Criterio de comparación (I) (Gauss) Sea 0 ≤ a n ≤ b n , ∀n ∈ N. Si

UPM Ingeniería Civil MATEMÁTICAS II Series innitas. Septiembre, 2013

Criterios de convergencia para series de números positivos.

Criterio de comparación (I) (Gauss) Sea 0 ≤ a n ≤ b n , ∀n ∈ N. Si

∞

P

n=1

b n converge, entonces P ^∞

n=1

a n converge. Si P ^∞

n=10

a n es divergente, también lo es P ^∞

n=1

b _n .

Criterio de comparación (II) (Comparación en el límite o asintótica) Si a n > 0 y b n > 0, ∀n ∈ N, y l´ım

n→∞

a _n b n

= l , entonces

 Si l 6= 0, las series P ^∞

n=1

a _n y P ^∞

n=1

b _n tienen el mismo carácter.

 Si l = 0 y P ^∞

n=1

a n diverge, entonces P ^∞

n=1

b n diverge.

 Si l = 0 y P ^∞

n=1

b _n converge, entonces P ^∞

n=1

a _n converge.

 Si l = ∞ y P ^∞

n=1

b n diverge, entonces P ^∞

n=1

a n diverge.

 Si l = ∞ y P ^∞

n=1

a _n converge, entonces P ^∞

n=1

b _n converge.

Criterio de la raíz de Cauchy - Hadamard Sea P ^∞

n=1

a _n tal que l´ım

n→∞

√ n

a _n = l , entonces

 Si l < 1, la serie converge.

 Si l > 1, la serie diverge.

 Si l = 1, es un caso dudoso.

Criterio del cociente de D'Alembert Si a n > 0, ∀n ∈ N y l´ım

n→∞

a _n+1

a _n = l , la serie P ^∞

n=1

a _n

 Converge si l < 1.

 Diverge si l > 1.

 Es un caso dudoso si l = 1.

Criterio de Raabe - Duhamel Si a n > 0, ∀n ∈ N y l´ım

n→∞

 n



1 − a n+1

a _n



= l , la serie P ^∞

n=1

a n

 Converge si l > 1.

 Diverge si l < 1.

 Es un caso dudoso si l = 1.

(c) mmbs

Criterio del logaritmo de Cauchy (log es el logaritmo natural) Si a n > 0, ∀n ∈ N y l´ım

n→∞

− log a _n

log n = l , la serie P ^∞

n=1

a _n

 Converge si l > 1.

 Diverge si l < 1.

 Es un caso dudoso si l = 1.

Criterio del producto de Pringsheim Si a n > 0, ∀n ∈ N y l´ım

n→∞ n ^p a _n = l , con p ∈ R, la serie P ^∞

n=1

a _n

 Converge si l es nito y p > 1.

 Diverge si l 6= 0 y p ≤ 1.

Criterio de condensación

Si {a n } es una sucesión de términos positivos decreciente, entonces las series P ^∞

n=1

a _n y

∞

P

n=0

2 ⁿ a ₂

tienen el mismo carácter.

Criterios de convergencia para series alternadas.

Criterio de Leibnitz

Si {a n } es una sucesión de términos positivos decreciente y l´ım

n→∞ a _n = 0 , entonces la serie P ^∞

n=1

(−1) ⁿ⁺¹ a _n es convergente.

Criterios de convergencia para series arbitrarias.

Criterio de Abel La serie P ^∞

n=1

a n b n es convergente si la serie P ^∞

n=1

a n es convergente y la sucesión {b n } es monótona y acotada.

Criterio de Dirichlet La serie P ^∞

n=1

a n b n es convergente si la sucesión de sumas parciales de la serie P ^∞

n=1

a n está acotada y {b n } es un innitésimo decreciente.

(c) mmbs