Sistemas competitivos o cooperativos con coeficientes periódicos

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS

TESIS DOCTORAL

MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR PRESENTADA POR

Luis Jesús Ledesma y Otamendi

DIRECTOR:

Alfredo Somolinos Fernández-Nespral

Madrid, 2015

© Luis Jesús Ledesma y Otamendi, 1983

Sistemas competitivos o cooperativos con coeficientes periódicos

Departamento de Ecuaciones Funcionales

L u i s J e s û s de L e d e s m a y O t a m e n d i

[C \ Î H M i

5 3 0 9 8 6 6 5 1 1

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE

y - 5 % -

S I S T E M A S C O M P E T I T I V O S O C O O P E R A T ! V O S C O N C O E F I C I E N T E S PERIOOT CO;

D e p a r t a m e n t o de E c u a c i o n e s E u n r i o n a l e s Fac.iiltad de C i e n c i a s M a t e m â t i r a s U n i v e r s i d a d C o m p l u t e n s e de M a d r i d

1984

P I B D O T E C A

J e s û s de L e d e s m a y O t a m e n d i

Edita e imprime la Editorial de la Universidad Complutense de Madrid. Servicio de Reprograffa Noviciado, 3 Madrid- 8

Madrid, I984 Xerox 9200 XB 48O

Deposito Legal: 11-19185-1984

CON COEFICIENTES PERIOOICOS

LUIS DE LEDESMA OTAMENDI

Tesis D octoral d ir ig id a por e1

Dr. ALFREDO SOMOLINOS FERNANDEZ-NESPRAL Ponente, Dr. ALFONSO CASAL PIGA

FACULTAO DE CIENCIAS MATEMATICAS - UNIVERSIDAD COMPLUTENSE MADRID, FEBRERO, 1983

por lo de la s c a rre ta s .

I N D I C E

CAPITULO I . - In tro d u c e io n .

1. M o tiv a c io n ... 1

2. Formulacion g e n e ra l ... 3

CAPITULO I I . - Planteamiento de problemas. 1. E x is te n c ia de soluciones p e rio d ica s no t r iv i a le s ... 5

2. A cotacion ... 7

3. A n a lis is g lo b al de todas la s soluciones ... 8

4. F uerte no lin e a lid a d ... 8

CAPITULO I I I . - Algunos metodos u tiliz a d o s en el estudio de ecuaciones d ife re n c ia le s no lin e a le s con c o e fi c i entes p e riô d ic o s . 1. In tro d u c c iô n ... 10

2. El mêtodo de pequenas perturbaciones ... 10

3. El método del operador de t r a s la c i ô n ... 13

4. Hétodos basados en la te o r ia de la b ifu rc a c iô n ... 16

6. Puntos f i j o s de operadores en espacios fu n c io n a le s . Teoria del grado. Funciones gufa... 19

CAPITULO IV .- A p iic a c io n e s . 1. In tro d u c c iô n ... 29

2. Competiciôn e n tre dos especies. Soluciones p e riô d ic a s y s o lu c io ­ nes acotadas... 29

3. El método de la s funciones gufa. La ecuaciôn lo g is t ic a ... 42

4. El método de las funciones g u ia . Competiciôn ... 48

CAPITULO V .- A nalisis global de todas las soluciones.

1. In tro d u c ciô n ... 59

2. El operador de tr a s la c iô n a lo la rg o de soluciones ... 60

3. D e fin ic io n e s ... 61

4. Comportamiento g lo b al de la s soluciones ... 62

5. Unicidad y e s ta b ilid a d de la s soluciones p e riô d ic a s ... 63

6. Conclusiôn ... 66

CAPITULO V I . - El método de la s funciones b a rre ra . 1, In tro d u c c iô n ... 67

2. D e fin ic iô n de punto s in re to rn o ... 69

3 .4 .5 .6 . Resultados sobre funciones b a rre ra y puntos s in re to rn o .. 69

7. Api icaciones ... 74

H. Nota ... 76

CAPITULO V I I . - A p lic a c iô n de la té c n ic a de la s funciones b a rre ra . 1. In tro d u c ciô n ... 77

2. Competiciôn ... ... 77

3. S im b io sis ...88

3 .1 . Caso en que e x is te n soluciones p e riô d ic a s ... 89

3 .2 . Caso en que no e x is te n soluciones p e riô d ic a s ... 103

BIBLIOGRAFIA ... 110

1. Motivaclôn.

La Interaccidn de poblaciones de d is tin ta s especies es un problema formulado materniticamente desde hace tiempo. Recwérdense los primeros trabajos de V o lte rra (1926) y Lotka (1925) que dieron lu g a r, entre otros muchos resultados, al sistema de ecuaciones que lle v a su nombre; nombre que, por extension, se a p lica a toda una cla^

se de sistemas de ecuaciones d ife re n c ia le s no lin e a le s que sirven co mo modèle para muy diversas interacciones entre varias especies vivas.

En el modelo c lls fc o todos los co e ficie nte s son constantes, se tra ta de un sistema autdnomo. En este tra b a jo , en cambio, pretende mos ocuparnos de un caso mis general en el cual esos co e ficientes sean funciones periôdicas del tiempo.

Los problemas matemiticos que esa generalizaciôn plantea son numerosos y muy interesantes. En el c a p itu le I I se hace una breve pre sentaciôn de los mis importantes y en el I I I resumimos algunas de las têcnicas u tiliz a d a s para abordarlos. La mera consideracidn de esa l i s ta de problemas y tic n ic a s permite darse cuenta de que se tra ta de cues^

tiones profondes y que abarcan una gran cantidad de campos, dentro y fuera de la te o ria de ecuaciones d ife re n c ia le s b rd in a ria s .

Por o tra p a rte , los trabajos realizados hasta ahora o bien se quedan en un piano general ô bien, al pasar a lo concrete, dejan parte de los problemas sin re so lve r. Por eso, nuestra primera motiva_

ciôn ha sido la de in te n ta r c o n tr ib u ir al d e s a rro llo de tic n ic a s apli^

cables a una gran variedad de casos al mismo tiempo que tratamos de contester a todas las preguntas de verdadero in te ré s que se puede uno hacer ante un problema concrete. Tales respuestas constituyen el conte nido de los capîtulos IV , V y V II y , en dicho ca p itu le V II, aplicamos a nuestro caso la técnica de las funciones barrera, expuesta en el VI , que, como acabamos de d e c ir, amplia los mêtodos générales de estudio de

fie r e .

Las a p iica cio n e s del sistema que pretendemos e s tu d ia r co n stitu ye n nuestra segunda m otivaciôn y desde ese punto de v is ta parece n a tu ra l la consideraciôn de c o e fic ie n te s p e riô d ic o s s i se tie n e n en cuenta la s o s c ila c io n e s a la s que se h a lla expuesto c u a l q u ie r parSmetro e co lô gico : la m eteorologfa, lo s recursos a lim e n ti_

c io s , las êpocas de apareamiento, caza o pesca, e tc . Sin embargo y por lo que sabemos, hasta muy recientemente no se ha emprendido con c ie r ta ge n e ra lidad un estu d io de ta ie s sistemas ,con c o e fic ie n _ tes p e riô d ic o s . Los primeros tra b a jo s se deben a Cushing, datan de 1976 (véase Cushing (1977^) y tambiën Cushing (1976^)) y fueron impulsados por la experimentaciôn y la s co n je tu ra s de biôlogos y e s p e c ia lis ta s en problemas de poblaciôn. Por ejemplo U tida (1957) sugiere que una dependencia de los c o e fic ie n te s respecte del tiem po podrîa e x p lic a r las o s c ila c io n e s obtenidas en sus estudios ex perim entales. Koch (1974) por su p a rte propone un mecanismo de de gradaciones p e riô d ica s y casi c a ta s trô fic a s del ambiente para e x p ll ca r la supervivencia y o s c ila c iô n de un ecosistema de dos especies que en un medio ambiente constante te rm in a rfa con la e x tin c iô n de la especie " i n f e r i o r " .

En nuestro caso, curiosam ente, nos interesamos por e l pro blema de las soluciones p e riô d ica s de sistemas con c o e fic ie n te s pe_

riô d ic o s de una forma muy parecida y cuando todavfa no conocTamos lo s tra b a jo s que acabamos de c i t a r . La idea surge por un a r tfc u lo de Bremermann (1979) en el que considéra dos subpoblaciones de la bac t e r ia E .C o li. Una de e lla s es capaz de m e ta b o liz a r glucosa y la o tr a la c to s a . Suponiendo que la glucosa abunda en in v ie rn o y la la cto sa en verano, si siempre fuese in v ie rn o (o , para el caso, verano) una de la s dos subpoblaciones "e x te rm in a rîa " a la o tra . Sin embargo, en eli cuadro de la n a tu ra l o s c ila c iô n in vie rn o -ve ra n o las dos subpoblacio nés pueden c o e x is tir , oscilando e lla s tambiën a su vez.

tambiën. Parece, pues, n a tu ra l fo rm u la rlo mediante ecuaciones con c o e fic ie n te s p e riô d ico s e in te re s a rs e én p a r t ic u la r por la s solucio^

nes p e riô d ic a s de ta le s ecuaciones. Ese e s , precisamente, el o b je to de nuestro tra b a jo .

2. Formulâciôn g e n e ra l.

Consideremos e l sistema de ecuaciones d ife re n c ia le s n

( b j - c ^ j Uj ) i = 1 , 2 , . . . n

como modelo de la in te ra c c iô n de n especies cuyos "tamanos"

(ndmero de in d iv id u o s , cantidad de biomasa, e t c ) , u^ , son fu n _ clones del tiem po. Como es bien sabido, b^ es la tasa i n t r i n _ seca de cre cie m ie n to de la poblaciôn i-esim a en ausencia de cual^

q u ie r acciôn in te re s p e c ffic a o in tra e s p e c T fic a . De esas acciones dan cuenta, por un la d o , lo s c o e fic ie n te s - c ^ j , 1 j que miden la in flu e n c ia de la especie j sobre la e voluciôn de la especie i y , por o tra p a rte , lo s c o e fic ie n te s - c^^ que miden la a u to lim ita ^ ciô n 0 lo s "fenômenos s o c ia le s " in te rn e s de la especie i . En este tra b a jo supondremos siempre que estoS û ltim o s c o e fic ie n te s , - c .^ , son n e g a tive s. Los signos de lo s re sta n te s c o e fic ie n te s , - c . j , i? *j, que c o in cid e n con lo s de lo s elementos de la llamada m a triz comunita r ia (vëase May (1973)) , tie n e n una s ig n ific a c iô n b io lô g ic a muy d ire c ta . Cuando son n u lo s , deîatan la ausencia de re la c iô n e n tre dos especies y , en g e n e ra l, determinan e l tip o de in te ra c c iô n que se l i a ma p o s itiv a , n e u tra , o negative segûn que - c . j se p o s itiv e , n u lo , 0 n e g a tiv e . A s f, por ejem plo, s i considérâmes e l par de elementos - c ^ j y - C jj podetnos dar una l i s t a de todos lo s tip o s p o sib le s de in te ra c c iô n e n tre la s especies 1 y j por medio de pares formados con los signos + , 0 y - : independencia compléta (0 0 ) comensalis^

mo (+ 0 ) , p a ra sitism e ( - 0 ) , sim b io s is (+ +) , com peticiôn ( — ) y predador- presa (+ - ) . Cuando se consideran todos lo s c o e fic ie n te s

ra los dos casos extremes de la gama: com peticiôn ( - c ^ j < 0 , 1 g i , j ( n , i ^ j ) y sim b io sis tambiën llamada m utualisme, co£

peraciôn y com peticiôn n e g a tiv a , ( - c ^ j > 0 , 1 < i , j ( n , i f j ) y las aplicaremos a l caso mis frecuentemente e stu d ia d o , n = 2, donde ss revelan genuinamente y s in lim ita c io n e s la s acciones in te re sp e c£

fic a s . En e fe c to , lo s in te n te s de e s tu d ia r lo s casos con n > 2, véa^

se por ejemplo Cushing (1976^) , lle v a n aparejadas muchas veces con__

diciones de " d e b ilid a d " de dichas acciones (acotaciones muy e s tr ic ta s de lo s c o e fic ie n te s .c ^ j con i ^f j ) ilu s tra n d o el p r in c ip le general de que el aumento de complejidad en el modelo de un ecosistema pare ce tr a e r consi go una përdida de e s ta b ilid a d e s tru c tu ra l en muchos c£

S O S . Vëase tambiën Smale (1966).

Nota. Aunque esto no a fe cta a la s conside.raciones que à c^

bamos de hacer, debe recordàrseques a lvo menciôn e x p lic ita en c o n tra , se supondri siempre que lo s c o e fic ie n te s b^ , , c ^ j son fu n cio nes periôdicas de periodo T o , mis brevemente, funciones T-periôdj^

cas.

1. E x is te n c ia dé soluciones p e riô d ic a s no t r i v i a l e s . 1 .1 . Debido a la forma de! sistema

û i = U i( b i ( t ) - C i i ( t ) Ui - Ci2( t ) u2) b , , c . . funciones T -p e rio d ic a s

IJ2 = U 2 ( b 2 ( t ) - C a ( t ) U i - C2Z ( t ) U 2 ) C i l , C22 > 0

c 12 ,c a > 0 0 C 12 ,C21 < 0 planteado en e l c a p ftu lo a n te r io r , es c la ro que Ui = 0 , U2 = 0 es una so lu ciô n de (1 ) tr iv ia lm e n te p e riô d ic a y no es d i f i c i l detno^

t r a r (vëase por ejemplo IV 3 ) que e x is te n o tra s dos soluciones T-pe riô d ic a s situadas sobre lo s eje s de coordenadas, a saber ( 0 , u ^ ( t ) ) y ( u , ( t ) 0) con u^ soluciones T -p e riô d ic a s no nulas de la ecu£

ciôn lo g is t ic a

^ i - c ^ , ( t ) U j ) .

Sin embargo, siendo (1 ) un sistema que pretende s e r v ir de modelo del comportamiento de dos poblaciones, parece n a tu ra l in te re s a rs e por soluciones U i ( t ) , U z ( t ) en la s que no se anule ninguna de la s dos componentes y que definim os como soluciones no t r iv i a le s . D e fin ic iô n : Diremos que (u jjU z ) es una s o lu ciô n no t r i v i a l de (1) s i es s o lu c iô n y para todo t se tie n e

U i ( t ) > 0 U 2 ( t ) > 0.

No podemos p re s d n d ir de la s trè s soluciones (0 ,0 ) (Uj ,0) (O^Ug) a que nos acabamos de r e f e r i r . Tienen in te ré s por s i m i^

mas como casos lim it e y tambiën en re la c iô n con la s soluciones no t r iv i a le s (pueden verse la s secciones I I I . 4 , V.5 y la s re fe re n c ia s

1.2 El prim er problema que se plantea respecte a las soluciones T -p e riô d ic a s no t r iv i a le s es el de su e x is te n c ia y de é l nos ocu^

paremos en c a p itu le s p o s te rio re s en diverses contextes y con d i^

tin ta s té c n ic a s . Al gunas de esas té cn ica s (p o r ejem plo, la de la s funciones g u ia , I I I . 5) dan inform aciôn sobre e x is te n c ia , pero no perm iten p re c is a r demasiado la regiôn de R* donde se encuén_

tra n la s soluciones T -p e riô d ic a s cuya e x is te n c ia se a firm a . En o tra s p a la bra s, no sabemos s i se tr a ta de soluciones t r iv i a le s o no. Para re s o lv e r esa d if ic u lt a d recurrirem os frecuentemente al s ig u ie n te cambio de v a ria b le s

(4 ) Xj = lo g Ui X; = lo g Uz

que transform a ( 1 ) , re s trin g id o al prim er cuadrante (u i > 0 , U z> 0) en e l sistema

Xi = b i ( t ) - Cn ( t ) e * - C j2 ( t ) e ^ (5)

X2 = b z (t) - C21 ( t ) e * - C22 ( t ) e^^

con la s ig u ie n te propiedad de comprobaciôn inmediata

1.3 Lema : A toda so lu ciô n T -p e riô d ic a no t r i v i a l , U j.U z, de (1) corresponde una soluciôn T-periÔ dica , x j,X2, de (5) dada por

x i ( t ) = lo g U i ( t ) X2( t ) = lo g U z ft)

y , recîprocam ente, a cada s o lu ciô n T -p e riô d ic a ( t r i v i a l 0 no) , X i,X2, de (5) corresponde una s o lu ciô n T -p e riô d ic a no t r i v i a l , U i,U2 de (1) dada por

No parece necesarlo i n s i s t i r en que la u t i l idad del cam bio (4) y el lema a n te r io r re sid e en que la mera demostraciôn por un método cu a lq u ie ra de la e x is te n c ia de soluciones para (5) nos da automSticamente soluciones no t r iv i a le s de (1 ).

1 .4 . El hecho de interesam os por soluciones de (1) que sean T -p e riô d ic a s no creemos que re q u ie ra una la rg a ju s t if ic a c iô n : Se tr a ta de un problema con una la rg a tr a d ic iô n , lo sugiere natural^

mente la p e rio d ic id a d de lo s c o e fic ie n te s de (1) y , desde e l pu£

to de v is ta de la s a p lica cio n e s y la comprobaciôn de lo s ré s u lta dos, la s soluciones T -p e riô d ic a s son la s ûnicas observables en el mundo f î s ic o . Para te rm in a r, sefialemos que la te o ria confirm a mu_

chas veces esta y o tra s co n je tu ra s con resultados ta ie s como el teorema V.4.2 segûn e l cual toda so lu ciô n de (1 ) es T -p e riô d ica 0 tiende a una so lu ciô n T -p e riÔ d ica .

2. AcotâCiôn.

Hemos dedicado una p a rte considerable de este tra b a jo (véanse lo s c a p itu lo s VI y V II ) al problema de d e lim ita r de fo r ma c o n s tru c tiv a la regiôn del espacio donde se encuentran la s so luciones T -p e riô d ic a s , y q u iz is ahî esté la mayor o r ig in a lid a d de dicho tra b a jo . Por una p a rte se c o rrig e la im precisiôn que en este aspecto presentan o tro s métodos o rientados preferentemente a la demostraciôn de e x is te n c ia y que lle v a in c lu s o a no poder d e c id ir s i la s soluciones cuya e x is te n c ia se afirm a son o no t r iv i a le s (véase la secciôn a n te r io r ) . Pero, ademSs, y como es o b vio , la aco ta c iô n de la regiôn que contiene la o la s soluciones T -p e riô d ica s afiade una in fo rm a ciô n , que puede ser p re c io sa , a la de su mera e xis te n c ia . En e l fondo, se tr a ta de medir de alguna forma la am plitud de las o s c ila c io n e s de un sistema y eso tie n e una gran im p o rta n cia , por ejem plo, en el caso fre cu e n te de que se estén buscando s o lu c io

c a p ftu lo VI y ap lica d o en el V II proporclona la e x is te n c ia de so^

lu cio n e s T -p e riô d ica s no t r iv i a le s precisamente mediante la con^

tru c c iô n del conjunto donde deben encontrarse. In c lu s o cuando la e x is te n c ia no puede demostrarse, el método proporclona e stim acio nes de la am plitud de la s posibles o s c ila c io n e s .

3. A n ilis is global de todas las soluciones

En un modelo b io lô g ic o nos in te re s a d e lim ita r e l nûmero y tip o de soluciones p o s ib le s . En co n c re te , nos in te re s a e x c lu ir e l fenôineno del "caos" en el que un sistema d e te rm in ts tic o presen_

ta respuestas cuasi a le a to ria s . Este fenômeno se da cuando bay so luciones con in f i n it é s périodes d ife re n te s y soluciones no p e riô dicas que no tienden a ninguna de la s p e riô d ic a s . Veremos en e l C£

p îtu lo V que este fenômeno no acaece en nuestro caso y , lo que es m is, que no bay soluciones subharmônicas.

Igualmente in te re s a n te es la pregunta sobre el nûmero y e s ta b ilid a d de la s soluciones p e riô d ic a s .

U tiliz a n d o el operador de tra s la c iô n podremos c o n te s ta r todas estas preguntas al mismo tiempo y dar una imagen g lobal del f l u j o del sistema (1 ) en el prim er cuadrante. S e r l, como decimos, el contenido del c a p ftu lo V.

4. Fuerte no l in e a l id a d .

Quisiêramos poner de m a n ifie s to para te rm in a r que, pese a la s e n c ille z de planteam iento del sistema ( 1 ) , lo s problemas que hemos propuesto en las a n te rio re s secciones de este c a p ftu lo r e v i^

ten una espèciàl d i f i c u lt a d , rasgo comûn, por o tr a p a rte ,a numerosas ecuaciones d ife re n c ia le s que rig e n la evoluciôn de sistemas para lo s cuales se desea p ro d u c ir o im pedir la a p a ric iô n de fenômenos pie riô d ic o s . La e x is te n c ia de soluciones T -periÔ dicas no es un problema

te lig a d a a numerosos e in te re s a n te s problemas que desbordan e l marco de Ta te o r ia de ecuaciones d ife re n c ia le s : b ifu rc a c iô n , a n â lis is fu n c io n a l, te o r ia del grado to p o lô g ic o , e tc . (vease el c a p itu le I I I ) En nuestro caso, ademis, se t r a ta de un problema fuertem ente no l i _ neal en el se n tid o de que im vamos a e s tu d ia r (1) como una p e rtu rb ^ c iô n del sistema lin e a l

ÿ i = y i b i ( t )

y 2 = y z b g ft)

(Las h ip ô te s is que para e l lo ha b rla que hacer sobre la magnitud de lo s c o e fic ie n te s c ^ j q u ità rlà n casi todo el in te ré s a nuestro pro blema). Por eso aquî vamos a mantener el sistema (1) en toda su ge n e ra lid a d aûn a costa de te n e r que r e c u r r ir a mêtodos mis s o fis ti^

cados y contentâm es a veces con re su lta d o s menos b r illa n t e s en lo que se r e f ie r e a u n icid a d y e s ta b ilid a d (Es e l caso de la s condi_

clones r e s t r ic t iv e s que se imponen en e l c a p itu le V para obtener e s ta b ilid a d . Véanse la s secciones V . l , V .5,5y V .5 .6. )

I I I . ALGUNOS METODOS UTILIZADOS EN EL ESTUDIO PE ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES CON COEFICIENTES PERIODICOS.

1. In tro d u cc iô n

( 1 )

Tenemos formulado un sistema

Û = u [ b i ( t ) - a n ( t ) u - 8)2 ( t ) v ] V = V [baCt) - a21 ( t ) u - 322 ( t ) v ]

con c o e fic ie n te s p e riô d ic o s , que engloba d ive rse s tip o s de in te jr acciones e n tre las especies u y v , y tenemos (c a p itu le I I ) una s e rie de problemas planteados, sobre to d o , respecte a sus po s ib le s soluciones p e riô d ic a s . No pretendemos reseMar todo lo que se ha in te n ta d o para re s o lv e r ta le s problemas. Séria ta n to como repasar la h is to r ia de las ecuaciones d ife re n c ia le s desde que Poincaré d ijo de la s soluciones p e riô d ica s que eran " la ünica brecha de entrada a una plaza tenida por inexpugnable". En este c a p itu le nos lim itarem os a cuatro de lo s métodos mis conocidos.

La e le cciô n se ha hecho sobre todo teniendo en cuenta que los i cu a tro han sido u tiliz a d o s recientem ente en e l mismo contexte matemIticD y b io lô g ic o que aquT tenemos planteado. Por o tra p a rte , s irv e n tambiën como in tro d u c ciô n a lo s métodos que fo r _ man el contenido mis propio y o rig in a l de e ste tra b a jo (véanse lo s c a p itu lo s VI y s ig u ie n te s ) y que pueden considerarse como e l peldano s ig u ie n te a lo que en e l présente c a p itu le se v e r l.

2. El método de pequenas p e rtu rb a cio n e s.

De una forma muy general podemos d e c ir que la ecuaciôn d ife r e n c ia l

(2) X = s ( t , x )

es una p e rtu rb a clô n de

(3 ) X = r ( t , x ) rC t + T ,x ) = r ( t , x ) , V t e R

s i la d ife re n c la r - S es "pequena" en la norma del espacio fu n c io n a l propia de que se t r a te (funciones c o n tin u a s ,lip c h i cia n a s, d ife re n c la b le s , e tc . )

Cuando se t r a ta de e s tu d ia r la ecuaciôn perturbada, ( 2 ) fbaslndose en alguna inform aciôn p re via sobre la ecuaciôn no perturbada ( 3 ) , se acostumbra a c o n s id e ra r segundos miembros de (2 ) de alguna de las s ig u ie n te s formas

(4 ) SxCt.x) = h j ( t , x , e )

(5) S z (t,x ) = r ( t , x ) + h z ( t ,x , e )

(6) S j( t , x ) = r ( t , x ) + E h3( t , x , e ) .

E pertenece , en g e n e ra l, a algûn espacio R"", m c u a lq u ie ra , s a lv o , naturalm ente, en ( 6 ) , donde ha de ser m = 1. Sobre la s funciones h^ se supone que h j converge a r para e 0 ,hz converge a cero y (6 ) es un caso p a r t ic u la r de (5) en el que la convergencia de hz se e x p lic it a e s c rib ie n d o h; = ehs .

Como hemos d ic h o , todos lo s métodos requieren informa^

ciô n sobre la e x is te n c ia de soluciones p e riô d ica s de (3) y sobre s i son 0 no t r iv i a le s . A p a r t ir de ahi lo s procedim ientos v a ria n grandemente. Mencionamos lo s métodos que u t iliz a n el operador de tra s la c iô n y el grado to p o lô g ic o en R" (véase K ra sn o se lskii

(1966), B ershtein-H alanay (1956), Amelkin-G aishun-Ladis (1976) y este c a p ftu lo , secciones 3 y 4 ) , e l método del promedio ( c f r . Haie (1 9 6 9 )), lo s métodos que re cu rre n a l a n â lis is fu n cio n a l ta ie s como las ecuaciones de b ifu rc a c iô n (véase Haie (1969))o la

in v e s tig a c iô n de puntos f i j o s de operadores e n tre espacios de fu ii clones T -p e riô d ic a s (véase la secciôn 5 de este c a p ftu lo ) y un mé todo, uno de lo s muchos llamados^de P o in ca ré", que u t i l i z a el teo^

rema de la fu n ciô n im p lf c it a y , cuando es p o s ib le , 16s d e s a rro llo s en s e rie de potencies ( c f r . John (1955) y Coddington-Levinson (1955)) Sobre la a p lic a c iô n de este û ltim o vamos a detenernos brevemente,

Rosenblat (1980) considéra el sistema (1) como un caso p a r t ic u la r de (2) con

u

V

y s exactamente el segundo miembro de (1) con b j ( t ) = 6^

(7 ) y .

+ c

Y ii , K jj constantes p o s itiv a s y co n tin u a , T -p e riô 1’ ' i j ' ' i j

dica y coh v a lo r medio n u lo .

f ( * i j( s ) d s = 0

,

De esta form a, s es del tip o ( 4 ) ,y (3) no es sino un sistema de com peticiôn con c o e fic ie n te s constantes

(8 )

u - u (b j - a il u - a i jv ) V = v( bz - a z i u - a z z v )

cuyas soluciones T -p e riô d ic a s son puntos c r f t ic o s perfectamente conocidos.

Una a p lic a c iô n d ire c ta y s in com plicaciones de la conti^

nuaciôn de P oincaré, perm ite a firm a r la e x is te n c ia de una ûnica s o lu c iô n T -p e riô d ic a de (1) con (7) en un entorno de cada punto de q u i li b r io de (8 ) ; s o lu c iô n que tie n d e a dicho punto cuando

E 0.

Si se pretende alguna forma de lo c a liz a c iô n de ta ie s so lu cio n e s T -p e riô d ic a s (u ,v ) , se pueden estim ar lo s valores medios de u ( t ) y v ( t ) haciendo h ip ô te s is a d icio n a le s de a m lit ic id a d de

* j j ( t ) y d e sa rro lla n d o uCt) y v ( t ) en se rie s de potenèia de e .

Por métodos standard de l in e a l iz a c iô n en un entorno de la s o lu c iô n , se obtienen condiciones de e s ta b ilid a d en términos de lo s c o e fic ie n te s (7 ) . Los d e ta lle s pueden verse en el c ita d o a r t îc u lo de Rosenblat que, en cuanto a e s ta b ilid a d , se lim it a a e s tu d ia r soluciones t r iv i a le s o prôximas a las t r iv i a le s .

Conclùimos aquî esta se cciô n , aunque no por f a lt a de in^

te rê s de! método en s î mismo. El método es potente y lo s sistemas con pequeRas perturbaciones se dan a menudo en problemas con tra s fondo r e a l. Basta c i t a r ecuaciones como la de D u ffin g con todo su c o rte jo de fa scin a n te s propiedades. Lo que ocurre es que en nuestro problema, la d ife re n c ia e n tre la s ecuaciones con c o e fic ie r^

te s v a ria b le s y las mismas ecuaciones con c o e fic ie n te s constantes, no tie n e porque ser "pequeRa", en g e n e ra l. Eso hace que h ip ô te s is como la (7 ) sean excesivamente r e s t r ic t iv a s y que tratem os, a par^

t i r de la prôxima secciôn,dé problemas con o s c ila c io n e s "g ra n d e s ", aunque, en palabras del mismo Rosenblat , "Sean mucho mis d i f î c i _ le s de t r a t a r a n a lîtic a m e n te ".

3. El método del operador de tr a s la c iô n .

Se tr a t a , cronolôgicam ente, del prim er procedim iento s is te m â tic o para el e stu d io de soluciones p e riô d ic a s , y se basa en un hecho muy s e n c illo que tratamos de poner de m a n ifie s to en la observaciôn y el lema que siguen.

Sea

(3) x ' = r ( t , x ) r ( t + T ,x ) = r ( t , x ) , V t

una ecuaciôn T -p e riô d ic a y x ( t ) una so lu ciô n de la misma. Se de_

muestra s in d i f i c u lt a d , s in mis que suponer unicidad de la s s o lu c io nes de (3) , que s i

x ( T + T) = x{t)

para ^ v a lo r t de t , entonces x ( t ) es T -p e riÔ d ic a . Si la s o lu c iô n , X (t;0 ,X o ) , de (3 ) que pasa por Xgpara t = 0 e s t ! d é fin i^

da para todo Xo en un conjunto A no vacfo y para todo t en [o , T ], se puede in tr o d u c ir el operador de tr a s la c iô n

(9) P : Xo 6 A ^ Pxo = x (T ;0 ,k “ ) 6 R"

y , del comentario a n te r io r , se deduce inmediatamente e l s ig u ie n te lema

3.1 Lema

Si (3) s a tis fa c e condiciones de u nicidad en un conjunto D c R" . no vacîo ta l que e l operador P in tro d u c id o en (9) e s t!

d e fin id o , la condiciôn necesaria y s u fic ie n te para que (3) tenga una s o lu c iô n T -p e riô d ic a es que P tenga un punto f i j o x q . La s o lu ciô n T -p e riô d ic a es entonces x ( t ; 0 , x ^ ) .

3.2 El método del operador de tr a s la c iô n c o n s is te , pues, en técnj^

cas que perm itan comprobar que una ecuaciôn dada se encuentra en las h ip ô te s is del lema a n te r io r . La p a rte mis e s p e c tfic a de dichas h i_

potes is es la que se r e fie r e al punto f i j o de P . Se tr a ta de resol^

ver la ecuaciôn trascendente

(10) P X 0 = Xo

0 lo que es lo mismo

( 1 0 ') x(T ;0,X o) = Xo .

(10),0 para e l caso (1 0 ') , son e l prim er ejemplo de "ecuaciones de b ifu r c a c iô n " , o "condiciones de p e rio d ic id a d ", que aparece en conexiôn con la e x is te n c ia de soluciones p e riô d ica s de una ecua_

ciô n d ife r e n c ia l y esa idea reaparece de una u o tra forma en todos los mêtodos que se re fie re n a dicho problema.

Por o tra p arte no debe perderse de v is ta que el mêtodo debe ocuparse tambiën de la s o tra s dos partes de la h ip ô te s is de 3 .1 ., a saber, la unicidad de (3) en D y la p ro lo n g a b ilid a d de soluciones en A, por lo menos al in te rv a lo [ 0 , t ] . La obser_

vaciôn no es ociosa cuando se re co rre la l it e r a t u r a y se tro p ie z a con las diverses condiciones que cada a u to r ha decidido imponer a la s ecuaciones de que se tr a te : a veces una sola condiciôn da cuenta de v a ria s de las h ip ô te s is de 3 .1 . , o tra s veces c o n d ic io _ nes y re su lta d o s interm edios deben encadenarse para lle g a r a una sola de e lla s (habitualm ente la e x is te n c ia de so lu ciô n de Pxo = x o ) ,

K ra sn o se lskii y la escuela rusa de Voronesh han u t i l i z ^ do ampllamente e l mêtodo en su forma tr a d ic io n a l (brevemente , cuando (10) se resuelve en un espacio de dimension f i n i ta ) que es la que nos in te re s a en esta secciôn. Véanse K ra s n o s e ls lii

(1968) y su b ib lio g ra fT a . En la secciôn 5 aludiremos a desarro^

11os p o s te rio re s de esta escuela.

Evidentemente no han sido los ûnicos en ocuparse del tema.Côddihgton y Levinson (1955), aludidos en la secciôn ante_

r i o r , resuelven e l problema de las pequenas perturbaciones re _ duciéndolo a una ecuaciôn del tip o ( 1 0 ') . Es muy in te re s a n te el re c ie n te d e s a rro llo del método en conexiôn con la te o ria de sistemas dinâm icos, véanse de M ottoni y S c h ia ffin o (1981) , H irsch (1982) , Haie y Somolinos (1982). Por û ltim o , presén_

tamos aquf un re s u lta d o de Massera (1950) con in te n c iô n de apli^

c a rlo en e l prôximo c a p itu le al problema que nos ocupa,(véase IV .2 ).

3.3 Lema (Massera)

Sea la ecuaciôn

(3) x ' = r ( t , x ) r ( t + T ,x ) = r ( t , x ) , T > 0 , V t ,

con r 6 C(RxD.R^) , y D c R^ un dominio a b ie rto simplemente conexo. Supongamos que (3) tie n e s o lu c iô n ûnica por cada punto de RxD y que todas las soluciones estS acotadas, entonces exis^

te una so lu ciô n T -p e riô d ic a de (3 ).

La demostraciôn puede verse en Massera (1950) o Yoshizawa (1975) que c it a a Massera . Notemos solamente, en re la c iô n con to d o lo dicho en e l p a rra fo a n te r io r , que la h ip ô te s is fundamental

(acotaciôn de todas la s soluciones de (3 )) asegura por un lado la p ro lo n g a b ilid a d de soluciones y la v ia b ilid a d de la d e fin ic iô n del operador de tr a s la c iô n , P ; y , por o tr o , perm ite a p lic a r a P uno de los teoremas del punto f i j o de Brouwer. Con e llo * 3 .3 . no es sino una a p lic a c iô n de 3 . 1 . , ta l como habiamos anunciado.

4. Mêtodos basados en la te o r ia de la b ifu rcaciô n .

4 .1 . De forma complementaria al môtodo de la secciôn a n te r io r , présentâmes la a p lic a c iô n de Cushing (Cushing (1976^a(1980)) ha hecho de la te o r ia de la b ifu ra c iô n en una gran variedad de con te xto s b io lÔ g ic o s . Aquî nos lim itarem os a resum ir lo s re su lta d o s re fe re n te s al sistema (1) (Véase Cushing (1980^ ) y las re fe re n _ c i as que a l l f se encuentran ).

Decimos "de forma complementaria" porque los métodos derivados del operador de tra s la c iô n daban inform aciôn sobre to das la s soluciones y sobre la e s tru c tu ra g lo b al de las soluciones p e riô d ica s y sus dominios de a tra c c iô n , m ientras que aquî se tr a ta de probar que e x is te una fa m ilia u niparam étrica de soluciones p e riô d ica s no t r iv i a le s que hacen un papel c o r r é la tiv e al de lo s

puntos c r f t i c o s en los sistemas autônomos. En e fe c t o , si supone mos constantes los c o e f i c l entes de (1) , se tienen los cuatro pun tos c r f t i c o s siguie nte s

(

.

)

^i®22 ” bgaii “ bia2i

E, = { - ,

1

, b, E2 = ( ~ ,0 )

Oil bz

Ej = ( 0 , —^ ) , A = an 322 “ 3i2 321 •

° z

Puesto que estamos interesados en soluclones no t r i v i a l e s veamos quê valores , |X)r ejemplo de b2, hacen que E, no sea t r i v i a l . Imponemos que sus coordénadas sean p o s itiv a s y se tiene

321 322

bi - — < bï < bi - — s i A > 0

311 3i2

322 321

bi - — < b2 < bi - — s i A < 0 .

312 3ij

a a

AdemSs , cuando b2 toma los valores extremes, bi , b i - ^ ,

311 3j2

El se i d e n t i f i c a con E2, Es, respectivamente. Es d e c ir E i, en funcidn de ba, se puede considerar como una rama bifurcada de Ea que lo conecta con E j. Esto es lo que motiva el tr atamiento que aqiiî se da a (1) en el caso de coe ficie nte s peridJicos y que se concrete en el sigu ie n te teorema. (La demostraciôn puede verse en Cushing (1980^).

4.2 Teorema (Cushing)

Sean b i ( t ) , a , j ( t ) , p%(t) functones de ta le s que p2 = 0^^^ , Bi > 0 y a ^ jC t) > 0 para todo t . En estas c o h d i ciones e x is te uri c o n tin u o ^^' p o s i t i v o ^ * ^ C ^ c Cj x C j x R con las s ig u ie n te s propiedades

(a) ( u . v . u ) e C^ tmpHca que ( u , v ) es una solucifin T-p eriÔdica no t r i v i a l de (1) con ba = p + pa

(b) C^ estS acotado y su adherencia contlene a (uo .O .p i)

y (O.Vo.Ua) donde

Pi = f I 321 ( t ) U o ( t ) d t > 0

y Uo.Vo son soluclones de ûo = Uo(bi - u , ) , Oo = v ^ f b ; - aaaV*) con ba = P2+ Pa para c i e r t o p a > 0 . Por ta n to

(c) El conjunto M de numéros reales p para los cuales

e x is te n u,v e Cy ta le s que ( u , v ,p ) e Ct es ùn in te rv a l© f i n i t e contenido en y cuya adherencia contlene a Pi y Pa • M r e c i _ be el nombre de espectro .

SegOn habfamos anunciado, (a) y (b) afirman que

es una fa m il ia de soluclones periôd ic as dependiente del parSmetro p ( v a lo r medio, Ba, de ba) , p e M , que se b i f u r c a de la so^

lu c iô n periôdic a t r i v i a l ( u * , 0 ) . (p podrîa haberse elegid o igual al promedio de bi , es ûnicamente cuestiôn de notaciôn)

(1) Cy : espacio de Banach de funclones continuas y T -pe riô dic as con la norma del supremo

(2) Las mayusculas designan el promedio de la v a r i a b le correspondieii

te : - fT

P z = Y P a ( t ) d t , e tc .

^ 0 (3) Continue: conjunto conéxo

(4) P o s it iv e : s i ( u , v ,p ) e C^ , entonces u ( t ) , v ( t ) > 0 para todo t .

4 .3 . El mêtodo de b ffu rc a c id n permite tambiên e s tu d ia r la estabjÊ l ld a d de la s soluclones p e riô d ic a s . Como antes,se parte de una observaciôn sobre l a e s ta b i l id a d del punto c r f t i c o no t r i v i a l en el caso autônomo. Para (1) con c o e fic ie n t e s constantes se cumple l a rég la del intercam bio de e s ta b i l id a d propia de los fenômenos de b ifu r c a c i ô n . En e fe c t o , el punto c r T t i c o E, es esta ble s i y solamente s i a > 0 , es d e c i r , s i Ej b i fu r c a de Eg en el v a lo r

biBzi

c r f t i c o de — —— hâcia l à dérécha , bg > p i , y Ej pasa de e sta ble a i nestable cuando p a tr a v ie s e el v a lo r pi . Recfpro camente, cuando A < 0 , Ej b i f u r c a de Ej hacia la izquie rd a , bg < Pi » y es in e sta b le mientras que Eg pasa de i nestable a es^

ta b l e . Cuando se permite que los c o e fic ie n t e s sean funclones pe_

riô d ic a s el comportamiento es cu a lita tiv a m e n te igual salvo que las condiciones necesarias y s u fi c i e n te s para la e s t a b ilid a d de Ej en toda la rama desde Ej a E, se co nvierte n aquf en condiciones para la e s ta b ilid a d de la solucîôn p e riô d ic a no t r i v i a l , v i l i d a s localménte , en un entorno del v a l o r c r f t i c o p , . Por o tr a p a rte , el papel que hacfan b j y a lo hacen ahora sus promedios Bg y

Ap = Y j A (t)d t

de forma que Ap > 0 es la condiciôn necesaria y s u f i c i e n t e de e s ta b ilid a d de ( u , v , p ) e C^ en un entorno de ( u o , 0 , p i ) . Ade_

mSs Cushing obtiene condiciones s u fi c i e n te s de e s t a b ilid a d para todo ( u , v , p ) e C * . Los d e t a i l es pueden verse en el a r t î c u l o c i ta d o . Cashing (1980 ^ ) . No in s is tim o s més en el tema pues se sale del propôsito de este c a p ft u lo y sera o b je to de un estudio mSs detenido en el V.

5. Puntos f i j o s de operadores en espacios fu hcionale s. Teorfa del qrado. FunCiones g ü fa .

5 .1 . Concluimos este c a p ft u lo con una técnica de J.Mawhin (Mâwhin (1969)

a (1972 ) ,Rouché-Mawh1n (1973))que co n s titu ye uno de los métodos mâs fecundos para demostrar la existen cla de soluclones p e riôd ic a s.

A modo de introd uc ciôn conviene recordar que l a e x is te n c ia de so luc iô n lo ca l del problema de Cauchy para una ecuadôn d i f e r e n c i a l x = f ( t , x ) se reduce a la de un punto f i j o de l a apHcaciÔn

(11) X 6 C ( I ) M ( x ) ( ' ) = xo + f f ( s , x ( s ) ) d s e C (I)

d e fin id a en C (I) , funclones continuas en un i n te rv a l© compact©

I , que es un espacio de Banach. De la misma forma puede intentar^

se r e d u c ir el estudio de las soluclones T-periÔdicas de una ecu^

ciôn T -p eriô d ica al de los puntos f i j o s de c i e r t a a p lio a c iô n M die f i n i d a y con valores en C j, d e fin id o en la pSgina 18.. . La ob_

tenciôn de M no es tan inmediata como para el problema de Cauchy, pero , como vamos a ver en seguida, no présenta grandes d i f i c u l t a _ des. (El operador d e fin id o en (11) no resuelve este problema: la p r i m i t i v e de una funciôn T -p eriôd ic a no es , en g eneral, T -p e riô _ d ic a . )

5.2 . Consideremos la ecuaciôn d i fe r e n c i a l

(12) X = f ( t , x )

con f continua y T -periôdic a de R x en r” . Sea y : R ^ R^

continua , T -p eriôd ic a y , por l o demës, a r b i t r a r i a . Por la te o r ia standard de soluclones periôdicas se sabe que l a ecuaciôn lin e a l no homogénea

(13) X = f ( t , y ( t ) )

tie n e soluciô n T -periôdic a s i y solo s i

(14) } f f ( t , y ( t ) d t = 0

^ 0

condiciôn de ortogonalidad en tre f y las soluciones T -periôdic as de x ' = 0 , ecuaciôn adjunta de la parte homogénea de (13). Esto nos sugiere la s ig u ie n te m odificaciô n de (13)

(15) X = f ( t , y ( t ) ) - I I f ( s . y ( s ) ) d s

que nos proporciona una ecuaciôn con soluclones T-periôdic as para toda y e Cy. (La condiciôn anôloga a (14) se v e r i f i c a automStica^

mente, el promedio del segundo miembro de (15) es c e ro ). Ademâs se tie n e la forma e x p l i c i t a de las soluciones T-periÔdicas de (15)

(16) x ( t ) = c + I [ f ( r , y ( r ) ) - y | f ( s , y ( s ) d s ] dr

con c e r” a r b i t r a r i o . Desgraciadamente, (15) no es exSctamente la ecuaciôn (12) que estamos estudiando, pero podemos aprovechar l a informaciôn obtenida hasta ahora con v is ta s a obtener soluciones T -periôdic as de (12) Si en (16) cambiamos y por x se tie n e

(17) x ( t ) = c +

f

f

ecuaciôn in te g r a l cuyas soluciones son T -periôdic as y s a tisfa cen la ecuaciôn d i f e r e n c i a l

X = f ( t , x ( t ) ) - y j f ( s , x ( s ) ) d s . (18)

0

(18) sigue s in ser (1 2 ); pero, puesto que la d ife r e n c ia con (12) no es mis que la "constante" y | f ( s , x ( s ) ) d s que depende de la funciôn incô gnita x , podemos c o n je tu ra r que una m o difica ciô n convenient© de la "constante" c en (17) nos l l e v a r l a una ecua_

ciôn in te g r a l equivalent© a (12) (NÔtese que (17) im p lica c = x(0 ) ), Tomemos para c la expresiôn p a r t i c u l a r

h ;

c = x(0) + y f ( s , x ( s ) ) d s .

Toda soluciô n x, de la ecuaciôn deducida de (17)

1 f T , t , -T

(19) x (t )= x ( 0 )+ y I f ( s , x ( s ) ) d s + j [ f ( r ( , x ( r ) ) - y j f ( s , x ( S ) d s ] dr

1 0 ’’ 0 0

v e r i f i c a r l de nuevo (18) , pero ademis serS t a l que

x (0 ) = x(0) + y j f ( s , x ( s ) ) d s

0

es d e c ir

M,

0, en otras palabras, x serâ T-periÔdica y soluciô n de (12).

Hemos llegado donde nos proponîamos. El segundo miembro de (19) define un operador de Cy en Cy cuyos puntos f i j o s son las soluciones T-pe r iô d ic a s de (12). El re cîpro co tambiên es c i e r t o .

5.3 . Con v is t a s a obtener un campo de aplic aciones tan grande como sea p o s ib le , el operador correspondiente a (19) se construye p a rt ie ji do de una ecuaciôn de la forma

(20) X = A ( t ) x + f ( t , x )

con A: R ^ R ^ ^ continua y T -p e riô d ic a (( 12) es el caso p a r t i c u l a r A=0) y haciendo pequenas modificaciones consistantes en la in tro d u c_

ciôn de una m a triz a r b i t r a r i a no s i n g u la r J como f a c t o r de 1 fT

y f ( s , x ( s ) ) d s , el cambio de x (0 ) por su v a lo r medio y la a d i_

i 0

ciôn y sustracciô n de un nuevo têrmino constante. Omitimos los deta l i e s de la co nstru cciô n, bastante larg a por razones té c n ic a s , y def1[

nimos el operador Mj por la igualdad

M. X =

(f I

(y

s 1 fT

K [ f ( * , x ( ' ) ) - I ( f f ’ ( T , x ( T ) ) (t ) d T ) Ij;.]

i = l ^{' J o} ' '

donde la s primas in d ica n tr a n s p o s ic iô n , (j)^ , son, respectivamente las soluciones T -p e riô d ic a s linealm ente independientes de

5 = A ( t ) x

X = - A ' ( t ) x

y K es el operador que asocia a la funciôn b la ûnica soluciô n T -p e riô d ic a de la ecuaciôn x = A { t ) x + b ( t ) . (En el caso A = 0,

son una base de y K se reduce a

K [z] ( t j =

f

-

f ( f

^ 0 \ ^ 0

Mj a p l ic a Cy en Cy (cuando f : R x D ^ R" hay que s u s t i t u i r Cy por el conjunto ô = (x e Cy f x ( t ) e D Vt e R) ) y se tie n e el s ig u ie n te re s u lta d o cuya demostraciôn puede verse en Rouché-Mawhin (1973)

5 .4 . Teorema (Mawhin)

La ecuaciôn d i f e r e n c i a l (20) tie n e una soluciô n T -p e riô d ica s i y solamente s i el operador Mj tie n e un punto f i j o .

El operador Mj y o tr o s v a r i o s , adaptaciones de Mj a d1^

versos problèmes, se emplean siste m iticam e nte para el estudio de las soluciones p e riô d ic a s de c u a lq u ie r t i p o de ecuaciones d ife r e n c i a le s . Cuando se t r a t a de ecuaciones con pequenas pertu rba cio ne s, basta la ayuda del teorema de la s tran sform ée iones c o n tr a c tiv a s para i n v e s t i _ gar los puntos f i j o s de Mj o el operador de que se t r a t e . No es el caso de las ecuaciones fuertemente no l in e a l es, como la ( 1 ) , para las que se necesitan métodos mis s o fis tic a d o s como la t e o r i a del grado to polôgico.

5.5 El l e c t o r no fa m il ia r iz a d o con dicha t e o r ia puede con su lte r los resumenes que hacen RoucheMawhIn (1973) o S a ttin g e r (1973) o bien las exposiciones c la s ic a s de Heinz (1959) o J.T.Schwarz (1964) que in clu ye la o r i g i n a l de Leray Schauder (1934) Aqui nos l i m i t a r e mos a recordar que el grado to p olôg ic o (de Leray-Schauder) de E - T (E la id e n tid a d , T una a p lic a c iô n completamente c o n t i n u a defin1[

da en un espacio de Banach X) respecte a D c X ( a b i e r t o , acotado) y D e R es una a p lic a c iô n de la terna (E - T,D o) en el conjunto de

los numéros reales (enteros) que escribiremos

d : (E - T,D,o) d(E - T,D,o) e Z.

(La d e f i n i c i ô n exige que (E - T)x f 0 para todo x e 3 D ) . Para lo que sigue tambiên necesitamos recordar que

5.6. Teorema de e x is te n c ia de Kronecker. En las condiciones de 5.5 , si

d(E - T,D,0) / 0

e x is te al menos un x e D t a l que (E - T)x = 0

5.7. In v a riâ n c ia por homotopias. Sea T

T : D X [0,1] ^ X

una a p lic a c iô n totalmente continua t a l que. (E - T ) ( x , x ) ^f 0 para todo X e 3D y para todo Xe [0 ,1] , si definimos

T^ ; X e D T (x ,x ) e X x e [0,1]

entonces d(E - T^,D,0) esta bien d e fin id o y es independiente de X .

(1) Se d ice que T es completamente continua en un conjunto acotado A c X si es continua en A y T(A) es relativamente compacte. Para aplic a cio ne s l in e a l e s , équivale a la compacidad de un operador l i n e a l

U a p lic a c iô n de los resultados a n te rlo res al problema que nos ocupa descansa sobre dos observaclones fondamentales. En primer l u g a r , por el teorema 5 .4 , hemos reducido l a demostraciôn de e x is te n c ia de soluciones T -p e riô dic as de (20) a la de puntos f i j o s del operador Mj, o bien ceros del operador E - M j . Segûn el teorema 5 .6 , habremos demostrado que ta ie s ceros existe n si podemos v e r i f i c a r que (E - Mj)x f 0 para todo x e 9 0 y

121) d(E - Mj,D ,0) i 0

en algûn F c Cy (o, respectivamente, en 6 ).

En segundo l u g a r , hay que n o tar la extrema d i f i c u l t a d que présenta el c â lc u lo e f e c t iv o del grado de Leray-Schauder (21) salvo en casos muy p a r t ic u l a r e s . El teorema 5,7 permite evijtar esa d i f i c u l t a d dando la p o s ib ilid a d de c o n s t r u ir la a p lic a c iô n T^

de forma que T i = M j y To sea " s e n c i l l a " , por ejemplo, que tome sus valores eh un subespacio de dimensiôn f i n i ta de Cy (res^

pectivamente, g ) l o que s i m p l i f i c a notablemente el cSlculo del grado to po lô gic o de E-To . Como 5.7 asegura que

d(E-T^ ,0 ,0 ) = d(E -T „,D,0) = d(E-Tj ,0 ,0) = d (E -M j,0 ,0 )

el c a lc u le de (21) se reduce al de d ( E - T o , 0 , 0 ) .

Estas son, muy resumidas, las ideas que lle v a n al siguien^

te re s ultad o fundamental de Mawhin (Véase Mawhin (1969a ) (1969b ) y Rauche-Mawhin (1973)).

5.8. Teorema (Mawhin) Sea la ecuaciôn

(22) z = r ( t , z )

con r una funciôn T -p e riô d ic a r : R x R" + R", y la ecuaciôn

(23) z = X r ( t , z )

donde X puede ser cua lq u ie r numéro en [ 0 , l ] . Si e x is te R > 0 t a l que

(a) Para cada X e (0 ,1 ] toda soluciô n T -periôdic a z ( t ) de (23) v e r i f i c a ||z|| = sup | z ( t ) j f R

(b) Toda r a î z . p , de la ecuaciôn

(24) 0 = rn (p) 5 y j r ( t , p ) d t

v e r i f i c a que |p| / R.

(c) El grado de Brouwer^^) de la a p lic a c iô n r o ' R" R"

d e fin id a en (24) no se anula,

d ( r o , B ( 0 , R ) , 0 )

^

donde 8 ( 0 ,R) es la bola de ra dio R.

Entonces, para todo X e [ 0 , l ] , la ecuaciôn (23) tiene al menos una soluciôn T -pe riô dic a cuya norma es menor que R.

En el c a p ft u lo VI expondremos la técnica de las fun cio nés barrera que permite a p i ic a r el teorema a n t e r io r a nuestro pro_

blema (1 ). Aquf vamos a presentar, muy brevemente y con el mismo o b je to , un re sulta do de la técnica de las funciones gufa de Krasno s e l s k i i (Véase Krasnoselskii (1966) y Rouché-Mawhin (1973)

5.9. D e fin ic iô n de funciôn gu f a .

Dada la ecuaciôn d i f e r e n c i a l (22) , sea V una a p lica ciô n

V : r" ^ R .

(1) El grado de Brouwer, del cual es generaliz aciô n el grado de Leray- Schauder, se de fin e para aplicaciones en tre espacios de dimensiôn f i ni ta .

Dlretnos que V es gufa para (22) s1 e x is te r > 0 t a l que

(grad V(x) , r ( t , x ) ) > 0 (ô < o)

para todo t e R y todo x e R " t a l que Ix l ^ r

5.10. Teorema. Dada l a ecuaciôn d i f e r e n c i a l

(22) X = r ( t , x )

con r T-perlÔdIca y co ntin ua , si e x i s te una funciôn V gufa para (22) y t a l que

V(x) -^ + «o (ô -«*>) , ( 2 5 )

l * r "

entonces (22) tie n e a l menos una soluciô n pe riô d ica .

(De una funciôn que s a tis fa c e (25) se dice que es radialmente no aco- tada ).

La demostraciôn puede verse en xRouché-Mauwin (1973).

El teorema a n t e r lô r no es sino una a p lic a c iô n del teorema 5 .8 , como habfamos anunciado, y las hipÔtesis sobre V estân hechas de forma que se pueda demostrar, a p a r t i r de e l l a s , que se s a tis facen las hipÔtesis ( a ) , ( b ) y (c) de 5.8 . Sin ninguna pretension de demostrar 5.10, vamos a i n s i s t i r sobre la a n t e r io r observaciôn:

(b) es ona consecuencia inmediata de ser V funciôn gufa, s i tu _ viésemos r ^ ( p ) = 0 , | p| no podrfa ser | p | ^ r , porque en ta ie s puntos la d e f i n i c iô n de funciôn gufa im plica

(grad V (p ), y

f

que contr adic e r ^ ( p ) = 0 , de ahf se sigue la afirm aciô n de (b):

I p I î* r . (c) se demuestra u t i l i z a n d o ademâs la no acotaciôn de V y dos propiedades del grado to p olôg ic o de las que se deduce que

d (ro ,B (0 ,R ),0 ) = d(grad V,B (0 ,R),0)

d(grad V , B ( 0 , r ) , 0 ) = + 1 ( - 1 , s1 V ^

| X | -- 00

Por u ltim o , ( a ) , una cota "a p r i o r i " de la s soluciones T-periodi^

cas de (23), requiere la u t i l izac iô n combinada de se*' V funciôn gufa y esta r radialmente no acotada. Primero se demuestra que V, por ser gufa, esta acotada, a lo la rg o de soluciones T -periôdic as Con e l l o se tie n e d e fin id o un conjunto de la forma fx |V(x) < K } donde han de encontrarse las soluciones T -p e riô d ic a s ; al ser V radialmente no acotada im p lica inmediatamente que dicho conjunto y ,p o r ta n to , las soluciones T -p e riô d ic a s estân acotadas. (Corn pârese lo dicho con la introd uc ciô n al c a p ft u lo V I, secciôn V I . 1 y con la secciôn I V . 3.3)

Concluimos aquf esta secciôn y dejamos la a p lic a c iô n deta llada del teorema 5.10 para el prôximo c a p ft u lo .

CAPITULO IV.APLICACIONES

I . I n t r o d u c c i ô n .

Los p ro b le m a s que a q u I se d i s c u t e n , y l o mismo puede d e c l r s e de l o s que a p a r e c e r â r i en e l c a p i t u l e V I I , e s t â n r e s u e l t o s m e d i a n t e t é c n i c a s q u e , en l o e s e n c i a l , se r e d u c e n a t r a t a r de h a l l a r p u n t o s f i j o s de d e t e r m i n a d a s a p i i c a c i o n e s . D i c h a s a p l i c a c i o n e s e s t â n d e f i n i d a s p r e f e r e n t e m e n te e n t r e e s p a c i o s f u n c i o n a l e s aunque t a m b iê n vamos a r e f e r i r n o s a l l la m a d o o p e r a d o r de t r a s l a c i ô n o de Poinc_a r é , q u e , como se s a b e , e s t â d e f i n i d o en e s p a c i o s de dim en s i ô n f i n i t a cuando se t r a t a de e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s o r d i n a r i a s ( V é a s e , p o r e j e m p l o , l a s e c c i ô n I I I . 3 ) .

Somos c o n s c i e n t e s de que l a a f i r m a c i ô n a n t e r i o r ha de s e r e n t e n d i d a con m u l t i p l e s m a t i z a c i o n e s p u e s t o que l a fo r m a de l l e g a r a l o s p u n t o s f i j o s que se m e n c io n a n mâs a r r i b a d i f i e r e enorm emente de unos cas os a o t r o s y es p r e c i s a m e n t e en l o s m é tod os donde mâs nos vamos a d e t e n e r De hecho ya hemos t r a t a d o en e l c a p i t u l e a n t e r i o r l a co n e x i ô n e n t r e l o s p r o b le m a s d e l p u n t o f i j o y l o s que a q u i nos i n t e r e s a n . S i mencionamos de nuevo esa c o n e x i ô n es so l a m e n t e como e l e m e n t o u n i f i c a d o r de l o que s i g u e .

En e s t e c a p i t u l e verem os a l g u n o s e j e m p l o s que se r e s u e l v e n p o r m étodos e x p u e s t o s en e l p r e c e d e n t e , d e j a n d o p a ra l o s c a p i t u l e s VI y V I I l a e x p o s i c i ô n y a p l i c a c i o n e s de l a t é c n i c a de l a s f u n c i o n e s b a r r e r a y l o s p u n t o s s i n T - r e t o r n o .

2 . C o m p e t i c i ô n e n t r e dos e s p e c i e s . S o l u c i o n e s p e r i ô d i c a s y s o l u c i o n e s a c o t a d a s .

2 . 1 . Se p l a n t e a e l s i g u i e n t e p r o b l e m a : o b t e n e r i n f o r m a c i ô n

s ^ b r e l a e x i s t e n c i a y l o c a l i z a c i ô n de l a s s o l u c i o n e s T -p e r i ô d i c a s de 1 s i s t e m a

( U

Ù = U [ b i ( t ) - C j J ( t ) U - C i 2 ( t ) V ]

'5'-V[ bg ( t ) -Cg 1 ( t ) u-Ca 2 ( t ) V ]

b ^ , c . j f u n c i o n e s r e c u l a r e s , y

b . ( t + T ) = b . ( t ) > 0 c . j ( t + T ) = c . j ( t ) > 0 V t con l a s c o n d i c i o n e s

(2) bg C| 2< b; Cg 2 b i C 2 l < b 2 Ç i i

donde b ^= m in b ^ ( t ) 6^=max b ^ ( t ) , e t c . ( C o n d i c i o n e s d i ^ t i n t a s de ( 2 ) se e s t u d i a n en e l c a p f t u l o V I I ) .

El c o r r e s p o n d i e n t e s i s t e m a de c o e f i c i e n t e s c o n ^ t a n t e s

û = u (B i - C i t u -C i gv) ( 3 )

V = v ( B g - C g i u - C 2 2 V )

donde l a s l e t r a s m a y û s c u 1 as r e p r e s e n t a n l o s p ro m e d io s de l o s c o e f i c i e n t e s de ( 1 ) en e l i n t e r v a l o f O , T ] , t i e n e un û n i c o p u n t o c r f t i c o a s i n t ô t i c a m e n t e e s t a b l e que e s t â en e l i n t e r i o r d e l p r i m e r c u a d r a n t e ( u > 0 , v > 0 ) y c u y o d o m i n i o d e a t r a c c i ô n c o n s i s t e en l a t o t a l i d a d de d i c h o c o n j u n t o f ( u , v ) I u > 0 , v > 0 } (T od as l a s a f i r m a c i o n e s a n t e r i o r e s son de c o m p r o b a c i ô n i n m e d i a t a a p a r t i r de l a s c o n d i c i o n e s

8% Cl g< B; Cg g Bi C g i ^ B g C g g

que se deducen s i n d i f i c u l t a d de (2) ) , El c o m p o r t a m i e n t o g l o b a l de l a s s o l u c i o n e s de (1) , con (2) , es en c i e r t a for^

ma a n â l o g o a l que acabamos de d e s c r i b i r p a ra ( 3 ) y r e l a t j ^ vam e nte s e n c i l l o de o b t e n e r . E s una de l a s ra z o n e s p o r l a s c u a l e s l o ponemos en p r i m e r l u g a r .

El esquema de e s t a s e c c i ô n es e l s i g u i e n t e : D e m o ^ t r a r e m o s en p r i m e r l u g a r , 2.2, un 1ema q u e , n a t u r a l m e n t e , vamos a u t i l i z a r a q u f , p e r o que t i e n e un a l c a n c e mucho ma^

y o r , cosa que se p o n d rS de mani f i e s t o en l o s c a p î t u l o s VI y V I I . C o n d i c h o r e s u l t a d o a n u e s t r a d i s p o s i c i ô n v e r e m o s , 2 . 3 , que es ta m o s en c o n d i c i o n e s de a p l i c a r e l 1ema I I I . 3 . 3 , con l o c u a l ya tenem os e x i s t e n c i a de s o l u c i o n e s p e r i ô d i c a s . F i n a l m e n t e , 2 . 4 , vere m os que se puede i r mâs a l 1â de l a me r a e x i s t e n c i a y p r e c i s a r , en e l s e n t i d o que se e x p l i c a en d i c h o p â r r a f o , dônde e s t â n l a s s o l u c i o n e s p e r i ô d i c a s . 2 . 2 . Lema

Sea e l s i s t e m a ( 4 ) t » r ( t , z )

con r una f u n c i ô n T - p e r i ô d i c a r ; R x R ’’ -*-R'^.Sea n un d o m i n io ( a b i e r t o c o n e x o ) de r ” , V una f u n c i ô n C* de n en R y keR t a l que en e l c o n j u n t o V|^®{ Z6î l | V ( z ) = k } se v e r i f i c a

( 5 ) ( g r a d V( z) , r ( t , z ) )< 0

p a r a to d o t e [ 0 , T J , z s V j^ . S i z ( t ) es una s o l u c i ô n de ( 4 ) t a l que z ( t ) e f l p a r a to d o t e l c R y p a ra un t g G l , V ( z ( t , )) < k , e n t o n c e s V ( z ( t ) ) < k V t ) t , , t e l .

( E l e n u n c ia d o es una p o s i b l e f o r m u l a c i ô n de l a i d e a de q u e , e n n , V " i m p i d e " e l paso de l a r e g i ô n

{ z e n | V ( z ) < k } a l a r e g i ô n { z e n | V ( z ) > k } a l o l a r g o de s o l u c i o n e s de ( 4 ) ) .

n p m o s t r a c i ô n .

E s tu d ie m o s la f u n c i ô n V { t ) = V ( z ( t ) ) y veamos que no puede to m a r e l v a l o r k p a ra n i n q û n t > t @ . En e f e c t o , en caso c o n t r a r i o , t e n d r î a m o s un t ie m p o m în im o t > t # t a l que v { t ) < k para t t< x y V ( x ) = k .S e a « ' ( z ( t ) ) l a d e r i v a d a a l o l a r q o de l a s s o l u c i o n e s de ( 4 ) . Por ( 5 ) , V ( x ) < 0 y p o r con t i n u i d a d e x i s t e 6>0 t a l que V ( t ) < 0 p a ra t e [ T -6, x ] , es de c i r V ( t ) es d e c r e c i e n t e en d i c h o i n t e r v a 1o , Pues t o q u e ,e n t a l i n t e r v a l o , es menor que k y d e c r e e i e n t e no puede c r e c e r h a s ta e l v a l o r k.

Por t a n t o , p u e s t o que V ( z ( t ) ) ; < k V t ) t , y V( tg )< k y ( t ) qiie es une f. u n c fo n c o n t i n u a r e a l nunca puede s e r

v o r que k p a ra t ) t g c . q . d .

U o U . Si se cambia e l s e n t i d o de l a s d e s i g u a l d a d e s en l a c o n d i c i ô n ( 5 ) y en l a h i p Ô t e s i s s o b r e V ( z ( t , ) ) , se t i e n e oI r e s u l t a d o c o r r é l a t i v e , V f z ( t ) ) > k V t) t < , , s i n mâs modi^

f i c a c i o n e s en la d e m o s t r a c i ô n que l a s que n a t u r a l m e n t e s ' i n i e r e la i n v e r s i ô n de l a s d e s i g u a l d a d e s . E s t o s i g n i f i c a que l o e s e n c i a ! del 1ema, l o e s e n c i a l d e l p a p e l de la

f u n c i ô n V, es l a no a n u l a c i ô n de l a d e r i v a d a de V a l o l a r q o de s o l u c i o n e s de ( 4 ) en l o s p u n to s de V ^ o , m i r a d o desde o t r o p u n to de v i s t a , que d i c h o c o n j u n t o sea "tr a n s ^ v e r s a i " al campo v e c t o r i a l a soc i ado con ( 4 ) en e l s e n t i d o que ( 5 ) 6

( 5 ' ) ( g r a d V ( z ) , r ( t , z ) ) > 0 e x p r e s a n .

2 . 3 . T e ore m a .

E x i s t e a l menos una s o l u c i ô n T - p e r i ô d i c a d e l s i £ tema (1) con la c o n d i c i ô n (2) .

D e m o s t r a c iô n .

Es s u f i c i e n t e que probemos que nos h a l la m o s en