Matrices de rotaciones, simetrías y roto simetrías

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Matrices de rotaciones, simetr´ıas y

roto–simetr´ıas

Mar´ıa Jes´

us DE LA PUENTE

Departamento de ´Algebra Facultad de Matem´aticas Universidad Complutense 28040 Madrid, Spain

mpuente@ucm.es

Dedication

Resumen

In this note we find the orthogonal matricesR, S ∈M3(R)corresponding to the

clock-wise rotationrinR3around the axis generated by a unit vectoru= (a, b, c)tthrough an

angleα∈[0,2π), and to the symmetrysinR3on the plane perpendicular tou. MatrixS

depends ona, b, cand matrixRdepends ona, b, c,cosαandsinα. We showSR=RS.

2010 Mathematics Subject Classification:15B10.

Key words:matriz ortogonal; rotaci´on; simetr´ıa; proyecci´on

En los libros de ´Algebra Lineal al uso a nivel universitario, se encuentran diversos pro-blemas en el espacio eucl´ıdeoR3del siguiente tipo:

1. dados la rectaEy el ´anguloα∈[0,2π), hallar la matrizRde la rotaci´on (o giro) en R3alrededor del ejeE, de amplitudαy sentido positivo,

2. dado el planoH, hallar la matrizSde la simetr´ıa (o reflexi´on) enR3sobreH, dondeE,αyH son datos concretos. Llamaremos a estosproblemas directos. Bajo hip´otesis adecuadas, las matricesR, Sresultan ser ortogonales, i.e.,R−1=RtyS−1=St. Asimismo

encontramos losproblemas inversos: dada la matriz ortogonalM ∈M3(R), averiguar siM representa una rotaci´on alrededor de un eje, o una simetr´ıa, o la composici´on de las anteriores, indicando en cada caso los elementos geom´etricos asociados (ejeE, amplitudα∈[0,2π)de la rotaci´on, planoHde la simetr´ıa, etc.)1

1Podemos hablar tambi´en de rotaci´on de amplitudα[0, π]con sentido positivo o negativo. La equivalencia es

(2)

En esta nota abordamos las preguntas anteriores en general, lo que sirve para responder tanto problemas directos como inversos. ObtendremosS ∈ M3(F1)y R ∈ M3(F2), para cierta extensi´on de cuerpos

Q⊆F ⊆F1⊆F2⊆R, dondeFes el cuerpo base del problema.

Trabajaremos en un espacio vectorial realV de dimensi´on 3, dotado de un producto es-calar h,i y usaremos siempre bases ortonormales. Las coordenadas de los vectores deV

(respecto de cualquier base) se escribir´an en columna. Para fijar ideas, el lector puede tomar

V =R3con el producto escalar usualh,i, el producto vectorial usualy la base can´onica {e1, e2, e3}. Recordemos la conocida igualdad

u∧(v∧w) =vhu, wi −whu, vi, (1)

cuya demostraci´on (usando coordenadas) es un sencillo ejercicio.

Fijemos una base ortonormalBdeV. Sean(a, b, c)tlas coordenadas, respecto deB, de un vector unitariouque genereE (i.e.,hu, ui = a2+b2+c2 = 1). Denotemos porp

E

la proyecci´on ortogonal deR3 sobre E. Denotemos porrE,α y sH la rotaci´on y simetr´ıa

descritas m´as arriba, donde el planoH, de ecuaci´onax+by+cz = 0, es precisamenteE⊥.

Lemma 0.1 La matriz depErespecto deBes

A=   a2 ab ac ab b2 bc ac bc c2  ∈M3(Q(a, b, c)). (2)

Proof. Siv∈V es un vector arbitrario, sabemos quepE(v) =uhu, vi, ya queues unitario.

Por tanto, si las coordenadas devrespecto deBson(x, y, z)t, tenemos

pE(v) =   a b c  (a, b, c)   x y z  =A   x y z  .

Theorem 0.1 La matriz derE,αes

R=I+ (senα)B+ (cosα−1)(I−A)∈M3(Q(a, b, c,cosα,senα)), (3) y la matriz desE⊥es

S=I−2A∈M3(Q(a, b, c)), (4)

dondeIdenota la matriz identidad de orden 3 y

B=   0 −c b c 0 −a −b a 0  .

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Proof. La demostraci´on de (3) requiere varios pasos. Para empezar, observemos que la aplicaci´ongu :V →V tal quev 7→u∧ves lineal. Adem´as, la matriz degurespecto deB

esB. Comprobamos que−B2=IA, lo que significa que

−gu2= id−pE =pE⊥ (5)

ya que las proyecciones sobreEy sobreE⊥son complementarias. A continuaci´on veamos que

rE,α= id + (senα)gu+ (cosα−1)pE⊥, (6)

de donde se deducir´a (3), gracias a (5) y al lema. Escribamosf = id + (senα)gu+ (cosα−

1)pE⊥ y demostremos que f yrE,αact´uan igual sobre los elementos de cierta baseB0 de

V. Tomemos cualquier vector unitariovperpendicular auy seaB0 = {u, v, uv}. Unos c´alculos sencillos (usandou∧(u∧v) =uhu, vi −vhu, ui=−va partir de (1)) nos muestran quef(u) =u,f(v) = (cosα)v+ (senα)(u∧v)yf(u∧v) =−(senα)v+ (cosα)(u∧v), de donde se sigue la igualdad (6) y, con ella (3).

Ahora tomemos el vectorv=h−1(−b, a,0)ty consideramos la baseB0={u, v, uv}, dondeh=√a2+b2. La matriz des

E⊥ respecto deB0 esD = diag(−1,1,1), ya quevy u∧vson perpendiculares au. Por tanto, la matriz desE⊥respecto deB0esS =P DP−1,

donde P =   a −b/h −ac/h b a/h −bc/h c 0 h  

es matriz ortogonal (i.e.,P−1=Pt). Un c´alculo sencillo proporcionaS=P DPt=I2A,

que es la expresi´on (4).

Corollary 0.1 Llamemosroto–simetr´ıaa la composici´onsE⊥◦rE,α=rE,α◦sE⊥. Su matriz es

SR=RS=S+ (senα)B+ (cosα−1)(I−A)∈Ms(Q(a, b, c,cosα,senα)). (7) Proof. Basta ver que rotaci´on y simetr´ıa conmutan, y esto es cierto ya queSB =B= BSyS(I−A) =I−A= (I−A)S, igualdades de comprobaci´on inmediata.

Observaciones:

1. En (4) tenemosS=I−2A, de donde se deduce la conocida relaci´on (ver figura 1)

sE⊥ = id−2pE. (8)

2. El rango de la matrizAes 1 yAno es ortogonal. Se verificaA2=A=Ate(IA)2=

I−A. La matrizBes antisim´etrica y−B2=IA. De aqu´ı se sigue que las matrices

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3. Los determinantes y las trazas valen detR = 1, detS = det(SR) = −1,trR = 1 + 2 cosα,trS = 1y tr(SR) = −1 + 2 cosα. Determinante y traza son valores invariantes de una isometr´ıa deR3, pero NO la caracterizan en general (salvo que la traza valga 1). En efecto, el determinante nos dice si la isometr´ıa conserva o invierte la orientaci´on y la traza proporciona el valorcosα. Queda, pues, por determinar el signo desenα=±√1−cos2α. E E? pE(v) v pE?(v) s E ?(v)=v-2p E(v) 0

Figura 1: Simetr´ıa respecto del plano perpendicular a la rectaE. Ejemplo: Una matriz ortogonal sencilla (pero no trivial) es

M = 1 pq   p q 1 p −q 1 p 0 −2  ∈M3(F),

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dondep=√2yq=√3yF =Q(p, q)es el cuerpo base. ComoM Mt=IydetM = 1, sabemos queM representa una rotaci´on alrededor de un ejeE. Vamos a hallar un vector unitariou= (a, b, c)tque genereE y la amplitud de giroα [0,2π)en sentido positivo.

Ciertos c´alculos proporcionan

a= p+q n , b= 2−p−q+pq n , c= 1 n,

conn=√21−10p−8q+ 8pq. Como la traza es invariante sabemos, por la observaci´on 3, que 1 + 2 cosα= trM =−2 +p−q pq =− p 2+ q 3 − pq 3 , de donde cosα=−1 2 − p 4+ q 6 − pq 6 , senα=± p 1−cos2α=±pqr 12,

conr=√9−2p−2pq. Sustituimos estos valores en (3) y obtenemos la igualdadM =R

cuando el signo del seno es NEGATIVO, i.e.,senα=−pqr/12. Conocidossenαycosα, deducimos queα∈(π,2π/3); concretamenteα'193◦200.

Los libros de texto suelen usar otro procedimiento para calcularα. Hallan la amplitud

α= arc cos −1 2− p 4+ q 6 − pq 6 ,

que tiene DOS soluciones,α1, α2∈[0,2π), conα1≤α2= 2π−α1. Luego determinan, me-diante alg´un argumento geom´etrico, siα=α1 ´oα=α2. En cambio, nuestro razonamiento se ha basado en las f´ormulas (3), (4) y (7), trabajando en la extensi´on algebraicaQ(p, q, n, r) del cuerpo baseQ(p, q). En nuestro caso tenemoscosα' −0,973126,senα' −0,230270 yα=α2'193◦200.

Agradecimientos: He tomado la matrizR(as´ı como su obtenci´on) de la parte debida a Roger C. Alperin en el libro [1], p. 113–114. Recomiendo vivamente este texto a todos los profesores universitarios de Algebra Lineal: en el encontrar´an verdaderas joyas.

Referencias

[1] D. Carlson et al. (eds.):Linear algebra gems. Assets for undergraduate mathematics. MAA Notes series59(2002), ISBN:0–88385–170–9.

Figure

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References