INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
UNIDAD PROFESIONAL CULHUACAN
MODELO TEÓRICO EXPERIMENTAL DE INTERACCIÓN MAGNÉTICA DE ELEMENTOS
SUPERCONDUCTIVOS
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TITULO DE:
INGENIERO MECÁNICO
PRESENTA:
EDGAR ISAAC RIVAS HERNÁNDEZ
ASESORES:
M. en C. IRYNA PONOMARYOVA M. en C. SAMUEL CARMAN AVENDAÑO
MÉXICO, D.F. 2010
I AGRADECIMEINTOS.
Gracias al coraje.
Gracias a la entrega.
Gracias a la fuerza.
Gracias a la hermandad.
Gracias a la sabiduría.
Gracias a la paciencia.
Gracias a la ambición.
Gracias al orgullo.
Gracias a estas cualidades sin las cuales jamás podría ser capaz de concretar todos mis sueños, gracias a estas virtudes sin las cuales no hubiese sido capaz de soportar la soledad y finalmente gracias a mis carencias y defectos sin los cuales no hubiese sido capaz de perfeccionar mi persona.
Gracias al grupo CRYO-INFRA y en especial al Ing.
Gerardo García Fonseca por habernos apoyado en la realización del experimento.
Gracias a ti por recordarme lo que soy sin ti, por recordarme el equilibrio entre la fe y la razón, por no estar y aun así compartir conmigo la soledad y gracias ti por mostrarme tu amor insinuando el camino que me lleve hasta ti.
II INDICE.
INTRODUCCIÓN. IV
JUSTIFICACIÓN. V
OBJETIVO. VI
CAPITULO I. EL FENOMENO DE LA SUPERCONDUCTIVIDAD
1.1.- Resumen histórico. 1
1.2.- ¿Qué es superconductividad? 2 1.2.1.- Resistencia cero. Temperatura de transición
superconductora, TC. 4
1.2.2.- Diamagnetismo perfecto (Efecto Meissner). Campos dentro de un superconductor. Corrientes de apantallamiento. 9
1.2.3.- Campo crítico y corriente crítica. 11 1.3.- Clasificación de los materiales superconductores. 12 1.3.1.- Superconductores tipo I y superconductores tipo II. 12
1.3.1.2.- Superconductores de alta temperatura (HTSC). 18 1.4.- Diversos tipos de materiales superconductores. 19
1.5.- Teorías principales. 21
- Teoría de London.
- Teoría de Ginzburg-Landau.
- Teoría BCS (Barden, Cooper, Schieffer).
1.6.- Aplicaciones. 23
III CAPITULO II. DESARROLLO DEL MODELO DE
INTERACCIÓN MAGNÉTICA DE ELEMENTOS SUPERCONDUCTIVOS.
2.1.- Introducción. 26
2.2.- Interacción magnética de dos anillos superconductivos. 29
2.3.- Interacción magnética anillo-dipolo. 35
2.4.- Determinación de regiones estables. 39
CAPITULO III. EXPERIMIENTO. 3.1.- Introducción. 47
3.2.- Consideraciones de seguridad y precauciones de manejo. 47 3.3.- Desarrollo. 48
3.4.- Graficas y tablas. 51
CONCLUSIONES. 57
BIBLIOGRAFIA. 59 ANEXO.
IV INTRODUCCIÓN.
En el presente trabajo se distribuye en tres capítulos los cuales están estructurados a tal modo que dependiendo del nivel de conocimientos o del tipo de información que se requiera, el lector puede realizar su consulta en cualquiera de ellos.
En el capitulo primero, donde se presentan las principales causas y características del Fenómeno de la Superconductividad se requieren conocimientos básicos de química, física clásica, ciencia e ingeniería de materiales y calculo vectorial, lo que hace un material de fácil comprensión para estudiantes de los primeros semestres en carreras de ciencias físico-matemáticas y en donde se puede obtener una idea clara y concreta de la superconducción.
El capitulo dos concentra las principales herramientas y resultados de recién electrodinámica clásica y la física cuántica, de las cuales se erige la galardona Teoría BCS (Bardeen, Cooper, Schieffer), para poder realizar el estudio de dos sistemas de interacción magnética con elementos superconductivos y realizar observaciones sobre las condiciones de estabilidad en el sistema.
El tercer capítulo culmina con una recreación de lo que los científicos alemanes Meissner y Ochsenfeld presentaron en 1933, y que se conoce como el “Efecto Meissner-Ochsenfeld” pudiendo visualizar el momento de mayor estabilidad y el comportamiento de las sus fuerzas magnéticas.
V JUSTIFICACION.
Ante nuestro inminente deterioro de nuestras de nuestras fuentes de energía, expertos en diversas aéreas se ven obligados a emprender una nueva búsqueda de técnicas, teorías, procesos, etc que sean mucho más eficientes y en un dado caso mucho más económicas. Lo anterior a lo largo de la historia ha motivado a propios y extraños a desarrollar estos avances.
La incursión en la teoría de superconductores abrió desde sus orígenes un amplio horizonte de oportunidades y aplicaciones, pero por su costo excesivo y sus muy peculiares características la dejaron de lado a lo largo de la historia. Hoy a más de 100 años de su descubrimiento y hasta de sus aplicaciones busco retomar un tema de vanguardia que con amplias expectativas para desarrollar complejos energéticos en base a elementos superconductivos.
VI OBJETIVO.
Describir la relación entre la energía potencial mínima producida por la interacción magnética y la relación entre la estabilidad del sistema estático con la interacción magnética.
Realizar un análisis de las regiones de estabilidad de levitación magnética del dipolo magnético en presencia de un campo magnético de un anillo superconductor tipo II.
1
CAPITULO I. EL FENOMENO DE LA
SUPERCONDUCTIVIDAD 1.1.- Resumen histórico.
En 1911 el físico holandés Heike Kamerlingh Onnes, descubrió el fenómeno de superconductividad. Onnes tomaba lecturas de la resistencia eléctrica del mercurio a bajas temperaturas. Sus estudios perseguían determinar que tan nula podría llegar a ser la resistencia a una corriente eléctrica si la sustancia es pura y la temperatura (temperatura critica Tc) es disminuida tanto como fuese posible.
El resultado de esta investigación fue inesperado y ciertamente muy interesante, ya que a una temperatura por debajo de los 4.5 K (-268.65 °C), la resistencia eléctrica desaparecía abruptamente. El comportamiento de la resistencia como una función de la temperatura se muestra esquemáticamente en la Figura 1.1.
Figura 1.1.- Información de uno de los primeros trabajos de Onnes en relación a
superconductividad. La resistencia desaparece completamente a 4.2K (4.2 grados por encima del cero absoluto).
2 Si bien el fenómeno de la superconductividad es un tema abierto en física, en la actualidad hay dos enfoques fundamentales: el microscópico o mecano cuántico (basado en la teoría BCS) y el macroscópico o fenomenológico (en el cual se centra la teoría Ginzburg-Landau).
1.2.- ¿Qué es superconductividad?
Muchos metales a temperaturas próximas al cero absoluto pasan a un estado especial cuya propiedad más notable es la llamada superconductividad. Esto es la capacidad intrínseca que poseen ciertos materiales para conducir corriente eléctrica con resistencia y pérdida de energía nulas en determinadas condiciones. La aparición del estado de superconductividad se produce a una temperatura determinada a cada material, a saber, en el llamado punto de transición a la superconductividad.
Un superconductor no es simplemente un conductor normal perfecto.
Al contrario de lo que se podría pensar en principio, un superconductor se comporta de un modo muy distinto a los conductores normales: no se trata de un conductor cuya resistencia es cercana a cero, sino que la resistencia es exactamente igual a cero. Esto no se puede explicar mediante los modelos empleados para los conductores habituales, como por ejemplo el modelo de Drude.
Para demostrar esto vamos a suponer la hipótesis opuesta:
imaginemos por un momento que un superconductor se comporta como un conductor normal. En tal caso, tendríamos que los electrones son esparcidos de alguna manera y su ecuación del movimiento sería:
(1.1)
3 donde es la velocidad media de los electrones, su masa, su carga y el campo eléctrico en el que se mueven. Suponiendo que dicho campo varía suavemente, al resolverla llegaríamos a la ley de Ohm:
(1.2)
donde es la densidad de corriente, la conductividad eléctrica, el tiempo entre colisiones, y la densidad de electrones.
Ahora bien, si suponemos que la resistencia tiende a cero, tendríamos que la conductividad tiende a infinito y por lo tanto el tiempo entre colisiones, τ, tendería a infinito. Dicho de otra manera, no habría colisiones en absoluto. Esta es la idea de cómo se comportaría un conductor normal que tuviera resistencia nula.
Sin embargo, esto significaría que, puesto que la densidad de corriente no puede ser infinita, la única posibilidad es que el campo eléctrico sea nulo:
No obstante, teniendo en cuenta la ley de Faraday, un campo eléctrico nulo implica que el campo magnético ha de ser constante:
(1.3) pero esto entra en contradicción con el efecto Meissner, de modo que la superconductividad es un fenómeno muy diferente a la que implicaría una "conductividad perfecta", y requiere una teoría diferente que los explique.
4 1.2.1.- Resistencia cero. Temperatura de transición superconductora, TC.
La ausencia de resistencia eléctrica, sin embargo, no es en realidad una propiedad fundamental de un superconductor. Los cambios más profundos al pasar al estado superconductor se producen en las propiedades magnéticas del material; las variaciones en las propiedades eléctricas son consecuencias inevitables de estos cambios.
Las propiedades magnéticas de un material superconductor se pueden describir de la siguiente manera. Un campo magnético nunca penetra en su interior; dado que la intensidad promedio del campo magnético en el medio es, por definición, la inducción magnética , se puede decir también que en el interior de un superconductor se tiene siempre
Esta propiedad se presenta independientemente de en qué condiciones tuvo lugar, de hecho, la transición al estado superconductor. Así, si al momento de disponer la muestra a un baño térmico a bajas temperaturas se produce en un campo magnético, en el momento de la transición las líneas de fuerza magnéticas “son expulsadas” del cuerpo (figura 1.2).
Figura 1.2.- (a) Caso I. La muestra primero se enfría por debajo de su temperatura de transición y luego se coloca en un campo magnético. (b) Caso II. La muestra se coloca en un campo magnético, encontrándose en su estado normal, y posteriormente se enfría por debajo de su temperatura de transición. (c) Si el campo magnético se aplica cuando la muestra está en su estado normal, el campo es expelido al enfriarla.
5 Hay que subrayar, sin embargo, que la igualdad no corresponde a una fina capa superficial del cuerpo. Muestra la experiencia que el campo magnético penetra en el superconductor hasta una determinada profundidad.
Conforme sabemos, sobre la frontera común a dos medios cualesquiera la componente normal de la inducción debe ser continua (esta condición es consecuencia de la ecuación , que siempre se cumple).
Dado que dentro de un superconductor se tiene , sobre su superficie la componente normal del campo exterior debe ser también igual a cero, es decir, el campo fuera de un superconductor es siempre tangente a su superficie; las líneas de fuerza magnéticas ciñen al superconductor.
Teniendo en cuenta esta circunstancia es fácil hallar las fuerzas que actúan sobre un superconductor que se encuentra en un campo magnético. Calcularemos la fuerza como se calcularía en un conductor ordinario en un campo eléctrico mediante la expresión , donde
(1.3)
es el tensor de Maxwell de tenciones para el campo magnético vacío. Dado que, en el presente caso, ( es el campo fuera del cuerpo en su superficie), obtendremos
(1.4)
es decir, sobre la superficie del cuerpo actúa una presión cuyo valor es igual a la densidad de energía del campo
6 De la ecuación y de la igualdad se sigue que dentro del superconductor la densidad media de corriente es también igual a cero en cualquier punto. En otras palabras, en un superconductor es imposible que existan corrientes macroscópicas volumétricas.
La diferencia principal entre los cuerpos superconductores y los ordinarios se pone de manifiesto, sin embargo, al considerar la corriente total que atraviesa una sección transversal del cuerpo.
En un cuerpo no superconductor las corrientes superficiales se compensan siempre entre sí, de modo que la corriente total es nula. Esta condición queda asegurada por la ecuación
(1.5)
que liga la densidad de corriente con la inducción magnética dentro del cuerpo y, mediante ella, las corrientes en diferentes puntos de la superficie. En los superconductores la condición pierde su sentido. En efecto, el paso de un cuerpo ordinario con una permeabilidad magnética a un superconductor significa, formalmente, que hay que hacer a la vez y . Pero en estas condiciones el segundo miembro de la ecuación (1.5) se indetermina con lo cual no existe en esencia ninguna condición que limite los valores posibles de la corriente.
Llegamos así al importante resultado de que las corrientes que fluyen por la superficie de un superconductor pueden dar lugar a una corriente total no nula que circule por la misma.
Naturalmente, esto es sólo posible en cuerpos múltiplemente conexos (por ejemplo, en un anillo) o bien en un superconductor simplemente conexo que es parte de un circuito cerrado con la fuente de fuerza electromotriz necesaria para mantener la corriente en las partes no superconductores del circuito.
7 Es muy importante que la circulación estacionaria de una corriente total por un superconductor resulte ser posible sin que exista campo eléctrico. Esto significa que no va acompañada de disipación de energía para compensar, para la cual sería necesario el trabajo de un campo exterior. Esta propiedad de un superconductor puede describirse también diciendo que no existe en él resistencia eléctrica, que resulta ser, por consiguiente, una consecuencia necesaria de sus propiedades magnéticas.
La consecuencia de estas propiedades magnéticas de los elementos superconductores como ya vimos es la llamada cero resistencia a la corriente eléctrica y que es una de las características principales de los elementos superconductores, Las propiedades superconductoras se manifiestan abruptamente a una temperatura propia de cada material que se le conoce como temperatura de transición .
Figura 1.3.- Esquema de una transición superconductora muestra la temperatura como función de la resistencia, para el ejemplo 1 (“puro”) y el ejemplo 2 (“impuro”). La temperatura crítica indica la mitad de la transición, en la cual la resistencia es la mitad que en su estado normal. es el principio y es el final de la caída de resistencia.
Un análisis cuidadoso muestra que la transición ocurre en cierto rango de temperaturas (figura 1.3). En la figura 1.4 podremos ver la mayoría de los elementos que son superconductores con sus temperaturas críticas, siendo el Niobio
8 quien tiene la mayor temperatura crítica aunque esta no excede los 10 K.
Figura 1.4.- La tabla periódica muestra la mayoría de los elementos que son superconductores. Aquellos elementos que se muestran en negrita son superconductores a presión atmosférica. La temperatura critica se encuentra debajo del símbolo químico. El campo critico dado en Gauss ( Tesla) en el cero absoluto se muestra debajo de la temperatura critica. Aquellos elementos que solamente llegan a ser superconductores bajo altas presiones se muestran sombreados.
Onnes no solamente fue quien descubrió la superconductividad del mercurio ( ), antimonio ( ) y el plomo ( ) sino también fue el primero en encontrar la superconductividad en aleaciones (mercurio-oro y mercurio- antimonio). La búsqueda de otros materiales superconductores ha tenido lugar desde entonces y ahora se han encontrado y creado otros compuestos incrementando la clase de los superconductores.
9 1.2.2.- Diamagnetismo perfecto (Efecto Meissner-Ochsenfeld).
Campos dentro de un superconductor. Corrientes de apantallamiento.
Incluso en ausencia de una explicación microscópica del fenómeno de superconductividad, es razonable asumir que la desaparición de la inducción magnética en el interior de un superconductor es debido a las corrientes superficiales inducidas.
En presencia de un campo magnético externo la magnitud y la distribución de estas corrientes están solamente creando un campo interior opuesto cancelando el aplicado. Una descripción formal macroscópica de un superconductor en presencia de un campo externo es de la siguiente forma:
En el interior: , donde es la magnetización por unidad de volumen;
En la superficie: , donde es la densidad de corriente en la superficie; y
En el exterior: , donde es el campo producido por las corrientes superficiales.
Este es su campo el cual provoca la distorsión en la distribución del campo cerca de un superconductor como en la figura 1.2.- a). y 1.2.- c).
A pesar de que esta descripción es formalmente correcta, es más conveniente sustituirla por una equivalente la cual estudie el superconductor en la presencia de un campo externo como un cuerpo magnético con un campo interior y la magnetización como:
En el interior: ;
En la superficie: ; y
En el exterior: , donde ahora es el campo producido por la magnetización del ejemplo.
10 Como , esta descripción es equivalente con los atributos para los superconductores con magnetización por unidad de volumen
(1.6)
lo que significa que el superconductor posee una susceptibilidad diamagnética ideal de
La representación o la aplicación de estas propiedades magnéticas fueron visualizadas gracias al descubrimiento de un comportamiento en los superconductores conocido como el
“Efecto Meissner-Ochsenfeld” presentado por dos físicos alemanes en 1933, Walter Meissner y Robert Ochsenfeld.
Este efecto que no permite la penetración del campo al interior del superconductor y además es capaz de distinguir dos tipos de superconductores: los de tipo I, que no permiten en absoluto que penetre un campo magnético externo (lo cual conlleva un esfuerzo energético alto, e implica la ruptura brusca del estado superconductor si se supera la temperatura crítica ), y los de tipo II, que son superconductores imperfectos, en el sentido en que el campo realmente penetra a través de pequeñas canalizaciones denominadas vórtices de Abrikosov, o fluxones.
Para expulsar el campo del interior del material, el superconductor crea unas corrientes en la superficie denominadas corrientes de apantallamiento. Únicamente aparecen cuando hay un campo magnético externo al material, y su misión es crear otro campo opuestos al exterior, de forma que el resultado de estos dos campos propicie un campo nulo en el interior.
Como no puede existir en el interior, y una corriente es una fuente de campo magnético (Ley de Bort-Savart), las corrientes de apantallamiento no pueden pasar a través del
11 superconductor, porque se crearía campo, sino que fluyen exclusivamente por la superficie. Su distribución es muy complicada, y hasta el momento, desconocida para una configuración genérica.
1.2.3.- Campo crítico y corriente crítica.
El valor de la intensidad de campo magnético longitudinal para el cual desaparece la superconductividad en un cuerpo depende del metal de que se trate y también de su temperatura (y de su presión) es lo que conocemos como campo critico ( ) y resulta además ser una de las características más importantes de un superconductor.
La transición brusca del estado superconductor al normal tiene lugar solamente en superconductores puros (tipo I). E la aleaciones, en cambio, la desaparición de la superconductividad y la penetración del campo magnético en la muestra se produce de manera gradual en todo un intervalo de intensidades del campo relativamente amplio, de modo que el campo critico, en el sentido que se describe, no existe en ellos.
Existe otro parámetro crítico que imposibilita la transición al estado superconductor, esta es la corriente crítica. Ya que el número de electrones superconductores es finito, la cantidad de corriente que puede soportar el material está limitada al tamaño de la muestra. Por esto es más conveniente hablar de una densidad de corriente crítica, es decir, la corriente conducida a través de una sección del superconductor. Este valor denotado esta dado en
, también como
u otras unidades.
12 1.3.- Clasificación de los materiales superconductores.
Los superconductores se suelen clasificar atendiendo a distintos criterios:
Por su comportamiento físico; Con relación al tipo de transición del estado normal al estado superconductor.
Por la teoría que los explica; Diversificado por dos puntos de vista básicamente, por su estudio desde una perspectiva microscópica y desde el punto de vista macroscópico.
Por su temperatura critica; Como aquellos que son de baja temperatura o del alta temperatura.
Por el material; Los clasifica como Puros, aleaciones, orgánicos, cerámicos, etc.
1.3.1.- Superconductores tipo I y superconductores tipo II.
En 1956 el físico norteamericano H. W. Lewis descubrió que, para un conjunto de sustancias, algunas de ellas siendo metales con bajo punto de fusión y otras que tengan propiedades electrónicas semejantes a dichos metales, existe una relación común que vincula el campo crítico a la temperatura cero, con la temperatura de transición. En general, estos superconductores, llamados suaves, y todos los demás metales de transición que son superconductores, tienen otras propiedades en común, por ejemplo la misma longitud de penetración del campo magnético.
Y aunque sólo los primeros, esto es los suaves, muestran la relación empírica entre el campo crítico y la temperatura de transición por la similitud de otras propiedades se les conoce como superconductores de tipo I.
Pero existen otros tipos de superconductores cuyas características y propiedades son muy técnicas o bien son aún desconocidas para listar aquí. Y, curiosamente, estos
13 superconductores son los que tienen la mayor aplicación en la práctica. Entre ellos están los llamados superconductores del tipo II que pueden formarse haciendo aleaciones de películas delgadas, formando compuestos con estos superconductores y de otras maneras diferentes.
La característica esencial de este tipo de superconductores puede entenderse si recurrimos de nuevo al modelo simple de la conductividad metálica que hemos expresado con base en el movimiento de los electrones no localizados por la malla metálica. Cuando un electrón no localizado viaja por dicha latiz, choca con los núcleos metálicos fijos en los sitios de la malla. Si medimos cuál es la distancia promedio que recorre el electrón entre dos colisiones sucesivas, después de numerosas colisiones, se obtiene lo que se conoce como la trayectoria libre media.
Claramente, esta cantidad tiene dimensiones de longitud, al igual que la longitud por la cual penetra el campo magnético en el experimento de Meissner-Ochsenfeld. Una característica común a todos los superconductores del tipo I es que la longitud de penetración del campo magnético (que es del orden de 10-6 cm) es mucho menor que la trayectoria libre media (que es del orden de 10-4 cm).
En los superconductores del tipo II ocurre lo contrario y esto tiene como consecuencia que la forma en que ocurre la transición superconductiva, cuando un campo magnético está presente, difiere radicalmente del comportamiento que obedecen los superconductores del tipo I.
En un superconductor del tipo II existe toda una gama de valores del campo magnético para los cuales el material es simultáneamente superconductor y metal normal (Figura 1.5). En esta región, llamada fase mixta, el material puede ser portador de una corriente eléctrica sin resistencia y, además, permanecer como tal aun si se trata de campos magnéticos grandes. Así se han construido superconductores que, una vez que se establece en
14 ellos una corriente de 20 a 30 amperios, pueden generar campos magnéticos enormes sin requerir para ello de energía alguna.
Figura 1.5.- El comportamiento del campo magnético crítico para un superconductor I como función de la temperatura.
Pero retrocedamos un poco para preguntarnos la causa del fenómeno de la superconductividad. La idea básica al respecto fue propuesta en 1950 por H. Fröhlich en Inglaterra y John Bardeen en EUA. De acuerdo con nuestro modelo de un conductor metálico, los electrones que no están firmemente ligados a los átomos encuentran una resistencia proveniente de estos últimos en su desplazamiento a través del metal. La razón es que, en realidad, estos átomos no están completamente en reposo. Vibran a lo largo de tres direcciones perpendiculares entre sí, alrededor de sus posiciones de equilibrio, como si fuesen resortes. Este movimiento es producido por la resultante de todas las fuerzas que sobre cada átomo individual ejerce el resto de los átomos que componen el metal. Y son precisamente estas vibraciones las que impiden el paso libre de los electrones. Sin embargo, Fröhlich y Bardeen argumentaron que, a medida que la temperatura disminuye, las vibraciones dejan de obstruir el flujo de electrones conduciéndolos como lo hace con un bote un oleaje regular. En otras palabras, las mismas vibraciones de los átomos se convierten en el agente que hace que un metal sea superconductor. Y, de acuerdo al principio de incertidumbre de Heisenberg, esta
15 vibración jamás puede desvanecerse aun en el cero absoluto. Así pues, a temperaturas muy bajas las vibraciones de los átomos y el movimiento de los electrones se sincronizan. Al hacerlo, los electrones viajan suaves y alegremente junto con las vibraciones como un buen surfer lo hace con la cresta de una ola (Figura 1.6).
Figura 1.6.- El comportamiento del campo magnético crítico para un superconductor del tipo II como función de la temperatura.
¿Por qué entonces, puede uno preguntar, los metales que son comparativamente malos conductores a temperaturas normales son los más aptos para ser buenos superconductores? El argumento de Fröhlich y Bardeen se basa en que dichos metales tienen un fuerte efecto dispersor sobre los electrones a temperaturas altas. Así que al enfriarlos deben tener un fuerte efecto sobre los electrones a bajas temperaturas cuando las vibraciones de los átomos y el movimiento de los electrones se coordinan entre sí. Por lo tanto, entre más pesado sea un elemento, menor es su posibilidad de convertirse en un superconductor pues las vibraciones de sus átomos a bajas temperaturas serán comparativamente más lentas que para un metal ligero. Así pues, los isótopos más ligeros de un elemento dado serán superconductores a temperaturas más elevadas que los pesados. Este efecto fue previsto por Fröhlich y comprobado experimentalmente.
16 Aun cuando la hipótesis del efecto fuera puesta dentro de un modelo más riguroso en 1957 por Bardeen, Cooper y Schrieffer en EUA y por N. N. Bogoliubov en la URSS, las correspondientes teorías no ofrecían entonces una forma confiable de predecir qué sustancias son candidatos viables a convertirse en superconductores ni la temperatura en que se daría el fenómeno.
La solución al problema fue encontrada, también en 1950, por B.
T. Matthias y John K. Hulm, en EUA, quienes con gran paciencia probaron un compuesto tras otro hasta que, paulatinamente, fue emergiendo la regla deseada. El factor decisivo para determinar qué tan fácilmente un compuesto se convertía en superconductor a bajas temperaturas es el número de electrones de valencia. Éstos son los que se encuentran menos ligados al núcleo atómico y determinan la afinidad química del compuesto. Los únicos compuestos o elementos que se transforman en superconductores son aquellos que, en promedio, tienen entre dos y ocho electrones de valencia por átomo. Y en este intervalo, los materiales con número impar de electrones de valencia por átomo, tres, cinco o siete, son los que se convierten en superconductores con mayor facilidad.
Figura 1.7.- Electrones superconductores (líneas onduladas en la parte izquierda de la figura) interaccionan en forma ordenada con los átomos de un cristal (círculos negros). Los electrones ordinarios son desviados por los átomos (parte derecha de la figura).
Así que hoy en día se cuenta con una guía muy específica para sintetizar superconductores. Desde luego esta condición no es única, existen otros factores que también son determinantes.
Por ejemplo, se sabe que la superconductividad es favorecida por
17 ciertas estructuras cristalinas, por el espacio del cristal no ocupado por átomos, etc. Esto ha dado lugar a innumerables compuestos formados por elementos que por sí mismos no son superconductores pero cuya combinación sí lo es. El silicio y el cobalto constituyen un caso típico. El silicio no es metal, ni siquiera es un buen conductor de la electricidad. El cobalto tiene dos peculiaridades que lo descalifican completamente como superconductor: nueve electrones de valencia y es fuertemente magnético, como el hierro. Sin embargo, si ambos se combinan para formar una estructura cúbica simple se convierten en un superconductor, pues el silicio neutraliza el poder magnético del cobalto y reduce el número promedio de electrones de valencia por átomo hasta caer en el intervalo apropiado.
Hasta hace poco, digamos los últimos cinco años, la tendencia en la investigación científica en este campo se ha polarizado fuertemente hacia la búsqueda de materiales superconductores que sean interesantes desde el punto de vista científico y tecnológico. Y el descubrimiento más interesante a lo largo de estas líneas lo constituyen los llamados superconductores exóticos, esto es, superconductores que muestran propiedades inesperadas y que hasta hoy exhiben un comportamiento que no ha sido posible interpretar teóricamente. Así, los investigadores intentan sintetizar este tipo de compuestos pues cada nuevo miembro de esta clase de materiales arroja nueva evidencia sobre el comportamiento de tales materiales a bajas temperaturas.
De entre todas estas clases de materiales, quizás lo más impactante sean los superconductores orgánicos, descubiertos por investigadores de la compañía Dupont a principios de la década de los años sesenta, con los que el vasto campo de la química orgánica se abrió al campo de la física de los metales. La temperatura de transición más alta reportada hasta 1984 en los superconductores orgánicos es de 2.3 K, así que la búsqueda de este tipo de compuestos con temperaturas de transición mayores continúa.
18 No obstante estos adelantos, el impacto más sorprendente en el campo de la superconductividad se produjo cuando en el mes de enero de 1986 Karl A. Müller y Johannes G. Bednorz, de los laboratorios de investigación de la IBM en Zurich, Suiza, anunciaron que un óxido de bario, lantano y cobre exhibía propiedades superconductoras a 35 K. El descubrimiento, por el cual Müller y Bednorz fueron galardonados con el premio Nobel de Física en 1987, desató una verdadera oleada de trabajos experimentales y teóricos conocidos ahora con el nombre de superconductividad a temperaturas altas. En unos cuantos meses, varios grupos de investigadores, entre ellos S. Tanaka de Tokio, P.W.C. Chu de Houston, B. Battogg de la compañía Bell Telephone, informaron sobre diferentes compuestos superconductores cuya temperatura crítica era de hasta 90 K.
Según Paul Chu, de la Universidad de Houston, Texas, con un poco de suerte será posible llegar a obtener superconductores con temperaturas hasta de 240 K.
Pero la euforia inicial se ha visto un poco ensombrecida por un sinnúmero de dificultades y hasta ahora sólo ha sido posible fabricar tales compuestos, por cierto de estructura un tanto complicada, en el laboratorio. Alrededor de estos materiales se concibieron fabulosas aplicaciones tecnológicas que no nos detendremos aquí a enumerar. Las expectativas, aunque promisorias y atractivas, todavía están muy lejos de poderse alcanzar a nivel tecnológico.
1.3.1.2.- Superconductores de alta temperatura (HTSC).
Tras algunos años de relativo estancamiento, en 1986 Bednorz y Müller descubrieron que una familia de materiales cerámicos, los óxidos de cobre con estructura de perovsquita, eran superconductores con temperaturas críticas superiores a 90 K.
Estos materiales, conocidos como superconductores de alta temperatura, estimularon un renovado interés en la investigación
19 de la superconductividad. Como tema de la investigación pura, estos materiales constituyen un nuevo fenómeno que no se explica por las teorías actuales. Y, debido a que el estado superconductor persiste hasta temperaturas más manejables, superiores al punto de ebullición del nitrógeno líquido, muchas aplicaciones comerciales serían viables, sobre todo si se descubrieran materiales con temperaturas críticas aún mayores.
1.4.- Diversos tipos de materiales superconductores.
La propiedad que encontró Onnes en el mercurio se ha logrado verificar hasta hoy en día en más de la mitad de los metales conocidos. Estos incluyen los llamados metales simples, aluminio, galio, indio, talio, estaño, plomo y, también, un grupo grande de los llamados metales de transición, que incluyen al titanio, vanadio, circonio, niobio, molibdeno y otros conocidos como tierras raras.
Curiosamente, no existen metales superconductores monovalentes ni tampoco hexavalentes. Para cada uno de los metales señalados existe una temperatura característica a la cual el valor residual de la resistencia eléctrica se hace cero. Para el mercurio es de 4.15 K. El niobio exhibe la más alta entre los metales puros, 9.46 K. A esta temperatura característica de cada metal se le conoce como temperatura de transición. La transición superconductiva ocurre dentro de un intervalo de .001 K alrededor de la temperatura de transición, razón por la cual se puede medir con mucha precisión.
Pero la superconductividad no es sólo una propiedad característica de algunos metales. Hoy en día se conocen más de mil aleaciones y otros compuestos que exhiben esta propiedad.
En la siguiente tabla (tabla 1.1) podremos ver una serie de elementos, compuestos y aleaciones conocidos como superconductores con sus respectivas temperaturas críticas .
20
Tabla 1.1.- Algunos materiales superconductores.
Elemento, Compuesto o Aleación
Temperatura critica ,
Aluminio (Al) 1.19
Cadmio (Cd) 0.56
Galio (Ga) 1.09
Indio (In) 4.404
Iridio (Ir) 0.14
Lantano- (La) 5
Lantano- (La) 6
Plomo (Pb) 7.18
Mercurio- 4.153
Mercurio- 3.95
Niobio (Nb) 9.46
Osmio (Os) 0.66
Protactinio (Pa) 1.4
Renio (Re) 1.698
Rutenio (Ru) 0.49
Tántalo (Ta) 4.482
Tecnecio (Tc) 7.75
Talio (Tl) 2.39
Torio (Th) 1.37
Estaño (Sn) 3.72
Titanio (Ti) 0.39
Tungsteno (W) 0.012
Uranio- (U) 0.68
Uranio- (U) 1.8
Vanadio (V) 5.144
Cinc (Zn) 0.875
Circonio (Zr) 0.546
N -Ge 23.3
N Sn 18.07
21
N Al 18.0
Nb-Sn 17.91
Si 16.3
Ga 15.3
Nb-N 16
YB C O 92
BiSrCaCuO 125
Curiosamente, existen también aleaciones que exhiben la transición superconductora sin que ninguno de los elementos integrantes sea un superconductor. Ejemplos de ellos son el -Sr con una temperatura de transición de 5.62 K y una aleación de platino antimonio (Pt-Sb), cuya temperatura de transición es de 21 K.
1.5.- Teorías principales.
La superconductividad fue descubierta en 1911, veinte y tres años después (1933) el “Efecto Meissner-Ochsenfeld” y dos años más tarde (1935) los hermanos London propusieron una teoría simple para poder explicar el efecto Meissner-Ochsenfeld.
En 1950 Ginzburg y Landau publicaron una avanzada teoría macroscópica que describe la superconductividad en términos de un parámetro de orden, y además dieron una generalización de las ecuaciones de London.
En ese mismo año Fröhlich predijo el efecto isótopo (que vinculó la superconductividad con la red cristalina) donde la temperatura de transición de un superconductor decrece cuando su masa atómica disminuye, esta fue una predicción confirmada por Maxwell y Reynolds en 1950.
En 1957 Bardeen, Cooper y Schieffer propusieron una teoría microscópica que hoy en día presenta una comprensión
22 teórica de la naturaleza de la superconductividad. La teoría se basa en el hecho de que los portadores de carga no son los electrones sino parejas de electrones mejor conocidos como
“pares de Cooper”
- Teoría de London.
Plantea dos ecuaciones, las cuales describen los campos eléctrico y magnético dentro de un superconductor para la densidad de corriente :
(1.7)
(1.8)
La constante de proporcionalidad en esta expresión es la profundidad de penetración de London .
- Teoría de Ginzburg-Landau.
Por su carácter macroscópico (fenomenológico) esta teoría no fue muy aceptada por los científicos de la época. Esta teoría proporciona una buena descripción de muchas de las propiedades de ambos tipos de superconductores, los convencionales y los de altas temperaturas. Esta teoría asume que en estado superconductor la corriente es llevada por súper-electrones de masa , carga , y densidad .
- Teoría BCS (Barden, Cooper, Schieffer).
Provee de una teoría general microscópica que cuantitativamente predice varias propiedades de los superconductores. Valiéndoles lo necesario para ganar el premio nobel de física en 1972 ya que explica satisfactoriamente el fenómeno de superconductividad. Esta teoría se pudo desarrollar gracias a dos pistas fundamentales ofrecidas por físicos
23 experimentales a principios de los años cincuenta: el descubrimiento del efecto isotópico, y el descubrimiento de Lars Onsager en 1953 de que los portadores de carga son en realidad parejas de electrones.
1.6.- Aplicaciones.
Los imanes superconductores son algunos de los electroimanes más poderosos conocidos. Se utilizan en los trenes maglev:
Figura 1.8.- Esquema de funcionamiento por levitación magnética en el tren maglev.
En máquinas para la resonancia magnética nuclear en hospitales y en el direccionamiento del haz de un acelerador de partículas:
24
Figura 1.9.- Imagen obtenida de una resonancia magnética.
También pueden utilizarse para la separación magnética, en donde partículas magnéticas débiles se extraen de un fondo de partículas menos o no magnéticas, como en las industrias de pigmentos.
Los superconductores se han utilizado también para hacer circuitos digitales y filtros de radiofrecuencia y microondas para estaciones base de telefonía móvil.
Los superconductores se usan para construir uniones Josephson, que son los bloques de construcción de los SQUIDs (dispositivos superconductores de interferencia cuántica), los magnetómetros conocidos más sensibles. Una serie de dispositivos Josephson se han utilizado para definir el voltio en el sistema internacional (SI). En función de la modalidad de funcionamiento, un cruce de Josephson se puede utilizar como detector de fotones o como mezclador. El gran cambio en la resistencia a la transición del estado normal al estado superconductor se utiliza para construir termómetros en detectores de fotones criogénicos.
25 Están apareciendo nuevos mercados donde la relativa eficiencia, el tamaño y el peso de los dispositivos basados en los superconductores de alta temperatura son superiores a los gastos adicionales que ellos suponen.
Aplicaciones futuras prometedoras incluyen transformadores de alto rendimiento, dispositivos de almacenamiento de energía, la transmisión de energía eléctrica, motores eléctricos (por ejemplo, para la propulsión de vehículos, como en vactrains o trenes maglev) y dispositivos de levitación magnética. Sin embargo la superconductividad es sensible a los campos magnéticos en movimiento de modo que las aplicaciones que usan corriente alterna (por ejemplo, los transformadores) serán más difíciles de elaborar que las que dependen de corriente directa.
26 CAPITULO II. DESARROLLO DEL MODELO DE
INTERACCIÓN MAGNÉTICA ELEMENTOS
SUPERCONDUCTIVOS.
2.1.- Introducción.
Un anillo ideal fino, sin resistencia eléctrica, tiene una propiedad común de conservar el flujo magnético en su interior, que se pasa a través de una superficie limitada por este mismo anillo[6] y con una corriente se puede considerar como un magneto permanente, cuya resistencia eléctrica no es mayor que Dm-cm [10]. Un superconductor es, además de un conductor ideal, un diamagnético ideal, efecto conocido como de Meissner-Oxenfeld. Desde el punto de vista de la electrodinámica tecnológica de superconductores [11] la inducción magnética dentro de un volumen del superconductor siempre es igual a cero ( ). Esta propiedad no depende de las condiciones de transmisión del cuerpo en estado superconductivo. Como consecuencia de la ecuación de Maxwell en la frontera de dos cuerpos, la componente normal de inducción de campo magnético debe ser igual a cero. Debido a que dentro del superconductor , sobre la superficie de la componente normal del campo magnético externo también es igual a cero.
Esto significa que el campo magnético en cualquier punto fuera del superconductor es siempre tangente a la superficie de él. Las líneas magnéticas son curveadas en relación al cuerpo superconductivo.
De acuerdo con la ecuación de Maxwell, el campo magnético permanente en un material. El con la condición de que , de esto se sigue que dentro de un superconductor la densidad de corriente media también es igual a cero. En otras palabras, en cualquier cuerpo superconductivo ninguna corriente volumétrica es imposible.
27 Cualquier corriente eléctrica en un superconductor, es una corriente superficial. Tanto el campo magnético como la corriente eléctrica penetran a una profundidad de London del superconductor que está aproximadamente dentro del intervalo de [4,6] m, por esta razón, se pueden encontrar diferentes ecuaciones de inductancia propia en un superconductor. Por ejemplo, el campo magnético con variación de la profundidad se determina por la formula .
Dentro del conductor la energía magnética es
( es el elemento de volumen), que puede representarse para un superconductor fino como , donde es la corriente eléctrica y es la inductancia interna. De estos datos podemos encontrar una relación para la inductancia interna en un superconductor de longitud unitaria.
(2.1)
donde es diámetro del conductor.
Entonces el anillo ideal y el anillo superconductivo tienen una diferencia en la inductancia interna , que necesita sumarse a la inductancia propia del anillo ideal para tomar en cuenta el campo magnético externo. Para simplificar el análisis se emplea el concepto de corriente ideal.
Si un superconductor se representa por un alambre entonces, en caso de ausencia de campo magnético externo, es posible esperar una circulación de las corrientes superficiales estacionarias.
En el caso de superconductores no finos. Las corrientes eléctricas superficiales pueden pasar estacionariamente sin fuerza electromotriz. El flujo magnético a través de la superficie limitada por un anillo superconductivo se determina por la relación:
28
(2.2)
donde es la corriente eléctrica y es la inductancia del anillo. Si el anillo superconductivo está dentro de un campo magnético externo, entonces el flujo magnético total a través de dicha superficie consta del flujo propio del superconductor y del flujo del campo magnético externo.
La propiedad más importante en cualquier anillo superconductivo es que cualquier variación, tanto del campo magnético externo como de la corriente en el anillo, el flujo magnético total a través de la superficie limitada por el anillo mismo siempre permanece constante:
(2.3)
Esta propiedad sigue directamente de la forma integral de Maxwell escrita para un área fuera del superconductor:
(2.4) Debido a que la componente tangencial del campo eléctrico sobre la superficie es igual a cero, entonces
, de aquí se sigue que .
Este resultado es muy importante debido a que la permanencia del flujo magnético a través de cualquier anillo superconductivo se conserva no sólo en el caso de la variación del campo magnético externo, sino también en el caso de una variación en la forma del anillo, por ejemplo, el desplazamiento del anillo en el espacio.
29 2.2.- Interacción magnética de dos anillos superconductivos.
Se considera un sistema dinámico formado por dos contornos cerrados finos en los que circulan las corrientes , en cada uno de ellos y se tiene una interacción magnética. En el caso general tal sistema está caracterizado por un número de variables generalizadas , para el caso considerado, éstas son:
Variables eléctricas:
Variables mecánicas:
donde es la coordenada generalizada, es la velocidad generalizada, es la fuerza generalizada que sólo depende de la posición es el impulso generalizado con
La energía potencial y cinética de éste sistema está determinado por:
(2.5) (2.6)
Desde el punto de vista de la electrodinámica clásica la fuerza de interacción magnética de dos anillos con las corrientes
e se determinan de la ley experimental de Ampere.
ó
(2.7)
30 Para dicho sistema las corrientes son:
(2.8) Entonces podemos volver a escribir esta ecuación (2.7) como:
(2.9) La fuerza magnética está expresada a través de los flujos magnéticos por la ecuación (2.9) y una coordenada en el caso lineal [13]. Como una primera definición se puede dar el siguiente lema.
LEMA: Si las relaciones entre los parámetros del sistema están determinadas como:
(2.10)
Entonces se aseguran las condiciones necesarias y suficientes para el cambio de signo de la fuerza magnética entre anillos finos, duros e ideales en el punto 1< ∞, donde 1 es una distancia más grande que las distancia
entre dos anillos.
Considerando que es una función monótona de , continuamente diferenciable y siempre disminuye.
Por lo tanto la derivada parcial
entre la distancia es negativa y nunca puede ser igual a cero. Entre tanto el producto siempre es mayor que de la ecuación (2.10).
31 Por esta causa el denominador de la ecuación: (2.9) no puede ser igual a cero.
Así de la ecuación (2.9) podemos encontrar las siguientes dos condiciones:
(2.11)
(2.12)
Cuando la fuerza magnética es igual a cero, las ecuaciones (2.11) y (2.12) reflejan las condiciones necesarias de igualdad a cero de la fuerza magnética, para que podamos asegurar las condiciones (2.11) y (2.12) los flujos y deben tener el mismo signo.
Pero también se puede demostrar que cualquiera de las dos ecuaciones no solamente representan las condiciones necesarias, si no, también suficientes.
Suponiendo que y se aplica la condición necesaria para la ecuación (2.11) utilizando las ecuaciones
, utilizando y se determina la derivada de la fuerza magnética con respecto a , en el punto , entonces;
(2.13) En el caso de asegurar la condición de la ecuación (2.11) y cuando , el numerador de la ecuación (2.13) es positivo, el flujo permanente y el resto de los miembros de la ecuación (2.13) son positivos, esto significa que
.
Entonces las derivada parcial de la fuerza magnética con respecto a las distancia , en el punto donde esta asegurada la
32 condición necesaria para la ecuación (2.11) es negativa, esto mismo se relaciona sobre la ecuación (2.12).
El signo negativo del miembro derecho de la ecuación (2.13) nos dice que la derivada parcial de segundo orden de energía magnética potencial con respecto a en el punto es positiva, donde se asegura la condición necesaria de un mínimo de energía potencial. Por lo tanto como una segunda definición podemos dar el siguiente teorema:
TEOREMA: La energía potencial de interacción magnética entre dos anillos ideales , que se representan por una función continuamente diferenciable sobre un intervalo de distancia tiene un mínimo en el punto ∞ con las condiciones determinadas por el lema.
La energía potencial de interacción magnética de dos anillos ideales se determina a través de los flujos magnéticos permanentes y las coordenadas mecánicas como:
(2.14)
Es conocido [12] que la energía de un campo magnético expresada a través de los flujos magnéticos y las coordenadas es la energía potencial. Por esta causa la fuerza magnética puede ser determinada como la derivada parcial de la energía potencial de la ecuación (2.14) con signo negativo, es decir:
(2.15)
33 En caso de que o según la ecuación (2.10) el numerador del primer miembro del producto de la ecuación (2.15) puede ser igual a cero.
La derivada parcial de energía de la ecuación (2.14) de segundo orden en el caso anterior es:
(2.16) El segundo término de la ecuación (2.16) es igual a cero en virtud de que la ecuación (2.10),
. Por esta causa el signo de
se determina por el signo de
, es decir, por la expresión:
(2.17) Por lo tanto la derivada parcial de segundo orden con respecto a es positiva . Esto significa que se está asegurando la condición de existencia del mínimo de . Con la condición de que
. Entonces como una tercera definición podemos usar la siguiente consecuencia:
CONSECUENCIA: La energía magnética potencial entre dos anillos finos, duros e ideales axialmente colocados con las corrientes eléctricas por una coordenada mecánica , tiene un mínimo en el punto en el caso de asegurar la condición de flujos magnéticos permanentes de las superficies limitadas por los mismos anillos, esto es,
En el caso particular de dos anillos coaxiales y paralelos con una distancia entre los planos es , es el radio y es el
34 diámetro del anillo podemos hacer los siguientes cálculos:
1.- La energía potencial adimensional.
(2.18) 2. – La fuerza magnética adimensional.
21+ 22122 ,2 2 (2.19)
3. – La dureza de interacción magnética.
2 2 4 ,2 2 4 2+11+ 2 4 1+ 2 + 2 2 2 +1+4 34 21+ 2 2 ,2 2 2 (2.20)
Donde:
La energía magnética, la fuerza y la dureza con dimensiones son representadas por y respectivamente, es el flujo magnético permanente de anillos;
; ; ; ; son las integrales elípticas de primero y segundo orden de los módulos:
es módulo adicional.
y son las inductancias propias y mutuas, determinadas por las siguientes fórmulas:
35
Desde el punto de vista de aplicación de este simple modelo, se puede utilizar como un elemento en un sistema de control.
2.3.- Interacción magnética anillo-dipolo.
Se considera un sistema simple de dos anillos superconductores finos arbitrariamente colocados en el espacio figura 2.1. En el caso especial un anillo es el superconductor y el otro es una corriente normal energizando al primero. Así, para el anillo superconductor el flujo magnético es permanente y para el anillo normal el flujo de corriente es a través del segundo.
La ubicación y orientación de cada anillo en el espacio son determinadas por la posición del centro de la circunferencia, el vector normal sobre el plano de la circunferencia y el radio.
Los parámetros , , , y , son las normales, los vectores de radio y los radios de primer y segundo anillos respectivamente. El vector relaciona los centros de los anillos:
36
Figura 2.1.- Esquema de dipolo P-M y anillo fino de SC.
El sistema de energía depende de variables mecánicas que especifican la ubicación del anillo, velocidad y corriente que fluyen a través de estos, considerando y como un conjunto de variables de LaGrange asociadas con el movimiento mecánico del anillo (no con la interacción magnética); es una carga que fluye a través de una sección del contorno superconductivo fijo, i.e.
; es un valor análogo para la corriente del anillo, i.e. .
El método de Rauth [15] para la eliminación de la coordenada cilíndrica transfiere el resultado de la ecuación dinámica del sistema en un sistema modificado equivalente.
Entonces la función de Lagrange es definida fuera del sistema modificado de Rauth. Con esta transformación se transfiere una parte de energía cinética en energía potencial en el sistema modificado de Rauth. Debido a este hecho H. Hertz [16] concibió para la energía potencial del origen cinético. Para una descripción matemática formal, se muestra que la interacción magnética entre el imán permanente y el anillo superconductor, están en rigurosa concordancia con el principio de Hertz.
37 Definiendo y como coordenadas eléctricas del sistema de interacción del anillo y , son velocidades correspondientes a estas coordenadas. Para el sistema de coordenadas escogido, la energía del sistema se encuentra dada por:
(2.21)
donde es la energía cinética del movimiento mecánico del anillo que depende de y , la expresión de es:
(2.22)
Entonces, de acuerdo al principio de Hertz toda la energía del sistema es cinética. Considerando las condiciones de estabilidad de corriente en el segundo contorno como una relación dependiente del tiempo.
(2.23)
En conjunto con la ecuación (2.23), el sistema de coordenadas generalizadas son coordenadas mecánicas y , y coordenadas eléctricas . La función de LaGrange está dada por:
(2.24)
Con la velocidad generalizada la función de Lagrange no es cuadrada. Entonces no depende de , la coordenada es cíclica. Y se puede obtener el impulso del sistema generalizado correspondiente a , i.e.
(2.25)
38 Entonces:
(2.26)
La función de Rauth es:
(2.27) De la ecuación (2.26) y ecuación (2.27) se puede obtener la siguiente expresión de la función de Rauth.
(2.28)
Dado que la coordenada es cíclica, todos los resultados del movimiento del sistema tienen un impulso
(2.29)
La ecuación (2.25) denota que y refleja un flujo muy bien atrapado a través de la superficie limitada por el contorno con perfecta conductividad. De acuerdo con el método de Rauth, después de la eliminación de la coordenada cíclica los resultados del movimiento del sistema están completamente definidos a través de la solución de la ecuación de LaGrange para algunos sistemas modificados la función LaGrange estará dada como
(2.30)
En este caso, la coordenada mecánica generalizada x se vuelve un sistema modificado de coordenada generalizada. La energía cinética del sistema modificado es:
(2.31)
