D OCTORAL T HESIS
Thresholding Greedy Algorithms in Banach spaces
Author:
Pablo Manuel Berná Larrosa
Supervisors:
Dr. Gustavo A. Garrigós Aniorte
Dr. Eugenio Hernández Rodríguez
Dedicated to my uncle Pablo Manuel, and my grandfather Pablo
“Reserve your right to think, for even to think wrongly is better than not to think at all”
Hypatia of Alexandria
Resumen
Esta tesis trata un tema que combina la Teoría de Aproximación no lineal y el Análisis Fun- cional: aproximación mediante algoritmos avariciosos (thresholding greedy algorithms) en es- pacios de Banach, un área de investigación popularizada por S. V. Konyagin, V. N. Temlyakov y sus colaboradores, que establecieron las bases de la teoría hace unos 20 años. En el resumen que sigue, revisaremos brevemente la historia de esta área, indicando algunos de los principales resultados, describiremos los problemas que hemos considerado en esta tesis y presentaremos nuestras principales contribuciones, cuyas pruebas y detalles se encontrarán en los capítulos posteriores.
La tesis se divide en seis capítulos que, aparte de algunos preliminares, recopilan una serie de resultados originales que el autor ha obtenido, junto con sus colaboradores, en los últimos 4 años. La mayoría de estos resultados ya han aparecido como artículos publicados en revistas de investigación, y, en algunos casos, los resultados han sido citados por otros autores en la liter- atura. Algunas contribuciones más recientes forman parte de los preprints que están disponibles en la web y/o se han enviado a revistas. Al final de este resumen, se proporciona una lista de las publicaciones del autor, en las que se basan los resultados de esta tesis.
Introducción histórica
Un problema clásico del Análisis Matemático consiste en la representación de una función f como una suma (infinita)
f =
∞
∑
n=1
anen,
en términos de una colección dada de “funciones básicas” {e1, e2, . . .}, y una sucesión de es- calares an. Algunos ejemplos clásicos son las series de Taylor y de Fourier. En la terminología moderna de Análisis Funcional, se consideran expansiones con respecto a bases (de Schauder), o incluso sistemas más generales, como frames o diccionarios. Por otro lado, uno de los ob- jetivos principales en Teoría de Aproximación es encontrar buenas aproximaciones de un ele- mento f en términos de sumas finitas de m términos,
Am(f) =
∑
n∈Λ
λnen,
para un conjunto adecuado Λ={n1, . . . , nm} y escalares λn (posiblemente diferentes de an).
Se define entonces un algoritmo de m términos como un procedimiento determinístico por el cual a cada elemento f y cada m ≥ 1, se asigna un conjunto Λ de m elementos y coeficientes λj como hemos comentado anteriormente. La teoría de aproximación basada en m términos busca buenos algoritmos para los cuales el error k f − Am(f)k sea comparable al mejor error de
aproximación con m términos:
σm(f):=inf n
f−
∑
n∈B
bnen
: |B|=m, bn∈Fo .
A lo largo de esta tesis, k · k será una norma en un espacio de Banach prefijadoX, sobre un cuerpo F. La elección de X no debe ser arbitraria, puesto que debe contener la clase de elementos f que uno desea estudiar y la norma debe ser la adecuada para esta clase, es decir, valores pequeños de k f − gk deben implicar que f y g son “parecidos”. Además, supondremos queB={e1, e2, . . .} será una base deX de tal forma que a cada x ∈ X, se le asocia una única expansión
x=
∞
∑
n=1
e∗n(x)en,
con {e∗1, e∗2, . . .} los funcionales biortogonales. En la mayoría de los casos, el ejemplo más usual de este tipo de estructura es la base de Schauder, sin embargo, nuestros resultados son válidos en un contexto más general: bases de Markushevich (ver la Definición 1.1.1), donde la anterior expansión es solamente formal, pero la asignación de coeficientes es única. Ejemplos típicos de bases de Markushevich son el sistema trigonométrico y el sistema wavelet en los espacios Lp, 1 ≤ p < ∞, y también los ejemplos clásicos de bases en Análisis Funcional.
El segundo ingrediente en esta tesis es el Thresholding Greedy Algorithm (TGA), el cual es un procedimiento de selección de m términos que escoge, para cada x ∈X y m ≥ 1, el conjunto Λ correspondiente a los m coeficientes de x más grandes en módulo, es decir,
Gm(x) =
∑
n∈Λ
e∗n(x)en,
dondeΛ es un conjunto tal que |Λ|=my
minn∈Λ|e∗n(x)| ≥ max
n6∈Λ|e∗n(x)|.
La definición precisa de (Gm)∞m=1 se puede consultar en el Capítulo 2. El TGA fue propuesto por S. V. Konyagin y V. N. Temlyakov en 1999 ([60]), y sus propiedades han sido desarrolladas y estudiadas en otros trabajos posteriores por varios autores como S. J. Dilworth, N. J. Kalton, D. Kutzarova, P. Wojtaszczyk, etc (ver [31, 32, 84]). Algunas contribuciones posteriores, más relacionadas con algunos problemas planteados en esta tesis, han sido llevadas a cabo por F.
Albiac, J. L. Ansorena, G. Garrigós, E. Hernández, T. Oikhberg, etc (ver [3, 4, 11, 35, 44]).
Algunos de estos resultados se explican brevemente a continuación y, seguidamente, pro- cederemos a describir las principales contribuciones del autor en esta tesis doctoral, poniendo de manifiesto las diferencias con respecto a trabajos anteriores en la literatura.
Estructura de la tesis y principales resultados
Describimos a continuación los detalles principales de cada uno de los seis capítulos en los que esta tesis está estructurada.
En el Capítulo 1, se introducen las herramientas básicas, notaciones y definiciones que se usarán en toda la tesis. Concretamente, estudiaremos la noción de bases de Markushevich,
Schauder y bases incondicionales. Adicionalmente, se introducirán las llamadas funciones de democracia: con la notación usual 1ε A=∑n∈Aεnen, con ε = (εn)ny |εn|=1,
ϕu(m):= sup
|ε|=1,|A|≤m
k1ε Ak, ϕl(m):= inf
|ε|=1,|A|≥mk1ε Ak.
La función ϕues la función de democracia por la derecha y ϕles la función de democracia por la izquierday ambas funciones juegan un papel fundamental en la teoría de algoritmos greedy.
Finalmente, presentamos algunos lemas referentes a convexidad, los cuales estarán presentes en toda la tesis y nos servirán de ayuda para las principales caracterizaciones de bases tipo greedy.
En el Capítulo 2, estudiaremos la eficiencia del TGA con respecto a una clase de bases especiales en espacios de Banach. En primer lugar, analizaremos las bases quasi-greedy. S. V.
Konyagin y V. N. Temlyakov [60] definieron estas bases como aquellas en las que existe una constante positiva C tal que
kx − Gm(x)k ≤ Ckxk, ∀x ∈X,∀m ∈ N.
Más tarde, P. Wojtaszczyk [84], probó el siguiente resultado fundamental en esta teoría:
Teorema ([84]). Una baseB en un espacio de Banach X es quasi-greedy si y solo si
m→lim+∞
kx − Gm(x)k=0, ∀x ∈X.
Por tanto, asumiendo que una base es quasi-greedy, desde el punto de vista de aproximación, solo estamos suponiendo que el algoritmo converge. Esta es a menudo la hipótesis minimal para el estudio de otras propiedades del algoritmo. En este capítulo, presentaremos una prueba de este teorema que simplifica y corrige algunos pasos de la prueba original y que es válida para bases de Markushevich. Los detalles se encuentran en la Sección 2.1, concretamente en el Teorema 2.1.4, y dicha prueba forma parte de un trabajo original del autor conjuntamente con F. Albiac, J. L. Ansorena y P. Wojtaszczyk en [8].
Seguidamente, presentaremos las llamadas bases greedy. S. V. Konyagin y V. N. Temlyakov [60] definieron las bases greedy como aquellas en las que el algoritmo produce la mejor aprox- imación salvo constante, es decir, existe una constante absoluta C tal que
kx − Gm(x)k ≤ C σm(x), ∀x ∈X,∀m ∈ N.
La mejor constante que verifica esta condición se denota por Cgy se denomina constante greedy deB en X. Un resultado fundamental de S.V. Konyagin y V. N. Temlaykov [60], considerado como el inicio de esta teoría, es el siguiente:
Teorema ([60]). Una base de MarkushevichB en un espacio de Banach X es greedy si y solo siB es incondicional y democrática.
Recordar que(en)∞n=1es democrática si, denotando por 1A=∑n∈Aen, se tiene que k1Ak ≤ Cdk1Bk, para cualesquiera |A| ≤ |B| < ∞,
con Cd constante finita y absoluta.
Respecto a este teorema, centramos nuestra atención en estudiar algunas variantes de la
prueba original, basadas en ideas similares, produciendo algunas mejoras cuantitativas en la acotación de la constante Cgen términos de las constantes de democracia y de incondicionalidad (ver Teorema 2.3.7). Estas variantes vienen dadas en términos de extensiones de la propiedad de democracia, las cuales se definen en la Sección 2.2. Las técnicas que se usan en este contexto serán de utilidad para capítulos posteriores. Por otro lado, como aplicación especial del Teo- rema 2.3.7, se recupera el resultado clásico presentado por F. Albiac y P. Wojtaszczyk ([11]), donde los autores caracterizan las bases greedy de constante Cg=1 en términos de la llamada Propiedad (A).
En la Sección 2.3, proporcionamos una nueva caracterización de las bases greedy, la cual se encuentra en un trabajo original del autor y Ó. Blasco ([16]). El Teorema 2.4.2 establece lo siguiente:
Teorema 1. Una base de MarkushevichB es greedy en un espacio de Banach X si y solo si kx − Gm(x)k ≤ CDm(x), ∀x ∈X,∀m ∈ N,
dondeDm(x):=inf {kx − α1ε Ak : |A|=m, |ε|=1, α ∈F}.
En este caso,Dm(x)cuantifica el error de aproximación por m términos usando “polinomios con coeficientes de módulo constante”. Otras propiedades de este error que forman parte del trabajo [23] son estudiadas en la Subsección 2.4, y dichos resultados son una extensión del [16, Theorem 3.2], donde el autor y Ó. Blasco prueban que para cualquier base ortonormal en un espacio de HilbertH,
m→lim+∞Dm(x) =kxk, ∀x ∈H.
Concretamente, presentamos un resultado que garantiza cuando limmDm(x)se encuentra en un entorno de kxk para espacios de Banach generales, usando las funciones de democracia:
Teorema 2. SeaB una base de Schauder en un espacio de Banach X. Son equivalentes:
i) Existe una constante c tal que ckxk ≤ lim inf
m Dm(x)≤ lim sup
m Dm(x)≤ kxk, para todo x ∈X.
ii) ϕu y ϕl tienen el mismo comportamiento, es decir, o bien ambas divergen, o ambas son acotadas.
Además, si ϕl(m)→+∞ yB es monótona, entonces
m→lim+∞Dm(x) =kxk.
En la Sección 2.5, se estudian las llamadas bases almost-greedy, esto es, bases en las que existe una constante absoluta C tal que
kx − Gm(x)k ≤ C infn x−
∑
n∈A
e∗n(x)en
:|A| ≤ mo ,
para todo x ∈X y m ∈ N. Esta noción fue introducida por S. J. Dilworth, N. J. Kalton, D.
Kutzarova y V. N. Temlyakov en [32]. Estudiaremos la principal caracterización de estas bases dada en [32], y proporcionaremos alguna simplificación de la prueba proporcionando ciertas
mejores cuantitativas sobre las constantes al igual que en las bases greedy (ver el Teorema 2.5.4).
Finalmente, cerraremos este capítulo con la Sección 2.6, donde haremos un repaso sobre las llamadas bases partially-greedy, que son aquellas en la que existe una constante C verificando que
kx − Gm(x)k ≤ C x−
m
∑
n=1
e∗n(x)en
, ∀x ∈X,∀m ∈ N.
Para estas bases, el TGA siempre se comporta mejor (salvo constante) que el algoritmo lineal basado en las sumas parciales. Por otro lado, discutiremos y proporcionaremos una caracteri- zación para estas bases dada en el Teorema 2.6.2, el cual muestra una pequeña mejora sobre el resultado original dado en [32]. Además, mostraremos el primer ejemplo en la literatura de una base partially-greedy que no es almost-greedy, el cual se encuentra en el trabajo [21].
En el Capítulo 3, nos centraremos en la base de Haar, la cual es una de las bases más popu- lares dentro del mundo de las aplicaciones de algoritmos greedy. Particularmente, estudiaremos la dependencia de p para la constante greedy de esta base H (p) en el espacio Lp([0, 1)) con 1 < p < ∞. Dicha constante se denota por Cg[H(p), Lp].
Gracias a un resultado de V. N. Temlyakov, el cual fue probado en [77], sabemos que H (p) es una base greedy en Lp([0, 1))para 1 < p < ∞. Cuando p=2, esta base es ortonor- mal y la constante greedy es Cg[H (p), L2] =1. Sin embargo, cuando p 6=2, el valor exacto de Cg[H(p), Lp] es desconocido. Como la base de Haar es condicional en L1, la constante Cg[H (p), Lp]explota a infinito cuando p → 1+, y el resultado principal de este capítulo es pro- bar que la constante Cg[H (p), Lp]tiene una dependencia lineal con p y explota a infinito en L1 con orden p/(p− 1), contestando así a una pregunta planteada por T. Hytonen ([53]). Dicho resultado (Teorema 3.2.4), es parte de un trabajo conjunto con F. Albiac y J. L. Ansorena ([7]), y es el siguiente.
Teorema 3. Si 1 < p < ∞ y p∗=max{p, p/(p− 1)}, entonces Cg[H(p), Lp]≈ p∗.
Para probar dicho resultado, usaremos de forma novedosa las llamadas bases bidemocráti- cas. Estas bases fueron introducidas en [32], donde los autores querían estudiar si el sistema dual B∗ = (e∗n)∞n=1 en el espacio X∗ conservaba o no la propiedad de ser greedy siempre y cuandoB= (en)∞n=1fuera greedy enX. Con la notación usual
1ε A=
∑
n∈A
εnen, y 1∗ε B=
∑
n∈B
εne∗n,
para ε = (εn) con |εn|=1, el sistema {en, e∗n}∞n=1 es bidemocrático si existe una constante positiva Cbtal que
k1ε Ak k1∗ε0Bk∗≤ Cbm, para todo |A|, |B| ≤ m y |ε|=|ε0|=1.
En la Sección 3.1, analizaremos a fondo esta noción y demostraremos una nueva caracteri- zación de la bidemocracia en el Teorema 3.1.8. Además, en la Proposición 3.1.10, mostraremos
que si una base es incondicional y bidemocrática, entonces la base es greedy. Dicho resultado es trivial desde el punto de vista cualitativo, pero gracias a la caracterización anteriormente nombrada, obtendremos una mejora cuantitativa en la acotación de la constante greedy. Conc- retamente, si Ksu es la constante de incondicionalidad (ver Definición 1.2), hemos obtenido en [7] el siguiente resultado.
Theorem 4. Si una base de Markushevich en un espacio de Banach X es Ksu-incondicional y Cb-bidemocrática, entonces la base es Cg-greedy con
Cg≤ Ksu+Cb.
Comparado con los resultados del Capítulo 2, esta acotación superior de Cg es aditiva, lo que nos permite concluir con la acotación lineal en p de la constante Cg[H (p), Lp]como hemos resaltado en el Teorema 3.
Finalmente, en la Sección 3.3 de este capítulo, veremos la cualidad de ser greedy de la base de Haar en los espacios ponderados de Lebesgue Lp(ω). Para ello, consideraremos el espa- cio discreto de Triebel-Lizorkin fp(ω), el cual se identifica con Lp(ω)cuando la base de Haar es incondicional. Estudiaremos entonces que la base canónica en el espacio fp(ω) es greedy, bajo una condición en el peso ω que introducimos: la dyadic reverse Carleson condition (ver Definición 3.3.3), que además nos permite determinar la democracia de dicha base (ver Coro- lario 3.3.8). Como consecuencia directa, recuperamos que la base de de Haar en Lp([0, 1), ω) es greedy cuando ω pertenece a la clase Adp(ver Corolario 3.3.9). Estos resultados forman parte del artículo [17].
En el Capítulo 4, nos centraremos en las llamadas desigualdades tipo Lebesgue para el TGA. Estas desigualdades, para algoritmos generales de m términos, sirven para cuantificar la eficiencia de dicho algoritmo respecto a la mejor aproximación de m términos.
En el caso específico del Thresholding Greedy Algorithm (Gm)m, desearíamos encontrar, para cada m=1, 2, ..., la constante más pequeña Lmtal que
kx − Gm(x)k ≤ Lmσm(x), ∀x ∈X.
Observamos que Lmes acotado si y solo si la base es greedy y, en ese caso, Cg=supmLm. Para bases que no son greedy, sin embargo, se tiene que lim supmLm=∞, y queremos entonces estudiar como es el crecimiento de Lmen términos de algunas propiedades naturales de la base, como incondicionalidad, democracia, etc.
Los primeros resultados que hablan sobre estas desigualdades de tipo Lebesgue para el algoritmo greedy fueron dados bajo la condición de bases quasi-greedy (ver por ejemplo [31], [44], [38], [82] y [35]). Citamos aquí tres resultados que datan de antes de 2013: para un conjunto finito A, usamos la notación
PA(x) =
∑
n∈A
e∗n(x)en.
Definimos los parámetros de incondicionalidad y de democracia asociados a la base B = (en)∞n=1por
km= sup
|A|≤m
kPAk, kmc = sup
|A|≤m
kIdX− PAk y µm= sup
|A|≤|B|≤m
k1Ak k1Bk.
Teorema ([82]). Sea 1 < p < ∞, p 6=2 yB una base quasi-greedy en Lp. Entonces, Lm≤ cpm|1/2−1/p|, ∀m=1, 2, ...
Teorema ([31, 44]). SiB es una base quasi-greedy en un espacio de Banach X, entonces km. ln(m), ∀m=1, 2, ...
Teorema ([44]). SiB es una base quasi-greedy en un espacio de Banach X, entonces Lm≈ max{km, µm}, ∀m=1, 2, ...
Nuestra contribución en esta área ha sido proporcionar acotaciones superiores e inferiores de Lm para bases generales de Markushevich. Los primeros resultados se encuentran en el artículo [18]. Para cada m ≥ 1, definimos los siguientes parámetros, los cuales hacen referencia a la super-democracia, a la simetría de coeficientes grandes y a la cualidad de ser quasi-greedy, respectivamente:
˜µm:=sup k1ε Ak
k1ε0Bk : |A| ≤ |B| ≤ m, |ε|=|ε0|=1
,
νm:=sup
(kx+1ε Ak
kx+1ε0Bk : |A| ≤ |B| ≤ m, sup
j
|e∗j(x)| ≤ 1, A ·∪ B ·∪ x, |ε|=|ε0|=1 )
, donde A ·∪ B ·∪ x significa que A, B y supp(x)son disjuntos dos a dos, y
gm:= sup
G∈∪k≤mGk
kGk and gcm:= sup
G∈∪k≤mGk
kIdX− Gk,
dondeGk es la colección de todos los operadores greedy de orden k y kGk=supx6=0kG(x)k kxk . Algunas estimaciones que proporcionamos en [18] son las siguientes (ver Teoremas 4.1.3 y 4.1.5).
Teorema 5. SeaB una base de Markushevich en un espacio de Banach X. Entonces, para cada m≥ 1,
max{kcmνm} ≤ Lm≤ k2mc νm.
Teorema 6. SeaB una base de Markushevich en un espacio de Banach X. Entonces, para cada m≥ 1,
Lm≤ kc2m+2gm˜µm.
Estos teoremas generalizan los resultados sobre bases greedy (y almost-greedy) del Capí- tulo 2, que corresponden al caso especial cuando supmkm=Ksu, supmµm=Cd, supm ˜µm=Csd, supmνm=Ca y supmgm=Cq son constantes finitas. Los casos interesantes aparecen cuando algunas de las constantes mencionadas anteriormente son no acotadas, y estos resultados cuan- tifican como afecta la no acotación de dichos parámetros en el crecimiento de Lm.
En la última parte de la Sección 4.1, introducimos una serie de ejemplos mostrando la optimalidad de los Teoremas 5 y 6, es decir, veremos que para algunas bases de ciertos espacios, las igualdades (o equivalencias asintóticas) de las acotaciones de dichos teoremas se alcanzan (ver Ejemplos 4.1.2, 4.1.11, 4.1.12 y 4.1.14). Entre estos ejemplos, en el Ejemplo 4.1.14, mostraremos la primera base en la literatura que no es quasi-greedy pero que si es incondicional para coeficientes constantes. Todo ello se encuentra en el artículo [18].
En la Sección 4.2, intentaremos dar una nueva perspectiva de este problema. Un incon- veniente que tienen los Teoremas 5 y 6 es que las acotaciones superiores son multiplicativas, de tal forma que cuando aplicamos dichas estimaciones a bases que no son quasi-greedy ni democráticas, dichas estimaciones podrían ser no óptimas. Este es el caso, por ejemplo, del sistema trigonométrico en Lp, 1 < p < ∞, ya que
km≈ gm≈ µm≈ νm≈ m|1p−12|.
Entonces, el Teorema 5 o 6 no nos permite obtener que Lm≈ m|1p−12|, lo cual fue probado por V.
N. Temlyakov en [76]. Describimos a continuación, a groso modo, la nueva técnica desarrollada en la Sección 4.2, la cual se encuentra en el trabajo [19]. Para dos sucesiones positivas w1y w2, definimos la cantidad
Tm(w1, w2):=
m
∑
j=1
w1(j)
j ∆w2(j), donde∆w(j) =w(j)− w(j− 1), j=1, 2, ..., y
Tm(w1, w2):=min{Tm(w1, w2), Tm(w2, w1)}.
En el Teorema 4.2.16, probamos el siguiente resultado:
Teorema 7. SiB es una base de Markushevich en un espacio de Banach X, para cada m ≥ 1, Lm≤ Tm(ϕu, ϕu∗),
donde ϕuy ϕu∗son las funciones de democracia por la derecha del espacioX y X∗, respectiva- mente.
La prueba de este resultado pasa por entender los siguientes embeddings:
`1η1,→X ,→ m(η2),
donde `1η es un espacio discreto y ponderado de Lorentz y m(η) es el espacio discreto de Marcinkiewicz (ver las definiciones en las Secciones 4.2.2 y 4.2.3). Los mejores pesos posibles
para estos embeddings resultan ser dados por los Teoremas 4.2.9 y 4.2.14, los cuales dicen lo siguiente:
Teorema 8. SeaB una base de Markushevich en un espacio de Banach X. Sea w una sucesión positiva. Son equivalentes:
i) k1ε Ak ≤ w(|A|)para todo conjunto finito A ⊂N y todo |ε|=1.
ii) `1
wb,→X, conwb(j) = j∆w(j), j=1, 2, ....
Teorema 9. SeaB una base de Markushevich en un espacio de Banach X. Sea w una sucesión positiva. Son equivalentes:
(i) k1∗ε Ak∗≤ w(|A|)para todo conjunto finito A ⊂N y todo |ε|=1.
(ii) X ,→ m(w0), con w0={ j/w(j)}∞j=1.
Estos embeddings nos permiten probar el Teorema 7. En la Sección 4.3, aplicaremos este teorema en varios ejemplos y, además, recuperaremos el comportamiento asintótico de Lmpara el sistema trigonométrico. Entre estos ejemplos destacamos una nueva familia de espacios, denotada por KT(p, r), la cual proporciona una construcción natural de bases quasi-greedy condicionales y que, además, son bidemocráticas (ver Sección 4.3.5). Estas construcciones generalizan el caso KT(2, 2)que fue dado por S. V. Konyagin y V. N. Temlyakov en su artículo [60].
En el Capítulo 5, nos centraremos en el estudio de otro tipo de algoritmo greedy, el llamado Thresholding Chebyshev Greedy Algorithm (TCGA). Este algoritmo es una variante del TGA, y se define como sigue: dado x ∈X y m ≥ 1, seleccionamos primero A=supp(Gm(x)). Entonces, encontramos un elemento CGm(x)en el subespacio m-dimensional[en: n ∈ A]tal que
kx − CGm(x)k=dist(x,[en]n∈A) = min
an∈F
x−
∑
n∈A
anen .
Para bases 1-incondicionales, siempre se tiene que CGm(x) =Gm(x), pero en general, el algoritmo de Chebyshev produce siempre una mejor selección de coeficientes, lo cual hace que sea mejor para comparar kx − CGm(x)k con σm(x).
El TCGA fue propuesto por S. J. Dilworth, N. J. Kalton y D. Kutzarova en [31], y las principales características de este algoritmo fueron estudiadas allí. En particular, los autores definieron las llamadas bases semi-greedy, que son aquellas en las que el TCGA produce la mejor aproximación salvo constante, es decir, existe C tal que
kx − CGm(x)k ≤ Cσm(x), ∀x ∈X,∀m ∈ N.
La siguiente caracterización también fue probada en [31]:
Teorema ([31]). Si B es una base de Schauder en un espacio de Banach X que tiene cotipo finito, entoncesB es semi-greedy si y solo si B es almost-greedy.
La primera contribución que damos en este área es quitar la condición de cotipo finito en la anterior caracterización. Además, sustituiremos la condición de Schauder por otra más dé- bil, la cual hemos llamado ρ-admisibilidad (ver la Definición 5.1.1). Esto nos permite incluir
varios ejemplos, como bases de Cesàro y sistemas biortogonales con ciertas propiedades (ver el Remark 5.1.3). En la Sección 5.2, obtenemos lo siguiente:
Teorema 10. Sea X un espacio de Banach y B una base de Markushevich y ρ-admissible.
EntoncesB es semi-greedy si y solo si B es quasi-greedy y democrática.
Este resultado es el Teorema 5.2.1 donde, además, damos un comportamiento sobre las diferentes constantes que involucran dicho teorema. Estos resultados forman parte del artículo [15] (ver también [22]).
En la última parte de este capítulo, en la Sección 5.3, presentaremos los resultados obtenidos en el trabajo conjunto [20]. Estos resultados recogen el estudio de las desigualdades tipo Lebesgue para el algoritmo TCGA, que estudian la eficiencia de este algoritmo. Definimos entonces, para cada m=1, 2, ..., la menor constante Lchm tal que
kx − CGm(x)k ≤ Lchmσm(x), ∀x ∈X.
Para estudiar Lchm, necesitamos los siguientes parámetros que conciernen a la super-democracia disjuntay a la incondicionalidad de coeficientes constantes:
˜µmd :=sup k1ε Ak
k1ε0Bk : |A| ≤ |B| ≤ m, A ∩ B=/0, |ε|=|ε0|=1
,
γm:=sup k1ε Bk
k1ε Ak : B ⊆ A, |A| ≤ m, |en|=1
. En los Teoremas 5.3.1 y 5.3.3, probamos lo siguiente:
Teorema 11. Supongamos que B es una base de Markushevich en un espacio de Banach X.
Para cada m ≥ 1,
Lchm ≤ 1+2Km, donde K=supn,kkenkke∗kk∗.
Teorema 12. Supongamos que B es una base de Markushevich en un espacio de Banach X.
Para cada m ≥ 1,
Lchm ≤ gc2m+4 min{gm˜µm, γ2mg2m˜µmd}.
La optimalidad del Teorema 11 se encuentra en el Ejemplo 5.3.2, donde probamos que la igualdad se alcanza en este resultado. El Teorema 12 proporciona dos diferentes cotas superi- ores que envuelven los parámetros ˜µm y ˜µmd. La principal razón de ello es porque, en general, para cada m ∈N,
˜µmd ≤ ˜µm≤(˜µmd)2,
y el cuadrado es esencialmente óptimo como mostramos en el Ejemplo 5.3.7:
Teorema 13. Existe una base de Markushevich en un espacio de BanachX tal que lim sup
m→∞
˜µm
[˜µmd]2−ε =∞, ∀ε > 0.
Finalmente, en el Capítulo 6, estudiamos una extención del concepto de la aproximación por m términos para el caso ponderado. Este marco de trabajo fue introducido por A. Cohen,
R. A. DeVore y R. Hochmuth en [29] en el contexto de espacios de interpolación, y posteri- ormente, G. Kerkyacharian, D. Picard y V. N. Temalyakov introdujeron en [58] la noción de bases w-greedy. Siendo más preciosos, dada una sucesión positiva w= (wn)n≥1, consideramos la siguiente medida enN dada por
w(A) =
∑
n∈A
wn, A⊂N.
Para wn≡ 1 obtenemos la medida de contar, por lo que los nuevos casos corresponden para pesos no constantes. SiB= (en)∞n=1es una base de Markushevich en un espacio de BanachX, para cada t > 0, consideraremos la siguiente clase de aproximación
Σwt =n
∑
n∈A
anen : w(A)≤ t, |A| < ∞, an∈Fo ,
y el error de la mejor aproximación ponderada σtw(x) =dist(x,Σwt ). Entonces,B es llamada base w-greedy cuando
kx − Gm(x)k ≤ C σww(supp(Gm(x)))(x), ∀ x ∈X, m ≥ 1.
Uno de los principales resultados en [58] es el siguiente:
Teorema ([58]). Una base B de Markushevich en un espacio de Banach X es w-greedy si y solo si B es incondicional y w-democrática, donde esto último significa que para alguna constante C> 0,
k1Ak ≤ C k1Bk, para todo par de conjuntos finitos A, B con w(A)≤ w(B).
Nuestra contribución es estudiar la extensión de algunos resultados de los capítulos 2 y 5 al caso ponderado, con precisas relaciones que envuelven ciertas constantes (ver Teoremas 6.2.3, 6.2.6, 6.2.8 y 6.2.11). Además, en la Sección 6.3, proporcionamos un ejemplo de una base tipo w-greedy la cual no es greedy en el sentido usual y, además, discutiremos algunas propiedades que este ejemplo preserva dependiendo del comportamiento del peso. Estos resultados se en- cuentran dentro de los trabajos [21] y [22].
Para finalizar, al final de cada de uno de los capítulos, establecemos una serie de preguntas abiertas que serán interesantes para una investigación futura.
Lista de publicaciones
(1) F. Albiac, J. L. Ansorena, P. M. Berná, Asymptotic greediness of the Haar system in the spaces Lp([0, 1)), 1 < p < ∞. To appear in Constructive Approximation https:
//doi.org/10.1007/s00365-019-09466-1.
(2) F. Albiac, J. L. Ansorena, P. M. Berná, P. Wojtaszczyk, Greedy approximation for biorthog- onal systems in quasi-Banach spaces. Submitted (2019). https://arxiv.org/pdf/
1903.11651.pdf
(3) P. M. Berná, Equivalence between almost-greedy and semi-greedy bases. J. Math. Anal.
Appl. 470 (2019), no. 1, 218-225.
(4) P. M. Berná, Characterization of weight-semi-greedy bases. Submitted (2019). https:
//arxiv.org/pdf/1902.10986.pdf
(5) P. M. Berná, Ó. Blasco, Characterization of greedy bases in Banach spaces. J. Approx.
Theory, 217 (2017), 28-39.
(6) P. M. Berná, Ó. Blasco, The best m-th term approximation with respect to polynomials with constant coefficients. Anal. Math. 43 (2) (2017), 119-132.
(7) P. M. Berná, Ó. Blasco, G. Garrigós, Lebesgue inequalities for the greedy algorithm in general bases. Rev. Mat. Complut. 30 (2017), 369-392.
(8) P. M. Berná, Ó. Blasco, G. Garrigós, E. Hernández, T. Oikhberg, Embeddings and Lebesgue- type inequalities for the greedy algorithm in Banach spaces, Constr. Approx. 48 (2018), no. 3, 415-451.
(9) P. M. Berná, Ó. Blasco, G. Garrigós, E. Hernández, T. Oikhberg, Lebesgue-type param- eters for the Weak Chebyshev Greedy Algorithm. Submitted (2019). https://arxiv.
org/abs/1811.04268
(10) P. M. Berná, S. J. Dilworth, D. Kutzarova, T. Oikhberg, B. Wallis, The weighted Prop- erty (A) and the greedy algorithm. Submitted (2018). https://arxiv.org/abs/1803.
05052
(11) P. M. Berná, A. Pérez, A remark on the approximation with polynomials and greedy bases.
To appear in Journal of Mathematical Analysis and Applications https://doi.org/10.
1016/j.jmaa.2019.05.038.
Summary
The topics treated in this dissertation lie in the intersection between the theory of Non Linear Approximation and Functional Analysis. More precisely, our main goal during this project has been to provide a better understanding of the so called Thresholding Greedy Algorithms in the context of general bases in Banach spaces. This has become a popular research area after S.V.
Konyagin, V.N. Temlyakov and their collaborators set the basis of the theory around 20 years ago.
In this summary chapter we shall briefly review the history of this topic, stating some of the main results, and giving a brief overview of the state of the art at the beginning of this project.
Then, we shall describe the problems that we have considered in this thesis, and present our main contributions, whose proofs and details are postponed to the subsequent chapters.
This thesis is divided into six chapters, which apart from some preliminaries, compile a number of original results that the author has obtained, together to his collaborators, in the last 4 years. Most of these results have already appeared as published articles in research journals, and in some cases the results have been quoted by other authors in the literature. A few more recent contributions form part of preprints which are available in the web and/or have been sub- mitted to journals. A list of the author’s publications, in which the results of this thesis is based, is given at the end of this summary chapter.
Brief description and history
A classical problem in Mathematical Analysis consists in finding representations for a func- tion f as an (infinite) sum
f =
∞
∑
n=1
anen,
for a given collection of “basic functions” {e1, e2, . . .}, and suitable scalars an. Classical ex- amples of such representations are the Taylor expansions and the Fourier series of functions.
In the modern terminology of Functional Analysis, one considers expansions with regard to a (Schauder) basis, or even to more redundant systems (such as frames, or dictionaries). On the other hand, a main goal in Approximation Theory is to find good approximations to f in terms of finite sums, say with m-terms,
Am(f) =
∑
n∈Λ
λnen,
for a suitable set Λ ={n1, . . . , nm} and scalars λn (possibly different from an). An m-term algorithmis a deterministic procedure which to each function f and each m ≥ 1 assigns a setΛ and coefficients λj as above. The theory of m-term approximation looks for “good” algorithms (easy to implement, if possible) for which k f − Am(f)k is sufficiently close to the best m-term
error of approximation:
σm(f):=inf n
f−
∑
n∈B
bnen
: |B|=m, bn∈Fo .
Here k · k denotes the norm in a fixed Banach spaceX, over a scalar field F. The choice of X is not arbitrary, as it must contain the class of functions f one wishes to study, while the norm k · k should be adequate for this class, in the sense that small values of k f − gk must imply
“resemblance” between f and g.
In this thesis, the systemB={e1, e2, . . .} is required to be a basis of the Banach spaceX, so that each x ∈X has associated a unique expansion
x=
∞
∑
n=1
e∗n(x)en,
with {e∗1, e∗2, . . .} the coefficient functionals. In most usual examples, the systemB is a Schauder basis and the convergence holds in the norm of X. However, our results are also valid in the more general context of Markushevich bases (see Definition 1.1.1), in which the expansion above is only formal, but the assignment of coefficients is still unique. This setting includes the most typical examples in applications, such as the trigonometric and wavelet systems in Lp spaces, 1 ≤ p < ∞, and also classical examples of bases in Functional Analysis.
The second key ingredient in this thesis is the Thresholding Greedy Algorithm, which is a procedure of m-term selection that picks, for each x ∈X and each m ≥ 1, the set Λ correspond- ing to the m-largest coefficients |e∗n(x)|. That is,
Gm(x) =
∑
n∈Λ
e∗n(x)en,
whereΛ is a set with |Λ|=msuch that
minn∈Λ|e∗n(x)| ≥ max
n6∈Λ|e∗n(x)|,
(see the introduction of Chapter 2 for precise definitions). This algorithm was introduced by S.
V. Konyagin and V. N. Temlyakov in 1999 ([60]), and their properties developed in a number of subsequent papers by these and other authors, among them S. J. Dilworth, N. J. Kalton, D.
Kutzarova, P. Wojtaszczyk, etc (see [31, 32, 84]). Later contributions, more related to the prob- lems that we have considered in this thesis, have been carried out by F. Albiac, J. L. Ansorena, G. Garrigós, E. Hernández, T. Oikhberg, etc (see [3, 4, 11, 35, 44]).
Some of these results are briefly explained in the next subsection. After that, we shall describe the main contributions of the author in this doctoral dissertation, emphasizing the dif- ferences with respect to earlier work in the literature.
Structure of the thesis and main results
The present dissertation is structured in six chapters as follows.
In Chapter 1, we introduce the basic tools, notations and definitions that we will use
throughout this thesis. Concretely, we study the notions of Markushevich, Schauder and un- conditional bases. We also introduce the so called democracy functions: with the usual notation 1ε A=∑n∈Aεnen, with ε = (εn)nand |εn|=1,
ϕu(m):= sup
|ε|=1,|A|≤m
k1ε Ak, ϕl(m):= inf
|ε|=1,|A|≥mk1ε Ak,
and ϕu is the right democracy function and ϕl is the left democracy function. These functions will play a fundamental role in relation with the theory of greedy algorithms. Finally, we state some useful convexity lemmas which will be often present in this dissertation, simplifying many steps in the proofs.
In Chapter 2, we study the performance of the Thresholding Greedy Algorithm with respect to special classes of bases in Banach spaces. The first notion that we study is quasi-greediness.
S. V. Konyagin and V. N. Temlyakov [60] defined quasi-greedy bases as those bases for which there is a positive constant C such that
kx − Gm(x)k ≤ Ckxk, ∀x ∈X,∀m ∈ N.
Later on, P. Wojtaszczyk [84] proved the following fundamental result:
Theorem ([84]). A basisB is quasi-greedy if and only if
m→lim+∞
kx − Gm(x)k=0, ∀x ∈X.
Thus, in quasi-greedy bases the greedy algorithm always converges, and therefore this provides the natural (minimal) setting for the study of further properties.
In this dissertation we give a proof of this result, which simplifies and corrects some steps of the original proof, and which is valid for general Markushevich bases. The details are presented in the Section 2.1, concretely in Theorem 2.1.4, and also forms part of a original work of the author with F. Albiac, J. L. Ansorena and P. Wojtaszczyk in [8].
The second notion that we study is greediness. S. V. Konyagin and V. N. Temlyakov [60]
defined greedy bases as those for which the algorithm produces the best m-approximation up to a constant, that is,
kx − Gm(x)k ≤ Cgσm(x), ∀x ∈X,∀m ∈ N.
The least constant Cgthat verifies this condition is called the greedy constant ofB in X.
A fundamental result of S.V. Konyagin and V. N. Temlaykov [60], which is usually consid- ered as the starting point in this theory, is the following:
Theorem ([60]). A Markushevich basisB in a Banach space X is greedy if and only if B is unconditional and democratic.
Recall that(en)∞n=1is called democratic if, denoting 1A =∑n∈Aen, it holds k1Ak ≤ Cdk1Bk, whenever |A| ≤ |B| < ∞, for some finite constant Cd.
Regarding this theorem, we focus our attention in studying variants of the original proof,
which based on similar ideas, produce slightly better bounds for the constant Cgin terms of the democracy and unconditionality constants of B (see Theorem 2.3.7). These involve various notions of democracy-like properties which we define in Section 2.2. The techniques that we use in this stage will be present in many results of other chapters. As a special application of Theorem 2.3.7, we recover the classical result of F. Albiac and P. Wojtaszczyk ([11]) where the authors characterize the bases with greedy constant Cg=1 in terms of the so called Property (A).
In Section 2.3, we give a new characterization of greedy bases, which is an original work of the author with Ó. Blasco ([16]). Namely, in Theorem 2.4.2, we establish the following:
Theorem 1. A Markushevich basisB in a Banach space X is greedy if and only if kx − Gm(x)k ≤ CDm(x), ∀x ∈X,∀m ∈ N,
whereDm(x):=inf {kx − α1ε Ak : |A|=m, |ε|=1, α ∈F}.
The new functionalDm(x) quantifies the error of m-term approximation by “polynomials”
with coefficients of constant modulus. Further properties of this functional, which are part of the preprint [23], are studied in Subsection 2.4 and the results are an extension of [16, Theorem 3.2], where the author and Ó. Blasco proved that for every orthogonal basis in a Hilbert space H,
m→lim+∞Dm(x) =kxk, ∀x ∈H.
In this case, we show the following result that guarantees when limmDm(x)is in a neighborhood of kxk using the democracy functions:
Theorem 2. LetB be a Schauder basis in a Banach space X. The following are equivalent:
i) There exists a positive constant c such that ckxk ≤ lim inf
m Dm(x)≤ lim sup
m Dm(x)≤ kxk, for every x ∈X.
ii) ϕuand ϕl are divergent to infinity or bounded.
Also, if ϕl(m)→+∞ andB is monotone, then
m→lim+∞Dm(x) =kxk.
In Section 2.5 we consider almost-greedy bases, that is, those bases for which there exists a positive constant C such that
kx − Gm(x)k ≤ C infn x−
∑
n∈A
e∗n(x)en
:|A| ≤ mo ,
for all x ∈ X and m ∈ N. This notion was introduced by S. J. Dilworth, N. J. Kalton, D.
Kutzarova and V. N. Temlyakov in [32]. We study the main characterization given in [32], and discuss simplifications in the proof which give slightly better estimates on the constants (see Theorem 2.5.4).
Finally, we close the chapter with Section 2.6, where we briefly review the concept of partially-greedy bases, which are those with a positive constant C verifying
kx − Gm(x)k ≤ C x−
m
∑
n=1
e∗n(x)en
, ∀x ∈X,∀m ∈ N.
For these bases the m-greedy algorithm always performs better (modulo C) than the m-partial sum of the basis. We give a characterization result, Theorem 2.6.2, which slightly improves the original statement in [32]. We also provide the first example in the literature of a partially- greedy basis which is not almost-greedy. This last example is part of the paper [21].
In Chapter 3, we study a question regarding the Haar system, which is one the most popular bases in the applications of greedy algorithms. More precisely, we study the dependence on p of the greedy constant Cg[H (p), Lp]of the (normalized) Haar systemH(p)in the space Lp([0, 1)) with 1 < p < ∞.
In an early result of the theory, V. N. Temlyakov proved in [77] thatH (p) is a greedy basis in Lp([0, 1))when 1 < p < ∞. When p=2, it is an orthonormal basis and the greedy constant Cg[H (p), L2] =1. However, when p 6=2, the exact value of Cg[H(p), Lp]is not known. Since the Haar system is not unconditional in L1and L∞, one expects that Cg[H (p), Lp]should grow to infinity when p → 1+or p → ∞. In the first part of this chapter we prove that the growth rate is linear in p, answering a question that was raised by T. Hytonen ([53]). The concrete result (see Theorem 3.2.4), is part of the paper [7], and can be stated as follows.
Theorem 3. If 1 < p < ∞ and p∗=max{p, p/(p− 1)}, then Cg[H(p), Lp]≈ p∗.
To prove this result we use in a fundamental and novel way the notion of bidemocratic basis. This property was introduced in [32] when considering the greediness of the dual system B∗= (e∗n)∞n=1in the spaceX∗. With the usual notation
1ε A=
∑
n∈A
εnen and 1∗ε B=
∑
n∈B
εne∗n,
for ε = (εn) with |εn|=1, a biorthogonal system {en, e∗n}∞n=1 is called bidemocratic if there exists a positive constant Cbsuch that
k1ε Ak k1∗ε0Bk∗≤ Cbm, for all |A|, |B| ≤ m and |ε|=|ε0|=1.
In Section 3.1, we study throughly this notion, and obtain a new characterization in Theorem 3.1.8. Moreover, in Proposition 3.1.10, we show that a basis is greedy if it is unconditional and bidemocratic. Qualitatively, this result is trivial since bidemocracy implies democracy, but we have an improvement with respect to the boundedness constant. Denoting by Ksu the suppression unconditionality constant (see Definition 1.2), we obtain in [7] the following result:
Theorem 4. If a Markushevich basis in a Banach space is Ksu-unconditional and Cb-bidemocratic, then the basis is Cg-greedy with
Cg≤ Ksu+Cb.
Compared to the results in Chapter 2, this bound of Cg is additive, and allows to derive the linear bound in p asserted in Theorem 3 above.
Finally, in the last Section 3.3 of this chapter, we study the greediness of the Haar system in the weighted Lebesgue spaces Lp(ω). More precisely, we consider the discrete space of Triebel-Lizorkin type fp(ω), which identifies with Lp(ω) when the Haar system is an uncon- ditional basis. We then study the greediness of the canonical basis in this space, under very general conditions in the weight ω. Namely, we introduce a new condition in ω, that we call dyadic reverse Carleson condition, (see Definition 3.3.3), that allows us to determine democ- racy of the basis (see Corollary 3.3.8). As a consequence, we recover that the Haar system in the weighted space Lp([0, 1), ω)is greedy when ω is in the class Adp (see Corollary 3.3.9). These results are part of paper [17].
In Chapter 4, we turn to the so called Lebesgue type inequalities for the greedy algorithm.
These inequalities, for a general m-term algorithm, serve to quantify its performance with re- spect to the best m-term approximation.
In the specific case of the Thresholding Greedy Algorithm(Gm)m, we wish to find, for each m=1, 2, ..., the smallest value of Lmsuch that
kx − Gm(x)k ≤ Lmσm(x), ∀x ∈X.
The parameters Lmquantify the worst possible performance, over all elements x ∈X, of the m- greedy algorithm with respect to the best m-term approximation. Observe that Lm is bounded if and only if the basis is greedy with Cg=supmLm. For non-greedy bases, however, we will have lim supmLm=∞, and we wish to quantify the rate of growth of Lm in terms of natural properties of the basis, such as the unconditionality, democracy, etc...
The first results about Lebesgue-type inequalities for the TGA were given under the condi- tion thatB is quasi-greedy (see e.g. [31], [44], [38], [82] and [35]). We quote here three such results prior to 2013. We use the notation
PA(x) =
∑
n∈A
e∗n(x)en,
when A is a finite set. We define the conditionality and democracy constants associated with the basisB= (en)∞n=1by
km= sup
|A|≤m
kPAk, kcm= sup
|A|≤m
kIdX− PAk and µm= sup
|A|≤|B|≤m
k1Ak k1Bk.
Theorem ([82]). Let 1 < p < ∞, p 6=2 andB a quasi-greedy basis in Lp. Then, Lm≤ cpm|1/2−1/p|, ∀m=1, 2, ...
Theorem ([31, 44]). IfB is a quasi-greedy basis in a Banach space X, then km. ln(m), ∀m=1, 2, ...
Theorem ([44]). IfB is a quasi-greedy basis in a Banach space X, then Lm≈ max{km, µm}, ∀m=1, 2, ...
Our contribution in this topic has been to provide lower and upper bounds of Lmfor general Markushevich bases. The first set of results is contained in the paper [18]. We use the following parameters associated with the super-democracy, the symmetry for largest coefficients and the quasi-greediness:
˜µm:=sup k1ε Ak
k1ε0Bk : |A| ≤ |B| ≤ m, |ε|=|ε0|=1
,
νm:=sup
(kx+1ε Ak
kx+1ε0Bk : |A| ≤ |B| ≤ m, sup
j
|e∗j(x)| ≤ 1, A ·∪ B ·∪ x, |ε|=|ε0|=1 )
, where A ·∪ B ·∪ x means that A, B and x are pairwise disjoint, and
gm:= sup
G∈∪k≤mGk
kGk and gcm:= sup
G∈∪k≤mGk
kIdX− Gk,
whereGk is the collection of all greedy operators or order k and kGk=supx6=0kG(x)k
kxk . Some estimates that we give in [18] are the following (see Theorem 4.1.3 and 4.1.5 below).
Theorem 5. LetB be a Markushevich basis in a Banach space X. Then, for each m ≥ 1, max{kcmνm} ≤ Lm≤ k2mc νm.
Theorem 6. LetB be a Markushevich basis in a Banach space X. Then, for each m ≥ 1, Lm≤ kc2m+2gm˜µm.
These theorems generalize the results about greedy (and almost-greedy) bases in Chapter 2, which correspond to the special case when supmkm = Ksu, supmµm =Cd, supm ˜µm =Csd, supmνm=Caand supmgm=Cqare all finite constants. The new interesting cases appear when some of the sequences km, gm, µm, ˜µmand νmare not bounded, and theorems quantify how this affects the growth of Lm.
In the last part of Section 4.1, we give a number of explicit examples that show the opti- mality of Theorems 5 and 6, in the sense that we can illustrate situations where equalities (or asymptotic equivalences) are attained (see Examples 4.1.2, 4.1.11, 4.1.12 and 4.1.14 below).
Among these we shall distinguish Example 4.1.14, as the first instance of a non-quasi-greedy basis which is unconditional for constant coefficients. All the results in Section 4.1 are con- tained in paper [18].
In Section 4.2, we try to give a different perspective to this problem. One drawback of Theorems 5 and 6 is the multiplicative nature of the estimates, which when applied to bases which are simultaneously not quasi-greedy and not democratic, produce typically non-optimal
results. This is the case, for instance, of the trigonometric system in Lp, 1 < p < ∞, since km≈ gm≈ µm≈ νm≈ m|1p−12|.
So, Theorems 5 or 6 will not recover the known result Lm≈ m|1p−12|, proved by V. N. Temlyakov in [76], in another early achievement of this theory.
We now describe the approach taken in Section 4.2, whose results are contained in the paper [19]. For two positive sequences w1and w2, we define the quantity
Tm(w1, w2):=
m
∑
j=1
w1(j)
j ∆w2(j), where∆w(j) =w(j)− w(j− 1), j=1, 2, ..., and
Tm(w1, w2):=min{Tm(w1, w2), Tm(w2, w1)}.
In Theorem 4.2.16, we prove the following result:
Theorem 7. IfB is a Markushevich basis in a Banach space X, for each m ≥ 1, Lm≤ Tm(ϕu, ϕu∗),
where ϕuand ϕu∗are the right democracy functions ofX and X∗, respectively.
The proof of this result passes through a careful understanding of the following embeddings,
`1η1,→X ,→ m(η2),
where `1η is a discrete weighted Lorentz space and m(η) is the discrete Marcinkiewicz space (see precise definitions in Sections 4.2.2 and 4.2.3). The best possible weights for these embed- dings turn out to be given by Theorems 4.2.9 and 4.2.14, which can state as follows:
Theorem 8. LetB be a Markushevich basis in a Banach space X. Let w be a positive sequence.
Then, the following are equivalent:
i) k1ε Ak ≤ w(|A|)for all finite A ⊂N and all |ε|=1.
ii) `1
wb,→X, withwb(j) = j∆w(j), j=1, 2, ....
Theorem 9. Let B be Markushevich basis in a Banach space X, and w a positive sequence.
Then, the following are equivalent:
(i) k1∗ε Ak∗≤ w(|A|)for all finite A ⊂N and all |ε|=1.
(ii) X ,→ m(w0), with w0={ j/w(j)}∞j=1.
Using these embeddings, we are able to obtain the proof of Theorem 7. In Section 4.3, we test the theorem in numerous examples, and recover in particular the optimal behavior of Lmfor the trigonometric system. Among these examples we outline a new family of spaces, denoted by KT(p, r), which give natural constructions of conditional quasi-greedy bases, that in addition are bidemocratic (see Section 4.3.5). These constructions generalize the case KT(2, 2) which was proposed by S. V. Konyagin and V. N. Temlyakov in their celebrated paper [60].
