TEMA 16. Discusión Y Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales. Teorema de Rouche. Regla de Cramer. Método de Gauss-Jordan

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(1)

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 1

TEMA 16. Discusión Y Resolución de Sistemas de

Ecuaciones Lineales. Teorema de Rouche. Regla de

Cramer. Método de Gauss-Jordan

1. Introducción

Las ecuaciones nos permiten plantear y resolver sistemáticamente numerosos problemas que, por procedimientos meramente aritméticos, resultarían muy laboriosos. Una vez traduci-do el problema a un sistema de ecuaciones, la resolución de éste se reduce a la resolución de este siendo un procedimiento mecánico.

Existen diversos métodos que nos permiten resolver de manera sistemática un sistema de ecuaciones. La aplicación de uno u otro depende básicamente de la complejidad del sistema en cuanto al número de ecuaciones y de incógnitas. Así, para resolver sistemas de dos o tres ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas respectivamente, se utilizarán los métodos clási-cos: sustitución, igualación y reducción. Sin embargo, estos métodos son poco adecuados a medida que aumenta el número de ecuaciones y de incógnitas.

Las técnicas de resolución de sistemas de ecuaciones lineales fueron descubiertas en los siglos XVIII y XIX, hasta esta época solo se consideraban resolubles los sistemas con igual número de ecuaciones que de incógnitas, y si alguna ecuación no linealmente independiente se decía que el problema estaba mal planteado.

El avance en la resolución de ecuaciones lineales vino con el uso del determinantes (Cra-mer) y más tarde el de Matriz(Hamilton). Otros matemáticos importantes en estos dos siglos para la resolución de sistemas fueron D’Alembert, Gauss, Jordan, Jacobbi entre otros.

2. Sistemas e ecuaciones lineales. Generalidades.

2.1. Definiciones.

Una ecuación lineal (o ecuación algebraica de primer grado) con n incógnitas es en general una igualdad del tipo a1x1+a2x2 +...+anxn =b donde a1,a2,...,an,b son elementos de un cuerpo conmutativo K ( en general supondremos K=ℝ).

Los elementos a1,a2,...,an se denominan coeficientes y el b término independiente. Las letras x1,x2,...,xn son las incógnitas. Las soluciones de una ecuación lineal con n incógnitas son los vectores de dimensión n (α1, α2,…, α N) que cumplen satisfacen la ecuación, es decir

b a

a

a1·

α

1+ 2·

α

2 +...+ n·

α

n =

Se denomina sistema de m ecuaciones con n incógnitas y coeficientes en K a un conjunto de m ecuaciones lineales con las mismas n incógnitas y coeficientes en el citado cuerpo K:

[ 1 ]

donde aij denota el coeficiente de la incógnita xj el la i-ésima ecuación, aijK,

b ∈

K

.

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

m n mn m m n n n n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

...

...

...

...

...

...

...

...

2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11

(2)

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 2 Una solución (o raíz) del sistema de ecuaciones lineales es todo vector de dimensión n (α 1, α 2,., α N) tal que verifique todas y cada una de las ecuaciones, es decir, tal que:

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

m n mn m m n n n n

b

a

a

a

b

a

a

a

b

a

a

a

α

α

α

α

α

α

α

α

α

...

...

...

...

...

...

...

...

2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11

S=S1∩S2….∩Sn con Si solución ecuación i-esima.

Atendiendo al conjunto de sus soluciones un sistema lineal puedes ser: • Incompatible: si no tiene solución.

• Compatible: si tiene solución. En este caso puede ocurrir que o bien el sistema tenga una única solución (determinado) o bien tenga infinitas soluciones (indeterminado).

2.2. Notaciones Abreviadas

A) Si en el sistema anterior [ 1 ] consideramos los vectores-columna de coeficientes y el

vector-columna de términos independientes:

              = mj j j j a a a a ... 2 1 j = 1,2,...,n





=

m

b

b

b

b

...

2 1

dicho sistema se expresa en forma vectorial:

a

1

x

1

+

a

2

x

2

+

...

+

a

n

x

n

=

b

B) Si formamos una matriz mxn tomando las n columnas aj tendremos la matriz de co-eficientes del sistema:

Tomando la matriz columna

b

de los términos independientes y otra matriz columna de

incógnitas





=

n

x

x

x

x

...

2 1

el sistema puede expresarse en forma matricial:

A =

x

b

.

A será denominada matriz de coeficientes y la matriz que se obtiene añadiendo el vector b, es

decir,

A

=

(

a

1

,

a

2

,...,

a

n

|

b

)

es la matriz ampliada del sistema de

ecuaciones. ) , ( ) ,..., 2 , 1 ( ) ,..., 2 , 1 ( 2 1 2 22 21 1 12 11

)

(

...

...

...

...

...

...

...

n m n j m i ij mn m m n n

K

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

=





=

∈ ∈               = n mn m m n n b b b a a a a a a a a a ... ... ... ... ... ... ... ... 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11

(3)

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 3 Ejemplo: Sea el siguiente sistema, su representación matricial es: Ax = b donde

=

+

=

=

+

7

3

2

5

2

2 1 2 2 1

x

x

x

x

x

.

7

2

5

3

K

b

=

2.3. Sistemas de Ecuaciones lineales Homogéneos y no Homogéneos.

Sea un sistema de ecuaciones lineales Ax = b (según notación matricial abreviada), se dice que dicho sistema es homogéneo si se verifica

b

=

0

. En caso contrario (

b

0

) se dice que el sistema es no homogéneo.

Propiedades: Las demostraciones son triviales dada la linealidad del sistema

A) Todo sistema lineal homogéneo es compatible pues admite al menos la solución trivial (0,0,...,0).

B) Si (

α

1,

α

2,...,

α

n) es una solución para un sistema homogéneo, entonces )

,..., ,

(k

α

1 k

α

2 k

α

n también lo es para todo k∈K (cuerpo).

C) Si (

α

1,

α

2,...,

α

n) y (

β

1,

β

2,...,

β

n) son soluciones de un sistema homogéneo, también lo es (k

α

1+k

β

1,k

α

2 +k

β

2,...,k

α

n +k

β

n).

D) Sea un sistema no homogéneo Ax=b con sh=(

α

1,

α

2,...,

α

n) solución al sistema homogéneo equivalente Ax=0 y sp=(µ1, µ2, …,µn) una solución del sistema no homegé-neo (solución particular) entonces cualquier vector de la forma s=sp+λ·sh con λ∈K es solución del sistema no homogéneo.

3. Equivalencias entre sistemas

3.1. Definición de sistemas equivalentes

Dos sistemas de ecuaciones lineales con el mismo número de incógnitas x1,x2,...,xn se di-ce que son equivalentes si tienes las mismas soluciones. De esta forma sean los sistemas de ecuaciones lineales [ 1 ]

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

r n rn r r n n n n

d

x

c

x

c

x

c

d

x

c

x

c

x

c

d

x

c

x

c

x

c

...

...

...

...

...

...

...

...

2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 [ 2 ]

se dice que los sistemas [ 1 ] y [ 2 ] son equivalentes si se verifica que (

α

1,

α

2,...,

α

n) es so-lución de [ 1 ] si y sólo si es soso-lución de [ 2 ].

Evidentemente, los sistemas equivalentes han de tener el mismo número de incógnitas, aunque no necesariamente el mismo número de ecuaciones (puede ser m ≠r).

) 2 , 3 (

3

1

1

0

2

1

K

A

=

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

m n mn m m n n n n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

...

...

...

...

...

...

...

...

2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11

(4)

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 4

3.2. Formación de sistemas equivalentes.

Sea un sistema de ecuaciones lineales, podrá ser transformado en otro equivalente a él. El siguiente teorema muestra varios métodos de construcción de sistemas equivalentes:

Teorema: Dado un sistema de ecuaciones lineales se tiene:

A) Si multiplicamos una ecuación por un número real distinto de cero, se obtiene otro sis-tema equivalente al dado.

B) Si sustituimos una ecuación por una combinación lineal formada por dicha ecuación sin anular y un número arbitrario de las restantes ecuaciones del sistema, entonces obtenemos otro sistema equivalente al dado.

C) Si una ecuación es combinación lineal de otras ecuaciones del sistema, entonces el sis-tema que obtenemos al suprimir (o añadir) dicha ecuación es equivalente al dado. Demostración: Si tenemos una ecuación lineal se comporta como un vector. Si una ecuación la multiplicamos por una constante, al igual que un vector, esta sigue siendo equivalente. Si la sustituimos por una combinación lineal de otras ecuaciones que tienen misma solución el resultado misma solución. Si quitamos o añadimos ecuaciones combina-ciones lineales de otras esta ecuación, al igual que un vector, no genera distintas solucio-nes pues es dependiente de las otras.

Ejemplo: Los siguientes sistemas son equivalentes:

=

+

=

3

4

1

2

3

2 1 2 1

x

x

x

x

+

=

+

+

=

+

=

9

2

)

4

(

3

)

2

3

(

2

3

4

1

2

3

2 1 2 1 2 1 2 1

x

x

x

x

x

x

x

x

Como consecuencia del anterior teorema se obtienen las siguientes conclusiones:

Corolario: para resolver un sistema de ecuaciones lineales basta resolver un sistema

equivalente en el que ninguna ecuación sea combinación lineal de las restantes.

4. Rango de una Matriz.

4.1. Definiciones

Sea A una matriz de orden

m ×

n

, cualquier matriz que se obtenga de ella suprimiendo ciertas filas y ciertas columnas se llama submatriz de la matriz dada.

Denominamos menor de orden r de la matriz A al determinante de toda submatriz cua-drada que puede extraerse de A tomando los elementos situados en r filas y r columnas.

Decimos que el rango o característica de la matriz A es r y se denota rg(A)=r, si se cum-plen las dos condiciones siguientes: a) De A puede extraerse un menor de orden r no nulo (de-nominado menor principal) y b) Son nulos todos los menores de A de orden superior a r

Nota: Es suficiente con que sean nulos todos los menores de orden r+1 para que los sea cualquier menor de orden superior a r. En efecto, si puede extraerse un menor de orden r+2, al desarrollar éste quedaría expresado a partir de los adjuntos de esa línea que son salvo por el signo menores de orden r+1. Si todos ellos son nulos, lo será en consecuencia el de orden r+2.

(5)

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 5 Ejemplo: Calcular el rango de la matriz siguiente:

            = 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 A

|A|=0 (luego no es de rango 4)

Veamos que todos los menores de orden 3 son cero:

0

3

0

0

0

0

0

0

0

2

=

0

0

0

0

3

0

0

0

0

2

=

0

0

3

0

0

0

0

0

0

2

=

0

0

0

0

0

3

0

0

0

2

=

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

=

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

=

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

=

0

0

3

0

0

0

0

0

0

0

=

0

0

0

0

0

3

0

0

0

0

=

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

=

, etc. Sin embargo, 6 0 3 0 0 2 ≠

= , es un menor de orden 2 distinto de cero, luego es un menor principal de orden 2. Luego Rang(A)=2

Consecuencias:

1. Si en una matriz A se intercambian entre sí dos filas (o columnas), se obtiene otra matriz B de igual rango que la primera.

2. Si una fila (o columna) de la matriz A está formada por ceros, el rango de A es igual al de la matriz B, que se obtiene a partir de A suprimiendo esa fila (o columna).

3. El rango de la matriz nula es 0, y es la única cuyo rango es 0.

4. Para toda matriz de orden

m ×

n

se tiene: 0≤rg(A)≤min(m,n). 5. Sea la matriz A y su traspuesta A’, se tiene: rg(A) = rg(A’).

6. Para toda matriz de orden n, se tiene que det(A)≠0⇔ rg(A)=n.

Proposición: el rango de una matriz A coincide con el número de filas o columnas lineal-mente independientes.

5. Sistemas lineales cuadrados con solución única.

Un sistema lineal con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas ( un sistema lineal

n

n ×

) es un sistema lineal cuadrado. La matriz de coeficientes, A, es, en este caso, una matriz cuadrada. Si dicha matriz es regular (| A|

0

) el sistema se denomina sistema de Cramer.

Teorema 1: Todo sistema de Cramer es compatible determinado.

Demostración: Como la matriz A es regular, entonces es inversible. Siendo el sistema en forma matricial

A =

x

b

, entonces multiplicando por la izquierda por A−1 obtendríamos la solución única del sistema

x

=

A

−1

b

.

(6)

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 6

Teorema 2: Si un sistema lineal cuadrado tiene una solución única entonces es un sistema

de Cramer

Demostración: Sea (

α

1,

α

2,...,

α

n) la única solución del sistema que puesto en forma vec-torial es

a

1

x

1

+

a

2

x

2

+

...

+

a

n

x

n

=

b

, entonces .

Si fuese (

β

1,

β

2,...,

β

n)solución del homogéneo

a

1

β

1

+

a

2

β

2

+

...

+

a

n

β

n

=

0

tendríamos:

=

+

+

+

+

+

+

)

(

)

...

(

)

(

1 1 2 2 2 1

a

a

n n n

a

α

β

α

β

α

β

b

+ 0

=

b

.

Luego (

α

1+

β

1,

α

2 +

β

2,...,

α

n +

β

n) sería otra solución del sistema. Pero como es única ha de ser

α

1+

β

1 =

α

1,

α

2 +

β

2 =

α

2,...,

α

n +

β

n =

α

n, es decir,

β

1 =

β

2 =...=

β

n =0. Hemos probado que los n vectores columna de A son linealmente independientes y por tanto |A|

0

Regla de Cramer: La solución única de un sistema de Cramer viene dada por:

A xj = ∆j j = 1,2,...,n siendo = ) 1 2 2 21 1 1 11 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... j nn n n n n a b a a b a a b a .

Demostración: Supongamos el sistema expresado en forma vectorial

b

x

a

x

a

x

a

1 1

+

2 2

+

...

+

n n

=

donde los

a

i son los vectores columna de la matriz A.

= det( det( , ,..., +...+ ,..., )= ) 1 1 2 1 n j n nx a a x a a a 4 4 8 4 4 7 6 =

x

1det( n j a a a a, ,..., ,..., ) 1 2 1 )+...+xjdet(

,

,...,

,...,

)

) 2 1 n j j

a

a

a

a

+...+xndet( n j n a a a a, ,..., ,..., ) 2 1 )=xj det(

,

,...,

,...,

)

) 2 1 n j j

a

a

a

a

=xj|A|.

La demostración basada en las propiedades de los determinantes: 1) la linealidad respecto a la j-ésima columna y 2) en que un determinante con dos columnas iguales es nulo.

Como |A|

0

, despejando obtendremos la solución única del sistema

A xj = ∆j = A a b a n j ) ,..., ,..., det( ) 1 = A a b a a b a a b a j nn n n n n ) 1 2 2 21 1 1 11 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... j = 1,2,...,n.

La utilización práctica de la regla de Cramer puede resultar algo laboriosa sobre todo para valores grandes de n, pues se tienen que calcular n+1 determinantes de orden n. Igualmente, puede resultar algo inadecuada para sistemas en los cuales el |A| tiene un valor próximo a cero.

b

a

a

a

1

α

1

+

2

α

2

+

...

+

n

α

n

=

jj

a

1

,

a

2

,...,

b

,...,

a

n

)

=

(7)

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 7

6. Discusión de un sistema lineal. Teorema de Rouche-Frobenius.

Consideremos el sistema lineal más general posible de m ecuaciones con n incógnitas:

≡S 





=

mn m m n n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

...

...

...

...

...

...

...

2 1 2 22 21 1 12 11               = n mn m m n n b b b a a a a a a a a a B ... ... ... ... ... ... ... ... 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11

Teorema de Rouché-Frobenius: La condición necesaria y suficiente para que un sistema

lineal general sea compatible es que la matriz de coeficientes y la matriz ampliada tengan igual rango. S compatible⇔ rg(A)=rg(B)

Demostración.

⇒) Si el sistema es compatible existe al menos una n-upla solución que verifica con lo cual la última columna de la matriz ampliada B sería combinación lineal de las anteriores columnas, por tanto podríamos suprimir en B la última columna y el rango no varía , quedando así rg(A)=rg(B).

⇐) Supongamos que rg(A)=rg(B)=r. Por definición de rango, en la matriz habrá un menor principal

M

r

0

y las r columnas de A de las cuales se ha extraído

M

r serán linealmente independientes (podemos suponer que sean las r primeras, reordenando las incógnitas del sistema si fuese preciso). Como el rango de B es también r y A está incluida en B, la matriz am-pliada tendrá r columnas linealmente independientes que serán también las r primeras. Las restantes columnas de B, en especial la última

b

, se pueden obtener como combinación lineal de aquellas r. Por tanto existen escalares

α

1

,

α

2

,...,

α

r tales que a1

α

1+a2

α

2+...+ar

α

r =b y

de aquí obviamente

a

1

α

1

+

a

2

α

2

+

...

+

a

r

α

r

+

a

r+1

0

+

...

+

a

n

0

=

b

. Resulta que la n-upla

n r,0,...0)∈R ,...,

,

(

α

1

α

2

α

sería solución del sistema.

DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DEL SISTEMA GENERAL : Sea un sistema con matriz de los

coeficientes A y ampliada B.

Si rg(A)

rg(B) el sistema no tiene solución (incompatible).

Si rg(A) = rg(B) = r, en la matriz B también hay a lo sumo r filas linealmente inde-pendientes que corresponden a las r ecuaciones principales del sistema ( supongamos que sean las r primeras tras reordenarlas si fuese necesario). Las n-r ecuaciones restantes son su-perfluas al ser combinaciones lineales de aquellas r primeras. El sistema reducido a sus ecua-ciones principales quedaría simplificado al sistema equivalente:

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

r n rn r r n n n n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

...

...

...

...

...

...

...

...

2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 Puede ocurrir:

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

m n mn m m n n n n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

...

...

...

...

...

...

...

...

2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 n n)∈R ,..., , (

α

1

α

2

α

b

a

a

a

1

α

1

+

2

α

2

+

...

+

n

α

n

=

(8)

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 8

A) r = n. En este caso el sistema sería cuadrado y la matriz A tendría como

determinan-te el menor principal

M

r

0

, por lo que sería un sistema de Cramer compatible de-terminado.

B) r < n. Nos quedan menos ecuaciones que incógnitas. Eligiendo como incógnitas

principales las correspondientes a las r columnas de las que se ha extraído

M

r

(las r primeras) las demás n-r incógnitas no principales las podemos pasar al segundo miembro de las ecuaciones. Tendremos:

       + + − = + + + + + − = + + + + + − = + + + + + + + + + ) ... ( ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ) ... ( ... ) ... ( ... 1 1 , 2 2 1 1 2 1 1 , 2 2 2 2 22 1 21 1 1 1 , 1 1 1 2 12 1 11 n rn r r r r r rr r r n n r r r r n n r r r r x a x a b x a x a x a x a x a b x a x a x a x a x a b x a x a x a

En este caso el determinante de la matriz de coeficientes es

M

r

0

, luego propor-ciona una solución del sistema para cada valor arbitrario de las incógnitas no principa-les, luego la solución general viene dada por unas ecuaciones paramétricas con n-r parámetros, luego hay infinitas soluciones. Se dice que el sistema es indeterminado con n-r grados de libertad.

Resumen:

rg(A)

rg(B) ⇒ S incompatible.

rg(A) = rg(B) = r : r = n ⇒ S compatible determinado.

r < n ⇒ S compatible indeterminado.

7. Método de Gauss y de Gauss-Jordan

7.1. Método de reducción de Gauss

El método de reducción de Gauss consiste en transformar el sistema de ecuaciones dado en otro equivalente de forma que sean nulos todos los coeficientes que estén por debajo de la diagonal principal en la matriz de coeficientes. Así se obtiene un sistema triangular. El método consiste en aplicar transformaciones elementales a las filas:

- Intercambio de filas.

- Cambio de escala de una fila: multiplicar cualquier fila de la matriz por una constante - Pivotación: reemplazar cualquier vector fila de la matriz por la suma de sí mismo con un

múltiplo de un vector fila diferente.

A) Caso sistema lineal cuadrado con solución única: El sistema está completamente

deter-minado por la matriz ampliada

              = n nn n n n n b b b a a a a a a a a a b A ... ... ... ... ... ... ... ... ) | ( 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 n E E E → → → ... 2 1

Sean dos ecuaciones lineales

) | ,... ( ) | ,..., ( 2 2 21 2 1 1 11 1 b a a E b a a E n n = =

(9)

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 9 Si fuese

a

11

0

(si no haríamos intercambio de filas hasta encontrar un pivote no nulo), po-demos tomar dicho elemento como pivote para conseguir hacer un cero en la otra ecuación. Así, si reemplazamos

E

2 por 1

11 21 2 E a a E − nos quedaría (0, ,..., | 2') ' 2 ' 22 ' 2 a a b E = n donde j j j a a a a a 1 11 21 2 ' 2 = − ( j=2,...,n) 1 11 21 2 ' 2 b a a b

b = − . Seguiríamos haciendo ceros en todas las filas que estén por debajo del pivote en esa misma columna. De esta manera mediante operaciones elementales con filas tratamos de llegar a reducir A a la forma triangular:

              n nn n n c c c u u u u u u ... ... 0 0 ... ... ... ... ... 0 ... 2 1 2 22 1 12 11

El sistema reducido (U|

c

) , U

x =

c

, siendo U matriz triangular

supe-rior. En caso de solución única los elementos uii de la diagonal principal son todos no nulos. Entonces, se obtiene la solución única del sistema mediante sustitución regresiva.

B) Caso sistema lineal general. Se reduce a la forma escalonada por filas:

...

...

0

...

0

0

...

...

...

...

...

0

...

2 1 2 22 1 12 11

c

c

u

u

u

u

u

n n

Al llegar a la forma escalonada puede ocurrir:

1) Aparece una fila en la matriz ampliada con todos los elementos iguales a cero en la parte izquierda y el elemento de la derecha distinto de cero. Lleva a un sistema equivalente al de partida con una ecuación del tipo 0⋅x1+0⋅x2 +...+0⋅xn =b

b

0

, con lo cual no hay solución (Sistema Incompatible).

2) Una vez eliminadas las filas de ceros por corresponder a ecuaciones superfluas 0

0 ... 0

0⋅x1+ ⋅x2 + + ⋅xn = , nos queda el mismo número de ecuaciones que de incógni-tas. Estaríamos en el apartado A), forma triangular superior, que resolvemos por sustitu-ción regresiva hasta obtener solusustitu-ción única (Sistema Compatible Determinado).

3) Si se llega a un sistema escalonado pero con menos ecuaciones que incógnitas, hay que pasar al segundo miembro tantas incógnitas como sean necesarias (tomándolas como parámetros) para que el sistema pueda ser resuelto por sustitución regresiva. El número de parámetros que aparecen en la solución general son los grados de libertad. El sistema admite infinitas soluciones (Sistema Compatible indeterminado).

7.2. Método de Gauss-Jordan.

El método de Gauss-Jordan es un avance del método de Gauss, que tiene como objetivo evitar la sustitución regresiva. Se usan las transformaciones elementales para reducir la parte izquierda de la matriz ampliada a la forma diagonal con todos los pivotes iguales a 1, es decir, a la matriz identidad.

El sistema reducido equivalente queda de la forma (I |c) (en caso de solución única esto es siempre posible) de donde la solución es directamente

x =

c

.

(10)

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 10

8. Aplicaciones a la Geometría

Una aplicación importante de la discusión y resolución de los sistemas de ecuaciones linea-les es el estudio de las posiciones respectivas de rectas y planos en ℝ3 . Casos:

P O S IC IO N E S R E LA T IV A S E N E L E S P A C IO 2 PLANOS 0 = + + + ≡ Ax By Cz D

π

0 ' ' ' ' '≡ A x+B y+C z+D =

π

1 * = = rangoM rangoM Coincidentes 2 * 1 = = rangoM rangoM Paralelos 2 * = = rangoM rangoM Secantes 3 PLANOS 0 = + + + ≡ Ax By Cz D

π

0 ' ' ' ' '≡ A x+B y+C z+D =

π

0 '' '' '' '' ''≡ A x+B y+C z+D =

π

1 * = = rangoM rangoM Coincidentes 2 * 1 = = rangoM

rangoM 2 coincidentes y 1 paralelo

3 paralelos 2 * = = rangoM rangoM Secantes en una recta 3 * 2 = = rangoM

rangoM 2 paralelos y 1 secante

Secantes 2 a 2 3 * = = rangoM rangoM Secantes en un punto 2 RECTAS

=

+

+

+

=

+

+

+

0

0

2 2 2 2 1 1 1 1

D

z

C

y

B

x

A

D

z

C

y

B

x

A

r

=

+

+

+

=

+

+

+

0

'

'

'

'

0

'

2 2 2 2 1 1 1 1

D

z

C

y

B

x

A

D

z

C

y

B

x

A

r

1 * = = rangoM rangoM Coincidentes 3 * 2 = = rangoM rangoM Paralelas 2 * = = rangoM rangoM Secantes 4 * 3 = = rangoM rangoM Cruzadas RECTA Y PLANO

=

+

+

+

=

+

+

+

0

0

2 2 2 2 1 1 1 1

D

z

C

y

B

x

A

D

z

C

y

B

x

A

r

0 = + + + ≡ Ax By Cz D

π

2 * = = rangoM rangoM Contenida en el plano 3 * 2 = = rangoM rangoM Paralela al plano 3 * = = rangoM rangoM Secante al plano ' ,

π

π

(11)

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 11

9. Contexto con secundaria.

Los sistemas de ecuaciones lineales con dos ecuaciones y dos incógnitas se empiezan a in-troducir a los alumnos de 2º de la ESO, donde se resuelven mediante los métodos de reduc-ción, igualación y sustitución. Se tratan siempre de sistemas compatibles determinados.

En 3º de la ESO y en 4º se siguen dando estos sistemas pero ahora con más profundidad, en 3º se resuelven también los sistemas representadnos las soluciones, y en 4º se trabajan con sistemas no siempre compatibles, clasificando primero el sistema antes de resolver

El método de Gauss y la resolución de sistemas de 3 ecuaciones se aplica ya en el 1º bachi-llerato, por las dos opciones (Matemáticas I y Matemáticas de 1º Aplicadas a CCSS). Se realiza el método de Gauss pero sin utilizar notación matricial que se da en 2º de Bachillerato.

Es en 2º Bachillerato (ambas ramas) cuando se abordan sistemas de ecuaciones lineales de cualquier tipo y se explican el teorema de Rouche-Frobenius, la regla de Cramery la resolución de sistemas por el método de Gauss.

Figure

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