ALGEBRA VECTORIAL. cúbico Caudal de volumen Metro cúbico por segundo. m 3 /s CAP Magnitudes físicas. Pág. 1

CAP. 1. ALGEBRA VECTORIAL 1.1. Magnitudes físicas

Las magnitudes físicas, son las propiedades que le caracterizan a los cuerpos o a los fenómenos naturales que se pueden medir, Ej.: La longitud, la masa, la velocidad, la temperatura, etc.

Mientras que otras propiedades como el color, sabor, bondad, belleza no son magnitudes físicas, ya que no se pueden medir.

Dentro de las magnitudes físicas hay algunas que son independientes que se denominan magnitudes fundamentales, como la masa, la longitud, el tiempo, etc. Como también existen magnitudes físicas, que dependen de las fundamentales, lo cual se denominan magnitudes derivadas, como la velocidad, aceleración, etc.

Unidades principales

MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO

Longitud Metro m Masa Kilogramo kg Tiempo Segundo s Temperatura Kelvin ºK Intensidad de corriente Ampere A

Intensidad luminosa Candela cd

Cantidad de sustancia Mol mol

Magnitudes y unidades complementarias al S.I.

Angulo plano Radian rad

Angulo sólido Estereorradián sr Unidades derivadas

MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO

Área Metro cuadrado m2

Volumen Metro cúbico m3

Velocidad Metros por segundo m/s Aceleración Metro por segundo al

cuadrado

m/s2 Densidad Kilogramos por metro

cúbico

kg/m3 Caudal de volumen Metro cúbico por

segundo

Velocidad angular Radian por segundo rad/s Aceleración angular Radia por segundo al

cuadrado

rad/s2 Unidades derivadas del SI nombres especiales

Frecuencia Hertz Hz – s-1 Fuerza Newton N – kgms-2 Presión Pascal N/m2 -kgm-1s-2 Energía Joule J – kgm2s-2 Potencia Watt W – kgm2s-3 Factores de conversión: 1kg =2,2045lb = 1000 g 1Ton métrica=1000kg 1 UTM=9,8 kg 1 slug=14,59 kg 1qq=100lb 1N=105dina=0,225lbf 1kw=1000 w 1hp=746w 1cv=735w 1kgf=9,8N=2,205lbf 1BTU=252cal 1cal=4.186J

Dentro del estudio de la física, existen cantidades escalares y cantidades vectoriales.

1.1.1 Escalares

Una cantidad física escalar, son aquellas cantidades que están plenamente determinadas por su magnitud, es decir por un número que expresa su cantidad y de su respectiva unidad.

Ej.:

V=10 [Lt] e=25 [m] m=30[Kg]

1.1.2 Vectoriales

Una cantidad vectorial, son aquellas cantidades que tiene un número y su respectiva unidad, estas cantidades tienen una dirección, sentido y punto de aplicación.

Ej.:

v=10 [m/s] en sentido norte F=25 [N] hacia la derecha

1.2. Vectores

Un vector es un segmento de una recta, que tiene dirección, sentido y origen.

Gráficamente se le representa por un segmento orientado  AB, la longitud del segmento es el módulo del vector, la dirección del segmento es la correspondiente del vector, la punta de la flecha indica el sentido del vector, el extremo del segmento es el origen o punto de aplicación.

Dirección Sentido Origen A B Magnitud o modulo u Figura 1.1. La expresión del vector es:

a A

A 

Dónde:

A

= Es el módulo del vector

a= Es el vector unitario que tiene las siguientes características:  Es a dimensional

 Su módulo es igual a la unidad

 Es el encargado de darle una dirección y sentido al vector

1.3. Suma de vectores

Sumar dos vectores o más vectores, es representar por una Resultante, este vector resultante produce los mismos efectos que todos juntos, hay que tener en cuenta que la suma vectorial no es lo mismo que la suma aritmética.

A B C D R D C B A R    Figura 1.2. 1.3.1. METODOS GRAFICOS

Método del paralelogramo

Este método es válido solo para dos vectores coplanares y concurrentes, para hallar la resultante se une a los vectores por el origen (deslizándolos) para luego formar un paralelogramo, el vector resultante se encontrara en una de las diagonales y su punto de aplicación coincidirá con el origen común de los dos vectores.

θ R A B θ A B B A R  Figura 1.3. Método del polígono

Valido para solo dos o más vectores concurrentes y coplanares, se unen los vectores uno a continuación del otro para luego formar un polígono, el vector resultante se encontrara en la línea que forma el polígono y su punto de aplicación coincidirá con el origen del primer vector.

C D B A C D B A R D C B A R    Figura 1.4.

En el caso de que al origen del primer vector coincida con el extremo del último, el vector resultante es nulo. Y al sistema se le llama “Polígono Cerrado”. C D B A C D B A E E Figura 1.5. 1.3.2. MÉTODO ANALÍTICO

Cuando se adicionan dos vectores que poseen diferentes direcciones, al efectuar la construcción geométrica del vector suma, la figura resulta siempre un triángulo. Este triángulo, que en la mayoría de casos es oblicuángulo (pocas veces es rectángulo), tiene de lados consecutivos a los vectores A ,By a la suma A+B, para resolver el triángulo, se emplea la ley de los senos y cosenos si el triángulo es oblicuángulo y el teorema de Pitágoras si el triángulo es rectángulo.

Por resolución de triángulos: Para triángulos rectángulos:

Se aplica el teorema de Pitágoras:

α

β

a

b

c

Figura 1.6. Para triángulos oblicuángulos:

Ley de los cosenos:

En este caso como el anterior, gráficamente RAB, pero para hallar el módulo de dicho vector R, se debe aplicar teoremas.

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2







Cos BR R B A Cos AR R A B Cos AB B A R                   A B R A B R α β  Figura 1.7 Ley de los senos:

Usamos el triángulo con 3 lados y 3 ángulos, se cumple la relación entre los lados y sus ángulos opuestos:

A B C α β γ Figura 1.8. Suma de ángulos internos:

     180 







sen

A

sen

B

sen

A





2 2 2 2 2 b a c b a c    

Descomposición de vectores: y x θ O x A y A _A Figura 1.9.

Descomponer un vector significa proyectarlo perpendicularmente sobre cada uno de los ejes coordenados en x, y, obteniendo de esta manera componentes rectangulares Ax



y Ay



.

El módulo del vector resultante Ase obtiene aplicando el teorema de Pitágoras donde: “La hipotenusa elevada al cuadrado es igual a la suma de los catetos elevados al cuadrado”.

2 2 2 2 2 y x y x A A A A A A     

Su dirección ángulo θ, se calculan por las siguientes relaciones trigonométricas.                x y x y A A arctan A A tan ; cos ; cos cos   A A    A A sen A A A A y y x x Composición de vectores

Es el proceso inverso a la descomposición, en este caso los dos originales son las componentes A_x y Ay



y se desea encontrar el módulo de A y su ángulo θ.

Ej: Hallar el módulo del vector resultante, si A6[N]y B 4[N], ambos vectores son perpendiculares.

0

0

a

0

a

0

a

a

)

1

(

c

b

c

a

c

)

b

a

(

c

x

b

c

x

a

c

x

)

b

a

(

)

c

b

(

a

c

)

b

a

(

a

x

b

b

x

a

a

b

b

a

a

b

b

a









































































































































1.4.1 Propiedad conmutativa Dado los vectores A y Bentonces:

A B B A  

1.4.2 Propiedad asociativa

Dado los vectores A, B y Centonces:

C ) B A ( ) C B ( A        1.4.3 Propiedad distributiva

Dado los vectores A, B entonces, aplicando la propiedad distributiva, donde m y n son números reales, entonces tendremos:

A n A m A ) n m (    

A

m

A

m

)

B

A

(

m















1.5. Vector unitario

Utilizamos un sistema de coordenadas rectangulares, tomando en cuenta los ejes x ; y en cuyas direcciones se encuentran los vectores unitarios i



; j_, este vector cuyo módulo es la unidad y tiene por misión indicar la dirección y sentido de un determinado vector.

y x

A

O u Figura 1.10. Versores rectangulares

Son aquellos vectores unitarios que se encuentran en el eje del sistema de coordenadas rectangulares. y x O y x O i  j  i  j   Figura 1.11. (negativo) y eje el en unitario Vector : j (positivo) y eje el en unitario Vector : j (negativo) x eje el en unitario Vector : i (positivo) x eje el en unitario Vector : i       A A u A A       : donde De u

1.6. Vectores en el plano

Los vectores en el plano son representados en un sistema de coordenadas rectangulares x, y se define los vectores unitarios en el eje x:i, eje y: j, definidos el vector OA, así:

y x θ O x A y A i j  ) , (Ax Ay A A Figura 1.12.

j

A

i

A

OA



_x





_y



También se puede usar al vector como par ordenado:

)

,

(

A

_x

A

_y

OA



1.6.1 Componentes de un vector Los componentes de un vector son:

Las correspondientes del vector A en la dirección x y la dirección y.





Asen

A

A

A

y x





cos

El módulo del vector se define:

2 2 y x B A A A OA    

La dirección se define usando el ángulo que hace el vector con el eje x. se utilizara la función tangente:

        x y x y A A A A tg -1 tg   1.6.2 Adición de vectores

Para sumar dos o más vectores, sumamos sus componentes correspondientes i coni ; jcon j.

Ej. Graficar en el plano los siguientes vectores:

4 2 D ; 3 3 C ; 3 4 B ; 4 3i j i j i j i j A             

Ej. Hallar la suma de los vectores: AB y CD

Sol:ABi7j ; CD i7j

1.7. Vectores en el espacio

Los vectores en el espacio están representados en un sistema de coordenadas en el espacio (tridimensional) x, y, z, donde x, y, z son los componentes del vector.

y x z

A

) A , A , A ( A _{x y z} i j  k Figura 1.13. 1.7.1 Componentes de un vector

Los componentes de un vector, están representados en un sistema de coordenado x y z, se define los vectores unitarios en él: eje xi; eje

j

y x z A A(Ax,Ay,Az) i  j  k x A y A z A β γ α Figura 1.14.

La condición para descomponer un vector es que sumandos sus componentes debe dar el mismo vector.

z y x A A

A

A      Como también se puede expresar:

k A j A i A A _x _y _z El módulo del vector se determina con:

2 2 2 z y x A A A A   

Su dirección, para definir se necesita conocer por lo menos dos ángulos que hace el vector con los ejes, para ello se usan los cosenos directores.

A A Cos ; A A Cos ; y z          A A Cos x Entonces: k cos j cos i cos        A A A A  

1.7.2 Adición de vectores

Dado dos vectores Ay Bse define la suma de vectores: k B A j B A i B A B A  ( _x _x)( _y  _y)( _z _z)

Ej.: Dado los vectores: A 2i4j3k y B3i 2jk Determinar:

B

A ; AB; 3A4B; A* B

Ej. Hallar a en el vector, A3ˆiaˆj5kˆ siendo el módulo de A 50: en el espacio. Sol:a4

Ej.: Determinar el vector unitario del vector: A3i6j2k

Sol:a0,4285i0,857j0,285k

1.8. Vector posición

Es el vector que indica la posición del cuerpo en cualquier punto de la trayectoria. y x z ) z , y , x ( Q r Figura 1.15. 1.9. Producto escalar

El producto escalar de dos vectores, es el llamado (producto interior euclidiano o producto punto porque se escribe un punto entre los factores), se define por la fórmula:

k z j y i x r   

θ

A B

Figura 1.16.

El resultado del producto escalar A.Bes otro escalar (número real) En función de sus componentes:

z z y y x xB A B A B A B A.   

1.9.1. Producto escalar de dos vectores perpendiculares

θ

A

B

Figura 1.17.

Los vectores A.B cuando son perpendiculares, es cuando forman un ángulo de 90°, luego se tiene:

0

0

.

90

.















B

.

A

B

A

B

.

A

0

90

Cos

:

donde

Cos

B

A

B

.

A













Dos vectores son perpendiculares si el producto escalar es cero A.B0 

1.9.2. Producto escalar de dos vectores paralelos

Los vectores A.Bcuando son paralelos, forman un ángulo de 0°. 

.

.B A BCos

B

A

Figura 1.18.

Dos vectores son paralelos si su producto escalar es igual al producto de sus módulos.

1.9.3. Producto escalar de vectores unitarios

Aplicando la definición del producto escalar a los vectores unitarios i, j  ,k  se tiene

0

0

.

1

.

1

0

.

.

;

1

1

.

1

.

1

0

.

.

0

0

.

1

.

1

0

.

.

;

1

1

.

1

.

1

0

.

.

0

0

.

1

.

1

0

.

.

;

1

1

.

1

.

1

0

.

.

















































9

Cos

i

k

i

k

Cos

k

k

k

k

9

Cos

k

j

k

j

Cos

j

j

j

j

9

Cos

i

i

j

i

Cos

i

i

i

i

























1.9.4. Producto escalar en función de los componentes de un vector Sean A yB dos vectores:

k B j B i B B k A j A i A A z y x z y x               Entonces:

)

(

*

)

(

*

B

A

i

A

j

A

k

B

i

B

j

B

k

A







_x





_y





_z



_x





_y





_z



Por la propiedad distributiva y ordenando:

) k B j B i B ( * k A ) k B j B i B ( * j A ) k B j B i B ( * i A B * A  _x _x _y _z  _y _x _y _z  _z _x _y _z k B * k A j B * k A i B * k A k B * j A j B * j A i B * j A k B * i A j B * i A i B * i A z z y z x z z y y y x y z x y x x x                          

Aplicando la definición del producto escalar tendremos:

k j k i j i k k j j i i             * * 0 90 cos ) 1 )( 1 ( * * * 1 0 cos ) 1 )( 1 ( *          

El producto escalar resulta:

z z y y x x

B

A

B

A

B

A

B

A



*









B A B A .1 B A B A 1 0 Cos : Donde Cos B A B A . . . . 0 . .            

El producto escalar de dos vectores A yB es igual a la suma de productos de sus componentes correspondientes.

Ej.: Los vectores A y B forman un ángulo de  

3 2

 , sabiendo que A =3 y B =4. Determinar: A*B; A2;B2Sol: -6; 9; 16

Ej.: Dado los vectores:A3i 5jck y B2i2jk, determinar el valor de c, siendo el ángulo entre A y B, θ=19,47º

Sol: c1=4; c2=4/7

Ej.: Determinar el vector X que es colineal al vector A 2ijk, que satisface la condición X.A 3

Ej.: Sean los vectores:A2ij3k;Bi3j2k;Ci3j2k, Determinar el vector X que satisface las condiciones

; 11 . ; 5 .A XB X    X.C20 _Sol: X 2i3j2k 1.10. Producto vectorial

Se define como el vector perpendicular al plano formado por los vectores B y A 

)

u

(

sen



_{perpendicular}







AB

B

x

A



θ B x A  A  B

Plano formado por yA



B



En función de sus componentes se define como: z y x z y x B B B A A A k j i B x A      

La característica más importante del producto vectorial es que operando dos vectores el resultado es otro vector.

La condición de paralelismo de vectores es que su producto vectorial debe ser cero.

Ej.: Dado los vectores:Ai 2j3k;B2i4jk;C2ij3k ,Determinar:AxB;AxC;BxC;(A2B3C)x(3A4B2C) 1.10.1Área de un paralelogramo y x z i  j  k  V2  1 V Figura 1.20.

El área del paralelogramo formado por los vectores V1



y V2



se determina por el módulo del producto vectorial de los mismos.

2 1xV V A  

y x z i  j  k  V2  1 V Figura 1.21. El área de un triángulo formado por los vectores V1

 y V2  es la mitad del paralelogramo, es decir: 2 2 1xV V A   

1.11. Producto mixto de tres vectores

A

B C

Figura 1.22.

El producto triple o mixto, se utiliza para determinar el área del paralelogramo formando por B yC multiplicando por la altura. En

términos vectoriales se determina por la relación en valor absoluto del volumen del paralelepípedo:

) (BxC A Vol     

Sean los vectores:

z y x z y x z y x C C C C B B B B A A A A , , , , , ,      

Se define como el producto mixto:

            z y x z y x z y x C C C B B B A A A C x B A ( )   