FIGURAS PLANAS. ÁREAS

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FIGURAS PLANAS. ÁREAS

2º DE ESO

JUAN MIGUEL MÉNDEZ LÓPEZ

IES Puerta de Pechina

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Índice de Contenidos

1 TEOREMA DE PITÁGORAS

Justicación de la Expresión del Teorema de Pitágoras 2 APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

Determinar si un triángulo es rectángulo Cálculo de la diagonal de un rectángulo Cálculo de la altura de un triángulo isósceles Cálculo de la apotema de un polígono regular 3 ÁREAS DE POLÍGONOS

Área de los paralelogramos Área del triángulo

Área del trapecio

Área de un polígono regular

4 Longitud de una circunferencia y de un arco de circunferencia 5 Áreas de guras circulares

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Teorema de Pitágoras

Los lados (b y c) de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto, se llaman catetos. El otro lado (a) se denomina hipotenusa.

A B C c a b Theorem

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a2 ₌_b2₊_c2_.

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Justicación de la expresión del teorema de Pitágoras I

Parte I a2 A B C c a b

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Justicación de la expresión del teorema de Pitágoras II

Parte II Paso 2

Los triángulos rectángulos del Paso 2 los recolocamos tal y como se indica en el Paso 3.

a2 b b b c c c A B C c a b Paso 3

Obsérvese que el ancho y el alto son los mismos en los dibujos.

c b

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Justicación de la expresión del teorema de Pitágoras III

Parte III Paso 3

Completamos la gura del Paso 3 con cuadrados (ver Paso 4).

c b

Paso 4

Obsérvese que el ancho y el alto son los mismos en los dibujos.

c b b2

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Justicación de la expresión del teorema de Pitágoras IV

Parte IV

Los dos cuadrados son iguales.

a2 b b b c c c A B C c a b c b b2 c2

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Justicación de la expresión del teorema de Pitágoras V

Parte V La superfcie de este cuadrado es igual a2 a

a la suma de las áreas de estos dos cuadrados

c b b2

c2

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Determinar si un triángulo es rectángulo

Dado un triángulo, A B _C c a b

1 es rectángulo si a2 =b2+c2, siendo el lado a el más grande.

2 es acutángulo si a2 <b2+c2, siendo el lado a el más grande.

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Determinar si un triángulo es rectángulo

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Determinar si un triángulo es rectángulo

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Ejemplos I

Ejemplo 1

Tenemos tres segmentos cuyas medidas son 3 cm, 5 cm y 6 cm. Clasica el triángulo en función de sus ángulos.

a = 6 b = 5 c = 3    ⇒ 62 =36 52₊₃2₌_{25 + 9 = 34} ⇒62 >52+32⇒es un triángulo obtusángulo. Ejemplo 2

a = 5 b = 4 c = 3    ⇒ 52 =25 42₊₃2₌_{16 + 9 = 25} ⇒52 =42+32⇒es un triángulo rectángulo.

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Ejemplos I

Ejemplo 3

a = 5 b = 4 c = 4    ⇒ 52 =25 42₊₄2₌_{16 + 16 = 32} ⇒52 <42+42⇒es un triángulo acutángulo.

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Cálculo de la diagonal de un rectángulo

Calcula la diagonal de un rectángulo de base 4 cm y altura 3 cm.

d 4

3

Por el teorema de Pitágoras,

d2₌₄2₊₃2 ₌_{16 + 9 = 25 ⇒ d}2₌_{25 ⇒ d =}√_{25 ⇒ d = 5.}

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Cálculo de la altura de un triángulo isósceles

Calcula la altura de un triángulo isósceles cuya base mide 3 cm y el otro lado mide 3 cm.

4

1.5 1.5 h

La altura divide al triángulo en dos triángulos rectángulos. Luego podemos utilizar el teorema de Pitágoras para calcularla.

42₌_h2₊_1,52 _⇒_h2 ₌₄2₋_1,52 _⇒_h2₌_{16 − 2,25 ⇒ h}2₌

13,75 ⇒ h =√13,75 ⇒ h = 3,71.

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Cálculo de la apotema de un polígono regular

Calcula la apotema de un exágono regular de lado 6 cm.

a 3 3

6 6

En un hexágono regular se verica que la longitud del radio es igual a la longitud del lado.

En el dibujo se observa que la apotema es un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es 6 cm y el otro cateto 3 cm. Por lo tanto, se puede utilizar el teorema de Pitágoras.

62 ₌_a2₊₃2 _⇒_a2₌

62₋₃2 _⇒_a2 ₌_{36 − 9 ⇒}

a2 ₌_{25 ⇒ a =}√_{25 ⇒ a = 5.}

La apotema de este hexágono mide 5 cm.

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Área del cuadrado y del recta«gulo

Área del cuadrado y del rectángulo Área del cuadrado

l

El área de un cuadrado de lado l: A = l2_.

Área del rectángulo

b a

El área de un rectángulo de base b y altura a es: A = b · a.

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Área del rombo I

Área del rombo Área del rombo

dD

El área de un rombo de diagonal menor d y diagonal mayor D es: A = d · D₂ .

Justicación

Hagamos coincidir los lados del rombo con las hipotenusas de cuatro triángulos

rectángulos iguales a los que las diagonales d y D dividen al rombo. De esta forma la gura obtenida tendra el doble de área que el rombo original. La gura que hemos construido es un rectángulo de base d y altura D.

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Área del rombo II

Área del rombo

d D

Como el área de este rectángulo es A = d · D, entonces el área del rombo es A = d · D₂ .

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Área del romboide

h b

El área de un romboide de base b y altura h es: A = b · h.

Justicación

h

b b

h Si el triángulo coloreado de verde lo cambiamos de lugar, se obtiene un rectángulo. Por lo tanto, el área del romboide de base b y altura h coincide el área de un rectángulo de base b y altura h. Es decir, A = b · h.

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Área del triángulo

h b

El área de un triángulo de base b y altura h es: A = b · h₂ .

Justicación

h

b _{Con dos}

triángulos iguales podemos construir un romboide de base b y altura h. Por lo tanto, el área de un triángulo de base b y altura h es la mitad del área del romboide. Es decir, A = b · h

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Ejemplo

Calcula el área de un triángulo de base 8 cm y altura 6 cm.

6 cm 8 cm A = b · h₂ = 8 × 6 2 = 48 2 =24. El área del triángulo es de 24 cm2_.

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Área del trapecio

b

B h

El área de un trapecio de base mayor B , base menor b y altura h es: A = (B + b) · h₂ . Justicación b b+B h B

Con dos trapecios iguales podemos construir un romboide de base B + b y altura h. Por lo tanto, el trapecio de base mayor B, base menor b y altura h es la mitad del área del romboide. Es decir, A = (B + b) · h₂ .

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Ejemplo

Calcula el área de un trapecio de base mayor 8 cm, base menor 5 y altura 6 cm. 5 cm 8 cm 6 cm A = (B + b) · h 2 = (8 + 5) × 6 2 = 13 · 6 2 = 78 2 =39. El área del trapecio es de 39 cm2_.

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Área de un polígono regular

a r l

El área de un polígono regular de apotema a es: A = p · a₂ , donde p es el perímetro y a la potema.

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Longitud de una circunferencia y de un arco de

circunferencia

Longitud de una circunferencia r La longitud de una circunferencia de radio r es: L = 2πr. Longitud de un arco de circunferencia r α A B La longitud de un arco de circunferencia de radio r es y α grados es: L = 2πrα₃₆₀ .

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Áreas de guras circulares

Área del círculo

r

A = πr2

Área del sector circular r α B A A = π₃₆₀r2α Área de la corona circular r R A = π R2₋_r2

FIGURAS PLANAS. ÁREAS