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Modelos Bianchi I con campo escalar y fluido perfecto: análisis cualitativo

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Academic year: 2020

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(1)DEPARTAMENTO DE MATEMATICA UNIVERSIDAD CENTRAL “MARTA ABREU” DE LAS VILLAS. MODELOS BIANCHI I CON CAMPO ESCALAR Y FLUIDO PERFECTO: ANALISIS CUALITATIVO INFORME DE INVESTIGACIÓN CONCLUIDA. Sigfried Shinyemba Amukugo1 Tutor: Dr. C. Genly León Torres2. 1 2. E-mail address: ssamukugo@yahoo.com E-mail address: genly@uclv.edu.cu.

(2) ÍNDICE GENERAL INTRODUCCIÓN ........................................................................................................... 5 Problema ........................................................................................................................ 7 Objetivos........................................................................................................................ 7 Preguntas de investigación ............................................................................................. 8 Justificación ................................................................................................................... 8 Hipótesis de investigación .............................................................................................. 9 Tipo de investigación ..................................................................................................... 9 Estructura del trabajo de investigación ........................................................................... 9 1.1 TEORÍA DE LOS SISTEMAS DINÁMICOS Y APLICACIONES EN LA COSMOLOGÍA ............................................................................................................. 10 1.1.1 Algunas técnicas de la teoría de sistemas dinámicos con aplicaciones en cosmología ................................................................................................................... 10 1.1.3 Teoría de la Variedad Central .............................................................................. 15 Dinámica capturada por la variedad central .............................................................. 16 1.2 COSMOLOGÍAS ANISÓTROPAS EN RELATIVIDAD GENERAL .................. 18 1.2.1 La geometría y las cantidades cinemáticas ........................................................... 18 1.2.2 Geometrías Bianchi I ........................................................................................... 19 Ecuaciones cosmológicas ......................................................................................... 20 2 MODELOS BIANCHI I CON CAMPO ESCALAR Y FLUIDO PERFECTO: ANÁLISIS CUALITATIVO .......................................................................................... 22 2.1 Normalización ........................................................................................................ 22 2.1.1 Puntos críticos ..................................................................................................... 22 2.1.2 Cálculo de la variedad central de P2 y análisis de su estabilidad ...................... 25 2.1.3 Cálculo de la variedad central de P3 y análisis de su estabilidad ...................... 27 2.2 Reconstrucción del potencial de autointeracción ..................................................... 28 2.3 Resultados .............................................................................................................. 30 CONCLUSIONES.......................................................................................................... 31 RECOMENDACIONES ................................................................................................ 32 BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................... 33.

(3) Dedicatoria: A mis Padres (Onessy y Marry), mi novia (Ruvimbo), mi hermano (Mathew) y a mis Hermanas (Ndeshy, Lavvy, Mirjam y Fudheni)!.

(4) AGRADECIMIENTOS A mi tutor Genly León Torres y su familia, por la sabia dirección de esta investigación.. A mi novia (Ruvimbo) y mis amigos (Emmanuel y Silas) por el apoyo incondicional en cada momento.. A mi profesor de cálculo José Enrique Martínez Serra y mi profesora de álgebra Tamara Fortes Espinosa por ser mis paradigmas del profesor consagrado y guía en mi primer año.. A todos mis profesores del departamento de matemática que siempre estuvieron a mi lado.. A mis dos gobiernos, la Revolución Cubana y gobierno Namibiano, por garantizarme el acceso a una formación de pregrado de excelencia..

(5) Introducción El Principio Cosmológico, el cuál se supone válido en la macro-escala, es el fundamento básico en la física que establece que no deben existir observadores especiales. Cuando este principio es aplicado a la Cosmología y a la descripción de la estructura del Universo, básicamente plantea la cuestión de cuando el Universo es isótropo y homogéneo. Estos dos términos no son equivalentes y tienen un significado especial en Cosmología: isotropía significa que no existen direcciones especiales en el Universo, homogeneidad significa que no existen lugares especiales en el Universo.3 Esto ha motivado que la mayoría de los trabajos cosmológicos se concentren en geometrías homogéneas e isótropas. La explicación de estas características del universo, junto con el problema del horizonte, fue la principal razón para la construcción del paradigma inflacionario [1]. Aunque el último aspecto ha sido bien explicado, el problema de la homogeneidad y la isotropía no ha sido resuelto totalmente: usualmente se parte de una métrica homogénea e isótropa FriedmannRobertson-Walker (FRW) y luego se examina la evolución de las perturbaciones, sin embargo, la manera robusta de proceder es partir de una métrica arbitraria y demostrar que el universo evoluciona hacia la solución FRW, coincidiendo con las observaciones. Sin embargo, dada la complejidad de este enfoque, solo es posible el tratamiento numérico del problema [2], y por tanto, con el objetivo de extraer soluciones analíticas muchos autores asumen de partida una hipótesis adicional, esto es investigar cosmologías anisótropas pero homogéneas. Esta tipo de geometrías se conocen desde hace mucho tiempo [3], y estas pueden exhibir comportamientos cosmológicos muy interesantes, tanto para la cosmología inflacionaria como la post-inflacionaria [4]. Las geometrías homogéneas pero anisótropas más estudiadas son las métricas de tipo Bianchi (ver [5, 6] y las referencias allí citadas) y las métricas Kantowski-Sachs (ver [7] y las referencias allí citadas), tanto en marcos convencionales como con dimensiones extras. A pesar de que algunos modelos Bianchi (por ejemplo los Bianchi IX) son más realistas, la estructura complicada de su espacio de fase ha llevado a muchos autores a investigar los modelos más simples pero muy interesantes Bianchi I, Bianchi III, y Kantowski-Sachs. En estos tipos de métricas uno puede examinar analíticamente el rico comportamiento 3. Visitar http://abyss.uoregon.edu/js/cosmo/lectures/lec05.html.

(6) cosmológico de los modelos e incorporar además materia en los modelos [8-10], obteniéndose una muy buena representación de la cosmología homogénea pero anisótropa. Por otra parte ahora se sabe que el universo se expande aceleradamente [11-15], y este hallazgo a llevado a los físicos teóricos a introducir el concepto de Energía Oscura (EO) (ver los artículos de revisión [16-20] y las referencias allí citadas) en el miembro derecho de las ecuaciones de campo, la cual puede ser en la forma de una constante cosmológica  4. o, formada por uno o varios campos escalares [25-29]. Otra dirección es considerar. modelos alternativos [30-32] tales como las llamadas Teoría de la gravedad Extendida (TGE) y, en particular, Teorías de la Gravedad de orden superior (TGOS) [7,33-55]. En este investigación seguiremos la primera dirección, o sea, consideraremos modelos de EO escalar. Los campos escalares han jugado roles esenciales como modelos del universo temprano. En los escenarios inflacionarios del universo (basados principalmente en TGR) la materia es modelada, usualmente, como un campo escalar,  , con potencial V ( ) , el cual debe satisfacer los requerimientos necesarios para conducir la aceleración de expansión de tiempo temprano [56]. Si el potencial es constante, o sea, si V ( ) = V0 , es espacio-tiempo es de tipo de Sitter y la expansión es exponencial. Si el potencial es exponencial, o sea,. V ( ) = V0 exp[ ] , se obtiene una solución inflacionaria con ley de potencias [57]. Varias teorías de la gravedad consideran múltiples campos escalares con potencial exponencial, particularmente en los escenarios de inflación asistida [58-61]; en el paradigma de energía quintasma [62-64] y otros. También han sido considerados potenciales exponenciales simples y single dobles exponenciales [65-66], etc. Otras generalizaciones con múltiples campos escalares pueden encontrarse en [67, 68]. En esta investigación daremos algunos pasos para el tratamiento y posible resolución de los problemas de la homogeneidad y la isotropía del universo y de la Energía Oscura a través de la proposición y validación de varios modelos cosmológicos basados en Teoría General de la Relatividad (TGR) asumiendo métricas homogéneas pero anisótropas y considerando campos escalares con potencial arbitrario y fluido perfecto como contenido material. Según sabemos, el comportamiento dinámico de espacio-tiempos basados en TGR y en Teorías 4. Esta elección está plagada seriamente de los conocidos problema de la coincidencia y problema de ajuste fino [21-24]..

(7) Escalares-Tensoriales con campos escalares es bien conocido para una amplia variedad de potenciales no negativos en métricas FRW (ver [69] y referencias allí citadas). Para el tratamiento de potenciales arbitrarios, usaremos en esta investigación un enfoque diferente a los mencionados anteriormente. Este se basa en definir la variable, s, relacionada con la primer derivada de la función potencial, y la variable f , relacionada con las derivada primera y segunda de la función potencial a través de. s=. V ( ) V ( ) V ( ) 2 ,f =  . V ( ) V ( ) V ( ) 2. Dada la arbitrariedad de la función potencial es posible desarrollar un método de trabajo (muy similar al enfoque usado en [70]) cuya idea básica es escribir f como función de s , y, posiblemente, de varios parámetros constantes, f = f ( s ,  ), donde  es un nombre colectivo para los parámetros, s  R. De esta manera puede obtenerse un sistema dinámico para s y un conjunto apropiado de variables de estado normalizadas. De hecho, para una amplia clase de potenciales, el requerimiento anterior se satisface. Para la investigación de los modelos propuestos utilizaremos técnicas cualitativas de la teoría de los sistemas dinámicos. Particularmente, investigaremos modelos Bianchi I con campo escalar y fluido perfecto desde la perspectiva de los sistemas dinámicos para diferentes clases de potenciales.. Problema Determinar condiciones suficientes para la existencia de atractores del futuro correspondiendo a soluciones isótropas en expansión acelerada para diferentes modelos cosmológicos expansión basados en TGR asumiendo métricas homogéneas pero anisótropas y considerando campos escalares y fluido perfecto como contenido material.. Objetivos En la presente investigación nos hemos propuesto como objetivo general el análisis cualitativo de un modelo cosmológico basado en TGR asumiendo métricas homogéneas pero anisótropas y considerando campos escalares y fluido perfecto como contenido material, usando de modo combinando técnicas analíticas y numéricas, con el propósito de esbozar conclusiones generales sobre la evolución del Universo..

(8) Para alcanzar este objetivo general nos hemos trazado los siguientes objetivos específicos: 1. Análisis del espacio de fase y obtención de soluciones exactas para modelos Bianchi I con campos escalares y fluido perfecto. 2. A partir de la caracterización de la estructura asintótica del futuro para el flujo en los espacios de fases de los modelos 1-2, formular condiciones suficientes para la existencia de atractores del futuro correspondiendo a soluciones isótropas en expansión acelerada independientemente del grado inicial de anisotropía.. Preguntas de investigación ¿Puede determinarse la estructura asintótica del flujo en el espacio de fase correspondiente a un modelo del universo que incluya campos escalares y fluido perfecto considerando como modelo geométrico a métricas espacialmente homogéneas y usando de modo combinado métodos analíticos y numéricos?. Justificación Los problemas de la homogeneidad y la isotropía del universo y de la Energía Oscura no han tenido, hasta el momento, una resolución definitiva. Especialmente, los estudios de energía oscura permanecen siendo una de las prioridades identificadas a nivel mundial (http://sites.nationalacademies.org/bpa/BPA_049810). Esto permite justificar la pertinencia de la presente investigación. La resolución de ambos problemas se reduce a determinar condiciones suficientes para la existencia de atractores del futuro correspondiendo a soluciones isótropas en expansión acelerada. La viabilidad de la investigación se sustenta en que los análisis desde la perspectiva de los sistemas dinámicos proporcionan uno de las mejores maneras de estudiar la estabilidad de los modelos cosmológicos. Además, estos métodos generales de investigación permiten el ajuste fino de las condiciones iniciales requeridas para conciliar con las observaciones. Por otra parte la viabilidad de la investigación se sustenta también en la disponibilidad de recursos computacionales para el tratamiento analítico y numérico de las soluciones..

(9) Hipótesis de investigación Después de revisar la literatura y haber elaborado el marco teórico, se formula como hipótesis de investigación que es posible caracterizar las propiedades del flujo asociado a un sistema autónomo de ecuaciones diferenciales ordinarias correspondiente a un modelo cosmológico, mediante el uso de técnicas cualitativas, considerando una normalización y parametrización apropiada y exigiendo propiedades buenas de diferenciabilidad e integrabilidad para las funciones de entrada en todos los casos de interés en esta investigación.. Tipo de investigación La investigación es de tipo explicativo.. Estructura del trabajo de investigación El trabajo está estructurado en la presente Introducción, y 2 capítulos esenciales: Capítulo 1: Conceptos básicos. Capítulo 2: Modelos Bianchi I con campo escalar y fluido perfecto: Analisis cualitativo. En el capítulo 1 se introducen algunas herramientas relevantes de la teoría de los sistemas dinámicos así tambien se introducen conceptos básicos de cosmología. En el capítulo 2 se hace el estudio detallado del flujo asociado al modelo cosmológico que se propone. A partir de la caracterización de la estructura asintótica del futuro para el flujo en los espacios de fases del modelo cosmológico, se formulan condiciones suficientes para la existencia de atractores del futuro correspondiendo a soluciones isótropas en expansión acelerada independientemente del grado inicial de anisotropía. Finalmente se presentan las conclusiones, recomendaciones y la bibliografía consultada..

(10) 1 Conceptos básicos 1.1 Teoría de los sistemas dinámicos y aplicaciones en la cosmología Los métodos cualitativos han sido probado ser un esquema poderoso para investigar el comportamiento físico de modelos cosmológicos. Con este propósito han sido utilizados diferentes enfoques: aproximación por partes, métodos Hamiltonianos, y métodos de la teoría de los sistemas dinámicos [71]. En el tercer caso, las cosmologías Bianchi y su subclase isótropa (los modelos FLRW), son susceptibles de escribirse como un sistema autónomo de ecuaciones diferenciales de primer orden cuyas curvas soluciones particionan a R n en órbitas, definiendo un sistema dinámico en R n . En el caso general, los elementos de la partición del espacio de fase (o sea, puntos de equilibrio, conjuntos invariantes, etc.) pueden ser enumerados y descritos. Este estudio consiste de varios pasos: determinar los puntos de equilibrio, la linealización en una vecindad de estos, la búsqueda de los valores propios de la matríz asociada, el chequeo de las condiciones (necesarias y suficientes) para la estabilidad en una vecindad de los puntos de equilibrio, la determinación de los conjuntos de estabilidad e inestabilidad, y la determinación de las cuencas de atracción, etc. En algunas ocasiones, con el objetivo de hacer este análisis, es necesario simplicar al sistema dinámico. Dos enfoques son aplicados con este objetivo: uno, reducir la dimensionalidad del sistema y dos, eliminar la no linearidad. Dos técnicas rigurosas para obtener un progreso sustancial en ambas líneas son la teoría de la variedad central y el método de las formas normales. En esta investigación usaremos la primera técnica para el tratamiento de las posiciones de equilibrio no hiperbólicas. Remitimos al lector a la sección 1.2.3 donde se hace un resumen de la teoría de la variedad central.. 1.1.1 Algunas técnicas de la teoría de sistemas dinámicos con aplicaciones en cosmología La teoría de los sistemas dinámicos proporciona un sólido marco teórico para estudiar sistemas físicos los cuales evolucionan en el tiempo. Se puede asumir que el estado de un.

(11) sistema físico en un instante de tiempo puede ser descrito por un elemento x de un espacio de estados X , el cual puede ser finito dimensional ( R n o cualquier variedad diferenciable no trivial) o infinito dimensional (espacio de funciones). La evolución del sistema físico puede ser descrito mediante una ecuación diferencial autónoma sobre X escrita simbólicamente. x' (t ) = f (x(t )),. x(t )  X  R n ,. (1.1). El vector x  R n es llamado vector estado (o simplemente estado o fase) del sistema y R n es llamado espacio de estados (o espacio de fases). La función f puede ser interpretada como un campo vectorial sobre el espacio de estados. R n , por que asocia a cada x  R n un elemento f ( x)  R n , el cual puede ser interpretado como un vector. f ( x) =  f1 ( x ),, f n ( x) . (1.2). situado en x. Como f no depende de t explícitamente, la ED se dice que es autónoma. Dado un sistema dinámico cosmológico determinado por la ecuación diferencial dy = f ( y ), y  R n , d. (1.3). g ( y ) = 0,. (1.4). el procedimiento estándar para analizar las propiedades del flujo generado por (1.3) sujeto a la restricción(es) (1.4) (ver, por ejemplo, la referencia [71]) es el siguiente: 1.. Determinar cuando el espacio de estado, definido a partir de (1.1), es compacto.. 2.. Identificar los conjuntos invariantes de dimensión inferior, los cuales contienen las órbitas de clases más específicas de modelos con simetrías adicionales.. 3.. Hallar todas las posiciones de equilibrio de interés físico y analizar su estabilidad. Siempre que sea posible, identificar las variedades estables, inestables y centro de los puntos de equilibrio, las cuales pueden coincidir con algunos de los conjuntos invariantes determinados en el punto (2).. 4.. Hallar funciones de Dulac o funciones monótonas en varios conjuntos invariantes donde sea posible..

(12) 5.. Investigar cualquier tipo de bifurcación que ocurra, por ejemplo, cuando el parámetro de la ecuación de estado  (o cualquier otro parámetro) varíe. Las bifurcaciones están asociadas con cambios en la estabilidad local de los puntos de equilibrio.. 6.. Teniendo toda la información en los puntos (1)-(5) uno puede esperar formular conjeturas precisas sobre la evolución asintótica del modelo, mediante la identificación de los atractores del pasado y del futuro. El atractor del pasado describirá la evolución típica (o sea, salvo conjuntos de medida de Lebesgue nula) del universo cerca de la singularidad inicial mientras que el atractor del futuro jugará un rol similar en tiempos tardíos. Las funciones monótonas obtenidas en el punto (4) de la enumeración anterior, en conjunto con teoremas de la teoría de los sistemas dinámicos, pudieran permitirnos probar algunas de las conjeturas formuladas.. 7.. Conociendo las variedades estables, inestables y centro de los puntos de equilibrio es posible construir todas las posibles secuencias heteroclínicas que unen los atractores de pasado y de futuro, ganando en claridad sobre la evolución intermedia de los modelos cosmológicos.. El primer paso para obtener información cualitativa sobre las soluciones de una ecuación diferencial (1.3) sujeta a la restricción(es) (1.4) (que representan la evolución de un modelo del universo en un espacio de estados) es estudiar el flujo asociado a la ecuación diferencial en una vecindad de los puntos críticos, o sea, estudiar su estabilidad. La idea esencial es linealizar la ecuación diferencial en cada punto crítico hiperbólico y usar entonces el teorema de Hartman-Grobman. Para la ecuación diferencial x' = A( x ) definida en R n podemos determinar los valores de la matriz A (complejos en general y no necesariamente diferentes) y los vectores propios asociados los cuales generan tres subespacios de R n (los cuales dependen de la naturaleza de los valores propios asociados): E s , E u y E c . Estos subespacios contienen órbitas disjuntas las cuáles particionan el espacio de estados, o sea, E s  Eu  E c = Rn.. Existen, respectivamente, el subespacio estable (generado por los vectores propios cuyos valores propios asociados tienen parte real negativa), el subespacio inestable (generado por. (1.5).

(13) los vectores propios cuyos valores propios asociados tienen parte real positiva) y los subespacios centrales generados por los vectores propios cuyos valores propios asociados tienen parte real nula. Los subespacios estable e inestable están caracterizados, respectivamente, por las propiedades:. x  E s  lim e A x = 0. (1.6). x  E u  lim e A x = 0.. (1.7).  . y   . Esto describe el comportamiento asintótico: todos los estados iniciales en el subespacio estable son atraidos por el punto crítico x = 0 y todos los estados iniciales en el subespacio inestable son repetidos por x = 0. Si el sistema x' = f ( x) no es lineal, podemos usar el teorema Hartman-Grobman. En el caso que el sistema sea no lineal se pueden definir las variedades E ( s ,u ,c ) (variedad estable, inestable and centro respectivamente) en el punto crítico, estas variedades son tangentes a los correspondientes subespacios E ( s ,u ,c ) de la linealización en el punto crítico (subespacio estable, inestable y centro respectivamente). Todos los puntos en E s convergen asintóticamente al punto crítico cuando el tiempo transcurre (    ), mientras que todas las órbitas en Eu convergen asintóticamente al punto fijo cuando   . La variedad E c contiene todas las órbitas cuyo comportamiento asintótico no puede deducirse mediante el análisis lineal. El sistema dinámico que estudiaremos en el siguiente capítulos tendrá en cuenta la evolución de cuatro variables dinámicas x i , i = 1 4 . Las correspondientes ecuaciones se podrán escribir simbólicamente:. x i ' = f i ( x1 , x 2 ,  , x 4 ),. (1.8). donde la prima denota la derivada con respecto a una variable temporal  la cual se escoje convenientemente. El próximo paso para estudiar la evolución de un sistema particular es encontrar sus puntos críticos ( x1* , x 2* , , x 4* ) , los cuáles se definen como las soluciones de las ecuaciones. f i ( x1* , x 2* ,  , x 4* ) = 0.. (1.9).

(14) La estabilidad de los puntos críticos ( x1* , x 2* , , x 4* ) es entonces analizada estudiando el sistema dinámico linealizado que se obtiene al considerar la serie de Taylor de primer orden del sistema original en una vecindad de cada punto crítico. Luego, se ensayan soluciones de la aproximación lineal en la forma ( x1 , x 2 ,  , x 4 ) = (c1 , c2 ,  , c4 )e t ,. (1.10). y se encuentra que los exponentes característicos  y el vector constante (c1 , c2 , , c4 ) deben ser respectivamente un valor propio y un vector propio de la matriz:  x1'  1  x   x 2' A =  x1      x 5'  1  x. x1' x 2 x 2' x 2  x 5' x 2. x1'   x 5   2  x '   x 5      x 5'    x 5  ( x1, x2 ,, x5 )= ( x1* , x 2* ,, x5* ) . El carácter de los puntos críticos depende de los valores de los exponentes característicos como sigue: si la parte real de todos los exponentes caractersticos es negativa, el punto fijo es asintóticamente estable, o sea, un atractor. Por otra parte, es suficiente que (al menos) un exponente característico tenga parte real positiva para que el punto crítico sea inestable: es un repulsor si todas las partes reales son positivas en cambio si al menos uno de estos exponentes tiene parte real negativa es un punto de ensilladura (silla), en cuyo caso existe, aparte de la variedad inestable, una variedad estable conteniendo las órbitas excepcionales que convergen al punto. Adicionalmente, cuando uno de los exponentes es nulo el punto es no hiperbólico y por tanto la estabilidad estructural no puede garantizarse (la forma geométrica de las órbitas puede cambiar bajo perturbaciones pequeñas). Luego, el caso en el cual la mayor parte real es precisamente cero debe ser analizado usando otros métodos, por ejemplo, el teorema de la variedad central. En este caso el análisis lineal no es concluyente (el teorema de Hartman-Grobman no se aplica). En el caso de que el sistema dinámico bajo estudio sea 3-dimensional, la forma geométrica de las órbitas cerca de los puntos críticos está determinada por la parte imaginaria de los (tres) exponentes característicos. Si los tres son reales (partes imaginarias nulas) el punto crítico es un nodo. Un par de exponentes conjugados conducen, salvo en los casos. (1.11).

(15) degenerados, a un centro espiral, un foco o una silla espiral (las órbitas son hélices en las cercanas del punto crítico). El primero de los casos ocurre cuando las partes reales de los exponentes complejos se anulan, mientras que el segundo y tercer caso ocurren si el signo del exponente real y la parte real de los exponentes complejos son respectivamente iguales o diferentes.. 1.1.3 Teoría de la Variedad Central En esta sección se ofrecen las técnicas para la construcción de variedades centrales locales para campos vectoriales en R n ([72], capítulo 18). Consideremos campos vectoriales de la forma x' = Ax  f ( x, y ),. y ' = Bx  g (x, y ), (x, y )  Rc  R s ,. (1.12). donde f(0,0) = 0, Df(0,0) = 0,. (1.13). g(0,0) = 0, Dg(0,0) = 0.. En la ecuación (1.12), A es una matríz c  c teniendo valores propios con partes reales cero, B es una matríz s  s teniendo valores propios con parte real negativa, y f y g son funciones de clase C r ( r  2 ). Definición 1.1 (Variedad Central) Una variedad invariante se llamará variedad central para (1.12) si esta puede representarse localmente como sigue. . . W c 0 = x, y   R c  R s : y = hx , x <  ; h0  = 0, Dh0 = 0,. para  suficientemente pequeño (cf. [72] p. 246, [73],p. 155). Las condiciones h0 = 0, Dh0  = 0 implican que W c 0  es tangente a E c en x, y  = (0,0), donde E c es el espacio propio generalizado correspondiente a los valores propios cuyas partes reales son cero. Los siguientes tres teoremas (ver teoremas 18.1.2, 18.1.3 y 18.1.4 en [72] p. 245-248) son los resultados principales para el tratamiento de las variedades centrales. Los primeros dos son teoremas de existencia y estabilidad de la variedad central para (1.12) en el origen. El tercer teorema permite calcular explícitamente la variedad central hasta el grado deseado de exactitud usando series de Taylor para resolver una.

(16) ecuacion diferencial parcial cuasilineal que hx  debe satisfacer. Teorema 1.1 (Existencia) Existe una variedad central de clase C r para (1.12). La dinámica de (1.12) restringida a la variedad central está dada, para u suficientemente pequeño, por el siguiente campo vectorial c-dimensional. u' = Au  f u, hu , u  R c . El siguiente resultado implica que la dinámica de (1.14) en una vecindad de u = 0 determina la dinámica de (1.12) en una vecindad de x, y  = (0,0) . Teorema 1.2 (Estabilidad) i). Supongamos que la solución identicamente cero de (1.14) es estable (asintóticamente estable) (inestable); entonces la solución identicamente cero de (1.12) es también estable (asintóticamente estable) (inestable).. ii). Entonces si ( x( ), y ( )) es la solución de (1.12) con ( x(0), y (0)) suficientemente pequeño, entonces existe una solución u ( ) de (1.14) tal que, cuando   . x( ) = u( )  O(e  rt ), x( ) = hu( )   O(e  rt ), donde r > 0 es una constante.. Dinámica capturada por la variedad central Expresado en palabras, este teorema dice que para condiciones iniciales del sistema completo suficientemente cerca del origen, las trayectorias pasando por estas tienden asintóticamente a una trayectoria sobre la variedad central. En particular, en la variedad central están contenidos puntos de equilibrio suficientemente cercanos al origen, órbitas periódicas de amplitud suficientemente pequeña, así como pequeñas órbitas homoclínicas y heteroclínicas. La cuestión obvia ahora es ¿cómo calcular la variedad central de modo que pueda ser usado el resultado del teorema 1.2? Para responder a esta pregunta deduciremos una ecuación diferencial parcial cuasilineal que h (x) debe satisfacer para que su grafo sea una variedad central para (1.12). Supongamos que tenemos una variedad central. (1.14).

(17) . . W c 0 = x, y   R c  R s : y = hx , x <  ; h0 = 0, Dh0 = 0,. con  suficientemente pequeño. Usando la invarianza de W c 0  bajo la dinámica de (1.12), deduciremos una ecuación diferencial parcial cuasilineal que hx  debe satisfacer. Esto se hace como sigue: 1. La coordenadas ( x, y ) de cualquier punto sobre W c 0  deben satisfacer y = h(x). (1.15). 2. Diferenciando (1.15) con respecto al tiempo se tiene que las coordenadas ( x' , y ' ) de cualquier punto sobre W c 0  deben satisfacer. y ' = Dhx x'. (1.16). 3. Cada punto en W c 0  obedece la dinámica generada por (1.12). Luego, sustituyendo. x' = Ax  f x, h(x) , y ' = Bh(x)  gx, h(x)  en (1.16) se obtiene. N h(x)  Dh(x)Ax  f x, h(x)   Bh(x)  g x, h(x)  = 0. La ecuación (1.17) es una ecuación diferencial parcial cuasilineal que h (x) debe satisfacer para que su grafo sea una variedad central invariante. Luego, para determinar la variedad central, todo lo que se necesita hacer es resolver (1.17). Desafortunadamente, es probablemente más difícil resolver (1.17) que nuestro problema original; sin embargo, el siguiente teorema nos ofrece un método para calcular una solución aproximada de (1.17) hasta el grado deseado de exactitud. Teorema 1.3 (Aproximación) Sea Φ : R c  R s una aplicación de clase C 1 con Φ( 0) = 0 y DΦ(0) = 0 tal que. N Φ(x)  = O(| x |q ) as x  0 para algún q > 1. Entonces, | h(x)  Φ(x) |= O(| x |q ) cuando x  0.. Este teorema nos permite calcular la variedad central al grado deseado de exactitud resolviendo (1.17) hasta el mismo grado de exactitud. Para esta tarea, las expansiones en series de Taylor funcionan apropiadamente.. (1.17).

(18) 1.2 Cosmologías anisótropas en Relatividad General En esta sección se presentan las ecuaciones básicas de las geometrías anisótropas Kantowski-Sachs, Bianchi I y Bianchi III. Luego de presentar las variables cinemáticas y dinámicas en las primeras dos subsecciones nos concentraremos en las ecuaciones de campo correspondientes a la cosmología Bianchi I.. 1.2.1 La geometría y las cantidades cinemáticas Con el objetivo de investigar cosmologías anisótropas, es usual asumir una métrica anisótropa de la forma [74]: 1. 2. ds 2 =  N (t ) 2 dt 2  [e1 (t )] 2 dr 2  [e2 (t )] 2 [ d 2  S ( ) 2 d 2 ],. (1.18). donde 1/e11 (t ) y 1/e2 2 (t ) son los factores de escala. Los vectores de marco pueden escribirse en forma coordenada como 1. e 0 = N 1 t , e1 = e1  r 2. 2. e 2 = e2  , e3 = e2 /S ( )  .. (1.19). La métrica (1.18) puede describir tres familias geométricas diferentes, esto es. sin  para k = 1,  S ( ) =  para k = 0, sinh  para k = 1,  conocidas respectivamente como modelos Kantowski-Sachs, Bianchi I y Bianchi III. Consideremos la dinámica de fluido relativista (ver, por ejemplo, [75]) en tales geometrías. Para cualquier campo vectorial 4-velocidad u  , el tensor de proyección 5 h = g   u  u. proyecta en las superficies de reposo instantáneas de un observador comóvil. Es estándar descomponer la primera derivada covariante   u en sus partes irreducibles 1   u = u  u     h    , 3. donde   es el tensor de anisotropía (shear) simétrico sin traza (   =  (  ) ,   u = 0 , 5. Los índices covariantes del espacio-tiempo se denotan mediante letras de la segunda mitad del alfabeto Griego.. (1.20).

(19)    = 0 ),   es el tensor de vorticidad antisimétrico (   = [  ] ,   u = 0 ) y u  es el vector de aceleración definido por u  = u  u  (donde el punto denota la derivada con respecto a t ). En la expresión anterior hemos introducido el escalar de expansión del volumen. En particular,  = u  ,. (1.21). el cual define una longitud de escala  a lo largo de las líneas de flujo, describiendo completamente la expansión (contracción) de volumen de la congurencia a través de la relación estándar. . 3 . . (1.22). En el contexto cosmológico es usual definir el escalar de Hubble H = /3 [76]. De esto se hace obvio que para geometrías FRW,  coincide con el factor de escala. Finalmente, puede demostrarse que estos campos cinemáticos están dados por [75, 76] 1   := u(  u )   (  u )  h 3. (1.23).   := u[  u ]   [  u ] .. (1.24). Pasando a la calibración temporal sincrónoga, podemos asumir que N es una función positiva de t , o sencillamente N = 1 . Luego, podemos extraer las siguientes restricciones sobre las variables cinemáticas:.   = diag (0,2  ,   ,   ),   = 0,. (1.25). donde.  =. 1d 3 dt.  e11  ln 2 .  e2 . (1.26). Finalmente, notemos que el escalar de Hubble puede expresarse en términos de e11 y e2 2 como H =. 1d 1 2 ln e1 (e2 ) 2 . 3 dt. . . 1.2.2 Geometrías Bianchi I La clase de los modelos anisótropos Bianchi I son la generalización espacialmente. (1.27).

(20) homogénea más simple de los modelos FRW planos teniendo anisotropía no nula pero cero 3-curvatura.. Ecuaciones cosmológicas Las ecuaciones de Einstein en la métrica Bianchi I para una mezcla de fluido perfecto y campo escalar homogéneo con potencial arbitrario están dadas por 1  3 2  3H 2 =   2  V ( )    m , 2  1   3(   H ) 2  2   2 H = pm    2  V ( ) , 2  1   3 2  3  H  3H 2     2 H = pm    2  V ( ) . 2 . (1.28). En estas expresiones  m y pm son las densidades de energía y la presión del fluido perfecto, y la razón entre estas da el parámetro de ecuación de estado de la materia (  1)  w =. pm . m. (1.29). Adicionalmente, 2 K es la curvatura de Gauss de las 3-esferas [76] dada por 2. 2. K = ( e2 ) 2 ,. (1.30). y su ecuación de evolución es 2.  . K = 2(   H ) 2 K .. (1.31). Adicionalmente, la ecuación de evolución para e11 está dada por (ver ecuación (42) sección 4.1 de [73]) 1 1 e1 = H  2  e1 .. (1.32). Combinando (1.28- b) y (1.28- c) obtenemos la ecuación.   = 3H  Sustituyendo (1.33) en lugar de   en la ecuación (1.28- b), multiplicando en ambos miembros la ecuación resultante por  3 , sumando término a término el resultado con la ecuación (1.28- a), reduciendo términos semejantes y finalmente despejando H se obtiene la ecuación de Raychaudhuri dada por. (1.33).

(21) 1 1 1 H =  H 2  2 2    m  3 pm    2  V ( ) 6 3 3. (1.34). La ecuación de continuidad de la materia está dada por.  m = 3H (  m  pm ). (1.35). donde  m y pm se relacionan mediante la ecuación de estado (1.29), y la ecuación de Klein-Gordon para el campo escalar está dada por. dV ( )  = 3H  . d. (1.36). En el caso Bianchi I, la 2-curvatura 2 K y e11 no aparecen explícitamente en las ecuaciones de campo (1.28), por tanto sus ecuaciones de evolución, (1.31), y (1.32) se desacoplan del resto de las ecuaciones cosmológicas por lo que prescindiremos de ellas. La restricción de Gauss está dada según (1.37) 1 3H 2 = 3 2   m   2  V ( ). 2. En resumen las ecuaciones cosmológicas para la métrica Bianchi I son: la ecuación de Raychaudhuri (1.34), la ecuación de evolución de las anisotropías (1.33), la ecuación de continuidad (1.35), la ecuación de Klein-Gordon (1.36) y la restricción de Gauss (1.37).. (1.37).

(22) 2 Modelos Bianchi I con campo escalar y fluido perfecto: Análisis cualitativo 2.1 Normalización Con el objetivo de investigar universos en expansión eterna ( H  0 ), se introducen las variables adimensionales x=. m V ( )  ,y = ,z = , 6H 3H 3H. (2.1). sujetas a la restricción. x2  y 2  z 2 = 1 .  (t ) 2  1. H (t ) 2. (2.2). Obteniéndose el sistema de ecuaciones diferenciales autónomo 4-dimensional:. x =. 3 2 3 sy  x z 2 (  2)  2 y 2 , 2 2. . . y =. 3 3 y  2 y 2  z 2 (  2)  2  sxy , 2 2. (2.4). z =. 3 z z 2  1 (  2)  2 y 2 , 2. (2.5). . . . . . s  =  6 xf ( s ).. (2.6). donde la coma denota la derivada con respecto a la nueva variable temporal  definida por d = Hdt , definido en un conjunto compacto subconjunto de. {( , , ) ∈ ℝ :. ∈ [−1,1], ∈ [0,1], ∈ [0,1]}.. Para que el fluido perfecto satisfaga las condiciones estándares de energía se asume que 1≤. (2.3). ≤ 2.. 2.1.1 Puntos críticos El sistema dinámico (2.3)-(2.6) admite seis clases de puntos de equilibrio denotadas por con = 1 … 6 que se enumeran en la tabla 1. En dicha tabla se presentan las condiciones de existencia de estas posiciones de equilibrio..

(23) La clase de puntos de equilibrio P1 representan soluciones cosmológicas isótropas dominadas por materia. P2 representa soluciones cosmológicas dominadas por la. x *  {1,1}, P3 representa. anisotropía (sin materia escalar ni fluido perfecto). Para. soluciones anisótropas donde la anisotropía y la energía cinética del campo escalar son del mismo orden de magnitud.. P4 representa soluciones cosmológicas dominadas por la. energía potencial del campo escalar (fase de de Sitter). P5 representa soluciones cosmológicas dominadas por el campo escalar y P6 representa soluciones cosmológicas escalantes materia-campo escalar. Tabla 1 Puntos críticos del sistema (2.3)-(2.6). Se usa la notación asume que no se anula en el origen. Etiqueta Coordenadas P1 0,0,1, sc  P2 0,0,0, sc . x, y, z, s . =. ( ). Se. Existencia sc  R sc  R. P3. x ,0,0, s . P4. 0,1,0,0 . P5. 2  s*  s*  , 1 ,0, s *   6  6  . P6.  3  3  ,  2 s* 2 . *. ∗. ∗. *. ∈ ℝ  1  x*  1. Siempre existe. 2    , s*. ∗.  3  s *. 2. s*. 2. 2.  ,s    *. ≤6. 2.   2, s *  3 , s *  R. En la tabla 2 se ofrecen condiciones suficientes para la estabilidad de las posiciones de equilibrio hiperbólicas (P4, P5 y P6). Para los puntos de equilibrio no hiperbólicos se caracteriza la dimensionalidad de las variedades invariantes estable, inestable o centro. Dado que P2 es un punto de equilibrio no hiperbólico con variedad central 2D si variedad inestable 2D siempre que 1 ≤. ≠2 y. < 2 y como representa una solución cosmológica. anisótropa procederemos en la siguiente sección al análisis de estabilidad de su variedad central con el objetivo de determinar condiciones suficientes para que dicha solución sea el atractor del pasado. Asimismo en los casos en que la variedad inestable de P3 sea 3D se requiere hacer el análisis de estabilidad de su variedad central..

(24) Tabla 2 Valores propios de la matríz de derivadas evaluada en Puntos críticos del ( ). Estabilidad. sistema (2.3)-(2.6). Se usa la notación ∗ = Etiqueta. Valores Propios. Estabilidad. 3 3 0,3(−2 + ), (−2 + ), 2 2. P1. P2. 3,0,0,3 −. P3 0,3 −. 3 3 ,3− 2 2. 3 2. ∗ ∗. , −√6. ∗ ′. [ ∗]. No hiperbólico. Variedad estable 2D para ≠ 2, variedad inestable 1D para > 1. No hiperbólico, variedad central 2D si ≠2 No hiperbólico, Variedad inestable 3D si ′ [ ∗] i. < 0, 1 ≤ ≤ 2, 0 < √. ∗. ii.. ≤ 1, ∗ < ∗ . ′ [ ∗] > 0, 1 ≤ ≤ 2, −1 < √. ∗. ≤ 0, ∗ > ∗ . Variedad inestable 2D ′ [ ∗] i. < 0, 1 ≤ < 2, −1 ≤ ∗ < 0, ii. ′ [ ∗ ] > 0, 1 ≤. ∗. √. > ∗. < 2, √. 0 ≤ ∗ < 1, ∗ < ∗ . iii. ′ [ ∗ ] < 0, 1 ≤ < 2, √. 0 < ∗ ≤ 1, ∗ > ∗ . iv. ′ [ ∗ ] > 0, 1 ≤ < 2, −1 ≤ ∗ < 0, Variedad inestable 1D ′ [ ∗] i. < 0, 1 ≤ ∗. ii.. 2, −1 ≤ < 0, ′ [ ∗] > 0, 1 ≤ 0≤. P4. −6, −. 3 1 1 , (−3 − 9 − 12 [0]), (−3 2 2 2 + 9 − 12 [0]). ∗. < 1,. ∗. ∗. <. √ ∗. .. < ∗. √. <. ∗. .. < 2, >. √ ∗. .. Asintóticamente estable si i. [0] > 3/4 (2 valores propios con parte reales negativos, 2 valores propios complejos conjugadas con parte real negativa). ii. 0 < [0] ≤ 3/4 (4 valores propios reales negativas, nodos). Silla en otro caso..

(25) 1 1 (−6 + ( ∗ ) ), −6 + ( ∗ ) , (−3 2 2 + ( ∗ ) ), − ∗ ′ [ ∗ ]. P5. Asintóticamente estable si i. 1 ≤ ≤ 2, − 3 < ′ ∗ [ ] < 0. 1 ≤ ≤ 2, 0 < 3 , ′ [ ∗ ] > 0.. ii.. ∗. ∗. < 0,. <. Silla en otro caso. 3 3(−2 + ), (−2 + 4 −2 + −24 + (−2 + 9 )( ∗ ) 3 − ), (−2 + ∗ 4 −2 + −24 + (−2 + 9 )( ∗ ) 3 ′ [ ∗] + ), − ∗ ∗. P6. Asintóticamente estable si i. 1 ≤ < 2, ∗ ≤ √. − 1≤. ii.. , ′ [ ∗] < 0 ó < 2,. √. ,. ∗. ≥. ′ [ ∗]. > 0 (2 valores. propios con parte reales negativos, 2 valores propios complejos conjugadas con parte real negativa). < 2, −. √. iii.. 1≤. iv.. − 3 , ′ [ ∗] < 0 ó 1 ≤ < 2, 3 < ∗ < √. <. ∗. <. , ′ [ ∗ ] > 0 (4 valores. propios reales nodo). Silla en otro caso. negativos,. 2.1.2 Cálculo de la variedad central de P2 y análisis de su estabilidad Con el objetivo de obtener explícitamente la variedad central correspondiente a P2 y llevar la parte lineal a la forma real de Jordán se introducen las nuevas variables ∗. = −. ,. = ,. = ,. =. (2.7). Expandiendo en series de Taylor hasta orden cuatro en la norma vectorial se obtiene el sistema ′. =. ′. = (−3 +. ′. (−√6 ). [ ∗] − +. ′′. (. [ ∗ ]) + O(4) −3. +. (2.8) ∗. ) + O(4). (2.9).

(26) ′. = −3. ′. = (3 −. + (−3 + −3. ). ). +. (3 +. + (−3 +. ). (−. ∗. −. )) + O(4). + O(4). (2.10) (2.11). Donde O(4) denota términos de orden cuatro en la norma vectorial. Asumiendo que la variedad central del origen de coordenadas está dada por el grafo = [. ],. ,. = [. ], Se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales parciales. ,. cuasilineal −3 [. ∗. ,. [. ] + −3 +. ,. ] [. ] + [. ,. ] 3+. ,. −. −. −. [. −3 +. ′[ ∗]. −√6. ]. ,. + [ ′′ [ ∗ ]. −. (3 − ) [. , ′′. ]. −3 [. + [. [ ∗ ]). ( , ). [. , ,. ]. ,. ,. ] (. −3. ( , )[. ,. ]=0. ] ) [. ,. ] + (−3 +. −3. +. ∗. ( , )[. ∗. +. ]−. ,. (2.12) ) [. ( , ). )). [ ,. ,. ] − ((−3 +. ]−. (−√6. ′. [ ∗] −. ]=0. (2.13). Para resolver el sistema (2.12)-(2.13) usamos la aproxiamación en series [. ,. ]=A. +A. +A. +A. +A. +A. +A. + O(4). [. ,. ]=B. +B. +B. +B. +B. +B. +. + O(4). Sustituyendo en (2.12)-(2.13) y comparando los coeficientes de igual potencia se obtiene que a cuarto orden [. ,. ]= [. ] ≡ 0.. ,. Luego despreciando los terminos de error, la dinamica en la variedad central está dada por ′. =. ′. = 0.. (−√6 ′ [ ∗ ] −. [ ∗ ]). (2.14) (2.15). La solución pasando por el punto ( [ ]=. ′′. ,. )= (. ,. ) en el tiempo. [ ∗]. , [ ∗]). [ ∗] [. ∗]. √. [ ∗] (. = 0 está dada por. [ ]=. ..

(27) [ ∗ ] > 0 entonces cuando. Observar que si (. ,. )=. [ ∗]. −. [ ∗]. ,. ,. )=. [ ∗]. −. [ ∗]. [ ∗ ] < 0 entonces cuando. . Por otra parte si. solución tiende al punto ( (. → −∞ la solución tiende al punto. ,. ) = (0,. ,. ) y cuando. → −∞ la. → +∞ la solución tiende al punto. . En conclusión el origen del sistema (2.14)-(2.15) es localmente [ ∗ ] < 0.. inestable pero no localmente asintóticamente inestable siempre que. 2.1.3 Cálculo de la variedad central de P3 y análisis de su estabilidad En esta sección se consideran las hipótesis ′[ ∗ ]. i.. < 0, 1 ≤. ∗. ≤ 2, 0 <. ≤ 1,. ∗. <. √ ∗. .. √ ′ [ ∗] ii. > 0, 1 ≤ ≤ 2, −1 < ∗ ≤ 0, ∗ > ∗ , Que garantizan que P3 tenga una variedad inestable 3D.. Con el objetivo de obtener explícitamente la variedad central correspondiente a P3 y llevar la parte lineal a la forma real de Jordán se introducen las nuevas variables =. ∗. −. ,. = ,. = ,. = −. ∗. (2.16). Expandiendo en series de Taylor hasta orden cuatro en la norma vectorial se obtiene el sistema ′. ). ∗. =. ( (−2 + ). −3. )+. (. ∗. +. − 3 ∗ ) + (−2 +. + O(4). ∗. (2.17) ′. = (−2 + ). ′. = (−2 + ). ∗ ∗. −. ′. [ ∗ ]) −. +. (3 − −3. −3. +. ) + O(4) (−. −. (2.18) ∗. )+. (3 −. ) + O(4) = −√6 ∗ ( ) [ ∗]. √. (2.19) ∗. [ ∗] −. ∗. [ ∗] +. (−√6. [ ∗] −. + O(4). (2.20). Donde O(4) denota términos de orden cuatro en la norma vectorial. Asumiendo que la variedad central del origen de coordenadas está dada por el grafo = [. ],. = [. ],. =. [. ] Se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales.

(28) ordinarias (−2 + ) [ 3 [. ] ). + [. ] + [. ] (. [. ](3 −. −3 [ ∗. ]+. ] ) − (( (−2 + ) [. − 3 ∗ ) + (−2 + ) [. ]. ∗. ] −. ) [. ]=0. (2.21) (−6 [ ∗. )) − [. ∗. ) [. ] (√6 [. ] + [. ]−6. + √6. ∗. − 6 ∗) [. ] − √6( [. ]+. ] − 3(−2 + ) [. ] (. ∗. )(. +. +. ]) = 0. (2.22). −√6 [ [. ](6 + 3(−2 + ) [. ] (. [. (−√6 [. ] ∗. ]+. ] [ ∗] −. ∗. [ ∗ ] − (( (−2 + ) [. − 3 ∗ ) + (−2 + ) [ [. [ ∗ ]) −. ]. [. ]. ]. ] −3 [ ∗. ). ∗ ( )[ ∗]. √. [. ] ). ]−. + [. ]. ∗. [ ∗] +. =0. (2.23). Para resolver el sistema (2.21)-(2.23) usamos la aproxiamación en series [. ]=. +. +. +. +. + [. ]. [. ]=. +. +. +. +. + [. ]. [. ]=. +. +. +. +. + [. ]. Sustituyendo en (2.21)-(2.23) y comparando los coeficientes de igual potencia se obtiene que a cuarto orden [. ]= [. ]=. [. ] ≡ 0.. Luego despreciando los términos de error, la dinámica en la variedad central esta dada por ′. =0. La ecuación (2.24) admite la solución u = const. En este caso la variedad central es localmente inestable pero no localmente asintóticamente inestable siempre que se verifiquen las hipótesis i) y ii) antes mencionadas.. 2.2 Reconstrucción del potencial de autointeracción En la sección anterior se realizó el estudio del comportamiento asintótico del campo escalar para un modelo con anisotropía de Bianchi I, obteniéndose condiciones suficientes para la existencia de atractores del pasado y del futuro del modelo cosmológico. La presente sección tiene como objetivo presentar un procedimiento para la reconstrucción del. (2.24).

(29) potencial. La idea esencial es consider de inicio una función ( ) conveniente y luego determinar el potencial al cual esta corresponde. De la definición de sigue que. =. (. ). =. −. (2.25). De la definición de ( ) sigue que. =(. + ( )). (2.26). Comparando ambos miembros de (2.16) y (2.17) sigue que. =− ( ). (2.27). que junto a la ecuación. =−. (2.28). serán las ecuaciones claves en el procedimiento que presentaremos. Suponiendo que la función ( ) = 1/ ( ) sea integrable se obtiene, integrando (2.27), la dependencia funcional obtener. =. = ( ). Si la función. es inversible de modo que se pueda. ( ) y dicha función es integrable, entonces se puede reconstruir el. potencial resolviendo la integral. ( )=. ∫. ( ). .. Hasta el momento el estudio de sistemas dinámico de los modelos cosmológicos que incluyen campos escalares para modelar ya sea Energía o Materia Oscura parten de un potencial de auto-interación del campo conocido que tienen un origen ya sea en la teoría de Supercuerdas o en otra teoría fundamental. Muchas veces la construcción de la función ( ) no es posible para alguno de estos potenciales. El método propuesto para la reconstrucción del potencial abre la posibilidad de realizar el estudio dinámico a partir de funciones. ( ) cualquieras con propiedades específicas y luego obtener el potencial de. auto-interacción del campo escalar asociado a esa función. En la siguiente tabla se hace un resumen de algunas funciones ( ) típicas y los potenciales de autointeracción reconstruidos a partir de estas. Debemos hacer nota, que los potenciales en la segunda columna de la tabla 3 corresponden a los potenciales de quintaesencia. (2.29).

(30) usualmente utilizados en la bibliografía clásica. Tabla 3 Funciones ( ) típicas y los potenciales de autointeracción reconstruidos a partir de estas Función ( ). Potencial reconstruido = arcsin. − − ( + ) −( − )( − ). = =. +Λ +. 2.3 Resultados En esta sección se resumen los principales resultados relacionados con los atractores del futuro de nuestro modelo. Recordemos que el objetivo inicial de esta propuesta de investigación fue investigar los problemas de la homogeneidad y la isotropía del universo y de la “Energía oscura”. Como comentamos en la introducción, la resolución de ambos problemas se reduce a determinar condiciones suficientes para la existencia de atractores del futuro correspondiendo a soluciones isótropas en expansión acelerada. . Las condición suficiente para la estabilidad asintótica de la solución de Sitter (P4) es: [0] > 0.. . Las condiciones suficientes para la estabilidad asintótica de la solución dominada por el campo escalar (P5). . i.. 1≤. ≤ 2, − 3 <. ii.. 1≤. ≤ 2, 0 <. ∗. <. ∗. < 0,. ′. [ ∗ ] < 0.. 3 , ′ [ ∗ ] > 0.. Las condiciones suficientes para la estabilidad asintótica de la solución escalante (P6) son iii.. 1≤. < 2,. ∗. <− 3 ,. iv.. 1≤. < 2,. ∗. >. ′. [ ∗ ] < 0.. 3 , ′ [ ∗ ] > 0.. Observar que cuando la solución P6. 2. existe, (siempre y cuando s *  3 ,. estabilidad de esta solución excluye la posibilidad de que P5. < 2), la. sea estable. Luego,. típicamente los atractores de futuro en este modelo son bien soluciones de Sitter, soluciones dominadas por campo escalar o soluciones escalantes de las propiedades de ( )..

(31) Conclusiones . Se investigaron los problemas de la homogeneidad y la isotropía del universo y de la “Energía oscura”.. . Mediante el análisis desde la perspectiva de los sistemas dinámicos (esencialmente el uso de la técnica de linealización) se identificaron dichas condiciones las cuales son aquellas que garantizan la estabilidad asintótica.. . Se obtuvieron condiciones suficientes para la existencia de atractores del futuro correspondiendo a soluciones isótropas en expansión acelerada..

(32) Recomendaciones . Hacer varios experimentos numéricos que corroboren los resultados analíticos, acá presentados para los potenciales que se muestran en la tabla 3.. . Formular los resultados analíticos discutidos en forma de teoremas y hacer las demonstraciones rigurosas de estos.. . Profundizar en la interpretación física de los resultados obtenidos..

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(40)

Figure

Tabla  2  Valores  propios  de  la  matríz  de  derivadas  evaluada  en  Puntos  críticos  del  sistema (2.3)-(2.6)
Tabla  3  Funciones  ( )  típicas  y  los  potenciales  de  autointeracción  reconstruidos  a  partir de estas

Referencias

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