Teorema de la

CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES F

C

Teorema de la

Divergencia de Gauss

Logros esperados

 Analiza y discrimina el uso del teorema de la divergencia en diversas situaciones intra-extra matemáticas

 Resuelve problemas de contexto real en

variadas situaciones haciendo uso del teorema de la divergencia.

 Calcula integrales de superficie discriminando el

uso del teorema de la divergencia, en variados

contextos intra-extra matemáticos.

Funciones de varias variables

El principio de Arquímedes afirma que cuando un

objeto se sumerge en un fluido se ejerce una fuerza hacia arriba sobre él

llamada fuerza de

flotación, cuya magnitud es numéricamente igual al peso del fluido

desplazado. El objeto se hundirá cuando la fuerza de flotación es menor que la magnitud del peso del objeto.

FUERZA DE FLOTACIÓN

¿Cómo demuestras el teorema de Arquímedes haciendo uso del teorema de la divergencia de Gauss?

Divergencia de una campo vectorial

Dado un campo vectorial 𝐹 = (𝑀; 𝑁; 𝑃) , se define

𝐝𝐢𝐯 𝑭 = 𝛁 ⋅ 𝑭 = 𝝏𝑴

𝝏𝒙 + 𝝏𝑵

𝝏𝒚 + 𝝏𝑷

𝝏𝒛

Ejemplo

Teorema de la divergencia

1

Calcule la divergencia del campo vectorial:

𝐹 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑥²𝑦 + cos(𝑦𝑧 )𝒊 + 𝑧𝑦 − 𝑥𝑒^𝑧 𝒋 + 𝑥𝑧² + 𝑦𝑥² 𝒌

Solución

Teorema de la divergencia de Gauss

Sea 𝐸 ⊂ ℝ

una región sólida cuya frontera es una unión de la forma

𝑆

donde

• Los 𝑆

⊂ ℝ

son superficies simples y regulares que no se solapan.

• Todas las superficies 𝑆

están orientadas por la normal exterior

Si 𝐹: 𝑈 ⊂ ℝ

→ ℝ

es un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas en un abierto 𝑈 ⊃ 𝐸, entonces

𝑭 ⋅ 𝑵𝒅𝑺

𝑺

= 𝐝𝐢𝐯(𝑭)𝒅𝑽

𝑬

Teorema de la divergencia de Gauss

Sólidos donde se puede aplicar el Teorema de Gauss

𝒏

𝒏 𝒏 𝒏

𝒏

𝒏 𝒏

Ejemplo

Teorema de la divergencia

1

Encuentre el flujo del campo vectorial

𝐹 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑧𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑥𝒌 sobre la esfera unitaria 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² = 1

Solución

Ejemplo

Teorema de la divergencia

2

Calcule la integral de superficie

𝐹 ⋅ 𝑛𝑑𝑆

𝑆

donde 𝐹 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 2𝑥 − 𝑦; 𝑧 − 2𝑦 ; 𝑧 , 𝑆 es la superficie que limita al sólido formado por un cubo cuya arista mide 4

unidades al cual se le ha extraído el cilindro de ecuación 𝑥² + 𝑧² + 7 = 4𝑥 + 4𝑧 y 𝑛 es la normal interior al sólido.

Solución

𝒙 𝒚

Ejemplo

Teorema de la divergencia

3

Calcule el flujo saliente del campo vectorial

𝐹 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑥𝑦𝒊 + (𝑦² + 𝑒^𝑥𝑧2)𝒋 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) 𝒌

a través de la superficie frontera de la región 𝑄 acotada por el cilindro parabólico 𝑧 = 1 − 𝑥² y los planos 𝑧 = 0, 𝑦 = 0, 𝑦 + 𝑧 = 2.

Solución

𝒙 𝒚

Ejemplo

Teorema de la divergencia

4

La superficie 𝑆 se obtiene al rotar la curva ABC alrededor del eje 𝑍. Si el volumen del sólido limitado por la superficie 𝑆 y los planos 𝑧 = ₂⁵ y 𝑧 = 3 es 𝑉, modele el flujo del campo vectorial 𝐹 a través de la superficie 𝑆 en términos de 𝑉.

𝐹 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑥³ + 2𝑦𝑧; 𝑧³ − 3𝑦𝑥²; 4𝑧

𝒙

𝒚 𝒛

𝒚

𝒛 𝑨(𝟐; 𝟑)

𝒛 = 𝒚 + 𝟏

𝒛 = 𝟓 − 𝟒 𝒚 − 𝟓 + 𝟔

𝑪 𝟑 𝟐; 𝟓

𝟐 𝑩

Lo que no debes olvidar

• El teorema de la divergencia se aplica sobre superficies cerradas (es decir que limitan completamente a un sólido)

No se aplica Si se aplica

• La divergencia de una campo vectorial es un campo escalar.

• En el teorema de la

divergencia siempre se debe considerar la normal orientada hacia el exterior del sólido.

𝒏 𝒏 𝒏

𝒏 𝒏

Responde las siguientes interrogantes:

Para reflexionar

 ¿Qué estrategia me resultó mas sencilla para reconocer sobre qué superficie se aplica el teorema de la divergencia?

 ¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las superé?

 ¿Cómo puede contribuir lo que aprendí en el

cálculo del flujo de un campo vectorial?

Actividades autónomas

La fuerza de flotación 𝐹 = 𝐹₁; 𝐹₂; 𝐹₃ sobre un objeto flotante 𝑅 cuya frontera es una superficie 𝑆 se puede expresar como

𝐹 = − 𝑝𝑛₁ 𝑑𝑆

𝑆

; 𝑝𝑛₂ 𝑑𝑆

𝑆

; 𝑝𝑛₃ 𝑑𝑆

𝑆

donde 𝑝 y 𝑛 = 𝑛₁; 𝑛₂ ; 𝑛₃ son la presión del fluido y el vector normal a la superficie 𝑆 en cada uno de sus puntos (𝑥; 𝑦; 𝑧). Por otro lado, la ley de la hidrostática afirma que la presión del fluido se relaciona con la densidad 𝛿 del mismo por la ecuación

𝛻𝑝 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝛿 𝑥; 𝑦; 𝑧 𝑔

donde 𝑔 es la aceleración constante de la gravedad.

Con esta información use el teorema de la divergencia para demostrar el principio de Arquímedes: “La magnitud de la

fuerza de flotación es numéricamente igual al peso del fluido desplazado”.

𝑭

𝑾

BIBLIOGRAFÍA

• [1] Larson, R.; Hostetler, R. y Edwards,B. (2010)

Cálculo Esencial 1ª ed. México: Cengage Learning

• [2] Stewart, J. (2010) Cálculo de varias variables conceptos y contextos. 4ª ed. México. Cengage Learning

• [3] Anton, H. (2009) Cálculo Multivariable. 2ª ed. México:

Limusa Wiley.

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• [5] Thomas, G. (2006) Cálculo varias variables. 11ª ed.

México: Pearson