Continuamos con el estudio de la ecuación general o cartesiana de una recta en el plano.

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Facultad de Ciencias Exactas, Ingenier´ıa y Agrimensura

Departamento de Matem´atica - Escuela de Ciencias Exactas y Naturales ´

Algebra y Geometr´ıa Anal´ıtica I Lic. en Fisica - A˜no 2014

Docentes: Viviana del Barco y Alejandra Zorzi Mini-resumen de la clase anterior:

Sir es una recta de ecuaciones param´etricas r)

(

x=x0+λu1

y=y0+λu2

, λR,

entonces su ecuaci´on general se obtiene por medio de la f´ormula (u2, u1)×(x−x0, y−y0) = 0 resultando

(1) r)ax+by+cz= 0, dondea=u2, b=u1 yc=u2x0−u1y0.

Notar que siempre resulta (a, b)6= (0,0) debido a que→u6=→0 .

Rec´ıprocamente si s tiene ecuaci´on general s)ax+by+c = 0 con (a, b) 6= (0,0) entonces la ecuaci´on param´etrica de ses: (2) s) ( x=c a+bλ y=aλ , λ∈R, si a6= 0 y s) ( x=bµ y=cb −aµ , µR, si b6= 0. ———————————————–

Continuamos con el estudio de la ecuaci´on general o cartesiana de una recta en el plano.

Definici´on 1. Un vector →v6=→0 se dice perpendicular a una rectar si la recta sost´en de→v es perpendicular a la recta r.

Claramente si→u es paralelo a r, un vector →v6=→0 es perpendicular a r si y s´olo si →v ×→u= 0. Proposici´on 2. Si una recta r tiene ecuaci´on general

r)ax+by+c= 0, (a, b)6= (0,0), entonces el vector →v= (a, b) es perpendicular ar.

Demostraci´on. Seg´un la ecuaci´on (2), el vector→u= (b,a) es paralelo a la rectar, independientemente de

sia ob son distintos de cero. Como→v →u, resulta →v r.

Otra manera de mostrar el resultado anterior es realizando el siguiente razonamiento. Sir)ax+by+c= 0 es una recta y P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son dos puntos de r, entonces ax1+by1+c= 0 y ax2+by2+c= 0.

Restando una ecuaci´on de la otra obtenemos que se verifica: a(x2−x1) +b(y2−y1) = 0.

Esta ecuaci´on implica que (a, b)×(x2−x1, y2−y1) = 0; recordar que

P1P2= (x2 −x1, y2−y1). Por lo

tanto→v= (a, b) es perpendicular al vector P1→P2, es decir→v ⊥r.

El siguiente resultado se deduce de la proposici´on anterior; su demostraci´on queda como ejercicio. Corolario 3. Si r tiene ecuaci´on r)ax+by+c= 0, entonces los vectores →u= (b, a) y →w= (b,a) son paralelos a r.

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Ejemplo 4. Dar la ecuaci´on param´etrica de la recta 2x+ 3y13 = 0.

De la Proposici´on 2 y el Corolario 3, el vector →v= (2,3) es perpendicular a r y →u= (3,2) es paralelo a r.

Resta encontrar un punto de paso de r. Para ello, tomamos un valor particular de x y despejamos y: fijamosx= 0, en cuyo caso debe sery tal que 2·0 + 3y13 = 3y13 = 0, es deciry= 13/3. Concluimos que P0(0,13/3)es un punto de r.

La ecuaci´on param´etrica de r es: r) ( x=3λ y= 13 3 + 2λ , λR.

Ejemplo 5. Hallar la ecuaci´on general de la recta sque pasa por los puntos Q(1,2)y R(2,5).

La direcci´on de la recta est´a dada por el vector QR= (1,→ 3) y por lo tanto →v= (3,1) es normal a s. Vimos que un punto P(x, y)ssi y s´olo si QP→ ×→v= 0:

0 =QP→ ×→v= (x1, y2)×(3,1) =3x+ 3 +y2 =3x+y+ 1 = 0, luego la ecuaci´on buscada es:

s) 3x+y+ 1 = 0.

La rectar de ecuaci´on ax+by+c= 0, tiene diferentes caracter´ısticas seg´un sus coeficientesa, b, c sean nulos o no.

• c= 0 si y s´olo si r pasa por el origen, es decir (0,0)r. Esto se debe a que, si c= 0, el (0,0) verifica la ecuaci´on de la recta. Rec´ıprocamente, si (0,0) satisface la ecuaci´on der entonces 0 = a·0 +b·0 +c=c.

• a= 0 (lo cual implica que b6= 0) si y s´olo si r es paralela al ejex. En efecto, sia= 0 la ecuaci´on resulta r)by+c= 0 y todo punto de r tiene ordenada y =c

b. Por otro lado, si r// eje x, entoncesr(0,1) y por lo tanto su ecuaci´on general tienea= 0 yb= 1 (o un m´ultiplo de estos valores).

•b= 0 (lo cual implica quea6= 0) si y s´olo si la recta es paralela al ejey. En efecto, la ecuaci´on resultar)ax+c= 0 y todo punto tiene abcisa x=ca. La rec´ıproca es an´aloga a la anterior.

Estas situaciones pueden combinarse (salvo a=b= 0) y se obtiene:

−sic=a= 0, entonces la recta corresponde al eje x: una ecuaci´on general para el ejex esy = 0.

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Observaci´on 6. Sea r una recta de ecuaci´onax+by+c = 0. Para hallar los puntos de intersecci´on de r con los ejes coordenados, debemos encontrar aquellos valores (x, y) que satisfacen los siguientes sistemas de ecuaciones: P(x, y)r eje y ( ax+by+c= 0 x= 0 y P(x, y)∈r∩ eje x⇔ ( ax+by+c= 0 y = 0

Es decir, para determinar la intersecci´on de la rectar con el ejex, tomamosx= 0 en la eucaci´on general y despejamos y: r eje y ={(0,c/b)}, si b 6= 0. An´alogamente r eje x ={(c/a,0)}, si a6= 0. Una recta puede no tener intersecci´on con uno de los dos ejes coordenados.

Ecuaciones normal, expl´ıcita y segmentaria de una recta.

Ya vimos que cada recta en el plano puede ser descripta por ecuaciones param´etricas y por ecuaciones cartesianas o generales. Estos dos tipos de ecuaciones son las m´as relevantes y es muy importante conocer c´omo encontrar estas ecuaciones para una recta dada y c´omo pasar de la ecuaci´on param´etrica a la general y viceversa.

A continuaci´on introducimos las ecuaciones normal, expl´ıcita y segmentaria de una recta que, b´asica-mente, son diferentes formas de escribir la general. Sin embargo, esta reescritura nos permitir´a determinar importantes caracter´ısticas de la recta: su intersecci´on con los ejes coordenados, el ´angulo que forma con el eje positivo de las abcisas, la distancia al origen de coordenadas, entre otras.

1. Ecuaci´on normal.

Definici´on 7. La ecuaci´on normal de una recta r es una ecuaci´on cartesiana o general de r de la forma ax+by+c= 0 de manera que |(a, b)|=√a2+b2= 1.

Dada una ecuaci´on generalax+by+c= 0 de una recta, ´esta es una ecuaci´on normal si y s´olo si el vector →

v= (a, b) tiene m´odulo 1. Observar que cada recta tiene exactamente dos ecuaciones normales, mientras que posee infinitas ecuaciones generales. Sirest´a dada por la ecucaci´on normal ax+by+c= 0, denotamos al versor (a, b) por→n.

Searuna recta de ecuaci´on general (no necesariamente normal)r)ax+by+c= 0, entonces (a, b)6= (0,0). La ecuaci´on normal der se obtiene dividiendo la ecuaci´on general por ´el m´odulo de →v= (a, b):

a′x+b′y+c′= 0 con        a′ = √ a a2+b2 b′ = √ b a2+b2 c′ = √ c a2+b2 .

Verificar que el vector→n= (a′, b) resulta de m´odulo 1 y adem´as es el versor asociado av.

Sea r una recta de ecuaci´on normal ax+by+c = 0 y sea Q(x1, y1) un punto cualquiera en el plano

(ver Figura 1). Denotamos →n= (a, b) al vector normal a r, que tiene m´odulo 1. Tomamos P(x, y) r y queremos calcularproy→

n →

P Q. Sabemos de la unidad anterior que proy→ n

P Q= (P Q→ ×→n)·→n pues→n es un versor. Resulta

P Q×→n= (x1−x, y1−y)×(a, b) =a(x1−x) +b(y1−y) =ax1+by1+ (−ax−by)

| {z }

=c

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Notar que el valorP Q→ ×→n no depende de las coordenadas deP. De hecho, se puede calcular conociendo la ecuaci´on de r y las coordenadas de Q. Esto, en particular, implica que si tomamos otro puntoP′ de la recta, el producto internoP→′Q×→n coincide con el anterior; es decir:

P Q×→n=P→′Q×→n=ax1+by1+c, para cualesquieraP, P′ ∈ r.

Concluimos entonces que

(3) proy→ n → P Q=proy→ n →

P′Q= (ax1+by1+c)·→n, para cualesquiera P, P′∈ r.

Figura 1

El hecho que el vector poryecci´on en (3) sea independiente del punto P de la recta que tomemos, nos permite dar unabuena definici´on de distancia entre un punto y una recta.

Definici´on 8. Dada una recta r de ecuaci´on normalax+by+c= 0 y Q un punto del plano, se define la distancia deQa la recta r y se denota d(Q, r) como el valor

d(Q, r) =|proy→ n

P Q|, donde →n= (a, b) es el versor normal a r yP r.

Proposici´on 9. Sea r una recta de ecuaci´on normal ax+by+c = 0 y Q(x1, y1) un punto en el plano.

Entonces d(Q, r) =|ax1+by1+c|.

Demostraci´on. De la definici´on, d(Q, r) =|proy→ n

P Q|=|P Q→ ×→n |, siendoP un punto cualquiera de r.

Usando (3), resultad(Q, r) =|ax1+by1+c|.

La demostraci´on de los siguientes corolarios quedan como ejercicio para el estudiante.

Corolario 10. Sea r una recta de ecuaci´on normal ax + by + c = 0. Entonces la distancia de r al origen es |c|.

Corolario 11. Sea r una recta de ecuaci´on general ax+by+c = 0 y Q(x1, y1) un punto en el plano.

Entonces

d(Q, r) = |ax1+by1+c| a2+b2 .

Adem´as, la distancia de r al origen es √a|2c|

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Ejercicio 12. Probar que un punto Q pertenece a una recta r si y s´olo si d(Q, r) = 0. Ejemplo 13. Dar la ecuaci´on normal de la recta r) 2x 1

4y−7 = 0. Hallar la distancia de los puntos

Q(2,5) y O(0,0) a la rectar. El vector normal a r es →v= (2,1 4) cuyo m´odulo es | → v |=q22+ (1 4) 2= √65 4 . La ecuaci´on normal de r es √65 4 (2x− 1 4y−7) = 0, es decir: (4) r) √ 65 2 x− √ 65 16 y− 7 4 √ 65 = 0.

Usando la forma normal (4) podemos calcular de manera directa la distancia de Q(2,5)a la recta: d(Q, r) = √ 65 2 (−2)− √ 65 16 5− 7 4 √ 65 = − 49 16 √ 65 = 49 16 √ 65. Adem´as, d(O, r) =−74√65= 74√65.

Ejemplo 14. Dar las ecuaciones de una recta s que sea paralela al vector →u= (1,√3)y cuya distancia al origen sea3.

El enunciado del ejemplo nos da un vector paralelo a la rectaspor lo que nos hace pensar en la ecuaci´on param´etrica de la recta s. Sin embargo, el dato de qued(O, s) = 3nos lleva a pensar en el coeficiente ”c”de la forma normal. Ser´a con la ecuaci´on normla de scon la que trabajaremos, por lo que buscamos un vector →

v tal que→v s.

Tomamos →v= (√3,1); vemos que |→v |= 2 por lo tanto no es un versor y no lo podemos usar para la ecuaci´on normal de la recta. Definimos →n=→v /2 = (√3

2 ,− 1

2), ahora |

n |= 1. La ecuaci´on normal de s ser´a de la forma (ver Figura 2):

s) √ 3 2 x− 1 2y+c= 0.

Usando el dato que d(O, r) = 3, sabemos que |c|= 3, es decir c = 3 o c = 3 pero ... ¿cu´al de los dos valores para c debemos elegir? En realidad, podemos elegir cualquiera de los dos. Las rectas que surgen de tomar c= 3 o c=3 en la ecuaci´on anterior, son paralelas entre s´ı (y paralelas a →u). En cualquiera de los casos, se encuentran a distancia 3 del origen de coordenadas.

Como respuesta damoss) √3 2 x−

1

2y+ 3 = 0. En la Figura 2 se grafican la recta scon esta ecuaci´on y

s′ donde se toma c=3.

Figure

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