sistema compatible determinado. Si a=3 sistema compatible Indeterminado. b) Para a=3 soluciones R

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(1)

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD / COMUNIDAD DE MADRID

MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II UNIDAD: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1.( SEPTIEMBRE 2010 / OPCIÓN A / EJERCICIO 1 ) Puntuación máxima 3 puntos Se consideran el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real “a”:

          =                 − − − +           a z y a x 7 22 1 4 2 3 1 1 1 2 1

a) Discútase el sistema para los diferentes valores del parámetro “a” b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para a=0

SOL: a) Si a≠3 sistema compatible determinado. Si a=3 sistema compatible Indeterminado. b) Para a=3 soluciones x= +λλλλ ; y=− + λλλλ; z=λλλλ∈ℜ

5 4 20 5

25

c) ) Para a=0 soluciones 7

5 8 5 32 = = = ; y ; z x

2.( SEPTIEMBRE 2010 / OPCIÓN B / EJERCICIO 1 ) Puntuación máxima 3 puntos

Se consideran las matrices:

          + + − − = 1 1 2 2 2 2 1 2 2 a ) a ( a a a A           = z y x X           = 0 0 0 O

a) Halla los valores de a para que los que no existe la matriz inversa A−1 tenga inversa.

b) Para a=-1 calcúlese si existe A−1

c) Para a=0 calcúlense todas las soluciones del sistema AX=0 SOL: a) para a=0, a=1 y a=2, no existe −1

A b)                 − − = 6 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 2 1 0 0 A

c) Sistema homogéneo Compatible indeterminado, soluciones : x=−λλλλ; y=−λλλλ ; z=λλλλ∈ℜ 2

3. (Junio 2010/ OPCIÓN B / EJERCICIO 1)

Se da el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro k:

     = + + − = + − = + − 2 2 8 7 2 z y x kz y x z y kx

a) Discútase según los valores del parámetro K

b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para k=0

SOL: a) Si k≠2 y k≠−1 S. C. D.; Si k=2 S. C.I.; Si k=-1 S.I. b) x=− +λλλλ;z= ;y=λλλλ∈ℜ 3 4 3 2 c) x=12; y=10 y z=4

4. (Junio 2010/ OPCIÓN B / EJERCICIO 1)

(2)

     − = − − = + − = + − 1 2 2 1 k z y x z ky x kz y x

d) Discútase según los valores del parámetro K

e) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones. f) Resuélvase el sistema para k=3

SOL: a) Si k≠2 y k≠−1S.C.D. ; Si k=2 S.C. I. Si k=-1 S. I.. b) x=1+λλλλ;z=0;y=λλλλ∈ℜ c) x=3; y=5/4 y z=-1/4

5. (Modelo 2010/ OPCIÓN A / EJERCICIO 1)

Se da el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro k:

     = + + = + = + + 1 2 2 1 z y x kz y z ky x

g) Discútase según los valores del parámetro K

h) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones. i) Resuélvase el sistema para k=3

SOL: a) Si k≠1 y k≠0 S.C.D. ; Si k=1 C. I.. Si k=0 Incompatible. b) x=− λλλλ;y= −λλλλ ;z=λλλλ∈ℜ 2 2 2 1 c) x=1/3; y=0 y z=2/3

6. (Modelo 200 9/ OPCIÓN B / EJERCICIO 1)

Un hotel adquirió un total de 200 unidades entre almohadas, mantas y edredones, gastando para ello un total de 7500 euros. El precio de una almohada es de 16 euros, el de una manta es de 50 euros y el de un edredón es de 80 euros. Además, el número de almohadas compradas es igual al número de mantas más el número de edredones. ¿Cuantas almohadas, mantas y edredones ha comprado el hotel?

SOL: 100 almohadas, 70 mantas y 30 edredones.

7. (SEPTIEMBRE 2009 / OPCIÓN B / EJERCICIO 1 )

Se da el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro k:

     = − = + + = + + 6 3 3 3 z kx z ky x z y x

j) Discútase según los valores del parámetro K

k) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones. l) Resuélvase el sistema para k=3

SOL: a) Si k≠1 y k≠−3S.C.D.; Si k=1 C. I.. Si k=-3 I.

b) x=6+3λλλλ ;y=−3+4λλλλ ;z=λλλλ∈ℜ c) x=5/2; y=0 y z=1/2

8. ( JUNIO 2009 / OPCIÓN A / EJERCICIO 1 )

Se da el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro k:

=

+

=

+

=

+

+

0

3

5

2

2

4

z

y

x

z

y

x

kz

y

x

m) Discútase según los valores del parámetro K

n) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones. o) Resuélvase el sistema para k=0

SOL: a) Si k≠1 S. C. D. ; si k=1 S. C. I.

b) x=3−λλλλ;y=1;z=λλλλ∈ℜ c) x=3; y=1 y z=0

9. ( SEPTIEMBRE 08/ OPCIÓN A / EJERCICIO 1 )

(3)

Una empresa instala casas de tres tipos A, B y C. Cada casa tipo A necesita 10 horas de albañilería, 2 de fontanería y 2 de electricista. Cada casa de tipo B necesita 15 horas de albañilería, 4 de fontanería y 3 de electricista. Cada casa del tipo C necesita 20 horas de albañilería, 6 de fontanería y 5 de electricista. La empresa emplea exactamente 270 horas de trabajo al mes de albañilería, 68 de fontanería y 58 de electricista. ¿Cuántas casas de cada tipo instala la empresa durante un mes?

SOL: 10 tipo A, 6 tipo B y 4 tipo C.

10. ( JUNIO 08/ OPCIÓN A / EJERCICIO 1 )

Un agricultor tiene repartidas sus 10 hectáreas de terreno en barbecho, cultivo de trigo y cultivo de cebada. La superficie dedicada al trigo ocupa 2 hectáreas más que la dedicada a la cebada, mientras que en barbecho tiene 6 hectáreas menos que la superficie total dedicada al cultivo de trigo y cebada. ¿Cuántas hectáreas tiene dedicadas a cada uno de los cultivos y cuántas están en barbecho?

SOL: 5 hectáreas al trigo, 3 a la cebada y 2 en barbecho.

11.( SEPTIEMBRE 07/ OPCIÓN A / EJERCICIO 1 )

Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a:       = + + = + = + + 1 2 2 1 z y x az y z ay x

a) Discutir el sistema según los distintos valores de a. b) Resolver el sistema para a = 3 y a = 1.

SOL: a) Si a≠0 y a≠1: SCD , Si a=0: SI, Si a = 1 :SCI

b) Si a=3: 3 1 = x , y=0, 3 2 = z ; Si a = 1: x=−1+

λ

, y=

λ

, z=2−2

λ

donde

λ

R 12. ( JUNIO 07/ OPCIÓN A / EJERCICIO 1 )

Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a:

=

+

+

=

+

=

+

8

2

2

3

2

2

3

0

2

az

y

x

z

y

x

z

y

x

a) Discutir el sistema según los distintos valores de a. SOL: a) Si

4 7 ≠ a : SCD , Si 4 7 = a : SI b) Resolver el sistema para a = 4. b) Si a=4: x = 1,y=1, z = 1 13. ( SEPTIEMBRE 06/ OPCIÓN B / EJERCICIO 1 )

Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a:

=

+

+

=

+

+

=

+

+

3

3

1

3

2

2

2

z

ay

x

z

y

x

z

y

x

a) Discutir el sistema según los distintos valores de a. SOL: a) Si a≠4: SCD , Si a=4: SCI b) Resolver el sistema para a = 2. b) Si a=2: x = 0,y=0, z=1

(4)

Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones que depende del parámetro real p:

=

=

+

+

=

+

+

p

z

y

x

pz

y

x

z

y

x

2

3

2

0

a) Discutir el sistema según los distintos valores de p. SOL: a) Si p≠1: SCD , Si p=1: SI b) Resolver el sistema para p=2. b) Si p=2: x=1, y=0, z=−1 15.( JUNIO 05 / OPCIÓN A / EJERCICIO 1 )

Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real k:

=

+

=

=

+

0

2

5

0

3

0

3

2

z

y

x

z

ky

x

z

y

x

a) Discutir el sistema para los distintos valores de k. SOL: Si k ≠−8: SCD, x=0, y=0, z =0 b) Resolver el sistema en los casos en los que sea posible. Sik =−8: SCI,

λ

19 1 = x ,

λ

19 7 = y ,z =

λ

16.( SEPTIEMBRE 04 / OPCIÓN A / EJERCICIO 1 )

Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real m :

=

+

=

+

+

=

+

1

4

5

3

mz

my

x

z

y

x

z

y

mx

a) Discútase el sistema según los diferentes valores del parámetro m. b) Resuélvase el sistema para m=2.

SOL: a) Si m≠2 y m≠−1: SCD; Si m=2: SCI ; Si m=−1: SI b) Si m=2: 3 4 9+

λ

= x , 3 3+

λ

− = y , z=

λ

donde

λ

R 17. ( JUNIO 03 / OPCIÓN A / EJERCICIO 1 )

Estudiar y resolver el siguiente sistema lineal de ecuaciones:

=

=

=

+

+

1

1

0

2

z

y

y

x

z

y

x

SOL: Compatible indeterminado. Infinitas soluciones:x=

λ

−2,y =1

λ

,z=

λ

,

λ

R 18.( JUNIO 01 / OPCIÓN A / EJERCICIO 1 )

Considérese el sistema de ecuaciones dependientes del parámetro real a:

     = + + = + + = + + 2 1 a az y x a z ay x z y ax

a) Discútase el sistema según los valores de a. b) Resuélvase el sistema para a=−1.

SOL

a) Si a≠1 y a≠−2: SCD; Si a=1: SCI ; Si a=−2: SI b) Si a=−1: x=0, y=1, z=0

(5)

Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en euros, dólares y libras esterlinas. El valor total entre las tres monedas ha de ser igual a 264.000 euros. Se quiere que el valor del dinero disponible en euros sea el doble del valor del dinero en dólares, y que el valor del dinero en libras esterlinas sea la décima parte del valor del dinero en euros. Si se supone que una libra esterlina es igual a 1,5 euros y un dólar es igual a 1,1 euros, se pide determinar la cantidad de euros, dólares y libras esterlinas que la empresa ha de tener disponible.

SOL: 165.000 euros, 75.000 dólares y 11.000 libras.

20.( JUNIO 00 / OPCIÓN A / EJERCICIO 1 )

Siendo a un número real cualquiera, se define el sistema

=

+

=

+

=

+

a

z

ax

z

y

az

y

x

0

1

2

a) Discútase dicho sistema en función del valor de a. SOL: a) Si a≠1: SCD; Si a=1: SCI .

b) Encuéntrense todas sus soluciones para a=1. b) Si a=1: x=1

λ

, y =

λ

, z=

λ

,

λ

R 21.( SEPTIEMBRE 99 / OPCIÓN B / EJERCICIO 1 )

Un hipermercado inicia una campaña de ofertas. En la primera de ellas descuenta un 4 % en un cierto producto A, un 6 % en el producto B y un 5 % en el producto C. A las dos semanas pone en marcha la segunda oferta descontando un 8 % sobre el precio inicial de A, un 10 % sobre el precio inicial de B y un 6 % sobre el precio inicial de C. Se sabe que si un cliente compra durante la primera oferta un producto A, dos B y tres C, se ahorra 16 euros sobre el precio inicial. Si compra tres productos A, uno B y cinco C en la segunda oferta, el ahorro es de 29 euros. Si compra un producto A, uno B y uno C, sin ningún tipo de descuento, debe abonar 135 euros. Calcúlese el precio de cada producto antes de las ofertas.

SOL: El precio inicial de A es de 25 €, el de B 50 € y el de C 60 €.

22.( JUNIO 99 / OPCIÓN B / EJERCICIO 1 ) Se considera el sistema

=

+

+

=

+

=

+

11

2

7

)

4

(

6

z

y

x

z

a

y

x

z

y

x

a) Discútase según los valores del parámetro real a. SOL: a) Si a≠2: SCD; Si a=2: SI b) Resuélvase para a=4. b) Si a=4: x=−5, y=−2, z=9

23.( JUNIO 98 / OPCIÓN A / EJERCICIO 1 ) Se da el sistema

=

+

+

=

+

=

+

+

2

4

2

2

z

y

x

z

mx

z

my

x

a) Hállense los valores de m para los que sea compatible. b) Resuélvase, si es posible, para m=2.

SOL: a) Si m≠1 y m2: SCD; Si m=2: SCI; Si m=1: SCI. c) Si m=2: x=2

λ

, y=0, z=

λ

, donde

λ

R

Figure

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