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a 1 = a 2 = a 3 = = a n 1 = 0 a n = C 0 (1+i) n

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(1)

Préstamos

7.1. Coneptos básios. Clasiaión

7.1.1. Elementosdeunpréstamo

7.1.2. Eltipodeinterés.Componentes

7.1.3. Clasiaión

7.2. Préstamos amortizables onreembolsoúnio

7.2.1. Reembolsoúnio

7.2.2. Reembolsoúnioonfondodeamortizaión

7.2.3. Reembolsoúnioypagoperiódiodeintereses.Préstamoameriano

7.3. Préstamofranés

7.3.1. Anualidad

7.3.2. Capitalpendiente

7.3.3. Cuotasdeamortizaión

7.3.4. Capitalamortizado,uotasdeinterés

7.3.5. Eluadrodeamortizaión

7.4. Tanto efetivopara el prestatario

7.5. Amortizaión ontérminos variablesen progresióngeométria

7.6. Amortizaión ontérminos variablesen progresiónaritmétia

7.7. Amortizaión de uota de apital onstante. Métodoitaliano

7.8. Préstamoalemán o antiipativenzisen

7.9. Amortizaión onintereses fraionados

7.10.Carenia e interés variable

7.10.1.Carenia

7.10.2.Tipodeinterésvariable

7.11.Valornaniero del préstamo, del usufrutoy de la nuda propiedad

7.11.1.Casopartiular.LafórmuladeAhard

7.11.2.Apliaiónalosmétodosdeamortizaiónmásutilizados

(2)

7.1. Coneptos básios. Clasiaión

Reibe este nombre toda operaión naniera formada por una prestaión únia

C

0

y ontraprestaiónmúltiple

a

1

, a

2

,

· · ·

, a

n

.Lanalidad delaontraprestaión es reembol-sarel apitaliniial

C

0

.

Un préstamo, es la operaión naniera que onsiste en la entrega, por parte de una

persona (prestamista), de una antidad de dinero,

C

0

, a otra (prestatario), quien se ompromete a devolver diha antidad y satisfaerlos intereses orrespondientes en los

plazos yforma aordados.

Se denomina amortizaión de un préstamo a la devoluión o reembolso, por parte del

prestatario,delimportedelpréstamo,

C

0

,juntoonelpago delosinteresesqueva gene-rando,enlosplazosonvenidos.Estojustiaelnombredeoperaióndeamortizaióny

elde términosamortizativosquesueleasignarseaestosapitales delaontraprestaión.

La operaión de préstamo, así onformada, umple el postulado de equivalenia

nan-iera entre la antidad entregada por elprestamista yla ontraprestaión múltiple del

prestatario,enualquierinstante detiempo;esdeir,elvaloratualdelapitalprestado

debeser igualalvaloratual delapitalquesereembolse (amortie). Enelasode que

laontraprestaiónestéintegrada porvariosapitales nanieros,lasumade losvalores

atuales deéstostendrá queserigual alvaloratual del apitalreibidoen préstamo.

Esusual efetuarlaoperaión onunaleyde apitalizaión(generalmentela

apitaliza-iónompuesta), yon períodos uniformes(años, trimestres, meses,...) siendo los más

freuentes los mensuales.

7.1.1. Elementos de un préstamo

Losproblemasprinipalesqueplantealaamortizaióndeunpréstamoson:determinarla

anualidadotérminoamortizativo,álulodelapitalpendientedeamortizar alprinipio

de ada término y de la parte de deuda que se devuelve al nal de ada término. En

resumen,loselementosqueintervienenenlasoperaionesdepréstamo,sonlossiguientes:

C

0

= Capitalo importedelpréstamo,

a

1

, a

2

,

· · ·

, a

n

= Términosamortizativos.Se denominan anualidades, mensualida-des, et. y normalmente se forman de una antidad destinada a

laamortizaión

A

s

yotraalpago de intereses

I

s

.

a

s

=

A

s

+

I

s

n

= Tiempo ovida de duraión delaoperaión delpréstamo,

n

0

eselorigen de laoperaión,

i

= Tipo de interés.Puede ser onstanteo variable,

A

s

= Cuotasde amortizaiónodeapitalde adaunode losperíodos,

I

s

= Cuotasdeinterés deada período,

M

s

= Cantidadesde apitalamortizado alnalde ada período.Total

amortizado.

M

s

=

s

X

s

=1

A

s

,

C

s

= Capitalpendientede amortizar.

C

s

=

C

0

M

s

.

7.1.2. El tipo de interés. Componentes

El tipo de interés sesuele determinar omo un porentaje de la antidad prestada. En

ualquier aso, puede resultar onfuso hablar del tipo de interés omo algo únio, ya

(3)

Elriesgodela operaión.Cuandoseonedeunpréstamo,siempreexisteelriesgo

de que éste no se reupere. Este riesgoserá, sin embargo, muy distinto según las

araterístias delquelosoliita.

La garantía que ofreza el soliitante del préstamo. Lospréstamos suelen

deman-dar algún tipo de garantía; por ejemplo, en el aso del préstamo hipoteario, el

prestamista tiene omogarantía lapropiedad delsoliitante.

El períodoparael que seonede elpréstamo.Dependiendodelperíodoporelque

seonedeelpréstamo,variaráeltipodeinterés.Siesalargoplazo,onllevará un

tipo másalto quesi esaorto plazo.

El tipo de interés deun préstamo, tiene tres omponentes:

1. El tipo puro,queeslaremuneraión queseexigirá por renuniaralonsumo enel

asode queno hubiese inaión y queelpréstamo areierade riesgo.

2. Una prima de riesgo, que se añade al tipo puro para ompensar el riesgo que

onlleva elpréstamo.

3. Una prima de inaión on la que el prestamista trata de asegurarse quela

ren-tabilidad que obtiene en términos de apaidad adquisitiva,es deir,en términos

reales, ubreelriesgopuro ylaprima deriesgo.

7.1.3. Clasiaión

La variedad depréstamos existentes puede agruparse, atendiendo a diferentesriterios.

En esteontextoyde auerdo onlos objetivos, sesigueel riterio deamortizaión.

1. Préstamos amortizables on reembolso únio

a) Reembolso únio,

b) Reembolso únioypago periódiode intereses,

) Reembolso únioon fondo deamortizaión,

2. Préstamos amortizables medianteuna renta

a) Amortizaión on fondosde amortizaión,

b) Amortizaión por onstituión delmontante,

) Amortizaión on anualidades onstantes: préstamo franés,

d) Amortizaión onanualidadesvariables:enprogresión aritmétia, en

progre-sión geométria,...

(4)

7.2. Préstamos amortizables on reembolso únio

7.2.1. Reembolso únio

Estepréstamo,onoidotambiénomopréstamoelementalosimple,searateriza

por-queelpréstamoreibido junto on susinteresessereembolsa de unasolavez. Siendo

C

elapitalprestado,

i

eltantounitariodeinterésy

n

elplazoseñaladoparaelreembolso, alnaldelplazoestipulado,elprestatariodeberáreembolsaralprestamista elmontante

naldelapital

C

altanto

i

.

Alnoentregarseningunaantidadhastalanalizaiónde lavida delpréstamo,elvalor

de lasvariables,sería:

a

1

=

a

2

=

a

3

=

· · ·

=

a

n

1

= 0

a

n

=

C

0

(1 +

i)

n

(7.1)

que reuerda a una operaión naniera on unasola prestaión yontraprestaión tal

omo sevióen (4.1) en lapágina34.

Gráamente,

C

0

1

2

n

1

C

n

Ejemplo7.1 Determinarelmontanteadevolverdentrode8añosporunpréstamode50000

e

patandolaoperaiónal6%.

a

n

=

C

n

=

C

0

(1 +

i

)

n

C

n

= 50 000(1 + 0

,

06)

8

= 79 692

,

40

Unproblemaquepuedesurgirenestetipodepréstamosesuandoeldeudoroprestatario

pretende anelar total o parialmente el préstamo de forma antiipada. En este aso,

transurridos

s

períodos desdeelomienzo de laoperaión, esusual queelprestamista efetúe operaiones de lamismanaturaleza aun tipo deinterés

i

distinto de

i

(tipo de laoperaión envigor). El prestamista,tiene quereibiralnal

C

n

yualquier deseo de alterar el prestatario las ondiiones iniiales de la operaión sólo podrá ser aeptado

por el prestamista si, omo mínimo, obtiene los rendimientos esperados en su vigente

ontrato.

Por tanto, para anelar antiipadamente el préstamo, al prinipio del período

s

, se exigirá omomínimo laantidad

V

s

tal queseverique laigualdad:

V

s

(1 +

i

)

n

s

=

C

n

Expresando

C

n

en funiónde

C

s

,

V

s

(1 +

i

)

n

s

=

C

s

(1 +

i)

n

s

V

s

=

C

s

Å

1 +

i

1 +

i

ã

n

s

(7.2)

(5)

Si solamente se pretende reembolsar parialmente, entregando una uantía

X

s

< V

s

,el nuevo saldoo deuda pendienteseráel valor

C

s

queumpla laeuaión:

X

s

(1 +

i

)

n

s

+

C

s

(1 +

i

)

n

s

=

C

n

=

C

s

(1 +

i)

n

s

de donde,

C

s

=

C

s

Å

1 +

i

1 +

i

ã

n

s

X

s

C

s

=

C

0

(1 +

i)

n

(1 +

i

)

n

s

X

s

(7.3)

Ejemplo7.2 Determinarparaelpréstamoanteriorelsaldo oapitalvivoalprinipio delaño

quintoylaantidadadevolveralprinipiodelquintoañosieltantodelprestamistaes

i

= 8 %

.

Obtener igualmente el saldo pendiente en el supuesto de que hiiera una entrega parial al

prinipiodelquintoañode40000

e

.

C

4

= 50 000(1 + 0

,

06)

4

= 63 123

,

85

Utilizando(7.2),elvalor,sería:

V

4

=

C

4

Å

1 + 0

,

06

1 + 0

,

08

ã

8

4

= 58 576

,

30

Alhaerunaentregaparial,elsaldoapliando (7.3) :

C

4

= 58 576

,

30

Å

1 + 0

,

06

1 + 0

,

08

ã

8

4

40 000 = 14 356

,

36

7.2.2. Reembolso únio on fondo de amortizaión

En estetipo,nosepaga ningunaantidad periódiaperosí seonstituyeun fondo

me-dianteimposiionesde

F

s

detalmodo,quealnaldelaoperaiónelimporteonstituido seasuiente parasaldar el apitalprestado junto on sus intereses.

El apitalpendiente deamortizar o reserva matemátiaen unmomento

s

,sería:

C

s

=

C

0

(1 +

i)

s

F

s

s i

(7.4)

7.2.3. Reembolso únio y pago periódio de intereses. Préstamo

ame-riano

Estetipode préstamos dierede lamodalidad anterior enqueelprestatario quereibe

unpréstamo

C

,estáobligado asatisfaerada añoelpago delaantidad

C i

,intereses desudeuda altanto

i

,yreembolsar,medianteunpago úniode

C

elapitalquereibió omo préstamoaltérmino delaño

n

.

(6)

Préstamo ameriano

En esteasopartiular, elpréstamo reibidosereembolsa de unasola vez, peroalnal

delperíodosepagan losintereses generados:

a

1

=

a

2

=

a

3

=

· · ·

=

a

n

1

=

C

0

i

a

n

=

C

0

+

C

0

i

Expresadodeotraforma,reibeelnombre deamortizaiónamerianauando sonnulas

las

n

1

primeras uotas deamortizaión e iguala

C

0

laúltima, o sea:

A

1

=

A

2

=

A

3

=

· · ·

=

A

n

1

= 0

A

n

=

C

0

Losintereses, enonseuenia, serán:

I

1

=

I

2

=

I

3

=

· · ·

=

I

n

=

C

0

i

Ejemplo7.3 Determinarlasvariables deunpréstamode200000

e

porelsistemaameriano

si

i

= 8 %

ytieneunaduraiónde10años.

I

1

=

I

2

=

· · ·

=

I

10

= 200 000

·

0

,

08 = 16 000

a

1

=

a

2

=

· · ·

=

a

9

=

C

0

i

= 200 000

·

0

,

08 = 16 000

a

10

=

C

0

+

C

0

i

= 200 000 + 16 000 = 216 000

A

1

=

A

2

=

· · ·

=

A

9

= 0

A

10

=

C

0

= 200 000

Préstamo ameriano on fondo de amortizaión sinking fund

Consiste en suponer queuna parte de

a

s

sedestina al pago de los intereses del apital iniial

C

0

yelresto,

F

s

llamadofondo deamortizaión seapliaparalaonstituióndel apitaltal omohemos visto en(7.4 ).

El apital pendiente de amortizar en un instante

s

ualquiera, a través del método retrospetivo,vendrádeterminado por:

C

s

=

C

0

F

s

s i

(7.5)

Ejemplo7.4 Calularelvalordeunfondoparaamortizarunpréstamoamerianode1000000

e

si

i

= 4 %

a5años.

F

=

C

0

s

s i

=

1 000 000

(1 + 0

,

04)

5

1

0

,

04

=

1 000 000

5

,

416323

= 184 627

,

10

Conlaaluladorananiera,

F

,

(7)

7.3. Préstamo franés

Los métodos partiulares de amortizaión surgen al estableer la hipótesis sobre los

términos amortizativos, las uotas de amortizaión, la ley naniera de valoraión o

respetoaualquier otradelas variablesque intervienen en laoperaión naniera.

El préstamo franés ode términos amortizativosonstantes, searaterizaporque:

Lostérminos amortizativospermaneenonstantes, y

El tanto de valoraión permanee onstante.

ambosdurante todalavida delpréstamo,

a

1

=

a

2

=

· · ·

=

a

n

=

a

i

1

=

i

2

=

· · ·

=

i

n

=

i

yen onseuenia,

Lasanualidades sontodasiguales.

Losintereses de ada período,vandisminuyendo paraada anualidad.

Lasuotas deamortizaión de ada período,vaninrementándose.

Gráamente, su diagrama de ujos, estaría representado tal omo se muestra en la

gura7.1 .

C

0

a

1

a

2

a

n

1

a

n

Figura7.1: Préstamo franés

7.3.1. Anualidad

En esteaso,

a

1

=

a

2

=

· · ·

=

a

n

=

a

i

1

=

i

2

=

· · ·

=

i

n

=

i

La anualidad se obtieneplanteando laequivaleniananiera:

C

0

=

a(1 +

i)

1

+

a(1 +

i)

2

+

· · ·

+

a(1 +

i)

n

C

0

=

a

a

n i

a

=

C

0

a

n i

(8)

Lostérminosamortizativos, anualidades, sedesomponen endospartes:uotade

amor-tizaión yuotade interés.Deeste modo:

a

=

A

s

+

I

s

(7.7)

Laevoluióndelapitalvivo,asíomodelasvariables

A

s

e

I

s

estánrepresentadasenel gráo 7.2. Deesta forma,al prinipio lamayor parte de lauota sonintereses,siendo

la antidad destinada a amortizaión muy pequeña. Esta proporión va ambiando a

medida queeltiempovatransurriendo.

0

C

0

1

A

1

a

1

I

1

2

A

2

a

2

I

2

3

A

3

a

3

I

3

4

A

4

a

4

I

4

5

A

5

a

5

I

5

Figura7.2:Amortizaión delpréstamo franés

7.3.2. Capital pendiente

El apital pendiente o reserva matemátia,puede obtenerse por:

Métodoretrospetivo:Difereniaentreelimportedelpréstamoylasanualidadespagadas

o venidas:

C

s

=

C

0

(1 +

i)

s

a

s

s i

(7.8) Métodoprospetivo:Elapitalpendiente eselvaloratualdelasanualidadespendientes

de pago ofuturas:

C

s

=

a

a

n

s i

(7.9)

Método reurrente:Se alula omo diferenia entre reserva matemátia yla anualidad

orrespondiente:

C

s

=

C

s

1

(1 +

i)

a

(7.10)

7.3.3. Cuotas de amortizaión

Lasuotas deamortizaión varíanen progresión geométria de razón

(1 +

i)

. En

s

:

C

s

=

C

s

1

(1 +

i)

a

En

s

+ 1

:

C

s

+1

=

C

s

(1 +

i)

a

C

s

C

s

+1

|

{z

}

A

s+1

= (C

s

+1

C

s

)

|

{z

}

A

s

(1 +

i)

(9)

portanto,

A

s

+1

=

A

s

(1 +

i)

A

s

+1

=

A

1

(1 +

i)

s

A travésde laanualidad,

a

=

A

1

+

I

1

I

1

=

C

0

i

A

1

=

a

C

0

i

A travésde

C

0

,

C

0

=

A

1

(1 + (1 +

i) +

· · ·

+ (1 +

i)

n

1

)

|

{z

}

s

n i

=

A

1

s

n i

Despejando

A

1

,

A

1

=

C

0

s

n i

(7.11)

7.3.4. Capital amortizado, uotas de interés

El apital amortizado viene determinado por la suma de las uotas de amortizaión

pratiadas hasta esemomento:

M

s

=

A

1

+

A

2

+

· · ·

+

A

s

=

s

X

h

=1

A

h

M

s

=

A

1

+

A

1

(1 +

i) +

A

1

(1 +

i)

2

+

· · ·

+

A

1

(1 +

i)

s

1

=

A

1

s

s i

=

C

0

s

s i

s

n i

M

s

=

C

0

s

s i

s

n i

(7.12)

Del mismomodo, tambiénpuede obtenerse elapitalamortizado omo,

M

s

=

C

0

C

s

La uota deinterés seobtiene omo diferenia:

I

s

+1

=

a

A

s

+1

o por elproduto:

I

s

+1

=

C

s

i

(7.13)

7.3.5. El uadro de amortizaión

Resulta útil reoger en un uadro el proeso de amortizaión de un apital, reejando

de forma lara y onisa elvalor que toman las prinipales magnitudes en los diversos

venimientosde laoperaión.

La denominaión será la de uadro de amortizaión, y en él vamos a haer gurar los

valoresde lostérminos amortizativos

a

s

,las uotasde interés

I

s

=

C

s

1

i

s

ylas uotas deamortizaión

A

s

orrespondientesaadaunodelosperíodos

n

,asíomolasuantías delapital amortizado

M

s

ydelapitalvivo o pendiente

C

s

referidos.

(10)

Per Término Intereses Amortizado Aumulado Pendiente

n

a

I

s

A

s

M

s

C

s

0

C

0

1

a

=

C

0

a

n i

I

1

=

C

0

i

A

1

=

a

I

1

M

1

=

A

1

C

1

=

C

0

M

1

2

a

=

C

0

a

n i

I

2

=

C

1

i

A

2

=

a

I

2

M

2

=

M

1

+

A

2

C

2

=

C

0

M

2

. . . s

a

=

C

0

a

n i

I

s

=

C

s

1

i

A

s

=

a

I

s

M

s

=

M

s

1

+

A

s

C

s

=

C

0

M

s

. . . n

a

=

C

0

a

n i

I

n

=

C

n

1

i

A

n

=

a

I

n

M

n

=

M

n

1

+

A

n

C

n

=

C

0

M

n

A

n

=

C

n

1

M

n

=

C

0

C

n

= 0

Ejemplo7.5 Se soliita un préstamo hipoteario de 50000

e

a pagar en 30 años mediante uotasmensualesyaunatasadeinterésnominalanualdel9%,determinar:

lauantíadelostérminosamortizativos(mensualidad),

uadrodeamortizaióndelos4primerostérminos,

interesespagadoseneltérmino240,

apitalamortizadoenlos5primerosaños.

Paralaobtenióndeltérminoamortizativo,

a

=

C

0

a

n m im

a

=

50 000

a

360 0

,

0075

= 402

,

31

Conlaaluladorananiera,

a

30

g 12

×

9

g 12

÷

50000

PV PMT obteniendo

402

,

31

Laonfeióndeluadro,larealizamossiguiendoelmodelo,

n

a

I

s

A

s

M

s

C

s

0 50000,00 1 402,31 375,00 27,31 27,31 49972,69 2 402,31 374,80 27,51 54,82 49945,18 3 402,31 374,59 27,72 82,54 49917,46 4 402,31 374,38 27,93 110,47 49889,53 . . .

Paraobtenereluadroonlaaluladora,

1

f AMORT obteniendo

375

deintereses x

y

27

,

31

yasísuesivamente.

Losinteresespagadoseneltérmino240,obteniéndolosporelmétodoretrospetivo,

I

s

+1

=

C

s

i

I

240

=

C

239

i

C

s

=

C

0

(1 +

i

)

s

a

s

s i

C

239

= 50 000(1 + 0

,

0075)

239

402

,

31

s

239 0

,

0075

C

239

= 31 922

,

90

I

240

= 31 922

,

90

·

0

,

0075 = 239

,

42

Conlaaluladora,

I

240

(11)

Elapitalamortizadoenlosprimeros5años,es:

M

60

=

C

0

C

60

C

60

= 50 000(1 + 0

,

0075)

60

402

,

31

s

60 0

,

0075

M

60

= 50 000

47 940

,

17 = 2 059

,

83

Conlaaluladora,

M

60

60

f AMORT x

y obteniendo

2 059

,

83

7.4. Tanto efetivo para el prestatario

El prestatario reibe un efetivo

C

0

menor que la antidad nominal

C

entregada por el prestamista, ya que toda operaión de préstamo genera unos gastos iniiales

G

0

de notario, omisiones,et.normalmente aargo deltomador delpréstamo oprestatario.

Deotraparte,elprestatarioseompromete aentregar elnominaldelpréstamo

C

junto onlos intereses mediantepagosalolargode laduraión

n

delpréstamo. Sisuponemos queelpago deestostérminos serealizaatravésdeuna instituiónnaniera queobra

unaantidad

g

,enoneptodeomisiónporlagestióndepagorealizadasurgenasíunos gastosadiionalesque tienen elaráterde periódios.

Analizandoglobalmente laoperaión naniera,elprestatario reibe

C

0

=

C

G

0

,que devuelvemediantelaontraprestaiónde lostérminos

a

quetienen unostosuperioral añadir losgastos

a

(1 +

g)

. Deestemodo,la equivaleniananiera será engeneral:

C

0

G

0

=

n

X

i

=1

a

(1 +

i)

n

yparatérminos onstantes,

C

0

G

0

=

a

(1 +

g)

a

n i

(7.14)

expresión que permite enontrar el tipo de interés efetivo para el prestatario y que

india eloste naniero real dela operaión.

Parasuálulo,podemosemplearualquieradelosmétodosvistosen(6.7)enlapágina

74.

Ejemplo7.6 Una empresa soliita un préstamo de una entidad naniera por importe de

50000

e

queseomprometeareembolsarmediante uotasanualespospagablesdurante3años a un interés del 5% revisable anualmente. Los gastos de formalizaión asienden al 2% del

nominaldeladeuda.Paraelsiguienteaño,elinterésrevisadoesdel4,75%

Paraobtenereltérminoamortizativoiniial:

50 000 =

a

a

3 0

,

05

a

= 18 360

,

43

Elinterésefetivoparaelprestatario,deduidoslosgastos: 1

G

0

= 0

,

02

·

50 000 = 1 000

50 000

1 000 = 18 360

,

43

a

3

i

i

= 0

,

060856

Eluadro,lorealizamosonsiderandoelnetoperibidoylostérminosareembolsar:

1

(12)

n

a

I

s

A

s

M

s

C

s

0 49000,00

1 18360,43 2981,96 15378,47 15378,47 33621,53

2 18360,43 2046,08 16314,35 31692,82 17307,18

3 18360,43 1053,25 17307,18 49000,00

Laontabilizaiónalaformalizaióndelpréstamo: 2

49 000

,

00

(57) Tesorería a (170) Deudas a largo plazo on

entidadesderédito

33 621

,

53

a (5200)Préstamos a orto plazo

onentidadesderédito

15 378

,

47

Alvenimientodelprimerpago:

2 981

,

96

(662) Interesesdedeudas

15 378

,

47

(5200)Préstamos a orto plazo

deentidadesderédito

a (57) Tesorería

18 360

,

43

Elapitalpendientetraslaprimeraamortizaión:

C

s

=

a

a

n

s i

C

1

= 18 360

,

43 =

a

a

3

1 0

,

05

C

2

= 34 139

,

58

Elnuevotérminoamortizativo,on

i

revisadosería:

34 139

,

58 =

a

a

2 0

,

0475

a

= 18 295

,

41

y,elinterésefetivo:

33 621

,

53 = 18 295

,

41

a

2

i

i

= 0

,

058326

Elnuevouadrodeamortizaión:

n

a

I

s

A

s

M

s

C

s

1 33621,53

2 18295,41 1961,01 16334,40 16334,40 17287,12

3 18295,41 1008,29 17287,12 33621,53

Larelasiaióntraselpagodelprimerperíodosería:

16 334

,

40

(170) Deudas a largo plazo on

entidadesderédito

a (5200)Préstamos a orto plazo

deentidadesderédito

16 334

,

40

Alvenimientodelsegundopago:

1 961

,

01

(662) Interesesdedeudas

16 334

,

40

(5200)Préstamos a orto plazo

deentidadesderédito

a (57) Tesorería

18 295

,

41

17 287

,

12

(170) Deudas a largo plazo on

entidadesderédito

a (5200)Préstamos a orto plazo

deentidadesderédito

17 287

,

12

2

Elreonoimientodeestas deudasseefetúa alareepión delefetivo orrespondiente.La

valo-raióniniialdelaobligaióndepagosehaepor elvalorrazonableque,engeneral,eselpreiodela

(13)

7.5. Amortizaiónon términosvariablesenprogresión

geo-métria

Se trata de amortizar unapital de uantía

C

0

mediante

n

términos amortizativos que varíanen progresión geométriay,en onseuenia,se darála relaión:

a

s

=

a

s

1

q

=

a

1

q

s

1

siendo

q

la razónde laprogresión, queneesariamente debe serpositiva parasatisfaer laexigenia de queseatodo

a

s

>

0

.

Deberáveriarse,

C

0

=

n

X

s

=1

a q

s

1

(1 +

i)

s

=

V

0

(a, q)

n i

=

a

1

q

n

(1 +

i)

n

1 +

i

q

yportanto,

a

=

C

0

1 +

i

q

1

q

n

(1 +

i)

n

>

0

(7.15) La reserva osaldo alprinipio delaño

s

+ 1

,

C

s

=

V

0

(a

s

+1

, q)

n

s i

=

a

s

+1

1

(1 +

i)

(

n

s

)

q

n

s

1 +

i

q

(7.16)

o bien,

C

s

=

C

s

1

(1 +

i)

a

s

El resto de magnitudes,las obtenemosde lamisma formaqueen elmétodofranés.

7.6. Amortizaiónon términosvariablesenprogresión

arit-métia

Estesistemaplantealaamortizaión de unapital

C

0

mediantetérminos amortizativos

a

variables en progresión aritmétia de razón

d

y rédito periodal onstante, pudiendo ser la razón

d

positiva o negativa, si bien en este segundo aso, para evitar términos negativos, deberáveriarse:

a

+ (n

1)d

=

a

n

>

0

La equivaleniaen elorigen,debe umplir:

C

0

=

n

X

s

=1

î

a

+ (s

1)d

ó

(1 +

i)

s

=

V

0

(a, d)

n i

=

Å

a

+

d

i

ã

a

n i

d n

(1 +

i)

n

i

(7.17)

y,elvalor delprimertérmino

a

=

C

0

i

+

d n

i

a

n i

d

i

d n

(7.18)

obteniéndose los restantes valorespor larelaión

a

s

=

a

s

1

+

d

.Siel valor de

d

resulta desonoido, podríaobtenerse apartirde:

d

=

C

0

a

a

n i

1 +

i n

i

a

n i

n

i

(14)

ylareserva o saldo,

C

s

=

V

0

(a

s

+1

, d)

n

s i

=

ï

a

s

+1

+

d

i

+

d

(n

s)

ò

a

n

s i

d

(n

s)

i

=

Å

a

+

d

i

+

d n

ã

a

n

s i

d

(n

s)

i

=

Å

C

0

+

d n

i

ã

a

n

s i

a

n i

d

(n

s)

i

(7.19)

yelapital amortizado ylas uotas de interés losobtendremos omo:

M

s

=

C

0

C

s

I

s

=

a

s

A

s

=

C

s

1

i

7.7. Amortizaión de uota de apital onstante. Método

italiano

Este asopartiular,justiado fundamentalmente por su senillez, naealexigir que:

A

1

=

A

2

=

· · ·

=

A

n

=

A

yportanto,

C

0

=

n

X

h

=1

A

h

=

n A

resultando,

A

=

C

0

n

(7.20)

En onseuenia,elapital vivodisminuye enprogresión aritmétia de razón

A

=

C

0

n

.

C

s

=

n

X

r

=

s

+1

A

r

= (n

s)

A

=

C

s

1

A

yelapital amortizado,ree segúnlamisma progresión:

M

s

=

s

X

r

=1

A

r

=

s A

=

M

s

1

+

A

Lostérminos amortizativos, sonde laforma:

a

s

=

I

s

+

A

=

C

s

1

i

s

+

A

(7.21)

Ejemplo7.7 Determinarlaanualidadyuotadeamortizaiónprimeradeunapitalde480000

e

queseamortizaen6añospor elmétodo deuotasanualesonstantesauntipode interésdel

9%.

A

=

C

0

n

=

480 000

6

= 80 000

Sabiendoque,

I

s

+1

=

C

s

i

,

I

1

=

C

0

i

I

1

= 480 000

·

0

,

09 = 43 200

yportanto,

a

1

=

A

1

+

I

1

a

1

= 80 000 + 43 200 = 123 200

(15)

7.8. Préstamo alemán o antiipativenzisen

Se designa on este nombre a la operaión de amortizaión on intereses prepagables,

mediantetérminos amortizativosonstantes

a

1

=

a

2

=

· · ·

=

a

n

=

a

,siendo elrédito de apitalizaión

i

s

onstante paratodoslosperíodos

i

s

=

i

.También seonoeeste aso

partiular omo método de laEuropa entral oentroeuropeo.

En esta operaión, el prestatario, a ambio de la prestaión, paga en el momento de

onertarelpréstamo losintereses quedevenga duranteelprimerperíodo y,además,al

término de ada período,un término amortizativo, que omprendela uotade

amorti-zaión delperíodo ylauotade intereses delperíodosiguientesobre elapitalvivo.

Sirelaionamos

i

omointerésantiipadoon

i

,talomovimosen(2.6 )enlapágina10 ,

i

=

i

1 +

i

i

=

i

1

i

La euaión deequivaleniaen elorigen

C

0

on elapitalnominal, es:

C

0

=

a

n

X

s

=1

(1

i

)

s

1

=

a

1

(1

i

)

n

i

=

a

a

n i

sustituyendo

i

en funión de

i

,

i

=

i

1

i

,

C

0

=

a

1

(1 +

i)

n

i

(1 +

i) =

a

¨

a

n i

siendo

C

0

=

C

0

(1

i

)

1

=

C

0

(1 +

i)

,yportanto,

a

=

C

0

¨

a

n i

(7.22)

Paraalularlaanualidad,basta despejar

a

obteniéndose:

a

=

C

0

i

1

(1

i

)

n

=

C

0

a

n i

=

C

0

¨

a

n i

(7.23)

teniendo en uenta que la primera anualidad oinide on los intereses,la equivalenia

sepresenta así:

C

0

=

C

0

i

+

a

a

n i

Esta primera uantía

C

0

i

en onepto de intereses prepagables onstituye un pago

simbólio,ya quesededuedel apitalnominalen elmomento de laentrega.

Lasuotas de intereses,

I

s

+1

=

C

s

i

=

a

A

s

(7.24) siendo,

a

s

=

A

s

+

I

s

de laquesesigue:

A

s

=

A

s

+1

(C

s

C

s

+1

)

i

=

A

s

+1

(1

i

) =

A

n

(1

i

)

n

s

=

a

(1

i

)

n

s

(7.25)

fórmula querelaiona una uota de amortizaión on susposteriores. Alser

A

(16)

El apitalvivoen undeterminado momento

s

,es:

C

s

=

n

X

r

=

s

+1

A

r

=

A

s

+1

+

A

s

+2

+

· · ·

+

A

n

1

+

A

n

=

=

A

n

(1

i

)

n

(

s

+1)

+

A

n

(1

i

)

n

(

s

+2)

+

· · ·

+

A

n

(1

i

) +

A

n

=

=

A

n

1

(1

i

)

n

s

i

=

a

1

(1

i

)

n

s

i

=

C

0

1

(1

i

)

n

s

1

(1

i

)

n

=

=

a

a

n

s i

=

a

¨

a

n

s i

(7.26)

yparaelapital amortizado:

M

s

=

C

0

C

s

=

C

0

Ç

1

1

(1

i

)

n

s

1

(1

i

)

n

å

=

C

0

s

s i

s

n i

=

C

0

¨

s

s i

¨

s

n i

(7.27)

Ejemplo7.8 En un préstamo alemán, de uantía

C

0

= 750 000

,

i

= 0

,

10

y 12 años de

duraión,determinar:laanualidad,uotadeamortizaióndeluartoaño,uotadeinteresesdel

séptimoyapitalvivoalprinipiodeluartoaño.

Laanualidad,

a

= 750 000

0

,

1

1

(1

0

,

1)

12

= 104 519

,

35

otambién,utilizandoeltipo

i

,

i

=

i

1

i

=

0

,

10

1

0

,

10

= 0

,

111111

a

=

750 000

(1

0

,

111111)

12

0

,

111111

(1 + 0

,

111111)

= 104 519

,

35

Lauotadeamortizaióndeluartoaño:

A

4

= 104 519

,

35 (1

0

,

10)

12

4

= 44 992

,

15

Losinteresesdelséptimoaño:

I

7

=

C

6

i

C

6

=

a

1

(1

i

)

n

s

i

I

7

= 104 519

,

35

1

(1

0

,

10)

12

6

0

,

10

0

,

10 = 48 973

,

48

Elapitalvivoalprinipiodeluartoaño:

C

4

= 104 519

,

35

1

(1

0

,

10)

12

4

0

,

10

= 595 271

,

97

otambién

C

4

= 104 519

,

35

1

(1 + 0

,

111111)

(12

4)

0

,

111111

(1 + 0

,

111111) = 595 271

,

97

(17)

7.9. Amortizaión on intereses fraionados

Laoperaióndeamortizaiónonsta deunaprestaiónúnia

C

0

yunaontraprestaión múltiple formada por

n

términos amortizativos.

El fraionamiento de intereses onsiste en dividir ada uno de los intervalos de

n

en

m

subperíodos, sustituyendo en este aso la orrespondiente uota de intereses

I

s

on venimiento en

s

porlas

m

uotasdeinterés onvenimientoalnaldeadauno delos respetivos subperíodos de

m

, siendo

i

(

m

)

el rédito orrespondiente al subperíodo. En

onseuenia, adatérmino

a

s

,queda sustituidopor el onjunto de

m

términos

a

s m

. Se trataen realidaddelaamortizaión de

C

0

mediante

n m

términos amortizativos, de tal forma que es nula la uota de amortizaión de todos los términos que oupan un

lugar nomúltiplo de

m

.

Para la obtenión del uadro de amortizaión on fraionamiento en el pago de los

intereses,elnúmero delassemultipliará por

m

parareoger lasituaión deada una de lasvariables enlos nuevospuntos de venimiento.

7.10. Carenia e interés variable

7.10.1. Carenia

El período de arenia

t

onstituye un tiempo en elque no se produe laamortizaión delpréstamo.

La arenia puede ser total, período en el ual no se abona ninguna antidad y los

interesesquesegeneransesumanalapitalparaamortizarsealnaldelamisma.Eneste

aso,ladeudaseveinrementadaporlosinteresesapitalizadosaltipoorrespondiente.

C

0

=

C

0

(1 +

i)

t

En laareniaparial, máshabitual, seabonan solo losintereses duranteel período de

lamisma.

Al nalizar el período de arenia, el préstamo se amortiza on normalidad según el

métodoaordado. Elvalor dela deudaal naldelaarenia semantiene.

C

0

=

C

0

7.10.2. Tipo de interés variable

En el merado de préstamos, onoido también omo lending existen operaiones

a tipo jo, si bien lo habitual es que el tipo de interés sea variable, revisable o una

ombinaión deambos.

Enestospréstamos,lasentidadessuelenjareltipodeinterés sobreuníndienaniero

(el Euribor, IRPH,et.)que denominamos

i

b

alque selesuma un diferenialspread

i

s

que varía entre entidades y lientes y jan una feha periódia (anual o semestral) de

revisióndeltipode interés.

(18)

Enonseuenia,hablaremosde

i, i

, i

′′

,

· · ·

, i

k

omodiferentestiposdeinterésapliables

a laoperaión naniera.

En laoperaión a tipo variable, semaran fehasde revisión(anual,semestral, et.) en

las que el tipo de interés apliable se ajusta on el nuevo

i

b

publiado en el merado. Con el nuevo tipo resultante, a partir del apital pendiente

C

s

a la feha se rehae el uadrode amortizaión, alulando lanueva uota.

En elmomento

s

,el nuevo término amortizativo

a

,sería:

C

s

=

a

s

+1

(1 +

i)

1

+

a

s

+2

(1 +

i)

2

+

· · ·

+

a

n

(1 +

i)

n

+

s

=

n

X

h

=

s

+1

a

h

(1 +

i)

h

+

s

C

s

=

n

X

h

=

s

+1

a

h

(1 +

i)

h

+

s

(7.28)

Elegir entre un préstamo a tipo jo o variable depende del perl del tomador y de su

apaidadparanegoiar,aunqueendeterminadosasoslasondiionesvienenimpuestas

yno sonnegoiables.

Una segunda opión podría ser mantener el término amortizativo onstante, pero

au-mentar o disminuir el número de períodos. En este aso, obtendríamos el número de

períodosde laexpresión anterior.

7.11. Valor naniero del préstamo, del usufruto y de la

nuda propiedad

En una operaión de amortizaión de prestaión y ontraprestaión en base a una ley

naniera,puedeestableerseenunmomento

s

laonvenieniaonodeunaresisión an-tiipadadelaoperaiónotransfereniaatereraspersonasdelosderehosuobligaiones

futuras.

En base a esto, denimos el valor naniero del préstamo en un determinado punto

s

omo el valor atualizado de los términos futuros alulado on una ley naniera externa.

El valor naniero en

s

de ada uno de estosderehos pariales, en basea lanueva ley de valoraión reibe elnombrede valor naniero del usufruto yvalornaniero dela

nuda propiedad.

El valor naniero delusufruto,

U

s

,es elvalor atual de los intereses pendientes

I

r

al nuevo tipo deinterés de merado

i

h

,

U

s

=

I

r

1

(1 +

i

h

)

+

I

r

2

(1 +

i

h

)

2

+

· · ·

+

I

r

(1 +

i

h

)

n

r

=

n

X

r

=

s

+1

I

r

(1 +

i

h

)

r

s

U

s

=

n

X

r

=

s

+1

C

r

1

i

r

r

Y

n

=

s

+1

(1 +

i

h

)

1

El valor naniero de la nuda propiedad,

N

s

, es el resultado de atualizar al tanto de merado

i

h

todaslas uotasde amortizaiíon

A

r

pendientes,

N

s

=

A

r

1

(1 +

i

h

)

+

A

r

2

(1 +

i

h

)

2

+

· · ·

+

A

r

(1 +

i

h

)

n

r

=

n

X

r

=

s

+1

A

r

(1 +

i

h

)

r

s

(19)

N

s

=

n

X

r

=

s

+1

A

r

r

Y

n

=

s

+1

(1 +

i

h

)

1

siendoelvalornanierodelpréstamooplenodominio,lasumadelosvaloresnanieros

delusufruto yde lanuda propiedad, estoes:

a

r

=

I

r

+

A

r

,

V

s

=

U

s

+

N

s

que representa la antidad que el deudor tendrá que pagar para anelar la deuda o,

desdeelpuntodevistadelprestamista,loquedebería reibirportransferirlosderehos

futuros queelpréstamo supone enlas ondiiones atualesdel merado.

7.11.1. Caso partiular. La fórmula de Ahard

Si los réditos periodales de laoperaión sononstantes e iguales respetivamente a

i

e

i

,lasexpresiones delapitalvivo,valordelpréstamo, usufrutoynudapropiedaden

s

, serían:

La uantíadelapital vivo,

C

s

=

n

X

r

=

s

+1

a

r

(1 +

i)

(

r

s

)

elvalor naniero delpréstamo,

V

s

=

n

X

r

=

s

+1

a

r

(1 +

i

)

(

r

s

)

elvalor naniero delusufruto,

U

s

=

n

X

r

=

s

+1

C

r

1

i(1 +

i

)

(

r

s

)

yelvalor naniero delanuda propiedad,

N

s

=

n

X

r

=

s

+1

A

r

(1 +

i

)

(

r

s

)

En estasondiiones,elvalorde

V

s

y

N

s

verian lasiguienterelaión:

U

s

=

i

i

î

C

s

− N

s

ó

(7.29)

denominadafórmula deAhard.

La fórmulade Ahard permiteplantear unsistema de doseuaiones lineales que

rela-ionan losuatro valoresbásios:

V

s

=

U

s

+

N

s

U

s

=

i

i

î

C

s

− N

s

ó

(7.30)

Alsustituir lasegundaeuaión en laprimera:

V

s

=

i

i

î

C

s

− N

s

ó

+

N

s

(7.31)

(20)

7.11.2. Apliaión a los métodos de amortizaión más utilizados

Préstamo ameriano

En basealafórmulade Ahard yMakehampueden obtenerselos valores:

C

s

=

C

0

N

s

=

C

0

(1 +

i

)

(

n

s

)

U

s

=

C

0

i

a

n

s i

=

i

i

î

C

0

− N

s

ó

V

s

=

C

0

i

a

n

s i

+

C

0

(1 +

i

)

(

n

s

)

Préstamo franés En esteaso,

C

s

=

a

a

n

s i

V

s

=

a

a

n

s i

ya travésdelsistema(7.29 ) sedeterminarán

U

s

y

N

s

U

s

=

i

Ä

V

s

C

s

ä

i

i

=

i a

Ä

a

n

s i

a

n

s i

ä

i

i

sidespejamos

N

s

,

N

s

=

i C

s

i

V

s

i

i

=

a

Ä

i

a

n

s i

i

a

n

s

)

i

ä

i

i

Préstamo on uota de amortizaión onstante

Porser

A

s

=

A

=

C

0

n

paratodo

s

,

C

s

= (n

s)

A

y

N

s

=

A

a

n

s i

Apliandolafórmulade Ahard, seobtiene

U

s

U

s

=

i

i

î

(n

s)

A

A

a

n

s i

ó

=

A

i

i

î

(n

s)

a

n

s i

ó

y

V

s

=

U

s

+

N

s

Ejemplo7.9 Seonedeunpréstamode100000

e

paraseramortizadoen10añosal5%.Sial iniiodelquintoañoeltipodeinterésdelmeradoesdel7%,determinarelvalordelpréstamo,

del usufruto y de la nuda propiedad en los supuestos de que sehayaapliado el método de

amortizaiónameriano,franésodeuotadeamortizaiónonstante.

Métodoameriano,

(21)

U

4

= 100 000

·

0

,

05

·

a

10

4 0

,

07

U

4

= 100 000

·

0

,

05

·

4

,

766540 = 23 832

,

70

N

4

=

C

0

(1 + 0

,

07)

(10

4)

= 66 634

,

22

V

4

=

U

4

+

N

4

= 23 832

,

70 + 66 634

,

22 = 90 466

,

92

Métodofranés,

100 000 =

a

a

10 0

,

05

a

= 12 950

,

46

C

4

= 12 950

,

46

a

10

4 0

,

05

= 65 732

,

55

V

4

= 12 950

,

46

a

10

4 0

,

07

= 61 728

,

88

V

s

=

U

s

+

N

s

U

s

=

i

i

C

s

− N

s

)

61 728

,

88 =

U

4

+

N

4

U

4

=

0

,

05

0

,

07

65 732

,

55

− N

4

61 728

,

88

46 951

,

82

0

,

285714

=

N

4

= 51 719

,

71

61 728

,

88

51 719

,

71 =

U

4

= 10 009

,

17

Métododeuotadeamortizaiónonstante,

C

4

= (10

4)

100 000

10

= 60 000

N

4

= 10 000

a

10

4 0

,

07

= 47 665

,

40

U

4

=

0

,

05

0

,

07

6

·

10 000

10 000

a

10

4 0

,

07

=

0

,

05

0

,

07

60 000

47 665

,

40

= 8 810

,

43

V

4

=

U

4

+

N

4

= 8 810

,

43 + 47 665

,

40 = 56 475

,

83

Ejeriios propuestos

Ejeriio 7.1 Unpréstamode10000

e

queseamortizamediantereembolsoúnioalos8años auninterésdel6%,esreembolsadoenparteporentregadelprestatarioalos4añospor5000

e

. Determinarelsaldo areedoralvenimientodelmismoenlossiguientesasos:

1. Elareedoraeptaelmismo tipodeevaluaión,

2. Eltipodeinterésdelmerado,semodiaal5%

Soluión: 1)

96

26

,

10

2)

92

67

,

96

Ejeriio 7.2 Un préstamo de20000

e

amortizablemediante reembolso únio alos10 años, onuninteresesanualal12%,quiereanelarsealos5años.Sepidelaantidadqueanelael

préstamosieltipovigenteenelmeradoendihomomentoesdel10%.

Soluión:

C

5

=3

85

69

,

75

Ejeriio 7.3 Seobtieneunpréstamode10000

e

amortizablemediantereembolsoúnioalos 10años, onpagoanualdeinteresesal10%.Si alos4años, despuésdepagarlosintereses,el

prestatario hae una entrega parial de 2500

e

. Determinar el saldo en dihomomento, si el tanto deinterésvigente enelmeradoesdel8%.

Soluión:

C

4

=8

37

2

,

88

(22)

Ejeriio 7.4 ¾Aquétipodeinteréssehadeprestarunapital

C

0

paraqueen

n

añoselvalor delaontraprestaiónsea

k

veeseldel préstamo?Apliarelresultadopara

k

= 3

y

n

= 12

.

Soluión:

i

=

k

1

n

1

i

=0

,

09

58

73

Ejeriio 7.5 Construireluadrodeamortizaióndeunpréstamode5000

e

pagaderoenino plazossemestrales,siendoeltiponominaldelaoperaióndel10%ylasuotasdeamortizaión

semestralonstantes.

Ejeriio 7.6 Formareluadrodeamortizaióndeunpréstamode10000

e

amortizableen8 años,onabonodeinteresesal10%yamortizablemediantetérminosonstantes.

Ejeriio 7.7 Sedesea amortizaren20 añosunpréstamo de150000

e

mediante anualidades onstantes,valoradoal5%anual,sepidedeterminar:

1. Laanualidad,

2. Elapitalamortizadodespuésdelpagodelaotavaanualidad,

3. Cuotadeinterésdelaño10,

4. Cuotadeamortizaióndel año14,

5. Deudapendientealomienzodel año16.

3)

I

10

=4

99

8

,

96

4)

A

14

=8

55

4

,

04

5)

C

16

=5

21

11

,

26

Soluión: 1)

a

=1

20

36

,

39

2)

M

8

=4

33

18

,

46

Ejeriio 7.8 Elbano onedeunpréstamode10000

e

al5%.Suamortizaiónsehará me-diante la entrega de 10 pagos anuales iguales, teniendo lugar el primero a los tres años de

efetuadoelpréstamo.Determínese:

1. Laanualidad,

2. Sielprestatariodespuésdesatisfehalauartaanualidad,pretendesustituirelrestodel

reembolsomediante una entrega úniasatisfehadosaños después,uálsería lauantía

deestaentrega. Soluión: 1)

a

=1

42

7

,

79

2)

C

s

=7

98

9

,

82

Ejeriio 7.9 Formar el uadro de amortizaión por el método franés de un préstamo de

35000

e

onertadoal6,5%aamortizarensieteaños.

Ejeriio 7.10 Seonedeunpréstamode50000

e

paraamortizarseporelmétodoameriano onfondeodeamortizaióneninoañosaltipodeinterésdel6,5% anual.

El deudor onierta por otra parte un fondo de reonstituión, por la misma duraión, a un

tipode interes del 5% anual, omprometiéndosea depositaral nal de ada año la antidad

onstanteneesariaparaformarelprinipalperibidoenpréstamo.Determinarlauantíadela

misma. Soluión:

F

=9

04

8

,

74

Ejeriio 7.11 Unasoiedadobtieneunpréstamode20000

e

,quedeberáamortizarmediante 6anualidadesvenidas,siendo eltipodeinterés del 5% paralos primerostresaños y del6%

paralosrestantes.Sepideonfeionareluadrodeamortizaión.

Soluión:

a

1

=3

94

0

,

35

a

2

=4

01

4

,

40

(23)

Ejeriio 7.12 Se obtiene un préstamo de 40000

e

, al 6%, se pide determinar el uadro de amortizaióndelmismoenlossiguientes asos:

1. Operaiónontratadaa6años,amortizablemedianteanualidadesonstantes,

2. Operaiónontratadaa6años,amortizablemedianteuotasonstantes.

Ejeriio 7.13 Se reibe un préstamo hipoteario de 120000

e

que setiene que devolveren 30años medianteanualidadesonstantes, altipoefetivoanualdel6% yonunaomisiónde

aperturadel1%.Obtener:

1. Anualidad,

2. Cuotasdeamortizaióndel año3y20,

3. Capitalamortizadoalnaldelaño12,

4. Cuotasdeinterésorrespondientesalquinto yúltimoaño,

5. Capitalpendientealtérminodel séptimoaño,

6. Confeionaeluadrodeamortizaiónorrespondientealosperíodos14a18,

7. Tantoefetivoparaelprestatario.

5)

C

7

=1

07

25

9

,

25

7)

i

=6

,

09

%

3)

M

12

=2

56

06

,

37

4)

I

5

=6

80

1

,

59

I

30

=4

93

,

46

Soluión: 1)

a

=8

71

7

,

87

2)

A

3

=1

70

5

,

48

A

20

=4

59

2

,

46

Ejeriio 7.14 Seoniertaunpréstamoa20añosde160000

e

onpagosmensualesigualesa uninterésdel5%nominalanualyun1,25%degastosiniialesorrespondientesalaapertura.

Obtener:

1. Mensualidad,

2. Capitalamortizadoenlosdosprimerosaños,

3. Cuotadeinterésorrespondienteala8. a

mensualidad,

4. Capitalpendienteunavezpagadaslasmensualidadesdelos10primerosaños,

5. Mensualidad del mes 14 en el supuesto de que el tipo de interés se hayamodiado al

5,25%,

6. Tantoefetivoparaelprestatario.

4)

C

12

0

=9

95

54

,

38

5)

a

=1

07

7

,

16

6)

i

=5

,

27

%

Soluión: 1)

a

=1

05

5

,

93

2)

M

24

=9

80

3

,

93

3)

I

8

=6

55

,

17

Ejeriio 7.15 ¾Cuálesladeudaaliniiodelquintoañodeunpréstamode100000

e

a5años onpagosmensualesal4% deinterés?

Soluión:

C

48

=2

16

28

,

33

Ejeriio 7.16 Al soliitarun préstamode 10000

e

adevolveren3 añospara laadquisiión deunvehíulo,reibimoslasiguienteoferta:nosentregan11000

e

adevolver345

e

mensuales. Determinareltipodeinterésnominal delaoperaión.

Soluión:

j

(1

2)

=8

,

06

%

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