“Materiales complementarios y aplicación del Matlab y Simulink para la solución de ejercicios de circuitos trifásicos energizados por ondas periódicas no sinusoidales”

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(1)Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingeniería Eléctrica Departamento de Electroenergética. TRABAJO DE DIPLOMA “Materiales complementarios y aplicación del Matlab y Simulink para la solución de ejercicios de circuitos trifásicos energizados por ondas periódicas no sinusoidales”. Autor: Javier Alejandro Carreras Mendoza. Tutor: Dr. Avertano Hernández Stuart MSc. Juan Curbelo Cancio Ing. Gretchen Villar Vásquez. Santa Clara 2013 “Año 55 de la revolución”.

(2) Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingeniería Eléctrica Departamento de Electroenergética. TRABAJO DE DIPLOMA “Materiales complementarios y aplicación del Matlab y Simulink para la solución de ejercicios de circuitos trifásicos energizados por ondas periódicas no sinusoidales”. Autor: Javier Alejandro Carreras Mendoza [email protected]. Tutor: Dr. Avertano Hernández Stuart MSc. Juan Curbelo Cancio Ing. Gretchen Villar Vásquez. Santa Clara 2013 “Año 55 de la revolución”.

(3) Hago constar que el presente trabajo de diploma fue realizado en la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios de la especialidad de Ingeniería Eléctrica, autorizando a que el mismo sea utilizado por la Institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá ser presentado en eventos, ni publicados sin autorización de la Universidad.. Firma del Autor Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.. Firma del Autor. Firma del Jefe de Departamento donde se defiende el trabajo. Firma del Responsable de Información Científico-Técnica.

(4) i. PENSAMIENTO. El progreso en la ciencia depende de las nuevas técnicas, de los nuevos descubrimientos y de las nuevas ideas. Sydney Brenner.

(5) ii. DEDICATORIA. A todas las personas que en su momento me brindaron su apoyo, en especial a mis padres y hermana..

(6) iii. AGRADECIMIENTOS. Especial agradecimiento a mi familia y amigos por su apoyo incondicional y sobre todo a mis tutores Dr. Avertano Hernández Stuart y MSc. Juan Curbelo Cancio por estar siempre disponibles..

(7) iv. TAREA TÉCNICA. Plan de Trabajo:  Revisión y estudio de la bibliografía y preparación metodológica existente acerca del análisis y solución de circuitos trifásicos energizados por ondas periódicas no sinusoidales.  Actualizar los contenidos teóricos usando textos básicos y materiales de estudio publicados en Internet.  Estudiar los contenidos fundamentales del lenguaje de programación Matlab y el empleo de su simulador Simulink, que. permitan elevar los. conocimientos del estudiante en el área de la programación y simulación.  Resolver,. de. forma. analítica,. ejercicios. típicos,. adecuadamente. seleccionados, que ilustren de manera coherente el tratamiento de este tema en la asignatura Circuitos Eléctricos III. Llevar a cabo la solución de los mismos, total o parcialmente, mediante programas elaborados en Matlab y finalmente obtener la solución elaborando modelos, utilizando el simulador Simulink. Organizar adecuadamente la estructura de la tesis basándose en un diseño metodológico estratégico según la didáctica de la asignatura y las orientaciones y normas aprobadas por el MES.. Firma del Autor. Firma del Tutor.

(8) v. RESUMEN. Este trabajo de diploma tiene por objetivo mostrar las herramientas necesarias para. resolver problemas sobre circuitos trifásicos energizados con ondas. periódicas no sinusoidales, mediante la aplicación del software computacional Matlab y su paquete de simulación Simulink. Los fundamentos teóricos sobre armónicos, tipos de armónicos y sus denominaciones se presentan en el capítulo 1 además de la aplicación de la serie trigonométrica de Fourier al análisis de circuitos. La solución de circuitos básicos mediante la utilización. Matlab. se realizará en el Capítulo 2 donde se ha. propuesto una serie de problemas en los cuales se presentan circuitos eléctricos básicos los cuales se resolverán mediante las herramientas que proporciona Matlab. Los resultados obtenidos para cada caso se presentan de forma numérica y gráfica. Entre los aportes más importantes del presente trabajo, se puede considerar el informe de investigación como un material auxiliar para el estudio de la asignatura Circuitos Eléctricos III, ilustrando de forma precisa la solución de varios ejercicios con la ayuda del software Matlab y su Simulador Simulink..

(9) vi. TABLA DE CONTENIDOS. PENSAMIENTO .....................................................................................................................i DEDICATORIA .................................................................................................................... ii AGRADECIMIENTOS ........................................................................................................ iii TAREA TÉCNICA ................................................................................................................iv RESUMEN ............................................................................................................................. v INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 1 Organización del informe ................................................................................................... 4 CAPÍTULO 1.. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA................................................................. 5. 1.1. Introducción ............................................................................................................ 5. 1.2. Armónicas en sistemas conectados en estrella ............................................... 5. 1.2.1. Análisis del sistema en estrella-estrella sin conexión entre los neutros8. 1.2.1.1 Análisis de las componentes fundamentales ......................................... 9 1.2.1.2 Análisis de la tercera armónica .............................................................. 11 1.2.1.3 Análisis de la quinta armónica ................................................................ 14 1.2.1.4 Resultados finales para el sistema estrella-estrella sin conexión entre neutros ............................................................................................................... 16 1.2.2. Análisis del sistema estrella-estrella con conexión entre neutros ........ 17. 1.2.2.1 Análisis de las componentes de tercera armónica ............................. 17.

(10) vii 1.2.2.2 Resultados finales para el circuito en estrella-estrella con conexión entr los neutros ........................................................................................................... 19 1.2.2.3 Resumen comparativo del comportamiento de los circuitos conectados en estrella de tres y cuatro conductores ........................................... 21 1.3. Sistemas conectados en delta .......................................................................... 22. 1.3.1. El generador conectado en delta ............................................................... 22. 1.3.1.1 Análisis de la componente fundamental ............................................... 23 1.3.1.2 Análisis de la tercera armónica .............................................................. 24 1.3.1.3 Análisis de la quinta armónica ................................................................ 27 1.3.1.4 Resumen sobre el generador conectado en delta, cuando este se encuentra sin carga ................................................................................................... 27 1.3.2. El sistema conectado en delta-delta ......................................................... 28. 1.3.2.1 Análisis de la componente fundamental ............................................... 28 1.3.2.2 Análisis para la componente de tercera armónica .............................. 28 1.3.2.3 Análisis de la quinta armónica ................................................................ 30 1.3.2.4 Resultados finales para el sistema conectado en delta-delta ........... 33 1.3.3. Resumen acerca del comportamiento de la tercera armónica ................. 34. CAPÍTULO 2.. EJEMPLOS RESUELTOS ...................................................................... 35. 2.1. Ejemplo 1 .............................................................................................................. 36. 2.2. Ejemplo 2 .............................................................................................................. 42. 2.3. Ejemplo 3 .............................................................................................................. 47. 2.4. Ejemplo 4 .............................................................................................................. 51. 2.5. Ejemplo 5 .............................................................................................................. 54. 2.6. Ejemplo 6 .............................................................................................................. 57. 2.7. Ejemplo 7 .............................................................................................................. 60.

(11) viii 2.8. Ejemplo 8 .............................................................................................................. 63. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ................................................................... 68 Conclusiones .................................................................................................................. 68 Recomendaciones ......................................................................................................... 68 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 69.

(12) INTRODUCCIÓN. 1. INTRODUCCIÓN. La calidad de la potencia eléctrica constituye en la actualidad un factor crucial para la competitividad de prácticamente, todos los sectores industriales y de servicios. Un problema de la calidad de la energía eléctrica, se define como cualquier fenómeno de origen eléctrico que interrumpe el correcto funcionamiento de los sistemas y equipos eléctricos. Uno de los fenómenos más relevantes, concerniente a la calidad de la energía eléctrica son los armónicos, que son distorsiones de las ondas sinusoidales de tensión y corriente de los sistemas eléctricos, debido al uso de cargas con impedancia no lineal, a materiales ferromagnéticos, y en general al uso de equipos que necesiten realizar conmutaciones en su operación normal.. La aparición de. corrientes y tensiones armónicas en el sistema eléctrico crea problemas tales como, el aumento de pérdidas de potencia activa, sobretensiones en los condensadores, errores de medición, mal funcionamiento de protecciones, daño en los aislamientos, deterioro de dieléctricos, disminución de la vida útil de los equipos, y perjuicios económicos debido a la disminución de la productividad en el área industrial. El estudio de estas ondas no sinusoidales, resultantes de la distorsión, se realiza mediante el análisis de Fourier, que permite su descomposición en una suma de ondas sinusoidales puras de distintas frecuencias, de manera tal que cada componente se puede tratar separadamente con los métodos desarrollados para ondas sinusoidales puras. En la aplicación a modelos reales, nos lleva a la formulación de ecuaciones de alta complejidad las cuales requieren de esfuerzos.

(13) INTRODUCCIÓN. 2. grandes para su solución, por lo que es necesaria la utilización de software matemático para poder manipularlas con gran exactitud. En la actualidad uno de los software más utilizados para simular problemas de ingeniería, cualesquiera que sea su índole es el Matlab, debido a su gran potencial en áreas como el álgebra lineal numérica, análisis del procesamiento de señales, diseño de sistemas de control, salidas gráficas, estadística y simulación de sistemas dinámicos. En la Facultad de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central “Marta Abreu de las Villas” se ha optado por la utilización del software Matlab en varias de las asignaturas impartidas, entre ellas, Circuitos Eléctricos. El uso del Matlab y el Simulink, en la solución de ejercicios de circuitos eléctricos, ayuda al estudiante a una mejor comprensión de los contenidos estudiados en esta asignatura ya que a través de este, se optimizan recursos y se muestran soluciones gráficas que de otra forma serían difíciles de obtener. Además Matlab posee un ambiente gráfico agradable, es fácil de utilizar y mediante él se puede obtener soluciones en tiempo real, lo cual es de vital importancia para estudiantes y profesionales que se dediquen al desarrollo de la solución de problemas de este tipo. Según lo expresado en las líneas anteriores se puede plantear el siguiente problema científico: ¿Cómo diseñar una propuesta de soluciones de ejercicios típicos de circuitos eléctricos energizados con ondas periódicas no sinusoidales mediante el empleo creativo del Matlab y Simulink? Partiendo del problema científico planteado, se puede establecer como objetivo general de la investigación el siguiente: Proponer un conjunto de ejercicios resueltos que ilustren de manera coherente la aplicación del Matlab y el Simulink en la asignatura circuitos Eléctricos III. Para el logro del objetivo general se dará cumplimiento durante el proceso investigativo a los siguientes objetivos específicos:.

(14) INTRODUCCIÓN. 3. 1. Determinar los fundamentos teóricos básicos, a partir de la revisión y estudio bibliográfico, acerca del análisis y solución de ejercicios de circuitos eléctricos con presencia de armónicos. 2. Actualización y profundización de los contenidos teóricos acerca del tema de investigación con el uso de publicaciones variadas y la consulta de Internet. 3. Profundizar en el estudio de los contenidos fundamentales del lenguaje de programación Matlab y el empleo de su paquete de simulación Simulink, que permitan elevar la preparación de los estudiantes en el área de programación y simulación. 4. Resolver de forma analítica ejercicios típicos que ilustren de manera coherente el tratamiento de este tema en la asignatura Circuitos Eléctricos III, a través de la solución total o parcial los mismos, mediante programas elaborados en Matlab y finalmente obtener la solución elaborando modelos con el uso del simulador Simulink. Entre los aportes del presente trabajo de diploma, se pueden destacar la posibilidad de consulta de la recopilación de elementos teóricos sobre métodos de solución de circuitos trifásicos con presencia de armónicos en su primer capítulo. Además sirve como material auxiliar para el estudio de asignaturas impartidas en todas las carreras de la Facultad de Ingeniería Eléctrica y contribuye a la formación de sus estudiantes, al permitirles interactuar con una herramienta tan utilizada con el Matlab y profundizar en su utilización. El trabajo de diploma quedó estructurado de la siguiente forma: Capítulo 1: Recoge los fundamentos teóricos que sustentan los aspectos relacionados con los métodos de solución de las diferentes configuraciones de circuitos trifásicos energizados con ondas periódicas no sinusoidales. Capítulo 2: Muestra la solución de ejercicios seleccionados adecuadamente, donde se lleva a cabo la solución de los mismos con el uso de programas elaborados en Matlab y la obtención de la solución a partir de modelos con el empleo del simulador Simulink..

(15) INTRODUCCIÓN. 4. En su contenido se incluyen también las conclusiones, recomendaciones y referencias bibliográficas. Organización del informe Este trabajo de diploma consta de las siguientes partes: Pensamiento Dedicatoria Agradecimientos Tarea técnica Resumen Introducción Capítulo 1 Revisión bibliográfica. Capítulo 2 Ejemplos resueltos. Conclusiones Recomendaciones Referencias bibliográficas.

(16) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 5. CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 1.1 Introducción En el presente material se exponen los principios básicos para el análisis de los circuitos trifásicos cuando las fem generadas son ondas periódicas no sinusoidales. El tema es de gran importancia práctica tanto en el campo de la maquinaria eléctrica como en el de los sistemas de energía. Este estudio se basará en el análisis de las ondas periódicas no sinusoidales y su desarrollo sobre la base de las series de Fourier en forma trigonométrica. 1.2 Armónicas en sistemas conectados en estrella Se comenzará con el análisis un generador trifásico, conectado en estrella, como se muestra en la figura 1.. Figura 1.

(17) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 6. Se supone que las fem generadas son ondas periódicas no sinusoidales, pero con las siguientes restricciones: a) Las fem solo contienen armónicas impares, lo cual implica que las mismas tienen simetría semiondular o de media onda. b) Las tres fem constituyen un sistema balanceado en el sentido de que tienen igual forma de onda y las componentes fundamentales están desfasadas en 120.(Arcila) Las restricciones anteriores no limitan el alcance de este estudio, ya que las mismas ocurren en la realidad práctica. ( ) tiene el siguiente. Supóngase basándose en la restricción a), que la fem desarrollo en serie de Fourier: (. ( ). ). (. ). (. ). (1). Donde: , etc.: representan las amplitudes de la componente fundamental, de la tercera armónica, etc. : representa la velocidad angular de la componente fundamental. etc.: representan las fases iniciales. Basándose en la expresión anterior y teniendo en cuenta la restricción b) se puede plantear, con respecto a las restantes fem, lo siguiente: ( ). (. ). (. ( ). ). ). (. ). ( ). (. (2). ) (. (. ). (. ). (3). En las ecuaciones anteriores se tuvo en cuenta que un desfasaje de 120 para las componentes fundamentales implica un desfasaje de 120n para la armónica n..

(18) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 7. No obstante, ambas expresiones pueden simplificarse, mediante transformaciones trigonométricas sencillas, de la forma siguiente: ( ). ( (. ( ). ). (. ). (. ). ) (. (. ). (4) (. ). (. ). ). Si se comparan las expresiones de las fem. (5) ,. y. , según las ecuaciones (1),. (4) y (5), se encuentra que las componentes fundamentales constituyen un sistema trifásico balanceado de secuencia abc, las componentes de tercera armónica no constituyen un sistema trifásico ya que aunque son de igual magnitud no están desfasadas y las componentes de quinta armónica constituyen un sistema trifásico balanceado pero de secuencia acb. Si se continua el análisis se halla que de nuevo las componentes de séptima armónica constituyen un sistema trifásico balanceado de secuencia abc.(Joseph A. Edminister) Según lo anterior, se puede afirmar que son sistemas trifásicos balanceados de secuencia abc las armónicas cuyo orden se puede expresar por la fórmula (. ).(Fuchs, 1986). Donde:. No constituyen sistemas trifásicos las armónicas de orden (. ) y son sistemas. trifásicos balanceados de secuencia acb aquellas cuyo orden sea (. ).(Solar,. 2005) Así, por ejemplo:  Constituyen sistemas trifásicos balanceados de secuencia abc: primera, séptima, decimotercera, etcétera.  No constituyen sistemas trifásicos: tercera, novena, decimoquinta, etcétera.  Constituyen sistemas trifásicos balanceados de secuencia acb: quinta, decimoprimera, decimoséptima, etcétera..

(19) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 8. En el resto del desarrollo de este material se analizará solo hasta la quinta armónica. Quede claro que el análisis para otra armónica es semejante. 1.2.1 Análisis del sistema en estrella-estrella sin conexión entre los neutros La figura 2 muestra un sistema en estrella-estrella (Y-Y) sin conexión entre los neutros n y n’. Se han despreciado las impedancias internas de la fuente para facilitar el análisis. Supóngase además que las fem contienen solo componentes de la 1ra, 3ra y 5ta armónicas.(Donoso). Figura 2 ¿Cómo analizar un circuito trifásico de este tipo? Para ello se debe aplicar el principio de la superposición, como se muestra en los tópicos siguientes..

(20) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 1.2.1.1. 9. Análisis de las componentes fundamentales. La figura 3 muestra el circuito del esquema 2 pero solo para la componente fundamental.. Figura 3 Los fasores. y. representan los valores efectivos de las fem generadas. para la componente fundamental, por lo cual las corrientes y tensiones que se calcularan serán valores efectivos. La impedancia la. carga,. es. el. valor. de. dicha. , igual para las tres fases de. impedancia. para. la. componente. fundamental.(Valiente, 2011) Acorde con las aclaraciones anteriores y a partir y a partir de las expresiones (1), (4) y (5) se tiene que: ̅. (6). ̅. (7). ̅. (8). Como el generador y la carga están balanceados y teniendo en cuenta que las secuencias de las fem es abc, se pueden aplicar para esta armónica todos los conocimientos acerca de los sistemas trifásicos balanceados de secuencia positiva.(Madrigal, 2002).

(21) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 10. Así, por ejemplo se puede plantear que el voltaje entre les líneas a y b ( ̅ y la adelanta en 30 . √ veces mayor que la fem de fase. ) es. Esto es: ̅. (√. )̅. (9). Por lo cual, basándose en la expresión (6), queda que: ̅. √. (10). Los restantes voltajes de línea (Ubc1 y Uca1) están desfasados 120° con respecto al anterior. Por lo tanto: ̅. √. (11). ̅. √. (12). En los sistemas trifásicos balanceados no existe tensión entre los neutros. Acorde con esto: (13) La consideración anterior implica que el voltaje entre los terminales de cada impedancia de fase es igual a la fem generada en cada una de las mismas. Por ello, si se aplica la ley de ohm se tiene: ̅. (14). Donde: ̅ : Simboliza al valor efectivo de la corriente en la fase a para la componente fundamental. Suponiendo que la impedancia. tiene modulo. y argumento. y a la luz de la. ecuación (6) la expresión anterior se transforma en: ̅ Las restantes corrientes ( ̅ la anterior. Por lo tanto:. (15) e ̅ ) se encuentran desfasadas 120° con respecto a.

(22) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. ̅. ( ̅. ). (. 11 (16). ). (17). Ha sido fácil el cálculo de las distintas magnitudes para la componente fundamental, ya que la misma constituye un sistema trifásico balanceado de secuencia abc. 1.2.1.2. Análisis de la tercera armónica. Figura 4 La figura 4 muestra el circuito del esquema 2, pero teniendo en cuenta solamente a la componente de tercera armónica de las fem generadas. ̅ , ̅ , ̅ representan los valores efectivos de dichas fem. Ya se sabe que las mismas no constituyen un sistema trifásico, pues aunque son de igual magnitud no se encuentran desfasadas.(Bird, 2003) A partir del análisis de las expresiones 1, 4 y 5 se puede concluir que: ̅. ̅. ̅. (18). Para el cálculo de las componentes de tercera armónica se puede emplear, por ejemplo, el método de las corrientes de malla. Como se tienen tres ramas y dos nodos se deben plantear dos ecuaciones (3-2+1=2) en mallas que sean independientes. Se escogerán como se muestra en la figura 5, donde se han designado ̅ e ̅ a las corrientes de malla..

(23) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 12. Figura 5 Si se utilizan iguales subíndices para los voltajes de malla y para las impedancias propias y mutuas, se tiene: ̅. ̅ ̅. ̅. ̅. (19). ̅. (20). Si se analiza la figura 4 y teniendo en cuenta la expresión (18) se concluye que: ̅. ̅. ̅. (21). ̅. ̅. ̅. (22). Las ecuaciones (19) y (20) constituyen, pues, un sistema en el cual ambos miembros derechos son nulos, por lo cual: ̅. ̅. (23). Como ambas corrientes de malla son nulas sucede que tampoco existirán corrientes por las ramas. Entonces: ̅. ̅. ̅. (24). La ecuación (24) es fundamental en el análisis de la tercera armónica. Si se expresara con palabras se diría: En los sistemas en Y-Y sin conexión entre neutros no circulan corrientes de tercera armónica.(López, 1999) ¿Cómo calcular el valor del voltaje entre las líneas? Se puede calcular mediante la ley de Kirchoff de los voltajes, en virtud de la cual:.

(24) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. ̅. ̅. ̅. 13 (25). Pero a la luz de la expresión (18) se encuentra que: ̅. (26). Un análisis similar se podría hacer para los restantes voltajes entre las líneas y se llegaría al mismo resultado. Luego, se puede concluir que en un sistema conectado en Y-Y no existen voltajes de tercera armónica entre las líneas aunque los haya entre las fases del generador (este resultado será progresivamente generalizado para otros sistemas).(Irwin, 2003) Se propone ahora encontrar el valor de la tensión entre los neutros ( ̅. ) para la tercera armónica. Aplicando la. ley de Kirchoff de voltajes en la trayectoria virtual a-n’-n-a se halla: ̅. ̅. ̅. Pero como la corriente ̅. (27) es nula, no puede existir diferencia de potencial entre. los puntos a y n’, por lo tanto: ̅. (28). Se llega pues al siguiente resultado: En un sistema conectado en Y-Y sin conexión entre los neutros existe entre estos un voltaje de tercera armónica igual a la fem generada de dicha componente. Como se ve, el comportamiento del circuito para la tercera armónica difiere notablemente del caso en que la componente constituye un sistema trifásico balanceado..

(25) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 1.2.1.3. 14. Análisis de la quinta armónica. Figura 6 La figura 6 muestra al circuito original, pero se analiza solamente la componente de quinta armónica. Z5 representa a la impedancia de fase de la carga para dicha armónica y las fem generadas ( ̅. ̅. y ̅ ) se tomaran con respecto a su valor. efectivo. Ya se sabe que las mismas constituyen un sistema trifásico balanceado, pero de secuencia acb. A partir de las ecuaciones (1), (4) y (5) se tiene que: ̅. (29). ̅. (. ). (30). ̅. (. ). (31). Como el sistema, pese a ser de secuencia negativa, es balanceado, se cumple que sus neutros son equipotenciales, o sea: ̅. (32). Por esta razón, las tensiones de las fases de la carga son iguales a las fem generadas para cada una de ellas. Por tanto, si se aplica la ley de Ohm, se encuentra que: ̅. ̅. (33).

(26) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. Si se supone que la impedancia es de modulo. 15. y argumento. , teniendo en. cuenta además la expresión (29), se halla: ̅. (. ). (34). Las restantes corrientes se pueden determinar en virtud, también, de la ley de Ohm, o mediante la rotación adecuada la corriente. . Si se sigue este último. procedimiento se tiene que: ̅. (. ). (35). ̅. (. ). (36). Se debe dedicar ahora nuestra atención al cálculo de los voltajes entre las líneas. Estos pueden ser hallados a partir de la LKV. En efecto: ̅. ̅. ̅. (37). En la figura 7 se muestra el diagrama fasorial de las fem. A partir del mismo se puede efectuar la operación indicada en la ecuación (37) gráficamente, como se muestra en la figura 8. Obsérvese en la misma que, como entre los fasores ̅ ̅. existe un desfasaje de 120°, entre los fasores ̅. y. ̅. y. aparece un desfasaje. de 60°. Por otro lado, los módulos de ambos fasores son iguales, por lo cual la suma coincide con la bisectriz del ángulo. Se ha fundamentado con esto que el voltaje de línea se encuentra 30° en atraso de la fem generada en la fase (lo contrario de lo que ocurre cuando la secuencia es abc).. Figura 7. Figura 8.

(27) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 16. Se pudiera demostrar también que el voltaje entre las líneas es √ veces mayor que el de la fase. Acorde con lo planteado anteriormente, se concluye que: ̅. √ ̅. (38). Sustituyendo en la expresión anterior la ecuación (29) se halla: ̅. √. (. ). (39). Con la rotación adecuada de este fasor se puede encontrar las restantes tensiones entre líneas. Estas son: ̅. √. (. ). (40). ̅. √. (. ). (41). Como se ve, el análisis de las componentes de quinta armónica es sencillo ya que se trata de un sistema balanceado. Se debe, sin embargo, tener presente que, debido a su secuencia, el voltaje entre líneas atrasa al de la fase. 1.2.1.4. Resultados finales para el sistema estrella-estrella sin conexión. entre neutros Se debe retornar ahora al circuito original (figura 2). Ya se ha efectuado el análisis de cada armónica de forma individual. Se puede, pues, obtener los valores de cada una de las magnitudes según sus componentes. Para ello se debe tener presente que se ha trabajado con los valores efectivos de las corrientes y las tensiones.(Montilla, 2007) Si se aplican las ecuaciones conocidas, se encuentra que: √. (42). Las tensiones entre líneas no tienen componente de tercera armónica, luego: √. (43). Tampoco tienen componentes de tercera armónica las corrientes, por tanto: √. (44).

(28) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 17. Sin embargo, el voltaje entre los neutros solo tiene componente de tercera armónica. En virtud de la ecuación (28) se tiene: (45) Aunque no se ha hecho referencia anteriormente referencia a las potencias, se cumple que la potencia disipada en la carga es la suma de las de primera y quinta armónica, ya que no circula por la misma componente de tercera armónica. 1.2.2 Análisis del sistema estrella-estrella con conexión entre neutros Los circuitos trifásicos balanceados se comportan igual cuando los neutros están conectados que cuando no es así. Por lo tanto, todas las conclusiones a que se llegaron para la componente fundamental y para la tercera armónica siguen siendo validas en este nuevo sistema. Se tiene, pues, que analizar solamente como varia el comportamiento de la tercera armónica.(Paolo Tenti, 2007) 1.2.2.1. Análisis de las componentes de tercera armónica. Figura 9 La figura nueve muestra un circuito en estrella-estrella (Y-Y) con los neutros conectados a través de un conductor ideal (en el sentido de que no tiene impedancia). Se han representado solamente componentes de la tercera armónica. Las impedancias internas del generador se han despreciado para.

(29) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. simplificar el análisis.. 18. representa la impedancia de la carga para tercera. armónica. En este circuito los neutros n y n’ son equipotenciales ya que están unidos por un conductor ideal. Por lo tanto: (46) Obsérvese además, que ahora las fem generadas están aplicadas directamente a las fases de carga. Si se aplica la ley de Ohm, se tiene que: ̅. ̅. (47). Por lo cual se halla: (. ). (48). Como las tres fem son iguales en modulo y en argumento, y las impedancias también, ocurre que las corrientes de tercera armónica en las líneas son iguales entre sí. Esto es: ̅. ̅. ̅. (49). Es de señalar que el resultado anterior constituye una diferencia entre el circuito Y-Y con y sin neutro. Si se aplica la ley de Kirchoff de corriente en el nodo n’ se encuentra: ̅. ̅. ̅. ̅. (50). Por lo tanto en virtud de la expresión (49), se halla que: ̅. (51). Este resultado, que es fundamental, Se cumplirá aun en el caso que el conductor que une los neutros tenga impedancia. Se puede, pues, afirmar que en un sistema trifásico Y-Y con conexión entre neutros, en el cual las fem son ondas periódicas no sinusoidales, la corriente que circula por el neutro es de tercera armónica y su valor es triplo de las que circulan por las líneas.(2013b).

(30) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 19. Aún se debe calcular el voltaje de tercera armónica entre las líneas. Si se aplica la ley de Kirchoff de voltajes se encuentra: ̅. ̅. ̅. (52). Pero como ambas fem son iguales entre sí, la expresión anterior indica que: ̅. (53). Este mismo análisis se puede repetir para hallar las restantes tensiones entre las líneas y, por supuesto, se llegaría al mismo resultado, por lo cual es válido afirmar que: ̅. ̅. ̅. (54). Así resulta que: No existe voltaje de tercera armónica entre las líneas, pese a haberse interconectado los neutros. El estudio del comportamiento de la tercera armónica debe ser cuidadoso. Analícese que en algunos aspectos la conexión del neutro implica un cambio en dicho comportamiento. 1.2.2.2. Resultados finales para el circuito en estrella-estrella con conexión. entr los neutros. Figura 10 La figura 10 muestra un circuito en Y-Y con conexión entre neutros, También denominado circuito trifásico de cuatro hilos..

(31) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 20. Sabiendo, según se planteó, que en el mismo las componentes de primera y quinta armónicas, por constituir sistemas balanceados, se comportan igual que cuando los nodos n y n’ no estaban conectados; y basándose en todo el análisis previo acerca del comportamiento de la tercera armónica, se pueden hallar los valores efectivos de las distintas magnitudes. Como en las fases del generador las fem contienen las tres componentes, se puede plantear que: √. (55). Los voltajes entre las líneas, sin embargo, no contienen componente de tercera armónica, por lo cual: √. (56). En el circuito de cuatro hilos circulan por las líneas corrientes de tercera armónica, acorde con esto: √. (57). Quedó demostrado (ecuación (51)) que por el conductor que une los neutros circula corriente de tercera armónica, la cual es el triplo de las que circulan por las líneas. Por otro lado, no existen en dicho hilo componentes de primera ni de quinta armónica, ya que los mismos son sistemas balanceados y en estos no circula corriente por el neutro. Basándose en lo anterior: (58) Aunque no se puntualizó anteriormente, la potencia activa en la carga es la suma de la disipada por cada componente..

(32) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 1.2.2.3 Resumen. comparativo. del. comportamiento. 21 de. los. circuitos. conectados en estrella de tres y cuatro conductores Sería inútil tratar de recordar fórmula por fórmula con vistas a analizar posteriormente situaciones concretas. Lo lógico es memorizar. solo las. características más generales. Estas son: a) El análisis en los circuitos trifásicos en los cuales las fem generadas son ondas periódicas no sinusoidales, se realiza mediante el principio de la superposición. b) En los circuitos conectados en Y-Y, con conexión entre los neutros o sin ella, las armónicas que constituyen sistemas trifásicos balanceados se calculan mediante los procedimientos conocidos para este tipo de redes. Debe tenerse en cuenta la secuencia, ya que sobre la base de la misma los voltajes entre las líneas adelantarán o atrasarán a los de fase en 30°.(Grady, 2012) c) En circuitos conectados en Y-Y la diferencia en el comportamiento está determinada por la presencia o no del conductor que une los neutros. Se debe puntualizar que: c.1 Entre líneas no existe, en ninguno de los dos casos, voltaje de tercera armónica. c.2 Solo circularan por las líneas corrientes de tercera armónica en el sistema de cuatro hilos. c.3 Por el conductor que une los neutros solo circula corriente de tercera armónica, la cuales el triplo de las que existen en las líneas. c.4 De no existir entre los nodos n y n’ un conductor sin impedancia dichos puntos no son equipotenciales, por lo que entre los mismos aparecerá un voltaje de tercera armónica.(2013a).

(33) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 22. 1.3 Sistemas conectados en delta 1.3.1 El generador conectado en delta Antes de estudiar los circuitos conectados en Δ-Δ se debe dedicar nuestra atención al análisis del generador cuando este se encuentra desconectado de la carga, como se muestra en la figura 11.. Figura 11 Ya se sabe que las fem generadas contienen solo componentes de orden impar. En este caso, con vistas a simplificar el análisis, se aceptará que existen solamente componentes de primera, tercera y quinta armónicas. Se conoce también que las componentes fundamentales constituyen un sistema trifásico balanceado de secuencia positiva. Las terceras armónicas son de igual amplitud y fase inicial. Por último, las componentes de quinta armónica constituyen un sistema trifásico balanceado, pero de secuencia negativa.(Grajales, 2004) ¿Cómo analizar el comportamiento del generador, cuando este se encuentra desconectado de la carga? Se hará mediante el principio de la superposición..

(34) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 1.3.1.1. 23. Análisis de la componente fundamental. Figura 12 La figura 12 muestra el circuito equivalente de la fuente para la componente fundamental.. representa la impedancia de fase del generador para la primera. armónica. Como se sabe, las fem generadas de la componente fundamental constituyen un sistema trifásico balanceado de secuencia positiva. Por lo tanto, si se sitúa a la fem ̅. en la referencia y se designa E1 a su valor efectivo, se tiene que:. ̅. (59). ̅. (60). ̅. (61). Para calcular el valor de la corriente que circula en este caso ( ̅ ) se puede plantear la LKV, según la trayectoria mostrada en la figura 12. ̅. ̅. ̅. ̅(. ). (62). A partir de la cual se concluye que: ̅. ̅. ̅. ̅. (63). Ahora bien la suma fasorial de las tres fem es igual a cero, ya que se trata de tres fasores de igual módulo y desfasados entre si 120°. Por lo tanto: ̅. (64).

(35) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 24. Se ha llegado a la conclusión de que cuando el generador está desconectado de la carga no circula por el mismo corriente de la primera armónica. Por otro lado, al no circular internamente corriente de la componente fundamental, se puede inferir que para esta armónica, cuando el generador esta desconectado, el voltaje entre las líneas coincide con la fem generada en cada fase, ya que no se producen caídas de tensión en las impedancias internas.(Chapman, 2001) 1.3.1.2. Análisis de la tercera armónica. Ahora se debe dedicar la atención al análisis del comportamiento de la tercera armónica. La figura trece muestra el circuito equivalente de la misma, representa el valor de la impedancia para la tercera armónica.. Figura 13 Como se sabe, las fem de esta componente son iguales en amplitud y fase. Por lo tanto, si se llama E3 al valor efectivo de la fem y ̅. ̅. ̅. a su fase inicial, se tiene que: (65). Para calcular el valor de la corriente ̅ se puede partir de la LKV, en virtud de la cual: ̅. ̅. ̅. ̅(. ). (66). Por lo cual: ̅. ̅. ̅. ̅. (67).

(36) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 25. Ahora bien como se plantea en la ecuación (65), las tres fem son iguales entre sí. Si se toma como base lo anterior, la ecuación (67) se simplifica de la forma siguiente: ̅. ̅ ̅. (68). ̅. (69). Se ha llegado, por tanto, a la conclusión de que, pese a estar desconectado el generador de la carga, circula internamente por el mismo una corriente de tercera armónica, la cual se calcula a partir de la expresión (69).(Volta, 2008) Se debe analizar además, que en la figura 13 la corriente ̅ es común para las tres fases, ya que no existe más que una trayectoria cerrada para la circulación de la misma. A esta corriente, por razones históricas, se le denomina corriente circulante.(Robert, 2003) Para calcular el valor de la componente de tercera armónica de los voltajes de línea se puede plantear la LKV en la trayectoria virtual a-b-a. Esta es: ̅. ̅. ̅. (70). ̅. (71). Por lo tanto: ̅. ̅. Sustituyendo el valor de la corriente basándose en la expresión (69) se tiene: ̅. ̅. ̅. (72). Evidentemente queda que: ̅. (73). Un análisis similar se podría hacer con respecto a las restantes tensiones entre líneas y se llegaría al mismo resultado. Se afirma, pues, que en un generador conectado en delta no existe entre líneas voltajes de tercera armónica.(Tolbert, 1996).

(37) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 26. Ahora se debe detener el análisis en un detalle importante: ¿Se puede analizar este circuito suponiendo que las impedancias de fase son despreciables? La respuesta es negativa. ¡No se pueden despreciar ahora las impedancias internas! ¿Por qué? Pues bien, si se desprecian las impedancias internas quedarían tres fuentes de fem iguales conectadas en serie, como se muestra en la figura 14, en la cual no se satisfaría la LKV.(Lundquist). Figura 14 En efecto, si se fuera a plantear dicha ley en la trayectoria a-b-c-a se encontraría que: ̅. ̅. ̅. ̅ Esto es absurdo por cuanto implica que la fem generada de tercera armónica es nula, lo cual es contrario a las suposiciones originales. Redes de este tipo (imposibles de encontrar en la práctica) en las cuales por un exceso de simplificaciones se llega a un esquema donde no se satisface la LKV reciben el nombre de “redes patológicas”.(Ayllon).

(38) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 1.3.1.3. 27. Análisis de la quinta armónica. Figura 15 La figura 15 muestra el circuito equivalente para la quinta armónica. La impedancia. representa el valor de la misma para esta componente.. Con vistas a calcular el valor de la corriente ̅ se puede plantear la LKV en la trayectoria mostrada en la figura. Esta es: ̅. ̅. ̅. ̅(. ). (74). Por lo tanto: ̅. ̅. ̅. ̅. (75). Pero la suma de las tres fem es igual a cero, porque se trata de tres fasores de igual módulo y desfasados entre sí 120°. Acorde con esto: ̅. (76). Se puede plantear que no circula corriente de quinta armónica internamente en el generador cuando este se encuentra desconectado de la carga. 1.3.1.4. Resumen sobre el generador conectado en delta, cuando este se. encuentra sin carga En este caso solo circula internamente corriente de tercera armónica. No existe, sin embargo, voltaje entre las líneas de dicha componente. En la práctica corriente éste fenómeno debe tenerse muy en cuenta pues como se observa puede ocurrir.

(39) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 28. un calentamiento de los devanados del transformador aún sin tener carga conectada. Recuérdese también que no se pueden despreciar las impedancias internas a los fines de analizar la componente de tercera armónica, ya que ello nos conduciría a una red patológica.(Gsell, 2002) 1.3.2 El sistema conectado en delta-delta 1.3.2.1. Análisis de la componente fundamental. Esta componente constituye un sistema trifásico balanceado de secuencia positiva y se calcula por los procedimientos sobradamente conocidos para este tipo de circuito. No se hará, pues énfasis en el mismo. 1.3.2.2. Análisis para la componente de tercera armónica. Figura 16 La figura 16 muestra el circuito equivalente de un sistema conectado en delta-delta para el análisis de las componentes de tercera armónica. Se ha empleado el símbolo. para representar a la impedancia interna de fase del generador de. tercera armónica,. representa a la de la carga para esta componente.. Se sabe que las fem generadas de tercera armónica son de igual, magnitud y fase inicial, por lo tanto, se puede plantear que: ̅. ̅. ̅. (77).

(40) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 29. El circuito en cuestión es absolutamente simétrico en el sentido de que todas las fem son iguales entre sí y lo mismo ocurre con las impedancias de fase tanto en el generador como en la carga. Sobre la base de lo anterior se puede plantear que las corrientes de línea de tercera armónica, en caso de existir, tienen que ser iguales entre sí, o sea: ̅. ̅. ̅. (78). Se sabe, sin embargo, que en cualquier superficie cerrada se cumple la ley de Kirchoff de las corrientes. La carga de este circuito se puede encerrar en una superficie, como se muestra en la figura 17.. Figura 17 Por lo planteado, en virtud de la LKC es válido afirmar que: ̅. ̅. ̅. (79). Sustituyendo en la expresión anterior la ecuación (78) se encuentra: ̅. (80). Por lo cual: ̅. (81). Este resultado no se altera si se sustituye en la figura 17 la delta por una estrella. Acorde con esto, y teniendo presente los resultados obtenidos en el análisis del.

(41) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 30. sistema en estrella, se puede concluir que en los circuitos trifásicos de tres hilos no circula nunca corriente de tercera armónica por las líneas.(Stewart) El hecho de que no circule corriente de tercera armónica por las líneas implica (ver la figura 16) que, si el circuito es lineal como en nuestro caso, las corrientes de fase en la carga no pueden tener componentes de dicha armónica. Basándose en esto y en virtud de la ley de Ohm se concluye que tampoco en este caso los voltajes entre las líneas contienen componentes de tercera armónica. Teniendo en cuenta este último resultado, así como los obtenidos en el análisis de los sistemas en estrella, se puede afirmar que las tensiones entre las líneas nunca tienen componentes de tercera armónica.(Kerchner) 1.3.2.3. Análisis de la quinta armónica. El circuito equivalente para el cálculo de las componentes de quinta armónica aparece reflejado en la figura 18. En el mismo se han omitida las impedancias internas del generador con vistas a simplificar el análisis. Quede claro, sin embargo, que no siempre es posible despreciarlas.. Figura 18 Se sabe que las fem generadas de quinta armónica son trifásicas balanceadas de secuencia negativa. Por esto si se representa como. el valor efectivo modular de. dichas fem y se simboliza α5 a la fase inicial de la fem ̅. , se tiene que:.

(42) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 31. ̅. (82). ̅. (. ). (83). ̅. (. ). (84). Resulta evidente en el circuito de la figura 18 que las fem coinciden con los voltajes entre las líneas. Por tanto se pueden calcular las corrientes de fase en la carga mediante la ley de Ohm. Esto es: ̅. ̅. (85). Suponiendo que la impedancia de quinta armónica es de modulo z 5 y argumento φ5, y se aplica la expresión (82), la ecuación anterior implica que: ̅. (. ). (86). Las restantes corrientes de fase se pueden hallar a través de la ley de Ohm o simplemente si se rota 120° en sentido adecuado a la corriente ya calculada. Si se sigue este último procedimiento se encuentra que: ̅. (. ). (87). ̅. (. ). (88). Se deben calcular ahora las corrientes de línea. Si se aplica la LKC en el nodo a’ se halla: ̅. ̅. ̅. (89). Esta expresión puede realizarse gráficamente. La figura 19 representa el diagrama fasorial de las corrientes de fase en la carga, en correspondencia con las expresiones (85), (87) y (88). En la figura 20 aparece resuelta la ecuación (89). En la misma obsérvese que, como las corrientes ̅ el desfasaje entre las corrientes. ̅. e ̅. e ̅. es de 60°.. están desfasadas 120°,.

(43) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. Figura 19. 32. Figura 20. Por otro lado se trata de dos fasores de igual módulo, luego su suma está en la bisectriz del ángulo. Lo anterior fundamenta que la corriente de línea ̅ en 30° a la corriente de fase de la carga ̅. adelanta. . Se puede demostrar, además, que. la corriente de línea es √ veces mayor que la corriente de fase. Acorde con todo lo anteriormente expuesto, se puede afirmar que: ̅. ) ̅. (√. (90). Si se sustituye sobre la base de la expresión (86), y se efectua la operación indicada, se encuentra que: ̅. √. (. ). (91). Las restantes corrientes de línea se pueden hallar si se rota 120° a la anterior, pero se debe tener presente que la componente de quinta armónica es de secuencia negativa..

(44) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 1.3.2.4. 33. Resultados finales para el sistema conectado en delta-delta. Figura 21 La figura muestra un sistema conectado en delta-delta. A partir de todo el desarrollo anterior. se pueden encontrar los valores efectivos de las distintas. magnitudes. Se sabe que la tensión entre las líneas no tiene componente de tercera armónica, por lo tanto: √. (92). Tampoco existe tercera armónica en las corrientes de línea, por lo cual: √. (93). Por las fases de la carga no circula corriente de tercera armónica, lo cual implica que: √. (94). Se debe destacar, sin embargo, que por las fases del generador si circula corriente de tercera armónica, luego: √. (95).

(45) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 34. La fem generada contiene (según se estableció al inicio del tópico 3.2) componentes de primera, tercera y quinta armónicas, por lo cual: √. (96). Aunque no se ha hecho referencia a ello, la potencia disipada en la carga es la suma de las potencias activas de primera y quinta armónicas. Ahora bien, la potencia desarrollada por el generador contiene además, una componente de tercera armónica, producto de la existencia de una corriente circulante de dicho orden.(Medina, 2001) 1.3.3 Resumen acerca del comportamiento de la tercera armónica Producto del análisis de los distintos circuitos trifásicos se puede llegar a las siguientes conclusiones con respecto a la componente de tercera armónica. a) Entre líneas no aparece nunca voltaje de tercera armónica. b) En circuitos de tres hilos (Y-Y, Y-Δ, Δ-Y, Δ-Δ) no circulan por los mismos corrientes de tercera armónica. c) En el circuito de cuatro hilos (Y-Y con conexión entre neutros) la corriente que circula por el conductor que une los nodos n’ y n es solo de tercera armónica y su valor es el triplo de la que circula por las líneas. d) En un generador conectado en delta, esté o no conectada la carga, existe internamente una corriente circulante de tercera armónica. e) Para calcular la componente de tercera armónica en un generador conectado en delta no es válido despreciar la impedancia interna, ya que ello conduciría a una red patológica..

(46) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 35. CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. MATLAB es el nombre abreviado de “MATrix LABoratory”. Matlab es un programa para realizar cálculos numéricos con vectores y matrices. Como caso particular puede también trabajar con números escalares tanto reales como complejos, con cadenas de caracteres y con otras estructuras de información más complejas. Una de las capacidades más atractivas es la de realizar una amplia variedad de gráficos en dos y tres dimensiones. Matlab tiene también un lenguaje de programación propio. Matlab es un gran programa de cálculo técnico y científico. Para ciertas operaciones es muy rápido, cuando puede ejecutar sus funciones en código nativo con los tamaños más adecuados para aprovechar sus capacidades de vectorización. En otras aplicaciones resulta bastante más lento que el código equivalente desarrollado en C/C++ o Fortran. En cualquier caso, el lenguaje de programación de Matlab siempre es una magnífica herramienta de alto nivel para desarrollar aplicaciones técnicas, fácil de utilizar y que aumenta significativamente la productividad de los programadores respecto a otros entornos de desarrollo. Matlab dispone de un código básico y de varias librerías especializadas (toolboxes). Aunque el origen de Matlab estuvo íntimamente ligado a la manipulación y computación de y con matrices, durante los últimos años ha evolucionado de forma que hoy se puede considerar como un software de propósito general para todas las ramas de la matemática y la ingeniería desde el punto de vista numérico y computacional. También es posible el cálculo simbólico con Matlab siempre que se disponga del toolbox apropiado; en este caso el Symbolic toolbox. Existen muchos otros toolboxes que, sobre la base del núcleo de Matlab, proporcionan.

(47) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 36. funciones específicas para el cálculo numérico de ciertas partes concretas de la matemática, la ingeniería y otras ciencias.(Jalón, 2004) Matlab posee un simulador propio, el Simulink, el cual es una extensión gráfica de Matlab, destinado a la modelación y simulación de sistemas lineales y no lineales. En el Simulink los sistemas se dibujan en la pantalla como diagramas de bloque. La construcción de un modelo, se simplifica, empleando los numerosos bloques pertenecientes a diferentes librerías. El Simulink está integrado con Matlab y los datos pueden ser transferidos fácilmente entre los programas. En los medios universitarios Matlab se ha convertido en una herramienta básica, tanto para los profesionales e investigadores de centros docentes, como una importante herramienta para el dictado de cursos universitarios, tales como sistemas e ingeniería de control, álgebra lineal, procesamiento digital de imágenes, etc. En el mundo industrial Matlab está siendo utilizado como herramienta de investigación para la solución de complejos problemas planteados en la realización y aplicación de modelos matemáticos en ingeniería.(Love, 2006) 2.1 Ejemplo 1 En el circuito de la figura los voltajes generados son balanceados siendo el voltaje de la fase “a” expresado como: ( ) Hallar las lecturas de los instrumentos si primer armónico). La frecuencia del primer armónico es. (impedancia al ..

(48) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. Figura 22: Sistema estrella-estrella con neutro ideal. R: Lectura del voltímetro V: √ √( ) √. √ √. (. √. ). Valor eficaz de las corrientes de fase (línea) para los armónicos 1, 3, 5:. | |. |. |. |. |. ⁄ √ √ ⁄ √ √ ⁄ √ √. Lectura del amperímetro A1:. Lectura del amperímetro A2: √. √. 37.

(49) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. R. MATLAB: >> Vf1=15/sqrt(2),Vf3=0.8/sqrt(2),Vf5=0.6/sqrt(2) Vf1 = 10.6066 Vf3 = 0.5657 Vf5 = 0.4243 >> modZ1=abs(16+10i),modZ3=abs(16+30i),modZ5=abs(16+50i) modZ1 = 18.8680 modZ13 = 34 modZ5 = 52.4976 >> If1=Vf1/modZ1,If3=Vf3/modZ3,If5=Vf5/modZ5 If1 = 0.5621 If3 = 0.0166 If5 = 0.0081 >> Voltimetro=sqrt(3)*sqrt(Vf1^2+Vf5^2) Voltimetro =. 38.

(50) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 39. 18.3859 >> Amperimetro1=3*If3 Amperimetro1 = 0.0499 >> Amperimetro2=sqrt(If1^2+If3^2+If5^2) Amperimetro2 = 0.5625 R. SIMULINK:. Figura 23: Archivo .mdl de un sistema estrella-estrella con neutro ideal energizado con voltajes no sinusoidales..

(51) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. Figura 24: Parámetros generales para ejecutar la simulación.. Figura 25: Parámetros de la fuente que genera el primer armónico.. 40.

(52) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. Figura 26: Parámetros de la fuente que genera el tercer armónico.. Figura 27: Parámetros de la fuente que genera el quinto armónico.. 41.

(53) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 42. Figura 28: Valores de los elementos de la rama RLC serie que corresponden al valor de la impedancia al primer armónico.. Figura 29: Parámetros del bloque Fourier para el análisis del primer armónico de la corriente por la fase a. 2.2 Ejemplo 2 En el circuito de la figura los voltajes generados son balanceados siendo el voltaje de la fase “a” expresado como: ( ). (. ). Hallar las lecturas de los instrumentos si primer armónico). La frecuencia del primer armónico es. (impedancia al ..

(54) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 43. Figura 30: Sistema estrella-estrella sin neutro. R: El voltímetro. lee el voltaje de fase del generador (armónicos 1, 3, 5): √(. √. √. ). ( ) √. ( ) √. La indicación del voltímetro V2 , corresponde al voltaje de fase en la carga (al no existir neutro, solamente están presentes los armónicos 1,5): √(. √. √. Lectura del voltímetro. ). (voltaje entre líneas, armónicos 1,5):. √ √(. √ √. Lectura del voltímetro. ( ) √. √. ). ( ) √. (voltaje entre el neutro de la carga y el neutro del. generador, armónico 3):. √ Valor eficaz de las corrientes de fase (en ausencia del conductor neutro, solo circulan corrientes de los armónicos 1, 5):.

(55) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. | |. |. |. ⁄ √ √ ⁄ √ √. Lectura del amperímetro. (al no existir neutro, por las líneas no circula la. corriente del armónico 3): √. √. R. MATLAB: >> Vf1=100/sqrt(2),Vf3=50/sqrt(2),Vf5=25/sqrt(2) Vf1 = 70.7107 Vf3 = 35.3553 Vf5 = 17.6777 >> V1=sqrt(Vf1^2+Vf3^2+Vf5^2) V1 = 81.0093 >> V2=sqrt(Vf1^2+Vf5^2) V2 = 72.8869 >> VL=sqrt(3)*sqrt(Vf1^2+Vf5^2) VL = 126.2438. 44.

(56) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. >> VN=Vf3 VN = 35.3553 >> modZ1=abs(10+10i),modZ5=abs(10+50i) modZ1 = 14.1421 modZ5 = 50.9902 >> If1=Vf1/modZ1,If5=Vf5/modZ5 If1 = 5.0000 If5 = 0.3467 >> A=sqrt(If1^2+If5^2) A= 5.0120. 45.

(57) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 46. R. SIMULINK:. Figura 31: Archivo .mdl de un sistema estrella-estrella sin neutro energizado con voltajes no sinusoidales.. Figura 32: Voltaje de la fase a del generador y sus armónicos componentes (1, 3, 5)..

(58) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 47. Figura 33: Voltajes de las fases a, b y c del generador (desfasadas 120 ).. Figura 34: Corriente por la fase a del generador (armónicos 1, 5). 2.3 Ejemplo 3 En el circuito de la figura el voltímetro. indica. y el voltímetro. indica. . Los voltajes generados son balanceados, formados por armónicos del primero al quinto. Hallar las lecturas de los instrumentos si frecuencia del primer armónico es. .. . La.

(59) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 48. Figura 35: Sistema estrella-estrella con neutro. R: El voltímetro. lee el voltaje de fase del generador (armónicos 1, 3, 5):. √. (I). Lectura del voltímetro. (voltaje entre líneas, armónicos 1,5):. √ √ Por tanto: √. √ (II). Despejando √. de la ecuación (I) y sustituyendo (II): (. ). √. La lectura de los voltímetros. √ y. es la misma (al existir el conductor neutro. estará presentes los armónicos 1, 3, 5):. El amperímetro. indica el valor eficaz de las corrientes de fase (al estar presente. el conductor neutro, circulan corrientes de los armónicos 1, 3, 5)..

(60) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 49. La carga es resistiva pura, lo que permite obtener la corriente de línea, dividiendo la indicación del voltímetro. entre el valor de la resistencia de fase.. | | El amperímetro. muestra el valor eficaz de la corriente que circula por el. conductor neutro (solo está presente el tercer armónico): | |. R. MATLAB: >> t=[0:0.0000001:1/60]; >> vfag=sqrt(2)*80*cos(2*pi*60*t)+sqrt(2)*50*cos(2*pi*180*t)+sqrt(2)*33.1662*cos(2*p i*300*t); >> plot(t,vfag) >> hold on >> vfag1=sqrt(2)*80*cos(2*pi*60*t); >> plot(t,vfag1,'r') >> vfag3=sqrt(2)*50*cos(2*pi*180*t); >> plot(t,vfag3,'g') >> vfag5=sqrt(2)*33.1662*cos(2*pi*300*t); >> plot(t,vfag5,'m') >> title('Grafica del voltaje de la fase a del generador y sus armonicos componentes') >> xlabel('t (s)') >> ylabel('v (V)').

(61) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 50. >> legend('vfag','vfag1','vfag3','vfag5'); >> grid. Figura 36: Forma de onda del voltaje de la fase a del generador trifásico no sinusoidal y sus armónicos componentes.. R. SIMULINK:. Figura 37: Archivo .mdl de un sistema estrella-estrella con neutro energizado con voltajes no sinusoidales..

(62) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 51. Figura 38: Ventana de diálogo del bloque que permite obtener el valor eficaz de una señal periódica de voltaje o corriente. 2.4 Ejemplo 4 Hallar la lectura de los instrumentos en el ejemplo anterior si no existe neutro. Utilizar los mismos datos.. Figura 39: Sistema estrella-estrella sin neutro. R: Del ejercicio anterior tenemos que:. Debido a que no existe neutro:. √. √.

(63) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. La lectura del amperímetro. 52. , correspondiente a la corriente por la línea b. contiene solamente 1er y 5to armónicos y se puede calcular como:. R. MATLAB: En este caso se puede utilizar un algoritmo similar al del ejemplo anterior para visualizar las formas de onda del voltaje en la carga y la corriente en la línea b. >> t=[0:0.0000001:1/60]; >> vfcarga=sqrt(2)*80*cos(2*pi*60*t)+sqrt(2)*33.1662*cos(2*pi*300*t); >> plot(t,vfcarga) >> hold on >> vfcarga1=sqrt(2)*80*cos(2*pi*60*t); >> plot(t,vfcarga1,'g') >> vfcarga5=sqrt(2)*33.1662*cos(2*pi*300*t); >> plot(t,vfcarga5,'r') >> title('Grafica del voltaje de la fase en la carga y sus armonicos componentes') >> xlabel('t (s)') >> ylabel('v (V)') >> legend('vfcarga','vfcarga1','vfcarga5'); >> grid on.

(64) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 53. Figura 40: Forma de onda del voltaje de fase en la carga. R. Simulink En este ejemplo se han utilizado los mismos parámetros de simulación que en el ejemplo anterior debido a su similitud.. Figura 41: Archivo .mdl de un sistema estrella-estrella sin neutro energizado con voltajes no sinusoidales..

(65) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 54. 2.5 Ejemplo 5 Se tiene un generador conectado en delta abierta como se muestra en la figura 52, la impedancia de sus devanados es de 20 +j0 Ω y el voltaje generado para la fase “a” se puede expresar de la siguiente forma: (. ). Utilice Matlab y Simulink para hallar la lectura de los instrumentos.. Figura 42: Generador conectado en delta abierta. R: En este caso la lectura del voltímetro. se calcula como la suma de cada una de. las fem generadas por fase, pero debido a que las componentes de 1 er y 5to armónicos constituyen sistemas balanceados de secuencia positiva y negativa respectivamente se obtiene que:. √ La lectura del voltímetro. corresponde a la fem generada en una fase del. generador y contiene 1er, 3cer y 5to armónicos. Se puede hallar por la expresión:. √. √(. √. ). ( ) √. (. √. ). R. MATLAB: >> Vf1=150/sqrt(2);Vf3=70/sqrt(2);Vf5=50/sqrt(2);.

(66) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. >> Voltimetro_1=3*Vf3 Voltimetro_1 = 148.4924 >> Voltimetro_2=sqrt(Vf1^2+Vf3^2+Vf5^2) Voltimetro_2 = 122.2702. R. SIMULINK:. Figura 43: Generador conectado en delta abierta.. 55.

(67) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 56. Figura 44: Forma de onda del voltaje en la fase “bc”.. Figura 45: Forma de onda del voltaje entre los puntos a y a’. Como se puede observar en la figura 55, entre los puntos a y a’ solo aparece componente de tercera armónica para el voltaje..

(68) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 57. 2.6 Ejemplo 6 En el circuito los voltímetros 1 y 2 indican 200 y 150 V respectivamente, la . Considere los armónicos del 1ro al 5to.. impedancia de carga. Determine las lecturas de los instrumentos.. Figura 46 R: La lectura del voltímetro 1 se expresa como: √. √ √. Por lo tanto: √. √. La lectura del voltímetro 2 está dada por: √ El voltaje de fase para el tercer armónico se puede calcular como: √( ). (√. ). √(. ). (. Debido a que el circuito es resistivo se tiene que:. ).

(69) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. √. Por lo tanto:. La potencia total para el primer y quinto armónicos se calcula como:. Para el cálculo de la potencia total:. R. MATLAB: >> voltimetro1=200; >> voltimetro2=150; >> Z=10+0i; >> IL1y5=(voltimetro1/sqrt(3))/Z IL1y5 = 11.5470 >> Wattimetro1=voltimetro1*IL1y5*cos(30*pi/180) Wattimetro1 = 2.0000e+003 >> Wattimetro2=Wattimetro1 Wattimetro2 =. 58.

(70) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 59. 2.0000e+003 >> IL=voltimetro2/Z IL = 15 >> Potencia_total=3*(IL)^2*Z Potencia_total = 6750 R. SIMULINK: Para la realización del modelo en simulink se han utilizado los valores 110 V, 95.74 V y 35.13 V para las componentes de primero, tercero y quinto armónicos respectivamente en los voltajes de fase.. Figura 47: Medición de potencia en la conexión estrella-estrella con neutro..

(71) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 60. Figura 48: Parámetros utilizados en los bloques de medición de potencia. 2.7 Ejemplo 7 En el circuito los voltímetros 1 y 2 indican 200 y 150 V respectivamente. La impedancia de carga. . Solo se generan el 1er y el 3er armónicos.. Halle las lecturas de los instrumentos.. Figura 49 R: La lectura del voltímetro 1 corresponde al voltaje de línea:. Por lo tanto:.

(72) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. √. √. La lectura del voltímetro 2 se expresa como: √ Despejando. se tiene que: √. √. La corriente que circula por la línea c se puede calcular como: √ El wattímetro 1 lee la potencia total de la fase c y se calcula como:. El wattímetro. está leyendo el voltaje de línea. , que solo contiene. componente de primer armónico, y la corriente por el neutro (corriente de tercer armónico) por lo que su lectura es cero. R. MATLAB: >> voltimetro1=200; >> voltimetro2=150; >> Z=10+0i; >> Vf1=voltimetro1/sqrt(3) Vf1 = 115.4701 >> Vf3=sqrt(voltimetro2^2-Vf1^2) Vf3 = 95.7427. 61.

(73) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 62. >> IL=voltimetro2/Z IL = 15 >> Wattimetro1=IL^2*Z Wattimetro1 = 2250 >> Wattimetrox=0 Wattimetrox = 0 R. SIMULINK:. Figura 50: Medición de potencia en el modelo de un sistema estrella-estrella con neutro ideal energizado con voltajes no sinusoidales..

(74) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 63. 2.8 Ejemplo 8 Calcular la lectura de los instrumentos si. y. . Considere. solamente el 1er y el 3er armónicos. La impedancia de carga para el primer armónico. .. Figura 51 R: Según los datos dados se puede deducir que. . Además debido a. que solo hay armónicos de primero y tercer orden, la lectura del voltímetro corresponde al voltaje de línea del primer armónico, es decir:. Por lo tanto:. √ La lectura del voltímetro √ Despejando queda que: √. √. se calcula como:.

(75) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. 64. Las corrientes de primero, tercer armónico y neutro se calculan de la siguiente forma:. √. √ Cálculo de. :. ( ) Cálculo de ( Donde. (. ). (. ). :. )(. ). es el ángulo entre. e. .. Se puede decir que:. √. (. )(. ). √. (. ) (. ). √ (. ) (. ). (. (. )). (. ) (. ). (. ). √. El resto de los wattímetros se calculan como: (. ). (. (. ). (. ). ).

(76) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. La suma de las lecturas de los wattímetros. y. es equivalente a la potencia. total del primer armónico. R. MATLAB: A continuación se muestra la respuesta del ejercicio elaborada en un archivo .m: % Datos del problema voltimetroL=208;voltimetrof=130;z1=10+10i;z3=10+30i; % Calculo de las componentes de primer y tercer armonicos Vf1=voltimetroL/sqrt(3) Vf3=sqrt(voltimetrof^2-Vf1^2) % Calculo de las corrientes de primero y tercer armonicos en las lineas I1=Vf1/abs(z1) I3=Vf3/abs(z3) % Calculo del wattimetro x Wx=Vf3*3*I3*cos(atan(imag(z3)/real(z3))) % Declaracion del valor de los voltajes para el calculo del wattimetro 0 Vab=208*exp(0i); Vba=208*exp(180i); Vbc=208*exp(-120i); Vca=208*exp(120i); Vcb=208*exp(60i); % Designacion del operador para desfasar los voltajes de fase y linea a=(1*exp(-30i*pi/180)/sqrt(3)); % Calculo de la corriente del primer armonico en la linea A Ia1=a*Vab/z1 % Calculo del varmetro 0 Wo=abs(Vbc)*abs(Ia1)*cos (angle(Vbc)-angle(Ia1)) % Calculo del wattimetro c Ic1=Ia1*1*exp(120i); Wc=abs(Vca)*abs(Ia1)*cos(angle(Vca)-angle(Ic1)) % Calculo del wattimetro b Ib1=Ia1*1*exp(-120i); Wb=abs(Vba)*abs(Ib1)*cos(angle(Vba)-angle(Ib1)). 65.

(77) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. Resultados obtenidos en el prompt del Matlab: Vf1 = 120.0889 Vf3 = 49.7862 I1 = 8.4916 I3 = 1.5744 Wx = 74.3600 Ia1 = 2.1978 - 8.2022i Wo = 1362.8 Wc = 457.1379 Wb = 1695.5. 66.

(78) CAPÍTULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. R. Simulink:. Figura 52: Modelo para medición de potencia en el sistema Y-Y con neutro. 67.

(79) CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES. 68. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES. Conclusiones  El uso del MATLAB y su paquete de simulación Simulink en la solución de circuitos eléctricos induce a una mejor comprensión de estos debido a las soluciones gráficas obtenidas.  La utilización del MATLAB y el Simulink, en la modelación y solución de ejercicios sobre circuitos eléctricos sencillos, sirve de preparación para estudiantes que se inician en la utilización de este software, con el objetivo de resolver problemas de mayor complejidad.  Con la aplicación del Matlab y el Simulink se ilustra de manera coherente e integral, la solución de ejercicios de circuitos eléctricos, por lo que el trabajo servirá como base material de estudio para los estudiantes y profesores de la asignatura Circuitos Eléctricos III. Recomendaciones  Resolver y modelar en futuros trabajos ejercicios con un mayor nivel de complejidad y con aplicaciones prácticas.  Publicar y divulgar el presente material, para su utilización con fines academicos y de consulta.  Profundizar en el uso del Matlab y el Simulink mediante la utilización de la bibliografía recopilada para desarrollar modelos de circuitos utilizados en varias de las asignaturas impartidas en la facultad de ingeniería Eléctrica..