Unidad 3. Movimiento Física. 1. Rapidez y velocidad...

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Unidad 3. Movimiento

Física

Contenido

1. Rapidez y velocidad...

1

2. Movimiento rectilíneo uniforme ...

3

3. Movimiento acelerado...

10

4. Movimiento uniformemente acelerado ...

10

5. Movimiento circular uniforme ...

13

5.1 Movimiento en una trayectoria circular ... 13 5.2 Aceleración centrípeta ... 14 5.3 Fuerza centrípeta ... 15 6. Gravedad y caída libre de los cuerpos ...

17

7. Movimiento de proyectiles ...

19

7.1 Lanzamiento horizontal ... 19 7.2 El problema general de las trayectorias ... 21 8. Vibraciones y ondas ...

23

8.1 Ondas mecánicas ... 23 8.2 Tipos de ondas ... 24 8.3 Cálculo de la velocidad de onda ... 25 9. Sonido ...

26

9.1 Producción de una onda sonora ... 26 9.2 La velocidad del sonido ... 27

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Física

Uno de los trabajos del físico es analizar el movimiento y representarlo en términos de relaciones fundamentales.

1. Rapidez y velocidad

La clase más simple de movimiento que puede experimentar un objeto es el movimiento rectilíneo uniforme. Si un objeto recorre las mismas distancias en cada unidad sucesiva de tiempo, se dice que el objeto se mueve con rapidez constante. Por ejemplo, si un tren recorre 8 m de vía cada segundo que se mueve, decimos que tiene una rapidez constante de 8 m/s sea la rapidez constante o no, la rapidez media de un objeto se define como:

La línea sobre el símbolo v significa que la rapidez es un valor promedio para un intervalo de tiempo t.

Hay que recordar que la dimensión de la rapidez es la relación de una longitud con intervalo de tiempo.

Por ello, las unidades típicas de rapidez son kilómetros por hora, metros por segundo, millas por hora, pies por segundo o centímetros por segundo.

Ejemplo. Un golfista hace un hoyo en uno e s después de que la pelota fue golpeada. Si la pelota viajó con una rapidez promedio de 0.8 m/s, ¿qué tan lejos se encontraba el hoyo?

Solución. Despejamos la ecuación para s:

La rapidez es una cantidad escalar completamente independiente de la dirección. En el ejemplo no fue necesario conocer la velocidad de la pelota de golf en un instante dado, ni la naturaleza de su trayectoria. En forma similar, la rapidez promedio de un automóvil que viaja de México a Acapulco es función tan solo de la distancia que marca su odómetro y del tiempo que empleó en hacer el viaje. Para efectos del cálculo, no importa si el conductor tomó la carretera libre o la del Sol; ni siquiera si se detuvo en Tres Marías a comer quesadillas.

Debemos aclarar la cantidad escalar rapidez y su contraparte direccional velocidad. También debemos recordar la diferencia entre distancia y desplazamiento. Si un objeto se mueve a lo largo de una trayectoria punteada de A y B, estamos ante el desplazamiento. Si la distancia realmente recorrida está dada por s, mientras que el desplazamiento está representado por coordenadas polares.

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Física

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Fig. 1. El desplazamiento y la velocidad son cantidades vectoriales, mientras que la distancia y la rapidez son independientes de la dirección;

distancias, desplazamiento D, velocidad v y tiempo t. Imagen retomada de:

http://1.bp.blogspot.com/_SPuKaCF3bpk/TQJdJya4 A_I/AAAAAAAAByw/Gjzb_b5_vW0/s320/Cinem%2 5C3%25A1tica+1.PNG

Como un ejemplo, digamos que la distancia s de la figura 1 es de 500 mi y que el desplazamiento es de 350 mi a 45°. Si el tiempo de viaje fuera de 9 h, la rapidez sería:

Sin embargo, la velocidad media debe considerar la magnitud y dirección del desplazamiento. La velocidad promedio está dada por:

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Por lo tanto, si la trayectoria de un objeto en movimiento es curva, la diferencia entre rapidez y velocidad es la dirección, así como la magnitud. Los automóviles no siempre viajan a rapidez constante durante largos periodos de tiempo. Para ir de un punto A al B, quizá no sea necesario frenar o aumentar la rapidez por las condiciones de la carretera. Por ello es a veces útil hablar de rapidez instantánea o velocidad instantánea.

 Rapidez instantánea es una cantidad escalar que expresa la rapidez que el automóvil tiene en un instante dado en un punto arbitrario C. Es, por tanto, la relación de cambio de la distancia al tiempo transcurrido.

 Velocidad instantánea es una cantidad vectorial que expresa su velocidad en el punto C. es la relación de cambio del desplazamiento al tiempo transcurrido.

Cuando el movimiento es rectilíneo (sin cambio de dirección) se puede utilizar rapidez o velocidad in- distintamente, sin embargo, conservaremos la diferencia de términos para los casos en los que se re- quiera describir el movimiento en forma más completa.

2. Movimiento rectilíneo uniforme

Fue definido, por primera vez, por Galileo en los siguientes términos: "Por movimiento igual o uniforme entiendo aquél en el que los espacios recorridos por un móvil en tiempos iguales, tómese como se tomen, resultan iguales entre sí", o dicho de otro modo, es un movimiento de velocidad constante.

En física decimos que un cuerpo se encuentra realizando un Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) cuando se desplaza a lo largo de una trayectoria recta con una velocidad constante en el tiempo (es decir, posee una aceleración nula).

El MRU se caracteriza por:

 Es un movimiento que se realiza sobre una línea recta.

 Su velocidad es constante, lo que implica magnitud y dirección constantes.

 Su aceleración es nula.

Aunque muchos de los conceptos mencionados son de uso común, igual reiteraremos su significado:

a) Posición: es el lugar que ocupa el cuerpo que se está moviendo.

b) Velocidad: es la rapidez que posee el cuerpo en movimiento.

c) Aceleración: es la rapidez con la que su velocidad aumenta o disminuye.

d) Trayectoria: es la curva que describe el objeto que se mueve. En caso del MRU, la trayectoria es una recta.

e) Sistema de referencia: Por supuesto, para poder referirnos a la posición que ocupa un cuerpo necesitamos un sistema de referencia. Sabemos que las distancias se miden en metros (aunque a menudo se utilizan sus múltiplos y submúltiplos, como kilómetros o centímetros), pero no tie- ne sentido decir que un móvil "está a 10 metros" si no hemos previamente acordado desde donde estamos tomando esa medida. Es por eso que para encarar cualquier problema relacio-

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Física

Como puede verse en el gráfico, en el caso del MRU es muy fácil elegir un sistema de referencia, ya que el movimiento tiene lugar en una sola dimensión. Elegimos una posición como "cero" u origen, y to- mamos todas las medidas a partir de allí. También necesitamos definir una dirección como positiva y otra como negativa, porque puede darse el caso de que el (o los) móviles que intervienen en nuestro análisis se desplacen en sentido opuesto al que hemos elegido como positivo. En la imagen siguiente vemos un móvil que se encuentra a una distancia determinada a la derecha del punto de origen.

Si en nuestro sistema los valores positivos se encuentran a la derecha, el móvil se encuentra en una posición positiva. Aunque ahora pueda resultarte extraño, tienes que aprender que no importa donde esté el "cero" o hacia dónde hayamos elegido la dirección positiva en tu sistema de referencia: los resultados siempre serán los mismos. Pero eligiéndolos de forma adecuada, los cálculos suelen ser muchos más simples. Ya lo verás en los ejemplos que hemos preparado.

Bien, volvamos a nuestro móvil. Su posición actual, supongamos, es x = 200 m. Eso significa que está a 200 metros del punto que hemos tomado como cero.

Supongamos que en un momento determinado, que llamaremos t0 (por "tiempo cero") el móvil se en- cuentra en la posición x0, que coincide con el "cero" de nuestro sistema de referencias. Diez segundos más tarde, se ha desplazado hasta la posición x1, que se encuentra a 200 m de la posición inicial.

Dado que estamos estudiando el movimiento rectilíneo uniforme, la velocidad con la que se ha despla- zado para pasar de un punto a otro ha sido constante. Pero, ¿cómo podemos calcularla?

La ecuación de la velocidad es muy simple. La velocidad de nuestro móvil se puede encontrar divi- diendo el espacio recorrido por el tiempo que ha empleado para ello. Matemáticamente sería así:

Esta ecuación se puede escribir coloquialmente más o menos así:

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En el caso de nuestro móvil, podemos calcular la velocidad a partir de los datos disponibles:

Este resultado significa que nuestro móvil tiene una velocidad "positiva" en nuestro sistema de ref e- rencia (se desplaza hacia la derecha) y que avanza 20 metros cada segundo. Seguramente notaste que si empleas las unidades correspondientes en la resolución de los problemas y trabajas con ella correc- tamente, los resultados estarán expresados en las unidades adecuadas (es muy importante hacerlo).

Conociendo la posición inicial de un móvil y su velocidad podemos averiguar dónde se encontrará en un instante dado. Dado que como en MRU la aceleración es cero y por lo tanto la velocidad constante, para ello nos basta hacer:

Si seguimos con el mismo ejemplo, transcurridos 15 segundos el móvil se encontrará a una distancia que podemos calcular así:

¿Te das cuenta de dónde ha salido cada valor que ves en la fórmula anterior? ¡Perfecto! Ahora resol- vamos la ecuación para hallar la posición buscada:

Es decir, a los 15 segundos de partir nuestro móvil se encuentra a 300 metros del punto que hemos tomado como origen de nuestro sistema de referencia. ¿Fácil, verdad?

Esta ecuación, junto con la de la velocidad y la aceleración, se llaman "ecuaciones horarias" del MRU y son la base para resolver cualquier problema que nos presenten:

Donde x es la posición, t el tiempo, v la velocidad y a la aceleración.

Algunos ejercicios de Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU):

1. Un móvil pasa por el punto A a las 12 horas. Si su velocidad es de 10 km/h y pasa por el punto B a las 15 horas. ¿Qué distancia separa A de B?

Lo primero que hacemos, para tener en claro el problema, es realizar un diagrama de la situación que

se nos plantea:

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Física

Como puedes ver, lo que debemos encontrar es la distancia "X" que hemos marcado en rojo. La velocidad, por tratarse de un Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU), es constante. La fórmula que determina la posición del móvil en función del tiempo es:

Si elegimos un sistema de referencia que sea positivo hacia la derecha (tal como lo hemos dibujado en nuestro esquema) y asumimos que el origen (el cero) de dicho sistema coincide con el punto A, la ecuación anterior se simplifica mucho:

Lo que demuestra que a pesar de que se puede elegir cualquier sistema de referencia, siempre hay alguno cuya elección simplifica la resolución del problema. Si reemplazamos en la fórmula los valores proporcionados, nos queda que:

Es decir,

Esto significa que el punto B se encuentra a 30 kilómetros del punto A, distancia que nuestro móvil re- corre en 3 horas.

2. Dos motociclistas pasan por el punto A al mismo tiempo. Aníbal conduce a una velocidad cons- tante de 72 km/h y Belén lo hace a 54 km/h. ¿A qué distancia de A estará el punto B si Belén lle- ga a él 16.88 segundos después de que ha pasado Aníbal?

Comenzamos haciendo un diagrama de la situación que debemos resolver:

Y antes de seguir, vamos a pasar las velocidades a metros por segundo, para que el dato de los 16.88 segundos sea "compatible" (es decir, tenga las mismas unidades) con las velocidades. Procedemos así:

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Ahora sí, podemos intentar resolver el problema. Planteamos la ecuación de la posición para cada uno de los motociclistas, tomando como origen de nuestro sistema de referencia el punto A:

Como ves, hemos descartado los valores que se hacen cero en nuestro sistema de referencia. Como sabemos que cuando pasan por el punto B Belén pasa 16.88 segundos después de Aníbal, podemos reescribir la segunda ecuación de la siguiente manera:

Ahora que tenemos ambas ecuaciones escritas en función de tAníbal podemos despejar en ambas tA e igualar para hallar su valor:

Reemplazamos las velocidades de ambos motoristas por su valor y nos queda:

De allí es fácil encontrar el valor de tAníbal, que es el tiempo que le toma a Aníbal llegar desde A hasta B:

Ahora que sabemos cuántos segundos tarda ese motorista en alcanzar el punto B, podemos multiplicar ese tiempo por su velocidad para encontrar la distancia buscada:

Es decir, el punto B está algo más de un kilómetro por delante del punto A.

3. Dos vehículos se encuentran en un determinado momento en las posiciones A y B. Si las veloci- dades de cada uno son 30 m/s y 20 m/s respectivamente y están separados por 120 m, ¿cuánto tiempo hará falta para que el primero alcance al segundo? ¿A qué distancia de la posición inicial del primer vehículo lo hará?

Comenzamos haciendo un pequeño esquema de la situación a resolver:

Podemos ver el primer vehículo en la posición A, el segundo en la posición B, y hemos marcado un tercer punto (C) que será el sitio en el que ambos móviles se encontrarán. Sabemos que esto ocurrirá tarde o tem-

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Física

prano, porque el vehículo que marcha más rápido se encuentra detrás del que va más lento, así que en algún momento futuro ambos estarán en la misma posición. Obviamente, un instante más tarde el vehículo que ahora se encuentra en A se adelantará al que está en B, pero a nosotros sólo nos interesa determinar el momento y el sitio en que se encuentran. Vamos a tomar como origen de nuestro siste- ma de referencia al punto A (ese será el 0 de nuestra recta x) y como tiempo inicial a t = 0 segundos.

Esto va a simplificar un poco nuestras ecuaciones.

Comencemos: si un vehículo alcanzara a otro, significa que ambos estarán, en ese momento, en la misma posición. Así que podemos plantear la ecuación correspondiente a la posición de cada uno e igualarlas (ya que x será la misma en ambos casos) y de allí despejar el valor de tC (que es el nombre que hemos elegido para el momento en que los móviles alcanzan el punto C). La fórmula que determi- na la posición del móvil en función del tiempo es:

Si la planteamos para cada uno de los móviles, nos quedan las dos ecuaciones siguientes:

Como dijimos, en tC ambos móviles estarán en el mismo sitio (C), así que podemos igualar las posicio- nes y despejar tC:

Es decir,

Esto significa que ambos móviles ocuparán el mismo sitio a los 12 segundos de la situación inicial. Aho- ra resta encontrar el valor de x en el punto C. Para eso, basta con reemplazar el valor de tC en cualquiera de las ecuaciones que determinan la posición de los móviles. Por ejemplo, en la primera de ellas:

O sea, el punto C se encuentra a 360 metros del punto A. Ya hemos resuelto el problema. Pero ¿que hubiésemos obtenido como resultado si elegíamos la segunda ecuación en lugar de la primera? Tendría

que ser el mismo valor. Comprobémoslo:

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Física

Efectivamente, el resultado es el mismo.

4. Dos trenes se encuentran en un determinado momento en las estaciones A y B. Si las velocida- des de cada uno son 30 m/s y -20 m/s, respectivamente y están separados por 400 m, corriendo ambos por la misma vía, ¿cuánto tiempo hará falta para que choquen? ¿A qué distancia de la posición inicial del primer vehículo lo harán?

El problema es bastante similar al anterior, pero igualmente conviene que hagamos un pequeño esquema para tener bien en claro la situación a resolver:

Podemos ver el primer tren en la posición A, el segun- do en la posición B, y hemos marcado un tercer punto (C) que será el sitio en el que ambos se encontrarán.

Sabemos que esto ocurrirá tarde o temprano, porque el vehículo que se encuentra en la posición B marcha en sentido contrario al que está en A. En efecto, eso es lo que significa el signo negativo antepuesto a su velocidad. Vamos a tomar como origen de nuestro sistema de referencia al punto A (ese será el 0 de nuestra recta x) y como tiempo inicial a t = 0 segundos. Esto, nuevamente, va a simplificar nuestras ecuaciones.

Comencemos: si los trenes colisionarán significa que ambos estarán, en ese momento, en la misma posición.

Así que podemos plantear la ecuación correspondiente a la posición de cada uno e igualarlas (ya que x será la misma en ambos casos) y de allí despejar el valor de tC (que es el nombre que hemos elegido para el momento en que los trenes chocan en el punto C). La fórmula que determina la posición del móvil en función del tiempo es:

Si la planteamos para cada uno de los móviles, nos quedan las dos ecuaciones siguientes:

Como dijimos, en tC ambos móviles estarán en el mismo sitio (C), así que podemos igualar las posicio- nes y despejar tC:

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Física

Es decir,

Esto significa que ambos trenes chocan a los 8 segundos de la situación inicial. Ahora resta encontrar el valor de x del punto C. Para eso, basta con reemplazar el valor de tC en cualquiera de las ecuaciones que determinan la posición de los móviles. Sin embargo, es más fácil hacerlo en la primera de ellas:

O sea, el punto C se encuentra a 240 metros del punto A. Ya hemos resuelto el problema.

3. Movimiento acelerado

La velocidad de un objeto cambia a medida que el movimiento evoluciona. A este tipo de movimiento se le denomina movimiento acelerado. La relación de cambio de la velocidad al tiempo transcurrido recibe el nombre de aceleración. Por ejemplo, supóngase que observamos el movimiento de un cuerpo durante un lapso t. Definiremos la velocidad inicial v0 del cuerpo como la velocidad que tenía al iniciar un periodo de tiempo, es decir, cuando t=0. La velocidad final vf será definida como la velocidad del cuerpo al final del periodo de tiempo, cuando t = tf. Así si podemos decir que su aceleración está dada por:

La aceleración es una cantidad vectorial y por lo tanto, depende de cambios en la dirección, tanto como en cambios de la magnitud. Si la dirección del movimiento es en línea recta, solo la rapidez del objeto está cambiando. Si sigue una trayectoria curva, ocurren cambios tanto direccionales como de magnitud y, por tanto, la aceleración no tiene la misma dirección del movimiento. De hecho, si la trayectoria curva siguiera un círculo perfecto, la aceleración siempre sería perpendicular al movimiento.

En ese caso, solo la dirección del movimiento cambia, mientras que la rapidez en cualquier punto del círculo es constante.

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Física

4. Movimiento uniformemente acelerado

La clase más simple de aceleración es el movimiento rectilíneo, en el que la rapidez cambia con una razón constante. A este tipo de movimiento generalmente se le denomina movimiento uniformemente acelerado o de aceleración constante. Ya que no hay cambio de dirección, la diferencia de vectores de la ecuación 1, se convierte en la simple resta algebraica entre la magnitud de la velocidad final y la magnitud de la velocidad inicial.

Así la aceleración es uniforme:

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Física

Solución. Cuatro pies por segundo por segundo o cuatro pies por segundo cuadrado. Esto quiere decir que cada segundo el automóvil incrementa su velocidad en 4 ft/s. Al principio contaba con una veloci- dad de 40 ft/s en (t=0), después de 1, 2 y 3 s habrá adquirido velocidades de 44, 48 y 52 ft/s, respecti- vamente.

Solución de problemas de aceleración

Esta clase de problemas de física a menudo se refieren a algún movimiento que comienza del reposo o detienen totalmente un movimiento con alguna velocidad inicial. En cualquiera de los casos, las ecua- ciones que hemos derivado se pueden simplificar al sustituir V0 = 0 o Vf = 0, según sea el caso.

La siguiente tabla resume las fórmulas generales.

Fórmulas de aceleración Ecuación Contenido

s V0 Vf a t

    

Vf = V0 + at     

    

2as = Vf 0 – V0 2     

Un examen minucioso de las cuatro ecuaciones revela un total de cinco parámetros: s, V0, Vf, a y t. Da- das cualquiera de tres de estas cantidades, las dos restantes pueden ser calculadas con las ecuaciones generales. Si se tienen dificultades en la elección de la fórmula apropiada, puede ser de ayuda recordar las condiciones que dicha fórmula debe satisfacer.

1. Debe contener el parámetro desconocido.

2. Todos los demás parámetros que aparezcan en la fórmula deben ser conocidos.

Por ejemplo, si un problema proporciona los valores de V0, Vf, y t, se puede despejar a de la segunda ecuación de la tabla.

Ejemplos:

1. Una lancha de motor que parte del reposo, alcanza una velocidad de 30 mi/h en 15 s, ¿cuál fue su aceleración y cuán lejos viajó?

Datos: Encontrar:

V0 = 0 a =?

Vf = 30 mi/h = 44 ft/s s =?

t = 15 s

Para encontrar la aceleración, debemos elegir una fórmula que contenga a, pero que no contenga s.

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Física

Vf = V0 + at

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15 Unidad 3. Movimiento

Física

5. Movimiento circular uniforme

5.1 Movimiento en una trayectoria circular

La clase más simple de movimiento en dos dimensiones se produce cuando una fuerza externa constante actúa siempre en ángulo recto con la trayectoria de una partícula en movimiento. En este caso, la fuerza resultante producirá una aceleración que afectará únicamente la dirección del movimiento, de jando inalterada la rapidez constante de la partícula. Este tipo simple de movimiento recibe el nombre de movimiento circular uniforme.

Movimiento circular uniforme es aquel en el que no existe cambio en la rapidez, solamente en la dirección.

Podemos desarrollar un ejemplo del movimiento circular uniforme haciendo dar vueltas en una trayectoria circular a una piedra atada a un cordel.

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Física

5.2 Aceleración centrípeta

En el movimiento circular uniforme, la aceleración cambia la velocidad de la partícula en movimiento al cambiar su dirección. Por definición, la aceleración es el cambio en la velocidad por unidad de tiempo.

Por tanto,

El cambio en la velocidad ΔV está representado gráficamente en la siguiente figura.

Dado que las velocidades V2 y V1 tienen la misma magnitud, forman los lados de un triángulo isósceles cuya base es ΔV. Si construimos el triángulo semejante ABO, puede verse que la magnitud de ΔV tiene la misma relación con la magnitud de cualquiera de las velocidades co- mo la cuerda s al radio r. Esta proporcionalidad puede expresarse simbólicamente como:

Donde V es la magnitud absoluta de cualquiera de las velocidades V1 o V2.

La distancia que la partícula recorre realmente al moverse de A y B no es la distancia s sino la longitud del arco entre A y B. Cuanto más corto sea el intervalo de tiempo Δt, más cerca estarán estos dos pun- tos entre sí, hasta que, el límite, la longitud de la cuerda es igual a la longitud del arco. En este caso la longitud s está dada por:

Que, al sustituirse en la ecuación, resulta

s = V Δt

Dado que según la primera ecuación, la aceleración es igual a ΔV / Δt, podemos reordenar los términos para obtener:

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Física

Por tanto, la razón de cambio de la velocidad, en la unidad de tiempo, o aceleración centrípeta, está dada por:

Donde V es la rapidez lineal de una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria circular de radio r.

El término centrípeta significa que la aceleración está siempre dirigida hacia el centro. Obsérvese que en la figura el vector ΔV no apunta hacia el centro. Esto se debe a que hemos elegido un intervalo de tiempo muy largo entre las mediciones en los puntos A y B, si restringimos la separación de estos dos puntos a una distancia infinitesimal, el vector ΔV estaría dirigido hacia el centro.

Ejemplos:

1. Un cuerpo de 4 lb se ata a una cuerda y se le hace girar en un círculo horizontal de 6 ft de radio.

Si el cuerpo realiza tres revoluciones completas cada segundo, determínese su velocidad lineal y su aceleración centrípeta.

Si el cuerpo realiza 3 rev/s, el tiempo requerido para recorrer una circunferencia completa es de 1/3 s.

Por lo tanto, su velocidad lineal es:

A partir de la fórmula podemos calcular la aceleración centrípeta, que es:

Si definimos el periodo como el tiempo requerido para completar una revolución y le asignamos la letra T, la velocidad lineal puede calcularse al dividir la circunferencia entre el periodo. Así,

Otro parámetro muy útil para resolver problemas de ingeniería es la velocidad rotacional, expresada en revoluciones por minuto (rpm) o en revoluciones por segundo (rev/s). A esta cantidad se le llama frecuencia de la rotación y es la recíproca del periodo.

f = 1 / T

La validez de esta fórmula se demuestra observando que el recíproco de rev/s es segundos por revolu- ción, es decir, el periodo. Al sustituir esta definición en la ecuación obtenemos una ecuación alterna para encontrar la velocidad lineal.

V= 2π f r 5.3 Fuerza centrípeta

Se define como la fuerza dirigida hacia el centro que se requiere para mantener un movimiento circular uniforme. Debido a la segunda ley de Newton del movimiento, la magnitud de esta fuerza debe ser igual al producto de la masa por la aceleración centrípeta.

Así:

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Física

Donde m es la masa de un objeto que se mueve con la velocidad a lo largo de una trayectoria circular de radio r. Las unidades que se utilicen para Fc, m, V y r deben ser congruentes con el sistema de uni- dades elegido. Por ejemplo, las unidades de m V²/r en el Bgs son:

Podemos observar que la fuerza centrípeta Fc es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad del objeto en movimiento. Esto significa que para aumentar la velocidad lineal al doble de su valor original se requerirá de una fuerza 4 veces mayor que la fuerza inicial.

De manera similar se puede observar que para duplicar la masa del objeto o reducir el radio de giro a la mitad, se requerirá de una fuerza centrípeta 2 veces mayor que la original.

Para problemas en los que la velocidad rotacional se expresa en términos de frecuencia, la fuerza cen- trípeta se puede calcular a partir de:

Se obtuvo esta relación al sustituir la ecuación que expresa la velocidad lineal en términos de la frecuencia de rotación.

Ejemplos:

1. Una pelota de 4 kg se hace girar en círculos horizontales por medio de una cuerda de 2 m de longitud. ¿Cuál es la tensión de la cuerda si el periodo es de 0.5 s?

La tensión de la cuerda debe ser igual a la fuerza centrípeta requerida para hacer que la pelota de 4 kg describa una trayectoria circular. Obtenemos la velocidad lineal dividiendo la circunferencia entre el periodo de revolución:

Y entonces la fuerza centrípeta será de:

⁄

2. Dos pesas de 4 lb giran alrededor de un eje central a razón de 12 rev/s, a) ¿Cuánto vale la fuerza centrípeta que actúa sobre cada uno de los cuerpos? b) ¿Cuál es la tensión de la barra?

a) La fuerza total hacia abajo de las pesas y la barra se equilibra con la fuerza hacia arriba ejercida por el soporte central. Por lo tanto, la fuerza resultante que actúa sobre cada pesa está dirigida hacia el centro y es igual a la fuerza centrípeta. La masa de cada pesa es:

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Física

Sustituyendo los valores dados de frecuencia, masa y radio, obtenemos:

Los mismos cálculos son válidos para la otra pesa.

b) La fuerza resultante que acabamos de calcular es la fuerza centrípeta que la barra ejerce sobre cada pesa. De acuerdo con la tercera ley de Newton, debe existir una fuerza de reacción igual y opuesta que las pesas deben ejercer sobre la barra.

Recuérdese que aunque estas dos fuerzas son iguales en magnitud y opues- tas en dirección, no actúan sobre el mismo cuerpo. Debido a que la fuerza que las pesas ejercen sobre la barra hacia afuera o en fuga de centro, recibe a veces el nombre de fuerza centrífuga. Es precisamente esta fuerza centrí- fuga la que determina la tensión de la barra. Y dado que es igual en magni- tud a la fuerza centrípeta, la tensión de la barra debe también ser de 1066 lb.

Fig. 3 En el vacío, todos los cuerpos caen con la misma aceleración.

Imagen recuperada de:

http://3.bp.blogspot.com/- AMWBgq5rEcc/Tac9qBFJF0I/AAAAA AAAADM/TU9CTLVY7fk/s1600/a045.

jpg

6. Gravedad y caída libre de los cuerpos

Gracias a Galileo Galilei se demostró que ante la ausencia de fricción, todos los cuerpos, sin importar tamaño o peso, caen a la Tierra con la misma acele- ración. La resistencia al movimiento es una propiedad de los cuerpos que se conoce como inercia. Así en el vacío, una pluma y una bola de acero caerán al mismo tiempo, es decir, el efecto inercial es mayor para la bola que para la pluma (ve la figura 3).

La aceleración gravitacional es un movimiento uniforme acelerado. Al nivel del mar y a 45° latitud, esta aceleración se ha medido y vale 32.17 ft/s²o 9.806 m/s²

y se representa por el símbolo g. Adoptaremos los siguientes valores:

𝒈 = 𝟑𝟐 𝒇𝒕 𝒔⁄ ; 𝒈 = 𝟗. 𝟖 𝒎 𝒔^𝟐 ⁄ ^𝟐

Ya que la aceleración gravitacional g es una aceleración constante, se le aplican las mismas leyes gene- rales del movimiento. Si la constante g se inserta en las ecuaciones generales, se obtendrán las si- guientes fórmulas modificadas:

Antes de usar estas fórmulas, es conveniente hacer unos comentarios generales:

 En los problemas de caída libre de los cuerpos, es muy importante escoger una dirección positiva y mantenerla congruente en la sustitución de los valores conocidos.

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Física

 El signo de la respuesta es necesario para terminar la localización de un punto o la dirección de una velocidad en tiempo específico.

 La distancia s en las fórmulas de la tabla representa la distancia sobre o bajo el origen.

 Si la dirección hacia arriba se elige como positiva, un valor positivo de s implica una distancia sobre el punto de partida.

 Si s es negativa, representa una distancia bajo el punto de partida.

 De manera similar, los signos de y y g indican sus direcciones.

Ejemplo. Una pelota de hule se deja caer del reposo como se muestra en la figura 4. ¿Cuál es la veloci- dad y posición después de 1, 2, 3 y 4 s?

Solución. Dado que todos los parámetros se medirán hacia abajo, será más conveniente en este caso elegir la dirección hacia abajo como positiva. Organizando los datos tenemos:

La velocidad es una función del tiempo y está dada en la fórmula (2ª) en que

Después de 1 s tenemos:

( )

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Física

Tiempo Posición al final del Velocidad al final del t, s tiempo t, ft/s tiempo t, ft/s

0 1 2 3 4

0 16 64 144 256

0 32 64 96 128

Sustituciones similares de t=2, 3 y 4 nos darán velocidades de 64, 96 y 128 ft/s. todas estas velocidades están dirigidas hacia abajo, ya que esa dirección fue elegida como positiva. La posición en función del tiempo se calcula a partir de la ecuación 3ª. Dado que la velocidad inicial es cero, escribimos:

De manera similar, el cálculo nos dará posiciones de 144 y 256 ft después de 3 y 4 s. Los resultados anteriores se resumen en la tabla:

7. Movimiento de proyectiles

Un objeto que es lanzado al espacio sin fuerza de propulsión propia, recibe el nombre de proyectil, si despreciamos la resistencia ejercida por el aire, la única fuerza que actúa sobre un proyectil es su peso W, que hace que su trayectoria se desvíe de la línea recta.

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Física

Recibe una aceleración constante hacia abajo por efecto de la gravedad, pero difiere de los movimien- tos estudiados con anterioridad. Generalmente, la dirección de esta gravedad no coincide con la direc- ción de su velocidad inicial. Un proyectil tiene una velocidad horizontal constante y su velocidad vertical varía constantemente bajo la influencia de la gravedad.

7.1 Lanzamiento horizontal

Si un objeto es lanzado horizontalmente, se puede describir más fácilmente su movimiento si se consi- deran su movimiento horizontal y su movimiento vertical en forma separada.

Movimiento de un proyectil que se dispara horizontalmente. La velocidad y la posición verticales au- mentan con el tiempo de la misma manera que en el caso de un objeto de caída libre.

Nótese que la distancia horizontal aumenta linealmente con el tiempo, indicando la existencia de una velocidad horizontal constante. La siguiente tabla muestra una comparación entre las fór- mulas para el movimiento uniformemente acelerado y las del movimiento de proyectiles. Por ejemplo, la ecuación que relacio- na la distancia recorrida con la velocidad inicial y el tiempo es:

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Física

Donde:

y = posición vertical

V0y = Velocidad inicial vertical g = aceleración gravitacional

Para los problemas en los que la velocidad inicial es puramente horizontal, la posición final resultará por debajo del origen y la velocidad final habrá de estar dirigida hacia abajo. Dado que la aceleración gravitacional también tiene una dirección que apunta hacia abajo, resulta más conveniente elegir la dirección hacia abajo como positiva. Para el lanzamiento horizontal tenemos:

V0x = Vx y Vy = 0

Dado que la velocidad horizontal es constante y que la velocidad inicial vertical es igual a cero. Por lo tanto, las posiciones vertical y horizontal en cualquier instante están dadas por:

x = V0x t Posición horizontal

y = ½ gt²Posición vertical

De manera similar, las componentes vertical y horizontal de la velocidad en cualquier instante están dadas por:

Vx = V0x y Vy = gt

Tanto la posición como la velocidad final se calculan a partir de sus componentes, en todas las fórmu- las se deberá sustituir un valor positivo de g si elegimos como positiva la dirección vertical hacia abajo.

Ejemplo:

1. Una bala de cañón se dispara horizontalmente con una velocidad inicial de 120 m/s desdelo al- to de un acantilado de 250 m de altura sobre el nivel de un lago.

a) ¿Qué tiempo tardará la bala en caer en el agua?

b) ¿Cuál será la distancia horizontal del pie del acantilado al punto de impacto de la bala?

c) ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la velocidad de la bala cuando cae al agua?

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Física

a) El tiempo de caída es función únicamente de los parámetros verticales. La velocidad inicial en la dirección y es igual a cero y la bala debe caer a una distancia de 250 m. Por lo tanto,

y = ½ gt² Que al sustituirla resulta:

Simplificando tenemos:

250 m = ½ (9.8 m/s) t² (4.9 m/s²) t²= 250 m De lo cual obtenemos: t = √250 s²/ 4.9 = 7.14 s

b) La distancia horizontal es función exclusivamente de la velocidad inicial horizontal y del tiempo requerido para caer en el agua. Por tanto,

x = V0x t = (120 m/s) (7.14 s) = 857 m

c) La componente horizontal de la velocidad permanece constante y es igual a 120 m/s. Por otro lado, la componente vertical está dada por,

Vy = gt = (9.8 m/s²) (7.14 s) = 70 m/s 7.2 El problema general de las trayectorias

Un caso general de proyectiles es aquel que ocurre cuando un proyectil se lanza con un ángulo de ele- vación. Podemos utilizar las mismas fórmulas que listamos en la tabla, pero será más conveniente elegir la dirección hacia arriba como positiva. Así, si la posición final resulta por arriba del origen será positiva, pero si está abajo del mismo nos dará negativa. De manera similar, las velocidades hacia arriba serán positivas. Dado que la aceleración siempre es hacia abajo, deberemos sustituir un valor negativo g.

El procedimiento que sigue resulta muy útil para resolver problemas de proyectiles:

1. Descompóngase la velocidad inicial V0 en sus componentes x y y:

V0x = V0 cos θ y V0y = V0 sen θ

2. Las componentes horizontal y vertical de su posición en cualquier instante estarán dadas por:

Vx = V0x t Vy = V0y t + ½ gt²

3. Las componentes horizontal y vertical de la velocidad en cualquier instante estarán dadas por:

x = V0x

y = V0y + ½ gt²

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Física

4. La posición y velocidad finales se pueden calcular a partir de sus componentes.

El punto más importante a recordar al aplicar estas fórmulas es el de ser conscientes con las conven- ciones de signos y unidades que se elijan.

Ejemplo:

Una bala de cañón se dispara con una velocidad inicial de 400 ft/s y con un ángulo de elevación de 30°

sobre la horizontal. Encuéntrese:

a) Su posición y velocidad después de 8 s

b) El tiempo requerido para alcanzar su altura máxima c) El alcance horizontal R

a) Las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial son, V0x = V0 cos θ = (400 ft/s) (cos 30°) = 346 ft/s V0y = V0 sen θ = (400 ft/s) (sen 30°) = 200 ft/s La componente x de su posición después de 8 s es:

x = V0x t = (346 ft/s) (8 s) = 2770 ft La componente y de su posición en ese tiempo está dada por:

y = V0y t + ½ gt² De la cual

y = (200 ft/s) (8 s) + ½ (-32 ft/s²) (8 s)²= 1600 ft – 1024 ft = 576 ft

Por tonto, la posición de la bala después de 8 s, es de 2770 ft de alcance horizontal y a 576 ft sobe su posición original. Al calcular la velocidad en este punto, debemos primero reconocer que la velocidad

horizontal no cambia, por lo que:

Su componente y deberá calcularse de:

De tal manera que:

Vx = V0x = 346 ft/s Vy = V0y + gt

Vy = 200 ft/s + (-32 ft/s) (8 s) = 200 ft/s – 256 ft/s = –56 ft/s

El signo negativo nos indica que el proyectil ya está en su camino hacia abajo. Por último, podemos calcular la velocidad resultante a partir de sus componentes. El ángulo φ se obtiene de:

De lo que:

La magnitud de la velocidad es:

φ = 9.2°

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Física

b) En el punto de altura máxima de la trayectoria del proyectil, su velocidad tendrá una componente y, igual a cero. Por tanto, el tiempo requerido para alcanzar este punto se puede calcular a partir de:

Vy = V0y +gt Al sustituir los valores dados de V0y y g obtenemos:

0 = 200 ft/s + (–32 ft/s) t De la cual:

c) Para calcular el alcance, debemos darnos cuenta de que el tiempo de vuelo de la bala t' es el doble del tiempo requerido para alcanzar la altura máxima. por tanto,

Y el alcance es:

t = 2t = (2) (6.25 s) = 12.5 s R = V0x t' = (346 ft/s) (12.5 s) = 4325 ft

Por lo tanto, podemos decir que el proyectil se eleva durante 6.25 s hasta alcanzar una altura de 625 ft y después cae a una distancia horizontal de 4325 ft del punto de lanzamiento.

8. Vibraciones y ondas

8.1 Ondas mecánicas

Cuando se lanza una piedra al agua, se origina una perturbación que se propaga en círculos concéntricos y que al final alcanza todas las partes de la superficie acuática. Un corcho pequeño que flota sobre la superficie del agua, se mueve hacia arriba y hacia abajo a medida que pasa la turbación. Se ha transferido energía desde el punto de impacto de la piedra en el agua hasta cierta distancia donde se encuentra el trozo de corcho. Esta energía se transmite mediante la agitación de partículas vecinas de agua. El movimiento real de cualquier partícula de agua es comparativamente pequeño. La propaga- ción de la energía por medio de una perturbación en un medio, en lugar del medio en sí, se llama mo- vimiento ondulatorio. El ejemplo anterior se llama onda mecánica, ya que su existencia depende de una fuente mecánica y un medio material.

Una onda mecánica es una perturbación física en un medio elástico.

Es necesario reconocer que no todas las perturbaciones son necesariamente mecánicas; por ejemplo, las ondas de luz y de radio y radiación térmica propagan su energía por medio de perturbaciones eléc-

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Física

tricas y magnéticas. No hay necesidad de un medio físico para la transmisión de ondas electromagnéti- cas.

8.2 Tipos de ondas

Las ondas se clasifican de acuerdo con el tipo de movimiento de una parte local del medio con respec- to a la dirección de la propagación de la onda.

En una onda transversal la vibración de las partículas individuales del medio es perpendicular a la dirección de la propagación de la onda.

Por ejemplo, uno de dos extremos de una cuerda sujetada a un poste y al otro se da el movimiento de la mano: Al moverse el extremo libre hacia arriba y hacia abajo, se envía un pulso por la cuerda. La per- turbación se desplaza hacia la derecha con velocidad v.

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Física

Fig. 3. En una onda longitudinal, el movimiento de las partículas individuales es paralelo a la dirección de propagación de la onda. En la imagen se muestra el movimiento de un pulso de condensación. Imagen recuperada de:

http://img19.imageshack.us/img19/8301/longitudinales.jpg

Fig. 4 Movimiento longitudinal de un pulso de rarefacción en un resorte helicoidal. https://encrypted- tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9 GcTY-

rI5CavGDXiWyHpfn_NeWghUONwIgYe MikvnyrsxdPkpV93Fm

Fig. 5. Cálculo de la velocidad de un pulso transversal en cuerda

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Física

8.3 Cálculo de la velocidad de onda

La velocidad con la que se propaga un pulso a través de un medio depende de la elasticidad de éste y de la inercia de las partículas. Los materiales más elásticos producen fuerzas de restitución mayores cuando son distorsionados. Los materiales menos densos ofrecen menos resistencia al movimiento. En uno u otro caso, se desarrolla la capacidad de las partículas para propagar una perturbación a las part í- culas vecinas, y el pulso se desplazará más rápidamente.

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Física

9. Sonido

Fig. 6 Un diapasón actúa en el aire como fuente de ondas longitudinales. Imagen recuperada de:

http://u.jimdo.com/www61/o/sa014c1f81b4024bd/img/ia157 cc25317e937c/1369843885/std/image.jpg

Cuando se produce una perturbación periódica en el aire, se originan ondas sonoras longitudinales. Por ejemplo, si se golpea con un martillo un diapasón, las ramas vibratorias emiten ondas longitudinales como se muestra en la figura 6. Un oído actúa como receptor de estas ondas periódicas, las interpreta como sonido.

Sonido es una onda mecánica longitudinal que se propaga a través de un medio elástico.

9.1 Producción de una onda sonora

Deben existir dos cosas para que se produzca una onda sonora:

1. Una fuente mecánica de vibración.

2. Un medio elástico a través del cual se pueda propagar la perturbación.

La fuente puede ser un diapasón, una cuerda o una columna de aire vibrante en un tubo de órgano. Los sonidos se producen por materia vibrante. ¿Te has preguntado cómo funciona un timbre eléctrico?

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Física

Un timbre se conecta a una fuente eléctrica de modo que suene continuamente, la campana se evacúa en forma lenta. A medida que se bombea más aire fuera de la campana, el sonido del timbre se escucha cada vez menos hasta que no puede oírse. Cuando se permite que vuelva a entrar aire a la campana, se escucha de nuevo el sonido del timbre. Por lo tanto, el aire es necesario para transmi- tir el sonido. Si se tiene una tira delgada de metal sujeta en su base y se tira de uno de sus lados y se suelta, al oscilar el extremo libre de un lado a otro producirá un movimiento armónico simple, es decir, una serie de ondas sonoras longitudinales periódicas propa- gadas a través del aire alejándose de la fuente. Las moléculas de aire junto a la lámina metálica se comprimen y expanden alterna- damente transmitiendo una onda igual a la que se muestra en la figura 7. Las regiones densas donde el empaquetamiento de las moléculas es muy concentrado se llaman compresiones. Éstas son

Fig. 7 a) Compresiones y rarefacciones de una onda sonora en el aire en un instante particular.

b) La variación sinusoidal de la presión como función del desplazamiento. Imagen recuperada de:

http://alextord17.tripod.com/sitebuildercontent /sitebuilderpictures/image1238.gif

iguales a las condensaciones que vimos para ondas longitudinales en un resorte helicoidal. Las regiones con pocas moléculas se denominan rarefacciones. En el medio se alternan las compresiones y rarefac- ciones a medida que las partículas de aire individuales oscilan de un lado a otro en dirección de la pro- pagación de la onda. Ya que una compresión corresponde a una región de alta presión y una rarefac- ción corresponde a una región de baja presión, una onda sonora también puede representar al trazar la gráfica del cambio en presión P como una función de la distancia x. [Véase la Figura 7 (b)] La distan- cia entre dos compresiones o rarefacciones sucesivas es la longitud de onda.

9.2 La velocidad del sonido

Si alguna vez has disparado un proyectil a cierta distancia, has observado el fogonazo antes de escu- char la detonación. De igual manera, puedes observar el destello del rayo antes de oír el trueno. Aun- que tanto la luz, como el sonido viajan en velocidades infinitas, la velocidad de la luz es tan grande en comparación que puede considerarse instantánea. La velocidad del sonido puede medirse directamente al observar el tiempo requerido por las ondas para moverse a través de una distancia conocida.

En el aire a 0°C, el sonido viaja a una velocidad de 331 m/s o 1087 ft/s.

Las ondas sonoras longitudinales en un alambre o barra, puede darse por:

√

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Donde:

Y = módulo de Young para el sólido ρ densidad

Esta relación es válida solo para barras, cuyos diámetros son pequeños en comparación con las longitu- des de onda longitudinales del sonido que se propagan a través de ellas.

En un sólido extendido la velocidad de la onda longitudinal es una función del módulo de corte S, el módulo volumétrico B y la densidad del medio ρ. La velocidad de la onda puede calcularse a partir de: