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FIGURAS EN SERIE
Razonamiento Matemático
Bloque 2
El presente material recopila una serie de definiciones, explicaciones, ejemplos y ejercicios prácticos de autores especializados que te ayudarán a comprender los temas principales de este bloque.
Las marcas empleadas en la antología son única y exclusivamente de carácter educativo y de investigación, sin fines lucrativos ni comerciales.
2. Razonamiento abstracto
El razonamiento abstracto se aplica en el proceso para resolver problemas de tipo lógico.
2.1. Figuras en serie
Se colocan figuras en una secuencia que sigue un cierto patrón; lo que debemos hacer es determinar cuál es ese patrón para identificar cuál es la siguiente figura.
Veamos algunos ejemplos:
Figura 1. Ejemplo 1
Fuente: Nibcode Solutions (2019).
En este caso, podemos observar dos partes de las figuras que se modifican. El primero es el pequeño triángulo que está en las esquinas y el segundo es la manecilla.
Analicemos cada parte por separado. En el caso del triángulo, en la primera figura se encuentra en la esquina inferior derecha, en el segundo caso está en la esquina superior derecha (se podría decir que
?
1 2 3
4 5 6
Figuras en serie
ascendió), luego está en la esquina superior izquierda (avanzó a la izquierda). Esto implica que el trián- gulo sigue una trayectoria de la siguiente manera:
Lo cual indica que el triángulo se encontrará en la esquina inferior izquierda.
Por otro lado, la manecilla se mueve en el siguiente sentido de las manecillas del reloj. Y en cada figura se mueve sólo un octavo del movimiento del círculo completo. Esto significa que, si volvemos a mover la manecilla un cuarto de movimiento, y con sentido a la derecha, entonces tendremos lo siguiente:
Figura 2. Ejemplo 2
Fuente: Nibcode Solutions (2019).
Nuevamente, observemos las características que tiene cada figura. Por ejemplo, al inicio hay cuatro triángulos con rayas en su interior. En la segunda imagen aparece un triángulo con el mismo diseño, pero está dentro de un cuadrado. Después aparecen tres círculos negros colocados en forma de triángulo; lo anterior nos da una pista de que la forma en la que están colocados los triángulos, y luego los círculos, se relaciona con la figura que se forma.
?
1 2 3
4 5 6
En el primer caso teníamos cuatro triángulos, y después se observa un cuadrado que contiene a uno de esos triángulos. En la tercera figura tenemos tres círculos, si seguimos la lógica anterior, la figura que se forma es un triángulo y contendrá uno de esos círculos.
Por lo tanto, la respuesta correcta es la figura 5.
Comúnmente a este ejemplo le llaman analogías de figuras porque para determinar la cuarta figura ne- cesitamos conocer lo que pasó con las dos anteriores y hacer lo mismo con la tercera figura.
Estos ejemplos muestran algunas estrategias para determinar el comportamiento de la secuencia de figuras. Sin embargo, es importante practicar para mejorar este tipo de razonamiento.
2.2. Escalas
En la vida diaria podemos encontrar objetos que son demasiado grandes para representar en su tama- ño original dentro de una hoja de papel; en contraste, algunos objetos son demasiado pequeños y nos costaría trabajo apreciar ciertos detalles si lo observamos en su tamaño original.
Por ello, es que con frecuencia se recurre al trabajo a escala. Por ejemplo, un ingeniero civil cuando tiene que diseñar algún edificio lo hace a escala. ¿Cómo hace esto?
Primero establece un patrón de medida, es decir, el objeto original será unas dos veces más grande —o tal vez unas 100 veces más grande—. También es posible dibujar algo pequeño en algo más grande, como podría ser el caso de algún insecto.
Veamos el siguiente ejemplo:
Figura 3. Escala
Fuente: Valero (2013).
Escalas
4.75 cm 9.5 cm
19 cm
1:2
1:1
2:1 Reducción
Natural
Ampliación
Notamos que el dibujo original mide 9.5 cm. Cuando queremos reducirlo en tamaño, cada parte del ori- ginal se representa con la mitad de sus longitudes, esto se escribe como 1:2. Si, por el contrario, lo que queremos es ampliarlo, entonces se representa como 2:1, y cada trazo medirá el doble de su longitud original.
Ahora imaginemos el caso contrario, es decir, que tenemos una figura a escala y queremos saber su tamaño original, para tal fin, es importante identificar cómo está escrita la escala. Retomando el ejemplo anterior, tenemos lo siguiente:
Si la escala es 1:2, entonces el dibujo original es más grande, y para saber las dimensiones originales habrá que multiplicar todas sus longitudes por 2.
Si la escala es 2:1, entonces el dibujo original es más chico y para regresar a este último habrá que dividir todo entre 2.
Vamos a resolver los siguientes ejercicios:
Figura 4. Ejercicio de escala 1
Fuente: Morales (2016).
En este caso, la primera figura está en una escala 1:4, es decir, es más pequeña que la original. Además, significa que, por cada centímetro, la original mide 4 centímetros. Tomemos uno de los lados de longi- tud 7cm, queremos ampliarlo a su tamaño original, para lo cual multiplicamos 4 por 7 para obtener la longitud original.
De manera similar hacemos con la longitud de 4 cm, la multiplicamos por 4, pues el original es cuatro veces más grande.
Por lo tanto, la figura original mide 28 cm en dos de sus lados y 16 cm de largo en la base.
7 cm 7 cm 4 cm Escala 1:4
Figura 5. Ejercicio de escala 2
Fuente: Morales (2016).
En esta ocasión, la figura tiene una escala de 2:0.5 con respecto a la original, esto es, la figura original es más pequeña. Para calcular sus valores es fundamental observar que por cada 2 cm de longitud de la figura ampliada, equivale a 0.5 cm de la figura original. A partir de lo anterior, sabemos que si 2 cm equivaldrían a 0.5 cm, entonces 4 centímetros equivaldrán a 1 cm.
Así, por cada 4 centímetros, la figura original tiene un centímetro de longitud. Entonces, el lado que mide 12 cm lo dividimos entre 4, hacemos lo mismo para la longitud de 15 cm y la de 9 cm.
Finalmente, advertimos que en la figura original un lado mide 3 cm, otro mide 3.75 cm y el otro mide 2.25 cm.
Estos cálculos son los que se efectúan en la construcción para hacer dibujos a escala. Así, cada parte del edificio o casa se representa con una reducción en los planos. No olvides que es muy importante indicar la escala a la que está el esquema, pues de este modo se sabe el tamaño original de cada una de las partes, que deben ser proporcionales entre sí, puesto que no sería conveniente hacer un techo de medio metro de altura para una casa de tamaño real.
2.3. Construcciones de figuras
¿Has notado los efectos que se utilizan para dibujar algo en dos dimensiones tomado de la realidad?
Por ejemplo, para simular la distancia a lo lejos se dibujan líneas que convergen en un punto y eso da la impresión de que es algo muy lejano.
Representar figuras de tres dimensiones en un plano no siempre es sencillo, no obstante, solemos uti- lizar la perspectiva para imaginarnos ese objeto en la realidad. Un ejemplo muy común son los cubos, cuando dibujamos un cubo no dibujamos todas sus caras, pero sabemos que esas se encuentran ahí.
Escala 2: 0.5
12 cm 15 cm
9 cm
Ahora bien, cuando queremos construir un cubo y tenemos algunas plantillas que si las recortamos y las unimos formarían nuestra figura tridimensional. Algunas plantillas que nos sirven son las siguientes:
Figura 6. Formas para hacer un cubo
Fuente: Ceberio (s.f.).
Ahora bien, si a cada cara de estas plantillas les dibujamos diferentes diseños y luego construimos el cubo, las caras tendrán un orden específico. Si ahora esa construcción la hacemos de manera mental, necesitamos cuidar cómo se verán las caras del cubo a partir de la plantilla.
Hagamos el siguiente ejemplo:
Figura 7. Caras del cubo
Fuente: Test-Gratis (2019).
En la plantilla notamos que la plantilla genera un cubo en donde las caras superior e inferior serán blancas y las laterales tendrán un círculo. El único caso cuando eso sucede es en el cubo 2, puesto que la cara inferior (o superior) se muestra enfrente.
Formas para hacer un cubo
1 2 3
También podemos hacer construcciones de figuras que no son cubos, por ejemplo:
Figura 8. Formas que no son cubos
Fuente: Jurado (2012).
Tenemos una figura tridimensional parecida a una casa. Para saber a cuál construcción corresponde, observemos que los pequeños cuadrados negros se encuentran en caras que no son laterales, sino opuestas. Además, en el molde observamos que el triángulo encima de las caras que tienen los cuadros negros, son blancas. Por consiguiente, buscamos la figura tridimensional en donde una cara tiene el pequeño cuadro negro y otra no, las que lo cumplen son B y C. Si ahora consideramos que encima de la cara con el cuadro negro debe haber un triángulo blanco, entonces la respuesta es B.
2.4. Rotación de figuras
La rotación de figuras consiste en identificar cuál será la siguiente figura en una sucesión donde lo que se realiza entre cada término de la sucesión es una rotación. Las rotaciones pueden ser de giros de 30°, 90° o de otros grados, como aparece en la imagen.
Figura 9. Rotación de figuras
Fuente: Núñez-Peña y Aznar-Casanova (2009).
A B C D
...
...
...
0º 30º 60º 90º 120º 150º 330º
Veamos un ejemplo:
Figura 10. Rotación
Fuente: Editorial Santillana (2010), citado en Gordaliza (2016, p. 17).
En la imagen, observa que el cubo está rotando, porque cambia y estamos advirtiendo cómo cambia.
La cara que tiene un cuadrado blanco en una esquina y un cuadro oscuro en la contra esquina, gira entre cada término:
Figura 11. Rotación del cubo
Fuente: Editorial Santillana (2010), citado en Gordaliza (2016, p. 17).
Con este patrón sabremos que en cada giro la cara de enfrente “va subiendo”. Por lo tanto, la cara de enfrente quedará arriba y, si retomamos la primera figura, podremos conocer cómo será la cara de en- frente. Así, la respuesta correcta es C.
2.5. Matrices de figuras
Las matrices de figuras consisten en esquemas de nueve figuras, se muestran ocho de ellas y al inter- pretar su comportamiento se deduce la novena figura.
Cabe destacar que es imprescindible reconocer las características y el patrón de secuencia para en- contrar la figura faltante.
A B C D
...
...
En los casos de las matrices de figuras, debemos fijarnos no sólo en la secuencia de manera horizontal, porque ésta puede ser una secuencia vertical o referirse a un cierto comportamiento entre dos figuras.
Por ello, es importante observar con cautela y reflexionar lo que sucede de manera global, por renglón y por columna, esto ayudará a tener en claro el patrón para encontrar la figura faltante.
Analizaremos el siguiente ejemplo:
Figura 12. Matrices de figuras
Fuente: Rivera (2017).
Observemos que lo que tenemos en la primera columna más lo que tenemos en la segunda columna, da como resultado las figuras de la tercera columna. Es decir, en la primera fila están dos líneas, luego está una X y en la tercera figura se encuentran las dos líneas con la X. Pasa lo mismo en la segunda fila, al agre- gar el círculo con la cruz. Por lo tanto, al agregar al hexágono las tres líneas obtenemos la respuesta: C.
Veamos ahora el siguiente ejemplo:
Figura 13. Matrices
Fuente: Nibcode Solutions (2019).
Observemos lo que sucede en cada fila: en la primera, si encimamos la primera figura con la segunda advertiremos que el trazo de las dos líneas diagonales se traslapa; así que en la tercera figura, se quitan esas líneas y sólo quedan las que no se traslapan.
En la siguiente fila tenemos algo similar, puesto que la única línea que se traslapa es la que esta horizontal en la parte inferior. De tal modo, ésa no aparecerá en la tercera figura.
?
A B C D?
1 2 3 4
5 6 7 8
Finalmente, en la tercera fila —al traslapar las dos imágenes— la línea diagonal es la que quitamos y las demás quedan en la figura; en consecuencia, la respuesta es la figura 8.
Con estos ejemplos podemos identificar algunas estrategias para encontrar la figura faltante, sin embar- go, no son las únicas, por lo cual es necesario practicar con diferentes casos para ir generando nuevas formas de ver la conexión entre las figuras de la matriz.
2.6. Interpretación de gráficos
Los señalamientos son imágenes que nos comunican algo y al saber interpretarlas podremos tomar de- cisiones. Por ejemplo, cuando vamos en la carretera y nos apoyamos en los señalamientos para saber si hay alguna curva estrecha o alguna zona de acotamiento o para saber a dónde dirigirnos.
Saber interpretar las figuras es algo fundamental y lo mismo aplica en matemáticas. Es necesario inter- pretar adecuadamente las señales para poder hacer un análisis adecuado.
Un caso en donde nos encontramos con gráficos es cuando hablamos de estadísticas. Éstas se asocian con el área de las ciencias sociales con la población y alguna característica respecto a un cierto periodo de tiempo.
En la siguiente gráfica se muestra el porcentaje de la población hablante de lengua indígena entre 1895 y 1995.
Figura 14. Interpretación de gráficos
Fuente: Dolores y Cuevas (2007).
Porcentaje de la población hablante de lengua indígena entre 1895 y 1995
Porcentajes
1895 30.0
25.0 20.0 15.0 10.0 5.0
0.0 1900 1910 1921 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 1995
!"#$ %
!&#' %
!$#( %
$)#( %
*#+%,#+%
"#+%
'#" % ,#" % (#) % ,#+%"#( %
!
16.2 15.3 12.9
29.0
8.4 7.4 6.4
3.6
7.6 9.0
7.4 6.9
Hacer una interpretación del gráfico requiere de observar la relación entre el eje de las variables depen- dientes y de las variables independientes. El eje vertical (dependiente) corresponde al porcentaje de la población que habla alguna lengua indígena; el eje horizontal (independiente) es el tiempo dividido en años, desde 1895 hasta 1995. Sólo se muestran algunos años y éstos no van de 10 en 10 o de cinco en cinco, pero sí están ordenados cronológicamente.
Una vez determinado cómo se clasifican los años, advertimos el comportamiento de los porcentajes conforme el tiempo ha avanzado. También notamos que el máximo porcentaje corresponde al 29.9% de la población, lo cual ocurrió en 1921; lo anterior es una interpretación particular de la gráfica.
También podemos centrarnos en el comportamiento (interpretación) global. Esto ocurre cuando analizamos los cambios de manera general en el porcentaje, por ejemplo, que la gráfica no es creciente y tampoco podemos decir que decrece de manera general. Sin embargo, omitiendo el caso de 1921, podemos notar que el porcentaje tiende a disminuir conforme avanza el tiempo. Aunque bien, en algunos casos, éste tiene incrementos, como en 1978 y 1980.
Con estas interpretaciones se puede efectuar un análisis que proyecte lo que sucede con la población que habla una lengua indígena. Por ejemplo, si se quiere hacer una campaña para el apoyo a las lenguas indígenas, lo primero que se hace es un análisis del porcentaje de la población y, a partir de la gráfica, podremos determinar algunos momentos en los que ha habido un incremento. ¿Qué ocurrió en esas ocasiones?
Preguntarnos sobre momentos específicos nos lleva a saber el tipo de iniciativas que se han realizado previamente y ver la viabilidad de éstas en la actualidad. Incluso podemos preguntarnos sobre el porcen- taje que podría haber en la actualidad a partir de los últimos datos, a esto le llamamos extrapolación y nos sirve para anticiparnos a una posible cantidad porcentual de personas hablantes de la lengua indígena.
¿Has escuchado la frase “para el año tal se espera que ...”? Ésta se suele utilizar cuando por medio de la interpretación de gráficas podemos hacer extrapolaciones para determinar un posible fenómeno “si las cosas siguen así”. Por ejemplo, si en la gráfica observamos un decrecimiento durante un intervalo, entonces podemos esperar que éste seguirá después de ese intervalo, siempre y cuando las condiciones se mantengan de esa forma.
Ceberio, J. (s.f.). Diferentes formas para hacer un cubo. Calameo. Recuperado de
Dolores, C. y Cuevas, I. (2007). Lectura e interpretación de gráficas socialmente compartidas. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 10(1), 69-96.
Gordaliza, E. (2016). Desarrollo de la capacidad espacial en el área de tecnología. Trabajo final de Máster.
Universidad Politécnica de Madrid.
Jurado, R. (2012). Razonamiento abstracto. Slideshare. Diapositiva 152. Recuperado de Morales, J.B. (2016). Escalas aplicadas a figuras. Recuperado de
Nibcode Solutions. (2019). Test de razonamiento abstracto. Recuperado de
Núñez-Peña, M.I. y Aznar-Casanova, J. A. (2009). Rotación mental: cómo la mente rota las imágenes hasta colocarlas en su posición normal. Ciencia Cognitiva, 3(2), 58-61.
Rivera, M. (2017). Cómo resolver psicotécnicos de matrices. Ejercicio guiado #6. Neuronal Key. Recu- perado de
Test-gratis. (2019). Test de desarrollo de superficies o plegado de figuras. Ejercicios. Recuperado de Valero, V. (2013). Escala, cuadriculado y traslado de dibujos. Recuperado de