Tema 9. Propiedades de las funciones derivables.

Tema 9. Propiedades de las funciones derivables.

Profesor Andr´es D´ıaz Jim´enez andres.diaz@educa.madrid.org

IES ALPAJ ´ ES

9 de marzo de 2015

Teorema de Rolle

Teorema de Rolle

Sea f : D ⊂ R −→ R es una funci´on continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo (a, b) y con f (a) = f (b) entonces existe un c ∈ (a, b) tal que f ^′ (c) = 0

a c b

b b

b b

bb

Ejemplo Dada la funci´on f (x) = 4x − x ² comprobar el Teorema de Rolle en el intervalo [0, 4]

Teorema del valor medio. Teorema de Lagrange. Teorema de los incrementos finitos

Teorema del Valor medio

Sea f : D ⊂ R −→ R es una funci´on continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo (a, b) entonces existe un c ∈ (a, b) tal que

f ^′ (c) = f (b) − f(a)

b − a f (b) − f(a) = f ^′ (c)(x − a) f´ormula de los incrementos finitos

a b

f (b) − f(a)

b − a c

b b

b b

b b

b

Teorema de valor medio

Ejemplo 1 Dada la par´abola f (x) = 3x ² , encontrar un punto en que la tangente a la curva en dicho punto sea paralela a la cuerda que une los puntos (0, 0) y (4, 48).

Aplicamos el Teorema del valor medio en el intervalo [0, 4]

f (4) − f(0) = f ^′ (c)(4 − 0) ⇒ 48 − 0 = 6c · 4 ⇒ c = 12 ⇒ P (2, 12)

Ejemplo 2 Comprobar que la funci´on f (x) = |x − 2|no cumple las condiciones del teorema del valor medio en el intervalo [0, 3]

f (x) =  −x + 2 si x < 2

x − 2 si x ≥ 2 f ^′ (x) =  −1 si x < 2 1 si x > 2 La funci´on es continua en R. Para ello estudiamos el punto x = 2

l´ım

x →2 ⁻ f (x) = 0 l´ım

x →2 ⁺ f (x) = 0 ⇒ l´ım

x →2 f (x) = 0 = f (2) Estudiamos la derivabilidad.

f ^′ (2 ⁺ ) = 1 6= f ^′ (2 ⁻ ) = −1 ⇒ no es derivable

Por tanto la funci´on no cumple las condiciones del teorema del valor medio y no se puede aplicar

Teorema de valor medio

Sea g una funci´on derivable con derivada continua en toda la recta real, y tal que g(0) = 0, g(2) = 2.

Demostrar que existe al menos un punto c en el intervalo (0, 2) tal que g ^′ (c) = 1

Teorema de Cauchy

Teorema de Cauchy

Sean f [a, b] :−→ R y g : [a, b] −→ R dos funciones continuas en el intervalo [a, b] y derivables en el intervalo (a, b) con g(a) 6= g(b) y g ^′ (x) 6= 0 para todo x ∈ (a, b) entonces existe un c ∈ (a, b) tal que

f (b) − f(a)

g (b) − g(a) = f ^′ (c)

g ^′ (c)

Teorema de Cauchy

Comprobar si cumplen las condiciones del teorema de Cauchy para las funciones f (x) = x ² y g(x) = x + 3 en el intervalo [0, 3], y en su caso hallar el valor de c.

Las funciones f y g son continuas en [0, 3]

g (3) = 6 6= g(0) = 3 g ^′ (x) = 1 6= 0

Entonces cumple las condiciones del teorema de Cauchy, resulta:

f (3) − f(0)

g (3) − g(0) = f ^′ (c)

g ^′ (c) ⇒ 27

3 = 3c ² 1 c = √

3

Regla de L’Hˆopital

Indeterminaciones

0 0

∞

∞ 0 · ∞ ∞ − ∞ 0 ⁰ ∞ ⁰ 1 ^∞

Regla de L’Hˆopital

Sea f : (a, b) −→ R y g : (a, b) −→ R dos funciones derivables en (a,b) y tal que g ^′ no se anula en (a, b) entonces

Si l´ım

x →c f (x) = 0 = l´ım

x →c g(x) y existe l´ım

x →c

f ^′ (x) g ^′ (x) Entonces

l´ım

x →c

f (x)

g(x) = l´ım

x →c

f ^′ (x)

g ^′ (x)

Regla de L’Hˆopital

Ejemplo: Calcular

l´ım

x →0

x

x + sen x = 0 0 l´ım

x →0

x

x + sen x = l´ım

x →0

1

1 + cos x = 1 2 La regla anterior Tambi´en es v´alida para las indeterminaciones ∞

∞ . Calcular

l´ım

x →∞

e ^x

ln x = ∞

∞ = l´ım

x →∞

e ^x 1 x

= l´ım

x →∞ xe ^x = ∞ Calcular

l´ım

x →∞ x ln  2 + x x



= ∞ · 0 = l´ım

x →∞

ln(2 + x) − ln x 1

x

= l´ım

x →∞

1

2 + x − 1 x

− 1 x ²

= l´ım

x →∞

x − 2 − x x(2 + x)

− 1 x ²

=

l´ım

x →∞

2x ²

x(2 + x) = l´ım

x →∞

2x

2 + x = 2

Regla de L’Hˆopital

Calcular

l´ım

x →∞ (e ^x − x ² ) = ∞ − ∞ = l´ım

x →∞

e ^x − x ²

x ² e ^x x ² e ^x = l´ım

x →∞

 1 x ² − 1

e ^x



x ² e ^x = l´ım

x →∞

1 x ² − 1

e ^x 1 x ² e ^x

= 0 0

l´ım

x →∞

−2 x ³ + 1

e ^x

−(2xe ^x + x ² e ^x ) (x ² e ^x ) ²

= l´ım

x →∞

−2 x ³ + 1

e ^x

−xe ^x (2 + x) (x ² e ^x ) ²

= l´ım

x →∞

−2 x ³ + 1

e ^x

−2 − x x ³ e ^x

= l´ım

x →∞

−2e ^x + x ³

−2 − x = ∞

∞

l´ım

x →∞

−2e ^x + 3x ²

−1 = ∞

Regla de L’Hˆopital

Calcular

l´ım

x →0 ⁺ (cos x) ^{sen x 1} = 1 ^∞ l´ım

x →0 ⁺ (cos x) ^{sen x 1} = l ln l = ln

 l´ım

x →0 ⁺ (cos x) ^{sen x 1}



= l´ım

x →0 ⁺

1

sen x ln(cos x)

= l´ım

x →0 ⁺

1

cos x (− sen x)

cos x = l´ım

x →0 ⁺

− sen x cos ² x = 0 ln l = 0 ⇒ l = 1

Otra forma

l´ım

x →0 ⁺ (cos x) ^{sen x 1} = e ^{x→0+ l´ım (cos x−1)}

1 sen x

e ^{x→0+ l´ım (− sen x)}

1 cos x

= e ⁰ = 1

Regla de L’Hˆopital

Calcular

l´ım

x →∞ x h

arc tg (e ^x ) − π 2

i = ∞ · 0

l´ım

x →∞

arc tg (e ^x ) − ^π ₂ 1

x

= l´ım

x →∞

1 1 + e ^2x e ^x

−1 x ²

= l´ım

x →∞

−x ² e ^x

1 + e ^2x = l´ım

x →∞

−2xe ^x − x ² e ^x 2e ^2x

l´ım

x →∞

e ^x (−2x − x ² )

2e ^2x = l´ım

x →∞

−2x − x ²

2e ^x = l´ım

x →∞

−2 − 2x

2e ^x = l´ım

x →∞

−2

2e ^x = 0