Métodos Espectrales (CHEBYSHEV) como una alternativa para la solución de EDO Y EDP (Casos Especiales)

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(1)UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN DE AREQUIPA ESCUELA DE POS GRADO UNIDAD DE PO S G RADO DE L A FAC UL T AD DE CIE NCIAS NAT URAL E S Y FO RMAL E S. MÉTODOS ESPECTRALES (CHEBYSHEV) COMO UNA ALTERNATIVA PARA LA SOLUCIÓN DE EDO Y EDP (Casos Especiales) Tesis presentada por el Bachiller: Mario Román Flores Roque Para optar el grado académico de Maestro en Ciencias Matemáticas con mención en Modelación Matemática Asesor: Dr. Ángel Sangiacomo Carazas.. AREQUIPA - PERÚ 2018.

(2) “MÉTODOS ESPECTRALES (CHEBYSHEV) COMO UNA ALTERNATIVA PARA LA SOLUCIÓN DE EDO Y EDP (Casos Especiales)”. Tesis Presentado por: Bach. Mario Román Flores Roque. Jurado:. Mg. Elsa Mamani Palomino:. ................................................ Dr. Jesús Enrique Achire Quispe:. ….……….………………….. Dr. Ángel Sangiacomo Carazas (Asesor):. …………………...…………. ii.

(3) DEDICATORIA. A mis hermanos, a mis padres Tomasa y Calixto, en especial con mucho cariño y amor a mi señora madre que desde el cielo me cuida y guía mi camino.. A mis amados hijos Dayana, Steve, Arelys y Karen, que son el motor que impulsa mi vida.. A mi esposa Marcelita por su amor, comprensión y apoyo incondicional.. iii.

(4) AGRADECIMIENTOS Agradezco a la Universidad Nacional de San Agustín de Arequipa, a todos los profesores de la Maestría en Ciencias Matemáticas que contribuyeron en la formación y culminación de mis estudios de Maestría.. Agradezco también a todas las personas que me apoyaron, alentaron y que confiaron en mi persona.. Un agradecimiento especial a mi asesor Dr. Ángel Sangiacomo Carazas por su apoyo, observaciones, paciencia y sugerencias en el desarrollo de la presente tesis.. iv.

(5) Resumen En el presente trabajo desarrollamos diferentes métodos de solución de ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales. y mostramos que los métodos. espectrales son una alternativa para la solución de ecuaciones diferenciales ya que permiten aproximar la solución con un alto grado de precisión. Utilizamos los polinomios. de Chebyshev. en nuestro trabajo, esto nos permitió. minimizar los errores de cálculo en la aproximación de las soluciones, debido a sus propiedades de ortogonalidad. Además se resolvió diferentes ecuaciones diferenciales clásicas. y se comparó la. aproximación de las soluciones con el método de diferencias finitas y los métodos espectrales de Chebyshev, se observó que este último aproxima la solución con mayor precisión que el método de diferencias finitas (Trefethen, 2007).. Palabras Claves: Ecuaciones Diferenciales, Polinomios Ortogonales, Polinomios de Jacobi, Polinomios de Chebyshev, Métodos Espectrales.. Abstract In the present work we develop different methods of solving ordinary differential equations and partial derivatives and we show that spectral methods are an alternative for the solution of differential equations since they allow to approximate the solution with a high degree of precision. We use the Chebyshev polynomials in our work; this allowed us to minimize the errors of calculation in the approximation of the solutions, due to their properties of orthogonality. In addition, different classical differential equations were solved and the approximation of the solutions was compared with the finite difference method and the Chebyshev spectral methods. It was observed that the latter approximates the solution with greater precision than the finite difference method (Trefethen, 2007).. Keywords: Differential Equations, Orthogonal Polynomials, Jacobi Polynomials, Chebyshev Polynomials, Spectral Methods. v.

(6) ÍNDICE GENERAL. Dedicatoria………………………………………………….………………………….iii Agradecimiento……………………………………………………………..….………iv Resumen………………………………………………………………………………...v Introducción………………………………………………………………………….…1. Capítulo 1 1. Teoría de la medida ……………………………………………………………. 4 1.1. Funciones Medibles ………………………………………………..…..… 4 1.2. Espacios de Funciones ………………………………………………..….. 6 1.3. Ortogonalidad ……………………………………………………………. 8 1.4. Cuadratura Gaussiana ……………………………….………………….. 12 1.5. Polinomios de Jacobi ……………………………………………...……. 18 1.6. Polinomios de Chebyshev ……………………………………………… 26 Capítulo 2 2. Estimación de los errores de Proyección Polinomial ……………………...… 41 2.1. Error de la Proyección Ortogonal en L2w ……………………………..… 41 2.2.. Error de la Proyección Ortogonal en H 01, w …………………………..… 45. 2.3. Interpolación y Transformada discreta de Chebyshev …………………. 47 2.4. Convergencia………………………………………………………. .….. 50 Capítulo 3 3. Aplicaciones de los Métodos Espectrales ………………………….……….… 55 vi.

(7) 3.1. Introducción ……………………………………..…………………....… 55 3.2. Ecuaciones Autónoma ………………………………………...…..……. 59 3.2.1. Método de Chebyshev – Galerkin ……………………..………. 59 3.2.2. Existencia y unicidad de Solución ……………………………… 61 3.2.3. Construcción de una Malla Discreta ………………….………… 63 3.2.4. Análisis de Convergencia y Estabilidad ………………...……… 65 3.2.5. Experimentos Numéricos ………………………………………. 67 3.3. Métodos de Colocación ………………………………………………… 69 3.3.1. Existencia y Unicidad de Solución …………………….……..… 70 3.3.2. Formulación Discreta………………………………...…………. 73 3.3.3. Análisis de Estabilidad …………………………………………. 75 3.3.4. Análisis de Convergencia ……………………………...…….…. 77 3.3.5. Experimentos Numéricos ………………………………....……. 80 3.4. Ecuaciones Dependientes del Tiempo ………………………..………… 81 3.4.1. Ecuación del Transporte ………………………………………... 81 3.4.2. Existencia y Unicidad de Solución …………………...………… 81 3.4.3. Formulación Discreta …………………………………...……… 82 3.4.4. Análisis de Estabilidad …………………………………...….…. 84 3.4.5. Análisis de Convergencia ………………………………………. 85 3.4.6. Experimentos Numéricos ………………………………..…...… 88. Conclusiones. 94. Apéndice. 95. Bibliografía. 97. vii.

(8) Introducción Presentamos en nuestro trabajo un. estudio de los fundamentos de los métodos. espectrales de Chebyshev, buscamos abordar la teoría necesaria de manera detallada y rigurosa, tratando de no olvidar de presentar como usar e implementar los diferentes métodos.. Si bien es cierto que existen diversos métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones diferenciales parciales con problemas de valor en la frontera, tales como los Metodos de Diferencias Finitas y Métodos de Elementos Finitos, cuando deseamos aproximar la solución numérica de un problema con alta exactitud, los métodos espectrales representan uno de los métodos más acertados (Trefethen, 2007).. Los métodos espectrales utilizan funciones de base que son distintos de cero en todo el dominio, esto quiere decir que los métodos espectrales asumen una interpolación global en todo su dominio, por lo tanto brindan soluciones aproximada sobre todo su dominio.. Estos métodos tienen múltiples aplicaciones por ejemplo en el mundo de las ciencias físicas. (estimación. meteorológicas).. de. terremotos,. búsqueda. de. gas. natural,. predicciones. La duración, intensidad, extensión de las lluvias, tormentas o. granizos, las temperaturas máximas y mínimas, la intensidad y dirección de vientos son variables aleatorias. También en nuestro mundo físico dependemos de ciertas materias primas como el petróleo, carbón y otros minerales, la estimación de estas necesidades, localización de. 1.

(9) fuentes de energía, el precio, etcétera, están sujetos a variaciones de un claro carácter aleatorio y depende directamente de ecuaciones diferenciales muchas de las cuales son no lineales, ello requiere de los métodos espectrales su conocimiento y su aplicación para que puedan ser resueltos.. El objetivo del presente trabajo es evaluar los métodos espectrales con aplicación de series y polinomios ortogonales, en especial los polinomios de Chebyshev, a partir de ello proponer nuevas alternativas de solución para una mejor comprensión y preparación en los métodos espectrales y con este enfoque se pueda enfrentar retos futuros desconocidos. Asimismo se desarrolló le teoría de los métodos espectrales de forma accesible de tal manera que pueda ser entendida, de tal manera que pueda ser aplicado en la solución aproximada de ecuaciones diferenciales y finalmente concluimos que los métodos espectrales es son una alternativa para la solución de ecuaciones diferenciales ya que permiten aproximar la solución de una ecuación diferencial con un alto grado de precisión.. El presente trabajo, está organizado de la siguiente forma: el Capítulo 1 abarca los Fundamentos teóricos y aplicaciones necesarios para el desarrollo del mismo. En la primera sección (preliminares), iniciamos presentando notaciones y definiciones que serán usadas en lo restante del trabajo. En seguida hacemos un estudio sobre polinomios ortogonales, base de la teoría de los métodos espectrales de Chebyshew. Nos basamos fuertemente en el libro Análisis Numérico (Burden y Faires (2007), y los textos Chebyshev and Fourier Spectral Methods de Boyd, J (2000), que destaca los aspectos más importante dentro del espacio del trabajo. Tratamos en otra sección la teoría básica de los polinomios de Jacobi, que entre otros polinomios, envuelven a los polinomios de Chebyshev. Así, enunciamos convenientemente las propiedades generales de los polinomios de Jacobi y las características peculiares de los polinomios de Chebyshev. En el Capítulo 2: desarrollamos la justificación del uso de los polinomios ortogonales. 2.

(10) así como su convergencia, se realiza un estudio detallado de estimación de los errores proyección e interpolación polinomial, transformada discreta de Chebyshev y convergencia de las series de Chebyshev, finalmente en el Capítulo 3, se resuelve diversos problemas de aplicación, utilizando los Métodos Espectrales, tales como el Método de Chebyshev-Galerkin y Método de Colocación con su respectivo estudio de análisis de convergencia y estabilidad, usando las técnicas de los métodos espectrales resolveremos específicamente la ecuación de Helmholtz unidimensional, la ecuación unidimensional del transporte, así como de una ecuación diferencial ordinaria de segundo grado con coeficientes variables, teniendo en cuenta en hacer un análisis de la existencia y unicidad de las soluciones numéricas aproximadas de los problemas así como el análisis de la convergencia del método espectral correspondiente.. 3.

(11) CAPÍTULO 1 En esta primera parte del trabajo nos ocuparemos de los fundamentos básicos que son necesarios para entender a cabalidad todos los temas posteriores, parece ser una tediosa repetición, pero, sin estos conceptos los demás quedarían sin sustento teórico.. 1. TEORÍA DE LA MEDIDA. 1.1 Funciones medibles. Para dar un sustento apropiado a las aplicaciones posteriores, haremos ver la teoría de funciones ortogonales y la teoría de la medida para el cálculo de donde están definidos los coeficientes de Chebyshev.. Definición 1.1.1 La medida externa de Lebesgue μ*(A) de un conjunto A  (a, b) es definida por. μ * ( A)  inf. . | In |. n. donde |In| denota la longitud del intervalo In y el ínfimo es con relación a todos los cubrimientos de A por intervalos abiertos. La medida de un intervalo es su longitud.. Definición 1.1.2 La medida interna de Lebesgue μ*(A) de un conjunto A  (a, b) es definida por 4.

(12) μ*(A) = (b − a) − μ*(Ac) con Ac siendo el complemento de A con relación a (a, b).. Definición 1.1.3 Dado A  (a, b), A es medible si μ*(A) + μ*(Ac) = b − a esto es, μ*(A) = μ*(A). En este caso, μ*(A) = μ*(A) = m es la medida de Lebesgue.. Definición 1.1.4 Una función s : (a, b)  [0, +) es simple medible si asume apenas un número finito de valores s0,... , sn y si cada conjunto Ai = {x  (a, b) : s(x) = si} es medible.. Definición 1.1.5 Una función u : (a, b)  [0, +) es medible si existen funciones simples medibles s(k) tales que 1. 0  s(1)  s(2)  . . .  u 2. s(k)(x)  u(x) cuando k  ,  x  (a, b).. Definición 1.1.6 L(0, 2) es el espacio de Banach de las funciones medibles u: (0, 2)R que son acotadas fuera de un conjunto de medida cero, equipado con la norma || u ||L (0, 2 )  sup máx | u ( x) | . x( 0, 2 ). Definición 1.1.7 Una función real u : (a, b)  R es medible si sus partes positiva y negativa, u+ := máx{u, 0}, u− := máx{−u, 0} son medibles.. Definición 1.1.8 Si s es una función simple medible sobre (a, b), definimos b. a. n. sd   si  ( Ai ) . i 0. Si u es una función positiva medible sobre (a, b),. 5.

(13) b. a. ud  sup  s. b a. sd. (A.1). donde el supremo es tomado sobre toda las funciones simples medibles tales que 0  s  u. El valor del lado derecho de (A.1) es un número no negativo o +. Una función positiva medible u es Lebesgue integrable sobre (a, b) si b. a. ud    .. Una función real medible u sobre (a, b) es Lebesgue integrable si sus partes positiva y negativa, u+ y u− son Lebesgue integrables. En este caso, la integral de Lebesgue b. a. ud . b. a. u  d . b. a. u  d .. 1.2 Espacios de Funciones. Definición 1.2.1 Denotamos por LP(a, b) el espacios de las funciones medibles u: (a, b) R tal que. b. a. | u ( x) | p dx   .. . Definición 1.2.2 Diremos que gL2(a, b) es la derivada débil1 de uL2(a, b) si para toda función C de suporte compacto b. a. u ( x) ( x)dx  (1) . donde 2 g  Si. 1 2. b. a. b a. g ( x) ( x)dx. du . dx. u ( x) ( x)dx  (1) k . b a. g ( x) ( x)dx. Tengamos en cuenta que la idea será trabajar con puntos entonces es una derivada débil. Aquí es la integración por partes la cual nos construye un conjunto de derivadas.. 6.

(14) también, donde g . d ku dx k. . .. Definición 1.2.3 Sea un número entero m  0. Definimos 3 Hm(a, b) como el espacio de las funciones uL2(a, b) con todas sus derivadas débiles en L2(a, b), esto es: H m (a, b)  {u  L2 (a, b) |  0  k  m,. dk u dx k.  L2 (a, b)} .. . Definición 1.2.4 Diremos que w : (a, b)  R es una función peso si es una función contınua estrictamente positiva4 en (a, b).. . Definición 1.2.5 (Espacios con peso) Sea w una función peso en un intervalo (a, b). Lwp ( a, b) es el espacio de las funciones medibles u : (a, b)  R tales que b. a. | u ( x) | p w( x)dx   .. . Definimos, para el espacio Lwp ( a, b) , el producto interno ( f , g)w  . b a. f ( x) g ( x) w( x)dx. y la norma || u ||L p ( a, b)  (  w. b a. | u ( x) | p w( x)dx)1 / p .. Observación: la norma || . ||L p ( a , b ) es inducida por el producto interno de arriba.. w. Definición 1.2.6 Hwm es el espacio de las funciones de Lw2 tales que. 3 4. Define el espacio de trabajo o sea donde están definidas las funciones y polinomios que veremos en este trabajo. Para tener una idea de esto recuerde las funciones de peso que se usan en al integración por cuadratura de Gauss y la. función w(x)=1/ 1  x 2 que se usa en la integración aproximada en el método de Chebyshev (Burden y Faires (2007), Nakamura (1992). 7.

(15) H wm (1, 1)  {u  L2 (1, 1) |.  0  k  m,. dk u dx k.  L2 (1, 1)} .. . Definimos, para el espacio Hwm el producto interno. (u, v) m, w . m.  1 1. k 0. d k u ( x) d k v( x) dx k. dx k. w( x)dx. que induce la norma5.  || u ||H m    w .  m. k 0. 1/ 2.  || d ku ||2   dx  k. .. Definición 1.2.7 Sea (a, b)  R un intervalo fijo, H 01, w (a, b)  {u  H 1w (a, b) | u (a)  u (b)  0} .. Esto es, H 01, w es el espacio de las funciones de H 1w que satisfacen las condiciones de contorno homogéneas6 de Dirichlet.. . 1.3 Ortogonalidad. Definición 1.3.1 Sean f, g  Lw2(a, b). f y g son ortogonales si (f, g)w = 0. Si, además de eso, f y g tienen norma igual a 1, ellas son llamadas ortonormales.. . 5. Para mayor información vea la norma de Sobolev en Bresziz (1983) o en la teoría de ecuaciones diferenciables de Codignton (1971). 6 Se refiere a los valores de frontera u(a) = 0 y u(b) = 0, en una ecuación diferencial u'' = g(t, u, u').. 8.

(16) 2 Definición 1.3.2 Diremos que una sucesión de funciones { f k } k 0 de Lw es ortogonal si.  n, m, n  m  (fn, fm)w = 0. Adicionalmente, si para todo k, || f k || L p ( a , b)  1 , la w. . sucesión es ortonormal.. Proposición 1.3.3 Dada una función peso w en el intervalo (a, b), si {1, x, x2, . . .}  Lw2. Entonces existe una sucesión ortogonal de polinomios en Lw2(a, b).. Prueba. Dado el conjunto {1, x, x2, . . .}, cualquier de sus subconjuntos finitos es linealmente independiente. Entonces, por el Teorema de Gram-Schmidt, existen constantes a11, a22, a21, a33, a32, a31, . . . tales que p0(x) = a11 p1(x) = a21 + a22x p2(x) = a31 + a32x + a33x2 . . . . . . es una sucesión de polinomios de Lw2(a, b) ortogonal.. . Lema 1.3.4 Dada una sucesión de polinomios de Lw2(a, b) ortogonales { pk }k 0 con el grado de pk igual a k, Entonces, para todo n [p0, p1, . . . , pn] = [1, x, . . . , xn] esto es, el espacio generado por {p0, p1, . . . , pn} es el espacio generado por {1, x, . . . , xn}.. Prueba. Dado n, {p0, p1, . . . , pn} pueden ser obtenidos por combinaciones lineales de {1, x, . . . , xn}. Entonces {p0, p1, . . . , pn}  [1, x, . . . , xn]. Como {p0, p1, . . . , pn} es un conjunto ortogonal (=> linealmente independiente) de dimensión n, es una base para el espacio en cuestión.. . 9.

(17) Lema 1.3.5 En una sucesión de polinomios ortogonal { pk }k 0  Lw2(a, b), con grado de pk igual a k, para todo n, el polinomio pn es ortogonal a todo polinomio de grado < n.. Prueba.7 Dado n, pn es ortogonal a {p0, p1, . . . , pn−1}. Entonces, por el lema 1.3.4, pn es ortogonal al espacio formado por los polinomios de orden n − 1. Entonces, pn es ortogonal a todo polinomio de grado < n (Burden y Faires, 2007).. .  Teorema 1.3.6 Dada una función peso w, sean { pk } k 0 y {q k }k 0 sucesiones de. polinomios ortogonales de Lw2(a, b), en que pk y qk tiene grado k, Entonces k, pk = ckqk, con ck = akk/bkk, siendo akk y bkk los coeficientes principales de los polinomios pk y qk, respectivamente. Prueba. La prueba será hecha por inducción finita. Existe c0 como en el enunciado (c0 = p1/q1). Sobre la hipótesis de que existen tales ck, k  n, Sea cn+1 = an+1,n+1/bn+1,n+1 conforme el enunciado. m  n, (pm, pn+1)w = 0 y (pm, qn+1)w = 0 por el lema 1.3.5. Entonces, (pm, pn+1 − cn+1qn+1)w = 0 Observe que pn+1 −cn+1qn+1 tiene grado  n. como el único polinomio de grado  n ortogonal a todo polinomio en {p0, p1, . . . , pn} es 0, pn+1 = cn+1qn+1.. . Teorema 1.3.7 En una sucesión de polinomios ortogonales { pk }k 0  Lw2(a, b), con grado de pk igual a k, para todo k, y dada la función peso w, entonces los ceros de los polinomios pk son simples y reales en (a, b). Prueba. Fijando n  1. Mostraremos que pn cambia de signo n veces en (a, b). Si pn tuviese signo constante en [a, b], digamos positivo, Entonces b. a. pn ( x) w( x)dx  ( pn , p0 ) w  0 .. Pero eso contradice la ortogonalidad (pn ┴ p0). Luego, p(x1) = 0 para algún x1(a, b).. 7. Para darnos cuenta recuerde lo polinomios de Legendre que son ortogonales en (-1, 1), ver Burden y Faires, (2007).. 10.

(18) Suponga que x1 es un cero de pn con multiplicidad mayor que uno. Entonces, pn(x)/(x−x1)2 sería un polinomio de grado n − 2. Luego, 0  ( pn ,. pn ( x) ( x  x1 ). 2. p ( x). ) w  (1, ( ( xn x ) ) 2 ) w  0 1. lo que es una contradicción. Por tanto, cada cero de pn es simple. Supongamos ahora que pn tiene j ceros x1, x2, . . . , xj y que además ningún cero pertenecen al intervalo (a, b). Entonces pn(x)(x − x1)(x − x2)...(x − xj) = Pn−j(x)(x − x1)2(x − x2)2...(x − xj)2, donde Pn−j es un polinomio que no cambia de signo en (a, b). Entonces, (pn(x), (x − x1)(x − x2)...(x − xj))w = (Pn−j(x), (x − x1)2(x − x2)2...(x − xj)2)w. El lado derecho no puede ser nulo, pero el lado izquierdo se anula si j < n, de modo que debemos tener j  n. Pero j > n es imposıble, y por tanto j = n.. . A continuación construiremos una relación de recurrencia que es válida para todas las sucesiones de polinomios ortogonales { pk }k 0 Lw2 con grado de pk igual a k. Iniciamos fijando c: p0(x) = c, x, p1(x) = ax + b debe ser tal que (p1, p0)w = 0. Entonces (ax + b, c)w = 0 ac(x, 1)w + bc(1, 1)w = 0 b.  ba  . ( x , 1) w (1, 1) w. . a. b. a. xw( x)dx w( x)dx. a se puede escoger arbitrariamente, conforme al Teorema 1.3.6. Para los nuevos términos en la sucesión de polinomios ortogonales, teniendo los n+1 primeros términos (p0, . . . , pn), se precede así: el polinomio P = x pn(x) es ortogonal a todo polinomio de grado<n−1, debido al lema 1.3.5 y al hecho del producto interno dado por una integral. Entonces, para obtener un polinomio ortogonal a {p0, p1, . . ., pn}, basta sacar de P sus componentes en pn y en pn−1:. 11.

(19) pn 1 ( x)  A( P( x) . ( P, p n ) w || pn ||2L2 ( a, b). pn ( x ) . w. ( P, pn 1 ) w || pn 1 ||2L2 ( a, b). pn 1 ( x)). (1.1). w. donde A puede ser escogido arbitrariamente.. 1.4 Cuadratura Gaussiana. En esta sección destacamos el teorema de integración de Gauss-Lobatto, pues garantiza la exacta cuadratura de polinomios de grado 2N−1. Esa será una herramienta muy útil en lo teórico para estimar a través de la norma discreta, y en lo práctico para la construcción de las matrices en los cálculos computacionales. Vamos construir una fórmula para alcanzar la aproximación b. a. N. f ( x) w( x)dx   f ( xn ) wn . n 0. Si escogemos previamente los puntos xj = a + jh, h =(b−a)/N, obtenemos una fórmula exacta para polinomios de grado menor o igual que N. Vamos hacer una distribución de puntos en que la fórmula es exacta para polinomios de grado  2N + 1.. Definición 1.4.1 Dado un conjunto de puntos {x0, x1, . . . , xN}, definimos el polinomio de Lagrange asociados a tales puntos como. i  j ( x  x i ) . lj  i  j ( x j  x i ). . El polinomio de Lagrange lj asociado a los puntos de una malla es tal que se anula en todos los puntos de la malla, excepto en el punto xj, donde asume el valor 1 (ver Burden y Faires, (2007) y Gerald y Whiteheat (2000)). 12.

(20) Teorema 1.4.2 (Integración Gaussiana) Sea { pk }k 0 Lw2 una sucesión de polinomios ortogonales, y una función peso w. Sean x0, x1, . . . , xN las raíces de pN+1 y, para j = 0, 1, . . . , N, se define. b. w j   l j ( x) w( x)dx a. donde lj(x) es el polinomio de Lagrange asociado a los puntos {x j }Nj 0 . Entonces, wj > 0 para j = 0, 1, . . ., N y para todo polinomio p de grado  2N+1 b. a. N. p( x) w( x)dx   p( x j ) w j j 0. Prueba. Para todo polinomio p de grado  N, p( x)   j  0 p( x j )l j ( x) . Luego, N. b. a. N. b. j 0. a. p( x) w( x)dx   p( x j )  l j ( x) w( x)dx . N. . j 0. p( x j ) w j .. (1.2). b. con w j   l j ( x) w( x)dx . Ahora, para el polinomio q de grado  2N+1, q = rpN+1 + s, a. donde r y s son polinomios de grado  N, como pN+1(xj) = 0, obtenemos que q(xj) = s(xj) para j = 0, 1, . . ., N.. (1.3). como pN+1 es ortogonal a todo polinomio de grado  N, debido a los lema 1.3.5, pN+1 es ortogonal a r, Entonces b. a. q( x) w( x)dx  . b a. N. s( x) w( x)dx   s( x j ) w j  j 0. N. . j 0. q( x j ) w j. (1.4). por (1.2) y por (1.3). Nos falta probar que wj > 0, para todo j. Haciendo q(x) = hk2(x) en (1.4), obtenemos. 0. b a. N. hk2 ( x) w( x)dx   hk2 ( x j ) w j  wk .. . j 0. Teorema 1.4.3 Sea x0, x1, . . . , xn, n+1 puntos distintos en [a, b]. Sean los enteros nonegativos n0, n1, . . . , nn, n+1. Sea N = (n0 + n1+ . . . + nn) + n y HN ( f, xi) el polinomio. 13.

(21) de grado  N tal que HN(k)(f, xi) = f (k)(xi), k = 0, 1, 2, . . . , ni, i = 0, 1, . . . , n. Sea f C[a, b] tal que f (N+1) existe en (a, b). Entonces,. f ( x)  H N ( f , x) . f ( N 1) (v) ( x  x0 ) n0 1 ( x  x1 ) n1 1...( x  xn ) nn 1 , ( N  1) !. donde mín(x, x0, . . . , xn) < v < máx(x, x0, . . . , xn).. Prueba. Probaremos el caso en que N = 2n + 1 con n0 = n1 = · · · = nn = 1.. i  0 (t  xi ) 2 K N ( x) donde n. Fijemos x[a, b] con x ≠ xi, i. Sea W(t) = f(t) − HN(f, t) −. K N ( x) . f ( x)  H N ( f , x) 2 in0 ( x  xi ). . Probaremos que W(2n+2) se anula en un punto v(a, b).. Como W tiene n+2 ceros [x, x0, x1, . . . , xn], se sigue del teorema de Rolle que W0 tiene n+1 ceros distintos de los xi. Como W'(xi) = 0, i, W' = 0 en por lo menos 2n+2 ceros. Se sigue nuevamente del Teorema de Rolle que W'' tiene por lo menos 2n+1 ceros en (a, b). Repitiendo ese procedimiento concluimos que W(2n+2) tiene un cero, sea este v(a, b)..  0 W. ( 2 n  2). (v )  f. ( 2 n  2).  0  f ( 2 n  2 ) (v ) . (v ) . H N( 2n  2) ( f , v) . f ( x)  H N ( f , x) n.  ( x  xi ). d 2m  2 dt. 2m  2. n. ( (t  xi ) 2 ) i 0. t v. K N ( x). (2n  2) !. 2. i 0.  f ( x)  H N ( f , x) . f ( 2 n  2 ) (v ) n ( ( x  xi ) 2 ) . (2n  2) ! i  0. . Teorema 1.4.4 (Markoff ) Sean w(x) y x1, x2, ..., xn, como en el teorema 1.3.1. Sea f(x)C2n[a, b]. Entonces,. En ( f )  . b a. n. f ( 2n) ( s). k 1. (2n) ! k n2. w( x) f ( x)dx   f ( xk ) wk . ,. 14.

(22) donde kn es el coeficiente dominante del polinomio ortonormal pn asociado a w(x), y donde a < s < b.. Prueba. Sea h2n−1 el polinomio de grado  2n−1 tal que h2n−1(xk) = f(xk), h'2n−1(xk) = f '(xk), k = 1, 2, 3, . . . , n. Entonces de acuerdo con el teorema anterior, tenemos. f ( 2n) (v( x)) f ( x)  h2n 1 ( x)  ( x  x1 ) 2 ( x  x2 ) 2 ...( x  xn ) 2 ( 2n) !. (1.5). para a  x  b y a < v(x) < b. Como. f ( 2n) (v( x)) . f ( x)  h2n 1 ( x) ( x  x1 ) 2 ( x  x2 ) 2 ...( x  xn ) 2. (2n)!. tenemos que f(2n)(v(x)) es contınua, al menos en los puntos x1, x2, . . . , xn. Definimos v(x) en los puntos x1, x2, . . . , xn, de modo que f(2n)(v(x)), sea contınua. Multiplicamos a la ecuación (1.5) por w(x):. w( x) f ( x)  w( x)h2n 1 ( x) . p 2 ( x) f ( 2n) (v( x)) w( x) n 2 . ( 2n) ! kn. Integrando y usando el teorema del valor medio para integrales: b. a. f ( x) w( x)dx    . n. . k 1. b a. b a. h2n 1 ( x) w( x)dx  h2n 1 ( x) w( x)dx . f ( x k ) wk . f ( 2n) ( s) (2n) ! k n2. .. 1. b. (2n) ! k n2 ( 2n). f. ( s). (2n) ! k n2. a. b. a. f ( 2n) (v( x))w( x) pn2 ( x)dx w( x) pn2 ( x)dx. . Como los puntos extremos a y b no están entre los puntos utilizados en la cuadratura, es difícil asignar valores de contorno para el polinomio en cuestión. Así, generalizaremos la cuadratura de Gauss a fin de permitir la aplicación de las condiciones de contorno.. 2 Teorema 1.4.5 (Integración de Gauss-Lobatto) Sea { pk } n 0 Lw una sucesión de. polinomios ortogonales pk con grado igual a k. Considere el polinomio h = pN+1 + upN +. 15.

(23) vpN−1, con u y v escogidos de forma8 que h(a) = h(b) = 0. Sean a = x0, x1, . . . , xN =b los ceros de h, y se define, para j = 0, 1, . . . , N, b. w j   l j ( x) w( x)dx a. donde lj(x) es el polinomio de Lagrange asociado a los puntos {x j }Nj 0 . Entonces, wj > 0 para j = 0, 1, . . ., N y para todo polinomio p de grado  2N − 1, b. a. w( x) p( x)dx . N. . j 0. p( x j ) w j. Prueba: para todo polinomio p de grado  N, p( x)   j  0 p( x j )l j ( x) . Luego, N. b. a. w( x) p( x)dx . N. . j 0. p( x j ) . b a. N. w( x)l j ( x)dx   p( x j ) w j . j 0. Del lema 1.3.5, tenemos que h es ortogonal a todo polinomio de grado  N−2. Sea q un polinomio de grado  2N−1. q = hr + s para r polinomio de grado  N−2 y s de grado  N. Entonces q(xj) = s(xj) para j = 0, 1, . . . , N. como h es ortogonal a r, b. a. w( x)q( x)dx  . b a. w( x) s( x)dx . N. . j 0. N. s( x j ) w j   q( x j ) w j. (1.6). j 0. haciendo q(x) = h2j (x) en (1.6), tenemos. 0. b a. w( x)hk2 ( x)dx . N. . j 0. hk2 ( x j ) w j  wk .. . Ejemplo 1.4.5.1:. Del teorema anterior deducimos las siguientes fórmulas finales:. 8. Son homogéneas, o sea, que pasa por cero en la frontera.. 16.

(24) 1. 1. n. f (u )du   wi f (ui )  Rn ; si el dominio es u[ –1, 1]. i 0. Para el caso general debemos usar la transformación x  dx . (b  a ) 2. (b  a )u i  (b  a ) 2. y. du .. Entonces nos resulta b. 1.  a f ( x)dx  1 f ( . (b  a ) 2. (b  a )u  (b  a ) (b  a ) ) 2 2. n.  [wi f (. i 0. du. (b  a )u  (b  a ) (b  a ) )]  2 2. Rn. La tabla es dada por: n 2. 3. 4. ui -1 0 +1 -1 -0.44721359549996 0.44721359549996 1 -1 -0.65465367070798 0.0 0.65465367070798 1. wi 0.33333333333333 1.33333333333333 0.33333333333333 0.16666666666667 0.83333333333333 0.83333333333333 0.16666666666667 0.10000000000000 0.54444444444444 0.71111111111111 0.54444444444444 0.10000000000000. Si la función fuera sen(x) = f(x) en [0, /2] entonces tendremos Para n=2..  w0 f (u0 )  w1 f (u1 )  w2 f (u2 ) . . .  1. 4. [ w0 f ( 4 (1  u0 ))  w1 f ( 4 (1  0))  w2 f ( 4 (1  u 2 ))] [ sen ( 4 (1  1))  43 sen ( 4 (1  0))  13 sen ( 4 (1  1))]. 4 3.  4 [0  43 . 2 2.  43  1]  1.00227987749221.. Para n=3..  w0 f (u0 )  w1 f (u1 )  w2 f (u2 )  w3 f (u3 ). 17.

(25) . . .  1. 4. [ w0 f ( 2 (1  u0 ))  w1 f ( 2 (1  u1 ))  w2 f ( 2 (1  u 2 ))  w3 f ( 2 (1  u3 ))] [ sen ( 2 (1  1))  56 sen ( 2 (1  0.4472135954 9996 )). 4 6.  56 sen ( 2 (1  0.4472135954 9996 ))  16 sen ( 2 (1  1))].  0.999989189830978 .. 1.5 Polinomios de Jacobi. Los polinomios de Jacobi son la sucesión de polinomios ortogonales {J k( r1, r 2) } k 0 en Lw2, en el intervalo ]a, b[ = ]−1, 1[, con r1, r2 > −1, el grado de J k( r1, r 2) es igual a k, y w(x) = (1−x)r1(1+x)r2. Con el objetivo de indexar la sucesión, determinando unívocamente un polinomio para cada k, podemos fijar, por ejemplo 9. J n( r1, r 2) (1) . (n  r1  1) . (n  1)(r1  1). Primero vamos a mostrar que ese w constituye, de hecho, una función peso en (−1, 1).. Proposición 1.5.1 Para w(x) = (1 − x)r1(1 + x)r2, {1, x, x2, . . . }  Lw2.. Prueba: Para todo n, xn es contınua (y acotada) en [−1, 1]. Entonces 1. 1. w( x) x n dx  . 1. 1. w( x)dx  2 r1 r 2 1. (r1  1)(r 2  1)  (r1  r 2  2). donde la igualdad viene de la integración de la función Beta.10. . Teorema 1.5.2 Los polinomios de Jacobi J n( r1, r 2) satisfacen la siguiente ecuación diferencial linear de segunda orden problema de Sturm-Liouville singular.11 9. Donde (n  1)  n(n) , es la función gama, el factorial generalizado. Función Beta: B(m, n)=((m) (n))/ (m+n). 10. 18.

(26) (1−x2)y''+[(r2−r1)−(r1+r2+2)x]y'+n(n+r1+r2+1)y = 0. (1.7). Prueba:12 como para todo q d [(1  dx. x) r11 (1  x) r 2 1 q' ] . (1.8).  (1  x) r1 (1  x) r 2 [(1  x 2 )q' '{(r 2  r1)  (r1  r 2  2) x}q' ] podemos reescribir la ecuación (1.7) en la forma (1  x)  r1 (1  x)  r 2. d [(1  dx. x) r11 (1  x) r 2 1 y ' ]  n(n  r1  r 2  1). (1.9). Haciendo y  J n( r1, r 2) , sabemos, por la ecuación (1.8), que el lado izquierdo de la ecuación (1.9) es un polinomio de grado n. Mostraremos que tal polinomio es ortogonal a todo polinomio de grado < n en Lw2, siendo, por tanto, múltiplo de J n( r1, r 2)  y . Dado un polinomio q de grado < n, hacemos ((1  x)  r1 (1  x)  r 2. . 1. . 1. . 1. 1. 1. 1. d [(1  dx. d [(1  dx. x) r11 (1  x) r 2 1 y ' ( x)], q( x)) w . x) r11 (1  x) r 2 1 y ' ( x)] q( x)dx. (1  x) r11 (1  x) r 2 1 y ' ( x)q' ( x)dx d [(1  dx. x) r11 (1  x) r 2 1 q' ( x)] y ( x)dx. Sabemos de la ecuación (1.8) que d [(1  dx. x) r11 (1  x) r 2 1 q ' ( x)]  (1  x) r1 (1  x) r 2 p( x) con el polinomio p de grado < n.. Entonces. 11 12. Para una solución por series de una ecuación diferencial (1.7), vea textos especializados. Ojo en lo siguiente: y' 'a( x) y'b( x) y  g ( x). [ y' 'a( x) y' ]  b( x) y  g ( x) , suponer se puede hace y'' = v'. e. a ( x ) dx. v' a( x)e . a ( x ) dx. v  (e . a ( x ) dx. v)'  e . a ( x ) dx. y ' ' a( x)e . a ( x ) dx. y '  (e . a ( x ) dx. y ' )'. a ( x ) dx a ( x ) dx a ( x ) dx [e  y ' ]'b( x)e  y  e g ( x) .. 19.

(27) ((1  x)  r1 (1  x)  r 2. . 1. 1. d [(1  dx. x) r11 (1  x) r 2 1 y ' ( x)], q( x)) w . p ( x) J n( r1, r 2) ( x) w( x)dx = 0.. lo que implica (1–x2)y'' + {(r2–r1) – x(r1+r2+2)}y' = cy para alguna constante c. Para determinar tal constante, fijamos J n( r1, r 2)  An x n ... , entonces, por la ecuación, –n(n–1)Anxn – n(r1+r2+2)Anxn = cAnxn  c = −n(n + r1+ r2 + 1).. . Teorema 1.5.3 (Fórmula de Rodrigues) Considere la sucesión {J k( r1, r 2) } k 0 en L2w (1, 1) de los polinomios de Jacobi, con grado de J k( r1, r 2) igual a k. Entonces. J n( r1, r 2) . n J n( r1, r 2) (1)(r1  1)(1)n (1  x) r1 (1  x) r 2  d n {(1  x)n  r1 (1  x)n  r 2} n dx 2 (n  r1  1). (1.10). Prueba: Sea Qn ( x)  (1  x)  r1 (1  x)  r 2. dn dx n. {(1  x) n  r1 (1  x) n  r 2 } . Por la regla de. Leibnitz, n n j n j Qn ( x)  (1  x)  r1 (1  x)  r 2    d j (1  x) n  r1 d n j (1  x) n  r 2 dx dx j 0  j .  (1  x).  r1. (1  x). r2.  n    (1) j (n  r1)(n  r1  1)... j 0  j  n. ...(n  r1  j  1)(1  x) n  r1 j   (n  r 2)(n  r 2  1)...(n  r 2  n  j  1)(1  x) r 2  j n  n (n  r1  1) (n  r 2  1)    (1) j (1  x) n  j (1  x) j  (n  r1  j  1) (r1  j  1) j 0  j . (1.11). 20.

(28) Donde vemos que Qn es un polinomio de grado n.. Note que. dj dx j. {(1  x) n  r1 (1  x) n  r 2 } , se anula en x = 1 y en x = −1, para 0  j < n.. Vamos a mostrar que Qn es ortogonal a todo polinomio de grado < n, siendo, a menos de una constante multiplicativa cn, igual a J n( r1, r 2) (Trefethen, (2007)). Sea s un polinomio de grado < n en x. Entonces I. 1. 1. . 1. 1. I. (1  x) r1 (1  x) r 2 Qn ( x) s ( x)dx. ( d n {(1  x) n  r1 (1  x) n  r 2 }s( x)dx n. dx. d n 1 {(1  dx n 1. x) n  r1 (1  x) n  r 2 }. . 1. 1. 1 1. +. n 1. ( d n1 {(1  x) n  r1 (1  x) n  r 2 }s ' ( x)dx dx. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ..  (1) n . 1. 1. {(1  x) n  r1 (1  x) n  r 2 }s ( n) ( x)dx  0. por que s(n)  0. Entonces J n( r1, r 2) ( x)  cn Qn ( x) , x Qn (1)  (1) n 2 n. (n  r1  1) (r1  1).  cn  J n( r1, r 2) (1). (1) n (r1  1) 2 n (n  r1  1). Notación 1.  n (n  1)     j  ( j  1)(n  j  1). 21.

(29) Teorema 1.5.4 Considere la sucesión { J k( r1, r 2) }  L2w (1,1) de los polinomios de Jacobi, con grado J k( r1, r 2) igual a k. Entonces J n( r1, r 2) ( x)  an, n x n  an, n 1 x n 1 . . .. donde. (r1  1)(n  1)  2n  r1  r 2    n 2 n (n  r1  1)  . an, n  J n( r1, r 2) (1). an, n 1  J n( r1, r 2) (1). (r1  1)(n  1)  2n  r1  r 2  1   n 1 2 n (n  r1  1)  . Prueba: primero, demostraremos algunas identidades para los coeficientes binomiales.   p (1  x) p     x n n 0  n . Como entonces. (1  x) p  . .  p    m  n    x m, n  0  n  m . .  n  p     x n    n0 j  0  j  n .   j . por el teorema de Taylor, n. . j 0.  p      j  n .  1 dn   (1  x) p  n j  n ! dx . x 0. . 1 ( p    1) (1  x) p   n n !  ( p    1  n).  p       n . x 0. (1.12). como   p p(1  x) p 1   n  x n 1 n 1  n . 22.

(30) entonces . . px(1  x) p  1 . n 0. n. . j 1.  p   j    j  n . n  p   x n  j   j 1  j  n .   j .  1 dn   px(1  x) p  1 n j  n ! dx p n  n ! l 1. . x 0.  n  d l d n l   x n  l (1  x) p  1 l  l  dx dx. x 0. p dn d n 1 p  1  [ x n (1  x)  n n 1 (1  x) p  1 ] x  0 n ! dx dx . p [n( p    1)( p    2)...( p    n  1)] n!. . p ( p   ) (n  1) ! ( p    n).  p    1  .  p   n  1  . (1.13). de las ecuaciones (1.10) y (1.11), tenemos que. J n( r1, r 2) ( x)  J n( r1, r 2) (1). (r1  1) 2 (n  r1  1) n. . n  n  (n  r1  1) (n  r 2  1)     ( x  1) n  j (1  x) j n j  0  j  (n  r1  j  1) 2 ( j  r 2  1). note que (x − 1)n−j(x + 1)j = xn + (2j − n)xn−1 + . . .·. Entonces. an, n  J n( r1, r 2) (1). (r1  1) 2 (n  r1  1) n. n. . j 0. . (n  1) (n  r1  1) (n  r 2  1) ( j  1)(n  j  1) (n  r1  j  1) ( j  r 2  1). 23.

(31)  J n( r1, r 2) (1).  J n( r1, r 2) (1). n  n  r1 n  r 2       n 2 (n  r1  1) j  0  j  n  j . (r1  1)(n  1). n  2n  r1  r 2    .   n 2 n (n  r1  1) j  0  . (r1  1)(n  1). an, n 1  J n( r1, r 2) (1). 2 n (n  r1  1). . (n  1) (n  r1  1) (n  r 2  1) ( 2 j  n) ( j  1)(n  j  1) (n  r1  j  1) ( j  r 2  1). n. . j 0.  J n( r1, r 2) (1). . (r1  1). n  n  r1 n  r 2    (2 j  n)   n 2 (n  r1  1) j  0  j  n  j . (r1  1)(n  1). n  n  r1 n  r 2       [2  j   n j  n  j  2 (n  r1  1) j 0  j 0. (r1  1)(n  1) J n( r1, r 2) (1) n.  J n( r1, r 2) (1).  J n( r1, r 2) (1). n.  n  r1 n  r 2    ] j n  j   .  2n  r1  r 2  1  2n  r1  r 2     n ]  [ 2 ( n  r 1 ) n 1 n 2 n (n  r1  1)    . (r1  1)(n  1).  2n  r1  r 2  1    ( n  r 1 ) n 1 2 n (n  r1  1)  . (r1  1)(n  1). esta última igualdad se debe a la ecuación (1.12).. an, n 1  J n( r1, r 2) (1) n. . j 0.  J n( r1, r 2) (1). (r1  1) 2 (n  r1  1) n. . (n  1) (n  r1  1) (n  r 2  1) ( 2 j  n) ( j  1)(n  j  1) (n  r1  j  1) ( j  r 2  1) n  n  r1 n  r 2    (2 j  n)   2 n (n  r1  1) j  0  j  n  j . (r1  1)(n  1). 24.

(32)  J n( r1, r 2) (1). n n  n  r1 n  r 2      n   [ 2 j  j  n  j  2 n (n  r1  1) j 0  j 0. (r1  1)(n  1).  J n( r1, r 2) (1).  J n( r1, r 2) (1).  n  r1 n  r 2    ]  j  n  j .  2n  r1  r 2  1  2n  r1  r 2     n ]  [ 2 ( n  r 1 ) n 1 n 2 n (n  r1  1)    . (r1  1)(n  1).  2n  r1  r 2  1    ( n  r 1 ) n  1 2 n (n  r1  1)  . (r1  1)(n  1). . la penúltima igualdad se debe a la ecuación (1.13).. Teorema 1.5.5 Considere la sucesión {J k( r1, r 2) }  L2w (1, 1) de los polinomios de Jacobi, con J k( r1, r 2)  ak , k x k  ak , k 1 x k 1  .... entonces || J n( r1, r 2) ||2L2 ( 1,1)  an, n J n( r1, r 2) (1)  2 n  r1 r 2 1 w. (r1  1)(n  1)(n  r 2  1) (2n  r1  r 2  2). Prueba: || J n( r1, r 2) ||2L2 ( 1,1)  . 1. 1. w.  an, n. 1. 1. J n( r1, r 2) ( x)  J n( r1, r 2) ( x) w( x)dx. x n J n( r1, r 2) ( x) w( x)dx.  an, n J n( r1, r 2) (1)  .. .. .. .. .. ..  an, n J n( r1, r 2) (1) .  an, n J n( r1, r 2) (1) . (1) n  (r1  1) 2. n. ..  (n  r1  1) 1 .. .. .. .. (1) n  (r1  1) 2 (n  r1  1) n. 2 (n  r1  1). xn. dn dx. n. {(1  x) n  r1 (1  x) n  r 2 }dx. .. .. .. n! . 1. (1  x) n  r1 (1  x) n  r 2 dx. (r1  1)(n  1) n. 1. 1. .. 2 2n  r1 r 2 1. (n  r1  1)(n  r 2  1) (2n  r1  r 2  2). 25.

(33)  an, n J n( r1, r 2) (1) . (r1  1)(n  1) n  r1 r 2 1 (n  r1  1)(n  r 2  1) . 2 (n  r1  1) (2n  r1  r 2  2). . 1.6 Polinomios de Chebyshev. Los polinomios Tn de Chebyshev son los polinomios J n( r1, r 2) de Jacobi con r1 = r2 = −1/2 y Tn(1) = 1. Así, los teoremas sobre polinomios de Jacobi vistos anteriormente valen también para polinomios de Chebyshev Trefethen, (2007):. Teorema 1.6.1 Los polinomios de Chebyshev Tn satisfacen el siguiente problema de Sturm-Liouville singular13 (1 − x2)y'' − xy' + n2y = 0. (1.14). Notación 2:.  k (k  2)(k  4)(k  6)... si k  0 k !!   0 si k  0  2 Teorema 1.6.2 (Fórmula de Rodrigues) Considere la sucesión {Tk } k 0 en Lw (–1, 1) de. los polinomios de Chebyshev, con grado de Tk igual a k. Entonces. Tn . (1) n dn n 1 1  x 2 n {(1  x 2 ) 2 } (2n  1) !! dx. (1.15). Prueba: Se sigue de la aplicación de que ( 12 )   , (n  12 )  ( 2 n2n1)!!  y (2n–1)!! es factorial de los naturales impares. Sabiendo que para un entero n > 0, ( 2 n 1) ! ( 2 n 1) !!( n 1) !. 13.  2 n 1 .. Ver en Rainville (1975) pp. 329-419, las ecuaciones diferenciales de puntos singulares, su resolución.. 26.

(34) Teorema 1.6.3 Considere la sucesión {Tk}  Lw2(−1, 1) de los polinomios de Chebyshev, con grado de Tk igual a k. Entonces Tn(x) = an,nxn + an,n−1xn−1 + … donde an,n = 2n−1, para n > 0.. Prueba: Por el teorema 1.5.4 1 1 (n  1)( 2 )  2n  1   an, n  n (n  1 )  n  2 2. 1. . 2 . n! . n ( 2 n 1)!! 2n. (2n  1) !  n!(n  1) !. (2n  1) ! (2n  1) !!(n  1)!. = 2n–1 y la última igualdad se debe a. ( 2 n 1) ! ( 2 n 1) !!( n 1) !.  2 n 1 ,para un entero n>0.. . Teorema 1.6.4 (Norma de los polinomios de Chebyshev) Considere la sucesión {Tk}Lw2(−1, 1) de los polinomios de Chebyshev, con Tk(x) = akkxk + ak,k−1xk−1 + ... Entonces.   para n  0 || Tn ||2L2 ( 1,1)    w  2 en otro caso. Prueba: Por los teoremas 1.4.5 y 1.5.3, tenemos que. || Tn ||2L2 ( 1,1) w.  an, n 2. n. (n  1)( 12 )(n  12 ) (2n  12 ). además || T0 ||2L2 ( 1,1)   . Para n ≠ 0: w. || Tn ||2L2 ( 1,1)  2 n 12 n w. n! . ( 2 n 1) !! 2n. . ( 2 n) !. 27.

(35)  2 n 1. n !(2n  1) !!   ( 2 n) ! 2 n ! ( 2 n 1) !! ( 2n) !. y la última igualdad se debe a. . 1 2n. , n>0.. . 2 Teorema 1.6.5 (Relación de recurrencia) Considere la sucesión {Tk } k  0  Lw ( 1, 1) de. los polinomios de Chebyshev, con Tk = ak,kxk + ak,k−1xk−1 + … Entonces, para k  1, es válida la relación de recurrencia Tk+1(x) = 2xTk(x) − Tk−1(x) Prueba: Por la ecuación (1.1), tenemos que. ( xTk ( x), Tk ) w. Tk 1 ( x)  A[ xTk ( x) . || Tk ||2L2 ( 1,1). Tk . w. A. ak 1,k 1 ak , k. ( xTk , Tk 1 ) w || Tk 1 ||2L2 ( 1,1). Tk 1 ]. w.  2.. Note que. ( xTk ( x), Tk ) w  0 por tratarse de la integral de una función impar en torno del origen. (xTk, Tk−1)w = (Tk, xTk−1)w = (Tk, ak−1,k−1xk)w. . ak 1, k 1. . ak 1, k 1. ak , k. ak , k. (Tk , Tk ) w. || Tk ||2L2 ( 1,1) . w. de forma que la relación se torna. Tk 1 ( x)  2( xTk ( x) . para k > 1. ak 1, k 1 ak , k. 2 ak 1, k 1 || Tk ||L2w ( 1,1). ak , k. || Tk 1 ||2L2 ( 1,1). Tk 1 ). w. 1 / 2 .. 28.

(36) y. || Tk ||2L2 ( 1,1) w. || Tk 1 ||2L2 ( 1,1) w. 1. en cuanto para k = 1. ak 1, k 1 ak , k. y. 1. || Tk ||2L2 ( 1,1) w. || Tk 1 ||2L2 ( 1,1) w.  1/ 2. por lo tanto: Tk+1(x) = 2xTk(x) − Tk−1(x).. . Teorema 1.6.6 Considere la sucesión {Tk }  L2w (1, 1) de los polinomios de Chebyshev, con grado de Tk igual a k. Entonces Tn = cos(n) con  = arccos(x) Prueba: La demostración la haremos por inducción. T0(x) = 1 = cos(0) y T1(x) = x =cos(arccos(x)). Supongamos que Tn(x) = cos(n) y que Tn−1(x) = cos((n − 1)) cos((n+1)) = 2cos() cos(n) − cos((n − 1)) = 2xTn(x) − Tn−1(x) = Tn+1(x) por el teorema 1.6.5 Entonces, por el teorema de inducción, Tn = cos(n) con  = arccos(x).. . Corolario 1.6.7 1. Tn(x)  1 para −1  x  1 2. Tn(xj) = (−1)j para xj = cos(j/n) y j = 0, 1, . . . , n.. Proposición 1.6.8 1. T 'n (xj) = 0 para xj = cos( j/n), j = 1, 2, 3, . . . , n − 1. 29.

(37) 2. T 'n (−1) = n2(−1)n+1 3. T 'n (1) = n2. Prueba:. T 'n ( x j ) . n sen(n arccos(x j )) 1  x 2j. . n sen( j )) 1  x 2j.  0 , para n = 1, . . . , n − 1.. Como Tn es un polinomio, la derivada está definida en −1 y 1 y es igual a los límites. lím T 'n ( x)  lím. x 1. n sen(n arccos(x)). x 1. 1  x2. n 2 cos(n arccos(x)) x 1 x.  lím. = n2. n 2cos(n arccos(x))  n 2 cos(n ) x  1 x. lím T 'n ( x)  lím. x  1. = n2(–1)n+1.. Teorema 1.6.9 T 'n ( x) . n T n 1( x)  Tn 1 ( x) , para todo x ≠ ±1. El caso x = ±1 debe 2 1  x2. resolver tomando el límite con Hospital. Ya sabemos que el numerador tiene ceros en ±1 (proposición 1.6.8 y 1.6.12 de abajo) y, como esperamos, tal derivada es un polinomio.. Prueba: Tn(x) = cos(n arccos(x)) = cos(n). T 'n ( x) . d cos(n ) d  1   nsen(n ) d dx 1  x2. . n cos(n ) cos( )  sen(n ) sen( )  [cos(n ) cos( )  sen(n ) sen( )] 2 sen( ) 1  x 2. . n T n 1( x)  Tn 1 ( x) . 2 1  x2. . 30.

(38) Corolario 1.6.10 2Tn ( x) . T 'n1 ( x) T 'n1 ( x) .  n 1 n 1. Prueba: Esa identidad describe el teorema de arriba, usando solo la relación de recurrencia. T 'n1 ( x) T 'n1 ( x) 1 Tn ( x)  Tn 2 ( x)  Tn ( x)  Tn2 ( x)  2 n 1 n 1 1  x2. . 3Tn ( x)  2 xTn 1 ( x)  Tn  2 ( x) 2(1  x 2 ).  12 . 3Tn ( x)  4 x 2Tn ( x)  2 xTn 1 ( x)  Tn  2 ( x) 1  x2. 4Tn ( x)  4 x 2Tn ( x) 2(1  x 2 ). Teorema 1.6.11 Tn( x) . n 4.  2Tn ( x) .. . (n  1)Tn  2 ( x)  2nTn ( x)  (n  1)Tn  2 ( x) (1  x 2 ) 2. .. Prueba: Por el teorema anterior,. . n 2. . n 4. . n 4. [ n21. Tn2 ( x ) T n( x ) 1 x. 2.  n21. Tn ( x ) T n 2( x ) 1 x 2. ](1  x 2 )  2 x[Tn 1 ( x)  Tn 1 ( x)]. (1  x 2 ) 2 (n  1)Tn  2 ( x)  4 xTn 1 ( x)  2nTn ( x)  4 xTn 1 ( x)  (n  1)Tn  2 ( x) (1  x 2 ) 2 (n  1)Tn  2 ( x)  2nTn ( x)  (n  1)Tn  2 ( x) (1  x 2 ) 2. . .. Proposición 1.6.12 Tn(−1) = (−1)n Prueba: Tn(−1) = cos(n arccos(−1)) = cos(n) = (−1)n.. . 31.

(39) Proposición 1.6.13 (Integración Gaussiana) Sea Tn el polinomio de Chebyshev de grado n y. w = (1 − x2)−1/2. Entonces, para todo polinomio p de grado  2n+1.. siendo 1. 1. p( x) w( x)dx . n. . j 0. x j  cos(. ( 2 j 1) ) 2n  2. p( x j ) w j ,. y w j  n1 .. . 2, para j  0 o j  N Notación 3: Definimos c j   1 j N 1,. Proposición 1.6.14 Para los puntos xk = cos(k/n ), el polinomio de Lagrange es. l j ( x) . (1) j 1 (1  x 2 )Tn ( x) c j n2 (x  x j ). debemos considerar el límite en el punto x = xj.. Prueba: Primero observamos que lj es, de hecho, un polinomio. T 'n es un polinomio. Por la proposición 1.5.8, sabemos que ese polinomio ten un cero en x = xj, de modo que lj es un polinomio. Además de eso, por la misma proposición, tenemos que ese polinomio se anula en los demás puntos da integración de Gauss-Lobatto.. Falta hacer ver que lj(xj) = 1.. l j ( x j )  lím. (1) j 1 (1  x 2 )Tn ( x). xx j. c j n2 ( x  x j ).  lím. (1) j 1 (1  x 2 ) n Tn 1 ( x)  Tn 1 ( x) c j n2 ( x  x j ) 2 (1  x 2 ).  lím. (1) j 1 Tn 1 ( x)  Tn 1 ( x) 2c j n (x  x j ). x x j. xx j. 32.

(40) donde la última igualdad se debe a los teorema 1.5.9. Entonces. l j ( x j )  lím. x x j.  lím. xx j. (1) j 1 sen(n arccos ( x))sen(arccos(x)) c jn (x  x j ). (1) j 1 n cos(n arccos ( x)) 1  x 2 sen(n arccos ( x)) cos(arccos( x)) [  ] 2 2 c jn 1 x 1 x. (1) j 1 xsen(n arccos ( x)) [n cos(n arccos ( x))  ] 2 x x j c jn 1 x Si xj ≠ 1 y xj ≠ –1, l(xj) = 1/(cj) = 1.  lím. (1) j 1 xsen(n arccos ( x)) [n cos(n arccos ( x))  ] 2 x 1 c j n 1 x nx sen(n arccos ( x)) sen(n arccos ( x))  j 1 (1) 1  x2  [n(1) j 1  lím ] 2x x 1 c jn. l j ( x j )  lím. 2 1  x2. . (1) j 1 1  x 2 sen(n arccos ( x))  nx sen(n arccos ( x)) [n(1) j 1  lím ] x 1 c jn x. . (1) j 1 2 (2n(1) j 1 )  1 c jn cj. caso x = –1. (1) j 1 xsen(n arccos ( x)) [n cos(n arccos ( x))  ] x  1 c j n 1  x2. l j ( x j )  lím. (1) j 1 1  x 2 sen(n arccos ( x))  nx sen(n arccos ( x)) j 1  [n(1)  lím ] x  1 c jn x (1) j 1 2  (2n(1) j 1 )   1. c jn cj. . Proposición 1.6.15 (Integración de Gauss-Lobatto) Sea Tn el polinomio de Chebyshev de grado n y w = (1 − x2)−1/2. Entonces, para todo polinomio p de grado  2n − 1 1. 1 siendo. p( x) w( x)dx . n. . j 0. x j  cos(. j ) n. p( x j ) w j. y w j  nc. j. 33.

(41) Prueba. Considere el polinomio h = Tn+1 + aTn + bTn−1 como en el teorema 1.3.4, esto es, h(a) = h(b) = 0. Tal polinomio es h = Tn+1 − Tn−1. Conforme al teorema, los puntos xj son las raíces del polinomio. Haciendo un cambio de variable x = cos() h(xj) = cos(n)cos() − sen(n)sen() − [cos(n) cos() + sen(n)sen()] = −2sen(n)sen() h(xj) = 0  sen() = 0 o sen(n) = 0 sen(n) = 0  n = arccos(0) + k   = k/n.  xj = cos(j/n),. por el teorema 1.4.4 y por la proposición 1.6.15,. wk  . (1) k 1  sen( ) sen(n ) lk ( x) w( x)dx  d  0 cos( )  cos(k / n) n ck. 1. 1. .  nck. .. . Proposición 1.6.16 Sean xj =cos(j/n), j = 1, 2, . . . , n − 1. Tn( x j ) . (1) j 1 n 2 1  x 2j. .. Prueba:. Tn ( x) . Tn ( x) . . n sen(n arccos(x)) 1  x2. . n sen(n ) sen( ). n 2 cos(n ) sen( )  n sen(n ) cos( ) ( sen( )). 2. . 1 sen( ). n sen(n ) cos( )  n 2 cos(n ) sen( ). Tn ( x) . (1.16). ( sen( ))3.  n 2 cos( j ) ( sen(arccos(x j )) 2. . (1) j 1 n 2 1  x 2j. .. . 34.

(42) 2 Proposición 1.6.17 Para wˆ ( x)  (1  x 2 )(1  x 2 ) 1 / 2  (1  x 2 ) w( x) , {Tk } k 1  Lwˆ es una. sucesión de polinomios ortogonal.. Prueba:. (Tn ( x), Tm ( x)) wˆ  . 1.  nm. 1.  nm . . n sen(n arccos(x)) m sen(m arccos(x)). 1. 1.  nm[. 0. 1 x. 1 x. 2. 2. (1  x 2 ) w( x)dx. sen(n arccos(x))sen(m arccos(x))w( x)dx. sen(n  ) sen(m )d.  cos(n  ) sen(m ) n.  0. .  0. m cos(n ) cos(m )d n.  m 2 (Tn ( x), Tm ( x)) w. si m ≠ n tenemos (Tn ( x), Tm ( x)) wˆ = 0. Entonces la sucesión de polinomios {Tk } k 1 es . ortogonal en L2ŵ .. Proposición 1.6.18 Tn(1) . 1 2 2 n (n  1) 3. Tn(1) . (1) n 2 2 n (n  1) . 3. Prueba: por la ecuación (1.16). Tn (1)  lím.  . nsen(n  ) cos( )  n 2 cos(n  ) sen( ) ( sen( ))3. n[n cos(n  ) cos( )  sen(n  ) sen( )]  n 2 [nsen(n  ) sen( )  cos(n  ) cos( )]  lím { }   3sen 2 ( ) cos( ).  lím {  .  lím {  . (n3  n) sen(n  ) } 3sen( ) cos( ) (n3  n)n cos(n  ) 3 cos2 ( )  3sen2 ( ). }. 35.

(43)  (1) n. n 2 (n 2  1) . 3. de forma análoga,. Tn (1)  lím.  0. Proposición 1.6.19. (n 3  n)n cos(n  ). (n 2  1)n 2 .   3 3 cos2 ( )  3sen 2 ( ) xj , j = 1, 2, 3, . . . , n − 1. Tn( x j )  (1) j 1 3n 2 (1  x 2j ) 2. Prueba: Derivando la ecuación (1.16) tenemos. Tn( x j ) . (n 3  n) sen(n ) sen 2 ( )  3 cos( )[nsen(n ) cos( )  n 2 cos(n ) sen( )]  sen5 ( ) . sen(n )[(n 3  n) sen 2 ( )  3n cos2 ( )]  3n 2 cos(n ) sen( ) cos( )  sen5 ( ).  Tn( x j )  0 . . 3n 2 cos( j ) cos( j / n) (1  x 2j ) 2. (1) j 1 3n 2 x j (1  x 2j ) 2. .. . Proposición 1.6.20 (Diferenciación en el espacio espectral) Dado uPPN: (PPN es el espacio de los polinomios de grado menor o iguala a n) u . k 0 N. u~k Tk ( x) la derivada de u. puede ser escrita como N. u '   u~k(1)Tk ( x) k 0. donde los coeficientes de Chebyshev {u~k(1) } de u' son determinados por la relación recursiva: (Hacer un problema fácil para un ejeemplo entendible) u~N(1)  0 , u~N(1)1  2 N u~N , 2ku~k  u~k(1)1 (1) ~ u k 1  , ck 1  2, si k  1, en que ck    1, si k  2.. k=N–1, N–2, . . ., 1,. 36.

(44) Además de eso, las derivadas de más alto orden pueden obtenerse aplicando la fórmula de arriba en forma repetida. Prueba: por el corolario (1.6.10) deducimos que N. N. k 1. k 0 N. u '   u~k Tk   u~k(1)Tk ( x). Tk 1 ( x) Tk 1 ( x)  ) 2(k  1) k  2 2(k  1) ~ (1) N 1 u c0u~0(1)T1 ( x) c1u~1(1)T2 ( x) N 1 ck 1u~k(1)1    Tk ( x)   k 1 Tk ( x) 2 22 2 k k 3 k 1 2k ~ (1) ~ (1) N 1 c u~N(1)1 u~N(1) k 1u k 1  u k 1   Tk ( x)  TN ( x)  TN 1 ( x) . 2k 2N 2( N  1) k 1.  u~0(1)  u~1(1) x   (. Comparando los coeficientes de T 'k encontramos los coeficientes de Chebyshev {u~ (1k) } de u' que son determinados por la relación de recurrencia.. . Será necesario, cuando ejemplificaremos el método Chebyshev-Colocación en el capítulo de Resultados una matriz que nos de las derivadas en los puntos de Colocación.. Proposición 1.6.21 (Matriz de diferenciación) Sean {lj} los polinomios de Lagrange asociados a los puntos de la integración de Gauss-Lobatto {xj} para el peso de Chebyshev w(x)=(1−x2)−1/2. Los elementos (dkj = l'j(xk) de la matriz diferenciación D = (dkj) k, j=0,1,··· , N son iguales a. ck (1) k  j , d kj  c j ( xk  x j ) d kk . xk 2(1  xk2 ). d 00  d nn . ,. 2n 2  1 , 6. j ≠ k, k = 1, 2, ..., n–1, j ≠ k,. (Trefethen 2007).. Prueba: 2 2 (1) j (2 xTn ( x)  ( x  1)2 xTn( x))( x  x j )  ( x  1)Tn ( x) l j ( x)   , c j n2 ( x  x j )2. (1.17). 37.

(45) por tanto.  (1) j ( xk  1) 2 Tn( xk )  , k  j, k  0 y k  n  2 ( xk  x j )  c jn l j ( x k )   j  (1)  2 (1)Tn (1) , k  0 o k  n, k  j  c n2 ( x  x ) k j  j c~ (1) j  k  k  , 0  k  j n c j ( xk  x j ) para 1  k = j  n − 1,. l k ( x )  l k ( xk ) (1) k ( x 2  1)Tn ( x) / n 2  ( x  xk )  lím x  xk ( x  xk ) ( x  xk ) 2. lk ( xk )  lím. x  xk.  lím. x  xk.  lím. x  xk. . (1) k (2 xTn ( x)  ( x 2  1) Tn( x)) / n 2  1 2( x  xk ) (1) k. (2Tn ( x)  4 x Tn( x))  ( x 2  1)Tn( x)). 2. 2n 4 xk. 3 xk  xk 1 . (  )  2 (1  x k2 ) (1  x k2 ) 2(1  x k2 ). aplicando la ecuación (1.17). l0 ( x0 )  lím. 1.  lím. 1.  lím. 1. x 1 2n 2. . x 1 2n 2. x 1 2n 2. . 1 2n 2. . (2 xTn ( x)  ( x 2  1) Tn( x))( x  1)  ( x 2  1) Tn ( x) ( x  1) 2. ( x  1)Tn ( x)  ( x 2  1) Tn( x) ( x  1).  (Tn ( x)  ( x  1) Tn( x)).  [n 2 . 2(n 2  1)n 2 2n 2  1 . ] 3 6. similarmente. ln ( xn )  lím. 1.  lím. 1.  lím. 1. . x  1 2n 2. x  1 2n 2. x  1 2n 2. . 1 2n 2. . (2 xTn ( x)  ( x 2  1) Tn( x))( x  1)  ( x 2  1) Tn ( x) ( x  1) 2. ( x  1)Tn ( x)  ( x 2  1) Tn( x) ( x  1).  (Tn ( x)  ( x  1) Tn( x)).  [(1). (2)(1) n (n 2  1)n 2 2n 2  1 n  ]  . 3 6. n 1 2. . 38.

(46) Para entender esto debemos ponernos en manos de una serie de Chebyshev, y la vemos en una figura didáctica que es exactamente el siguiente desarrollo:. f(x) = 1 – |x| (U.T.N., 2006 p.3). Ejemplo: Desarrollar la función. Rescribimos la expresión general de la serie de Chebyshev según (1.15): f(x) = 1 – |x|. La que llamaremos “Serie de Chebyshev-Fourier”, en los puntos donde. f ( x) . . . n 0. anTn ( x) ,. (1.18). siempre que la suma converja uniformemente y sea igual a f(x). Donde los an según (1.15) valen: an . Para n=0: a0 . 2. 1.  1. f ( x)Tn ( x).  1. f ( x)Tn ( x). 2. f ( x)T0 ( x). dx . 2. 1. 1  x2. 1.  1. dx. dx . 2. 1.  1. 1  x2 1  x2 1 2 1  | x | 1 2 1 | x| 1   dx  [  dx   dx] 1  1 1  x 2  1 1  x 2 1  x2 1 1 2 x 1 2  4  [2 dx   dx] = 0 1 2  1  x2 1  x2. f ( x) 1  x2. dx. Para n impar: como f(x) es par, Tn(x) es impar y w(x) es par, el integrando resultante es una función impar, y por tanto la integral es nula o sea:. an . 2. 1.  1. ( | x | 1)Tn ( x) 1 x. 2. dx  0 , n impar.. Para n par:. an . . 2. 1.  1 2. . 1. 1. ( | x | 1)Tn ( x) 1 x. 2.  | x | Tn ( x) 1 x. 2. dx . dx  . 4. . 2. . [. 1. 0.  | x | Tn ( x). 1. 1. 1 x. xTn ( x) 1 x. 2. 2. 1. Tn ( x). 1. 1 x. dx  . 2. dx]. dx. 39.

(47) Aquí. 1. 1. Tn ( x) 1 x. Para n=2: a2  . . 4. . [2. 4. . [8. 4. . 0. 1. 1 x. 1 x. x. 0. Tn ( x)T0 ( x). xT2 ( x). 1. 1. Para n=4: a4  . . 2. 1. dx  . 3. 1  x2. 4. . 2. 0. 1  x2. 1. x5. 0. 1  x2. dx  . dx  . xT4 ( x). 1. 2. dx  0 , n0 por ortogonalidad.. 4. 1. 0. . 1. x. 0. 1  x2. dx  . dx  8. 4. 1. 0. . 1. x3. 0. 1  x2. 2x3  x 1 x. dx . 2. dx]  . 4 3. 8x5  8x3  x 1  x2 dx  . dx . 1. x. 0. 1  x2. Por lo tanto, remplazando los coeficientes en f ( x) . dx] =. 4 15. . . n 0. anTn ( x) tenemos:. f ( x)  a0  a2 T2 ( x)  a4 T4 ( x)  ... f ( x) .  2 4 4  (2 x 2  1)  (8 x 4  8 x 2  1)  ...  3 15. Para n =6: a6  . f ( x) . 4. 1.  0. xT6 ( x) 1  x2. dx  . 4. 1.  0. 32 x 7  48x 5  18 x 3  x 1  x2. dx = . 4 . 35.  2 4 4 4  (2 x 2  1)  (8 x 4  8 x 3  1)  (32 x 6  48 x 4  18 x 2  1)  ...  3 15 35.  2 4 f ( x)   (2 x 2  1)  3 4  (8 x 4  8 x 2  1) 15. f ( x) .  2 4  (2 x 2  1)  3. 4 (8 x 4  8 x 3  1) 15 4  (32 x 6  48 x 4  18 x 2  1) 35 . 40.

(48) CAPÍTULO 2 En este capítulo trataremos los aspectos que se refieren a errores de la proyección ortogonal de los polinomios y su convergencia, claro está desde un punto que sea apropiadamente aceptable dentro de las normas y sus cotas.. 2 Estimación de los errores de proyección polinomial. 2.1 Error de la proyección ortogonal en Lw2. Dados r1, r2 > −1 y w(x) = (1 − x)r1(1 + x)r2 definimos el operador A por A   (1  x)  r1 (1  x)  r 2. d {(1  dx. d. x) r11 (1  x) r 2 1 d x } .. (2.1). Por el teorema 1.5.2 AJ n( r1, r 2)  n(n  r1  r 2  1) J n( r1, r 2) .. Proposición 2.1.1. A es auto-adjunto con relación a (· , ·)w, esto es, (A, )w = (, A)w,. para todo ,   D(A) = {u : Au  Lw2(−1, 1)}. Prueba: ( A , ) w  . 1. 1. ( x) ddx {(1  x) r11 (1  x) r 2 1.   ( x){(1  x) r11 (1  x) r 2 1 . 1. 1. d  ( x) }dx dx. d  ( x) 1 } 1 dx. d  ( x ) d ( x ) {(1  dx dx. . x) r11 (1  x) r 2 1}dx.    ( x) ( x){(1  x) r11 (1  x) r 2 1} 1  1. 41.

(49) . 1. d. 1. =. 1. 1  ( x) d x { d. d ( x ) dx.  ( x) d x {. d ( x ) dx. (1  x) r11 (1  x) r 2 1}dx. (1  x) r11 (1  x) r 2 1}dx. = (, A)w Proposición 2.1.2. A = [(r1 + 1)(x + 1) − (r2 + 1)(1 − x)] ' − (1 − x2) ''. Proposición 2.1.3. Para un C > 0. C || A || L2 ( 1,1)  ||  || H 2 ,    H w2 (1, 1) . w. w. Prueba:. A = [(r1 + 1)(x + 1) − (r2 + 1)(1 − x)] ' − (1 − x2) '' (A)2 = [(r1 + 1)(x + 1) − (r2 + 1)(1 − x)]2 ' 2 − 2[(r1 + 1)(x + 1) − (r2 + 1)(1 − x)](1 − x2)  ' '' + (1 − x2)2 '' 2. || A ||2L2 ( 1,1)  . 1. 1. w. {[(r1  1)( x  1)  (r 2  1)(1  x)]2  '2 2[(r1  1)( x  1)   (r 2  1)(1  x)](1  x 2 ) '  ' '(1  x 2 ) 2  ' '2 }w( x)dx. . 1. 1. {[(r1  1)( x  1)  (r 2  1)(1  x)]2  '2 2[(r1  1)( x  1) .  (r 2  1(1  x)](1  x 2 ) '  ' '(1  x 2 ) 2  ' '2 }w( x)dx. Hagamos c1 = sup[(r1+1)(x+1) – (r2+1)(1 – x)]2 c2 = sup(2[(r1+1)(x+1) – (r2+1)(1 – x)](1 – x2)) c3 = sup (1 – x2)2. 42.

(50) entonces para un C > 0 C || A ||2L2 ( 1,1)  c1 . 1. 1. w.  c1 . 1. 1.  ' w( x)dx  c2 . |  '  ' ' | w( x)dx  c3 . 1.  ' w( x)dx  . . 1. máx {c1 , c 2 / 2, c3 }. c2 1 2 1. . c2 1 2 1. . 1. 1.  ' '2 w( x)dx. |  ' |2 w( x)dx. |  ' ' |2 w( x)dx  c3 . 1. 1.  ' '2 w( x)dx. ||  || H 2. w. Definición 2.1.4. La proyección ortogonal PN,w : Lw2(−1, 1)  PPN, siendo1 PPN el espacio de los polinomios de grado  N, es definido por (u − PN,wu, v)w = 0, para todo v  PPN para todo u. Lw2(−1,. . 1), u  . n0. uˆ n J n( r1, r 2) , con uˆ n . (u, J n( r1, r 2) ) w || J n( r1, r 2) ||2L2 ( 1,1) w. N. PN , wu   uˆ n J n( r1, r 2). Luego,. n0. y. || u . PN , wu ||2L2 ( 1,1) w. . . . uˆ n2 || J n( r1, r 2) ||2L2 ( 1,1). . (u, J n( r1, r 2) ) 2w. n  N 1 . . w. ( r1, r 2) 2 ||L2 ( 1,1) n  N 1 || J n. .. . (2.2). w. Teorema 2.1.5. Para un C > 0. C || u  PN , wu ||. L2w ( 1, 1).  N  m || u ||. H wm. ,. para todo u H wm .. Prueba. Sea rn1, r 2 = n(n+1+ r1+r2).. Caso 1 (m=2q). 1. Entendemos por uPPN que u pertenece al conjunto de sumas de polinomios de Chebyshev con coeficiente u~k .. siendo PPN el espacio de los polinomios de grado  N, es definido por (u − PN,wu, v)w = 0.. 43.

(51) (u, J n( r1, r 2) ) w . 1. (u, AJ n( r1, r 2) ) w . rn1, r 2. 1. rn1, r 2. ( Au , J n( r1, r 2) ) w. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1. ( Aq u, J n( r1, r 2) ) w. (rn1, r 2 ) q. por (2.2), tenemos. || u . PN , wu ||2L2 ( 1,1) w. . (u, J n( r1, r 2) ) 2w. . . n  N 1 || . . . N 4q. . 4q. N. Pero de C1 || A ||. L2w ( 1, 1). C || u  PN , wu ||. . 1.  ||  ||. . n0. H w2. w. . ( Aq u, J n( r1, r 2) ) 2w. n  N 1 ||. J n( r1, r 2) ||2L2 ( 1,1) w. ( Aq u, J n( r1, r 2) ) 2w ||. J n( r1, r 2) ||2L2 ( 1,1) w. 1. . N. 4q. || Aq u ||2L2 ( 1,1) w. ,    H w2 (1, 1) y C1 > 0, resulta.  N  m || Aq 1u ||. L2w ( 1, 1). 1. J n( r1, r 2) ||2L2 ( 1,1) (rn1, r 2 ) 2q . 1. w. w. ( Aq u, J n( r1, r 2) ) 2w. n  N 1 ||. C || u  PN , wu ||2L2 ( 1,1) . J n( r1, r 2) ||2L2 ( 1,1). H w2.  N  m || u ||. H wm.  u  H wm. ,. Caso 2 (m=2r+1) como en lo de arriba tenemos que. (u, J n( r1, r 2) ) w  . 1 (rn1, r 2 ) r 1. . 1. . 1. (rn1, r 2 ) r 1 1 r11. || u  PN , wu ||2L2 ( 1,1) . 1 (rn1, r 2 ) r 1. ( Ar u, AJ n( r1, r 2) ) w. ( Ar u ){(1  x)  r1 (1  x)  r 2 . d d ( r1, r 2) [(1  x) r11 (1  x) r 2 1 Jn ]}(1  x) r1 (1  x) r 2 dx dx dx. ( Ar u )' ( J n( r1, r 2) )' wˆ dx ,. (1  x) r 2 1 .. wˆ ( x)  (1  x) w. 1. (rn1, r 2 ) r 1 1 . . ( Ar u, J n( r1, r 2) ) w . . . 1. r1, r 2 2 r  2 )  || J n( r1, r 2) ||2L2 ( 1,1) n  N 1 (n. . w.  (. 1. 1. ( Ar u )' ( J n( r1, r 2) )' wˆ dx) 2. 44.

(52) C || u  PN , wu ||2L2 ( 1,1)  w. . 1 N. 1. . 4r  2. r1, r 2  || n  N 1 n.  (. 1. J n( r1, r 2) ||2L2 ( 1,1) w. . ( Ar u )' ( J n( r1, r 2) )' wˆ dx) 2 .. 1. (2.3). Como { ( J n( r1, r 2) )' } forma un conjunto ortogonal de polinomios en L2ŵ , y || ( J n( r1, r 2) )' ||2L2 ( 1,1)  rn1, r 2 || J n( r1, r 2) || wˆ. L2w ( 1, 1). ,. (2.4).  entonces para cualquier v   n  0 vˆn J n( r1, r 2)  L2w tenemos la expansión  v'   n 1 vˆn ( J n( r1, r 2) )' con. v~n . y. 1. 1. 1. . (v' ) wˆ dx . . . n 1 . . n 1. . v' ( J n( r1, r 2) )' wˆ dx. 1. || ( J n( r1, r 2) )' ||2L2 ( 1,1) wˆ 2. 1. v~n || ( J n( r1, r 2) )' ||. L2wˆ ( 1, 1). 1 ||. J n( r1, r 2) ||2L2 ( 1,1) wˆ. .  [. 1. 1. v' ( J n( r1, r 2) )' wˆ dx]2. 1. . r1, r 2 n  N 1 n. ||. (2.5). J n( r1, r 2) ||2L2 ( 1,1) w.  (. 1. 1. v' ( J n( r1, r 2) )' wˆ dx) 2 .. (2.6). Tomando v = Aru en la relación de arriba y aplicando en (2.17) juntamente con. ŵ =w(1–x2)  w obtenemos C || u  PN , wu ||2L2 ( 1,1)  w. N 1.  . 1 4r  2. 4r  2. N 1 N. 2m. . 1. 1. (( Ar u )' ( x)) 2 w( x)dx. 1. . 1. (( Ar u )' ( x)) 2 wˆ ( x)dx , para C > 0,.  || Ar u ||2H w . 1 N. 2m.  || Ar u ||2H m . w. 2.2 Error de Proyección ortogonal en H 01, w. Definición 2.2.1. PN0 = { uPN | u(±1) = 0 }.. 45.