2.8.3 Solución de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas por el método de variación de parámetros

(1)

2.8.3 Solución de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas por el método de variación de parámetros

Variación de parámetros

Un procedimiento para ecuaciones de segundo orden de la forma

2 2( ) 2 1( ) o( ) ( ) d y dy a x a x a x y g x dx dx + + = (1)

La convertimos a la forma estándar dividiendo entre a x₂( ) quedando

2 2 ( ) ( ) ( ) d y dy p x q x y f dx dx + + = x (2) ( )

p x , q x y ( ) f x , son contínuas en el intervalo ( ) I Partiendo de la hipótesis

1( ) ( )1 2( ) ( )2

p

y =u x y x +u x y x (3)

Donde y y₁, ₂ forman un conjunto fundamental de soluciones en I , de la forma homogénea asociada..

Si tuviéramos una ecuación de primer orden entonces la solución particular sería

1( ) ( )1

p

y =u x y x (4)

Si nuestra ecuación fuera de coeficientes constantes, encontramos la solución de la ecuación y_c como ya sabemos.

Para , necesitamos determinar dos funciones desconocidas que son u , para lo cual requerimos de otra ecuación.

p

y ₁, u₂

0

Entonces podemos establecer como hipótesis nuevamente que

1 ´1 2 ´2

(2)

1 1 2 2

´ ´ ´ ´ ( )

y u +y u = f x (6)

De tal manera que la solución del sistema (por regla de Cramer)

1 2 1 ( ) ´ W y f u W W = = − x (7) 2 1 2 ( ) ´ W y f x u W W = = (8) Donde

(

)

1 2 1 2 1 2 , ´ ´ y y W y y y y = 2 1 2 0 ( ) ´ y W f x y = , 1 2 1 0 ´ ( y W y f x = ) (9) Las funciones u , u se pueden obtener integrando u , u , [15] ₁ ₂ ´₁ ´₂

Resumiendo

Para encontrar la solución de un sistema de orden , primero se encuentra la función complementaria, se determina el wronskiano para y , se obtiene la forma estándar de la ecuación, para encontrar

2

1

y y₂ ( )

f x , se determinan los valores de u , integrando u , que fueron obtenidas previamente en base a (7) y (8)

1 u2 ´1 u´2

Para resolver ecuaciones de orden superior, tendríamos

1( ) ( )1 2( ) ( ) ...2 ( ) ( )

p n

y =u x y x +u x y x + +u x y x_n (10)

Siendo y y₁, ,...,₂ y_n un conjunto fundamental de soluciones, donde

1 1 ´ W u W = , 2 2 ´ W W = u ,…, ´ n n W W = u (11)

Este método tiene la ventaja de que no se limita a las combinaciones de senos, cosenos, exponenciales y algebraicas, además, los coeficientes de sus derivadas pueden ser variables.

( ) g x

(3)

El método de variación de parámetros tiene una ventaja sobre el de los coeficientes indeterminados, porque siempre se llega a una solución particular cuando se puede resolver la ecuación homogénea relacionada. En las ecuaciones diferenciales con coeficientes variables a diferencia de los coeficientes indeterminados, también se puede aplicar el método de la variación de parámetros.

p

y

Ejemplo 2.8.3.1 Determinar la solución de _y_{´´ 4 ´ 4}₋ _y₊ _y₌

(

_x₊₁

)

_e2x

Paso 1. Encontrar la solución complementaria , la ecuación características es

,

(

)

, es una raíz real repetida, por lo que la solución sería

c y 2 ₄ ₄ m − m+ = 0 2 2 m− = 0 2 x 2 1 2 x c y =c e +c xe (12)

Basado en esa solución complementaria, (12), tenemos que

2 1 x y =e y 2 (13) 2 x y = xe

Paso 2. Creamos el wronskiano con las funciones de (13) y sus derivadas, quedando

(

1, 2

)

₂22 ₂ 2 2 x x x x e xe W y y e xe e = + 2 x ,

(

)

(

)

( )

2 2 2 2 2 1, 2 2 2 x x x x y y =e xe +e − e xe x W , o sea

(

)

4 1, 2 x W y y =e (14)

Paso 3. Creamos el wronskiano para y y₁ y₂

(

)

2 1 2 2 0 1 x x x xe W _{2 x} x e xe e = + + ,

(

)

( )

2 2 1 1 x x e xe = − + W x ,

(

)

4 1 1 x x = − + W x e (15)

(

)

2 2 2 2 0 2 1 x x x e W e x e = + ,

(

)

( )

2 2 2 1 x x W = x+ e e ,

(

)

4 2 1 x e = + W x (16) Paso 4. Encontramos 1 1 ´ W W = u y 2 2 ´ W W = u , donde

(4)

(

)

4

₍

₎

1 4 1 ´ 1 x x x xe u x e − + = = − + x y

(

)

(

)

4 2 4 1 ´ 1 x x x e e + u = = x+ (17)

Paso 5. Encontramos u y u integrando (17) ₁ ₂

(

2

)

1 u =

∫

− −x x dx , 3 1 1 1 3 2 = − − _x2 u x y u₂ =

∫

(

x+1

)

dx 2 2 1 2x u = + x (18)

Paso 6. Determinamos la solución particular en base a (3), por lo que

3 2 2 2 1 1 1 3 2 2 x x p y = −_ x − x e_ +_ x +x    2 xe    entonces Desarrollando 1 3 2 1 2 2 1 2 2 2 3 2 2 x x x p y = − x e − x e + x xe +xx_{e , simplificando}x 3 2 2 2 1 1 6 2 x p y = x e + x e x ₍₁₉₎

La solución general entonces

2 2 3 2 2 1 2 1 1 6 2 x x x y c e= +c xe + x e + x e2x ₍₂₀₎

Ejemplo 2.8.3.2 Encontrar la solución de y´´+ =y sen x

( )

Paso 1 . Encontrar la solución complementaria , la ecuación característica es , , raíces imaginarias, por lo que la solución sería

c y _m2 _{+ =}_{1 0} 1,2 m = ±i

( )

1cos 2 c y =c x +c sen x (21)

Basándonos en (21), tenemos que

( )

1 cos

(5)

Paso .Creamos el wronskiano con las funciones de (22) y sus derivadas 2

(

1 2

)

( )

_{( )}

( )

_{( )}

cos , cos x sen x W y y sen x x =

− , W y

(

1,y2

)

=cos2

( )

x +sen x2

( )

por lo que

(

1, 2

)

1

W y y = (23)

Paso . Formamos el wronskiano para y 3 y₁ y₂

( )

1 0 cos sen x W sen x x

= , por lo que W₁ = −sen x sen x

( ) ( )

, (24)

( )

2 cos x 0 W sen x sen x =

− , por lo que W2 =sen x

( ) ( )

cos x (25)

Paso . Determinamos 4 1 1 ´ W W = u y 2 2 ´ W W = u , de (24) y (25) entre (23) 2 2 1 ( ) ´ ( 1 sen x u = − = −sen x) , u´₂=sen x

( ) ( )

cos x (26) Paso . Resolvemos u y u integrando (26) 5 ₁ ₂

2 1 ( ) u = −

∫

sen xdx , ₁ 1 1 (2 ) 2 4sen = − + u x x , d

( ) ( )

2 cos u =

∫

sen x x x 2 2 1 ( ) 2 en = u s x o 2 2 1 cos ( ) 2 = − u x

Paso . Encontramos la solución particular en base a 6 y_p =u x y x₁( ) ( )₁ +u x y x₂( ) ( )₂

Por lo que _{cos( )} 1 1 _{(2 )} 1_{cos ( )}2 _{( )}

2 4 2

p

y = x _− x+ sen x _− x sen

  x

(6)

( )

2

1 2

1 1 1

cos cos( ) (2 ) cos( ) cos ( ) ( )

2 4 2

y c= x +c sen x + − x x + sen x x − x sen x (27)

Ejemplo 2.8.3.3 Resolver y´´+ =y sec

( )

x

No debemos olvidar que debe dejarse la ecuación en la forma estándar

Encontrar la solución complementaria , la ecuación características es , , por lo que la solución sería

c y _m2 _{+ =}_{1 0} 1,2 m = ±i

( )

1cos 2 c y =c x +c sen x (28)

En base a y_c, tenemos que y₁ =cos

( )

x y y₂ =sen x

( )

(29) Determinamos el wronskiano con las funciones (29) y sus derivadas

(

1 2

)

( )

_{( )}

( )

_{( )}

cos , cos x sen x W y y sen x x = − ,

(

)

( )

2 2 1,y2 =cos x +sen x W y , W y

(

₁,y₂

)

=1

Determinamos el wronskiano para y y₁ y₂, o bien

( )

1 0 sec cos sen x W x x

= , W₁ = −sec

( ) ( )

x sen x , utilizando 1 sec( ) cos( ) x x = y ( ) tan( ) cos( ) sen x x x = , obtenemos 1 tan W = − x (30)

( )

2 cos 0 sec x W sen x x =

− , W2 = −sec

( ) ( )

x cos x , utilizando

1 ( ) cos( ) x sec x = , obtenemos 2 1 W = (31)

(7)

Encontramos 1 1 ´ W W = u y 2 2 ´ W W = u , o sea 1 tan ´ t 1 x u = − = − an x ´₂ 1 1 1 = = u (32)

Integrando (32) u₁= −

∫

tan( )x dx, u₁=ln(cos( ))x , u₂ =

∫

dx u₂ = x La solución particular en base a (3), y_p =cos( ) ln cos( )x

{

[

x

]

}

+

( )

x sen( )x La solución general

( )

{

[

]

}

( )

1cos 2 cos( ) ln cos( ) ( ) 3

y c= x +c sen x + x x + x sen x sen x_ _ (33)

Ejemplo 2.8.3.4 Resolver 4 ´y´ 36+ y =csc 3

( )

x

Debe dejarse la ecuación en la forma estándar tenemos ´´ 9 1csc 3

( )

4

y + y= x

Determinar y_c, la ecuación características es _m2 _{+ = ,}_{9 0} _m2 _{= − ,}₉ _{por lo que la}

solución sería 1,2 3 m = ± i

( )

1cos 3 2 3 c

y =c x +c sen x . En base a y_c, tenemos

( )

1 cos 3

y = x y y₂ =sen

( )

3x (34)

Creamos el wronskiano con (34) y sus derivadas

(

1 2

)

( )

_{( )}

( )

_{( )}

cos 3 3 , 3 3 3cos 3 x sen x W y y sen x x = − ,

(

)

( )

2 2 1,y2 =3cos 3x +3sen 3x W y , W y

(

₁,y₂

)

=3

(8)

( )

1 0 3 1 csc 3 3cos 3 4 sen x W x x = , ₁ 1csc 3

( ) ( )

3 4 x sen = W x Utilizando la identidad ) 1 (3 ) x sen x = csc(3 , obtenemos ₁ 1 4 W =

( )

2 cos 3 0 1 3 3 csc 3 4 x W sen x x = − , 2

( ) ( )

1 csc 3 cos 3 4 W = x x Utilizando la identidad ) 1 (3 ) x sen x = csc(3 , y (3 ) cos(3 ) (3 ) cot x x sen x = Obtenemos ₂ 1cot 3

( )

4 = W x Encontramos u y u de (7) y (8) ´₁ ´₂ 1 1 1 4 ´ 3 12 u = = y ₂

( )

1 cot 3 ₁ 4 ´ c 3 12 x = = ot 3 u x (35)

Encontramos u y u integrando(35), por eso ₁ ₂ ₁ 1 12 u = x y ₂ 1 ln

( )

3 36 u = _sen x _ La solución particular 1 3 1 2 2 1 2 3 2 2 x x p y = −_ x − x e_ +_ x +x    2 xe    Desarrollando 1 cos 3

( )

1 ln

( )

3

( )

3 12 36 p y =_ x_{ } x _+_ _sen x  _{ }_ sen _     x Simplificando 1 cos 3

( )

1

( )

3 ln

( )

3 12 36 p y = x x + sen x _sen x _ La solución general

(9)

( )

1 2

1 1

cos 3 3 cos 3 3 ln 3

12 36

y c= x +c sen x − x x + sen x _sen x _ (36)

Ejemplo 2.8.3.5 Resolver y´´ y 1

x − =

Encontrar la solución complementaria , la ecuación característica es , por lo que la solución sería

c y _m2 _{− =}_{1 0} 1,2 1 m = ± 1 2 x c

y ₌c e ₊c e−x_{, Basándose en dicha solución}

1

x

y = y e _y₂ ₌_e−x (37)

Creamos el wronskiano con las funciones (37) y sus derivadas

(

1, 2

)

x x x x e e W y y e e − − = − ,

(

1, 2

)

(

) ( )

x x x y ₌e ₋e− ₋e e−x W y , W y

(

₁,y₂

)

= −2 Creamos el wronskiano para y y₁ y₂

1 0 1 x x e W e x − − = − , 1 1 x W e x − = − y para ₂ 0 1 x x e e W x = , _W₂ 1_ex x = Determinamos ₁ 1 1 ´ 2 2 x x e x u e x − − − = = − y 2 1 1 ´ 2 2 x x e x u e x = = − − Hallamos u y u integrando ₁ ₂ 1 1 2 x e u d x − =

_∫

x , ₁ 1 2 x e x = −

_∫

u d x (38)

Son integrales difíciles de integrar, pero podemos utilizar un cambio de variables en una integral definida.

(10)

Quedando 0 1 1 2 t x x e t − =

_∫

u d y t 0 2 1 2 t x x e t = −

_∫

u d t Determinamos 0 0 1 1 2 2 t t x _x x _x p _x _x e e y dt e t t − dt e−    =_ _ + −_ 

∫

 

∫

   Entonces la solución general

0 0 1 2 1 1 2 2 t t x x x x x x x e e y c e c e dt e dt e t t − −    = + +_ _ + −_ 

∫

 

∫

x −    (39)

En una ecuación de orden superior, mayor al segundo orden se sigue el mismo procedimiento, solo que en este caso tendríamos soluciones linealmente independiente como resultado de la función homogénea, y por consecuencia necesitamos encontrar n

funciones , al formar el wronskiano para cada una de las soluciones las primeras n n

´( )

u x −1

funciones son ceros, y la e-nésima es el valor de ( )f x , es decir formamos funciones como

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 ´ ´ ... ´ 0 ´ ´ ´ ´ ... ´ ´ 0 ´ ´ ... ´ ( ) n n n n n n n n n y u y u y u y u y u y u y −u y −u y −u f x + + + = + + + = = + + + = # # # # #

Las funciones se obtienen integrando todas y cada una de las funciones basándose en n u x( )_k u x´( )_k ´( k u x)_k W W = donde k =1, 2...n Cauchy-Euler

Teniendo una ecuación diferencial lineal con coeficientes variables, es decir dependen también de x. La solución se expresa en términos de logaritmos, senos y cosenos.

Una ecuación de la forma 1 1

1 1 ... 1 ( ) n n n n n n n n o d y d y dy a x a x a x a y g x dx dx dx − − − − + + + + = (40)

(11)

Donde los coeficientes: son constantes, también recibe el nombre de Ecuación de Euler, o Ecuación Equidimensional..

1,...,

,

n n

a a ₋ a_o

En esta forma de ecuaciones hay que observar el grado de x, es del mismo orden que el de la derivada.

Es decir, si tenemos una tercera derivada, entonces x es elevada a la tercera potencia, y si tenemos una segunda derivada, entonces x debe estar elevada a la segunda potencia

Resolviendo ecuaciones del tipo Cauchy -Euler

Utilizando una sustitución _y₌ _xm (41)

Sus derivadas serían, hasta la derivada de orden 4

(42) 1 ´ m y mx= − 2 ´´ ( 1) m y ₌m m₋ x − _o_y_{´´ (}₌ _m2 ₋_{m x}₎ m−2 ₍₄₃₎ 3 ´´´ ( 1)( 2) m y =m m− m− x − o _y_´´´₌

(

_m3₋₃_m2 ₊₂_{m x}

)

m−3 ₍₄₄₎

(

₄

)

(

3 ₃ 2 ₂

)

IV m y ₌ m₋ m ₋ m ₊ m x −4_o_yIV ₌

(

_m4 ₋₇_m3 ₊₁₄_m2 ₋₈_{m x}

)

m−4 ₍₄₅₎

Realizar las sustituciones, simplificar y factorizar _xm

Obtenemos el producto de un polinomio de orden y el término n _{x , donde ese polinomio}m

es de la forma de una ecuación auxiliar ya conocida.

Para dicha ecuación se pueden presentar los cuatro casos que ya conocemos, respecto a las raíces, (reales, reales repetidas, complejas conjugadas, complejas conjugadas repetidas), y sus respectivas soluciones.

Caso I. Su solución sería 1 2 (46)

1 2 ... n

m

m m

n

y c x= +c x + c x

Caso II. Su solución sería 1 1 2 (47)

1 2 ln( ) 3ln ( )

m m

(12)

Caso III. Su solución sería y=x cα

{

₁cos_βln

( )

x _+c sen₂ _βln

( )

x _

}

(48) Caso IV. Su solución sería si hubiera complejas conjugadas repetidas, se multiplicaría

por el factor de repetición que en este caso es ln( )x , como ejemplo

( )

{

1cos ln 2 ln

}

ln

( )

{

3cos ln

( )

4 ln

( )

}

y=x cα _β x _+c sen_β x _ +xα x c _β x _+c sen_β x _ (49) Cuando se tiene una ecuación no homogénea, se encuentra la solución complementaria, mediante la sustitución anterior. Y la ecuación se reduce a la forma estándar, y por variación de parámetros se resuelve y_p.

Por ejemplo en una ecuación de segundo orden tendríamos

2 2 2 0 d y dy ax bx cy dx dx + + = (50)

Si sustituimos en (50), las ecuaciones (41), (42) y (43) que son _y₌_xm_{y sus derivadas,}

tendremos 2 2 2 0 m m m d d ax x bx x cx dx dx + + = o bien

(

)

(

)

2 ₍ ₁₎ m 2 m1 ax m m₋ x − ₊bx mx − ₊cxm ₌₀ Simplificando y factorizando

(

) ( )

2 2 2 ( 1) m d y dy ax bx cy a m m b m c x dx dx + + = − + +  (51)

La ecuación auxiliar sería _{a m m}

(

( ₋1)

) ( )

₊_{b m} ₊_{c x}m ₌₀

  de tal manera que _y ₌_xm_es

una solución de la ecuación diferencial siempre que sea una solución de la ecuación auxiliar anterior, la cual podemos reescribir como

(

)

2 ₀

am b a m c

 + − + =

  (52)

(13)

Ejemplo 2.8.3.6 Resolver la ecuación diferencial _{x y}2 _{´´ 7 ´ 7}₊ _xy₋ _y ₌₀

Sustituyendo en la ecuación diferencial _y₌ _xm_{y su primera y segunda derivada como (42)}

y (43) tenemos

(

)

(

)

(

) ( )

2 2 m 2 ₇ m 1 ₇ m

x m −m x − + x mx − − x = 0

Simplificando y factorizando _{x obtenemos}m

(

_m2 ₊₆_m₋₇

)

_xm ₌₀

La ecuación característica es

(

_m2 ₊₆_m₋₇

)

_{= , factorizando}₀

(

_m₋₁

)(

_m₊₇

)

₌₀_{las raíces}

son m₁ =7 y m₂ = −1, raíces reales y distintas y de acuerdo a(46) La solución sería 7 1

1 2

y c x= +c x−

Ejemplo 2.8.3.7 Resolver la ecuación diferencial _{x w}2 _{´´ 6 ´ 4}₊ _xw₊ _w₌₀

Haciendo _{w x}₌ m, la primera derivada sería _{w mx}_´₌ m−1_{, la segunda derivada sería}

, o bien

(

´´

w =m _m−₁

)

_xm−2 _w_´´₌

(

_m2 ₋_{m x}

)

m−2

Sustituyendo en la ecuación diferencial _x2

(

_m2 ₋_{m x}

)

m−2

)

₊₆_{x mx}

(

m−1

) ( )

₊₄ _xm ₌₀

(

_m2 ₊₅_m₊₄

)

_xm ₌₀

Ecuación característica

(

_m2 ₊₅_m₊₄

)

₌0, factorizando

(

_m₊₁

)(

_m₊₄

)

₌₀_{las raíces son} y m

1 4

m = − ₂ = −1

La solución sería según (46) 4 1

1 2

y c x₌ − ₊c x− Cuando se tienen raíces reales repetidas

(14)

En el caso de raíces reales repetidas m₁ =m₂ y teniendo __am2 ₊

(

_{b a m c}₋

)

₊ _₌₀   Entonces 2 1,2 ( ) ( ) 4 2 b a b a ac a − − ± − − =

m pero ₍_{b a}₋ ₎2 ₋₄_{ac 0}_{= por lo que}

1 ( ) 2 b a a − = − m (53)

Podemos obtener una segunda solución basada en

( )

( ) 2 1 2 1 p x dx e y y y −∫ =

∫

(54)

De tal manera que sustituyendo _y₌_xm_{en (54), obtenemos}

( )

1 1 ( ) 2 2 p x dx m m e y x x −∫ =

_∫

(55)

Teniendo la ecuación de segundo grado

2 2 2 0 m m m d x dx ax bx cx dx dx + + =

Obtenemos la forma estándar dividiéndola entre _ax2, resultando

2 2 2 0 m m m d x b dx c x ax dx dx + +ax = (56) Dado que ₁ ( 2 b a m a − = − ) separando términos 1 1 1 2 b a  = _− +   m _ (57) Identificando ( )p x b ax =

(15)

Entonces ( ) b dx p x dx _ax e− −∫ ∫ = e , b dx b a x a e− ∫ = x− (58)

Sustituyendo (58) en la segunda solución (55), obtenemos

( )

1 1 2 2 b a m m x y x x −     = _ _    

∫

Reacomodando

( )

1 2 2 b m _a

y = x

∫

x x− − m1dx , utilizando y sustituyendo en ella (57), Entonces

( )

1 1 2 1 2 2 b b m a a y x x d   − − _− +_   =

∫

x , resultando

( )

1 1 2 m y ₌ x

∫

x d− _x_{, integrando}

( )

1

( )

2 m ln y = x x 0 Por lo que la solución sería

1 1

1 2 ln( )

m m

y c x= +c x x (59)

Ejemplo de raíces reales repetidas

Ejemplo 2.8.3.8 Resolver 9_{x y}2 ´_{´ 15 ´}₊ _{xy y}_{+ =}

Haciendo _y₌_xm, y utilizando sus derivadas, como en (42) y (43)

Sustituyendo en la ecuación diferencial ₉_x2 _

(

_m2 ₋_{m x}

)

m−2_₊₁₅_{x mx}

(

m−1

) ( )

₊ _xm ₀

  =

(

₉_m2 ₊₆_m₊₁

)

_xm ₌₀

Donde la ecuación característica es

(

₉_m2 ₊₆_m_{+ = , factorizando}₁

)

₀

obtenemos las raíces

(

)

2 3m+1 = 0 1,2 1 3 m = − La solución sería acorde a (47)

1 1

3 3

1 2 ln( )

(16)

Observe el factor de repetición en (60), que en este caso es ln( )x

En ecuaciones de orden superior si la raíz m tiene multiplicidad entonces tenemos como solución

1 k

1

m

x , xm1ln( )x , xm1

(

ln( )x

)

2,…, xm1

(

ln( )x

)

k−1 (61)

Las cuales son soluciones linealmente independientes.

Por lo que la solución general debe contener una combinación lineal de esas soluciones. k Ecuación de cuarto orden

Ejemplo 2.8.3.9 Resolver la ecuación _xyIV ₊6 ´´´ 0_y ₌

Observar que no tiene la forma de una ecuación de Cauchy-Euler, por lo que multiplicamos por _{x , donde}3 _{x xy}3

(

IV ₊_{6 ´´´}_y

)

_{= , resulta}₀

4 IV ₆ 3 _´´´

x y + x y = 0 (62)

Haciendo , utilizando las ecuaciones (44) y (45) que corresponden a la tercera y cuarta derivada.

m

y =x

Sustituyendo en la ecuación diferencial (62)

(

)

(

)

4 4 ₇ 3 ₁₄ 2 ₈ m 4 ₆ 3 3 ₃ 2 ₂ m 3 x m − m + m − m x − + x m − m + m x − = 0 0 Simplificando y factorizando

(

_m4 ₋_m3 ₋₄_m2 ₊₄_{m x}

)

m ₌ Ecuación característica _m4 ₋_m3 ₋₄_m2 ₊₄_m_{= 0} Resolviendo 1 1 1 4 4 1 0 4 1 0 4 0 − − − −

(17)

(

_m3 ₋₄_m

) (

₌_{m m}2 ₋_{4 , por lo que}

)

1 1

m = , m₂ = y 0 m_3,4 = ± , 2 raíces diferentes y un 2 par de raíces repetidas.

La solución sería, según (46) y (47)

( )

2 2

1 2 3 4 ln

y c= +c x c x+ +c x x (63)

En el caso de las raíces complejas conjugadas, como m_1,2 = ±α βi, donde α y β son reales y mayor que cero, una solución sería y c x₌ ₁ α β+ i ₊_{c x}₂ α β− i_{, pero es más conveniente}

expresar la solución en términos de

[

]

[

]

{

1cos ln( ) 2 ln( )

}

y= x cα β x +c sen β x (64)

Un ejemplo de raíces complejas

Ejemplo 2.8.3.10 Resolver _{x y}3 _{´´´ 6}₋ _y₌₀

Haciendo _y₌_xm, utilizando la ecuación (44) que corresponde a la tercera derivada.

Sustituyendo en la ecuación diferencial _{x m}3

(

3 ₋₃_m2 ₊₂_{m x}

)

m−3 ₋₆_xm ₌₀

(

_m3₋₃_m2 ₊₂_m₋₆

)

_xm ₌₀

La ecuación característica _m3₋₃_m2 ₊₂_m_{− = 0}₆

Encontrando las raíces mediante la división sintética

3 1 3 2 3 0 6 1 0 2 0 6

− −

Un factor es

(

m−3

)

y el factor resultante

(

_m2 ₊₂

)

_{el cual nos da raíces imaginarias.}

(18)

La solución sería 3 0

(

( )

)

1 1cos 2 ln 2 2 ln y c x= +x c _ x _+c sen_ x _ o bien

( )

3 1 1cos 2 ln 2 2 ln y c x= +c _ x _+c sen_ x _ (65)