Observación de patrones de Chladni en placas de superficie plana

Nina Adhara Elena ´ Avila Ort´ız H´ ector Olvera Vital

nae@ciencias.unam.mx hector.olvera@ciencias.unam.mx

Facultad de Ciencias, UNAM Fen´ omenos colectivos Grupo 8752

5 de junio de 2015

Resumen

El presente trabajo pretende replicar los patrones de Chladni, originados por ondas estacionarias que viajan sobre la superficie de una placa sometida a diversas frecuencias. Se observaron once patrones de las cuales nueve correspondieron a los patrones registrados por Chladni.

1. Introducci´ on

Una onda consiste en la propagaci´ on de una per- turbaci´ on o pulso desde un punto origen hacia todo el medio que lo rodea. Toda onda, con excepci´ on de las ondas magn´ eticas, requiere de un medio el´ asti- co para propagarse. Se pueden clasificar por el tipo de vibraci´ on respecto a la direcci´ on de propagaci´ on, es decir, pueden ser longitudinales o transversales.

Muchos fen´ omenos en la naturaleza no se pueden describir como un s´ olo pulso. Las ondas complejas se deben analizar como un combinaci´ on de ondas viajeras y estas a su vez se pueden representar por una suma de funciones sinusoidales. Las ondas via- jeras se pueden analizar por el principio de super- posici´ on que dice que si una o m´ as ondas viajeras se mueven por un medio, la funci´ on de onda resultan- te en cualquier punto ser´ a la suma algebraica de las funciones de onda de las ondas individuales. Una de las consecuencias del principio de superposici´ on es que dos ondas pueden pasar entre s´ı sin ser destrui- das o alteradas. La combinaci´ on de dos ondas en el mismo espacio y tiempo se llama interferencia, esta puede ser constructiva o destructiva dependiendo de la direcci´ on de cada una. Si la onda sinusoidal que se combina en un medio lineal tiene la misma fre- cuencia y longitud de onda, se produce un patr´ on estacionario llamado onda estacionaria.

Una onda estacionaria es un patr´ on de oscilaci´ on con un esquema fijo que resulta de la superposici´ on

de dos ondas id´ enticas viajando en direcci´ on contra- ria. Esta situaci´ on se puede describir a trav´ es de la ecuaci´ on y = (2A sen(kx))cos(t). Cada part´ıcula del medio oscila en un movimiento arm´ onico simple con la misma frecuencia. El m´ aximo desplazamiento de una part´ıcula del medio tiene un m´ınimo valor de cero cuando x satisface la condici´ on kx = 0. Estos puntos de cero desplazamiento se llaman nodos. Las posiciones del medio donde la part´ıcula alcanza el mayor desplazamiento se llama antinodo.

En una onda viajera la energ´ıa es transferida junto con la onda. Una part´ıcula en un nodo no ex- perimenta desplazamiento, as´ı no puede hacer tra- bajo en el ´ area vecina. Como resultado la energ´ıa no es propagada en un una onda estacionaria.

Ernst Florens Friedrich Chladni fue un f´ısico y m´ usico alem´ an, conocido como “el padre de la ac´ ustica” por sus aportaciones en el campo. Uno de sus trabajos mejor conocido es la invenci´ on de la t´ ecnica para mostrar varios modos de vibraci´ on en placas r´ıgidas publicado en su libro “Entdeckungen

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uber die Theorie des Klanges”. Originalmente esta t´ ecnica consiste en “tocar” una placa o membrana (circular, cuadrada o rectangular), cubierta ligera- mente de arena, con un arco. Al tocar la placa con el arco, ´ esta entra en resonancia con sus frecuencias naturales. La arena sobre la superficie de la placa se mueve hasta llegar a los nodos y una vez ah´ı perma- nece inm´ ovil, por lo cual se producen los patrones que Chladni observ´ o.

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2 Observaci´ on de patrones de Chladni en placas de superficie plana Resultados

2. Desarrollo

La ley de Chladni relaciona la frecuencia de los modos de vibraci´ on para placas de superficie plana como una funci´ on de los n´ umeros m y n, donde n es n´ umero de nodos radiales, m es el n´ umero de nodo diam´ etrico. Dependiendo de la forma de la placa la ecuaci´ on puede variar. En el caso de placas circu- lares la ecuaci´ on es f = c(m + 2n) ^p , donde c y p dependen de las propiedades de la placa.

La teor´ıa para el caso de una placa cuadrada obligan a que el borde de la placa sea un antino- do. Si se resuelve la ecuaci´ on para esas condiciones de contorno se encuentra la siguiente soluci´ on para las frecuencias de resonancia ω = V π/a(m ² + n ² )

donde a es la dimensi´ on de la placa cuadrada, v la velocidad del sonido en la placa.

Se colocaron placas de forma cuadrada, circular y triangular sobre una bocina adaptada para tras- mitir la vibraci´ on a la placa. La bocina se conect´ o a un generador de funciones. Sobre la superficie de la placa se coloc´ o una fina capa de arena. Se buscaron las frecuencias en donde la placa entraba en reso- nancia.

Cuando la placa entra en resonancia se forma una onda estacionaria. En los nodos la arena per- manece inm´ ovil y en los antinodos la arena salta y empieza a moverse a las zonas de menor energ´ıa, es decir, a los nodos. La arena acumulada en los nodos forman patrones que son los que observ´ o Chladni.

Cualquier placa tiene un n´ umero indefinido de posi- bles modos de vibraci´ on, cada uno correspondiente a una frecuencia espec´ıfica de sonido. Cada modo produce un patr´ on ´ unico. La complejidad del patr´ on aumentar´ a con la frecuencia. La forma de los patro- nes depender´ a de otros factores como, la forma de la placa, su espesor y el material del que est´ a fabri- cada.

3. Experimento

Se coloc´ o una l´ amina cuadrada de 19 cm × 19 cm con 2 mm de espesor sobre la bocina adaptada con un eje que transmite los pulsos mec´ anicos a la placa.

Con la bocina conectada a un generador de funcio- nes y se busc´ o las frecuencias en las que la placa

entr´ o en resonancia en un rango de 1 Hz a 1000 Hz.

Cuando la arena sobre la superficie de la placa mostr´ o un patr´ on estable y repetible se tom´ o como resultado v´ alido para la comparaci´ on con las figuras de Chladni.

Se repiti´ o el mismo procedimiento para una pla- ca circular de 15 cm de di´ ametro y 1 mm de espesor;

y para una placa triangular de 20.5 cm de catetos y 29 cm de hipotenusa.

4. Resultados

Para la placa cuadrada se observaron once pa- trones con alta simetr´ıa en un rango de frecuencia de 1 a 1000 Hertz. Se puede observar que conforme la frecuencia aumenta, el nivel de complejidad de los patrones tambi´ en aumenta.

Las frecuencias en las que se observaron los pa- trones fueron 56, 76, 96, 227, 232, 385, 402, 489, 502, 575 y 603 Hertz. Los patrones se muestran a continuaci´ on.

Figura 1: Placa cuadrada f = 56 Hz.

Figura 2: Placa cuadrada f = 76 Hz.

Figura 3: Placa cuadrada f = 96 Hz.

Figura 4: Placa cuadrada f = 227 Hz.

Figura 5: Placa cuadrada f = 232 Hz.

Figura 6: Placa cuadrada f = 385 Hz.

Figura 7: Placa cuadrada f = 402 Hz.

Figura 8: Placa cuadrada f = 489 Hz.

4 Observaci´ on de patrones de Chladni en placas de superficie plana An´ alisis

Figura 9: Placa cuadrada f = 502 Hz.

Figura 10: Placa cuadrada f = 575 Hz.

Figura 11: Placa cuadrada f = 603 Hz.

Para la placa triangular s´ olo se observ´ o un patr´ on el cual no se tom´ o como v´ alido ya que la

placa mostr´ o tener deformidades que afectaron el resultado.

Para la placa circular no se tom´ o ning´ un resulta- do como v´ alido por la inestabilidad que presentaba.

5. An´ alisis

Se dibuj´ o el patr´ on de la arena y se compar´ o con los observados por Chladni. A continuaci´ on se mues- tran las comparaciones.

f = 56 Hz

f = 76 Hz

f = 96 Hz

f = 385 Hz

f = 402 Hz

f = 489 Hz

f = 502 Hz

f = 575 Hz

f = 603 Hz

Los dos patrones encontrados que no correspon- dieron a alg´ un patr´ on de Chladni, son los siguientes.

f = 227 Hz f = 232 Hz

6. Conclusiones

Pese a que la placa cuadrada mostr´ o tener irre- gularidades, se pudieron observar once figuras de las cuales nueve forman parte de los patrones reporta- dos por Chladni.

Para la placa triangular, el ´ unico patr´ on obser- vado no se tom´ o como v´ alido porque la placa ten´ıa deformidades y abolladuras que ocasionaron que la superficie no fuera plana, as´ı es que la arena se asen- taba en lugares que podr´ıan no ser nodos.

La placa circular ten´ıa poca rigidez y no se pu- dieron observar l´ıneas nodales por su excesiva vibra- ci´ on, en cambio mostr´ o un comportamiento donde la arena formaba peque˜ nas dunas que se desplazaban hacia afuera de la placa.

Efectivamente, el espesor, la rigidez y la forma de la placa son factores que afectan los patrones que pueden generarse. Tambi´ en se pudo observar clara- mente que el nivel de complejidad de los patrones formados aumentaba junto con la frecuencia.

Otro problema que se observ´ o fue que la mesa de trabajo tambi´ en entraba en resonancia con algu- nas frecuencias, lo que pudo ocasionar que existie- ran interferencias con la placa. Puede que las figuras observadas que no se asociaron ning´ un patr´ on ob- servado por Chladni correspondiera a la frecuencia donde la mesa y la placa entraban en resonancia si- mult´ aneamente, pero tambi´ en puede que correspon- diera a las irregularidades de la placa, como valles, cambios de densidad o alguna otra imperfecci´ on.

En un trabajo futuro se tomar´ıan en cuenta los

6 Observaci´ on de patrones de Chladni en placas de superficie plana Anexo

siguientes puntos para mejorar el resultado obteni- do:

Utilizar placas con mayor rigidez y de un ma- terial homog´ eneo;

utilizar un amplificador, ya que a mayor fre- cuencia menor amplitud mec´ anica;

utilizar una mesa de trabajo que no entre en resonancia con el aparato;

analizar aparte de cualitativamente cuantita- tivamente los resultados;

para la placa triangular usar un tri´ angulo equil´ atero;

arena de distintos colores para observar el des- plazamiento de los granos; y

comparar entre placas con la misma forma pe- ro diferente espesor.

Referencias

[Re01] David Halliday, Robert Resnick, Kenneth S. Krane. Physics Vol 1, 5th Edition. April 2001.

[www1] http://monoskop.org/Ernst Chladni#Work Consultado el 2/6/2015

[www2] http://www.hps.cam.ac.uk/whipple/explore/

acoustics/ernstchladni/chladniplates/ Con- sultado el 2/6/2015

7. Anexo

Para consultar fotos y videos del experi- mento, as´ı como el c´ odigo y el esquema del generador de funciones; ingrese a la p´ agina:

http://cursosdehector.com/programas/chladni/