Facultad de Matemáticas Universidad de Sevilla

Universidad de Sevilla

L´

ogica Matem´

atica

A

Introducci´

on a la Teor´ıa de Modelos

1

I. Lenguajes de primer orden 3

1. Sintaxis . . . 3

1.A. T´erminos y F´ormulas . . . 3

1.B. Sustituci´on . . . 7

2. Sem´antica . . . 10

3. Relaciones entre estructuras . . . 16

3.A. Homomorfismos, inmersiones e isomorfismos . . . 16

3.B. Equivalencia elemental . . . 18 3.C. Subestructuras . . . 19 4. Aplicaciones . . . 20 4.A. El lenguaje L= . . . 20 4.B. Las estructuras Qy R . . . 21 5. Ejercicios . . . 22

II. Teor´ıas de primer orden 25 1. Teorema de la validez . . . 25

1.A. Valoraciones de Verdad . . . 25

1.B. Axiomas L´ogicos . . . 26

1.C. Reglas de Inferencia . . . 28

1.D. Teor´ıas y pruebas . . . 29

2. El teorema de tautolog´ıa . . . 31

3. Teoremas sobre cuantificadores . . . 32

4. Los teoremas de la deducci´on y de constantes . . . 35

5. El teorema de igualdad . . . 37

6. Relaciones entre teor´ıas . . . 38

6.A. Extensiones de teor´ıas . . . 38

6.B. Teor´ıas consistentes. Teorema de la reducci´on . . . 40

6.C. Teor´ıas completas . . . 42

7. Formas prenex. Formas normales . . . 43

8. Aplicaciones . . . 48

8.A. Teor´ıas sobre L= . . . 48

8.B. La teor´ıa Th(NS) . . . 49

9. Ejercicios . . . 51

III. Los teoremas de completitud y compacidad 53 1. El teorema de completitud . . . 53

1.A. Introducci´on . . . 53

1.B. La estructura can´onica . . . 54

1.C. Teor´ıas de Henkin . . . 56

2. El teorema de compacidad . . . 61

2.A. El teorema de compacidad . . . 61

2.B. El argumento topol´ogico . . . 62

3. Aplicaciones . . . 65

3.A. Teor´ıas sobre el lenguaje L= . . . 65

3.B. La teor´ıa Th(NS) . . . 68

3.C. Ordenes totales densos . . . .´ 73

4. Extensiones conservativas . . . 75

4.A. El teorema de extensiones funcionales . . . 75

4.B. Extensiones por definici´on . . . 76

5. Ejercicios . . . 78

B

Teor´ıa de la Recursi´

on

81

2. Funciones Primitivas Recursivas . . . 86

4. Funciones recursivas . . . 99

5. Eliminaci´on de la recursi´on . . . 101

6. Enumeraci´on y Parametrizaci´on . . . 102

7. Ejercicios . . . 109

V. Conjuntos recursivamente enumerables 111 1. Conjuntos recursivamente enumerables . . . 111

2. Indecidibilidad . . . 115

3. El teorema de recursi´on . . . 117

4. Ejercicios . . . 118

C

Los Teoremas de Incompletitud

121

1.A. Sintaxis . . . 123

1.B. El modelo est´andar. Conjuntos ∆0 1 y Σ01 . . . 125 2. Aritmetizaci´on . . . 129 3. Modelos no est´andar . . . 133 3.A. Numerales . . . 133 3.B. La inmersi´on can´onica . . . 134 4. La teor´ıaP− _{. . . 136} 4.A. La teor´ıa P− _{. . . 136} 4.B. Incompletitud de P− _{. . . 139} 4.C. Representabilidad . . . 140 4.D. Incompletitud e indecidibilidad . . . 146 5. La Aritm´etica de Peano . . . 146

5.A. La Aritm´etica de Peano . . . 146

5.B. Overspill . . . 148

5.C. Modelos no est´andar de PA y ´ordenes totales . . . 149

6. Ejercicios . . . 151

1. El lema diagonal . . . 153

1.A. Notaci´on . . . 153

1.B. El lema diagonal . . . 155

1.C. Conjuntos recursivamente enumerables . . . 157

2. El primer teorema de incompletitud . . . 158

2.A. Versi´on de G¨odel . . . 158

2.B. Versi´on de Rosser . . . 159

3. El segundo teorema de incompletitud . . . 161

3.A. El predicado ThT(x) . . . 161

3.B. El segundo teorema de incompletitud . . . 164

3.C. Propiedades de puntos fijos . . . 166

Introducci´

on a la Teor´ıa de Modelos

Lenguajes de primer orden

§

1

Sintaxis

1.A

T´

erminos y F´

ormulas

Definici´on I.1.1. (S´ımbolos). Un lenguaje de primer orden es un conjunto de s´ımbo-los. Los s´ımbolos de un lenguaje de primer orden L son de los siguientes tipos:

(a) L´ogicos (comunes a todos los lenguajes de primer orden): (–) Variables: v0, v1, v2, v3, . . .

(–) Predicados: = (igualdad), predicado binario. (–) Conectivas:    ¬ (negaci´on) ∨ (disyunci´on) ¾ proposicionales ∃ (cuantificador existencial). (b) No l´ogicos: (–) Constantes.

(–) Funciones: para cada n >0, s´ımbolos de funciones n–arias. (–) Predicados: para cada n >0, s´ımbolos de predicados n–arios.

Para describir un lenguaje de primer orden es suficiente dar el conjunto de sus s´ımbolos no l´ogicos.

Notas I.1.2.

(a) Usaremos, con o sin sub´ındices, las siguientes variables sint´acticas: (a.1) x, y, z, . . . para designar variables.

(a.2) f,g,h para designar s´ımbolos de funciones. (a.3) c para de designar s´ımbolos de constantes.

(a.4) p,q,r para designar s´ımbolos de predicados.

(b) Los conjuntos de los s´ımbolos de constantes, funciones y predicados de L los representaremos por LC, LF y LP, respectivamente.

(c) Sean L y L0 _{lenguajes de primer orden. Diremos queL es un sublenguaje deL}0_, L⊆L0_{, si todo s´ımbolo no l´ogico de L es un s´ımbolo no l´ogico de L}0_.

(d) Sea L un lenguaje de primer orden. El cardinal de L, card(L), es el cardinal del conjunto de s´ımbolos deL. Puesto queLtiene un n´umero numerable de s´ımbolos l´ogicos,

card(L) =ℵ0+ card(LC) + card(LF) + card(LP).

Ejemplos I.1.3. Damos seguidamente algunos ejemplos de lenguajes de primer orden. Usando estos lenguajes se estudian propiedades de las teor´ıas matem´aticas que se describen sobre ellos.

(a) El lenguaje sin s´ımbolos no l´ogicos, L=.

(b) Teor´ıa de conjuntos:tiene un ´unico s´ımbolo no l´ogico, el predicado binario ∈. (c) Teor´ıa de grupos, LG: consta de

½

+, funci´on binaria;

0, constante (elemento neutro).

(d) ´Ordenes, LO: un predicado binario,<.

(e) Teor´ıa de cuerpos, LF: el lenguaje consta de:

   +, ·, funciones binarias; −, funci´on 1–aria; 0,1, constantes.

(f) Teor´ıa de n´umeros (aritm´etica), LA: el lenguaje consta de:

       +, ·, funciones binarias; S, funci´on 1–aria; 0, constante; <, predicado binario.

El lenguaje formal para describir una teor´ıa matem´atica no est´a univocamente determi-nado. Por ejemplo, es posible estudiar la teor´ıa de grupos en los siguientes lenguajes:

LG1    +, funci´on binaria; 0, constante;

−, funci´on 1–aria (opuesto).

LG2 p predicado 3–ario.

En LG2, p representa al grafo de la suma. La elecci´on de un lenguaje formal para el estudio de una teor´ıa est´a condicionada por la naturaleza de los problemas que se deseen analizar.

Nota I.1.4.

(a) Una expresi´on de un lenguaje de primer ordenLes una sucesi´on finita de s´ımbolos de L.

(b) En la siguiente definici´on describiremos las expresiones de los lenguajes de primer orden en las que estamos interesados: t´erminos y f´ormulas.

(b.1) Los t´erminos describen elementos del universo de discurso.

(b.2) Las f´ormulas determinan (todas) las propiedades que podemos formular so-bre los elementos del universo de discurso.

Definici´on I.1.5. Sea L un lenguaje de primer orden.

(a) T´erminos: El conjunto de los t´erminos deLse define recursivamente como sigue: (a.1) Toda variable y toda constante es un t´ermino.

(a.2) Si f es un s´ımbolo de funci´on n–aria, 0 < n, y t1, . . . ,tn son t´erminos, entonces ft1. . .tn es un t´ermino.

(b) F´ormulas: El conjunto de las f´ormulas deLse define recursivamente como sigue: (b.1) Sip es un s´ımbolo de predicadon–ario y t1, . . . ,tn son t´erminos, entonces

pt1. . .tn es una f´ormula.

(b.2) Siϕ es una f´ormula, entonces¬ϕ es una f´ormula. (b.3) Siϕ, ψ son f´ormulas, entonces ∨ϕψ es una f´ormula.

(b.4) Siϕ es una f´ormula y x es una variable, entonces ∃x ϕ es una f´ormula.

Notaci´on I.1.6.

(a) Al conjunto de los t´erminos de Llo denotaremos porTerm(L). Usaremos a,b,t, con o sin sub´ındices, para denotar t´erminos.

(b) Las f´ormulas obtenidas enI.1.5-(b.1)se llaman at´omicas, y al conjunto formado por ´estas lo notaremos por At(L).

(c) Al conjunto de f´ormulas de un lenguaje de primer orden L lo notaremos por Form(L). Usaremos ϕ, ψ, θ, . . ., con o sin sub´ındices, para denotar f´ormulas. (d) Sean s y s0 _{son sucesiones finitas de s´ımbolos de un lenguaje de primer orden.}

Usaremoss≡s0 _{para indicar que son la misma sucesi´on de s´ımbolos. Es decir, si} s es s1. . . sn y s0 es s01. . . s0k, entonces s≡s0 _⇐⇒ ½ n=k

∧

(–) t≡t0 _{indica que t y t}0 _{son los mismos t´erminos.} (–) ϕ≡ψ indica queϕ y ψ son las mismas f´ormulas.

(a) Para probar que todos los t´erminos de un lenguaje L tienen una propiedadP es suficiente probar que:

(a.1) Toda variable tiene la propiedad P. (a.2) Toda constante tiene la propiedad P.

(a.3) Sif es un s´ımbolo de funci´on n–aria yt1, . . . ,tn son t´erminos que tienen la propiedad P, entoncesft1. . .tn tiene la propiedad P.

(b) Para probar que todas las f´ormulas de un lenguaje L tienen una propiedadP es suficiente probar que:

(b.1) Todas las f´ormulas at´omicas tienen la propiedad P. (b.2) Si ϕy ψ tienen la propiedad P, entonces

   ∨ϕψ tiene la propiedad P; ¬ϕtiene la propiedad P; ∃x ϕ tiene la propiedadP. Este proceso de prueba lo denominaremos: prueba por inducci´on sobre la longitud de t´erminos y f´ormulas.

Notaci´on I.1.8. (Nuevas conectivas y cuantificadores). En lo que sigue usare-mos las siguientes abreviaturas:

(a) Escribiremos en lugar de ϕ∨ψ ∨ϕψ; ∀x ϕ ¬∃x¬ϕ; ϕ→ψ ¬ϕ∨ψ; Escribiremos en lugar de ϕ∧ψ ¬(¬ϕ∨ ¬ψ); ϕ↔ψ (ϕ→ψ)∧(ψ →ϕ).

(b) Cuando usemos una conectiva para concatenar una sucesi´on de f´ormulas supon-dremos que asociamos desde la derecha. Por ejemplo,

ϕ1∨ϕ2∨ϕ3 es ϕ1∨(ϕ2∨ϕ3),

ϕ1 →ϕ2 →ϕ3 es ϕ1 →(ϕ2 →ϕ3).

Escribiremos

∧1≤i≤n

∨1≤i≤n

(c.1) f(t1, . . . ,tn) en lugar de ft1. . .tn. (c.2) p(t1, . . . ,tn) en lugar dept1. . .tn.

(c.3) Para s´ımbolos de funciones ´o predicados binarios es usual escribir el s´ımbolo de la funci´on ´o predicado entre los dos t´erminos. Para negar un predicado binario se suele escribir una l´ınea inclinada, de derecha a izquierda, sobre el s´ımbolo de predicado. Por ejemplo,

Se escribe en lugar de x+y +xy; x·0 ·x0; x+z < w <+xzw; x=y =xy. Se escribe en lugar de x /∈y ¬∈xy; x6=y ¬=xy; x6< y ¬<xy.

Ejemplos I.1.9.

(a) En la teor´ıa de conjuntos los ´unicos t´erminos son las variables.

(b) Las expresiones que siguen son t´erminos de los lenguajes que se indican, que fueron introducidos en I.1.3:

(b.1) +x·y0, teor´ıa de cuerpos. (b.2) +x++y00, teor´ıa de grupos.

(b.3) −+x+y−+0z, teor´ıa de grupos LG1.

(b.4) ·SSyz, teor´ıa de n´umeros.

La definici´on dada para describir el conjunto de los t´erminos nos permite prescin-dir de los par´entesis como s´ımbolos del lenguaje. Sin embargo, es m´as com´un escribir (informalmente) los t´erminos anteriores como sigue:

x+ (y·0), x+ ((y+0) +0),−(x+ (y+ (−(0 +z)))), S(S(y))·z. En la medida de lo posible ser´a esta notaci´on, informal, la que usaremos.

(c) Las expresiones que siguen son f´ormulas de los lenguajes que se indican, que fueron introducidos en I.1.3:

(c.1) ∈xy, teor´ıa de conjuntos.

(c.2) ∃x∈xy, teor´ıa de conjuntos (y es no vac´ıo).

(c.3) ¬∃x¬∃y=+xy0, teor´ıa de grupos (todo elemento tiene un opuesto).

(c.4) ∨=x0∃y=·xy1, teor´ıa de cuerpos (todo elemento distinto de cero tiene un inverso).

(c.5) ¬∨¬<S0z¬¬∃x¬¬∃y¬ ∨ ¬=·xyz∨=xS0=xz, teor´ıa de n´umeros (z es pri-mo).

Como en el caso de los t´erminos es m´as usual escribir informalmente las f´ormulas anteriores como sigue (usando las conectivas introdudidas en I.1.8).

x∈y, ∃x(x∈y), ∀x∃y(x+y=0), x6=0→ ∃y(x·y =1), S(0)< z∧ ∀x∀y(x·y=z →x=S(0)∨x=z).

Usaremos esta notaci´on para representar f´ormulas.

1.B

Sustituci´

on

Definici´on I.1.10. (Variables libres y ligadas).

(a) Cada vez que un s´ımbolo ocurre en una expresi´on diremos que es una estancia de ese s´ımbolo en la expresi´on.

(b) Diremos que una expresi´on es sin variables si no contiene estancias de s´ımbolos de variables.

(c) Una estancia de una variable x en una f´ormulaϕ es ligada, cuando esa estancia dex ocurre en una parte deϕ de la forma∃x ψ. En caso contrario, se dice libre. (d) Una variable x es libre (resp. ligada) en una f´ormula ϕ, cuando en ϕ se da al

menos una estancia libre (resp. ligada) de x.

Nota: Una variable puede ocurrir libre y ligada en una f´ormula. (e) Diremos que una f´ormula ϕes cerrada si no tiene variables libres.

Notas I.1.11. Notaremos por

(a) Term0(L) a la colecci´on de los t´erminos sin variables de L.

(b) Vl(ϕ) al conjunto de las variables libres deϕ. Usaremosϕ(x1, . . . , xn) para indicar que Vl(ϕ)⊆ {x1, . . . , xn}.

(c) Sent(L) al conjunto de las f´ormulas cerradas de L.

(d) Var(u) al conjunto de variables que ocurren en u, u es una expresi´on de L. Usaremos t(x1, . . . , xn) para indicar queVar(t)⊆ {x1, . . . , xn}.

Lema I.1.12.

(a) Si ϕes at´omica, entoncesVl(ϕ) =Var(ϕ); es decir, la colecci´on de las variables libres de ϕes el conjunto de las variables que ocurren en ϕ.

(b) Vl(¬ϕ) =Vl(ϕ).

(c) Vl(ϕ∨ψ) =Vl(ϕ)∪Vl(ψ). (d) Vl(∃x ϕ) = Vl(ϕ)− {x}.

Definici´on I.1.13. Sean a y b t´erminos yϕ una f´ormula.

(a) bx[a] es la expresi´on que se obtiene deb sustituyendo las estancias dexenb por el t´ermino a.

(b) ϕx[a] es la expresi´on que se obtiene de ϕ sustituyendo las estancias libres de x

en ϕpor a.

Cuando sea claro por el contexto escribiremos b(a) en lugar debx[a] y ϕ(a) en lugar deϕx[a].

Ejemplos I.1.14.

(a) Si b es +Sxy (es decir, S(x) +y) y a es ·S0z (es decir, S(0)·z), entonces bx[a] es +S·S0zy (es decir, S(S(0)·z) +y).

(b) Si ϕ es ∨∃x = Sxy < Sxz (es decir, ∃x(S(x) = y)∨S(x) < z) y a es +0y

(es decir, 0+y), entonces ϕx[a] es ∨∃x =Sxy <S+0yz (es decir, ∃x(S(x) =

y)∨S(0+y)< z).

Lema I.1.15. En las condiciones de la definici´on I.1.13se tiene que: (a) bx[a] es un t´ermino.

Demostraci´on: ((a)): Si x no ocurre en b, entonces bx[a] es b, que es un t´ermino. Supongamos quexocurre enb. Realizaremos la prueba por inducci´on sobre la longitud de b (ver I.1.7).

Caso 1: b es una variable. Entonces, como x ocurre en b, se tiene que b es x. Luego, bx[a] es a, que es un t´ermino.

Caso 2:b no es una variable. Entonces existe un s´ımbolo de funci´onn–ario,f, y t´ermi-nos t1, . . . ,tn tales que b es f(t1, . . . ,tn). Luego, bx[a] es f((t1)x[a]. . .(tn)x[a]). Por hip´otesis de inducci´on, (ti)x[a], i = 1, . . . , n, son t´erminos. Por tanto, bx[a] es un t´ermino.

((b)): Si x no ocurre libre en ϕ, entoncesϕx[a] es ϕque es una f´ormula. Supongamos que x ocurre libre enϕ. Realizamos la prueba por inducci´on sobre la longitud deϕ. Caso 1: ϕ es at´omica. Entonces existe un s´ımbolo de predicado n–ario p y t´erminos t1, . . . ,tn tales queϕ esp(t1, . . . ,tn). Por tanto, ϕx[a] es p((t1)x[a], . . . ,(tn)x[a]). Por (a), (ti)x[a] son t´erminos. En consecuencia, ϕx[a] es una f´ormula (at´omica).

Caso 2: ϕesψ∨θ. Entoncesϕx[a] es ψx[a]∨θx[a]. Por hip´otesis de inducci´on, ψx[a] y

θx[a] son f´ormulas. Por tanto, ϕx[a] es una f´ormula.

Caso 3: ϕes¬ψ. Entoncesϕx[a] es ¬(ψx[a]) y como, por hip´otesis de inducci´on,ψx[a] es una f´ormula, se tiene que ϕx[a] tambi´en lo es.

Caso 4: ϕ es ∃z ψ. Como x ocurre libre enϕ, z no es x. Entonces ϕx[a] es ∃z(ψx[a]). Por hip´otesis de inducci´on, ψx[a] es una f´ormula. Por tanto, ϕx[a] es una f´ormula. ¥

Notas I.1.16. El lema anterior prueba que sint´acticamente el proceso de sustituci´on es correcto. Sin embargo, sem´anticamente este proceso de sustituci´on presenta algunas anomal´ıas. Por ejemplo:

(–) Siϕes∃y(x=2·y) yaesy+1, entoncesϕx[a] es∃y(y+1=2·y). El contenido sem´antico de ϕes: x es par, sin embargo el de ϕx[a] es: y es 1.

(–) Si ϕes∃y(x6=y) y aes y, entoncesϕx[a] es ∃y(y6=y). El contenido sem´antico de ϕ es: existen al menos dos elementos, sin embargo el de ϕx[a] es: existe un elemento distinto de ´el mismo. Existen situaciones en las cuales es correcta ϕ, pero ϕx[a] no es nunca v´alida.

Para evitar situaciones como las descritas en el punto anterior limitaremos el uso de la sustituci´on.

Definici´on I.1.17. Sea ϕ∈Form(L). Una expresi´on ues una subf´ormula deϕsi es una f´ormula de L y ocurre en ϕ. Es decir, existen s0 _{y s}00 _{expresiones de L tales que}

ϕ≡s0_us00_{. Notaremos porSbF(ϕ) al conjunto de las subformulas de ϕ.}

Lema I.1.18. Sea ϕ∈Form(L).

(b) Si ϕes ψ∨θ, entonces SbF(ϕ) = {ϕ} ∪SbF(ψ)∪SbF(θ). (c) Si ϕes ¬ψ, entoncesSbF(ϕ) ={ϕ} ∪SbF(ψ).

(d) Si ϕes ∃y ψ, entonces SbF(ϕ) ={ϕ} ∪SbF(ψ).

Definici´on I.1.19. Una variable xes sustituible por un t´erminoten una f´ormula ϕ, si para cada variable z que ocurre en t, todas las subf´ormulas de ϕ de la forma ∃z ψ

no contienen estancias dex libres en ϕ.

Notas I.1.20.

(a) Siempre que escribamos ϕx[t] entenderemos que x es sustituible por t enϕ. (b) bx1,...,xn[t1, . . . ,tn] es el t´ermino que se obtiene debsustituyendo

simult´aneamen-te todas las estancias de x1, . . . , xn en b port1, . . . ,tn, respectivamente.

(c) ϕx1,...,xn[t1, . . . ,tn] es la f´ormula que se obtiene deϕsustituyendo

simult´aneamen-te todas las estancias libres de x1, . . . , xn en ϕpor t1, . . . ,tn, respectivamente. (d) Sea ϕ(x1, . . . , xn) una f´ormula. Si es claro, por el contexto, que enϕ(~x)

sustitui-mos las variablesx1, . . . , xn por los t´erminost1, . . . ,tn, escribiremosϕ(t1, . . . ,tn) en lugar de ϕx1,...,xn[t1, . . . ,tn]. Para t´erminos escribiremos b(t1, . . . ,tn) en lugar

de bx1,...,xn[t1, . . . ,tn].

(e) Vamos a describir un proceso para realizar las operaciones descritas en (b)y (c) usando la operaci´on de sustituci´on definida en I.1.13. Lo haremos s´olo para el caso de f´ormulas.

Sean y1, . . . , yn nuevas variables que no ocurran enϕ ni en t1, . . . ,tn. Definimos recursivamente las f´ormulas ϕj_{, j = 1, . . . , n, como sigue}

ϕ1 _{es ϕ} x1[y1],

ϕj+1 _{es ϕ}j

xj+1[yj+1], si j < n.

Consideremos las f´ormulas ψj_{, j = 1, . . . , n, siguientes:}

ψ1 _{es ϕ}n y1[t1], ψj+1 _{es ψ}j yj+1[tj+1], sij < n. Se tiene que Aserto I.1.20.1. ψn _{es ϕ} x1,...,xn[t1, . . . ,tn].

§

2

Sem´

antica

Definici´on I.2.1. (Estructuras). SeaLun lenguaje de primer orden. UnaL–estructura Aconsta de:

(b) Para cada s´ımbolo de constante c de L un elemento |A|, que notaremos cA, y

denominaremos interpretaci´on de c es A.

(c) Para cada s´ımbolo de funci´on n–ario, 0< n, f de L, una aplicaci´on n–aria fA :|A|n −→ |A|

que denominaremos interpretaci´on de f esA.

(d) Para cada s´ımbolo de predicado n–ario, p deL (distinto de =), un subconjunto pA de|A|n que denominaremos interpretaci´on de p es A.

(e) La interpretaci´on del s´ımbolo de igualdad =, =A, es el conjunto{(a, a) :a∈ |A|}.

Notas I.2.2.

(a) Usaremos letras g´oticas may´usculas para denotar estructuras: A,B,C, . . .

(b) Una L–estructura,A, puede representarse como:

A=h|A|,{cA : c∈LC},{fA : f ∈LF},{pA : p∈LP}i.

(c) Por comodidad en la notaci´on usaremos el mismo s´ımbolo para designar a una estructura y a su universo; es decir, escribiremos a∈A en lugar dea ∈ |A|.

Definici´on I.2.3. SeaLun lenguaje yAunaL–estructura. El cardinal deA, card(A), es el cardinal de su universo.

Ejemplos I.2.4.

(a) El modelo est´andar de la Aritm´etica: N.

(–) Universo:ω ={0,1,2, . . .} (n´umeros naturales).

(–) Interpretaciones:            0N = 0, SN(n) = n+ 1, n+N m=n+m, n·N m =n·m, n <N m ⇐⇒ n < m. (b) El modelo NS (para el lenguaje LS).

(–) Universo:ω ={0,1,2, . . .} (n´umeros naturales). (–) Interpretaciones:

½

NS(0) = 0,

SN_S(n) =n+ 1. (c) Ordenes (en el lenguaje de ´ordenes).´

N< = ½ Universo: ω; Interpretaciones: n <N< m ⇐⇒ n < m. Q= ½

Universo: Q (n´umeros racionales); Interpretaciones: q <Q t ⇐⇒ q < t. R =

½

Universo: R (n´umeros reales); Interpretaciones: r <R s ⇐⇒ r < s.

Definici´on I.2.5. (Nombres de individuos). Sea A una L–estructura. Por cada

a ∈ A sea ca un nuevo s´ımbolo de constante, que denominaremos nombre de a. Al lenguaje que se obtiene de L a˜nadi´endole una nueva constante ca por cada a ∈ A, lo notaremos porL(A).

Definici´on I.2.6. (Interpretaci´on de t´erminos: A(t)). Sea A una L–estructura. Por recursi´on sobre la longitud de t ∈ Term0(L(A)), t´ermino sin variables de L(A), definimos su interpretaci´on enA, A(t)∈A, como sigue:

A(t) =    a, si t esca dondea ∈A; cA, si t es el s´ımbolo de constantec de L; fA(A(t1), . . . ,A(tn)), si t esf(t1, . . . ,tn).

Definici´on I.2.7. (Validez de f´ormulas: A²ϕ). SeaA una L–estructura. Por re-cursi´on sobre la longitud deϕ∈Sent(L(A)), f´ormula cerrada de L(A), definimos si ϕ

es verdadera enA, A²ϕ, como sigue:

A²ϕ ⇐⇒            A(t1) =A(t2), siϕ est1 =t2; (A(t1), . . . ,A(tn))∈pA, siϕ esp(t1, . . . ,tn); A6²ψ, siϕ es¬ψ; A²ψ ´oA²θ, siϕ esψ∨θ; Existe a∈Atal que A²ψx[ca], siϕ es∃x ψ.

Definici´on I.2.8. Sea ϕ∈Form(L) y Vl(ϕ) ={x1, . . . , xn}. (a) Sea Auna L–estructura. Diremos que

(a.1) a1, . . . , an∈A satisfacen a ϕ(x1, . . . , xn) en A, A²ϕ(a1, . . . , an), si A²ϕx1,...,xn[ca1, . . . ,can].

(a.2) ϕ(~x) es v´alida en A, A²ϕ(x1, . . . , xn), si para cualesquieraa1, . . . , an ∈A, A²ϕ(a1, . . . , an).

(b) ϕ es l´ogicamente v´alida,²ϕ, si para toda L–estructura A,A²ϕ.

Notas I.2.9.

(a) Como veremos m´as adelante en muchas situaciones es conveniente hacer referencia a cualquier elemento de una estructura desde el lenguaje formal. Sin embargo, en general esto no es posible. Por ejemplo, en el lenguaje de la teor´ıa de grupos, LG, si G es un grupo, sea G(0) = 0 (donde 0 es el elemento neutro de G), entonces 0 +G 0 = 0. Por tanto, la interpretaci´on en G de todo t´ermino sin variables de

LG es el elemento neutro de G.

Por esto, en I.2.5dado un lenguajeLy unaL–estructuraAse define el lenguaje L(A). Desde L(A) es posible referirse a cualquier elemento del universo de A: si

a ∈A, a=A(ca).

indistintamente poraal elementoa ∈Ay a su nombreca. Por tanto, escribiremos

ϕ(a) en lugar de ϕ(ca) (o deϕx[ca]).

(c) Para las otras conectivas introducidas en I.1.8el valor de verdad viene determi-nado como sigue. Sean Auna L–estructura y ψ y θ f´ormulas cerradas de L(A).

(–) A²ψ∧θ ⇐⇒ A²ψ y A²θ. (–) A6²ψ →θ ⇐⇒ A²ψ y A6²θ. (–) A²∀x ψ ⇐⇒ para todo a∈A, A²ψ(a). (d) Si Vl(ϕ) ={x1, . . . , xn}, son equivalentes: (–) A²ϕ. (–) {(a1, . . . , an)∈An:A²ϕ(a1, . . . , an)}=An. (–) A²∀x1. . .∀xnϕ(x1, . . . , xn).

(e) Sean ϕy θ f´ormulas de L(A).

(–) Siϕ y ψ son f´ormulas cerradas, entonces

A²ϕ∨ψ ⇐⇒ A²ϕ ´o A²ψ.

(–) (Ejercicio)Nose verifica que para cualesquiera f´ormulas no cerradas,ϕyψ

A²ϕ∨ψ =⇒ A²ϕ ´o A²ψ.

Definici´on I.2.10. Sea A una L–estructura. Diremos que A ⊆ An _{es definible si} existe ϕ(x1, . . . , xn)∈Form(L) tal que:

A ={(a1, . . . , an)∈An: A²ϕ(a1, . . . , an)}.

Nota: Si A=∅oA=|A|, entoncesA es definible. Basta considerar las f´ormulasx6=x

y x=x.

Definici´on I.2.11. Sea L un sublenguaje de L0_.

(a) Sea A0 _{una L}0_{–estructura. Definimos la restricci´on de A}0 _{a L, A}0

|L, como la L–

estructura dada por: A0

|L=h|A0|,{cA0 : c∈LC},{fA0 : f ∈LF},{pA0 : p∈LP}i.

Esto es, la restricci´on de A0 _{a L consiste en suprimir en A}0 _{la interpretaci´on de} los s´ımbolos no l´ogicos de L0 _{que no est´en en L. Sin embargo, el universo es el} mismo.

(b) Sea A una L–estructura. Diremos que una L0_{–estructura A}0 _{es una expansi´on de} A aL0 _siA0

|L esA. Es decir, una expansi´on deA aL0 consiste en a˜nadir a Auna

interpretaci´on de cada s´ımbolo no l´ogico de L0 _{que no pertenezca a L.}

Ejemplo I.2.12. Sea c un s´ımbolo de constante. Una expasi´on de N< a LO +c consiste en a˜nadir a N< una interpretaci´on del s´ımbolo de constantec.

N<,0 =    Universo: ω; Interpretaciones: ½ n <N<,0 m ⇐⇒ n < m; N<,0(c) = 0. es una expansi´on deN< a L+c. Una expansi´on distinta es

N<,7 =    Universo: ω; Interpretaciones: ½ n <N<,7 m ⇐⇒ n < m; N<,7(c) = 7.

Proposici´on I.2.13. SeanL⊆L0 _{lenguajes de primer orden y A}0 _unaL0_{–estructura.} Para toda f´ormula,ϕ, de L(A0

|L),

A0

|L ²ϕ ⇐⇒ A0 ²ϕ.

Lema I.2.14. Sean A una L–estructura,t∈Term0(L(A))y a=A(t). (a) Si b es un t´ermino de L(A) tal que Var(b)⊆ {x}, entonces

A(b(t)) = A(b(a)). (b) Si ϕ∈Form(L(A)) tal que Vl(ϕ)⊆ {x}, entonces

A²ϕ(t) ⇐⇒A²ϕ(a).

Demostraci´on: ((a)): Si x no ocurre en b, entonces no hay nada que probar (b(t) esb(a)). Si x ocurre en b, realizamos la prueba por inducci´on sobre la longitud deb. Caso 1:b es una variable. Puesto que x ocurre en b, entoncesb es x. Por tanto,

(∗) b(t) es t, y (∗∗) b(a) es a. En consecuencia, A(b(t)) = A(t) [[(∗)]] = a [[hip´otesis]] = A(a) = A(b(a)) [[(∗∗)]]. Caso 2:b es f(t1, . . . ,tn). Entonces (∗) b(t) es f(t1(t), . . . ,tn(t)), y (∗∗) b(a) es f(t1(a), . . . ,tn(a)). Por tanto, A(b(t)) = A(f(t1(t), . . . ,tn(t))) [[(∗)]]

= fA(A(t1(t)), . . . ,A(tn(t])) [[definici´on I.2.6]]

= fA(A(t1(a)), . . . ,A((tn(a))) [[hip´otesis de inducci´on]] = A(f(t1(a), . . . ,tn(a))) [[definici´on I.2.6]]

= A(b(a)) [[(∗∗)]].

((b)): Si x no es libre en ϕ, el resultado es trivial pues ϕ(t) y ϕ(a) son ϕ. Por tanto, supongamos que x es libre en ϕ. Lo probaremos por inducci´on sobre la longitud de ϕ. Caso 1: ϕat´omica. Entonces ϕ esp(t1, . . . ,tn). Por tanto,

(∗) ϕ(t) es p(t1(t). . .tn(t)), y (∗∗) ϕ(a) es p(t1(a), . . . ,tn(a)). Luego,

A²ϕ(t) ⇐⇒ (A(t1(t)), . . . ,A(tn(t)))∈pA [[(∗) y I.2.7]]

⇐⇒ (A(t1(a)), . . . ,A(tn(a)))∈pA [[A(ti(t)) =A(ti(a)), (a)]]

⇐⇒ A²p(t1(a), . . . ,tn(a)) [[I.2.7]] ⇐⇒ A²ϕ(a) [[(∗∗)]].

Caso 2: ϕes ψ∨θ. Entonces

A²ϕ(t) ⇐⇒ A²ψ(t)∨θ(t) ⇐⇒ A²ψ(t) ´o A²θ(t)

⇐⇒ A²ψ(a) ´o A²θ(a) [[hip´otesis de inducci´on]] ⇐⇒ A²ψ(a)∨θ(a) ⇐⇒ A²ϕ(a). Caso 3: ϕes ¬ψ. Entonces A²ϕ(t) ⇐⇒ A²¬ψ(t) ⇐⇒ A6²ψ(t) ⇐⇒ A6²ψ(a) [[hip´otesis de inducci´on]] ⇐⇒ A²¬ψ(a) ⇐⇒ A²ϕ(a).

Caso 4:ϕes∃y ψ. Puesto quexes libre enϕ,yno esx. Adem´as, comotes sin variables,

y no ocurre en t. [[En la prueba de este caso mantendremos la notaci´on original]]. A²ϕx[t] ⇐⇒ A²∃y ψx[t] ⇐⇒ ∃b∈A, A²(ψx[t])y[b] ⇐⇒ ∃b∈A, A²ψx,y[t, b] [[y no ocurre en t]] ⇐⇒ ∃b∈A, A²(ψy[b])x[t] ⇐⇒ ∃b∈A, A²(ψy[b])x[a] [[hip´otesis de inducci´on]] ⇐⇒ ∃b∈A, A²ψx,y[a, b] ⇐⇒ ∃b∈A, A²(ψx[a])y[b] ⇐⇒ A²∃y ψx[a] ⇐⇒ A²ϕx[a]. Lo que prueba (b). ¥

§

3

Relaciones entre estructuras

3.A

Homomorfismos, inmersiones e isomorfismos

Definici´on I.3.1. Sean A y B L–estructuras.

(a) Diremos que F :A−→Bes un homomorfismo, F :A'B, si (a.1) Para todo constante c deL,

F(cA) =cB.

(a.2) Para todo f ∈LF n–aria y a1, . . . , an ∈A,

F(fA(a1, . . . , an)) = fB(F(a1), . . . , F(an)). (a.3) Para todo p∈LP n–ario y a1, . . . , an ∈A,

A²p(a1, . . . , an) =⇒ B²p(F(a1), . . . , F(an)). (b) Diremos que F :A−→Bes una inmersi´on, F :A⊂eB, si

(b.1) F :A'B.

(b.2) Para todo p∈LP n–ario y a1, . . . , an ∈A,

A²p(a1, . . . , an) ⇐⇒ B²p(F(a1), . . . , F(an)).

Nota: Puesto que = es un s´ımbolo del lenguaje, si F : A ⊂eB, entonces F es inyectiva.

(c) Diremos que F :A−→Bes un isomorfismo, F :A∼=B, si (c.1) F es biyectiva.

(c.2) F :A⊂eB.

Lema I.3.2. Sean A una L–estructura, B un conjunto y F :A−→ B una aplicaci´on biyectiva. Existe una ´unica L–estructuraB tal que:

(a) El universo de B esB. (b) F :A∼=B.

Demostraci´on: Sea Bla L–estructura definida por: (–) Universo: |B|=B.

(–) Constantes: Sea c un s´ımbolo de cocnstante. Definimos cB =F(cA).

(–) Funciones: Sea f un s´ımbolo de funci´on n–aria de L y b1, . . . , bn ∈ B. Sean

a1, . . . , an ∈Atales que F(ai) =bi, i= 1, . . . , n. Definimos: fB(b1, . . . , bn) = F(fA(a1, . . . , an)).

(–) Predicados: Sea p un s´ımbolo de predicado n–ario de L y b1, . . . , bn ∈ B. Sean

(b1, . . . , bn)∈pB ⇐⇒ (a1, . . . , an)∈pA.

El resultado se obtiene trivialmente a partir de las definiciones. ¥

Definici´on I.3.3. SeaLun lenguaje de primer orden. Diremos que una f´ormula deL es abierta si no contiene estancias de s´ımbolos de cuantificadores. Usaremos, indistinta-mente,

∃

∀

∃

∀

Es evidente que la colecci´on de las f´ormulas abiertas de un lenguaje L es la menor colecci´on de f´ormulas de Ltal que:

(–) contiene a las f´ormulas at´omicas, y (–) es cerrada bajo ∨y ¬.

Proposici´on I.3.4. Sean A,B L–estructuras y a1, . . . , an∈A. (a) Si F :A'B y t(x1, . . . , xn)∈Term(L), entonces

F(A(t(a1, . . . , an))) =B(t(F(a1), . . . , F(an))).

(b) Si F :A⊂eB y ϕ(x1, . . . , xn)∈

∀

A²ϕ(a1, . . . , an) ⇐⇒ B²ϕ(F(a1), . . . , F(an)).

(c) Si F :A∼=B y ϕ(x1, . . . , xn)∈Form(L), entonces

A²ϕ(a1, . . . , an) ⇐⇒ B²ϕ(F(a1), . . . , F(an)).

Demostraci´on: A lo largo de la prueba escribiremos (–) ~a en lugar de a1, . . . , an y

(–) F(~a) en lugar deF(a1), . . . , F(an). ((a)): Por inducci´on sobre la longitud det.

Caso 1: tes una variable. Supongamos que tes xi. Entonces (–) t(~a) es ai y

(–) t(F(~a)) es F(ai).

Por tanto, el resultado es trivial. Caso 2: tes f(t1, . . . ,tm). Entonces

(∗) t(~a) es f(t1(~a), . . . ,tm(~a)) y,

(∗∗) t(F(~a)) es f(t1(F(~a)), . . . ,tm(F(~a))). Por tanto,

F(A(t(~a))) = F(A(f(t1(~a), . . . ,tm(~a)))) [[(∗)]] = F(fA(A(t1(~a)), . . . ,A(tm(~a)))) = fB(F(A(t1(~a))), . . . , F(A(tm(~a)))) [[F :A'B]] = fB(B(t1(F(~a))), . . . ,B(tm(F(~a)))) [[hip. ind.]] = B(f(t1(F(~a)), . . . ,tm(F(~a)))) = B(t(F(~a))) [[(∗∗)]].

Lo que pueba(a).

((b)): Por inducci´on sobre la longitud de ϕ.

Caso 1:ϕat´omica. El resultado se sigue de (a) y la definici´on de inmersi´on. Caso 2:ϕes ψ∨θ. Entonces

A²ϕ(~a) ⇐⇒ A²ψ(~a)∨θ(~a)

⇐⇒ A²ψ(~a) ´o A²θ(~a)

⇐⇒ B²ψ(F(~a)) ´o B²θ(F(~a)) [[hip. ind.]] ⇐⇒ B²ψ(F(~a))∨θ(F(~a)) ⇐⇒ B²ϕ(F(~a)). Caso 3:ϕes ¬ψ. Entonces A²ϕ(~a) ⇐⇒ A²¬ψ(~a) ⇐⇒ A6²ψ(~a) ⇐⇒ B6²ψ(F(~a)) [[hip. ind.]] ⇐⇒ B²¬ψ(F(~a)) ⇐⇒ B²ϕ(F(~a)). Lo que prueba(b).

((c)): Por(b) es suficiente probar el resultado para f´ormulas del tipo ∃y ψ. A²ϕ(~a) ⇐⇒ A²∃y ψ(~a, y) ⇐⇒ ∃c∈A (A²ψ(~a, c)) ⇐⇒ ∃c∈A (B²ψ(F(~a), F(c))) [[hip. ind.]] ⇐⇒ ∃b ∈B(B²ψ(F(~a), b)) (=⇒), b =F(c) (⇐=), F es suprayectiva ⇐⇒ B²∃y ψ(F(~a), y). Lo que prueba(c). ¥

3.B

Equivalencia elemental

Definici´on I.3.5. Sean A y B L–estructuras. Diremos que A y B, son elemental-mente equivalentes, A≡B, si para toda f´ormula ϕdeL,

Proposici´on I.3.6. Sea L un lenguaje de primer orden, A y B L–estructuras. En-tonces

(a) A∼=B =⇒ A≡B.

(b) ≡ y ∼= son relaciones de equivalencia en la clase de las L–estructuras.

Problema I.3.7. ¿Se verifica rec´ıproco de I.3.6-(a)?

3.C

Subestructuras

Definici´on I.3.8. Sean A y B L–estructuras. Diremos que A es una subestructura de B,A⊂B, si

(a) |A| ⊆ |B|

(b) Para toda constante c deL, cA =cB.

(c) Para todo f ∈LF n–aria, 0< n, y todo a1, . . . , an∈A, fA(a1, . . . , an) =fB(a1, . . . , an). (d) Para todo p ∈LP n–ario y todoa1, . . . , an∈A,

A²p(a1, . . . , an) ⇐⇒ B²p(a1, . . . , an).

Notas I.3.9.

(a) Sea Id :A−→B la aplicaci´on dada por Id(a) =a, para todo a∈A. Entonces A⊂B ⇐⇒ Id :A⊂eB.

(b) Por I.3.4-(b), siA⊂B, entonces para toda f´ormula abierta,ϕ(~x) y~a ∈A A²ϕ(~a) ⇐⇒ B²ϕ(~a).

Lema I.3.10. Sean A una L–estructura y C ⊆A no vac´ıo. Existe una subestructura de A,hCi, tal que: para toda L–estructura B

B⊂A y C ⊆ |B| =⇒ hCi ⊂B.

Es decir, hCies la menor subestructura deAcuyo universo contiene a C. Diremos que hCi es la subestructura deA generada por C.

Demostraci´on: Si D⊆Ay f un s´ımbolo de funci´on n–ario, definimos

Df _={f

A(a1, . . . , an) : a1, . . . , an∈D}. Por recursi´on sobre n ∈ω definimos {Cn:n ∈ω}

(–) C0 =C∪ {cA : c s´ımbolo de constante}.

(–) Cn+1 =Cn∪

S

f∈_LFCnf. Sea C0 ₌S

n∈ω Cn. Sea hCi laL–estructura dada por: Universo: C0_.

Constantes: Seac un s´ımbolo de constante: chCi =cA.

Funciones: Sea f ∈LF n–aria y a1, . . . , an ∈C0:

fhCi(a1, . . . , an) = fA(a1, . . . , an). Predicados: Sea p∈LP n–aria y a1, . . . , an∈C0:

(a1, . . . , an)∈phCi ⇐⇒ (a1, . . . , an)∈pA.

Es trivial comprobar que hCi satisface las propiedades deseadas. ¥

Nota I.3.11. Del lema se sigue que si un lenguaje L no tiene s´ımbolos de funciones y A es una L–estructura, entonces cualquier subconjunto no vac´ıo de A es el universo de una subestructura deA.

§

4

Aplicaciones

4.A

El lenguaje L

Sea X ⊆ ω − {0} finito. Veremos a continuaci´on, c´omo es posible caracterizar las estructuras cuyo cardinal pertenece a X.

Proposici´on I.4.1. Sea n > 0. Existen ϕ≥n_{, ϕ}≤n_{, ϕ}=n _{∈ Sent(L}

=) tales que para todaL=–estructura A:

(a) A²ϕ≥n _{⇐⇒ card(A)≥n.} (b) A²ϕ≤n _{⇐⇒ card(A)≤n.} (c) A²ϕ=n _{⇐⇒ card(A) =n.}

Demostraci´on: ((a)): Para n = 1, ϕ≥1 _{es la f´ormula ∀x(x = x). Para n > 1, sea}

ϕ≥n _{la f´ormula,}

∃x1. . .∃xn(

V

1≤i<j≤nxi 6=xj). Es evidente que esta f´ormula verifica(a).

((b)): Basta tomar ϕ≤n _{como ¬ϕ}≥n+1_.

((c)): Sea ϕ=n _{la f´ormula ϕ}≥n_∧ϕ≤n_{. De (a) y (b) se sigue que ϕ}=n _{satisface (c). ¥}

Teorema I.4.2. Sea X ⊆ ω − {0} finito. Existe ϕX _{∈ Sent(L=) tal que para toda} L=–estructura A

(∗) A²ϕX _{⇐⇒ card(A)∈X.}

Demostraci´on: Sea X ={n1, . . . nk}. Sea ϕX la f´ormula:

W

1≤i≤k ϕ=ni.

Problema I.4.3. ¿Qu´e sucede siX es un conjunto infinito? Es decir, siX ⊆ω− {0} es infinito, ¿existe una f´ormula (cerrada) de L= verificando la condici´on (∗) de I.4.2?

Lema I.4.4. Sean Ay BL=–estructuras. Se tiene que: (a) card(A) = card(B) ⇐⇒ A∼=B.

(b) Si card(A), card(B)<ℵ0, entonces

A≡B ⇐⇒ card(A) = card(B).

Demostraci´on:((a)): Trivial, pues entreL=–estructuras un isomorfismo es una apli-caci´on biyectiva entre sus universos.

((b)): (=⇒): En efecto,

card(A) = n ⇐⇒ A²ϕ=n _[[(c)]] ⇐⇒ B²ϕ=n _[[A≡B]] ⇐⇒ card(B) =n [[(c)]].

(⇐=). Se sigue de (a) y I.3.6-(a). ¥

Problema I.4.5.

(a) ¿Se verifica I.4.4-(b) para estructuras infinitas del lenguaje L=? (b) Sea L un lenguaje de primer orden.

(b.1) ¿Se verifica I.4.4-(a)? Es evidente que se verifica la parte ⇐=. (b.2) ¿Se verifica I.4.4-(b)?

Teorema I.4.6. Sea A una L=–estructura. Si A ⊆ A es definible, entonces A = ∅ o

A=|A|.

Demostraci´on: Sea A⊆ A, con A 6=∅, definible. Sean a ∈A (existe puesA 6=∅) y

b ∈ A. Sea F : A −→ A una aplicaci´on biyectiva tal que F(a) = b. Entonces si ϕ(x) define a A, A²ϕ(a). PorI.3.4-(c),A²ϕ(F(a)); esto es, A²ϕ(b). Por tanto, b∈A. En consecuencia, puesto que b es un elemento arbitrario de A, se sigue que A=A. ¥

4.B

Las estructuras

Q

y

R

Consideremos las estructuras sobre el lenguaje de ´ordenes,LO,Qy R que definiamos en I.2.4-(c). Se trata de estudiar siQ ≡ R.

Lema I.4.7. Q 6∼=R.

Demostraci´on: Puesto que card(Q)<card(R), entoncesQ 6∼=R. ¥

Puesto que R es un orden completo (es decir, todo subconjunto no vac´ıo y acotado superiormente tiene un supremo) yQno lo es, podr´ıamos intentar diferenciarlos usando una f´ormula del siguiente tipo: sea ψ(y) una f´omula de LO, sea ϕψ la f´ormula

∃y ψ(y)∧ ∃x∀y(ψ(y)→y≤x)→ ∃z

½

∀y(ψ(y)→y≤z)∧

∀z0_{(∀y(ψ(y)→y≤z}0_{)→z ≤z}0_). De la completitud seR se sigue que para toda f´ormula ψ(y), R²ϕψ. En lo que sigue trataremos de establecer si se tiene que Q²ϕψ.

Lema I.4.8.

(a) Sea ψ(y) una f´ormula. Entonces

Q²∃y ψ(y) =⇒ Q²∀y ψ(y). (b) Sea A⊆Q. Si A es definible en Q, entoncesA=∅ ´oA =Q.

Demostraci´on: ((a)): Sean a ∈ Q tal que Q ² ψ(a) y b ∈ Q. Consideremos la aplicaci´onF :Q −→ Q definida por: F(x) =x−a+b. Entonces

(1) F(a) = b, (2) F :Q ∼=Q. Por tanto,

Q²ψ(a) =⇒ Q²ψ(F(a)) [[(2)]] =⇒ Q²ψ(b) [[(1)]].

Puesto que b es un elemento arbitrario de Q, de lo anterior se sigue que Q² ∀y ψ(y). Lo que prueba(a).

((b)): Sea ψ(y) una f´ormula que define al conjunto A en Q; es decir,

A={a∈Q: Q²ψ(a)}.

Supongamos que A 6= ∅. Entonces Q ² ∃y ψ(y). Luego, por (a) se tiene que Q ²

∀y ψ(y). Por tanto,A =Q. ¥

Nota I.4.9. Del lema I.4.8se sigue que si Q²∃y ψ(y), entonces (–) Q 6²∃x∀y(ψ(y)→y≤x).

En consecuencia, el antecedente de la f´ormulaϕψno se verifica enQ. Por tanto,Q²ϕψ. Luego, las f´ormulas del tipoϕψ no distinguen a Qy R.

Problema I.4.10. ¿Q ≡ R?

§

5

Ejercicios

Ejercicio I.5.1.(I.1.12).

(a) Si ϕes at´omica, entonces Vl(ϕ) =Var(ϕ). (b) Vl(¬ϕ) =Vl(ϕ).

(c) Vl(ϕ∨ψ) = Vl(ϕ)∪Vl(ψ). (d) Vl(∃x ϕ) = Vl(ϕ)− {x}.

Ejercicio I.5.2. (I.1.18). Seaϕ∈Form(L). (a) Si ϕ∈At(L), entoncesSbF(ϕ) = {ϕ}

(b) Si ϕes ψ∨θ, entonces SbF(ϕ) = {ϕ} ∪SbF(ψ)∪SbF(θ). (c) Si ϕes ¬ψ, entoncesSbF(ϕ) ={ϕ} ∪SbF(ψ).

(d) Si ϕes ∃y ψ, entoncesSbF(ϕ) ={ϕ} ∪SbF(ψ).

Ejercicio I.5.3. (I.1.20.1). ψn _{es ϕ}

x1,...,xn[t1, . . . ,tn].

Ejercicio I.5.4. (I.2.9-(d)). Probar que existen una estrutura A y f´ormulas ϕ y ψ

tales que

(a) A²ϕ∨ψ. (b) A6²ϕy A6²ψ.

Ejercicio I.5.5. (I.2.13). Sean L ⊆ L0 _{lenguajes de primer orden y A}0 _{una L}0_– estructura. Para toda f´ormula, ϕ, de L(A0

|L),

A0

|L ²ϕ ⇐⇒ A0 ²ϕ

Ejercicio I.5.6. (I.3.6). Sea L un lenguaje de primer orden, A y B L–estructuras. Entonces

(a) A∼=B =⇒ A≡B.

(b) ≡ y ∼= son relaciones de equivalencia en la clase de las L–estructuras.

Ejercicio I.5.7. Sea L un lenguaje de primer orden, c1, . . . ,cn nuevos s´ımbolos de constante y L0 _{= L+c}

1, . . . ,cn. Probar que para toda f´ormula ψ de L0 existe una f´ormula ϕ(x1, . . . , xn) de L tal que ψ esϕx1,...,xn[c1, . . . ,cn].

Ejercicio I.5.8. Sea A una estructura del lenguaje L=. Determinar todos los sub-conjuntos definibles de |A|2_.

Ejercicio I.5.9. Dar ejemplos de f´ormulas, ϕ, y estructuras,A, tales que: A6²ϕ y A6²¬ϕ

Ejercicio I.5.10. Supongamos queL contiene s´ımbolos de constantes. SeaCel con-junto de los s´ımbolos se constante deL. SeanAy BL–estructuras tales que para toda

ϕ∈Sent∩

∀

Entoncesh{A(c) : c∈C}iA ∼=h{B(c) : c∈C}iB

Ejercicio I.5.11. Probar o refutar: Sean L un lenguaje de primer orden y A y B L–estructuras.

SiA⊂eB y B⊂eA, entonces A∼=B

Los siguientes problemas han sido propuestos a lo largo de este cap´ıtulo. Sin embargo, para su resoluci´on es posible que se necesiten resultados de cap´ıtulos posteriores.

Problema I.5.12.(I.3.7). ¿Se verifica el rec´ıproco deI.3.6-(a)?

Problema I.5.13.(I.4.3). ¿Qu´e sucede si X es un conjunto infinito? Es decir, si

X ⊆ω− {0} es infinito, ¿existe una f´ormula (cerrada) de L= verificando la condici´on (∗) de I.4.2?

Problema I.5.14.(I.4.5).

(a) ¿Se verifica I.4.4-(b)para estructuras infinitas del lenguaje L=? (b) Sea L un lenguaje de primer orden.

(b.1) ¿Se verifica I.4.4-(a)? Es evidente que se verifica la parte ⇐=. (b.2) ¿Se verifica I.4.4-(b)?

Teor´ıas de primer orden

§

1

Teorema de la validez

1.A

Valoraciones de Verdad

Definici´on II.1.1.

(a) Funciones de validez:

(a.1) H¬ :{0,1} −→ {0,1} es la aplicaci´on definida por:

H¬(a) =

½

1, sia = 0; 0, sia = 1.

(a.2) H∨ :{0,1}2 −→ {0,1} es la aplicaci´on definida por:

H∨(a, b) =

½

0, si a=b = 0; 1, en caso contrario.

(b) Valoraci´on de verdad:Diremos queσ :Form(L)−→ {0,1} es una valoraci´on de verdad de L si para toda ϕ∈Form(L)

σ(¬ϕ) = H¬(σ(ϕ)), σ(ϕ∨ψ) = H∨(σ(ϕ), σ(ψ)).

Nota II.1.2. Diremos que una f´ormula es elemental si es at´omica o de la forma ∃x ϕ. Notaremos por EF(L) al conjunto de las f´ormulas elementales de L.

Con el concepto de valoraci´on de verdad lo que hacemos es sustituir a las estructuras para asignar un valor de verdad a una f´ormula. Con las estructuras asign´abamos un valor de verdad a las f´ormulas at´omicas y a las f´ormulas del tipo ∃x ϕ (esto es, a las f´ormulas elementales), en los dem´as casos us´abamos las funciones H¬ y H∨.

Lema II.1.3. Sea ρ : EF(L) −→ {0,1}. Existe una ´unica valoraci´on de verdad σ : Form(L)−→ {0,1} tal que: σ|EF(L) =ρ.

Demostraci´on: Existencia: Definimosσ :Form(L)−→ {0,1}por recursi´on sobre la longitud deϕ. σ(ϕ) =    ρ(ϕ), si ϕes elemental; H¬(σ(ψ)), si ϕes ¬ψ; H∨(σ(ψ), σ(θ)), si ϕes ψ∨θ. Es evidente queσ es una valoraci´on de verdad y extiende aρ.

Unicidad: Seaσ0 _{:Form(L)−→ {0,1} una valoraci´on de verdad que extiende aρ. Por} inducci´on sobreϕ veremos que σ(ϕ) =σ0_(ϕ).

Caso 1:ϕelemental. Entonces

σ(ϕ) = ρ(ϕ) [[definici´on de σ]] = σ0_{(ϕ) [[σ}0 _{extiende a ρ]].} Caso 2:ϕes ¬ψ. Entonces σ(ϕ) = σ(¬ψ) = H¬(σ(ψ)) = H¬(σ0(ψ)) [[hip. ind.]] = σ0_{(¬ψ) [[σ}0 _{valoraci´on de verdad]]} = σ0_(ϕ). Caso 3:ϕes ψ∨θ. Entonces σ(ϕ) = σ(ψ∨θ) = H∨(σ(ψ), σ(θ)) = H∨(σ0(ψ), σ0(θ)) [[hip. ind.]] = σ0_{(ψ∨θ) [[σ}0 _{valoraci´on de verdad]]} = σ0_(ϕ).

Lo que prueba el lema. ¥

Lema II.1.4. Sea A una L–estructura. Existe una valoraci´on de verdad de L(A), σA,

tal que para todaϕ∈Sent(L(A)),

σA(ϕ) = 1 ⇐⇒ A²ϕ.

Demostraci´on: Sea ρ:EF(L(A))−→ {0,1}, la aplicaci´on definida por:

ρ(ϕ) = 1 ⇐⇒ A²ϕ.

Sea σA : Form(L(A))−→ {0,1} la aplicaci´on obtenida de ρ como en II.1.3. Es f´acil

probar, por inducci´on sobre la longitud deϕ, que σA satisface la condici´on del lema.¥

1.B

Axiomas L´

ogicos

Definici´on II.1.5. Diremos que ϕ∈Form(L) es una tautolog´ıa si para toda valora-ci´on de verdad σ, σ(ϕ) = 1.

axiomas l´ogicos de L son:

(a) Axiomas proposicionales: Las tautolog´ıas son los axiomas proposicionales. (b) Axiomas de sustituci´on: ϕx[t]→ ∃x ϕ. (xsustituible por t enϕ).

(c) Axiomas de identidad: x=x. (d) Axiomas de igualdad:

x1 =y1∧. . .∧xn =yn→f(x1, . . . , xn) =f(y1, . . . , yn),

x1 =y1∧. . .∧xn =yn→(p(x1, . . . , xn)→p(y1, . . . , yn)).

Teorema II.1.7. Los axiomas l´ogicos de un lenguaje de primer orden,L, son f´ormulas l´ogicamente v´alidas.

Demostraci´on: Sea A una L–estructura. Veamos que si ψ es un axioma l´ogico, en-tonces A²ψ.

Axiomas proposicionales: Sean ψ(x1, . . . , xn) una tautolog´ıa y a1, . . . , an ∈A.

Aserto II.1.7.1. Sean x una variable y t un t´ermino. Sea σ una valoraci´on de verdad. Entonces la aplicaci´on σx,t definida por:

σx,t(ϕ) =σ(ϕx[t]) es una valoraci´on de verdad.

Aserto II.1.7.2. Si ϕes una tautolog´ıa, entonces ϕx[t] es una tautolog´ıa. Prueba del aserto:Supongamos queϕx[t] no es una tautolog´ıa. Entonces existe una valoraci´on de verdad σ tal que σ(ϕx[t]) = 0. Por tanto,

σx,t(ϕ) =σ(ϕx[t]) = 0.

Por el asertoII.1.7.1,σx,tes una valoraci´on de verdad; por tanto, esto contradice

que ϕes una tautolog´ıa. 2

Por el aserto II.1.7.2, la f´ormula ψ(a1, . . . , an) es una tautolog´ıa. Sea σA la valoraci´on

de verdad asociada a A (ver II.1.4). Entonces σA(ψ(a1, . . . , an)) = 1; por tanto, A ²

ψ(a1, . . . , an). En consecuencia, A²ψ.

Axiomas de sustituci´on: Entonces ψ es de la forma ϕx[t] → ∃x ϕ. Sean x1, . . . , xn las variables libres de ψ distintas de x. Entonces se tiene que:

Aserto II.1.7.3. Para cualesquiera a, a1, . . . , an ∈A (ϕx[t]→ ∃x ϕ)x,x1,...,xn[a, a1, . . . , an]

es de la forma:

θx[t0]→ ∃x θ donde:

(i) θ∈Form(L(A)) y Vl(θ)⊆ {x}. (ii) t0 _{es un t´ermino sin variables de L(A).} Prueba del aserto: En efecto,

es

(ϕx[t])x,x1,...,xn[a, a1, . . . , an]→ ∃x(ϕx1,...,xn[a1, . . . , an]).

Puesto que x es sustituible por t enϕ, ´esta f´ormula es:

(ϕx1,...,xn[a1, . . . , an])x[tx,x1,...,xn[a, a1, . . . , an]]→ ∃x(ϕx1,...,xn[a1, . . . , an]).

Por tanto, basta tomar:

θ como ϕx1,...,xn[a1, . . . , an] y t0 como tx,x1,...,xn[a, a1, . . . , an]

para obtener el resultado. 2

Sea θx[t0_{] → ∃x θ como en II.1.7.3. Supongamos que A ² θx[t}0_{]. Sea A(t}0_{) = a ∈ A,} porI.2.14-(b), A²θx[a]. Por tanto,A²∃x θ. Lo que prueba que A²θx[t0]→ ∃x θ. Axiomas de identidad: Entonces ψ es de la forma x = x. Sea a ∈ A. Puesto que, A²a=a, se tiene que A²x=x.

Axiomas de igualdad: Consideremos los siguientes casos.

Caso 1:ψ es x1 =y1∧. . .∧xn =yn→f(x1, . . . , xn) =f(y1, . . . , yn). Sean a1, . . . , an, b1, . . . , bn ∈ A. Si A ² ai = bi (i = 1, . . . , n), entonces ai = bi (i = 1, . . . , n). En consecuencia,fA(a1, . . . , an) =fA(b1, . . . , bn). Es decir,A²f(a1, . . . , an) = f(b1, . . . , bn). Por tanto: A²a1 =b1∧. . .∧an=bn →f(a1, . . . , an) =f(b1, . . . , bn). Caso 2:ψ es x1 =y1∧. . .∧xn =yn→(p(x1, . . . , xn)→p(y1, . . . , yn)). Sean a1, . . . , an, b1, . . . , bn ∈ A. Si A ² ai = bi (i = 1, . . . , n), entonces ai = bi (i = 1, . . . , n). Por tanto, si (a1, . . . , an)∈ pA, entonces (b1, . . . , bn)∈ pA. En consecuencia,

A²p(a1, . . . , an)→p(b1, . . . , bn). Luego,

A²a1 =b1∧. . .∧an =bn→(p(a1, . . . , an)→p(b1, . . . , bn)).

Lo que prueba el teorema. ¥

1.C

Reglas de Inferencia

Definici´on II.1.8. (Reglas de Inferencia). (a) Modus ponens, MP: ϕ, ϕ_ψ→ψ.

(b) Introducci´on del cuantificador ∃, R∃: _{∃x ϕ}ϕ→_→ψ_ψ x no es libre enψ. En las reglas de inferencia, las f´ormulas que aparecen en la parte superior se denominan hip´otesisy la que aparece en la parte inferior, conclusi´on.

Teorema II.1.9. Si las hip´otesis de una regla de inferencia son v´alidas en una estructu-ra, entonces tambi´en lo es la conclusi´on.

(1) A²ϕ, y (2) A²ϕ→ψ.

Sean x1, . . . , xn las variables libres de ψ y a1, . . . , an ∈A. Sean y1, . . . , ym las variables libres de ϕdistintas de las xi,i= 1, . . . , n. Entonces por (1)

A²ϕ(b1, . . . , bm, a1, . . . , an). Puesto que

ϕ(b1, . . . , bm, a1, . . . , an)→ψ(a1, . . . , an) es (ϕ→ψ)(b1, . . . , bm, a1, . . . , an), entonces por (2)

A²ϕ(b1, . . . , bm, a1, . . . , an)→ψ(a1, . . . , an). Por tanto, A²ψ(a1, . . . , an). En consecuencia, A²ψ.

Introducci´on del cuantificador ∃: Sea A una L–estructura tal que: A²ϕ→ψ.

Sean x1, . . . , xn las variables libres de ∃x ϕ → ψ. Por hip´otesis x no es libre en ψ y tampoco lo es en ∃x ϕ; por tanto, x no es ninguna de las xi, i = 1, . . . , n. Sean

a1, . . . , an ∈A. Entonces

(∃x ϕ→ψ)[a1, . . . , an] es ∃x(ϕ[a1, . . . , an])→ψ[a1, . . . , an]. Supongamos que A²∃x(ϕ[a1, . . . , an]). Entonces existe a∈A tal que

(3) A²(ϕ[a1, . . . , an])x[a]. Ahora bien,

(ϕ[a1, . . . , an])x[a] es ϕx1,...,xn,x[a1, . . . , an, a].

Por tanto, como x no es libre enψ

(4) ϕx1,...,xn,x[a1, . . . , an, a]→ψx1,...,xn[a1, . . . , an] es (ϕ→ψ)x1,...,xn,x[a1, . . . , an, a].

Por hip´otesis, A ² ϕ → ψ. Por tanto, de (3) y (4) se tiene que: A ² ψ[a1, . . . , an]. Luego,

A²(∃x ϕ →ψ)[a1, . . . , an].

En consecuencia, A²∃x ϕ→ψ. Lo que prueba el teorema ¥

1.D

Teor´ıas y pruebas

Definici´on II.1.10. (Teor´ıa). Una teor´ıa de primer ordenT consta de: (a) Un lenguaje de primer orden, que notaremos L(T).

(b) Axiomas (de dos tipos):

(b.1) Axiomas l´ogicos (los deII.1.6).

(b.2) Axiomas no l´ogicos: un subconjunto de formulas de L(T), que notaremos Ax(T).

Para describir una teor´ıa es suficiente dar su lenguaje y el conjunto de axiomas no l´ogicos. Notaremos porForm(T) al conjunto de las f´ormulas del lenguaje de T.

Definici´on II.1.11. (Pruebas). Una prueba en una teor´ıa T es una sucesi´on finita de f´ormulas de L(T): ϕ1, . . . , ϕn, tal que para todo i, 1 ≤ i ≤ n, se tiene una de las condiciones siguientes:

(a) ϕi es un axioma de T, l´ogico o no l´ogico.

(b) Existen j, k < itales queϕj esϕk →ϕi. Esto es,ϕi se obtiene por modus ponens de ϕj y ϕk.

(c) Existe j < ital queϕj esψ →θ dondexno es libre en θ y ϕi es∃x ψ →θ. Esto es, ϕi se obtiene por introducci´on de la regla del cuantificador ∃ aplicada a ϕj.

Definici´on II.1.12. SeanTuna teor´ıa yϕ∈Form(T). Diremos queϕes un teorema deT, T`ϕ, si existe una prueba ϕ1, . . . , ϕn en T tal que ϕn es ϕ.

Nota II.1.13. (Demostraciones por inducci´on sobre teoremas, I). De la defi-nici´on de prueba en una teor´ıa, se sigue que para demostrar que todo teorema de una teor´ıaT tiene una propiedad P es suficiente establecer que (ver tambi´en II.1.13):

(a) Los axiomas de la teor´ıa tienen la propiedad P.

(b) Si las hip´otesis de una regla de inferencia tienen la propiedad P, entonces la conclusi´on tambi´en tiene la propiedad P.

Definici´on II.1.14. (Modelo). Sean T una teor´ıa de primer orden yA una L(T)– estructura. Diremos queAes un modelo de T,A²T, si para todoϕ∈Ax(T),A²ϕ. A la clase de los modelos deT la notaremos por Mod(T).

Definici´on II.1.15. Sean Tuna teor´ıa y ϕ∈Form(T). Diremos que ϕ es v´alida en T,T²ϕ, si para todo A²T, se tiene que A²ϕ.

Teorema II.1.16. (Teorema de la validez). Sea T una teor´ıa yϕ∈Form(T). Si T`ϕ, entonces T²ϕ.

Demostraci´on: Por inducci´on sobre teoremas. La propiedad a demostrar es: T²ϕ. Caso 1: Axiomas. El resultado se sigue de II.1.7 para los axiomas l´ogicos y de la definici´on de modelo de una teor´ıa (II.1.14) para los axiomas no l´ogicos.

Caso 2: Reglas de inferencia. El resultado se sigue de II.1.9. ¥