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E
S
S
I
INNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN
Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas, estos incluyen errores de: cifras significativas, de redondeo, de truncamiento y de propagación.
N
NÚÚMMEERROOAAPPRROOXXIIMMAADDOO
Se dice que Xa es un número aproximado, si difiere ligeramente de un número exacto X. - Si Xa < X , se dice que Xa es una aproximación por defecto (la mas pequeña) de Xa. - Si Xa >X , se dice que Xa es una aproximación por exceso (mayor) de X.
E
Ejjeemmpplloo
Sea el número exacto .
El número 1.73 es una aproximación por defecto. El número 1.74 es una aproximación por exceso. Ya que 1.73 < π< 1.74
Si Xa es un valor aproximado del número X, se escribe Xa ≈X . D
DEEFFIINNIICCIIÓÓNNDDEEEERRRROORR
Se entiende por error
ε
de un número, a la diferencia entre el número exacto X y el número aproximado Xa, es decir: a X X − =ε
si Xa > X , entonces el error es positivo;
ε
>
0
. si Xa < X , entonces el error es negativo;ε
<
0
. por lo tanto el número exacto X será:ε
+ =Xa X
E
Ejjeemmpplloo
Sea el número exacto X = 5 y el número aproximado Xa =4.999 Hallar el error S Soolluucciióónn 001 . 0 999 . 4 5− = = ε E ERRRROORRAABBSSOOLLUUTTOO D DEEFFIINNIICCIIÓÓN N
El error absoluto de un número exacto X y el número aproximado es el valor absoluto de la diferencia entre el número exacto y el número aproximado.
Δ Xa a X X − = Δ
Deben considerarse dos casos:
a) el número X es conocido, y entonces el error absoluto se determina en forma inmediata a partir de la formula.
b) El número es desconocido, caso mas corriente, y por tanto el error absoluto .. no puede encontrarse a partir de la formula.
Δ
Resulta conveniente entonces introducir el error superior estimado, denominado cota del error absoluto, en lugar del error absoluto Δ teórico desconocido.
L
LAACCOOTTAADDEEEERRRROORRAABBSSOOLLUUTTOO D
DEEFFIINNIICCIIÓÓN N
La cota del error absoluto de un número aproximado , es cualquier número no menor que el error absoluto de dicho número.
a
Δ Xa
Por tanto, si es la cota del error absoluto de un número aproximado tomando en lugar del número exacto X. a Δ Xa a a X X − ≤Δ = Δ
de aquí se deduce que el número exacto X esta dentro del margen: a a a a X X X −Δ ≤ ≤ +Δ por tanto
• Xa −Δa es una aproximación por defecto de X. • Xa +Δa es una aproximación por exceso de X.
a a X X = ±Δ E Ejjeemmpplloo
Hallar la cota del error absoluto del número Xa =3.14 usando en lugar de π.
S
Soolluucciióónn
Como 3.14<π <3.15, se deduce que 15 . 3 14 . 3 0<π − < donde 01 . 0 14 . 3 < − π
por tanto, una cota del error absoluto es: Δa =0.01
si 3.14<π <3.142, se tiene una mejor aproximación, donde Δa =0.002.
E
Ejjeemmpplloo
Hallar la cota del error absoluto del número aproximado Xa =2.718 para el número e.
S Soolluucciióónn Como 2.718 < e < 2.719 0 < e – 2.718 < 2.719 Donde 001 . 0 718 . 2 < −
e por tanto, una cota del error absoluto es: Δa =0.001.
El error absoluto (o cota del error absoluto) no es suficiente para definir la exactitud de una medida o un cálculo.
E
Ejjeemmpplloo
Supongamos que al medir las longitudes de dos variables se tiene:
cm cm
L1 =100.8 ±0.1 y L2 =5.2cm±0.1cm
Independientemente del hecho de que los errores absolutos limites coincidan, la primera medida es mejor que la segunda.
E
Ejjeemmpplloo
Un error es un centímetro es mucho mas significativo si se esta midiendo un remache que un puente.
Un puente esencial en la exactitud de las medidas (medir magnitudes de las cantidades) es el error absoluto relativo a la unidad de longitud. Este se denomina error relativo.
E
ERRRROORRRREELLAATTIIVVOO D
DEEFFIINNIICCIIÓÓN N
El error relativo δ de un número aproximado Xa es la relación entre el error absoluto Δ del número y el valor absoluto del valor exacto X (X ≠0). por tanto:
X Δ = δ donde, δ X = Δ N Noottaa
Para fines prácticos, es conveniente expresar este error en porcentaje para la cual se debe multiplicar por 100, es decir:
% 100 X Δ = δ L LAACCOOTTAADDEELLEERRRROORRRREELLAATTIIVVOO D DEEFFIINNIICCIIÓÓN N
La cota del error relativo δa de un número aproximado dado es cualquier número no menor que el error relativo de dicho número.
a X Por definición se tiene
a δ δ ≤ esto es a X ≤δ Δ de donde a Xδ ≤ Δ
Por tanto, como cota del error absoluto de un número Xa se puede escribir a a = Xδ Δ como X ≈ Xa, entonces a a = Xδ Δ o bien
a a
X =
δ
De esta formula, conociendo la cota del error relativo δa se obtienen los límites del número exacto. Δ= X δa
(
a)
a a a a a a A X X X X X X X X δ δ δ + = + = = − 1(
a)
a a a a a a A X X X X X X X X δ δ δ − = − = − = − 1Esto significa que, el número exacto cae entre Xa
(
1−δa)
y Xa(
1+δa)
; Es decir:(
a)
a X X = 1±δ
Supongamos que es un número aproximado que toma el lugar de un número exacto , y supongamos que es la cota del error absoluto de
a X X a Δ Xa Hagamos X >0, y Xa >0 Δa < Xa entonces a a a X X −Δ Δ ≤ Δ = δ
puede tomarse, por tanto, el número
a a a a X −Δ Δ = δ
como cota del error relativo del número Xa. análogamente se tiene a a X Xδ ≤( +Δ)δ = Δ , de donde a a a a X δ δ − = Δ 1
si, como sucede comúnmente, Δa << Xa y δa <<1 (el símbolo << significa “mucho menor que”), puede tomarse entonces aproximadamente.
a a a X Δ ≈ δ a a a ≈ X δ Δ
E
Ejjeemmpplloo
El peso de 1dm3 de agua a 0οC viene dado por p =999.847gf ±0.001gf (gf = gramo (fuerza)). Determinar la cota del error relativo del resultado del paso del agua.
S Soolluucciióón n Donde gf p =0.001 Δ gf pa =999.847 Evidentemente se tiene p≤999.846gf En consecuencia p a p a p −Δ Δ = δ 0.000001 846 . 999 001 . 0 001 . 0 847 . 999 001 . 0 = = − = =1.10−6 2 2 10 10 . − − δp =10−4% E Ejjeemmpplloo
Al determinar la constante gaseosa del aire se obtuvo R=29.25. Conociendo que el error relativo de este valor es % (partes por mil), encuéntrese los limites dentro de los cuales esta
. ο 1 R S Soolluucciióón n
Tenemos δR =0.001 y por tanto R R =Rδ Δ =29.25⋅0.001 =0.02925 ≈0.03 En consecuencia: R R R a R X X −Δ ≤ ≤ +Δ 03 . 0 25 . 29 03 . 0 25 . 29 − ≤R≤ + 28 . 29 22 . 29 ≤ R≤ .
