6. NÚMEROS COMPLEJOS.

6. NÚMEROS COMPLEJOS.

6.1. Introducción.

Recordemos en primer lugar todos los tipos de números que conocemos y la razón, desde el punto de vista algebraico, por la cual se han ido ampliando:

-` Números naturales: {0, 1, 2, 3,...}

Necesidad de ampliación: para resolver operaciones como 7−12. - ] Números enteros: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} = `+ negativos

Necesidad de ampliación: para resolver operaciones como 3

4. - _ Números racionales: ⎨⎧...,− ,− − − − −, , , , ,− , , , , , ,...⎫⎬ ⎩ ⎭ 23 7 2 7 1 5 3 2 1 0 1 2 2 3 5 9 3 2 = ] + fracciones

Necesidad de ampliación: para resolver operaciones como 2.

- \ Números Reales: _⎨⎧...,− π,− −, ,− −Φ − −, , , , , , , , , ,e ,...⎫_⎬

⎩ ⎭

7 2 1 5

2 3 10 1 0 1 2 2

3 5 3 2 = _ + irracionales

Necesidad de ampliación: para resolver operaciones como −4.

- ^ Números Complejos: _⎨⎧_{...,− π,− ,− − −Φ −, , , , , , , , ,e ,...,− + i i, ,...}⎫_⎬ ⎩ ⎭ 7 2 1 5 2 10 2 0 1 2 2 3 3 5 3 2 = \ + imaginarios

6.2. Historia.

La primera referencia conocida de raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el s. I antes de Cristo, al intentar hacer una sección de una pirámide. Sin embargo, fueron rechazados (al igual que los números negativos) por la falta de un equivalente dentro de la geometría.

Volvieron a aparecer a finales del s. XVI, cuando Tartaglia y Cardano se dedicaron a buscar fórmulas que permitieran calcular las raíces de polinomios de grados 2 y 3. Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con raíces de números negativos. Algunos matemáticos, como Bombelli, hicieron uso de los números complejos en su intento de resolver ecuaciones cúbicas, aceptándolos e incluso dando algunos resultados relacionados con ellos.

Pero la mayoría de los matemáticos de entonces se negaban a aceptarlos. Los consideraban como fantasmas de otro mundo, por carecer de representación real, y fueron llamados números imposibles o imaginarios por Descartes en el s. XVII. Como anécdota contaremos que Leibnitz definió la unidad imaginaria como “una especie de anfibio entre el ser y la nada”. En 1673 el matemático inglés J.Wallis dio la primera representación geométrica de los números complejos, pero no contribuyó a mejorar su aceptación.

Euler intentó comprender a lo largo del s. XVIII qué eran realmente, y en 1770, en su “Introducción completa al Álgebra” dice: «Puesto que todos los números concebibles son mayores que cero, menores que cero, o iguales a cero, está claro que las raíces cuadradas de números negativos no pueden ser incluidas entre los números posibles (reales). En consecuencia debemos decir que son números imposibles. Y esta circunstancia nos lleva al concepto de tales números, que por su naturaleza son imposibles, y ordinariamente se le llama imaginarios o ideales, porque existen sólo en la imaginación». En 1777 introduce por primera vez el símbolo i para notar a la unidad imaginaria.

En 1799 Gauss dio su primera demostración del teorema fundamental del Álgebra, y puesto que ésta dependía necesariamente del reconocimiento de los números complejos, Gauss consolidó la posición de estos números. La interpretación geométrica descrita por Wessel el mismo año, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss, también contribuyó al desarrollo de la teoría de los números complejos.

Aún así, durante el s. XIX seguía existiendo un grupo de profesores de la Universidad de Cambridge que mantenían «una invencible repulsión hacia la objetable √ 1, adoptando artificios para evitar su uso donde quiera que fuera posible». Y también De Morgan, en su libro “On the study and difficulties of Mathematics” (1831) afirma: «Hemos demostrado el símbolo √ como vacío de significado o más bien absurdo y contradictorio en sí mismo. No obstante, por medio de tales símbolos se ha establecido una parte del Álgebra de gran utilidad…».

En la época en que De Morgan escribió lo anterior, los conceptos de números complejos y funciones complejas estaban camino de clarificarse. Pero la difusión de los nuevos conocimientos fue lenta.

6.3. Unidad imaginaria.

Al resolver la ecuación x2 + =1 0 se obtiene x= ± −1. Como sabemos, NO es un número real, ya que es imposible encontrar un número real que elevado al cuadrado (en general, elevado a un exponente par) dé negativo.

Así pues, se define la unidad imaginaria como el número cuyo cuadrado es −1 : i = −2 1 .

De aquí podríamos escribir que

i

= −1

, aunque esta nomenclatura es muy peligrosa, ya que tendemos a realizar cuentas con las raíces cuadradas como si fueran números reales, y esto puede llevar a errores, como por ejemplo: i2 = − ⋅ − = − ⋅ − =1 1

( ) ( )

1 1 1= ≠ −1 1 .

Por tanto, no suele ser conveniente realizar esta identificación de la unidad imaginaria.

Observemos lo que pasa cuando realizamos potencias de exponente natural de la unidad imaginaria: i0 =1 i1 =i i5 = ⋅ = ⋅ =i i4 1 i i i2 = −1 i6 = ⋅ = ⋅ = = −i i4 2 1 i2 i2 1 i3 = ⋅ = − ⋅ = −i i2 1 i i i7 = ⋅ = ⋅ = = −i i4 3 1 i3 i3 i

( )

i4 = ⋅ = − ⋅ − =i i2 2 1 1 1 i8 = ⋅ = ⋅ = =i i4 4 1 i4 i4 1

Las dos primeras potencias, de exponentes 0 y 1, deben dar como resultado el que hemos obtenido si queremos mantener la coherencia con las definiciones y las propiedades de las potencias de números reales. Además, observamos que los resultados se repiten cada 4 y que, todas las potencias que tienen como exponente un múltiplo de 4, dan como resultado la unidad. Esto nos permite calcular una potencia cualquiera de i, dividiendo el exponente entre 4 y quedando el resto de la división como nuevo exponente:

Ejemplos: i43 =i4 10 3⋅ + =

( )

i4 10⋅ = ⋅ = −i3 1 i3 i ; i18 =i4 4 2⋅ + =

( )

i4 4⋅ = −i2 1

Además, ya que el resto de la división sólo puede ser 0, 1, 2, y 3, los únicos resultados posibles para cualquier potencia de la unidad imaginaria serían los que hemos obtenido en la primera columna de la tabla anterior.

Un número imaginario puro es aquel que se obtiene al multiplicar un número real por la

unidad imaginaria.

Ejemplos: −3i ; 3i ; πi ; 2i ; 1⋅ =i i ; 15i

También podemos deducir del comportamiento de las potencias de la unidad imaginaria: a) El producto de dos números imaginarios puros es un número real:

( ) ( )

3i ⋅ 5i =15⋅ = −i2 15 ; i⋅ −

(

13i

)

= − ⋅ =13 i2 13

b) El cuadrado de un número imaginario puro es siempre un número real negativo:

( )

i = ⋅ = −i ; ⎛_⎜− i⎞_⎟ = ⋅ =i − ⎝ ⎠ 2 2 _{2 2} 3 9 ₂ 9 2 2 2 5 25 25

c) Como consecuencia de la propiedad anterior, podemos afirmar que la raíz cuadrada de un número real negativo es un número imaginario puro:

( )

( )

ya que ya que i i i i − = = − − = = − 2 2 4 2 2 4 15 15 15 15 6.4. Números complejos.

Un número complejo, escrito en forma binómica (dos términos), es el que se obtiene al sumar

un número real con un imaginario puro. Por tanto, tiene la forma a+bi, siendo a y b números reales.

a = parte real (si a=0, el número bi es imaginario puro) z = a+bi

b = parte imaginaria (si b=0, el número a es real)

Para que dos números complejos sean iguales, tienen que tener igual parte real e igual parte imaginaria: a bi c di a c b d = ⎧ + = + ⇔ ⎨ ₌ ⎩ .

El conjugado de un número complejo es otro número complejo que tiene igual parte real y

parte imaginaria opuesta: z= +a bi ⇒ z= −a bi conjugado. Propiedades:

• El conjugado de una suma es la suma de los conjugados: z+ = +w z w • El conjugado de un producto es el producto de los conjugados: z w· =z w· • El conjugado del conjugado es el mismo número: z= z

El afijo de un número complejo es el par ordenado formado por su parte real y su parte

Teniendo en cuenta la estructura de \ -espacio vectorial que posee \ (el plano), es decir, las 2 propiedades que cumplen las operaciones con pares ordenados, el afijo nos proporciona otra forma de ver a los números complejos, llamada forma cartesiana, ya que existe una correspondencia única entre un número complejo y su afijo:

* Los afijos de las unidades real e imaginaria son: 1= + ⋅ ≡1 0 i

( )

1 0, y i= + ⋅ ≡0 1 i

( )

0 1 , *

( ) ( ) ( )

a b, = a,0 + 0,b = ⋅a

( )

1 0, + ⋅b

( )

0 1, ≡ ⋅ + ⋅ = +a 1 b i a bi

Además, el afijo de un número complejo, nos permite representarlo gráficamente en los ejes cartesianos identificando eje horizontal con EJE REAL y eje vertical con EJE IMAGINARIO:

A través de la representación gráfica, podemos descubrir algunas propiedades geométricas del opuesto (simétrico respecto al origen de coordenadas) y del conjugado (simétrico respecto al eje real) de un número complejo:

Se define el módulo de un número complejo z= +a bi , r= , como la distancia del afijo z

( )

,

A≡ a b al origen de coordenadas, o lo que es lo mismo, el módulo del vector OAJJJG, o también, la raíz cuadrada del producto de dicho número por su conjugado: r= =z z z· = a2+b2 .

Propiedades:

• El módulo de una suma es menor o igual que la suma de los módulos:

z+ ≤ + w z w

• El módulo de un producto es el producto de los módulos: z w· = z w· • El módulo del conjugado es igual que el del número: z = z

Se define el argumento principal de un número complejo z= +a bi, α =arg z

( )

, cuyo afijo es A≡

( )

a b, , como el ángulo que forma el semieje real positivo con el vector OAJJJG, esto es:

( )

si si arg si si si a y b a y b z a y b a y b b arctg a y b a π π α π ⎧ _{= >} ⎪ ⎪ ⎪ _{= <} ⎪ ⎪ = =⎨ > = ⎪ _{< =} ⎪ ⎪ _{≠ ≠} ⎪ ⎪ ⎩ 0 0 2 3 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0

Teniendo en cuenta estos dos últimos conceptos y la representación gráfica, podemos escribir los números complejos en forma polar, r_α, donde r= = módulo del número complejo z, y z α

=argumento principal del número complejo:

Resumiendo, hay cuatro formas diferentes de escribir un número complejo y su relación es:

Binómica z= +a bi , º Ejemplo: arctg r z a b i b a α ⎧ = = + ⎪ ⇒ ⎨ + = = ⎪ ⎩ 2 2 60 26 3 4 5 Cartesiana z≡

( )

a b, Polar z= r_α º cos Ejemplo: sen a r i b r

α

α

= ⋅ ⎧ ⇒ _{⎨ = ⋅} = + ⎩ 245 2 2

La forma polar de escribir los números complejos es especialmente ventajosa a la hora de realizar productos, divisiones, potencias y raíces, ya que el cálculo es mucho más sencillo que cuando están escritos en forma binómica o cartesiana.

6.5. Operaciones con números complejos.

(A) La suma, resta y multiplicación de números complejos en forma binómica, se realizan siguiendo las reglas de las operaciones con números reales y teniendo en cuenta que i2 = −1 .

Para dividir, se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

OPERACIÓN RESULTADO Ejemplo

SUMA (a+bi) + (c+di)= (a+c) + (b+d)i

(

− +5 3i

) (

+ −6 9i

)

= −1 6 i

RESTA (a+bi) - (c+di)= (a-c) + (b-d)i

(

− +5 3i

) (

− −6 9i

)

= − +11 12i PRODUCTO (a+bi)·(c+di)= (ac-bd) + (ad+bc)i

(

− +5 3i

) (

⋅ −6 9i

)

= − +3 63i

DIVISIÓN = + + di c bi a

(

) (

)

(

a bic di

) (

c dic di

)

ac bdc d bc adc d i + ⋅ − ₌ + ₊ − + ⋅ − 2+ 2 2+ 2 i i i − + ₌− ₋ − 5 3 19 3 6 9 39 13 POTENCIA

(

a bi+

)

2 =

(

a2−b2

)

+2abi

El caso general se haría mediante el binomio de Newton:

(

a bi

)

n n ·an·

( )

bi ... n ·a ·

( )

bi n n ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + =_{⎜ ⎟} + +_{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 ₀ 0

(

− +5 3i

)

2 =16−30i RAÍZ

(

)

a x y a bi x yi a bi x yi b xy ⎧ = − + = + ⇔ + = + ⇒ ⎨ ₌ ⎩ 2 2 2 2 sustitución x y i x yi xy x y y y y x y x i i i ⎧ = − − = + ⇒ ⎨ − = ⎩ − ⎧ = ⎪ ⇒ ⎨ ⇒ ⎪ + − = ⎩ = ⇒ = − ⎧ ⇒ _{⎨ = − ⇒ =} ⇒ ⎩ − + ⎧ − = ⎨ ₋ ⎩ 2 2 4 2 3 3 4 4 2 2 3 4 0 1 2 1 2 2 3 4 2

El caso general de una raíz n-ésima se complicaría bastante porque hay que aplicar la fórmula del binomio de Newton y resolver un sistema no lineal de grado mayor que 2.

(B) Las operaciones, realizadas en forma cartesiana, se corresponden con las definidas para pares ordenados, pero es más fácil recordarlas o realizarlas en forma binómica, por lo que únicamente escribimos las fórmulas a título de curiosidad:

OPERACIÓN RESULTADO OPERACIÓN RESULTADO SUMA (a,b) + (c,d)= (a+c,b+d) PRODUCTO (a,b)·(c,d)= (ac-bd,ad+bc)

RESTA (a,b) - (c,d)= (a-c,b-d) DIVISIÓN ( , ) ( , ) a b c d = , ac bd bc ad c d c d + − ⎛ ⎞ ⎜ _{+ +} ⎟ ⎝ 2 2 2 2 ⎠

(C) En forma polar:

OPERACIÓN RESULTADO

SUMA

RESTA

PRODUCTO r rα⋅ 'β =

(

r r⋅ '

)

α β+ (producto de módulos ; suma de argumentos)

DIVISIÓN ' r r α β = ' r r _{α β−} ⎛ ⎞ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (cociente de módulos ; resta de argumentos) POTENCIA

( )

r_α n =

( )

rn _n

α (módulo elevado a n ; n veces el argumento)

RAÍZ n_r α =

( )

con , ,..., n k n r _{α+2 π} k=0 1 n−1

Todo nº complejo (salvo el 0) tiene n raíces n-ésimas, que ocupan los vértices de un polígono regular de n lados con centro en el origen de coordenadas.

Ejemplos: ƒ 5_30º⋅6_15º =30_45º ; 20_60º:4_45º =5_15º ;

( )

2_30º 3 =8_240º ƒ

(

)

( )

(

)

(

)

º º º º º º cos º sen º , cos º sen º , i i i i + = = ⋅ + ⋅ = = ⎧ ⎪ − = = ⎨ = = ⋅ + ⋅ = − = − ⎪ ⎩ 180 90 2 180 180 360 270 2 2 2 2 90 90 2 0 2 4 4 2 2 2 270 270 2 0 2

Las operaciones definidas anteriormente cumplen las propiedades tradicionales, esto es: *

(

^,+

)

es un grupo abeliano. -Conmutativa:

(

2+ + − −i

) (

3 2i

) (

= − −3 2i

) (

+ + = − −2 i

)

1 i -Asociativa: ⎡_⎣

(

2+ + − −i

) (

3 2i

)

_⎦⎤+ =4i

(

2+ + − −i

) (

⎡_⎣ 3 2i

)

+4i⎤_⎦= − +1 3i -Elemento neutro:

(

5− + +i

) (

0 0i

)

= −5 i -Elemento opuesto:

(

5− + − + = +i

) (

5 i

)

0 0 i *

(

^−

{ }

0 ,⋅

)

es un grupo abeliano. -Conmutativa:

(

2+ + − −i

) (

3 2i

) (

= − −3 2i

) (

+ + = − −2 i

)

1 i -Asociativa: ⎡_⎣

(

2+ ⋅ − −i

) (

3 2i

)

_⎦⎤⋅ =4i

(

2+ ⋅ − −i

) (

⎡_⎣ 3 2i

)

⋅4i⎤_⎦=28−16i -Elemento neutro:

(

5− ⋅ +i

) (

1 0i

)

= −5 i -Elemento inverso:

(

− ⋅i

)

⎛_⎜ + i⎞_⎟= + i ⎝ ⎠ 5 1 5 1 0 26 26

Además, podemos afirmar que es un cuerpo algebraicamente cerrado, esto es, que cogidos cualesquiera dos números complejos, el resultado de cualquier operación que podamos hacer con ellos también es un número complejo.

6.6. Fórmula de De Moivre.

Si calculamos una potencia de un número complejo de módulo 1 en forma polar, obtenemos

la fórmula de De Moivre, que tiene múltiples aplicaciones, especialmente en Trigonometría:

( ) (

n

cos

sen

)

n

( )

n n

(

cos

sen

)

cos

sen

n

i

n

i

n

n

i

n

α =

α

+

⋅

α

= _α = ⋅

α

+

⋅

α

=

α

+

⋅

α

1 1 1

(

cos

α

+

i

sen

α

)

n

=

cos

n

α

+

i

sen

n

α

Para que se vea la utilidad de esta fórmula en trigonometría, vamos a utilizarla para calcular las razones trigonométricas del ángulo doble

(

n= 2 :

)

(

)

(

)

cos sen cos sen

cos sen · ·cos ·sen cos sen

cos sen cos

·cos ·sen sen

i i i i α α α α α α α α α α α α α α α α + = + ⇒ ⇒ − + = + ⇒ ⎧ _{− =} ⇒ ⎨ = ⎩ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6.7. Ejercicios.

1. Determina k para que:

a. ki i + + 1 2 3 sea i) igual a

ii) imaginario puro iii) real i ⎧ ₊ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 8 1 13 13 b. ki i + − 6 2 3 sea i) igual a

ii) imaginario puro iii) real i ⎧ ₊ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 9 20 13 13

2. Calcula las siguientes potencias de la unidad imaginaria: a. i7283 b. i6974

c. i1064 d. i3689

3. Calcula el módulo y el argumento principal de los siguientes números complejos: a. − +3 2i b. −36i

c. 49 d. 1−1i

4. Escribir cada uno de los siguientes números complejos de las otras tres formas posibles: a. 6−6 3i b. 10_135º c. − −2 2i d. 1_270º e.

(

−4 3 4,

)

f. 4· cos

(

120º+i·sen120º

)

g. 8−8i h.

(

3 2 3 2,

)

i. − +10 10i 5. Calcula y simplifica: a.

(

3 2− i

)

·2i+ − −

(

5 2i

) (

− +i 1

) (

· 2− +i

)

i b.

(

5+i

)

·3i− − +

(

4 6i

) (

+ − +i 9

) (

· 2− −i

)

8 i c.

(

i i i i

)

i − − − − 2 5 2 7 6 2 2 d.

(

i i i i

)

i + + − + + 2 2 3 4 2 3 1 2 e. i i i − − 11 11 4 f. + + + + +i i i ... i +i 2 3 20 21 1

g. 660º·4 245º (en forma binómica) h.

(

6−6 3i

)

·10135º

i. i i − + − 2 5 3 2 j. i i + + 4 4

1 3 (en forma binómica y en forma polar)

k.

(

2−2i

)

4 (en forma polar) l.

(

− + i

)

5

1 3 (en forma polar) m.

(

3−2i

) (

2+ −3 2i

) (

3 + −3 2i

)

4 n. ⎡_⎣2· cos

(

120+i·sen120

)

⎤_⎦6 o.

( )

º º 3 20 60 3 2 p. i ⎛_{− +} ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5 1 3

2 2 (en forma polar)

q.

(

2+2 3i

)

4 (en forma polar) r.

(

3+i

)

7 (resultado en forma binómica)

s. 21 20 t. − i 42i−40 (en forma polar)

u. 4 (resultados en forma binómica) v. −4 (resultados en forma cartesiana) w. 4 i (resultados en forma cartesiana) x. −4 i (resultados en forma binómica) y. 3

(

_{2 3}+₂i

)

_{(resultado en forma trigonométrica) z.}

º

3 39

8 (resultados en forma trigonométrica)

aa. 3 ₂₇· cos

(

₉₉º+i·sen₉₉º

)

_bb. 3

(

₂+ _2i

)

_{(resultados en forma trigonométrica)} cc.

(

1+i

)

30 dd.

(

− −5 5i

)

6

6. Calcula, simplifica y expresa el resultado en forma binómica: a. 12_45º·3_120º b. 14_75º:7_25º

c. 2_35º·7_10º d. 36_135º:4_90º

7. Calcula las siguientes raíces y efectúa, en cada caso, el producto de todas las soluciones. a. 3 _º 36 243 b. 4 _º 20 81 c. 6 − 64 d. 6 +i 1 e. 5 + i 10 10 f. 4 1296180º

8. Calcula las siguientes raíces y efectúa, en cada caso, la suma de todas las soluciones. a. 5 1 b. 8 1 c. 3 − 8 d. 4 625 e. 12 5 f. + i 3 4 − i g. 3 i

64 (resultados en forma binómica) h. 4 1296180º

9. Consideremos el número complejo z= − +2 3i. Calcula: a. Su opuesto

b. Su conjugado

c. El conjugado de su opuesto d. El opuesto de su conjugado

e. ¿Qué relación existe entre estos dos últimos?

10. ¿Cómo debe ser el número complejo z= +a bi para que su cuadrado sea: a. Imaginario puro

b. Un número real positivo c. Un número real negativo.

11. Utiliza la fórmula de De Moivre para hallar las fórmulas del ángulo triple.

13. Resuelve la ecuación x2− 12x+ =4 0 y realiza el cociente de las dos soluciones, efectuándolo en forma binómica y polar.

14. Halla un número complejo que sumado con i

i

+ −

1

2 2 dé otro número complejo de módulo 2

y argumento 45º.

15. Una de las raíces cúbicas de un cierto número complejo es 2_60º. Calcula las otras dos y el número complejo de que se trata.

16. Calcula un número complejo tal que 2_30º sea una de sus raíces quintas. Escribe todas las raíces quintas de dicho número en forma trigonométrica y represéntalas gráficamente. Calcula el perímetro y el área del pentágono que determinan.

17. Supongamos dibujadas en el plano las bisectrices de los cuatro cuadrantes. Si se traza una circunferencia de centro el origen y radio 3, y se designan por A, B, C y D los puntos de corte de la misma con las bisectrices, ¿cuáles son los números complejos de afijos A, B, C y D?

18. Representa gráficamente la suma y la diferencia de los números 1−3i y − +2 2i. 19. Escribir una ecuación de segundo grado, una de cuyas raíces sea el número:

a. 1−3i b. 3− 2i c. 2+2i d. − +1 3i

2 2

20. El número complejo 3−2i es una raíz de una ecuación de segundo grado. ¿Cuál es la otra raíz? ¿De qué ecuación se trata?

6.8. BIBLIOGRAFÍA.

Para la elaboración de estos apuntes, se ha utilizado como material:

1º Mayoritariamente, las explicaciones y ejercicios propuestos en clase por los profesores del Departamento de Matemáticas del Colegio Virgen de Gracia (Granada).

2º Para desarrollar y completar algunos temas, apuntes y ejercicios obtenidos de:

-Internet:

(A) http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/

(B) http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_complejos

-Libros de texto:

(A) Anzola, M. y otros: “Funciones 1”, Ediciones SM, 1982.

(B) Lazcano, I. y otros: “Matemáticas 1º BUP”, Editorial Edelvives, 1982. (C) Álvarez, F. y otros: “Factor 1”, Editorial Vicens-Vives, 1991.