La Línea Recta

53  Descargar (0)

Texto completo

(1)

La línea recta

La línea recta

La

La rectarecta, o linea recta, en geometría, es el ente ideal que sólo posee una, o linea recta, en geometría, es el ente ideal que sólo posee una

dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos); también se describe (el fragmento de línea más corto que une dos puntos); también se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una

como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión.sola dimensión.

Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. La rectas se suelen que determinan relaciones entre los entes fundamentales. La rectas se suelen denominar con una letra minúscula.

denominar con una letra minúscula. Eu

Euclclidideses, , en en su su tratratatado do dedenonomiminanado do LoLos s ElElememenentotos,s,11 estestablablece ece vavariasrias

definiciones relacionadas con la línea y la línea

definiciones relacionadas con la línea y la línea recta:recta:

• Un línea es una longitud sin Un línea es una longitud sin anchura (Libro I, definición 2).anchura (Libro I, definición 2). •

• Los extremos de una línea son puntos (Libro Los extremos de una línea son puntos (Libro I, definición 3).I, definición 3). •

• Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos queUna línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que

están en ella (Libro I, definición 4). están en ella (Libro I, definición 4).

También estableció dos postulados relacionados con la

También estableció dos postulados relacionados con la línea recta:línea recta:

• Por dos puntos diferentes sólo pasa una línea recta (Libro I, postuladoPor dos puntos diferentes sólo pasa una línea recta (Libro I, postulado

1). 1).

• Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulosSi una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos

interiores, la suma de los cuales es menor que dos ángulos rectos: las interiores, la suma de los cuales es menor que dos ángulos rectos: las dos rectas, suficientemente alargadas, se cortarán en el mismo lado dos rectas, suficientemente alargadas, se cortarán en el mismo lado (Libro I, postulado 5).

(Libro I, postulado 5).

Características de la recta

Características de la recta

 Algunas de las carac

 Algunas de las características de la recta son las siguterísticas de la recta son las siguientes:ientes:

• La recta se prolonga al infinito La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos.en ambos sentidos. •

• La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en laLa distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en la

geometría euclidiana. geometría euclidiana.

• La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersecciónLa recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección

de dos planos. de dos planos.

(2)

Ecuación de la recta

Tomados dos puntos de una recta, la pendiente , es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación:

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente: ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m

es la tangente de la recta con el eje de abscisas X.

Forma simplificada de la ecuación de la recta

Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de

ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la

recta, y 2 − y 1 = m( x 2 − x 1):

ECUACIÓN ORDENADA AL ORIGEN

Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se

puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

Forma segmentaria de la ecuación de la recta

(Ecuación simétrica)

(3)

recta, conocidos ay b (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos

de la recta los cuales son los siguientes:

y

Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe calcular la pendiente:

Después se sustituye en la ecuación y 2 − y 1 = m( x 2 −  x 1), usando cualquiera de

los dos puntos, en este caso (a, 0):

Por último se tiene que dividir toda la ecuación entre el término independiente

ab:

ECUACIÓN SIMÉTRICA

Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación se suele utilizar para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean conocer los puntos donde dicha recta intersecta a los ejes.

Forma normal de la ecuación de la recta

(4)

Donde k que es una constante que nos ayudará a obtener la forma normal, la

cual se puede obtener de la forma general de la recta.

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

Sacando raiz cuadrada a la suma de los cuadrados de A y B . Como sigue:

Con el número k podemos obtener a cosω y a senω de la misma ecuación

general de la recta, dividiendo a A y B entre k y para calcular p dividimos a C

entre k.

Debemos tener cuidado al calcular C, por que C=-kp, entonces si C>0 (es positiva) tomaremos el valor negativo de k (y será el mismo todas las veces que usemos a k en la misma ecuación), cuando C<0 (es negativa) usaremos el

valor positivo de k.2

(5)

La ecuación explícita de una recta en el plano, por ejemplo la recta r responde

a la fórmula general:

La ecuación anterior debe cumplirse en los puntos A y B, de modo que:

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

• m se denomina pendiente de la recta y su valor es el de la tangente del

ángulo (α) que forma la recta con el eje x.

• m es el resultado de dividir la diferencia ordenadas entre la diferencia de

abscisas de un par de puntos cualesquiera de la recta.

• n representa el punto de intersección de la recta con el eje Y (eje de

ordenadas).

Rectas notables

• La ecuación de una recta vertical, tal como la v, responde a la ecuación

general x = x v (constante).

• La ecuación de una recta horizontal, tal como la h, responde a la

ecuación general y = y h (constante).

• Una recta trigonoidal, tal como la s, que pase por el origen O (0, 0),

cumplirá la condición n = 0, siendo su ecuación: .

• Dos rectas cualesquiera:

serán paralelas si y solo si . Además, serán coincidentes cuando:

(6)

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Sean P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos de una recta. En base a estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.

Para ello tomemos un tercer punto R(x,y), también pertenciente a la recta.

Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener  la misma pendiente. O sea

y

Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:

que también se puede expresar como

Ejemplo:

Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(1,2) y Q(3,4)

y - 2 = x - 1 x - y + 1 = 0

(7)

Distancia entre dos puntos

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor  absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo: La distancia entre los pun tos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor  absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

 Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras. Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)

(8)

Formula del punto medio Si las cordinadas de A y B son (x1, y1) y (x2,y2) respectivamente, entonces el punto medio M del segmento AB tiene l as cordenadas (x1 + x2/ 2, y1 + y2/ 2).

Figure

Actualización...

Referencias

Related subjects :