11
CAMPO ELÉCTRICO Y POTENCIAL
CAMPO ELÉCTRICO Y POTENCIAL
22
CARGA ELÉCTRICA CARGA ELÉCTRICA
Existen dos tipos de carga: a carga positi!a " a carga Existen dos tipos de carga: a carga positi!a " a carga negati!a# Los $to%os est$n &or%ados por 'n n(ceo donde negati!a# Los $to%os est$n &or%ados por 'n n(ceo donde se concentra a carga positi!a )protones* " 'na corte+a se concentra a carga positi!a )protones* " 'na corte+a donde reside a carga negati!a )eectrones*# La %ateria donde reside a carga negati!a )eectrones*# La %ateria ordinaria es ne'tra: e n(%ero de cargas positi!as coincide ordinaria es ne'tra: e n(%ero de cargas positi!as coincide con e de cargas negati!as, pero a existencia de as cargas con e de cargas negati!as, pero a existencia de as cargas p'ede
p'ede ponerse ponerse de de %ani&iesto %ani&iesto con con ag'nos ag'nos experi%entosexperi%entos sencios )aparici-n de cargas por &rota%iento, sencios )aparici-n de cargas por &rota%iento, eectroscopio.*# eectroscopio.*# C C 1/ 1/ 0/21 0/21 ## 1 1 ⋅⋅ −−11 == ee
La 'nidad de carga en e siste%a internaciona es e C'o%3io )C*# La 'nidad de carga en e siste%a internaciona es e C'o%3io )C*#
La carga e4ctrica est$ c'anti+ada: se presenta en a nat'rae+a en %(tipos de a 'nidad La carga e4ctrica est$ c'anti+ada: se presenta en a nat'rae+a en %(tipos de a 'nidad &'nda%enta de carga, a %$s pe5'e6a carga i3re 5'e p'ede %edirse, 5'e corresponde a a carga &'nda%enta de carga, a %$s pe5'e6a carga i3re 5'e p'ede %edirse, 5'e corresponde a a carga de 'n eectr-n 7
de 'n eectr-n 7 ee o de 'n prot-n 8 o de 'n prot-n 8ee,,
La carga e4ctrica es 'na propiedad intr9nseca de a %ateria 5'e se %ani&iesta a tra!4s de La carga e4ctrica es 'na propiedad intr9nseca de a %ateria 5'e se %ani&iesta a tra!4s de &'er+as de atracci-n o rep'si-n 5'e deter%inan as interacciones eectro%agn4ticas &'er+as de atracci-n o rep'si-n 5'e deter%inan as interacciones eectro%agn4ticas )reacionadas con ca%pos e4ctricos " %agn4ticos*#
22
CARGA ELÉCTRICA CARGA ELÉCTRICA
Existen dos tipos de carga: a carga positi!a " a carga Existen dos tipos de carga: a carga positi!a " a carga negati!a# Los $to%os est$n &or%ados por 'n n(ceo donde negati!a# Los $to%os est$n &or%ados por 'n n(ceo donde se concentra a carga positi!a )protones* " 'na corte+a se concentra a carga positi!a )protones* " 'na corte+a donde reside a carga negati!a )eectrones*# La %ateria donde reside a carga negati!a )eectrones*# La %ateria ordinaria es ne'tra: e n(%ero de cargas positi!as coincide ordinaria es ne'tra: e n(%ero de cargas positi!as coincide con e de cargas negati!as, pero a existencia de as cargas con e de cargas negati!as, pero a existencia de as cargas p'ede
p'ede ponerse ponerse de de %ani&iesto %ani&iesto con con ag'nos ag'nos experi%entosexperi%entos sencios )aparici-n de cargas por &rota%iento, sencios )aparici-n de cargas por &rota%iento, eectroscopio.*# eectroscopio.*# C C 1/ 1/ 0/21 0/21 ## 1 1 ⋅⋅ −−11 == ee
La 'nidad de carga en e siste%a internaciona es e C'o%3io )C*# La 'nidad de carga en e siste%a internaciona es e C'o%3io )C*#
La carga e4ctrica est$ c'anti+ada: se presenta en a nat'rae+a en %(tipos de a 'nidad La carga e4ctrica est$ c'anti+ada: se presenta en a nat'rae+a en %(tipos de a 'nidad &'nda%enta de carga, a %$s pe5'e6a carga i3re 5'e p'ede %edirse, 5'e corresponde a a carga &'nda%enta de carga, a %$s pe5'e6a carga i3re 5'e p'ede %edirse, 5'e corresponde a a carga de 'n eectr-n 7
de 'n eectr-n 7 ee o de 'n prot-n 8 o de 'n prot-n 8ee,,
La carga e4ctrica es 'na propiedad intr9nseca de a %ateria 5'e se %ani&iesta a tra!4s de La carga e4ctrica es 'na propiedad intr9nseca de a %ateria 5'e se %ani&iesta a tra!4s de &'er+as de atracci-n o rep'si-n 5'e deter%inan as interacciones eectro%agn4ticas &'er+as de atracci-n o rep'si-n 5'e deter%inan as interacciones eectro%agn4ticas )reacionadas con ca%pos e4ctricos " %agn4ticos*#
LEY ;E CO<LOM= LEY ;E CO<LOM=
La &'er+a e>ercida por 'na carga p'nt'a so3re otra act(a a o argo de a 9nea 5'e as 'ne# Esta &'er+a La &'er+a e>ercida por 'na carga p'nt'a so3re otra act(a a o argo de a 9nea 5'e as 'ne# Esta &'er+a !ar9a in!ersa%ente con e c'adrado de a distancia 5'e as separa " es proporciona a prod'cto de as !ar9a in!ersa%ente con e c'adrado de a distancia 5'e as separa " es proporciona a prod'cto de as cargas# La &'er+a es rep'si!a si as cargas son de %is%o signo " atracti!a en caso contrario#
cargas# La &'er+a es rep'si!a si as cargas son de %is%o signo " atracti!a en caso contrario#
12 12 22 12 12 22 11 12 12 uu r r q q q q k k F F
==
?2 ?2 2 2 N N %% CC 1/ 1/ ⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
==
k k 12 12 r r 12 12 u u F F 1212 12 12 r r 12 12 u u 12 12 F FO3ser!aci-n: c'ando signo)
O3ser!aci-n: c'ando signo)qq11* @ signo)* @ signo)qq22**
⇒
⇒
uu1212 "" F F 1212 tienen e %is%o sentidotienen e %is%o sentido Sistemas de cargas Sistemas de cargas 22 q q 11 q q q q 11 q q qq22 1 1 q q qq22e apica e principio de s'perposici-n: e apica e principio de s'perposici-n:
La &'er+a so3re cada carga es a s'%a )!ectoria* de as La &'er+a so3re cada carga es a s'%a )!ectoria* de as &'er+as e>ercidas so3re ea por e resto
&'er+as e>ercidas so3re ea por e resto de as cargas#de as cargas#
12 12 F F :2 :2 F F 2: 2: F F 1: 1: F F 12 12 u u 1: 1: u u 21 21 u u uu2:2: :2 :2 u u :1 :1 u u 12 12 22 12 12 22 11 12 12 uu r r q q q q k k F F == 2: 2: 22 2 2 11 2 2 uu r r q q q q k k F F == 1: 1: 22 1 1 11 1 1 uu r r q q q q k k F F == 21 21 22 21 21 22 11 21 21 uu r r q q q q k k F F == :1 :1 22 22 11 1 1 uu r r q q q q k k F F == 1122 :2:2 2 2 uu r r q q q q k k F F == 21 21 F F :1 :1 F F
'%ando os t4r%inos de '%ando os t4r%inos de esta co'%na se o3tiene esta co'%na se o3tiene a &'er+a so3re a carga 2 a &'er+a so3re a carga 2 '%ando os t4r%inos de
'%ando os t4r%inos de esta co'%na se o3tiene esta co'%na se o3tiene a &'er+a so3re a carga 1 a &'er+a so3re a carga 1
'%ando os t4r%inos de '%ando os t4r%inos de esta co'%na se o3tiene esta co'%na se o3tiene
B
Las 9neas de ca%po se a%an ta%3i4n 9neas de &'er+a por5'e s' tangente %'estra a direcci-n de a &'er+a e>ercida so3re 'na pe5'e6a carga positi!a de pr'e3a#
La densidad de 9neas en c'a5'ier p'nto )n(%ero de 9neas por 'nidad de $rea perpendic'ar a as 9neas* es proporciona a a %agnit'd de ca%po en dico p'nto#
i 'na carga positi!a %'" pe5'e6a )carga de pr'e3a* se a3andona i3re%ente en 'n ca%po e4ctrico, seg'ir9a 'na tra"ectoria deno%inada 9nea de ca%po# La direcci-n tangente a esta 9nea en cada p'nto es a de ca%po e4ctrico, "a 5'e es a direcci-n de a &'er+a e>ercida so3re a carga de pr'e3a#
CAMPO ELÉCTRICO 12 2 12 2 1 12 u r q q k F
=
12 r 12 u F 12 1 q q2 12 2 12 1 2 12 12 u r q k q F E =
=
Le" de Co'o%3 12E D'er+a por'nidad de
carga )NC* 12 E 12 r 12 u 1 q Punto fuente 2 q Punto campo
E ca%po creado por 'na carga p'nt'a es radia e in!ersa%ente proporciona a c'adrado de a distancia
r r 2 r : ( )r E ( ) ( )2r E r EB E = ( ) ( ):r E r E E =
C$c'o de ca%po e4ctrico de3ido a 'n gr'po de cargas p'nt'aes en posiciones &i>as
Principio de s'perposici-n X Y 1 q 2 q : q % 1
E>e%po: siste%a de cargas de a &ig'ra# C$c'o de ca%po en origen coordenadas#
NEC 1/ 2/ # 1 ⋅ F = E G BF
F
;os cargas positi!as de ig'a %agnit'd# L9neas de ca%po# E ca%po e4ctrico en c'a5'ier p'nto es tangente a a 9nea de ca%po correspondiente#
;os cargas de ig'a %agnit'd, 'na positi!a " otra negati!a )dipoo e4ctrico*# L9neas de ca%po# E ca%po e4ctrico en c'a5'ier p'nto es tangente a a 9nea de ca%po correspondiente#
LHNEA ;E CAMPO
Las 9neas de ca%po o 3ien nacen en as cargas positi!as " %'eren en as cargas negati!as, o 3ien nacen en as cargas positi!as " !an a in&inito, o 3ien !ienen de in&inito " %'eren en as cargas negati!as#
Cargas positi!as: &'entes de ca%po Cargas negati!as: s'%ideros de ca%po
0 1# Las 9neas de ca%po e4ctrico e%pie+an en as cargas positi!as
)o en e in&inito* " ter%inan en as cargas negati!as )o en e in&inito*# Las cargas positi!as se deno%inan por esta ra+-n &'entes de ca%po, " as cargas negati!as son s'%ideros de ca%po#
2# Las 9neas de3en di3'>arse espaciadas 'ni&or%e%ente entrando a o saiendo de cada carga p'nt'a#
# E n(%ero de 9neas entrantes o saientes de 'na carga negati!a o positi!a de3e ser proporciona a a %agnit'd de a carga#
B# La densidad de 9neas )n(%ero de 9neas por 'nidad de $rea perpendic'ar a as 9neas* en c'a5'ier p'nto de3e ser proporciona a !aor de ca%po en ese p'nto#
F# A grandes distancias de 'n siste%a de cargas dotado de carga neta as 9neas de ca%po de3en di3'>arse radiaes e ig'a%ente espaciadas, co%o si pro!iniesen de 'n (nico p'nto donde est'!iese concentrada a carga neta de siste%a#
0# ;os 9neas de ca%po no p'eden cr'+arse, p'esto 5'e si o icieran esto indicar9a 5'e en e p'nto de intersecci-n e ca%po e4ctrico tiene dos direcciones di&erentes )recorde%os 5'e a direcci-n de ca%po en cada p'nto es tangente a a 9nea de ca%po 5'e pasa por a9*#
Regas para tra+ar as 9neas de ca%po e4ctrico LHNEA ;E CAMPO
En a &ig'ra se %'estran as 9neas de ca%po e4ctrico para dos es&eras cond'ctoras# C'$ es e signo " a %agnit'd reati!a de as cargas en a%3as es&erasJ
A B
K'4 a" dentro de a ca>a A
" 5'4 a" dentro de a ca>a BJ
A B
B A
;IPOLO ELÉCTRICO
Es 'na con&ig'raci-n de dos cargas de ig'a %agnit'd q " signos contrarios
separadas por 'na distancia d # ;eno%ina%os %o%ento dipoar e4ctrico p a
prod'cto de a %agnit'd de a carga q por a distancia d , " asigna%os
car$cter !ectoria a esta %agnit'd deno%inando a !ector de %-d'o p c'"o origen es a carga negati!a " c'"o extre%o es a carga positi!a#
p d q p= ⋅ d q p= ⋅
C'$nto !ae e ca%po de 'n dipoo en 'n p'nto e>ano %edido so3re a 9nea 5'e de&inen as dos cargasJ
x ( )2 2 d x q k x q k E + − + = ( ) + − = 12 1 2 d x x q k ( ) + − + + = 2 22 2 2 2 d x x x d x d x q k d x >> ( ) + + = 2 2 2 d x x x d d q k x x d +2 ≈2 x d x+ ≈ : 2 x d q k E ≈ 2 : x p k E ≈
E ca%po e4ctrico en presencia de dipoos !ar9a de &or%a in!ersa%ente proporciona a cubo de a distancia
( )2 B 2 x d x x + ≈
dq dV
r
r
u
CAMPO ELÉCTRICO EN ;ITRI=<CIONE CONTIN<A ;E CARGA
P r u r dq k E d 2
=
E d dV dq=
ρ r u r dV k E d 2 ρ=
=
∫
V r u r dV k E 2 ρ;eter%inar e ca%po e4ctrico prod'cido en 'n p'nto por 'na distri3'ci-n contin'a de cargas re5'iere di!idir a distri3'ci-n en 'n gran n(%ero de partes ee%entaes, deter%inar e ca%po asociado a cada 'na de esas partes " 'ego s'%ar as contri3'ciones de todas eas#
;ensidad !o'%4trica de carga )C%* ;ensidad s'per&icia de carga )C%2*
dS dq
=
σ r u E d dq r P∫
=
S r u r dS k E 2 σ;ensidad inea de carga )C%*
dr dq
=
λ r u E d dq r P∫
=
L r u r dr k E 2 λ dl dS1/
CAMPO ELÉCTRICO EN ;ITRI=<CIONE CONTIN<A ;E CARGA
E>e%po# Cac'ar e ca%po e4ctrico prod'cido por 'na 3arra de ongit'd L 5'e contiene 'na distri3'ci-n de
carga inea 'ni&or%e deλ C% en 'n p'nto aineado con a 3arra " sit'ado a a distancia a de s' extre%o#
L a P CE% λ dl dq
=
λ dl dq r r u r dq k E d 2=
=
∫
L r u r dl k E 2 λ E d r u ( )∫
== + − = L l l r u l a L dl k E / 2 λ ( L a) l r=
+
−
L l l r l a L u k = = − + = / 1 λ l ( )∫
+ − 2 l a L dl Ca%3io de !aria3e: l a L z z dz − + = − − = − =∫
2 1 1 z l a L+ − =Reso'ci-n de a integra
( )
∫
== + − = L l l r l a L dl u k / 2 λ + − = a L a u k E r 1 1 λ ( ) r ( ) ur a L a q k u a L a L k E + = + = λ / = l Aternati!a a P CE% λ 2 E L 2 E L / = l l a L r
−
+
=
2∫
( ) = − = + − = 2 2 2 2 L l L l r u l a L dl k E λ ( )∫
= − = + − = 2 2 2 2 E L l L l r l a L dl u k λ 2 2 2 E 1 l L L l r l a L u k E = − = − + = λ + − = a L a u k r 1 1 λ dl dq l r ur d E ( ) r ( ) ur a L a q k u a L a L k E + = + = λ11
<na %agnit'd &9sica###
E
Car$cter !ectoria###
<na s'per&icie###
S
D'>o de
E
a tra!4s de a s'per&icie
S
E
θ
S
E
⋅
=
Φ
Φ
=
E
⋅
S
⋅
cos
θ
CANTI;A;
ECALAR
CONCEPTO ;E DL<O ;E <N CAMPO ECTORIAL
S d S d E E
;e&inici-n integra
∫
⋅
=
Φ
SS
d
E
12
LEY ;E GA<
Sale Sale Sale
Sale Sale Sale Sale Entra Entra Entra Entra Entra Entra Entra Entra Entra Entra Sale Sale Sale Sale Sale Sale Sale Sale Sale Sale Sale
E &'>o neto de ca%po e4ctrico est$tico a tra!4s de c'a5'ier s'per&icie
cerrada
es ig'a a B
π
⋅
k!eces e !aor de a carga neta encerrada por dica
s'per&icie#
Q k S d E S⋅
⋅
=
⋅
=
Φ
∫
B
π D'>oneto Carganeta
Re&or%'aci-n de a e" de Ga'ss en t4r%inos de a permitividad de !ac9o /
/ / B 1 ε ε π Q S d E k = ⇒ Φ=
∫
⋅ =1
APLICACIONE ;E LA LEY ;E GA<
La e" de Ga'ss es %'" (ti para deter%inar e ca%po e4ctrico en sit'aciones de ata si%etr9a# Ca%po e4ctrico de 'na carga p'nt'a
Ca%po e4ctrico de 'na distri3'ci-n s'per&icia de carga so3re 'n pano inde&inido Ca%po e4ctrico de 'na distri3'ci-n inea inde&inida de carga
Ca%po e4ctrico de 'na es&era die4ctrica cargada con densidad 'ni&or%e Ca%po e4ctrico de 'na corte+a cond'ctora cargada
1B 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
C$c'o de ca%po e4ctrico en a !ecindad de a s'per&icie de 'n conductor en equilibrio Conductor cargado con 'na carga tota Q# ' &or%a es ar3itraria#
1# ;-nde se enc'entra a cargaJ
Resp'esta: a carga est$ en a s'per&icie " soo en a s'per&icie, p'es esta es a &or%a de %ini%i+ar a rep'si-n eectrost$tica# 2# C-%o est$ repartida a cargaJ
8 8 8 8 8 8 8
Resp'esta: La carga est$ repartida en &or%a desig'a, de 'n %odo 5'e depende de as caracter9sticas de c'r!at'ra de a s'per&icie en cada p'nto#
Esto i%pica 5'e en cada p'nto a densidad s'per&icia de carga ser$ en genera distinta#
dS dq
= σ
Carga tota @Q
# K'4 direcci-n tiene e ca%po e4ctrico creado por esta carga en a in%ediata !ecindad de a s'per&icie de cond'ctorJ
Resp'esta: La direcci-n de ca%po e4ctrico en todo p'nto de a s'per&icie es siempre perpendicular a ea, independientemente de la forma 5'e tenga e cond'ctor#
Expicaci-n: co%o e cond'ctor est$ en e5'ii3rio )es decir, as cargas sit'adas en a s'per&icie no se despa+an*, e ca%po e4ctrico en a s'per&icie no p'ede tener ning'na co%ponente paraea a a %is%a, p'es en este caso as cargas se despa+ar9an arrastradas por dica co%ponente de ca%po, en contra de a ip-tesis de cond'ctor en e5'ii3rio#
1F JJ
E
C$c'o de ca%po e4ctrico en a !ecindad de a s'per&icie de 'n conductor en equilibrio Conductor cargado con 'na carga tota Q# ' &or%a es ar3itraria#
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 Carga interior @ / 8 8 8 8 8 8 8 dS dq = σ Carga tota @Q
# K'4 direcci-n tiene e ca%po e4ctrico creado por esta carga en a in%ediata !ecindad de a s'per&icie de cond'ctorJ
Resp'esta: La direcci-n de ca%po e4ctrico en todo p'nto de a s'per&icie es siempre perpendicular a ea, independientemente de la forma 5'e tenga e cond'ctor#
Expicaci-n: co%o e cond'ctor est$ en e5'ii3rio )es decir, as cargas sit'adas en a s'per&icie no se despa+an*, e ca%po e4ctrico en a s'per&icie no p'ede tener ning'na co%ponente paraea a a %is%a, p'es en este caso as cargas se despa+ar9an arrastradas por dica co%ponente de ca%po, en contra de a ip-tesis de cond'ctor en e5'ii3rio#
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
10
C$c'o de ca%po e4ctrico en a !ecindad de a s'per&icie de 'n conductor en equilibrio Conductor cargado con 'na carga tota Q# ' &or%a es ar3itraria#
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 Carga interior @ / dS dq = σ Carga tota @Q
C$c'o de ca%po: apicare%os e teore%a de Ga'ss
E
8 8 8 8
<sa%os co%o ga'ssiana 'n ciindro cerrado %'" estreco )3ases %'" pe5'e6as* " nor%a a a s'per&icie cond'ctora, con s' 3ase exterior %'" ce6ida a dica s'per&icie#
q S E 8 8 8 8 S ista de per&i q
Arg'%entos para a apicaci-n de teore%a de Ga'ss
1# No a" &'>o a tra!4s de a s'per&icie atera de ciindro por5'e e ca%po es perpendic'ar a a s'per&icie#
2# No a" &'>o a tra!4s de a 3ase interior de ciindro por5'e e ca%po dentro de cond'ctor es cero#
q k S d E S
⋅
⋅
=
⋅
=
Φ
∫
Bπ S E dS E dS E S d E exterior Base exterior Base S⋅
=
=
⋅
=
⋅
∫
∫
∫
q k S E ⋅ =Bπ ⋅ ⋅ / ε σ = E σ π π ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = k S q k E B B n u E / ε σ = ector nor%a a a s'per&icie en cada p'nto1
r
E
Q
Ar
Br
B
A
POTENCIAL ELÉCTRICOCac'e%os e tra3a>o necesario para trasadar a o argo de 'n ca%ino ar3itrario 'na pe5'e6a carga q entre dos
p'ntos A " B sit'ados en e seno de ca%po e4ctrico creado por a carga p'nt'a Q#
B E A E r
u
θ
l
d
dr
l
d
dr
ru
E
θ dr r+
r l d E q dW=
⋅
E d l q dW ⋅
=
Tra3a>o c'ando acargaq se despa+adl
Tra3a>o por 'nidad de carga asociado a despa+a%ientodl
dl dr
=
θ cos dl dr=
cosθ⋅
l d u r Q k r ⋅
=
2=
2⋅
1⋅
dl⋅
cosθ r Q k dr r Q k q dW ⋅ = 2 l d ur ⋅ l d E q dW ⋅
=
r u r Q k E 2=
E tra3a>o ee%enta por 'nidad de carga s-o depende de a carga 5'e crea e ca%po )Q* "
de a !ariaci-n en a posici-n dr , pero no de
!aor de a carga 5'e se %'e!e en e seno de ca%po )q* ni de a tra"ectoriadl #
Definimos a !ariaci-n ee%enta de potencia
e4ctricodV asociada condrco%o:
∫
⋅
−
=
B r BA dr r Q k V 2 dr r Q k dV q dW ⋅ − = = − 2;i&erencia de potencia entre B " A
A B BA V V
V = −
E signo se expica desp'4s
−
=
A B r r Q k 1 11 POTENCIAL ELÉCTRICO 2
−
=
⋅
−
=
∫
A B r r BA r r Q k dr r Q k V B A 1 1 2 A B BA V V V = −;i&erencia de potencia entre B " A
Q
Ar
Br
B
A
A E B EN-tese 5'e c'ando a distancia r B r A, e t4r%ino 1 1 </
− A B r r
En consec'encia, a di&erencia de potencia V BA =V B −V A es negati!a c'ando Q / " positi!a en caso contrario#
Esto signi&ica 5'e e potencia decrece a %edida 5'e nos ae>a%os de 'na carga positi!a " crece seg(n nos ae>a%os de 'na carga negati!a: a ra+-n de 5'e se a"a de&inido anterior%ente a !ariaci-n ee%enta de potencia con e signo negati!o es precisa%ente para 5'e esto sea as9# dr r Q k q dW dV =− =− 2 ⋅
Re&erencia para potencia cero# i adopta%os e con!enio de 5'e e potencia en 'n deter%inado p'nto A sea ig'a a
cero, entonces pode%os de&inir e potencia en c'a5'ier otro p'nto B con arrego a esa re&erencia#
Criterio: c'ando r A → ∞ entonces V A @ /
− = − = A B A B BA r r Q k V V V 1 1 B B r Q k V = ⇒ / = ⇒ ∞ → A A V r
Cerca de as cargas positi!as e potencia es ato )r B pe5'e6o, V B positi!o de gran !aor
a3so'to*Q cerca de as cargas negati!as e potencia es 3a>o )r B pe5'e6o, V B negati!o de
!aor a3so'to grande*
<nidades para e potencia e4ctrico !otio 1 C 1 M 1 Carga Tra3a>o = =
1 POTENCIAL ELÉCTRICO − = ⋅ − =
∫
A B r r BA r r Q k dr r Q k V B A 1 1 2Q
Ar
Br
B
A
A E B E t r a " e c t o r i a 1 t r a " e c t o r i a :E tra3a>o por 'nidad de carga para trasadar c'a5'ier carga entre dos p'ntos c'aes5'iera A " B de 'n ca%po
e4ctrico est$tico no depende de os detaes de a tra"ectoria seg'ida, s-o es &'nci-n de os p'ntos inicia " &ina# Por eso, a di&erencia de potencia entre dos p'ntos de 'n ca%po e4ctrico est$tico s-o es &'nci-n de os p'ntos considerados: no depende de a tra"ectoria 5'e os 'ne#
Los ca%pos !ectoriaes 5'e tienen esta propiedad se a%an ca%pos conser!ati!os:
el campo eléctrico estático es un campo
conservativo#
t ra "ec to r ia 2
La di&erencia de potencia entre os p'ntos B
" A es 'na propiedad intr9nseca de ca%po
#### 2 2 1 = = = tray tray tray q W q W q W BA A B V V V − = =
2/
POTENCIAL ELÉCTRICO B
<PERDICIE " LHNEA EK<IPOTENCIALE
<na superficie equipotencial est$ &or%ada por e con>'nto de todos os p'ntos 5'e tienen e %is%o !aor
de potencia en e seno de 'n ca%po e4ctrico#
<na línea equipotencial es a intersecci-n de 'na s'per&icie e5'ipotencia con 'n pano# O3!ia%ente,
todos os p'ntos de 'na 9nea e5'ipotencia ta%3i4n tienen e %is%o potencia, "a 5'e pertenecen a 'na %is%a s'per&icie e5'ipotencia#
E>e%po: as 9neas e5'ipotenciaes de cargas p'nt'aes aisadas son circ'n&erencias conc4ntricas arededor de dicas cargas, "a 5'e e potencia a 'na distancia r de 'na carga
p'nt'a aisada es: r
Q k V =
B
A
C'esti-n: C'$ es e tra3a>o si 'na carga de pr'e3a se despa+a desde e p'nto A
21
POTENCIAL ELÉCTRICO B3is
22
POTENCIAL ELÉCTRICO F
LHNEA EK<IPOTENCIALE ;EL ;IPOLO ELÉCTRICO
d q
p= ⋅
Las 9neas de 'n ca%po e4ctrico son perpendic'ares a as e5'ipotenciaes
1 V 2 V : V B V i%iit'd con os %apas de iso3aras 1 V − 2 V − : V − B V − C'esti-n 1# ;i3'>ar a tra"ectoria
aproxi%ada de 'na carga positi!a de pr'e3a a3andonada en e p'nto A# A B C'esti-n 2# ;i3'>ar a tra"ectoria
aproxi%ada de 'na carga positi!a de pr'e3a a3andonada
2
POTENCIAL ELÉCTRICO 0
POTENCIAL ELÉCTRICO EN EL EE ;EL ;IPOLO: APROIMACIUN P<NTO LEANO
d q p=q⋅d p= ⋅ d x q k x q k V x + − = d x >> + − = d x x q k V x 1 1 x / = x ( ) x( ) x d p k d x x d q k V x + = + = 2 x p k V x ≈ C'ando x x V / = x + − = d x x q k V x 1 1
2B
POTENCIAL ELÉCTRICO 03is
2F
POTENCIAL ELÉCTRICO# EEMPLO
Q − Q P P P P P r r Q k r Q k r Q k V V V − = − = + = + + + + − + 1 1 A B C
Considere e dipoo e4ctrico de a &ig'ra, donde Q @ 1 nC# La distancia entre as cargas es de 2 %%#
1# ;eter%inar e potencia en os p'ntos A, B, C , )constante de Co'o%3k @ ⋅1/ N⋅%2C2*#
2# Cac'ar e tra3a>o reai+ado por e ca%po e4ctrico c'ando 'na carga de 81/? nC se %'e!e de A asta B#
1# Para c'a5'iera de os p'ntos se !eri&ica:
donde P @ A, B,C o "
Las distancias se %iden en %% so3re a escaa
C E % N 1/ 1/ ⋅ ⋅ = ⋅ 2 = − Q k :F1L 1 : 1 1 1 1 1/ 2 2 2 2 : = + − + = − A V 1:1L 2 2 1 2 / 1 1/ 2 2 2 2 : = + − + = − B V 1F2 2 1 1 2 : 1 1/ 2 2 2 2 : =− + − + = − C V BF 1 / 1 1 2 1 1/ 2 2 2 2 : =− + − + = − V %% 1 1 % %
2# Tra3a>o asociado a despa+a%iento de 'na carga de 1/? nC#
( ) 1/ 1/ (1:1L :F1L) 2#2 1/ M 1/
1/−:⋅ − − = −:⋅ − − =− ⋅ −
= V B V A
W
Interpretaci-n: a carga positi!a de 81/? nC se %'e!e desde 'n p'nto donde e potencia es %a"or ) A*
asta otro de potencia %enor ) B*: e signo negati!o de tra3a>o res'tante indica 5'e es e propio ca%po
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Carga p'nt'a ;istri3'ci-n inea inde&inida, con densidad inea de carga λ ;os pacas paraeas inde&inidas, con densidad s'per&icia de carga σ, separaci-nd
;istri3'ci-n 'ni&or%e de carga so3re 'n disco de radio ", con densidad s'per&icia de
cargaσ, a o argo de e>e perpendic'ar Cascar-n es&4rico cargado
con cargaQ " radio "
;ipoo e4ctrico
Anio cargado 'ni&or%e%ente de radio ",
a o argo de e>e perpendic'ar Es&era %aci+a no cond'ctora de
radio " cargada 'ni&or%e%ente
2
EL CAMPO ELÉCTRICO COMO GRA;IENTE ;E POTENCIAL#
En 'n ca%po escaar a cada p'nto de espacio se e asigna 'n !aor de a propiedad escaar 5'e se considera#
E gradiente de 'n ca%po escaar es 'n !ector, de&inido en cada p'nto de %is%o, 5'e indica en 5'4 direcci-n !ar9a %$s r$pida%ente a propiedad escaar# La direcci-n de este !ector es sie%pre perpendic'ar a as 9neas e5'ipotenciaes, " s' sentido es e de creci%iento de !aor escaar#
Ca%po e4ctrico: es igual al gradiente de potencial cambiado de signo )"a 5'e
e ca%po e4ctrico est$ dirigido desde as cargas positi!as acia as negati!as*# E
=
−
#rad VN B// N // : N // 2 N // F 1 / c % E =− #rad V C'$ es e !aor de ca%po e4ctricoJ
2
2