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CAMPO GRAVITATORIO. centripeta. La única fuerza que actúa sobre el objeto es la fuerza centrípeta, pasando a módulo: 2 M 2

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(1)

CAMPO GRAVITATORIO

Septiembre 2016. Pregunta 1B.-

Una estrella gira alrededor de un objeto estelar con un periodo de 28 días terrestres siguiendo una órbita circular de radio 0,45·108 km.

a) Determine la masa del objeto estelar.

b) Si el diámetro del objeto estelar es 200 km, ¿cuál será el valor de la gravedad en su superficie?

Dato: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10‒11 N m2 kg ‒2. Solución.

a. El objeto describe una orbita circular con movimiento uniforme, por lo tanto se debe cumplir que la suma de fuerzas que actúen sobre él, deberán ser igual a la fuerza centrípeta.

Fr=Frcentripeta

La única fuerza que actúa sobre el objeto es la fuerza centrípeta, pasando a módulo:

r m v r

m GM

2

2 = ⋅

r GM v2=

Donde M representa la masa del objeto estelar y m la masa de la estrella.

r GM r :ω r v ω r GM

v2 2 2

=

 ⋅



=

=

2 3 2 3

2

T G

r 4π M : T 2π ω

G r M ω

= ⋅





=

= ⋅

( )

(

28 24 3600

)

9,22 10 kg

10 67 , 6

10 45 , 0 4π

M 11 2 30

113 2

×

=

×

×

= ⋅

b. Para calcular la gravedad en la superficie del objeto estelar se tiene en cuenta que en su superficie, el peso de un cuerpo es la fuerza gravitatoria con la que le atrae.

FG

P = o 2

R m GM g

m = 2 10 2

3 11 30

o 2

ms 10 15 , 6 2

10 200

10 22 , 10 9 67 , R 6 G M

g = ×





 ×

⋅ ×

×

=

=

Septiembre 2016. Pregunta 1A.-

Desde la superficie de un planeta de masa 6,42·1023 kg y radio 4500 km se lanza verticalmente hacia arriba un objeto.

a) Determine la altura máxima que alcanza el objeto si es lanzado con una velocidad inicial de 2 km s‒1.

b) En el punto más alto se le transfiere el momento lineal adecuado para que describa una órbita circular a esa altura. ¿Qué velocidad tendrá el objeto en dicha órbita circular?

Dato: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10‒11 N m2 kg‒2. Solución.

a. Despreciando la fuerza de rozamiento, la energía mecánica del satélite se conserva.

(

Superficie

)

E

(

Alturah

)

EM = M

Teniendo en cuenta que cuando llega a la altura h, el objeto se para:

(

Superficie

)

E

(

Superficie

)

E

(

Alturah

)

Ec + p = p

h R

m G M R

m G M 2mv

1 2

s +

⋅ ⋅

=

 

 ⋅

− +

Donde R representa el radio del planeta y vs la velocidad en la superficie del planeta.

Simplificando la masa del objeto (m) y sustituyendo datos, se despeja h

h R G M R G M 2v 1 2

s − ⋅ =− ⋅ + ;

( )

h 10 5 , 4

10 42 , 10 6 67 , 10 6

5 , 4

10 42 , 10 6 67 , 6 10 2 2 1

6 11 23

6 11 23

32

+

⋅ ⋅

=

⋅ ⋅

Km 1200 m 10 2 , 1

h≈ × 6 =

(2)

b. El objeto describe una orbita circular con movimiento uniforme, por lo tanto se debe cumplir que la suma de fuerzas que actúen sobre él, deberán ser igual a la fuerza centrípeta.

Fr=Frcentripeta

La única fuerza que actúa sobre el objeto es la fuerza centrípeta, pasando a módulo:

r m v r

m GM

2

2 = ⋅

h R G M r GM

v= = +

1 6

6

11 23 2740,9ms

10 2 , 1 10 5 , 4

10 42 , 10 6

67 , 6

v

⋅ +

⋅ ⋅

=

Junio 2016. Pregunta 1B.-

Un astronauta utiliza un muelle de constante elástica k = 327 N m‒1 para determinar la aceleración de la gravedad en la Tierra y en Marte. El astronauta coloca en posición vertical el muelle y cuelga de uno de sus extremos una masa de 1 kg hasta alcanzar el equilibrio. Observa que en la superficie de la Tierra el muelle se alarga 3 cm y en la de Marte sólo 1,13 cm.

a) Si el astronauta tiene una masa de 90 kg, determine la masa adicional que debe añadirse para que su peso en Marte sea igual que en la Tierra.

b) Calcule la masa de la Tierra suponiendo que es esférica.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10‒11 N m2 kg‒2; Radio de la Tierra, RT = 6,37·106 m.

Solución.

a. Lo primero que se necesita es calcular la aceleración de la gravedad en Marte y en la Tierra, para ello se utiliza la experiencia del muelle.

mg x k F=− ⋅ =−

m x g k⋅

=

• Tierra: 2

2

T 9,81ms

1 10 3

g 327

⋅ =

= ⋅

• Marte: M 2 3,69ms 2

1 10 13 , 1

g 327⋅ ⋅ =

=

( )

M

T m m g

g m

P= ⋅ = ′+ ⋅

(

m 90

)

3,69 81

, 9

90⋅ = ′+ ⋅ 90 149kg

69 , 3

81 , 9

m 90⋅ − =

′=

b. P =FG 2

R m G M g

m ⋅

=

2

R G M g= ⋅

( )

5,97 10 kg

10 67 , 6

10 37 , 6 8 , 9 G

R

M g 11 24

62 2

=

= ⋅

= ⋅

Junio 2016. Pregunta 1A.-

El planeta Marte, en su movimiento alrededor del Sol, describe una órbita elíptica. El punto de la órbita más cercano al Sol, perihelio, se encuentra a 206,7·106 km, mientras que el punto de la órbita más alejado del Sol, afelio, está a 249,2·106 km. Si la velocidad de Marte en el perihelio es de 26,50 km s‒1, determine:

a) La velocidad de Marte en el afelio.

b) La energía mecánica total de Marte en el afelio.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10‒11 N m2 kg‒2; Masa de Marte, MM = 6,42·1023 kg; Masa del Sol MS = 1,99·1030 kg.

Solución.

a. Por estar sometido a fuerzas centrales, el momento angular de Marte permanece constante

(

L =r cte

)

.

v m r p r

Lr r r r r

×

=

×

=

cte senα v m r

Lr = r⋅ r⋅ =

(3)

En el afelio y en el perihelio, α = 90º

a

p L

Lr r

= rrp ⋅mvrp ⋅sen90= rra ⋅mvra ⋅sen90

a a p

p v r v

r ⋅ = ⋅

a p p

a r

v r

v = ⋅ a 66 21,98Kms 1

10 2 , 249

10 7 , 50 206 , 26

v =

⋅ ⋅

=

b.

a Marte 2 Sol

a Marte a

Marte 2 Sol

a Marte p

c

M r

m G M

v 2m

1 r

m G M

v 2m

E 1 E

E ⋅

=



− +

= +

=

( )

1,87 10 J

10 2 , 249

10 42 , 6 10 99 , 10 1 67 , 6 10 98 , 21 10 42 , 26

EM 1 23 32 11 30 9 23 =− ⋅ 32

⋅ ⋅

=

Modelo 2016. Pregunta 1B.-

Un cierto planeta esférico tiene de masa el doble de la masa de la Tierra, y la longitud de su circunferencia ecuatorial mide la mitad de la de la Tierra. Calcule:

a) La relación que existe entre la velocidad de escape en la superficie de dicho planeta con respecto a la velocidad de escape en la superficie de la Tierra.

b) La aceleración de la gravedad en la superficie del planeta.

Dato: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra, gT = 9,81 m s‒2. Solución

a. Para deducir la velocidad de escape desde la superficie de un planeta, se debe tener en cuenta que el campo gravitatorio es conservativo y por tanto, la energía mecánica de un cuerpo en la superficie de un planeta es igual a la energía mecánica en el infinito. Suponiendo (teórico) que el cuerpo llega al infinito con velocidad cero, su energía cinética será nula y teniendo en cuenta que la distancia es infinita, su energía potencial también será nula, por tanto la energía mecánica en el infinito es nula.

Para que el cuerpo escape de la superficie del planeta, habrá que comunicarle la velocidad suficiente para que anule su energía mecánica.

(

Superficie

)

E

(

Infinito

)

0

EM = M =

(

Superficie

)

E

(

Superficie

)

E

(

Superficie

)

0

EM = c + p =

R GM v 2

; R 0

GMm 2mv

1 2 e

e = =

 

− +

Para la Tierra:

( )

T

e R T

GM T 2

v =

Para el planeta:

( )

P e P

R GM P 2

v =

Comparando:

( )

( )

PT TP

T T P

P

e e

M R

M R

R GM 2

R GM 2

T v

P v

= ⋅

=

Del enunciado: M =p 2MT y P LT 2

L =1 . Teniendo en cuenta la expresión de la longitud de

una circunferencia, P 2π RT 2 R 1

2π⋅ = ⋅ , por lo tanto,

2

RP= RT . Sustituyendo en la relación entre las velocidades de escape:

( )

( )

4 2 v

( )

P 2v

( )

T

2 M R

M 2 R T v

P

v e e

T T T T e

e = = ⇒ =

= ⋅

b. La relación entre la aceleración de la gravedad, la masa del planeta y su radio, se obtiene igualando el peso de un cuerpo en la superficie del planeta con la fuerza de atracción gravitacional.

(4)

2 G 2

R G M g

; R

m GM g m

; F

P= = =

Aplicando la expresión a la Tierra y al planeta y comparando:

8 2R

M 1 R M 2 2R

R 1 M 2 M R M

R M R GM

R GM g :g R GM g

R GM g

2 T T

T2 T T

P T P 2P T

2T P 2T

T 2P P

T P 2P P P

2T T T

=



 

⋅

= ⋅









=

=

=

= ⋅

=





=

=

T 2

P 8 g 8 9,81 78,48ms g = ⋅ = ⋅ =

La intensidad de campo gravitatorio será:

kg u N 48 , 78

gP rr

r =−

Modelo 2016 Pregunta 1A.-

Titania, satélite del planeta Urano, describe una órbita circular en torno al planeta. Las aceleraciones de la gravedad en la superficies de Urano y de Titania son gU = 8,69 m s‒2 y gt = 0,37 m s‒2, respectivamente. Un haz de luz emitido desde la superficie de Urano tarda 1,366 s en llegar a la superficie de Titania. Determine:

a) El radio de la órbita de Titania alrededor de Urano (distancia entre los centros de ambos cuerpos).

b) El tiempo que tarda Titania en dar una vuelta completa alrededor de Urano, expresado en días terrestres.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10‒11 N m2 kg‒2; Velocidad de la luz en el vacío, c = 3,0·108 m s‒1; Masa de Urano, MU = 8,69·1025 kg; Masa de Titania Mt = 3,53·1021kg.

Solución.

a. El radio de la órbita descrita por el satélite de Urano (Titania), es la suma de la distancia entre la superficie de Urano y de titania y los radios de Urano y de Titania.

( )

t

U dUrano Titania R R

r= + − +

Teniendo en cuenta que la luz se desplaza con velocidad rectilínea y uniforme, la distancia entre las superficies del planeta y su satélite se puede calcular por cinemática d

(

UranoTitania

)

=ct

Los radios de Urano y de titania se pueden calcular a partir de las aceleraciones de la gravedad en sus respectivas superficies, teniendo en cuenta que en la superficie de un planeta o satélite, el peso de un cuerpo es la fuerza gravitatoria con la que le atrae el planeta o satélite.

FG

P = o 2

R m GM g

m = o 2

R G M g =

go

R = GM Aplicando esta expresión a Urano y a su satélite:

U

U g U

M

R = G

t

t g t

M R = G Sustituyendo en la expresión del radio de la órbita del satélite

37 , 0

10 3,53 10

67 , 366 6 , 1 10 69 3

, 8

10 8,69 10

67 , 6 g

M t G g c

M

r G 11 25 8 11 21

t t U

U × ⋅ ×

+

×

× +

= × +

⋅ +

=

Km 424 436 m 10 36424 , 4

r= × 8 =

b. Se pide el periodo del satélite titania expresado en días de 24 horas, para ello se tiene en cuenta que el satélite realiza una órbita circular con velocidad constante, y por tanto la suma de las fuerzas que actúen sobre el debe ser igual a la fuerza centrípeta, responsable de su giro.

c

G F

F =

r mv r

m

GMU2 = 2

r GM v2= U

La velocidad lineal, se puede expresar en función de la angular, y está en función del periodo

( )

r M r G

: ω r v ωr

M

v2 G U 2U

=

 ⋅



=

= ⋅ 3 U

3 U 2 2

r M G T 2π : T 2π ω

r M

ω G ⋅

 =

 





=

= ⋅

U 3 2

M G

r 4π T= ⋅

(5)

( )

752374s 8,71días

10 69 , 8 10 67 , 6

10 364 , 4 4π

T 11 25

83 2

=

×

×

= ×

Septiembre 2015. Pregunta 1B.-

El radio de uno de los asteroides, de forma esférica, perteneciente a los anillos de Saturno es de 5 km. Suponiendo que la densidad de dicho asteroide es uniforme y de valor 5,5 g cm‒3, calcule:

a) La aceleración de la gravedad en su superficie.

b) La velocidad de escape desde la superficie del asteroide.

Dato: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10‒11 N m2 kg‒2. Solución.

a. En la superficie del asteroide se cumple que el peso es la fuerza con la que el asteroide atrae a las masas.

FG

P = 2

R GMm

mg = 2

R G M g =

La masa se calcula con la densidad y el volumen.

( )

2,8810 kg

m 10 kg 5 , 5 m 10 5 3π d 4 R 3π d 4 V

M= ⋅ Esfera= 3⋅ = ⋅ 3 3⋅ ⋅ 3 3 = ⋅ 15

Sustituyendo en al expresión de la intensidad gravitatoria:

( )

2 32

11 15 7,68ms 10

5 10 88 , 10 2 67 , 6

g =

⋅ ⋅

=

b. La velocidad de escape se calcula por energías. Teniendo en cuenta que el campo gravitatorio es conservativo y que el objeto que escapa del asteroide llega al infinito con velocidad nula, se cumplirá que:

(

Superficie

)

E

(

Infinito

)

0

E = =

(

Superficie

)

E

(

Superficie

)

0

Ec + p =

R 0 GMm 2mv

1 2

e =

 

−

+

R GMm 2mv

1 2

e =

R GM 2 ve=

1 3

11 15

e 8,77ms

10 5

10 88 , 10 2 67 , 6 2

v =

⋅ ⋅

=

Septiembre 2015. Pregunta 1A.-

Una nave espacial aterriza en un planeta desconocido. Tras varias mediciones se observa que el planeta tiene forma esférica, la longitud de su circunferencia ecuatorial mide 2·105 km y la aceleración de la gravedad en su superficie vale 3 m s‒2.

a) ¿Qué masa tiene el planeta?

b) Si la nave se coloca en una órbita circular a 30.000 km sobre la superficie del planeta, ¿cuántas horas tardará en dar una vuelta completa al mismo?

Dato: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10‒11 N m2 kg‒2. Solución.

a. La intensidad de campo gravitatorio (g) en la superficie de un planeta, se puede expresar en función de la masa del planeta y del radio, teniendo en cuenta que el peso de los cuerpos en la superficie del planeta es la fuerza con la que este le atrae.

Trabajando en módulo:

FG

P = 2

R GMm

mg = 2

R G M g =

Expresión que permite despejar la masa del planeta en función de g y R.

G R M g

2

=

El radio del planeta se calcula conocida la longitud de la circunferencia ecuatorial

(6)

(

ecuatorial

)

2πR

L =

( )

31830Km

2π 10 2 2π

ecuatorial

R L ⋅ 5

=

=

( )

4,56 10 kg

10 67 , 6

10 83 , 31

M 3 11 25

6 2

=

= ⋅

b. Se pide calcular el periodo de la nave en una órbita conocida la altura. Para calcular el periodo, se tiene en cuenta que en una orbita circular, y teniendo en cuenta que la nave describe un movimiento circular uniforme, la suma de todas as fuerzas que actúan sobre la nave debe ser igual a la fuerza centrípeta.

c

G F

F =

r mv r GMm

2

2 =

r GM v2=

Por otro lado, la velocidad orbital se puede expresar en función del período.

T r 2π v : T 2π ω

r v ω

 =



=

= ⇒

r GM T r

2

 =

 

 ⋅ 2 3

2

r GM T 4π

=

( ) ( )

55407s 15h23 '27''

10 56 , 4 10 67 , 6

10 30 10 83 , π 31 M 2 G

h π R M 2 G π r 2

T 11 25

6 3 3 6

3

=

=

⋅ +

= ⋅

= +

= ⋅

Junio 2015. Pregunta 1B.-

Un cuerpo esférico de densidad uniforme con un diámetro de 6,0·105 km presenta una aceleración de la gravedad sobre su superficie de 125 m s‒2.

a) Determine la masa de dicho cuerpo.

b) Si un objeto describe una órbita circular concéntrica con el cuerpo esférico y un periodo de 12 h,

¿cuál será el radio de dicha órbita?

Dato: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10‒11 N m2 kg‒2. Solución.

a. D = 6,0×1015 Km ⇒ R = 3,0×105 Km; g = 125 m/s2

Igualando el peso de un cuerpo en la superficie del planeta a la fuerza gravitacional se obtiene una relación entre la intensidad de campo gravitatorio, el radio del planeta y su masa.

FG

P = 2

R m GM g

m ⋅

=

2

R G M g =

( )

1,69 10 kg

10 67 , 6

10 3 125 G

R

M g 11 29

82 2

×

=

×

×

= ⋅

= ⋅

b. Para calcular el radio de la órbita se igual la fuerza gravitacional a la fuerza centrípeta, ya que por ser una órbita circular se cumple: F =G Fc

r mv r

m GM

2

2 =

r GM

v2=

( )

r GM r

ω⋅ 2= 2 3

r GM ω =

3 2

r GM T 2π

 =

 

2 2

3

4π G M T

r = 3 2

2

4π T M

r G⋅ ⋅

=

( )

8,11 10 m

3600 12 10 69 , 1 10 67 ,

r 36 2 8

2 29

11

×

⋅ =

×

= ×

Junio 2015. Pregunta 1A.-

Dos lunas que orbitan alrededor de un planeta desconocido, describen órbitas circulares concéntricas con el planeta y tienen periodos orbitales de 42 h y 171,6 h. A través de la observación directa, se sabe que el diámetro de la órbita que describe la luna más alejada del planeta es de 2,14·106 km. Despreciando el efecto gravitatorio de una luna sobre la otra, determine:

a) La velocidad orbital de la luna exterior y el radio de la órbita de la luna interior.

b) La masa del planeta y la aceleración de la gravedad sobre su superficie si tiene un diámetro de 2,4·104 km.

(7)

Dato: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10‒11 N m2 kg‒2. Solución.

a. Conocido el diámetro de la órbita y el periodo se puede calcular la velocidad orbital mediante la definición de velocidad media

ms 10883 s

3600 6 , 171

m 10 14 , 2 π T

D π T

r 2π t v s

9

⋅ =

×

= ⋅

= ⋅

= ⋅

=

El radio de la órbita de la luna interior se puede obtener mediante la tercera ley de Kepler.

En una órbita circular se cumple: F =G Fc r

mv r

m

GM2 = 2

r GM

v2=

( )

r GM r

ω⋅ 2= 2 3

r GM ω =

3 2

r GM T 2π

 =

 

2 2

3

4π G M T

r = cte

T r

2 3

=

22 23 12 13

T r T

r = 4,187 10 Km

6 , 171 42 2

10 14 , 2 T r T

r 3 2 5

2 6

3 2 2 12 2

1 × ⋅ = ×

=

=

b. La masa del planeta se puede obtener mediante la tercera ley de Kepler.

2 2

3

4π G M T

r =

(

171,6 3600

)

1,9 10 Kg

10 67 , 6

2 10 14 , π 2 4 T

G r 4π

M 11 2 27

9 3 2

2 3 2

×

=





 ×

=

= ⋅

La intensidad gravitatoria se calcula igualando el peso en la superficie del planeta a la fuerza gravitacional.

R2

m GM g

m =

( ) (

7

)

2 2

11 27 2

2 880ms

2 10 4 , 2

10 9 , 10 1 67 , 2 6 D G M R G M

g =

×

× ×

=

=

=

Modelo 2015. Pregunta 1B.-

Dos planetas, A y B, tienen el mismo radio. La aceleración gravitatoria en la superficie del planeta A es tres veces superior a la aceleración gravitatoria en la superficie del planeta B.

Calcule:

a) La relación entre las densidades de los dos planetas.

b) La velocidad de escape desde la superficie del planeta B si se sabe que la velocidad de escape desde la superficie del planeta A es de 2 km/s

Solución.

a. La expresión de la intensidad de campo gravitatorio de un planeta en su superficie se obtiene igualando el peso de un cuerpo en su superficie con la fuerza gravitacional que ejerce el planeta sobre el cuerpo.

R2

GMm

mg = 2

R G M g =

Se puede relacionar con la densidad del planeta si en el segundo miembro se multiplica y divide por πR

3 4

d R G 3π 4 V RM G 3π 4 R 3π 4 R M G 3π 4 R R 3π 4

M R 3π 4 G

g 2 = ⋅ ⋅ 3 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

=

Aplicando la expresión a los dos planetas y comparando.

d 3 d d d g

g

;3 g 3 g

R

; R d R G 3π 4

d R G 3π 4 g g

B A B A B

B B A

B A

B B

A A

B

A = ⇒ =





=

=

=

(8)

B A 3d d =

b. La velocidad de escape de la superficie de un planeta se obtiene igualando la energía mecánica que debería tener el objeto en la superficie a cero.

R 0 GMm 2mv

1 2

e− =

R 2GM ve =

El producto GM se puede sustituir por gR2, obteniendo de esa forma la velocidad de escape en funcion del radio del planeta y de la intensidad de campo gravitatorio.

gR R 2

2gR ve= 2 =

Si aplicamos esta expresión a los dos planetas y se comparan:

( )

( )

g 3

g 3 g

3 g

R R R g 2

R g 2 B v

A v

B B B

A B A B B

A A e

e = =





=

= =

= ⇒ ve

( )

A = 3ve

( )

B

( ) ( )

Kms 15 , 3 1 2 3

A B v

ve = e = =

Modelo 2015. Pregunta 1A.-

Un planeta de igual masa que la Tierra, describe una órbita circular de radio R, de un año terrestre de duración, alrededor de una estrella de masa M tres veces superior a la del Sol.

a) Obtenga la relación entre: el radio R de la órbita del planeta, su periodo de revolución T, la constante de la gravitación universal G, y la masa M de la estrella alrededor de la cuál orbita.

b) Calcule el cociente entre los radios de las órbitas de este planeta y de la Tierra.

Solución.

a. Para una órbita circular se cumple: F =G Fc

R mv R

GMm2 = 2

Simplificando y teniendo en cuenta que v=ω⋅R y que ω=2π T v2

R

GM = ; ω2 R2

R

GM = ⋅ ; 3 22 T 4π R

G M = ; 3 2 T2 4π R =GM

b. Aplicando la relación obtenida al planeta y a la tierra y dividiendo ambas, se obtiene la relación que se pide.

• Para el planeta: 3 2T2 4π R =GM

• Para la tierra: 3T Sol2 T2 4π R =GM

Comparando:

{ }

3

M M 3 M

M R : R T T : T 4π GM

T 4π GM R

R

Sol Sol 3 Sol

T 3 2 T

2 T Sol

2 2 3T

3

=

=

=

=

=

3 T

R 3 R =

Septiembre 2014. Pregunta 1B.-

Un planeta esférico tiene una densidad uniforme ρ = 1,33 g cm‒3 y un radio de 71500 km. Determine:

a) El valor de la aceleración de la gravedad en su superficie.

b) La velocidad de un satélite que orbita alrededor del planeta en una órbita circular con un periodo de 73 horas.

Dato: Constante de gravitación universal, G = 6,67×10‒11 N m2 kg‒2 Solución.

a. Para calcular la aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta, se tiene en cuenta que

(9)

en la superficie, la fuerza con la que el planeta atrae a los cuerpos es peso de los cuerpos P

FrG=r en módulo: 2 o

P

g R m

m GM⋅ = ⋅

simplificando: 2

P

o R

G M g =

La masa del planeta se puede calcular mediante la densidad.

R ρ G 3π 4 R

R ρ 3π 4 R G

3π V 4

esférico Supusto R

V ρ R G

G M

g 2 P

P 3P 3P

2P 2P

o = ⋅ ⋅ ⋅

=









= =

= ⋅

=

3 2 3

P 11

o π 6,67 10 71500 10 1,33 10 26,57ms

3 ρ 4 R G 3π

g =4 ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ × ⋅ × ⋅ × =

b. Para calcular la velocidad de un satélite en órbita circular se tiene en cuenta que es M.C.U., y por tanto la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el satélite debe ser igual a la fuerza centrípeta.

Centrípeta

F Fr r

= ⇒ En módulo: F =G FC ;

R mv R

GMm2 = 2 ;

R M v2 G⋅

= ;

R M

v G⋅

=

De igual forma que en el apartado anterior, la masa se expresa en función del radio del planeta y de su densidad.

El radio de la órbita, se calcula a partir del periodo mediante la tercera ley de Kepler.

3 2 T 2 2π 2 ω

2 2

R M G T 4π R

M R G

:ω R v ωR

M

v G ⋅

=

 →

⋅ 

=





=

= ⋅ = ; 3 2 2

4π T M

R G⋅ ⋅

=

3 2

P 3

2 2 3P

3P

3 2

2

3π T G ρ R 4π

T R ρ 3π G 4 R : R ρ 3π M 4

4π T M

R G ⋅ ⋅

=

=





=

= ⋅

( )

617649Km

3600 73 10 33 , 1 10 67 , 71300 6

R 3

3 2 11

× =

×

⋅ ×

=

Sustituyendo en la expresión de la velocidad.

R 3

R ρ G 4π R

R ρ 3π G 4 v : R ρ 3π M 4

R M

v G 3

P 3P

3P

= ⋅

=





=

= ⋅

( )

ms 14767 10

617649 3

10 33 , 1 10 71300 10

67 , 6 4π R

3 R ρ G 4π

v 3 3

33 11

3P =

×

×

×

×

= ⋅

= ⋅

Septiembre 2014. Pregunta 1A.-

Un satélite describe una órbita circular alrededor de un planeta desconocido con un periodo de 24 h. La aceleración de la gravedad en la superficie del planeta es 3,71 m s‒2 y su radio es 3393 km. Determine:

a) El radio de la órbita.

b) La velocidad de escape desde la superficie del planeta.

Solución.

a. Si un satélite describe una órbita circular uniforme, se debe cumplir:

Centrípeta

F Fr=r

⇒ En módulo: F =G FC ;

R mv R

GMm2 = 2 ;

R M v2 G⋅

=

(10)

3 2 T 2 2π 2 ω

2 2

R M G T 4π R

M R G

:ω R v ωR

M

v G ⋅

=

 →

⋅ 

=





=

= ⋅ = ; 3

2 2

4π T M R G⋅ ⋅

=

El producto G·M se puede expresar en función del radio del planeta y de la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta, teniendo en cuenta que en la superficie del planeta, el peso de los cuerpos es la fuerza con la que los atrae el planeta. Trabajando en módulo:

FG

P = ; 2

P

o R

m GM

mg ⋅

= ; 2

P

o R

G M

g = ; G⋅M=go⋅R2P Sustituyendo en la expresión del radio:

( )

Km 20060 m

10 06 , 20 4π

h 3600s h 24 m 10 s 3393

71 m , 3 4π

T R

R g 3 2 6

2 2 3 2

3 2

2 2P

o = × =



 

 ⋅

×

⋅

 

⋅ =

= ⋅

b. Teniendo en cuenta que el campo gravitatorio es conservativo, se cumple:

(

Superficie

)

E

(

Infinito

)

EM = M

La energía mecánica en el infinito es nula porque el cuerpo se supone que llega con velocidad cero (teórico), energía cinética cero y la distancia es infinita, energía potencial cero.

(

Superficie

)

0

EM = ; Ec

( )

S +Ep

( )

S =0 ; 0 R GMm 2mv

1

P

2e =



− +

P

2e R

GMm 2mv

1 =

;

P

2e R

G M 2

v =

;

o P

P 2P o P

e 2g R

R R 2g R

M 2G

v ⋅ = ⋅

⋅ =

=

ms 5018 m 10 s 3393

71 m , 3 2 R g 2

ve o P 2⋅ × 3 =

 

⋅ 

=

=

Junio 2014. Pregunta 1B.-

Un cohete de masa 2 kg se lanza verticalmente desde la superficie terrestre de tal manera que alcanza una altura máxima, con respecto a la superficie terrestre, de 500 km.

Despreciando el rozamiento con el aire, calcule:

a) La velocidad del cuerpo en el momento del lanzamiento. Compárela con la velocidad de escape desde la superficie terrestre.

b) La distancia a la que se encuentra el cohete, con respecto al centro de la Tierra, cuando su velocidad se ha reducido en un 10 % con respecto a su velocidad de lanzamiento.

Datos: Radio Terrestre, RT = 6,37×106 m ; Masa de la Tierra, MT = 5,97×1024 kg;

Constante de Gravitación Universal, G = 6,67×10‒11 N m2 kg‒2 Solución.

a. Si se desprecian los efectos de rozamiento, se puede considerar que el campo gravitatorio dentro de la atmosfera terrestre es conservativo, y por tanto, ∆Em =0

(

h 500Km

)

E

(

Superficie

)

Em = = m

Si el cohete llega hasta la altura de 500 Km y se detiene (no orbita), en esa posición su energía mecánica solo tendrá componente potencial, por otra parte, en la superficie terrestre, la energía mecánica del cohete en el momento de lanzamiento será la suma de su energía cinéta y su energía potencial.

2o T

T

2mv 1 R GMm h R

G Mm =− +

− +

2o T T

2v 1 R G M h R

G M =− +

− +

h R G M R G M 2v 1

T T o2

− +

= 



− +

= R h

1 R

GM 1 2 v

T T 2o





× +

− ×

⋅ ×

×

=



− +

= 11 24 6 6 3

T T

o 6,37 10 500 10

1 10

37 , 6 10 1 97 , 5 10 67 , 6 h 2

R 1 R

GM 1 2 v

o 3016,5ms 1

v =

(11)

Velocidad de escape: Teniendo en cuenta que el cohete se escapa del campo gravitatorio cuando alcanza una distancia “infinita” y lo hace con una velocidad nula (teórica), y por otro lado, que el campo gravitatorio es conservativo, se debe cumplir que Em

(

Superficicie

)

=Em

(

"Infinito"

)

.

2 e2

T

0 2m 1 GMm 2mv

1 R

GMm + ⋅

− ∞

= +

− ⇒ mv 0

2 1 R

GMm 2e

T

= +

T

e R

G M 2 v =

Comparando la velocidad inicial necesaria para llevar el cohete a una altura de 500 Km con la velocidad de escape:

( )

0,27

500 6370

500 h

R h R

GM 1 2

h R R GM h 2

R G M 2

h R

1 R

GM 1 2 v v

T T

T T

T T T e

o =

= +

= +

= +





− +

=

Para que un cohete llegue a una altura de 500 Km desde la superficie terrestre se necesita una velocidad aproximadamente igual al 27 % de la velocidad de escape del campo gravitatorio terrestre.

b. Manteniendo el mismo criterio de campo conservativo:

(

r R

)

E

(

r R

)

Em = T = m =

2 2o

T

2mv 1 R GMm 2mv

1 R

GMm+ =− +

Simplificando la masa del cohete y teniendo en cuenta que o vo 0,9vo 100

v 10

v= − =

(

o

)

2

2o T

v 9 , 2 0 1 R GM 2v

1 R

G M + =− +

2

(

o

)

2

o T

v 9 , 2 0 1 R GM 2v

1 R

G M + =− +

o2 2o T

2v v 1 81 , 20 1 R G M R

GM = + − 2o

T

v 095 , R 0 GM R

GM= −

2o T

v 095 , R 0 GM R GM

=

m 10 46 , 6 5 , 3016 095 , 10 0

37 , 6

10 97 , 5 10 67 , 6

10 97 , 5 10 67 ,

R 6 6

2 6

24 11

24 11

×

=

× −

×

×

×

= ×

Junio 2014. Pregunta 1A.-

El planeta A tiene tres veces más masa que el planeta B y cuatro veces su radio.

Obtenga:

a) La relación entre las velocidades de escape desde las superficies de ambos planetas.

b) La relación entre las aceleraciones gravitatorias en las superficies de ambos planetas.

Solución.

a. La velocidad de escape de un campo gravitatorio se calcula teniendo en cuenta que es conservativo y por tanto la energía mecánica se conserva.

0 Em =

∆ ⇒ Em

(

Superficie

)

=Em

(

Infinito

)

Suponiendo que al infinito se llega con velocidad nula (teórico), en el infinito la energía mecánica del objeto será nula.

(

Superficie

)

0

Em = Ec

(

superficie

)

+Ep

(

Superficie

)

=0 0 R GMm 2mv

1 2

e− =

R GM 2 ve= Aplicando la expresión para los planetas A y B:

( )

A

e RA

GM 2 A

v =

( )

B

e RB

GM 2 B

v =

Comparando:

(12)

( )

( )

2

3 4 3 R 4 M

R M 3 R

4 R

M 3 M R M

R M R

GM 2

R GM 2 B v

A v

B B

B B B

A B A A B

B A

B B A A

e

e = =

= ⋅





=

= =

= ⋅

=

( )

v

( )

B 2 A 3

ve = e

b. La intensidad de campo gravitatorio se obtiene igualando el peso con la fuerza de atracción gravitatoria. En módulo:

FG

P = 2

R GMm

mg = 2

R G M g = Aplicando la expresión para los planetas A y B:

2A A A

R GM

g = 2

B B B

R GM g = Comparando:

( )

16

3 R

4 M

R M 3 R

4 R

M 3 M R M

R M R GM

R GM g g

2 B B

2B B B

A B A 2A B

2B A

2B B 2A A

B

A =

= ⋅





=

= =

= ⋅

=

B

A g

16 g = 3

Modelo 2014. Pregunta 1B.-

Los satélites Meteosat son satélites geoestacionarios, situados sobre el ecuador terrestre y con un periodo orbital de 1 día.

a) Suponiendo que la órbita que describen es circular y poseen una masa de 500 kg, determine el módulo del momento angular de los satélites respecto del centro de la Tierra y la altura a la que se encuentran estos satélites respecto de la superficie terrestre.

b) Determine la energía mecánica de los satélites.

Datos: Radio Terrestre = 6,37×106 m ; Masa de la Tierra= 5,97×1024 kg;

Constante de Gravitación Universal G = 6,67×10‒11 N m2 kg‒2 Solución.

a. El momento angular de un satélite que orbita en torno a un planeta es v

m r Lr=r× r Donde rr

representa el radiovector que une al satélite con el centro del planeta y vr

la velocidad lineal del satélite en la órbita. El módulo del momento angular es:

sen α v m r senα v m r L

Lr = = rr ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

Teniendo en cuenta que la velocidad es tangente a la trayectoria, y que el satélite describe una α

= 90 y sen α = 1.

{ }

T 2π m T r

2π ω m ω r r v ω v m r

L 2 = 2⋅ ⋅





 =

=

=

=

=

=

T r m 2π L ⋅ ⋅ 2

=

Para determinar el radio de la órbita se tiene en cuenta que el satélite describe un movimiento circular uniforma, y por tanto, todas las fuerzas que actúan sobre el deberán ser igual a la fuerza centrípeta.

c

G F

F =

r mv r

m GM2⋅ = 2

v2

r

GM=

(

ω r

)

2

r GM= ⋅

2 3

ω M r G⋅

=

( )

2

3

πT 2

M r G⋅

= 3 2 T2

4π M r G⋅ ⋅

= Si el satélite es geoestacionario, el periodo es un día.

(13)

(

24 3600

)

42,25 10 m

10 98 , 5 10 67 , T 6 4π

M

r 3G 2 3 112 24 2 6

2 × ⋅ × ⋅ ⋅ = ×

=

⋅ ⋅

=

Conocido el radio de la órbita se calcula el módulo del momento angular.

(

6

)

2 12 2 1

2

s m kg 10 9 , 3600 64

24

10 25 , 42 500 2π T

r m 2π

L = ×

×

= ⋅

= ⋅

La altura del satélite respecto de la superficie de la tierra será la distancia del satélite al centro de la tierra menos el radio de la tierra.

m 10 88 . 35 10 37 , 6 10 25 , 42 R r

h= − T = × 6− × 6= × 6

b. r

GMm 2 1 r GM 2m 1 r GMm 2mv

1 r GMm E

E

EM= p+ c=− + 2=− + ⋅ =−

J 10 36 , 10 2

25 , 42

500 10 98 , 10 5 67 , 26 1 r GMm 2

EM 1 11 24 6 =− × 9

×

⋅ ×

×

=

=

Modelo 2014. Pregunta 1A.-

La masa del Sol es 333183 veces mayor que la de la Tierra y la distancia que separa sus centros es de 1,5×108 Km. Determine si existe algún punto a lo largo de la línea que los une en el que se anule:

a) El potencial gravitatorio. En caso afirmativo, calcule su distancia a la Tierra.

b) El campo gravitatorio. En caso afirmativo, calcule su distancia a la Tierra.

Solución.

a. El potencial gravitatorio en un punto debido a una masa M vine determinado por la expresión:

( )

r

G M r V =− ⋅

Se busca un punto en la línea que une los

centros del Sol y la Tierra donde el potencial debido al Sol y la tierra sea nulo. Si el punto buscado se encuentra a una distancia d de la Tierra y 1,5×1011 ‒ d del Sol, se deberá cumplir:

0 V V

V= S+ T = 0

d G M d 10 5 , 1 G M

V 11S T=

 

− ⋅ +

×

= d 0 G M d 10 5 , 1

M 333183

G 11 T − ⋅ T =

×

d G M d 10 5 , 1

M 333183

G 11 T = ⋅ T

×

d 1 d 10 5 , 1

333183

11 =

×

− d=−450204<0

No hay ningún punto en la línea que une los centros del Sol y de la Tierra donde el potencial se anule

b. Según la Ley de Gravitación Universal, el campo determinado por una masa en un punto viene expresado por la siguiente función:

( )

2 ur

r G M r

Er =− ⋅ r Se busca un punto en la línea que une los

centros del Sol y la Tierra donde el campo gravitatorio debido al Sol y la tierra sea nulo. Si el punto buscado se encuentra a una distancia d de la Tierra y 1,5×1011 ‒ d del Sol, se deberá cumplir:

( ) ( ) ( )



− +

×

=

= r

2T 2 r

11

S u

d GM u

d 10 5 , 1 G M 0 r

Er r r

(14)

(

11S

)

2 r d2Tur

GM u d 10 5 , 1

G M r r

=

×

(

11 T

)

2 d2T

M d 10 5 , 1

M 333183

=

×

( )

333183

d d 10 5 , 1

2 11 2

− =

× 333183

d d 10 5 ,

1 11

±

− =

×

Tierra la de centro del m 10 594 , 333183 2 1

10 5 , d 1

* 11 = × 8

+

= ×

Distancia al centro del sol = 1,5×1011 ‒ 2,594×108 = 1,197×1011 m

*El signo negativo de la raíz no se tiene en cuenta ya que daría una distancia negativa

Septiembre 2013. Pregunta 1B.-

Dos planetas, A y B, tienen la misma densidad. El planeta A tiene un radio de 3500 km y el planeta B un radio de 3000 km. Calcule:

a) La relación que existe entre las aceleraciones de la gravedad en la superficie de cada planeta.

b) La relación entre las velocidades de escape en cada planeta.

Solución.

a. La expresión de la aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta se obtiene del hecho de que en la superficie de un planeta, el peso de un cuerpo es la fuerza gravitacional con la que atrae el planeta al cuerpo.

FG

P = 2

R m GM g

m ⋅

=

2

R G M g = Si se aplica esta expresión a cada uno de los planetas y se compara:

2A B

2B A B A

2B B 2A A

B A 2B B B

2A A A

R M

R M g g ordenando y

ndo simplifica

R GM

R GM

g :g R GM g

R GM g

= ⋅

=





=

=

Para encontrar una la relación entre las masas de ambos planeta, se parte de la igualdad de las densidades.

3B 3A

B A 3B B 3A

A

3B B B

B B

3A A A

A A

B

A R

R M M R 3π 4

M R

3π 4 : M R 3π 4

M V

d M

R 3π 4

M V

d M : d

d = ⇒ =









=

=

=

=

=

Teniendo en cuenta ambas relaciones:

6 7 3000 3500 R

R g g ndo simplifica R

R R R g :g

R R M M

R M

R M g g

B A B A 2A

2B 3B 3A

B A

3B 3A B A

2A B

2B A B A

=

=

=

=





=

= ⋅

B

A g

6 g =7

b. Se denomina velocidad de escape de un planeta a la mínima velocidad de lanzamiento de un cohete para que pueda escapar de la atracción gravitatoria del planeta. Teniendo en cuenta que el cohete se mueve sometido a una fuerza conservativa, la energía mecánica se conserva, y suponiendo que el cuerpo llega al infinito con velocidad nula, se ha de cumplir:

(

Superficie

)

E

(

Infinito

)

0

EM = M =

(

Superficie

)

E

(

Superficie

)

0

Ec + p = 0

R GMm 2mv

1 2

=

 

−

+

R GM 2 v =

Si aplicamos la expresión de la velocidad de escape a los dos planetas y se compara:

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