta de una estimación precisa de la carga de rotura,. es esencial. la predicción del. comportamiento de carga-deformación de la estructura en todo el rango de respuesta elástica e inelástica. El desarrollo de modelos de análisis de la respuesta de las estructuras de CR es complicada por los siguientes factores: (1). El Concreto Reforzado es un material compuesto formado por concreto y acero, dos materiales con comportamiento. físico y mecánico muy. diferente. (2). El concreto presenta un comportamiento no lineal, incluso en el más bajo nivel de carga debido al comportamiento del material no lineal, efectos ambientales, agrietamiento, endurecimiento biaxial.. (3). El refuerzo de acero y concreto interactúan de manera compleja a través de juntas de deslizamiento y el bloqueo total.. Estos fenómenos complejos han llevado a los ingenieros en el pasado a depender en gran medida de fórmulas empíricas para el diseño de estructuras de concreto, que se derivaron de numerosos experimentos.. Pág/na 6.

(12) Con el advenimiento de las computadoras digitales y potentes métodos de análisis, tales como el método de elementos finitos se evitarán y/o reducirán en gran medida la necesidad de realizar experimentos en laboratorio. El método de elementos finitos se ha convertido en una poderosa herramienta computacional, que permite realizar análisis complejos de la respuesta no lineal de estructuras de CR que se llevarán a cabo de forma rutinaria. Con este método la importancia y la interacción de los diferentes efectos no lineales en la respuesta de las estructuras de CR pueden ser estudiadas analíticamente. El presente estudio forma parte de este esfuerzo continuo y se refiere al análisis de elementos sólidos de concreto reforzado, cuyo punto focal es el estudio de daño producido por el agrietamiento de estos elementos.. 1.2. Antecedentes La primera publicación sobre la aplicación del método de elementos finitos para el análisis de las estructuras de CR fue presentado por (Ngo & Scordelis, 1967). En su estudio, se analizaron simples vigas en 2D con un modelo en el que estuvieron representados concreto y acero de refuerzo mediante elementos triangulares en tensión constante, y un elemento de unión o vínculo especial que se utilizaba para conectar el acero con el concreto para describir el efecto de adherencia. Un análisis elástico lineal se realizó en las vigas con patrones predefinidos de fisura para determinar los esfuerzos principales en el concreto, destaca el refuerzo de acero y hace hincapié en los puntos de adherencia o "bonds". Desde la publicación de este trabajo pionero, el análisis de estructuras de concreto reforzado ha disfrutado de un creciente interés y muchas publicaciones han aparecido. Un avance importante fue hecho por (Rashid, 1968) quien introdujo el concepto de una "grieta distribuida", en el estudio de la respuesta de simetría axial de estructuras pretensadas de concreto. Rashid tuvo en cuenta el agrietamiento y los efectos de la historia de carga en sus análisis. Hoy en día este enfoque comportamiento. de agrietamiento. del concreto. Página 7. para modelar el. se ha utilizado. por. muchos.

(13) investigadores en el análisis no lineal de estructuras de CR, ya que su implementación en un programa de análisis de elementos finitos, es más sencilla que la del modelo de falla discreta. Al mismo tiempo, el esfuerzo conjunto de muchos investigadores en los últimos 20 años ha eliminado muchas de las limitaciones del modelo planteado por (Rashid, 1968) (Structures ASCE, 1982), (Meyer & Okamura, 1985). Hoy día la tendencia para modelar el comportamiento concreto es usar modelos de daño como modelos de daño direccionado, modelo elastoplástico con daño continuo, isotrópico escalar. Muy poco trabajo se ha hecho, hasta ahora, sobre el comportamiento en tres dimensiones de los sistemas de concreto reforzado mediante la modelación por método de elementos finitos con elementos sólidos, y esto debido al esfuerzo computacional involucrado y la falta de conocimiento del comportamiento del material de concreto en tres dimensiones. (Suidan & Schnobrich, 1973), fueron los primeros en estudiar el comportamiento de las vigas con 20 nodos tridimensionales de elementos finitos isoperamétricos.. El comportamiento. del. concreto. en. compresión. se asumió. elastoplástico basado en el criterio de plastificación de Von Mises. Una malla gruesa de elementos finitos fue utilizada en estos análisis por razones de coste. Un fundamento importante en el empleo de modelos elastoplástico con daño continuo fue propuesto por (Simo & Ju, 1987), que emplearon fundamentos de termodinámica para definir su teoría. Plantean su teoría desde dos puntos de vista, el primero planteando las variables internas de estado dependientes de una formulación por deformaciones del material, desarrollando la hipótesis de las deformaciones equivalentes. Y la segunda, una formulación basada en los esfuerzos, utilizando como complementario la norma del tensor de esfuerzos. Basado en un análisis numérico de presas de concreto sometidas a excitaciones sísmicas (Cervera, Oliver, & Manzoli, 1996) presentan en forma independiente la incorporación de dos variables de daño internas que caracterizan la tracción y compresión por separado.. p¿gi. na. 8.

(14) Un modelo constitutivo para la simulación del comportamiento sísmico de columnas de sección hueca, validado por los resultados experimentales obtenidos en el modelo reducido, se presenta por (Faria, Pouca, & Delgado, 2000). Con este fin, el concreto se discretiza en elementos finitos en estado de tensión plana, cuyo comportamiento fue simulado mediante un modelo de daño continuo con dos variables escalares de daño, una para representar el daño por tensión y la otra por compresión. El refuerzo se discretiza en elementos lineales en las que el comportamiento cíclico del acero es simulados por el modelo (Giannini, Giuffre, & Menegotto, 1985). Así mismo (Armero & Oller, 2000) plantean un marco coherente de diferentes formulaciones constitutivas de daño en espacios planos de deformaciones, cuya característica principal de estas formulaciones propuestas es el resultado directo e independiente de la consideración de los mecanismos de daño (daño isótropo, grietas, etc.) así como la degradación de la rigidez del material, lo que permite una completa caracterización física de estos efectos. La derivación de un modelo de daño isotrópico sencillo para simular la falla del concreto bajo diferentes condiciones de esfuerzos y deformaciones, con especial atención en la fractura y deformación bajo condiciones de tensión fue presentada por (Oliver, M., Oller, & Lubliner, 1990). Es un modelo simple basado en la definición de un parámetro escalar que afecta y reduce la rigidez del elemento a medida que se aumentan los esfuerzos es muy sencillo pero captura el efecto del agrietamiento de una manera muy efectiva. La determinación de un daño global en la simulación de elementos sólidos fue planteado por (Oñate, Hanganu, & Barbat, 2001) a través de un procedimiento numérico para la predicción de daños locales y globales en estructuras de ingeniería civil con el método de elementos finitos y un modelo con daño continuo. El método es adecuado para el cálculo del límite de carga de concreto reforzado (CR) y en las estructuras para la predicción de los mecanismos de falla.. Página 9.

(15) El desarrollo de modelos más exactos se han planteado como por ejemplo, un procedimiento numérico para predecir el daño global en la estructura aporticada utilizando un análisis matricial es definido por (Faleiro, Oller, & Barbat, 2008). Este modelo planteado tiene la característica que es adecuado el cálculo de la carga límite de estructuras de concreto reforzado sometidos a acciones sísmicas. Es la intención de este estudio poder abordar un modelo de daño isotrópico para el concreto, un comportamiento elastoplástico para el acero de refuerzo y utilizar un modelo isoparamétrico de elementos sólidos hexaedros para desarrollar un código que nos permita modelar estructuras tridimensionales de concreto reforzado en donde se podrá evaluar el daño que se produce principalmente por el agrietamiento por la acción de las cargas aplicadas sobre los elementos, tomando como base el modelo isotrópico de (Oliver, M., Oller, & Lubliner, 1990).. 1.3. Objetivos Los principales objetivos de este estudio son: (1). Desarrollar un modelo constitutivo sencillo, que por su simplicidad no comprometa la precisión del mismo. Se seleccionó un modelo de material con daño que es capaz de predecir con bastante exactitud la descripción del agrietamiento en vigas de concreto reforzado.. (2). Investigar el efecto de los materiales y los parámetros numéricos, tales como la resistencia del concreto a la tracción, la deformación plástica que se ve sujeta el acero de refuerzo y su respuesta en elementos de concreto armado.. (3). Investigar la posibilidad de emplear un elemento sólido de 8 nodos para modelar concreto. Se empleará una formulación del tipo Hu-Washizu con campos de deformación mejorada.. Página 10.

(16) 1.4. Alcances. Después de la introducción y una breve reseña de los estudios anteriores en el Capítulo 1, Capítulo 2 se refiere a la descripción del comportamiento del concreto y acero de refuerzo. El comportamiento del concreto y del acero de refuerzo se modelan de forma independiente. El comportamiento del concreto es descrito por un modelo no lineal isotrópico con daño. El Capítulo 3 analiza y detalla la formulación del elementos sólido para la solución por elementos finitos, se emplea la formulación de deformación mejorada y se implementa en un elemento sólido hexaedro de 8 nodos. En el Capítulo 4 se entra en la discusión de los aspectos computacionales de la solución. Es decir el método de solución no lineal de los problemas planteados. Se presentan esquemas de iteración y el procedimieVito de solución resultante no lineal se describe junto con los criterios de convergencia asociada. En el Capítulo 5 se presentan los elementos de validación de los problemas planteados.. Página.

(17) CAPITULO 2. MODELO DEL MATERIAL. 2.1. General Las estructuras de concreto reforzado se componen de dos materiales con diferentes características, a saber, el concreto y el acero. El acero puede ser considerado como un material homogéneo y sus propiedades de material son generalmente bien definidas. El concreto es, en cambio, un material heterogéneo compuesto de cemento, mortero y áridos. Para la comodidad de análisis y diseño, sin embargo, el concreto se considera a menudo un material homogéneo en el sentido macroscópico.. Figura 2-1: Respuesta típica Carga-Desplazamiento de vigas de CR. Las etapas típicas en el comportamiento de carga-deformación de una viga de concreto reforzado simplemente apoyada se ilustra en la Figura 2-1; relaciones similares se obtienen para otros tipos de elementos estructurales de concreto reforzado. Esta. Página 12. __.

(18) respuesta altamente no lineal se pueden dividir en tres rangos de comportamiento: el escenario sin fisuras elásticas, la propagación de la grieta y la etapa plástica (fluencia o aplastamiento). La respuesta no lineal se debe a dos efectos principales, a saber, agrietamiento del concreto en tensión, y el aplastamiento en compresión, además de la cedencia del acero de refuerzo. Las no linealidades también surgen de la interacción de los componentes del concreto reforzado, tales como la interacción y adherencia entre el acero de refuerzo y el concreto, agregados a una acción de agrietamiento. Los efectos dependientes del tiempo. como. la fluencia. plástica y. la contracción. también. contribuyen. al. comportamiento no lineal. I. Por otra parte, la relación esfuerzo-deformación del concreto es no lineal, y diferente en tensión que en la compresión y las propiedades mecánicas dependen de la edad del concreto y las condiciones ambientales, tales como la temperatura ambiente y humedad, etc. El modelo de uso general para simular la respuesta a corto y largo plazo de los miembros de CR y estructuras deberán estar basados en modelos de material separado tanto para el acero de refuerzo y como para el concreto, que luego se combinan con los modelos de interacción entre los dos componentes para describir el comportamiento de los materiales compuestos que forman el concreto reforzado. Este es el enfoque adoptado en este estudio. Las hipótesis en la descripción del comportamiento del material se resumen a continuación: (1). Los modelos de concreto y acero de refuerzo se formulan por separado.. (2). El comportamiento del concreto se modela mediante un modelo de daño isotrópico.. (3). El acero de refuerzo se modela en forma unidimensional con un modelo de elastoplasticidad.. (4). La transferencia de tensiones entre el acero de refuerzo y el concreto, se supone perfecta.. Página 13.

(19) 2.2. Modelo del concreto 2.2.1. Comportamiento del concreto El concreto muestra una gran cantidad de microfracturas, sobre todo, en la interfase entre los agregados gruesos y el mortero, incluso antes de ser sometido a alguna carga. La presencia de estas rnicrofisuras tiene un gran efecto en el comportamiento mecánico del concreto, ya que su propagación durante la carga contribuye al comportamiento no lineal en los niveles bajos de esfuerzo y la expansión de volumen cuando se aproxima a la fractura. Muchas de estas rnicrofisuras son causadas por la segregación, la contracción o la expansión térmica del mortero. Algunas rnicrofisuras pueden desarrollarse durante la carga debido a la diferencia en la rigidez entre los agregados y el cemento. La interfaz de agregado-mortero tiene una resistencia significativamente menor a la tracción de mortero, que constituye el eslabón más débil en el sistema compuesto. Esta es la razón principal de la baja resistencia a la tracción del concreto, a este comportamiento se le conoce como falla por tracción o tensión. El concreto presenta una relación tensión-deformación casi lineal de la respuesta elástica de hasta un 30% de la resistencia a la compresión. Esto es seguido por ablandamiento gradual a la resistencia del concreto a la compresión, cuando la rigidez del material se reduce a cero. Más allá de la resistencia a la compresión del concreto la relación esfuerzo-deformación exhibe un ablandamiento por deformaciones hasta que se produce la falla por aplastamiento o falla por compresión. Con el incremento de cargas se presenta también un incremento en los esfuerzos en las zonas en tensión de los miembros de concreto, con este incremento de esfuerzos la matriz del material empieza a deteriorarse y por tanto a reducir la rigidez total del elemento de concreto, provocando una extensión en las grietas; la intensión de colocar refuerzo embebido en las zonas en tensión, es para que las fuerzas de tensión necesitadas para el equilibrio luego del agrietamiento del concreto, sean desarrolladas en estas barras. Página 14.

(20) 2.2.2. Modelo de Daño La mecánica de daño es una rama de la mecánica del continuo que incorpora cambios a nivel microestructural del material a través de un número de variables internas escalares o tensoriales (Kachanov, 1958). En ese sentido es similar a conceptos de plasticidad donde la influencia de la historia del material en la evolución de las tensiones se incorpora en la teoría del continuo a través de un conjunto de variables. En el modelo de daño elástico más sencillo la descarga sigue una trayectoria secante hasta el origen, donde se llega con un estado libre de tensiones y deformaciones. Es sabido que la microfisuración en el concreto ocurre a niveles de carga bajos, debido a la pérdida de cohesión entre las partículas de mortero y el árido o por I. fisuración del mismo mortero. La fisuración progresa siguiendo caminos no homogéneos que combinan los mecanismos mencionados anteriormente; con el crecimiento y la conexión de las microfisuras en varias direcciones. Experimentos sobre mortero han evidenciado que la distribución de las microfisuras es altamente discontinua con orientaciones arbitrarias. Este hecho está demostrado por muchos experimentos que muestran que la microfisuración puede ser considerada un fenómeno no direccional y que la propagación de las fisuras sigue caminos aleatorios que dependen del tamaño de las partículas del árido. De esta manera, las direcciones de fisuración dominantes pueden interpretarse como el lugar geométrico de las trayectorias de los puntos dañados del material. Los conceptos anteriores apoyan la idea de que el comportamiento no lineal del concreto puede modelarse utilizando la teoría del daño, si se define una función de daño adecuada que tenga en cuenta la diferencia de respuesta de estos materiales en tracción y compresión (Oliver, M., Oller, & Lubliner, 1990). La fisuración se interpreta en este caso como un efecto de daño local, definido por la evolución de parámetros conocidos del material y de una o varias funciones que controlan la aparición y evolución del daño. Una de las ventajas de un modelo de este tipo es la independencia del análisis de las direcciones de fisuración que pueden identificarse "a posteriori" una vez se haya. Página 15.

(21) obtenido la solución no lineal. El modelo de daño puede tener en cuenta todos los aspectos importantes que deben considerarse en un análisis no lineal de estructuras de concreto, tal como la diferencia de comportamiento en tracción y compresión, el efecto de la degradación de la rigidez debido a causas mecánicas y la objetividad de la respuesta con respecto a diferentes mallas de elementos finitos. Al observar el comportamiento real de muchos materiales, es evidente que al aumentar la deformación, las propiedades mecánicas sufren un proceso de degradación debido a la aparición de microgrietas y microhuecos. La mecánica del daño continuo, nos provee de procedimientos para representar este tipo de comportamiento de estos materiales, (Simo & Ju, 1987) muestra un planteamiento general, basado en el marco termodinámico. para el desarrollo de relaciones constitutivas. Este planteamiento. emplea una formulación en el espacio de deformaciones, razón por la cual se le denomina formulación guiada por la deformación. Otros autores plantean modelos de daño direccionados (Luccioni & Oller, 2003), el cual plantea que el agrietamiento en materiales como el concreto está orientado siguiendo la historia de esfuerzos produciendo un deterioro progresivo en la rigidez elástica del material. El planteamiento que se presenta en este capítulo se basa en el artículo de (Oliver, M., Oller, & Lubliner, 1990), que muestra un planteamiento general, basado en un simple modelo isotrópico de daño para simular la falla del concreto bajo diferentes condiciones de esfuerzo o deformación. 2.2.2.1.. Esfuerzo efectivo e hipótesis de la equivalencia de la deformación. Los modelos de daño más simples son los modelos de daño escalar, donde la degradación de rigidez se describe a través de una sola variable escalar que gobierna el problema y que afecta por igual a todas las componentes del tensor de rigidez elástico. Como resultado del inicio, crecimiento y coalescencia de microgrietas y microhuecos, las propiedades mecánicas de un material se degradan. En la Figura 2-2 se muestra una. Página 16.

(22) probeta de un material sujeto a tensión, con un área nominal A, con una cierta cantidad de estos defectos físicos que producen que el área dañada sea A , dando por resultado d. un área efectiva de material. El esfuerzo de Cauchy a , se aplica sobre el área nominal, mientras que el esfuerzo medido sobre el área efectiva es a como se muestra en la Figura 2-2. Figura 2-2. a) Material. dañado sujeto al esfuerzo a, (b) Material esfuerzo. efectivo. sin daño sujeto. al. a. La relación entre los dos modelos se establece manteniendo la cantidad de fuerza generada. (2-1) Esta relación se puede re-escribir de la siguiente forma. (2-2). La mayoría de los modelos de daño escalar que existentes en la bibliografía se basan en la hipótesis de que el daño está vinculado a la historia de deformación porque es más fácil de implementar. Entonces el concepto de tensión equivalente definido en la ecuación (2-1) se derivan de la forma de la energía libre. En donde se ha definido una variable escalar de daño d como el cociente del área dañada entre el área nominal. Claramente puede observarse que si no hay área dañada el parámetro d = 0, mientras que cuando el área total se daña d = 1, por lo tanto:. Página 17.

(23) (2-3) En forma adicional a esta definición física del daño, se establece una hipótesis de equivalencia de la deformación (Simo & Ju, 1987), originalmente atribuida a (Chaboche & Lemaitre, 1978). Se establece que la deformación asociada con un estado de daño bajo el esfuerzo aplicado, es equivalente a la deformación asociada con su estado no dañado sujeto al esfuerzo efectivo. Esta deformación equivalente se ¡lustra en la Figura 2-2. 2.2.2.2.. Base termodinámica. Se propone la siguiente forma del potencial de energía libre: (2-4) Donde. es la energía libre para el caso elástico sin daño. Si C define el tensor de 0. constantes elásticas, se tiene:. (2-5). Considerando la desigualdad de Clausius-Duhem con esta relación de energía libre, se tiene en primer lugar la relación de estado:. (2-6). De donde se obtiene la definición del esfuerzo efectivo, verificando la ecuación (2-2) que se obtuvo en la sección anterior de manera fenomenológica y haciendo uso de la hipótesis de equivalencia de la deformación.. (2-7). Finalmente, la disipación intrínseca se reduce en este caso a. Página 18.

(24) (2-8). Insertando la definición de la energía libre, ecuación (2-4), se tiene (2-9) 0. Tomando en cuenta que P o ^ , ecuación (2-5), es una función positiva definida, se implica que:. (2-10) De (2-9) se observa que la energía libre elástica es la fuerza termodinámica asociada a la variable de daño. Lo cual indica que el daño es irreversible, lo que es consistente con la definición física del daño como el cociente de la superficie dañada con respecto a la superficie nominal. Combinando las ecuaciones (2-6) y (2-7), se obtiene la relación constitutiva de elastodaño, en donde se observa que el efecto del daño es degradar o reducir las constantes elásticas. La Tabla 2-1 muestra un resumen de las relaciones constitutivas del modelo de elasto-daño. Tabla 2-1. Modelo. constitutivo. de. elasto-daño. En la Figura 2-3 se muestra una relación esfuerzo-deformación unidimensional que ilustra el efecto del daño que se acumula en la degradación de la respuesta del material, de acuerdo al modelo presentado en la Tabla 2-1. Una vez que la deformación excede un. Página 19.

(25) cierto límite, el daño se empieza a producir y degrada la rigidez. Si se descarga, no hay daño adicional, pero la rigidez no se puede recuperar ya que d > 0.. > e. Figura 2-3. Relación unidimensional. mostrando. daño que se. 2.2.2.3.. la degradación. de la resistencia. por el. acumula. Deformación equivalente. Es necesario emplear una variable adicional que nos permita mapear el estado multidimensional de deformación a un valor escalar, permitiendo comparar diversos estados. Para ello se crea la variable f, denominada la deformación equivalente. La determinación de esta variable es arbitraria; una forma especialmente atractiva es la propuesta por (Simo & Ju, 1987) basándose en la ecuación (2-8), que define la fuerza termodinámica conjugada a la variable de daño como. (2-11). De manera que la energía libre elástica sin daño es la fuerza termodinámica asociada a d. Se propone entonces la siguiente definición (Simo & Ju, 1987), que toma el significado de la norma de energía no dañada: (2-12). Para un valor constante dex la ecuación (2-12) toma la forma de un elipsoide centrado en el origen en el espacio de deformaciones principales como se muestra en la Figura 2-4. Página 20.

(26) Figura 2-4. Deformación. 2.2.2.4.. equivalente. en el espacio de deformaciones. principales.. Criterio de daño. Es necesario definir cuando ocurre o cuando rjo ocurre daño durante un proceso de deformación, para ello se define un criterio de daño. Se presentan dos formas alternas para este criterio. 2.2.2.4.1.. Forma directa. Se propone la siguiente forma para el criterio: (2-13) El subíndice t se refiere al tiempo t e R , y r es un parámetro, denominado el +. t. umbral de daño, que define el tamaño del dominio elástico al tiempo t y que es una variable interna. Esquemáticamente se muestra en la Figura 2-5 el criterio de daño con las posibles combinaciones de la función F.. Figura 2-5. Criterios. Página 21. de Daño..

(27) Con base en este criterio se puede definir el dominio elástico E como (2-14) Además, se define la superficie de daño mediante (2-15) Debe notarse que al tiempo t = 0, el umbral de daño tiene un valor inicial r , que se 0. considera una propiedad característica del material. El umbral de daño puede crecer, de forma que: (2-15-a) Esta condición establece que el daño en el material se inicia cuando la norma de energía del tensor de deformación f , excede el umbral inicial de daño r . t. 2.2.2.4.2.. 0. Forma funcional. En forma alternativa (Simo & Ju, 1987), proponen definir una función G(t), que como se mostrará en la siguiente sección, tiene que ser monotónica creciente, como se muestra en la Figura 2-6, para definir el criterio de daño con base a esta función. (2-16). Figura 2-6. Función monotónica. Página 22. creciente. G..

(28) 2.2.3. Evolución de las variables internas de daño En este modelo se manejan dos variables internas, d y r , por lo que ahora es t. t. necesario definir la forma en que evolucionarán al producirse la deformación. Se proponen las siguientes relaciones: (2-17). (2-18) En estas ecuaciones, fi representa un parámetro de consistencia que hay que determinar y H ( í , d ) representa una función de daño que tiene que definirse para t. t. controlar la evolución del mismo. En el casó particular en que H se considera independiente de d , puede definirse en términos de la función G presentada en la t. sección anterior, de manera que solo es necesario definir una función para controlar la evolución del daño.. (2-19). Debido a la ecuación (2-15-a) cuando se produce daño, el umbral de daño sólo puede crecer, por lo que se concluye de la ecuación (2-18) que (2-20) Considerando la restricción impuesta por la disipación en la ecuación (2-10) sobre la variable de daño (d > 0) y considerando la ecuación (2-20), se puede concluir de la expresión (2-17) que H > 0. (2-21). En el caso en que H se dé mediante la ecuación (2-19), esta restricción obliga a que 6 sea una función monotónica creciente para satisfacer las condiciones de disipación, como se mencionó en la sección anterior.. Página 23.

(29) (2-22) Para distinguir entre las condiciones de carga y descarga en el material, que van asociadas con el incremento en el daño o no daño del material se establece la hipótesis de que la descarga se realiza en forma elástica, sin incremento de daño. Es posible entonces establecer las siguientes relaciones, llamadas de Kuhn-Tucker, para hacer la distinción entre estas condiciones: (2-23) Relación. (2-24). Kuhn-Tucker. (2-25) Si el material se encuentra en el régimen elástico, entonces F < 0, debido a (2-25) (1 = 0, lo que implica, debido a que (2-17) d = 0, por lo que no se produce daño adicional. Si se cumple el criterio de daño, F = 0, lo que satisface (2-25) y por tanto de (2-23) se tiene que |i > 0. Para determinar el valor del parámetro de consistencia se requiere una relación adicional, llamada ecuación de consistencia, que se presenta a continuación. 2.2.4. Ecuación de consistencia La deformación equivalente no puede encontrarse fuera de la superficie de daño, al llegar a ella desde el interior del dominio y tratar de salir del dominio elástico, la superficie puede evolucionar para mantenerlo adentro o sobre la superficie. En la Figura 2-7 se muestra la superficie de daño y las tres opciones que se tienen cuando la deformación equivalente se halla sobre algún punto de esta superficie, puede haber carga, carga neutral o descarga.. Página 24.

(30) Figura 2-7. Condiciones. de carga, carga neutral encuentra. Para determinar. en la superficie. o descarga para un punto que se de falla. qué es lo que ocurre se emplea la siguiente ecuación de. consistencia: (2-26) a. Si F < 0, entonces por (2-26) se tiene que |i = 0, lo que indica descarga elástica sin desarrollo del daño. b. Si F = 0 entonces tenemos dos opciones, |i > 0 indicando carga y evolución del daño, o bien ü. = 0 indicando carga neutral, sin evolución del daño. c. Si F > 0, eventualmente F > 0, lo que no es posible. El valor del parámetro de consistencia se obtiene, por tanto, forzando la condición de carga como se mostrará en la siguiente sección. (2-27). A manera de resumen, en la Tabla 2-2 se presenta el problema de valores iniciales que define el modelo constitutivo de elasto-daño, a partir del cual se debe calcular el esfuerzo para cualquier tiempo t.. Página 25.

(31) Tabla 2-2. Problema. de valores iniciales. que define el modelo. constitutivo. de. elasto-. daño.. 2.2.5. Integración de la ecuación constitutiva El modelo presentado en la Tabla 2-2 define un problema de valores iniciales que se debe integrar para encontrar la evolución de las variables internas al progresar la deformación. Las ecuaciones (2-17) y (2-27) forman un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer grado sujetas a las condiciones iniciales de t = 0, d = 0, yr = r . 0. Este tipo de problemas se puede integrar en forma cerrada o en forma numérica, y como se verá más adelante, para este modelo produce los mismos resultados. Se consideran tres casos: Régimen elástico, régimen de daño con descarga y régimen de daño con carga.. Página 26.

(32) Caso 1. Régimen elástico: (2-28) De (2-25) (2-29) Caso 2. Régimen de daño con descarga: (2-30) Por la descarga F < 0, por lo que de la ecuación de consistencia (2-31) Caso 3. Régimen de daño con carga: (2-32) Como hay carga [i > 0, y de la ecuación de consistencia se tiene entonces (2-33) En esta ecuación, tomando en cuenta la ecuación (2-32) se tiene que. (2-34). Con este resultado se combinan las leyes de evolución para obtener (2-35) De esta relación se puede integrar directamente la variable de daño d, (2-36). Página 27.

(33) Finalmente, dado que por (2-32) r = ir, el valor de r puede obtenerse de la siguiente t. relación: (2-37) Dado que se tienen que satisfacer las condiciones iniciales, y dada la relación (2-36), se establecen las siguientes condiciones sobre G: Para t = 0,d = 0 = > d = G(r„) = 0. (2-38). Así mismo, dado que en el extremo d =1, se tiene G(oc) = 1. (2-39). 2.2.6. Operador constitutivo tangente En la mayoría de IQS procesos no lineales, como este de daño, las relaciones constitutivas se manejan en forma incremental, por lo que la relación esfuerzodeformación se debe modificar en forma acorde para no reducir la rapidez de T. convergencia. En particular se busca la forma correcta del módulo tangente C de la relación: (2-40) Sabiendo que: (2-11). (2-41) La forma final de la ecuación (2-41) depende del valor de d, por lo que se tiene tres casos posibles: elástico, descarga y carga. a) Caso elástico y de descarga Página 28.

(34) (2-42). (2-43) b) Caso de carga De acuerdo con la ecuación (2-36) se tiene: (2-36) Haciendo uso de las ecuaciones (2-32) y (2-34), la derivada material de la ecuación (2-12). (2-44) La derivada material de la deformación efectiva se obtiene de la ecuación (2-12): (2-12). (2-45). Insertando (2-44) y (2-45) en la relación incremental (2-41) se tiene que:. a (2-46). (2-47). Página 29.

(35) Debe observarse que el módulo tangente siempre es simétrico, siendo esto consecuencia de la definición d e f , como la norma de energía elástica no dañada, ecuación (2-12). La Tabla 2-3 muestra un resumen del procedimiento de implementación del modelo constitutivo del material.. Tabla 2-3. Algoritmo. para evaluación. del esfuerzo. y del módulo. tangente.. 2.2.7. Caracterización del modelo La caracterización del modelo consiste en definir los parámetros del material que se requieren para representar un material específico. Los parámetros elásticos son los mismos que se han presentado antes: el módulo de Young E y el coeficiente de Poisson v, y su determinación no se discute más aquí.. Página 30.

(36) Los parámetros adicionales que se requieren para la parte de daño son: el umbral inicial de daño ro y la función de daño G(r). 2.2.8. Umbral de daño La definición del umbral de daño puede realizarse mediante una prueba de tensión o compresión simple del material. Dado que es más frecuente definir el inicio del daño mediante esfuerzos, se define la deformación equivalente como. (2-48) Si el esfuerzo que define el umbral de daño en una prueba de tensión se denomina por f , al substituir en (2-48), y considerando que|r = x t. 0. t. al instante en que se inicia el. daño, se tiene que. (2-49). El umbral también puede escribirse en términos de la deformación correspondiente a la tensión uniaxial f mediante substitución directa en (2-49) t. (2-50). 2.2.9. Función de acumulación de daño Hay una gran variedad de funciones que pueden emplearse para simular la acumulación del daño en el material, sin embargo debe tenerse en cuenta la condición que la función de disipación, impone sobre la función G: G(r ) = 0 0. Además, para que en el límite d = l , se requiere que. Página 31. (2-51).

(37) G(oo) = 1. (2-52). El modelo utilizado para este caso de estudio es el modelo exponencial que es empleado en la referencia (Oliver, M., Oller, & Lubliner, 1990) para modelar el comportamiento de concreto, cuya representación gráfica se muestra en la Figura 2-8. Figura 2-8. Modelo. exponencial. de daño. Este modelo requiere el parámetro de endurecimiento del material A para ajustarse a un material en particular. Debe observarse que las condiciones (2-38) y (2-39) se satisfacen con esta función. Donde los parámetros definidos en (2-53) se definen: G¡ energía de fractura;. E módulo de elasticidad inicial del material; /* longitud 0. característica del elemento finito que para efectos de elementos hexaedros se tomara como la distancia representativa contenida dentro del elemento;/¿resistencia a la tensión uniaxial del material. Con frecuencia los parámetros de endurecimiento se intercambian por otros parámetros del material, como la energía de fractura del material, para garantizar que no se libera más energía de la disponible, evitando problemas de objetividad en el material.. Página 32.

(38) 2.2.10. Definición del esfuerzo equivalente (T) La función f. define el dominio elástico y existen varias alternativas para su. definición, algunas de las cuales se presentan en esta sección. Para materiales que presentan degradación tanto en tensión como en compresión, puede plantearse otro modelo que tenga estas características (Oliver, M., Oller, & Lubliner, 1990). En donde n es el coeficiente entre las resistencias a compresión f y tensión f de c. pruebas unidimensionales:. t. '. (2-55). El factor 0 es un factor de balance que depende del estado de esfuerzo de acuerdo a la siguiente expresión (Oliver, M., Oller, & Lubliner, 1990). (2-56). El resultado de emplear esta función se puede observar en la Figura 2-9. Figura 2-9. Modelo. con daño diferente. Página 33. en tensión y. compresión.

(39) 2.3. MODELO DELACERO DE REFUERZO. 2.3.1. Comportamiento del acero de refuerzo Las propiedades del acero de refuerzo, a diferencia del concreto, por lo general no dependen de las condiciones ambientales. Por lo tanto, la especificación de una sola relación de tensión-deformación es suficiente para definir las propiedades de los materiales necesarios en el análisis de estructuras de concreto reforzado. Para el refuerzo de acero que se utiliza en la construcción de concreto en forma de barras de refuerzo o alambre, no es necesario introducirse en las complejidades de las relaciones constitutivas de tres dimensiones para el acero. Para mayor eficiencia de cómputo. a menudo es suficiente idealizar la relación unidimensional tensión-. deformación para el acero.. Figura 2-10. Relación Esfuerzo-Deformación del Acero En este estudio, el acero de refuerzo es modelado como un material elástico lineal con. un comportamiento. elastoplástico que está limitado por un parámetro de. endurecimiento por deformación una vez que se alcanza el esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo. Página 34.

(40) Las razones de esta aproximación son: 1. La conveniencia computacional del modelo, 2. El comportamiento de los miembros de CR se ve muy afectada por la fluencia del acero de refuerzo cuando la estructura está sometida a momentos de flexión monotónica. La fluencia. va acompañada de un aumento repentino en la deformación del. miembro. En este caso el uso del modelo elástico-plástico perfectamente conduce a problemas de convergencia numérica cerca del esfuerzo último de los elementos. Es, por tanto, aconsejable tomar ventaja del comportamiento de endurecimiento por deformación del acero en la mejora de la estabilidad numérica de la solución. La asunción. de. un. comportamiento. de. endurecimiento. por. deformación. lineal. inmediatamente después de la fluencia del acero de refuerzo no afecta negativamente a la exactitud de los resultados, siempre y cuando la pendiente de la rama de endurecimiento por deformación se determina de modo que la energía de deformación del modelo es igual a la energía de deformación del acero. Junto con el modelo del material se empleó un modelo elastoplástico para elementos barra esto para simular el comportamiento del acero de refuerzo; estos dos modelos en conjunto forman el modelo general del elemento sólido, el cual está definido para tres grados de libertad; a diferencia de los elementos de refuerzo que están definidos para un grado de libertad. Este tipo de elementos barra son superpuestos a la malla de elementos de tres dimensiones, es decir que el acero de refuerzo. se considera como. un. miembro. axial integrado. en. los. elemento. isoparamétricos de tal manera que sus desplazamientos sean compatibles con los del elemento sólido. Este modelo implica vínculo perfecto entre el concreto y el acero. 2.3.2. Barras elastoplásticas. Algoritmo de solución A continuación se detalla el proceso de solución para los elementos barra de acero de refuerzo:. Página 35.

(41) 1. Con los incrementos en los desplazamientos A i ¿. n _ 1. , calcular los incrementos. n. en las deformaciones As , esto para el paso de iteración n-1. 2. Calcular el incremento en el esfuerzo asumiendo un comportamiento lineal elástico. Esto podrá introducir cierto error si el elemento ha fluido y el material se está comportando elastoplásticamente. De cualquier manera, esto se corregirá cuando el vector de fuerzas residuales sea calculado. Por lo tanto se calcula el incremento en el esfuerzo debido al incremento de la deformación 3. Se calcula el valor del esfuerzo para el tiempo actual como en (2-62): El subíndice e, denota que es basado en un comportamiento elástico. 4.. El siguiente paso en el proceso depende de, si o no el elemento ha alcanzado la fluencia en el paso anterior (n-1). Esto puede ser comprobado del valor conocido del esfuerzo de fluencia:. sabiendo que el. subíndice p, corresponde a un comportamiento plástico, generalmente cada elemento posee su nivel independiente de deformación plástic^. o c í. ™ r r .. n. nivel de esfuerzo permisible. Con esto se debe revisar si:. a. Si la respuesta es " S I " , se procede a revisar si el esfuerzo actual es mayor que el nivel de esfuerzo del paso anterior: i. Si la respuesta es NO, significa que el elemento está en una fase de descarga y que de acuerdo a la teoría de plasticidad debe tomar un comportamiento elástico, así que simplemente se actualiza el esfuerzo como en (2-62). ii. En cambio si la respuesta es SI, el elemento ha alcanzado el umbral de esfuerzo en el paso anterior y el esfuerzo aún está en aumento. Por lo tanto el exceso de esfuerzo debe ser reducido por un valor de fluencia R, el cual define la porción de los esfuerzos que deben ser modificados para satisfacer la condición de fluencia, en este caso el valor de R es 1.. Página 36.

(42) b. Si la respuesta es "NO", significa que el elemento aún no ha fluido previamente. por lo que se comprueba. la siguiente. condición:. i. Si la respuesta en NO significa que aun el elemento está en la etapa elástica, así que solo se actualizan los esfuerzos como en (2-62). ii. Si la respuesta es SI, el elemento ha entrado en etapa de fluencia durante la aplicación de la carga correspondiente a la iteración actual. Por lo tanto la porción de los esfuerzos que son mayores que el esfuerzo de fluencia deben de ser reducidos a la línea del comportamiento plástico. Utilizando el factor R =. 5. Para elementos en fluencia solamente, calcular el incremento del esfuerzo cuando el subíndice ep, denota comportamiento elastoplástico. (2-57). (2-58) Sustituyendo (2-57) y (2-58). (2-59). Así el esfuerzo total es (2-60) 6. Evaluar el total de la deformación plástica producida para los elementos que han entrado en fluencia.. Página 37.

(43) (2-61). 7. Para elementos elásticos, guarda el valor del esfuerzo actual (2-62). En la Tabla 2-4 se resume la metodología de solución planteada anteriormente: Tabla 2-4. Algoritmo. Elementos. Barra y Retorno. Página 38. Rigidez. Tangente.

(44) CAPITULO 3. M O D E L O DE ELEMENTOS FINITOS.. 3.1. Elementos con deformación mejorada (Enhanced Assumed Strain) En los últimos años se ha dedicado una especial atención al desarrollo de elementos de "altas prestaciones". Dicho término engloba a elementos de bajo orden, que presentan una gran exactitud en mallas de elementos finitos no excesivamente refinadas. Dichos elementos se han propuesto como variantes de los elementos convencionales formulados en desplazamientos. Tradicionalmente las mejoras introducidas han consistido en ajustes ad-hoc sin más justificación, muchas veces, que la 'de los propios resultados. Conviene destacar las modificaciones del elemento cuadrilátero de interpolación lineal introducidas para mejorar su comportamiento a flexión mediante la incorporación de modos de desplazamiento incompatibles. (Wilson, Taylor, Doherty, & Ghaboussi, 1973). Resulta. igualmente destacable la formulación volumétrica media, propuesta por (Rice, Nagtegaal, & Parks, 1974), como método para evitar el bloqueo de elementos cuadriláteros en condiciones próximas a la incompresibilidad. De manera similar (Belytschko & Flanagan, 1981), empleando un operador de proyección, desacoplan la matriz de rigidez en un término subintegrado y un término de estabilización. (Hughes, 1980), unifica los conceptos de integración reducida y selectiva así como el planteamiento volumétrico medio mediante la formulación B en la que la matriz de compatibilidad cinemática deformación-desplazamiento B es sustituida por otra modificada B . De forma paralela ha habido un interés en justificar dichos ajustes, mediante formulaciones variacionales, con vistas a dotarlos de un planteamiento matemáticamente consistente y un enfoque más general, ampliando de este modo el campo de aplicación para el que inicialmente fueron concebidos. Destaca en este sentido la justificación variacional de la formulación B propuesta por (Simó & Hughes, 1986).. Página 39.

(45) Recientemente (Simó & Rifai, 1990) ha propuesto una formulación de deformaciones supuestas mejoradas "Enhanced Assumed Strain" (EAS) que enmarca de forma natural el planteamiento de modos incompatibles de Wilson y Taylor dentro de un principio variacional de Hu-Washizu. En esta formulación el campo de deformaciones supuesto se descompone en un campo de deformaciones compatible con el campo de desplazamientos y un campo mejorado. El planteamiento para los elementos mejorados en el contexto de deformaciones supuestas posee como ventaja fundamental su incorporación natural a problemas distintos de la elasticidad lineal, y en particular su extensión a problemas de plasticidad en la que la resolución iterativa del problema no lineal se plantea en incrementos de desplazamientos y por tanto de deformaciones. Ello motiva que los algoritmos tradicionales de resolución (algoritmos de retorno, etc.) sigan. siendo válidos para estos elementos.. De igual forma. existen. generalizaciones de esta formulación para problemas geométricamente no lineales según (Kasper & Taylor, 2000). En los lineamientos planteados por (Kasper & Taylor, 2000) se basa la metodología empleada en este estudio, especificando los problemas como geométricamente lineales con deformaciones pequeñas, definiendo la no linealidad a la perdida de rigidez del material. 3.2. Formulación 3.2.1. Planteamiento del problema variacional Se parte de la formulación de 3 campos de Hu-Washizu, para a continuación introducir una reparametrización con base en las deformaciones supuestas. 3. Sea un cuerpo elástico S que ocupa un dominio íl c R . El cuerpo está limitado por una frontera S = dílque se descompone en dos partes, S = S. á. U S . Sobre S t. á. se conocen los. desplazamientos d, mientras que sobre S son conocidas las tensiones t. El vector normal t. exterior a, S se denota por n. Se considera por tanto: (3-1) (3-2). Página 40.

(46) Para cada punto x G í l se define un campo b de fuerzas por unidad de volumen. Asimismo se define una función W ( E ) que corresponde a la densidad de energía interna por unidad de volumen, dependiente del tensor de deformaciones lineales e. Las incógnitas del problema corresponden al campo de tensiones a en Í2. La formulación variacional de Hu-Washizu, considera los tres campos citados como independientes: (u,£,a) G Vx£xS. son. los espacios funcionales. de cuadrado. integrable. de. las funciones. Donde V , £ , £ , solución en. desplazamientos, deformación y tensión respectivamente. El funcional de Hu-Washizu en función de los tres campos mencionados es:. (3-3). (3-4). Los campos solución (e, a , u) serán aquellos para los que el funcional n(£, a, u) tome un valor estacionario. Igualando a cero la variación del funcional para valores. arbitrarios. (SE, 8a, S u ) ,. equilibrio,. se obtienen tres ecuaciones que expresan las condiciones de. compatibilidad y constitutivas respectivamente:. (3-5). Dónde:. Pagina. 41.

(47) Se admite una reparametrización del campo de deformaciones de la forma: (3-6) s. Donde V u (parte. simétrica del gradiente. de desplazamientos) es la. componente. "compatible" del campo de deformaciones, y ees la componente "mejorada" del campo de deformaciones. Esta denominación responde a que, como se verá a continuación, para la solución aproximada discreta, el campo e permite mejorar dicha aproximación. No es preciso imponer ningún requerimiento de continuidad a priori al campo £ entre los distintos elementos. Con esta reparametrización, las nuevas ecuaciones resultan:. (3-7). Para todas las posibles variaciones (6c, 6a, Su) EVxSxS. , donde e es el espacio de las. variaciones admisibles de deformaciones mejoradas. Las ecuaciones de Euler-Lagrange, o formulación. fuerte del problema. variacional. correspondiente a las ecuaciones (3-7) resultan Vx G í l :. e = 0. aw. Página 42. (3-8).

(48) Conviene hacer notar que las ecuaciones anteriores corresponden al problema convencional de elasticidad, con la salvedad de que la tensión es función no solo de la deformación s. "compatible" ( V u ) , sino también de la mejorada (e). Dicho planteamiento puede parecer trivial ya que la solución exacta a las deformaciones mejoradas son idénticas a cero según (3-8)c, sin embargo no resulta así en el problema discreto, como comprobaremos más adelante. 3.3. Discretización de las ecuaciones variacionales 3.3.1. Aproximación del campo de deformaciones compatibles Para el campo de deformaciones compatibles es posible establecer la aproximación habitual isoparamétricas de elementos finitos. Sea u h. s. siendo V y V V. h. h e. h. E V. s. c V yV u. h. s. GV V. h. c. W,. espacios funcionales de dimensión finijta, asociados a una discretización "h".. La aproximación se realiza mediante las funciones de forma N(£), referidas a coordenadas isoperamétricas (3-9). (3-10) es el operador de interpolación. Donde. de deformaciones del. elemento y d son los desplazamientos nodales del elemento. e. 3.4. Aproximación del campo de deformaciones mejorado (Enhanced Assumed Strain) Es posible establecer un criterio de aproximación para E similar al definido en el campo de deformaciones compatibles. Sea (3-11) Donde. es el operador de interpolación. de deformaciones mejoradas del. elemento, cc son parámetros internos del elemento, generadores del campo de deformaciones e. mejoradas. Se sustituyen las aproximaciones (3-9), (3-10) y (3-11) en las ecuaciones variacionales (3-7), se obtiene:. Página 43.

(49) (3-12). Dónde:. 3.5. Metodología de resolución de las ecuaciones de elementos finitos Partiendo de las ecuaciones variacionales discreteadas (3-12), si 6 d son arbitrarios: e. (3-13). es el operador de ensamblaje de elementos de la malla.. Donde. Estas ecuaciones corresponden en general a un sistema no lineal de ecuaciones cuyas incógnitas son, además de d (las usuales en una formulación en desplazamientos), las variables e. adicionales a , debidas a la variación independiente de s. La resolución de este sistema se e. efectúa convencionalmente mediante el procedimiento de Newton-Raphson. Conviene resaltar q u e a son variables internas a nivel de cada elemento, por lo que pueden se calculadas sin e. necesidad de ensamblar el sistema de ecuaciones globales; de esta forma, para una iteración (k) del sistema global se ha de verificar para cada elemento.. Página 44.

(50) (3-14). Linealizando estas ecuaciones, se obtiene la siguiente ecuación matricial:. (3-15). Dónde: (3-16). (3-17). (3-18). (3-19) Eliminando A a de (3-15): e. (3-20) Se obtiene la ecuación matricial condensada: (3-21) Donde se han empleado las matrices de rigidez y fuerza interna modificadas definidas por: (3-22) (3-23). Página 45.

(51) Conviene hacer notar que a pesar de que el planteamiento se ha enmarcado en el contexto de la elasticidad no lineal, se puede extender al campo de la plasticidad sin más que sustituir el operador constitutivo. tangente de la elasticidad definido. elastoplástico tangente correspondiente.. Página 46 4fí. en (3-19) por el operador.

(52) CAPITULO 4. M O D E L O NOLINEAL DE S O L U C I Ó N : N E W T O N - R A H P S O N .. 4.1. Modelos conceptuales. El modelo más general del problema mecánico estático se presenta en la Figura 4-1 en donde se tiene un cuerpo con un volumen Q y una superficie I". Los vectores de posición x se consideran como las únicas variables independientes del problema. En este cuerpo, pueden estar actuando dos tipos de fuerzas externas, las tracciones externas t sobre la parte l" de la frontera, y las fuerzas de cuerpo b, en el volumen Q. El n. t. movimiento se representa por el desplazamiento u de los puntos materiales que conforman el cuerpo y se especifica como condición de frontera en la superficie l~ en donde se le asigna un u. valor conocido g. En las partículas que forman este cuerpo estamos interesados en conocer el desplazamiento u, el estado de esfuerzo o y la deformación e. La frontera se compone, por lo tanto, de dos partes que se complementan y no se superponen (4-1) La tracción externa t tiene unidades de fuerza por unidad de área y emplea el superíndice n, n. ya que ese es el vector unitario normal a la superficie en el punto de aplicación de la tracción di". El vector b tiene unidades de fuerza por unidad de volumen y actúa sobre diferenciales de volumen dQ. Las fuerzas y el desplazamiento que se especifican son función de la posición únicamente en este tipo de problemas: (4-2). Página 47.

(53) Figura 4-1. Modelo. General de un Cuerpo mecánico. sólido. Si las condiciones de frontera t y g y las fuerzas de cuerpo b se hacen dependientes también n. del tiempo t, entonces el desplazamiento u, el esfuerzo a y la deformación E también se harán funciones del tiempo. (4-3) Si la rapidez con que cambian las condiciones de frontera y las fuerzas de cuerpo activan las fuerzas inerciales del material entonces el análisis se considerará dinámico, de otra manera es un análisis cuasKestático, es decir, el análisis del cuerpo al tiempo t se puede realizar como un n. análisis estático con las condiciones de frontera y fuerzas de cuerpo evaluadas en ese tiempo. Debe notarse que el modelo conceptual mostrado en la Figura 4-1 no cambia, lo que se modifica es el tipo de variables independientes que controla las condiciones de frontera y las fuerzas de cuerpo. Tanto para análisis dinámicos como estáticos el comportamiento del cuerpo puede ser lineal o no lineal. Normalmente se consideran dos fuentes de no linealidad en la respuesta de un cuerpo, la relación constitutiva del material y el efecto de cambios geométricos grandes en la configuración del cuerpo, ambos se consideran a continuación. Debe observarse que en un análisis no lineal estático el tiempo es un pseudo-tiempo en realidad y funciona más como un parámetro, que permite controlar los cambios que ocurren en las condiciones de frontera y en las fuerzas de cuerpo.. Página 48.

(54) 4.2. Análisis estático no lineal 4.2.1. Material no lineal Consideramos aquí el caso en que la relación constitutiva del material es no lineal, lo que quiere decir que el esfuerzo depende de la historia de la deformación. Se utilizarán una serie de variables, llamadas variables internas, que registran la historia de la deformación y el estado actual del material. Se parte de que se conoce el estado actual del material al tiempo t y estamos interesados n. en conocer el valor del esfuerzo y el valor de las variables internas al tiempo t i. n+. (4-4). (4-5). 4.2.2. Forma Fuerte del Problema de Valores de Frontera En la Figura 4-1 se presenta la formulación fuerte del problema al tiempo t i. Variables n+. independientes: x. Tabla 4-1. Forma fuerte. del problema. de valores de frontera. estática. para. deformaciones. infinitesimales. Página 49. _.

(55) 4.2.3. Principio Variacional Gobernante Se definen dos espacios de funciones U y V. U define el espacio de las funciones de prueba, que son desplazamientos en el dominio Q, como una función real en 3 dimensiones que pertenece a la clase de funciones H_ (O.) y que cumple con las condiciones de frontera esenciales en T : u. (4-6) V define el espacio de las funciones de desplazamiento virtual en Q como funciones reales en 3 dimensiones que pertenece a la clase de funciones Hi(Q) y que cumple con las condiciones de frontera homogéneas en l~. Observe que las funciones de V no pueden ser soluciones porque u. no cumplen con las condiciones de frontera esenciales: (4-7) El Principio del Trabajo Virtual se plantea en la Figura 4-1. Variable independiente es x. Tabla 4-2. Forma débil del problema. para deformaciones. infinitesimales. al tiempo. t . n+1. 4.2.4. Discretización Considérese una interpolación estándar para elementos finitos de la forma: (4-8). Página 50.

(56) En donde u +i es el vector de funciones aproximadas de desplazamiento al tiempo t , N es n. n+1. la matriz de funciones de interpolación, y u i e s el vector de desplazamientos nodales al tiempo n+. t i. El vector de desplazamientos virtuales se define, en forma análoga, como: n+. (4-9) En donde n es el vector de funciones de desplazamiento virtual y 17 es el vector de desplazamientos. nodales virtuales.. Las deformaciones. se definen. a partir. de los. desplazamientos utilizando una matriz de operadores diferenciales L, que actuará sobre los desplazamientos, de forma que el vector de deformación se determina por: (4-10). En donde B se denomina matriz deformación-desplazamiento. La deformación virtual se obtiene de esta última expresión directamente como: (4-11) Con estas expresiones se substituye directamente en la ecuación del trabajo virtual descrita anteriormente, para obtener la forma matricial que se muestra a continuación:. (4-12). Dado que el desplazamiento f\ es arbitrario, la cantidad entre llaves debe desvanecerse, dando lugar a las ecuaciones discretas de equilibrio al tiempo t i. Cada término entre llaves n+. representa un vector de fuerza. El primero representa el vector de fuerza resistente interna, mientras que el resto representa el vector de fuerzas externas equivalentes nodales. En forma compacta, las ecuaciones de equilibrio se pueden escribir como: Página. 51.

(57) (4-13) Los términos de esta expresión quedan definidos por:. (4-14). (4-15). 4.2.5. Solución De Las Ecuaciones De Equilibrio Los desplazamientos nodales u _ al tiempo t i s e obtienen al resolver las ecuaciones de n+. n+. equilibrio, que están dadas por las ecuaciones (4-13):. (4-13) Estas ecuaciones son no lineales debido a la dependencia de la relación constitutiva con la historia de la deformación. Por tal razón, el proceso de solución debe ser iterativo y las ecuaciones de equilibrio se replantean con base a un residuo de fuerza r i, cuando el residuo se n+. desvanece se tiene el equilibrio: (4-16) El esquema de solución más utilizado para resolver las ecuaciones de equilibrio es el de Newton-Raphson, que se describe a continuación. El objetivo fundamental es satisfacer la ecuación (4-13) (4-17). Página 52.