Préstamos
7.1. Coneptos básios. Clasiaión
7.1.1. Elementosdeunpréstamo
7.1.2. Eltipodeinterés.Componentes
7.1.3. Clasiaión
7.2. Préstamos amortizables onreembolsoúnio
7.2.1. Reembolsoúnio
7.2.2. Reembolsoúnioonfondodeamortizaión
7.2.3. Reembolsoúnioypagoperiódiodeintereses.Préstamoameriano
7.3. Préstamofranés
7.3.1. Anualidad
7.3.2. Capitalpendiente
7.3.3. Cuotasdeamortizaión
7.3.4. Capitalamortizado,uotasdeinterés
7.3.5. Eluadrodeamortizaión
7.4. Tanto efetivopara el prestatario
7.5. Amortizaión ontérminos variablesen progresióngeométria
7.6. Amortizaión ontérminos variablesen progresiónaritmétia
7.7. Amortizaión de uota de apital onstante. Métodoitaliano
7.8. Préstamoalemán o antiipativenzisen
7.9. Amortizaión onintereses fraionados
7.10.Carenia e interés variable
7.10.1.Carenia
7.10.2.Tipodeinterésvariable
7.11.Valornaniero del préstamo, del usufrutoy de la nuda propiedad
7.11.1.Casopartiular.LafórmuladeAhard
7.11.2.Apliaiónalosmétodosdeamortizaiónmásutilizados
7.1. Coneptos básios. Clasiaión
Reibe este nombre toda operaión naniera formada por una prestaión únia
C
0
y ontraprestaiónmúltiplea
1
, a
2
,
· · ·
, a
n
.Lanalidad delaontraprestaión es reembol-sarel apitaliniialC
0
.Un préstamo, es la operaión naniera que onsiste en la entrega, por parte de una
persona (prestamista), de una antidad de dinero,
C
0
, a otra (prestatario), quien se ompromete a devolver diha antidad y satisfaerlos intereses orrespondientes en losplazos yforma aordados.
Se denomina amortizaión de un préstamo a la devoluión o reembolso, por parte del
prestatario,delimportedelpréstamo,
C
0
,juntoonelpago delosinteresesqueva gene-rando,enlosplazosonvenidos.Estojustiaelnombredeoperaióndeamortizaiónyelde términosamortizativosquesueleasignarseaestosapitales delaontraprestaión.
La operaión de préstamo, así onformada, umple el postulado de equivalenia
nan-iera entre la antidad entregada por elprestamista yla ontraprestaión múltiple del
prestatario,enualquierinstante detiempo;esdeir,elvaloratualdelapitalprestado
debeser igualalvaloratual delapitalquesereembolse (amortie). Enelasode que
laontraprestaiónestéintegrada porvariosapitales nanieros,lasumade losvalores
atuales deéstostendrá queserigual alvaloratual del apitalreibidoen préstamo.
Esusual efetuarlaoperaión onunaleyde apitalizaión(generalmentela
apitaliza-iónompuesta), yon períodos uniformes(años, trimestres, meses,...) siendo los más
freuentes los mensuales.
7.1.1. Elementos de un préstamo
Losproblemasprinipalesqueplantealaamortizaióndeunpréstamoson:determinarla
anualidadotérminoamortizativo,álulodelapitalpendientedeamortizar alprinipio
de ada término y de la parte de deuda que se devuelve al nal de ada término. En
resumen,loselementosqueintervienenenlasoperaionesdepréstamo,sonlossiguientes:
C
0
= Capitalo importedelpréstamo,a
1
, a
2
,
· · ·
, a
n
= Términosamortizativos.Se denominan anualidades, mensualida-des, et. y normalmente se forman de una antidad destinada alaamortizaión
A
s
yotraalpago de interesesI
s
.a
s
=
A
s
+
I
s
n
= Tiempo ovida de duraión delaoperaión delpréstamo,n
0
eselorigen de laoperaión,i
= Tipo de interés.Puede ser onstanteo variable,A
s
= Cuotasde amortizaiónodeapitalde adaunode losperíodos,I
s
= Cuotasdeinterés deada período,M
s
= Cantidadesde apitalamortizado alnalde ada período.Totalamortizado.
M
s
=
s
X
s
=1
A
s
,C
s
= Capitalpendientede amortizar.C
s
=
C
0
−
M
s
.7.1.2. El tipo de interés. Componentes
El tipo de interés sesuele determinar omo un porentaje de la antidad prestada. En
ualquier aso, puede resultar onfuso hablar del tipo de interés omo algo únio, ya
Elriesgodela operaión.Cuandoseonedeunpréstamo,siempreexisteelriesgo
de que éste no se reupere. Este riesgoserá, sin embargo, muy distinto según las
araterístias delquelosoliita.
La garantía que ofreza el soliitante del préstamo. Lospréstamos suelen
deman-dar algún tipo de garantía; por ejemplo, en el aso del préstamo hipoteario, el
prestamista tiene omogarantía lapropiedad delsoliitante.
El períodoparael que seonede elpréstamo.Dependiendodelperíodoporelque
seonedeelpréstamo,variaráeltipodeinterés.Siesalargoplazo,onllevará un
tipo másalto quesi esaorto plazo.
El tipo de interés deun préstamo, tiene tres omponentes:
1. El tipo puro,queeslaremuneraión queseexigirá por renuniaralonsumo enel
asode queno hubiese inaión y queelpréstamo areierade riesgo.
2. Una prima de riesgo, que se añade al tipo puro para ompensar el riesgo que
onlleva elpréstamo.
3. Una prima de inaión on la que el prestamista trata de asegurarse quela
ren-tabilidad que obtiene en términos de apaidad adquisitiva,es deir,en términos
reales, ubreelriesgopuro ylaprima deriesgo.
7.1.3. Clasiaión
La variedad depréstamos existentes puede agruparse, atendiendo a diferentesriterios.
En esteontextoyde auerdo onlos objetivos, sesigueel riterio deamortizaión.
1. Préstamos amortizables on reembolso únio
a) Reembolso únio,
b) Reembolso únioypago periódiode intereses,
) Reembolso únioon fondo deamortizaión,
2. Préstamos amortizables medianteuna renta
a) Amortizaión on fondosde amortizaión,
b) Amortizaión por onstituión delmontante,
) Amortizaión on anualidades onstantes: préstamo franés,
d) Amortizaión onanualidadesvariables:enprogresión aritmétia, en
progre-sión geométria,...
7.2. Préstamos amortizables on reembolso únio
7.2.1. Reembolso únio
Estepréstamo,onoidotambiénomopréstamoelementalosimple,searateriza
por-queelpréstamoreibido junto on susinteresessereembolsa de unasolavez. Siendo
C
elapitalprestado,i
eltantounitariodeinterésyn
elplazoseñaladoparaelreembolso, alnaldelplazoestipulado,elprestatariodeberáreembolsaralprestamista elmontantenaldelapital
C
altantoi
.Alnoentregarseningunaantidadhastalanalizaiónde lavida delpréstamo,elvalor
de lasvariables,sería:
a
1
=
a
2
=
a
3
=
· · ·
=
a
n
−
1
= 0
a
n
=
C
0
(1 +
i)
n
(7.1)que reuerda a una operaión naniera on unasola prestaión yontraprestaión tal
omo sevióen (4.1) en lapágina34.
Gráamente,
C
0
1
2
n
−
1
C
n
Ejemplo7.1 Determinarelmontanteadevolverdentrode8añosporunpréstamode50000
e
patandolaoperaiónal6%.a
n
=
C
n
=
C
0
(1 +
i
)
n
C
n
= 50 000(1 + 0
,
06)
8
= 79 692
,
40
Unproblemaquepuedesurgirenestetipodepréstamosesuandoeldeudoroprestatario
pretende anelar total o parialmente el préstamo de forma antiipada. En este aso,
transurridos
s
períodos desdeelomienzo de laoperaión, esusual queelprestamista efetúe operaiones de lamismanaturaleza aun tipo deinterési
′
distinto de
i
(tipo de laoperaión envigor). El prestamista,tiene quereibiralnalC
n
yualquier deseo de alterar el prestatario las ondiiones iniiales de la operaión sólo podrá ser aeptadopor el prestamista si, omo mínimo, obtiene los rendimientos esperados en su vigente
ontrato.
Por tanto, para anelar antiipadamente el préstamo, al prinipio del período
s
, se exigirá omomínimo laantidadV
s
tal queseverique laigualdad:V
s
(1 +
i
′
)
n
−
s
=
C
n
ExpresandoC
n
en funióndeC
s
,V
s
(1 +
i
′
)
n
−
s
=
C
s
(1 +
i)
n
−
s
V
s
=
C
s
Å
1 +
i
1 +
i
′
ã
n
−
s
(7.2)Si solamente se pretende reembolsar parialmente, entregando una uantía
X
s
< V
s
,el nuevo saldoo deuda pendienteseráel valorC
′
s
queumpla laeuaión:X
s
(1 +
i
′
)
n
−
s
+
C
′
s
(1 +
i
′
)
n
−
s
=
C
n
=
C
s
(1 +
i)
n
−
s
de donde,C
′
s
=
C
s
Å
1 +
i
1 +
i
′
ã
n
−
s
−
X
s
C
s
′
=
C
0
(1 +
i)
n
(1 +
i
′
)
n
−
s
−
X
s
(7.3)Ejemplo7.2 Determinarparaelpréstamoanteriorelsaldo oapitalvivoalprinipio delaño
quintoylaantidadadevolveralprinipiodelquintoañosieltantodelprestamistaes
i
′
= 8 %
.Obtener igualmente el saldo pendiente en el supuesto de que hiiera una entrega parial al
prinipiodelquintoañode40000
e
.C
4
= 50 000(1 + 0
,
06)
4
= 63 123
,
85
Utilizando(7.2),elvalor,sería:
V
4
=
C
4
Å
1 + 0
,
06
1 + 0
,
08
ã
8
−
4
= 58 576
,
30
Alhaerunaentregaparial,elsaldoapliando (7.3) :
C
′
4
= 58 576
,
30
Å
1 + 0
,
06
1 + 0
,
08
ã
8
−
4
−
40 000 = 14 356
,
36
7.2.2. Reembolso únio on fondo de amortizaión
En estetipo,nosepaga ningunaantidad periódiaperosí seonstituyeun fondo
me-dianteimposiionesde
F
s
detalmodo,quealnaldelaoperaiónelimporteonstituido seasuiente parasaldar el apitalprestado junto on sus intereses.El apitalpendiente deamortizar o reserva matemátiaen unmomento
s
,sería:C
s
=
C
0
(1 +
i)
s
−
F
ss i
(7.4)7.2.3. Reembolso únio y pago periódio de intereses. Préstamo
ame-riano
Estetipode préstamos dierede lamodalidad anterior enqueelprestatario quereibe
unpréstamo
C
,estáobligado asatisfaerada añoelpago delaantidadC i
,intereses desudeuda altantoi
,yreembolsar,medianteunpago úniodeC
elapitalquereibió omo préstamoaltérmino delañon
.Préstamo ameriano
En esteasopartiular, elpréstamo reibidosereembolsa de unasola vez, peroalnal
delperíodosepagan losintereses generados:
a
1
=
a
2
=
a
3
=
· · ·
=
a
n
−
1
=
C
0
i
a
n
=
C
0
+
C
0
i
Expresadodeotraforma,reibeelnombre deamortizaiónamerianauando sonnulas
las
n
−
1
primeras uotas deamortizaión e igualaC
0
laúltima, o sea:A
1
=
A
2
=
A
3
=
· · ·
=
A
n
−
1
= 0
A
n
=
C
0
Losintereses, enonseuenia, serán:
I
1
=
I
2
=
I
3
=
· · ·
=
I
n
=
C
0
i
Ejemplo7.3 Determinarlasvariables deunpréstamode200000
e
porelsistemaamerianosi
i
= 8 %
ytieneunaduraiónde10años.I
1
=
I
2
=
· · ·
=
I
10
= 200 000
·
0
,
08 = 16 000
a
1
=
a
2
=
· · ·
=
a
9
=
C
0
i
= 200 000
·
0
,
08 = 16 000
a
10
=
C
0
+
C
0
i
= 200 000 + 16 000 = 216 000
A
1
=
A
2
=
· · ·
=
A
9
= 0
A
10
=
C
0
= 200 000
Préstamo ameriano on fondo de amortizaión sinking fund
Consiste en suponer queuna parte de
a
s
sedestina al pago de los intereses del apital iniialC
0
yelresto,F
s
llamadofondo deamortizaión seapliaparalaonstituióndel apitaltal omohemos visto en(7.4 ).El apital pendiente de amortizar en un instante
s
ualquiera, a través del método retrospetivo,vendrádeterminado por:C
s
=
C
0
−
F
ss i
(7.5)Ejemplo7.4 Calularelvalordeunfondoparaamortizarunpréstamoamerianode1000000
e
si
i
= 4 %
a5años.F
=
C
0
ss i
=
1 000 000
(1 + 0
,
04)
5
−
1
0
,
04
=
1 000 000
5
,
416323
= 184 627
,
10
Conlaaluladorananiera,
F
,7.3. Préstamo franés
Los métodos partiulares de amortizaión surgen al estableer la hipótesis sobre los
términos amortizativos, las uotas de amortizaión, la ley naniera de valoraión o
respetoaualquier otradelas variablesque intervienen en laoperaión naniera.
El préstamo franés ode términos amortizativosonstantes, searaterizaporque:
Lostérminos amortizativospermaneenonstantes, y
El tanto de valoraión permanee onstante.
ambosdurante todalavida delpréstamo,
a
1
=
a
2
=
· · ·
=
a
n
=
a
i
1
=
i
2
=
· · ·
=
i
n
=
i
yen onseuenia,
Lasanualidades sontodasiguales.
Losintereses de ada período,vandisminuyendo paraada anualidad.
Lasuotas deamortizaión de ada período,vaninrementándose.
Gráamente, su diagrama de ujos, estaría representado tal omo se muestra en la
gura7.1 .
C
0
a
1
a
2
a
n
−
1
a
n
Figura7.1: Préstamo franés
7.3.1. Anualidad
En esteaso,
a
1
=
a
2
=
· · ·
=
a
n
=
a
i
1
=
i
2
=
· · ·
=
i
n
=
i
La anualidad se obtieneplanteando laequivaleniananiera:
C
0
=
a(1 +
i)
−
1
+
a(1 +
i)
−
2
+
· · ·
+
a(1 +
i)
−
n
C
0
=
a
an i
a
=
C
0
a
n i
Lostérminosamortizativos, anualidades, sedesomponen endospartes:uotade
amor-tizaión yuotade interés.Deeste modo:
a
=
A
s
+
I
s
(7.7)Laevoluióndelapitalvivo,asíomodelasvariables
A
s
eI
s
estánrepresentadasenel gráo 7.2. Deesta forma,al prinipio lamayor parte de lauota sonintereses,siendola antidad destinada a amortizaión muy pequeña. Esta proporión va ambiando a
medida queeltiempovatransurriendo.
0
C
0
1
A
1
a
1
I
1
2
A
2
a
2
I
2
3
A
3
a
3
I
3
4
A
4
a
4
I
4
5
A
5
a
5
I
5
Figura7.2:Amortizaión delpréstamo franés
7.3.2. Capital pendiente
El apital pendiente o reserva matemátia,puede obtenerse por:
Métodoretrospetivo:Difereniaentreelimportedelpréstamoylasanualidadespagadas
o venidas:
C
s
=
C
0
(1 +
i)
s
−
a
ss i
(7.8) Métodoprospetivo:Elapitalpendiente eselvaloratualdelasanualidadespendientesde pago ofuturas:
C
s
=
a
an
−
s i
(7.9)Método reurrente:Se alula omo diferenia entre reserva matemátia yla anualidad
orrespondiente:
C
s
=
C
s
−
1
(1 +
i)
−
a
(7.10)7.3.3. Cuotas de amortizaión
Lasuotas deamortizaión varíanen progresión geométria de razón
(1 +
i)
. Ens
:C
s
=
C
s
−
1
(1 +
i)
−
a
Ens
+ 1
:C
s
+1
=
C
s
(1 +
i)
−
a
C
s
−
C
s
+1
|
{z
}
A
s+1
= (C
s
+1
−
C
s
)
|
{z
}
A
s
(1 +
i)
portanto,
A
s
+1
=
A
s
(1 +
i)
A
s
+1
=
A
1
(1 +
i)
s
A travésde laanualidad,a
=
A
1
+
I
1
I
1
=
C
0
i
A
1
=
a
−
C
0
i
A travésdeC
0
,C
0
=
A
1
(1 + (1 +
i) +
· · ·
+ (1 +
i)
n
−
1
)
|
{z
}
sn i
=
A
1
sn i
DespejandoA
1
,A
1
=
C
0
sn i
(7.11)7.3.4. Capital amortizado, uotas de interés
El apital amortizado viene determinado por la suma de las uotas de amortizaión
pratiadas hasta esemomento:
M
s
=
A
1
+
A
2
+
· · ·
+
A
s
=
s
X
h
=1
A
h
M
s
=
A
1
+
A
1
(1 +
i) +
A
1
(1 +
i)
2
+
· · ·
+
A
1
(1 +
i)
s
−
1
=
A
1
ss i
=
C
0
ss i
sn i
M
s
=
C
0
ss i
sn i
(7.12)Del mismomodo, tambiénpuede obtenerse elapitalamortizado omo,
M
s
=
C
0
−
C
s
La uota deinterés seobtiene omo diferenia:
I
s
+1
=
a
−
A
s
+1
o por elproduto:
I
s
+1
=
C
s
i
(7.13)7.3.5. El uadro de amortizaión
Resulta útil reoger en un uadro el proeso de amortizaión de un apital, reejando
de forma lara y onisa elvalor que toman las prinipales magnitudes en los diversos
venimientosde laoperaión.
La denominaión será la de uadro de amortizaión, y en él vamos a haer gurar los
valoresde lostérminos amortizativos
a
s
,las uotasde interésI
s
=
C
s
−
1
i
s
ylas uotas deamortizaiónA
s
orrespondientesaadaunodelosperíodosn
,asíomolasuantías delapital amortizadoM
s
ydelapitalvivo o pendienteC
s
referidos.Per Término Intereses Amortizado Aumulado Pendiente
n
a
I
s
A
s
M
s
C
s
0C
0
1a
=
C
0
an i
I
1
=
C
0
i
A
1
=
a
−
I
1
M
1
=
A
1
C
1
=
C
0
−
M
1
2a
=
C
0
an i
I
2
=
C
1
i
A
2
=
a
−
I
2
M
2
=
M
1
+
A
2
C
2
=
C
0
−
M
2
. . . sa
=
C
0
an i
I
s
=
C
s
−
1
i
A
s
=
a
−
I
s
M
s
=
M
s
−
1
+
A
s
C
s
=
C
0
−
M
s
. . . na
=
C
0
an i
I
n
=
C
n
−
1
i
A
n
=
a
−
I
n
M
n
=
M
n
−
1
+
A
n
C
n
=
C
0
−
M
n
A
n
=
C
n
−
1
M
n
=
C
0
C
n
= 0
Ejemplo7.5 Se soliita un préstamo hipoteario de 50000
e
a pagar en 30 años mediante uotasmensualesyaunatasadeinterésnominalanualdel9%,determinar:lauantíadelostérminosamortizativos(mensualidad),
uadrodeamortizaióndelos4primerostérminos,
interesespagadoseneltérmino240,
apitalamortizadoenlos5primerosaños.
Paralaobtenióndeltérminoamortizativo,
a
=
C
0
an m im
a
=
50 000
a360 0
,
0075
= 402
,
31
Conlaaluladorananiera,
a
30
g 12×
9
g 12÷
50000
PV PMT obteniendo−
402
,
31
Laonfeióndeluadro,larealizamossiguiendoelmodelo,
n
a
I
s
A
s
M
s
C
s
0 50000,00 1 402,31 375,00 27,31 27,31 49972,69 2 402,31 374,80 27,51 54,82 49945,18 3 402,31 374,59 27,72 82,54 49917,46 4 402,31 374,38 27,93 110,47 49889,53 . . .Paraobtenereluadroonlaaluladora,
1
f AMORT obteniendo−
375
deintereses x≶
y−
27
,
31
yasísuesivamente.Losinteresespagadoseneltérmino240,obteniéndolosporelmétodoretrospetivo,
I
s
+1
=
C
s
i
I
240
=
C
239
i
C
s
=
C
0
(1 +
i
)
s
−
a
ss i
C
239
= 50 000(1 + 0
,
0075)
239
−
402
,
31
s239 0
,
0075
C
239
= 31 922
,
90
I
240
= 31 922
,
90
·
0
,
0075 = 239
,
42
Conlaaluladora,I
240
Elapitalamortizadoenlosprimeros5años,es:
M
60
=
C
0
−
C
60
C
60
= 50 000(1 + 0
,
0075)
60
−
402
,
31
s60 0
,
0075
M
60
= 50 000
−
47 940
,
17 = 2 059
,
83
Conlaaluladora,
M
60
60
f AMORT x≶
y obteniendo2 059
,
83
7.4. Tanto efetivo para el prestatario
El prestatario reibe un efetivo
C
0
menor que la antidad nominalC
entregada por el prestamista, ya que toda operaión de préstamo genera unos gastos iniialesG
0
de notario, omisiones,et.normalmente aargo deltomador delpréstamo oprestatario.Deotraparte,elprestatarioseompromete aentregar elnominaldelpréstamo
C
junto onlos intereses mediantepagosalolargode laduraiónn
delpréstamo. Sisuponemos queelpago deestostérminos serealizaatravésdeuna instituiónnaniera queobraunaantidad
g
,enoneptodeomisiónporlagestióndepagorealizadasurgenasíunos gastosadiionalesque tienen elaráterde periódios.Analizandoglobalmente laoperaión naniera,elprestatario reibe
C
0
=
C
−
G
0
,que devuelvemediantelaontraprestaiónde lostérminosa
quetienen unostosuperioral añadir losgastosa
(1 +
g)
. Deestemodo,la equivaleniananiera será engeneral:C
0
−
G
0
=
n
X
i
=1
a
(1 +
i)
−
n
yparatérminos onstantes,
C
0
−
G
0
=
a
(1 +
g)
an i
(7.14)expresión que permite enontrar el tipo de interés efetivo para el prestatario y que
india eloste naniero real dela operaión.
Parasuálulo,podemosemplearualquieradelosmétodosvistosen(6.7)enlapágina
74.
Ejemplo7.6 Una empresa soliita un préstamo de una entidad naniera por importe de
50000
e
queseomprometeareembolsarmediante uotasanualespospagablesdurante3años a un interés del 5% revisable anualmente. Los gastos de formalizaión asienden al 2% delnominaldeladeuda.Paraelsiguienteaño,elinterésrevisadoesdel4,75%
Paraobtenereltérminoamortizativoiniial:
50 000 =
a
a3 0
,
05
a
= 18 360
,
43
Elinterésefetivoparaelprestatario,deduidoslosgastos: 1
G
0
= 0
,
02
·
50 000 = 1 000
50 000
−
1 000 = 18 360
,
43
a3
i
i
= 0
,
060856
Eluadro,lorealizamosonsiderandoelnetoperibidoylostérminosareembolsar:
1
n
a
I
s
A
s
M
s
C
s
0 49000,00
1 18360,43 2981,96 15378,47 15378,47 33621,53
2 18360,43 2046,08 16314,35 31692,82 17307,18
3 18360,43 1053,25 17307,18 49000,00
Laontabilizaiónalaformalizaióndelpréstamo: 2
49 000
,
00
(57) Tesorería a (170) Deudas a largo plazo onentidadesderédito
33 621
,
53
a (5200)Préstamos a orto plazo
onentidadesderédito
15 378
,
47
Alvenimientodelprimerpago:
2 981
,
96
(662) Interesesdedeudas15 378
,
47
(5200)Préstamos a orto plazodeentidadesderédito
a (57) Tesorería
18 360
,
43
Elapitalpendientetraslaprimeraamortizaión:
C
s
=
a
an
−
s i
C
1
= 18 360
,
43 =
a
a3
−
1 0
,
05
C
2
= 34 139
,
58
Elnuevotérminoamortizativo,on
i
revisadosería:34 139
,
58 =
a
a2 0
,
0475
a
= 18 295
,
41
y,elinterésefetivo:
33 621
,
53 = 18 295
,
41
a2
i
i
= 0
,
058326
Elnuevouadrodeamortizaión:
n
a
I
s
A
s
M
s
C
s
1 33621,53
2 18295,41 1961,01 16334,40 16334,40 17287,12
3 18295,41 1008,29 17287,12 33621,53
Larelasiaióntraselpagodelprimerperíodosería:
16 334
,
40
(170) Deudas a largo plazo onentidadesderédito
a (5200)Préstamos a orto plazo
deentidadesderédito
16 334
,
40
Alvenimientodelsegundopago:
1 961
,
01
(662) Interesesdedeudas16 334
,
40
(5200)Préstamos a orto plazodeentidadesderédito
a (57) Tesorería
18 295
,
41
17 287
,
12
(170) Deudas a largo plazo onentidadesderédito
a (5200)Préstamos a orto plazo
deentidadesderédito
17 287
,
12
2
Elreonoimientodeestas deudasseefetúa alareepión delefetivo orrespondiente.La
valo-raióniniialdelaobligaióndepagosehaepor elvalorrazonableque,engeneral,eselpreiodela
7.5. Amortizaiónon términosvariablesenprogresión
geo-métria
Se trata de amortizar unapital de uantía
C
0
medianten
términos amortizativos que varíanen progresión geométriay,en onseuenia,se darála relaión:a
s
=
a
s
−
1
q
=
a
1
q
s
−
1
siendo
q
la razónde laprogresión, queneesariamente debe serpositiva parasatisfaer laexigenia de queseatodoa
s
>
0
.Deberáveriarse,
C
0
=
n
X
s
=1
a q
s
−
1
(1 +
i)
−
s
=
V
0
(a, q)
n i
=
a
1
−
q
n
(1 +
i)
−
n
1 +
i
−
q
yportanto,a
=
C
0
1 +
i
−
q
1
−
q
n
(1 +
i)
−
n
>
0
(7.15) La reserva osaldo alprinipio delaños
+ 1
,C
s
=
V
0
(a
s
+1
, q)
n
−
s i
=
a
s
+1
1
−
(1 +
i)
−
(
n
−
s
)
q
n
−
s
1 +
i
−
q
(7.16)o bien,
C
s
=
C
s
−
1
(1 +
i)
−
a
s
El resto de magnitudes,las obtenemosde lamisma formaqueen elmétodofranés.
7.6. Amortizaiónon términosvariablesenprogresión
arit-métia
Estesistemaplantealaamortizaión de unapital
C
0
mediantetérminos amortizativosa
variables en progresión aritmétia de razónd
y rédito periodal onstante, pudiendo ser la razónd
positiva o negativa, si bien en este segundo aso, para evitar términos negativos, deberáveriarse:a
+ (n
−
1)d
=
a
n
>
0
La equivaleniaen elorigen,debe umplir:
C
0
=
n
X
s
=1
î
a
+ (s
−
1)d
ó
(1 +
i)
−
s
=
V
0
(a, d)
n i
=
Å
a
+
d
i
ã
an i
−
d n
(1 +
i)
−
n
i
(7.17)y,elvalor delprimertérmino
a
=
C
0
i
+
d n
i
an i
−
d
i
−
d n
(7.18)obteniéndose los restantes valorespor larelaión
a
s
=
a
s
−
1
+
d
.Siel valor ded
resulta desonoido, podríaobtenerse apartirde:d
=
C
0
−
a
an i
1 +
i n
i
an i
−
n
i
ylareserva o saldo,
C
s
=
V
0
(a
s
+1
, d)
n
−
s i
=
ï
a
s
+1
+
d
i
+
d
(n
−
s)
ò
an
−
s i
−
d
(n
−
s)
i
=
Å
a
+
d
i
+
d n
ã
an
−
s i
−
d
(n
−
s)
i
=
Å
C
0
+
d n
i
ã
an
−
s i
an i
−
d
(n
−
s)
i
(7.19)yelapital amortizado ylas uotas de interés losobtendremos omo:
M
s
=
C
0
−
C
s
I
s
=
a
s
−
A
s
=
C
s
−
1
i
7.7. Amortizaión de uota de apital onstante. Método
italiano
Este asopartiular,justiado fundamentalmente por su senillez, naealexigir que:
A
1
=
A
2
=
· · ·
=
A
n
=
A
yportanto,C
0
=
n
X
h
=1
A
h
=
n A
resultando,A
=
C
0
n
(7.20)En onseuenia,elapital vivodisminuye enprogresión aritmétia de razón
A
=
C
0
n
.C
s
=
n
X
r
=
s
+1
A
r
= (n
−
s)
A
=
C
s
−
1
−
A
yelapital amortizado,ree segúnlamisma progresión:
M
s
=
s
X
r
=1
A
r
=
s A
=
M
s
−
1
+
A
Lostérminos amortizativos, sonde laforma:
a
s
=
I
s
+
A
=
C
s
−
1
i
s
+
A
(7.21)Ejemplo7.7 Determinarlaanualidadyuotadeamortizaiónprimeradeunapitalde480000
e
queseamortizaen6añospor elmétodo deuotasanualesonstantesauntipode interésdel9%.
A
=
C
0
n
=
480 000
6
= 80 000
Sabiendoque,I
s
+1
=
C
s
i
,I
1
=
C
0
i
I
1
= 480 000
·
0
,
09 = 43 200
yportanto,a
1
=
A
1
+
I
1
a
1
= 80 000 + 43 200 = 123 200
7.8. Préstamo alemán o antiipativenzisen
Se designa on este nombre a la operaión de amortizaión on intereses prepagables,
mediantetérminos amortizativosonstantes
a
1
=
a
2
=
· · ·
=
a
n
=
a
,siendo elrédito de apitalizaióni
∗
s
onstante paratodoslosperíodosi
∗
s
=
i
∗
.También seonoeeste aso
partiular omo método de laEuropa entral oentroeuropeo.
En esta operaión, el prestatario, a ambio de la prestaión, paga en el momento de
onertarelpréstamo losintereses quedevenga duranteelprimerperíodo y,además,al
término de ada período,un término amortizativo, que omprendela uotade
amorti-zaión delperíodo ylauotade intereses delperíodosiguientesobre elapitalvivo.
Sirelaionamos
i
∗
omointerésantiipadoon
i
,talomovimosen(2.6 )enlapágina10 ,i
∗
=
i
1 +
i
i
=
i
∗
1
−
i
∗
La euaión deequivaleniaen elorigen
C
∗
0
on elapitalnominal, es:C
∗
0
=
a
n
X
s
=1
(1
−
i
∗
)
s
−
1
=
a
1
−
(1
−
i
∗
)
n
i
∗
=
a
a∗
n i
∗
sustituyendoi
∗
en funión dei
,i
=
i
∗
1
−
i
∗
,C
∗
0
=
a
1
−
(1 +
i)
−
n
i
(1 +
i) =
a
¨
an i
siendoC
∗
0
=
C
0
(1
−
i
∗
)
−
1
=
C
0
(1 +
i)
,yportanto,a
=
C
∗
0
¨
an i
(7.22)Paraalularlaanualidad,basta despejar
a
obteniéndose:a
=
C
∗
0
i
∗
1
−
(1
−
i
∗
)
n
=
C
∗
0
a∗
n i
∗
=
C
∗
0
¨
an i
(7.23)teniendo en uenta que la primera anualidad oinide on los intereses,la equivalenia
sepresenta así:
C
∗
0
=
C
∗
0
i
∗
+
a
a∗
n i
∗
Esta primera uantía
C
∗
0
i
∗
en onepto de intereses prepagables onstituye un pago
simbólio,ya quesededuedel apitalnominalen elmomento de laentrega.
Lasuotas de intereses,
I
∗
s
+1
=
C
∗
s
i
∗
=
a
−
A
∗
s
(7.24) siendo,a
s
=
A
s
+
I
s
de laquesesigue:A
∗
s
=
A
∗
s
+1
−
(C
∗
s
−
C
∗
s
+1
)
i
∗
=
A
∗
s
+1
(1
−
i
∗
) =
A
∗
n
(1
−
i
∗
)
n
−
s
=
a
(1
−
i
∗
)
n
−
s
(7.25)fórmula querelaiona una uota de amortizaión on susposteriores. Alser
A
∗
El apitalvivoen undeterminado momento
s
,es:C
∗
s
=
n
X
r
=
s
+1
A
∗
r
=
A
∗
s
+1
+
A
∗
s
+2
+
· · ·
+
A
∗
n
−
1
+
A
∗
n
=
=
A
∗
n
(1
−
i
∗
)
n
−
(
s
+1)
+
A
∗
n
(1
−
i
∗
)
n
−
(
s
+2)
+
· · ·
+
A
∗
n
(1
−
i
∗
) +
A
∗
n
=
=
A
∗
n
1
−
(1
−
i
∗
)
n
−
s
i
∗
=
a
1
−
(1
−
i
∗
)
n
−
s
i
∗
=
C
∗
0
1
−
(1
−
i
∗
)
n
−
s
1
−
(1
−
i
∗
)
n
=
=
a
a∗
n
−
s i
∗
=
a
¨
an
−
s i
(7.26)yparaelapital amortizado:
M
∗
s
=
C
∗
0
−
C
∗
s
=
C
∗
0
Ç
1
−
1
−
(1
−
i
∗
)
n
−
s
1
−
(1
−
i
∗
)
n
å
=
C
∗
0
s∗
s i
∗
s∗
n i
∗
=
C
∗
0
¨
ss i
¨
sn i
(7.27)Ejemplo7.8 En un préstamo alemán, de uantía
C
∗
0
= 750 000
,i
∗
= 0
,
10
y 12 años deduraión,determinar:laanualidad,uotadeamortizaióndeluartoaño,uotadeinteresesdel
séptimoyapitalvivoalprinipiodeluartoaño.
Laanualidad,
a
= 750 000
0
,
1
1
−
(1
−
0
,
1)
12
= 104 519
,
35
otambién,utilizandoeltipo
i
,i
=
i
∗
1
−
i
∗
=
0
,
10
1
−
0
,
10
= 0
,
111111
a
=
750 000
(1
−
0
,
111111)
−
12
0
,
111111
(1 + 0
,
111111)
= 104 519
,
35
Lauotadeamortizaióndeluartoaño:
A
∗
4
= 104 519
,
35 (1
−
0
,
10)
12
−
4
= 44 992
,
15
Losinteresesdelséptimoaño:
I
∗
7
=
C
∗
6
i
∗
C
∗
6
=
a
1
−
(1
−
i
∗
)
n
−
s
i
∗
I
∗
7
= 104 519
,
35
1
−
(1
−
0
,
10)
12
−
6
0
,
10
0
,
10 = 48 973
,
48
Elapitalvivoalprinipiodeluartoaño:
C
∗
4
= 104 519
,
35
1
−
(1
−
0
,
10)
12
−
4
0
,
10
= 595 271
,
97
otambiénC
∗
4
= 104 519
,
35
1
−
(1 + 0
,
111111)
−
(12
−
4)
0
,
111111
(1 + 0
,
111111) = 595 271
,
97
7.9. Amortizaión on intereses fraionados
Laoperaióndeamortizaiónonsta deunaprestaiónúnia
C
0
yunaontraprestaión múltiple formada porn
términos amortizativos.El fraionamiento de intereses onsiste en dividir ada uno de los intervalos de
n
enm
subperíodos, sustituyendo en este aso la orrespondiente uota de interesesI
s
on venimiento ens
porlasm
uotasdeinterés onvenimientoalnaldeadauno delos respetivos subperíodos dem
, siendoi
(
m
)
el rédito orrespondiente al subperíodo. En
onseuenia, adatérmino
a
s
,queda sustituidopor el onjunto dem
términosa
s m
. Se trataen realidaddelaamortizaión deC
0
medianten m
términos amortizativos, de tal forma que es nula la uota de amortizaión de todos los términos que oupan unlugar nomúltiplo de
m
.Para la obtenión del uadro de amortizaión on fraionamiento en el pago de los
intereses,elnúmero delassemultipliará por
m
parareoger lasituaión deada una de lasvariables enlos nuevospuntos de venimiento.7.10. Carenia e interés variable
7.10.1. Carenia
El período de arenia
t
onstituye un tiempo en elque no se produe laamortizaión delpréstamo.La arenia puede ser total, período en el ual no se abona ninguna antidad y los
interesesquesegeneransesumanalapitalparaamortizarsealnaldelamisma.Eneste
aso,ladeudaseveinrementadaporlosinteresesapitalizadosaltipoorrespondiente.
C
′
0
=
C
0
(1 +
i)
t
En laareniaparial, máshabitual, seabonan solo losintereses duranteel período de
lamisma.
Al nalizar el período de arenia, el préstamo se amortiza on normalidad según el
métodoaordado. Elvalor dela deudaal naldelaarenia semantiene.
C
′
0
=
C
0
7.10.2. Tipo de interés variable
En el merado de préstamos, onoido también omo lending existen operaiones
a tipo jo, si bien lo habitual es que el tipo de interés sea variable, revisable o una
ombinaión deambos.
Enestospréstamos,lasentidadessuelenjareltipodeinterés sobreuníndienaniero
(el Euribor, IRPH,et.)que denominamos
i
b
alque selesuma un diferenialspreadi
s
que varía entre entidades y lientes y jan una feha periódia (anual o semestral) derevisióndeltipode interés.
Enonseuenia,hablaremosde
i, i
′
, i
′′
,
· · ·
, i
k
omodiferentestiposdeinterésapliables
a laoperaión naniera.
En laoperaión a tipo variable, semaran fehasde revisión(anual,semestral, et.) en
las que el tipo de interés apliable se ajusta on el nuevo
i
b
publiado en el merado. Con el nuevo tipo resultante, a partir del apital pendienteC
s
a la feha se rehae el uadrode amortizaión, alulando lanueva uota.En elmomento
s
,el nuevo término amortizativoa
′
,sería:C
s
=
a
s
+1
(1 +
i)
−
1
+
a
s
+2
(1 +
i)
−
2
+
· · ·
+
a
n
(1 +
i)
−
n
+
s
=
n
X
h
=
s
+1
a
h
(1 +
i)
−
h
+
s
C
s
=
n
X
h
=
s
+1
a
′
h
(1 +
i)
−
h
+
s
(7.28)Elegir entre un préstamo a tipo jo o variable depende del perl del tomador y de su
apaidadparanegoiar,aunqueendeterminadosasoslasondiionesvienenimpuestas
yno sonnegoiables.
Una segunda opión podría ser mantener el término amortizativo onstante, pero
au-mentar o disminuir el número de períodos. En este aso, obtendríamos el número de
períodosde laexpresión anterior.
7.11. Valor naniero del préstamo, del usufruto y de la
nuda propiedad
En una operaión de amortizaión de prestaión y ontraprestaión en base a una ley
naniera,puedeestableerseenunmomento
s
laonvenieniaonodeunaresisión an-tiipadadelaoperaiónotransfereniaatereraspersonasdelosderehosuobligaionesfuturas.
En base a esto, denimos el valor naniero del préstamo en un determinado punto
s
omo el valor atualizado de los términos futuros alulado on una ley naniera externa.El valor naniero en
s
de ada uno de estosderehos pariales, en basea lanueva ley de valoraión reibe elnombrede valor naniero del usufruto yvalornaniero delanuda propiedad.
El valor naniero delusufruto,
U
s
,es elvalor atual de los intereses pendientesI
r
al nuevo tipo deinterés de meradoi
′
h
,U
s
=
I
r
−
1
(1 +
i
′
h
)
+
I
r
−
2
(1 +
i
′
h
)
2
+
· · ·
+
I
r
(1 +
i
′
h
)
n
−
r
=
n
X
r
=
s
+1
I
r
(1 +
i
′
h
)
r
−
s
U
s
=
n
X
r
=
s
+1
C
r
−
1
i
r
r
Y
n
=
s
+1
(1 +
i
′
h
)
−
1
El valor naniero de la nuda propiedad,
N
s
, es el resultado de atualizar al tanto de meradoi
′
h
todaslas uotasde amortizaiíonA
r
pendientes,N
s
=
A
r
−
1
(1 +
i
′
h
)
+
A
r
−
2
(1 +
i
′
h
)
2
+
· · ·
+
A
r
(1 +
i
′
h
)
n
−
r
=
n
X
r
=
s
+1
A
r
(1 +
i
′
h
)
r
−
s
N
s
=
n
X
r
=
s
+1
A
r
r
Y
n
=
s
+1
(1 +
i
′
h
)
−
1
siendoelvalornanierodelpréstamooplenodominio,lasumadelosvaloresnanieros
delusufruto yde lanuda propiedad, estoes:
a
r
=
I
r
+
A
r
,V
s
=
U
s
+
N
s
que representa la antidad que el deudor tendrá que pagar para anelar la deuda o,
desdeelpuntodevistadelprestamista,loquedebería reibirportransferirlosderehos
futuros queelpréstamo supone enlas ondiiones atualesdel merado.
7.11.1. Caso partiular. La fórmula de Ahard
Si los réditos periodales de laoperaión sononstantes e iguales respetivamente a
i
ei
′
,lasexpresiones delapitalvivo,valordelpréstamo, usufrutoynudapropiedaden
s
, serían:La uantíadelapital vivo,
C
s
=
n
X
r
=
s
+1
a
r
(1 +
i)
−
(
r
−
s
)
elvalor naniero delpréstamo,
V
s
=
n
X
r
=
s
+1
a
r
(1 +
i
′
)
−
(
r
−
s
)
elvalor naniero delusufruto,
U
s
=
n
X
r
=
s
+1
C
r
−
1
i(1 +
i
′
)
−
(
r
−
s
)
yelvalor naniero delanuda propiedad,
N
s
=
n
X
r
=
s
+1
A
r
(1 +
i
′
)
−
(
r
−
s
)
En estasondiiones,elvalorde
V
s
yN
s
verian lasiguienterelaión:U
s
=
i
i
′
î
C
s
− N
s
ó
(7.29)denominadafórmula deAhard.
La fórmulade Ahard permiteplantear unsistema de doseuaiones lineales que
rela-ionan losuatro valoresbásios:
V
s
=
U
s
+
N
s
U
s
=
i
i
′
î
C
s
− N
s
ó
(7.30)Alsustituir lasegundaeuaión en laprimera:
V
s
=
i
i
′
î
C
s
− N
s
ó
+
N
s
(7.31)7.11.2. Apliaión a los métodos de amortizaión más utilizados
Préstamo ameriano
En basealafórmulade Ahard yMakehampueden obtenerselos valores:
C
s
=
C
0
N
s
=
C
0
(1 +
i
′
)
−
(
n
−
s
)
U
s
=
C
0
i
an
−
s i
′
=
i
i
′
î
C
0
− N
s
ó
V
s
=
C
0
i
an
−
s i
′
+
C
0
(1 +
i
′
)
−
(
n
−
s
)
Préstamo franés En esteaso,C
s
=
a
an
−
s i
V
s
=
a
an
−
s i
′
ya travésdelsistema(7.29 ) sedeterminarán
U
s
yN
s
U
s
=
i
Ä
V
s
−
C
s
ä
i
−
i
′
=
i a
Ä
an
−
s i
′
−
an
−
s i
ä
i
−
i
′
sidespejamosN
s
,N
s
=
i C
s
−
i
′
V
s
i
−
i
′
=
a
Ä
i
an
−
s i
−
i
′
an
−
s
)
i
′
ä
i
−
i
′
Préstamo on uota de amortizaión onstante
Porser
A
s
=
A
=
C
0
n
paratodos
,C
s
= (n
−
s)
A
yN
s
=
A
an
−
s i
′
Apliandolafórmulade Ahard, seobtiene
U
s
U
s
=
i
i
′
î
(n
−
s)
A
−
A
an
−
s i
′
ó
=
A
i
i
′
î
(n
−
s)
−
an
−
s i
′
ó
yV
s
=
U
s
+
N
s
Ejemplo7.9 Seonedeunpréstamode100000
e
paraseramortizadoen10añosal5%.Sial iniiodelquintoañoeltipodeinterésdelmeradoesdel7%,determinarelvalordelpréstamo,del usufruto y de la nuda propiedad en los supuestos de que sehayaapliado el método de
amortizaiónameriano,franésodeuotadeamortizaiónonstante.
Métodoameriano,
U
4
= 100 000
·
0
,
05
·
a10
−
4 0
,
07
U
4
= 100 000
·
0
,
05
·
4
,
766540 = 23 832
,
70
N
4
=
C
0
(1 + 0
,
07)
−
(10
−
4)
= 66 634
,
22
V
4
=
U
4
+
N
4
= 23 832
,
70 + 66 634
,
22 = 90 466
,
92
Métodofranés,100 000 =
a
a10 0
,
05
a
= 12 950
,
46
C
4
= 12 950
,
46
a10
−
4 0
,
05
= 65 732
,
55
V
4
= 12 950
,
46
a10
−
4 0
,
07
= 61 728
,
88
V
s
=
U
s
+
N
s
U
s
=
i
i
′
C
s
− N
s
)
61 728
,
88 =
U
4
+
N
4
U
4
=
0
,
05
0
,
07
65 732
,
55
− N
4
61 728
,
88
−
46 951
,
82
0
,
285714
=
N
4
= 51 719
,
71
61 728
,
88
−
51 719
,
71 =
U
4
= 10 009
,
17
Métododeuotadeamortizaiónonstante,
C
4
= (10
−
4)
100 000
10
= 60 000
N
4
= 10 000
a10
−
4 0
,
07
= 47 665
,
40
U
4
=
0
,
05
0
,
07
6
·
10 000
−
10 000
a10
−
4 0
,
07
=
0
,
05
0
,
07
60 000
−
47 665
,
40
= 8 810
,
43
V
4
=
U
4
+
N
4
= 8 810
,
43 + 47 665
,
40 = 56 475
,
83
Ejeriios propuestosEjeriio 7.1 Unpréstamode10000
e
queseamortizamediantereembolsoúnioalos8años auninterésdel6%,esreembolsadoenparteporentregadelprestatarioalos4añospor5000e
. Determinarelsaldo areedoralvenimientodelmismoenlossiguientesasos:1. Elareedoraeptaelmismo tipodeevaluaión,
2. Eltipodeinterésdelmerado,semodiaal5%
Soluión: 1)
96
26
,
10
2)92
67
,
96
Ejeriio 7.2 Un préstamo de20000
e
amortizablemediante reembolso únio alos10 años, onuninteresesanualal12%,quiereanelarsealos5años.Sepidelaantidadqueanelaelpréstamosieltipovigenteenelmeradoendihomomentoesdel10%.
Soluión:
C
5
=3
85
69
,
75
Ejeriio 7.3 Seobtieneunpréstamode10000
e
amortizablemediantereembolsoúnioalos 10años, onpagoanualdeinteresesal10%.Si alos4años, despuésdepagarlosintereses,elprestatario hae una entrega parial de 2500
e
. Determinar el saldo en dihomomento, si el tanto deinterésvigente enelmeradoesdel8%.Soluión:
C
4
=8
37
2
,
88
Ejeriio 7.4 ¾Aquétipodeinteréssehadeprestarunapital
C
0
paraqueenn
añoselvalor delaontraprestaiónseak
veeseldel préstamo?Apliarelresultadoparak
= 3
yn
= 12
.Soluión:
i
=
k
1
n
−
1
i
=0
,
09
58
73
Ejeriio 7.5 Construireluadrodeamortizaióndeunpréstamode5000
e
pagaderoenino plazossemestrales,siendoeltiponominaldelaoperaióndel10%ylasuotasdeamortizaiónsemestralonstantes.
Ejeriio 7.6 Formareluadrodeamortizaióndeunpréstamode10000
e
amortizableen8 años,onabonodeinteresesal10%yamortizablemediantetérminosonstantes.Ejeriio 7.7 Sedesea amortizaren20 añosunpréstamo de150000
e
mediante anualidades onstantes,valoradoal5%anual,sepidedeterminar:1. Laanualidad,
2. Elapitalamortizadodespuésdelpagodelaotavaanualidad,
3. Cuotadeinterésdelaño10,
4. Cuotadeamortizaióndel año14,
5. Deudapendientealomienzodel año16.
3)
I
10
=4
99
8
,
96
4)A
14
=8
55
4
,
04
5)C
16
=5
21
11
,
26
Soluión: 1)a
=1
20
36
,
39
2)M
8
=4
33
18
,
46
Ejeriio 7.8 Elbano onedeunpréstamode10000
e
al5%.Suamortizaiónsehará me-diante la entrega de 10 pagos anuales iguales, teniendo lugar el primero a los tres años deefetuadoelpréstamo.Determínese:
1. Laanualidad,
2. Sielprestatariodespuésdesatisfehalauartaanualidad,pretendesustituirelrestodel
reembolsomediante una entrega úniasatisfehadosaños después,uálsería lauantía
deestaentrega. Soluión: 1)
a
=1
42
7
,
79
2)C
s
=7
98
9
,
82
Ejeriio 7.9 Formar el uadro de amortizaión por el método franés de un préstamo de
35000
e
onertadoal6,5%aamortizarensieteaños.Ejeriio 7.10 Seonedeunpréstamode50000
e
paraamortizarseporelmétodoameriano onfondeodeamortizaióneninoañosaltipodeinterésdel6,5% anual.El deudor onierta por otra parte un fondo de reonstituión, por la misma duraión, a un
tipode interes del 5% anual, omprometiéndosea depositaral nal de ada año la antidad
onstanteneesariaparaformarelprinipalperibidoenpréstamo.Determinarlauantíadela
misma. Soluión:
F
=9
04
8
,
74
Ejeriio 7.11 Unasoiedadobtieneunpréstamode20000
e
,quedeberáamortizarmediante 6anualidadesvenidas,siendo eltipodeinterés del 5% paralos primerostresaños y del6%paralosrestantes.Sepideonfeionareluadrodeamortizaión.
Soluión:
a
1
=3
94
0
,
35
a
2
=4
01
4
,
40
Ejeriio 7.12 Se obtiene un préstamo de 40000
e
, al 6%, se pide determinar el uadro de amortizaióndelmismoenlossiguientes asos:1. Operaiónontratadaa6años,amortizablemedianteanualidadesonstantes,
2. Operaiónontratadaa6años,amortizablemedianteuotasonstantes.
Ejeriio 7.13 Se reibe un préstamo hipoteario de 120000
e
que setiene que devolveren 30años medianteanualidadesonstantes, altipoefetivoanualdel6% yonunaomisióndeaperturadel1%.Obtener:
1. Anualidad,
2. Cuotasdeamortizaióndel año3y20,
3. Capitalamortizadoalnaldelaño12,
4. Cuotasdeinterésorrespondientesalquinto yúltimoaño,
5. Capitalpendientealtérminodel séptimoaño,
6. Confeionaeluadrodeamortizaiónorrespondientealosperíodos14a18,
7. Tantoefetivoparaelprestatario.
5)
C
7
=1
07
25
9
,
25
7)i
=6
,
09
%
3)M
12
=2
56
06
,
37
4)I
5
=6
80
1
,
59
I
30
=4
93
,
46
Soluión: 1)a
=8
71
7
,
87
2)A
3
=1
70
5
,
48
A
20
=4
59
2
,
46
Ejeriio 7.14 Seoniertaunpréstamoa20añosde160000
e
onpagosmensualesigualesa uninterésdel5%nominalanualyun1,25%degastosiniialesorrespondientesalaapertura.Obtener:
1. Mensualidad,
2. Capitalamortizadoenlosdosprimerosaños,
3. Cuotadeinterésorrespondienteala8. a
mensualidad,
4. Capitalpendienteunavezpagadaslasmensualidadesdelos10primerosaños,
5. Mensualidad del mes 14 en el supuesto de que el tipo de interés se hayamodiado al
5,25%,
6. Tantoefetivoparaelprestatario.
4)
C
12
0
=9
95
54
,
38
5)a
′
=1
07
7
,
16
6)i
=5
,
27
%
Soluión: 1)a
=1
05
5
,
93
2)M
24
=9
80
3
,
93
3)I
8
=6
55
,
17
Ejeriio 7.15 ¾Cuálesladeudaaliniiodelquintoañodeunpréstamode100000
e
a5años onpagosmensualesal4% deinterés?Soluión:
C
48
=2
16
28
,
33
Ejeriio 7.16 Al soliitarun préstamode 10000
e
adevolveren3 añospara laadquisiión deunvehíulo,reibimoslasiguienteoferta:nosentregan11000e
adevolver345e
mensuales. Determinareltipodeinterésnominal delaoperaión.Soluión: