CAPITULO IV. Modulación Exponencial de Onda Continua. I.E. Evelio Astaiza Hoyos

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CAPITULO IV

Modulación Exponencial de

Onda Continua

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I.E. Evelio Astaiza Hoyos

Modulación de Fase y Frecuencia

(Señales de FM y PM) (1)

Considérese una señal con envolvente constante pero con fase variable en el tiempo, luego

definiendo el ángulo total instantáneo como se puede expresar

Si contiene la señal mensaje se tiene un proceso en el cual la relación existente entre y no es lineal, por ello a este tipo de modulación se lo denomina modulación angular o exponencial.

Para un caso particular como la modulación de fase PM, se define

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Modulación de Fase y Frecuencia

(Señales de FM y PM) (2)

Luego

ecuación el la cual se puede apreciar que la fase instantánea varía directamente con la señal moduladora; la constante representa el máximo desplazamiento de fase producido por , manteniendo la condición de normalización , y estableciendo como límite superior , se limita a al rango . La limitación es análoga a la restricción

para AM, luego se lo denomina indice de modulación de fase o simplemente desviación de fase. En la siguiente gráfica

se compone de una constante rotacional mas un desplazamiento angular relativo luego la tasa de rotación expresada en ciclos por segundo será

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Modulación de Fase y Frecuencia

(Señales de FM y PM) (3)

donde

y se denomina frecuencia instantánea de

En el caso de modulación de frecuencia FM, la frecuencia instantánea de la señal modulada se define como

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Modulación de Fase y Frecuencia

(Señales de FM y PM) (4)

Luego varia de manera proporcional con la señal modulante, la constante de proporcionalidad se denomina desviación de frecuencia, y representa la máxima desviación de con respecto a la frecuencia de portadora El límite superior

garantiza que y para preservar la naturaleza de señal pasabanda de se necesita que , de acuerdo a las ecuaciones anteriores se tiene que en una señal modulada en FM e integrándose se produce una señal modulada en fase

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Modulación de Fase y Frecuencia

(Señales de FM y PM) (5)

Por lo tanto la señal modulada en FM se expresa como

luego al comparar la señal modulada en FM con la señal modulada en PM se visualizan unas diferencias muy pequeñas, y la diferencia esencial es la integración de la señal mensaje en FM

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Modulación de Fase y Frecuencia (FM

y PM de Banda Estrecha) (1)

Representando la señal modulada como la suma de componente en fase y cuadratura tenemos

donde

estableciendo la condición tenemos

lo cual facilita el calcular el espectro de la señal modulada , en términos del espectro de la señal mensaje

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Modulación de Fase y Frecuencia (FM

y PM de Banda Estrecha) (2)

Luego donde

ecuaciones de las cuales se puede concluir que si la señal mensaje tiene un ancho de banda luego será una señal pasabanda con ancho de banda

Lo cual es válido bajo la condición , para valores grandes de los términos no pueden ser ignorados, luego se incrementará el ancho de banda de .

Por ello este tipo de señal modulada se denomina FM de banda estrecha (NBFM) y PM de banda estrecha (NBPM)

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Modulación de Fase y Frecuencia

(Modulación de un Tono) (1)

El estudio de FM y PM de un tono, puede ser llevado a la diferencia simple de 90°en los tonos de modulación, luego

por lo tanto de acuerdo a la forma de la señal modulada se tiene donde

por lo tanto el parámetro sirve como índice de modulación para el caso de modulación de un tono, para PM es igual a la máxima desviación de fase y proporcional a la amplitud del tono de modulación. Para FM es inversamente proporcional a la frecuencia del tono de modulación porque al integrar

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Modulación de Fase y Frecuencia

(Modulación de un Tono) (2)

se obtiene La modulación de un tono dado que es modulación de banda estrecha requiere que y la ecuación de la señal modulada se simplifica a

y observando el espectro y diagrama fasorial tenemos

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Modulación de Fase y Frecuencia

(Modulación de un Tono) (3)

Para determinar la línea de espectro con un valor arbitrario de índice de modulación, se realiza la aproximación de banda estrecha y se tiene

y aunque no sea periódica, los términos y son periódicos y pueden ser expandidos en series de Fourier con luego

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Modulación de Fase y Frecuencia

(Modulación de un Tono) (4)

y tenemos que

los coeficientes son las funciones de Bessel de primera clase de orden n y argumento .

Sustituyendo y en la ecuación de la señal modulada se tiene

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Modulación de Fase y Frecuencia

(Modulación de un Tono) (5)

y dado que se tiene que

expresión que representa una señal de amplitud constante cuya frecuencia instantánea varía senoidalmente.

Analizando la expresión para la señal modulada de FM se tiene que el espectro de FM consiste de una línea correspondiente a la componente de frecuencia de portadora mas un número infinito de líneas correspondientes a las bandas laterales, donde todas las líneas se encuentran igualmente espaciadas, donde las componentes impares de bajo orden de las bandas laterales presentan inversión de fase de acuerdo a la frecuencia de portadora sin modular.

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Modulación de Fase y Frecuencia

(Modulación de un Tono) (6)

La gráfica muestra el espectro de un tono modulado en FM

donde se observa que las componentes de frecuencia pueden ser despreciables siempre que

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Modulación de Fase y Frecuencia

(Modulación de un Tono) (7)

Las figuras muestran las funciones de Bessel de diferentes ordenes

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Modulación de Fase y Frecuencia

(Modulación de un Tono) (8)

Orden variable argumento fijo

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Modulación de Fase y Frecuencia

(Modulación de un Tono) (9)

De las gráficas anteriores se pueden deducir las siguientes propiedades.

1. La amplitud relativa de la línea espectral correspondiente a la

portadora varía con el índice de modulación por lo tanto depende de la señal modulante; sin embargo la línea de portadora del espectro puede ser cero , esto sucede cuando y así según la gráfica anterior.

2. El número de líneas de espectro de las bandas laterales que

presentan amplitud significativa depende de

3. Valores grandes de implica un gran ancho de banda requerido

para acomodar las bandas laterales, de acuerdo que mayor cantidad de líneas de espectro tendrán amplitudes significativas.

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Modulación de Fase y Frecuencia

(Modulación de un Tono) (10)

La siguiente tabla muestra valores de redondeados a dos cifras decimales, los espacios en blanco corresponden a valores en los que

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Modulación de Fase y Frecuencia

(Modulación de un Tono) (11)

La siguiente figura muestra las líneas de espectro de una señal modulada de acuerdo a las amplitudes dadas por la tabla anterior, la parte a _{de la figura presenta a incrementando mientras es}

constante y aplica tanto si la señal es modulada en FM o PM. La parte b _{aplica solamente para FM e ilustra el efecto del incremento}

de por decremento de mientras permanece constante. Las líneas punteadas muestran la concentración de líneas de espectro con amplitud significativa en el rango

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Modulación de Fase y Frecuencia

(Modulación de un Tono) (12)

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Modulación de Fase y Frecuencia

(Modulación de un Tono) (13)

Una interpretación fasorial de envolvente y fase de la señal modulada a partir de la portadora y el primer par de líneas espectrales de las bandas laterales es

donde se observa que la variación de fase es aproximadamente la deseada, pero hay una variación adicional de amplitud a el doble de la frecuencia de la señal modulante, lo cual se corrige introduciendo las líneas espectrales de segundo orden de las bandas laterales, las cuales rotan hacia relativo a la portadora, pero se introduce distorsión de fase.

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Modulación de Fase y Frecuencia

(Modulación de un Tono) (14)

La distorsión de fase puede corregirse introduciendo las líneas espectrales de tercer orden de las bandas laterales, pero se introduce nuevamente distorsión de amplitud y de esta manera hasta infinito, lo cual se ilustra en la siguiente figura.

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Ejemplo (1)

Sea transmitida la señal modulada en FM de banda angosta para calcular la frecuencia instantánea se deriva

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Ejemplo (2)

Hay dos formas para calcular por NBFM con tono de modulación se conoce que

desde que

luego se puede observar que

La otra forma es calcular como

por lo tanto de se obtiene que

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Ejemplo (3)

y , por lo tanto

luego las líneas de espectro tienen la forma en la siguiente figura

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Modulación Multitono y Periódica (1)

Sea

donde f₁ y f₂ no son armónicamente relacionados, la señal modulada puede describirse como

donde

y así sucesivamente, términos de la forma

son expandidos de la forma

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Modulación Multitono y Periódica (2)

Llegando a una expresión para la señal modulada de la forma

para interpretar esta expresión, las líneas espectrales pueden ser divididas en cuatro categorías,

1. La portadora de amplitud

2. Líneas de bandas laterales a frecuencias debidas a uno de los dos tonos de la señal.

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Modulación Multitono y Periódica (3)

3. Líneas de bandas laterales a frecuencias debidas a uno de los dos tonos de la señal.

4. Líneas de bandas laterales a frecuencias debidas a los armónicos de las dos frecuencias.

El espectro de una señal de dos tonos modulada para y para se muestra en la siguiente figura

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Modulación Multitono y Periódica (3)

Cuando los tonos están armónicamente relacionados, significa que en una forma de onda periódica, luego es periódica y también lo es , entonces puede ser expandido en series de fourier con coeficientes

donde

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Ancho de Banda de Transmisión (1)

De acuerdo a que cae rápidamente para mas si Presumiendo que el índice de modulación es grande se puede decir que es significativa solo para

por lo tanto todas las líneas de espectro significativas se encuentran en el rango de frecuencias

Pero, si el índice de modulación es pequeño, entonces todas las líneas de las bandas laterales serán pequeñas comparadas con la portadora, por ende cuando , pero se debe recordar que se deben mantener por lo menos el primer par de líneas espectrales de las bandas laterales, pues de lo contrario no se tendría modulación de frecuencia, luego para un valor pequeño de las líneas espectrales están contenidas en el rango de frecuencias

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Ancho de Banda de Transmisión (2)

Luego, todas las líneas de espectro significativas tienen una magnitud relativa , donde se encuentra en el rango de 0.01 a 0.1 de acuerdo a la aplicación.

Luego, si y hay M pares de líneas espectrales significativas de las bandas laterales; por lo tanto el ancho de banda de la señal modulada puede expresarse como

siempre que las líneas espectrales se encuentren espaciadas y M dependa del índice de modulación , pero el ancho de banda B no es el ancho de banda de transmisión B_T, más aún, es el mínimo ancho de banda requerido para un tono de amplitud y frecuencia específica.

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Ancho de Banda de Transmisión (3)

Para estimar B_T se debe calcular el máximo ancho de banda requerido cuando los parámetros del tono se encuentran restringidos por y para ello se requiere que

luego

y el tono que produce el máximo ancho de banda es aquel en el cual y por consiguiente en el peor de los casos el ancho de banda de transmisión será igual a

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Ancho de Banda de Transmisión (4)

Extrapolando los resultados obtenidos para modulación de un tono hacia la modulación de cualquier señal arbitraria, definiendo la tasa de desviación como

la cual es igual a la máxima desviación dividida entre la máxima frecuencia modulante, luego en el peor de los casos

teniendo para valores extremos de tasa de desviación que

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Ancho de Banda de Transmisión (5)

La anterior expresión es conocida como la regla de Carlson, sin embargo en la mayoría de los sistemas comerciales de FM se tiene que 2 < D < 10, para lo cual una mejor estimación es dada por

Realizando un proceso análogo para PM se tiene que

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Distorsión Lineal (1)

Sea una señal pasabanda modulada exponencialmente que es la entrada a un sistema lineal con función de transferencia

produciendo la salida

la amplitud constante de la señal permite escribir su equivalente pasabajo como

donde contiene la información del mensaje, luego en términos de el espectro de salida pasabajos es

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Distorsión Lineal (2)

Luego la señal de salida del sistema es

para casos en los cuales la función de transferencia del sistema lineal presenta ganancia igual a a la frecuencia , la cual se incrementa o decrementa linealmente con pendiente

el desplazamiento de fase corresponde al retardo de la portadora y al retardo de grupo

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Distorsión Lineal (3)

Luego el equivalente pasabajo de es

por lo tanto

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Distorsión Lineal (4)

De donde se tiene que la señal de salida es de la forma con

en el caso de una señal de entrada FM se tiene

expresion en la cual se observa que la envolvente de la señal de salida del sistema tiene la forma de una señal modulada en AM con

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Distorsión Lineal (5)

Conversión de FM a AM no representa un problema considerable para señales moduladas en FM o PM, siempre que no sufra retardos en tiempo, mas si la distorsión es no lineal por ende debe ser ecualizada para mantener la información.

Si varía lentamente comparada con luego, luce mas o menos como u sinusoide a la frecuencia

y la salida del sistema es

y dado que presenta una variación lenta de frecuencia, luego

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Distorsión Lineal (6)

Para realizar la aproximación anterior se requiere que

expresión en la cual para un tono modulado con , si representa un filtro pasabanda con un ancho de banda en los puntos de 3dB igual a B, el segundo término de la expresión es igual a y la condición sería

lo cual satisface

Ahora, se supone que el retardo de fase es no lineal tal que donde es constante, luego sustituyendo

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Distorsión No Lineal (1)

Sea la señal la entrada al sistema

donde y es la amplitud, presumiendo que el elemento no lineal es sin memoria, lo cual significa que no almacena energía, entonces la señal de entrada y salida se relacionan por una función instantánea característica de transferencia y asumiendo por conveniencia que

, a pesar que no es necesariamente una función periódica del tiempo, puede ser vista como una función periódica de con periodo , de la misma manera la salida es una función periódica de , luego puede ser expandida en series de

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Distorsión No Lineal (2)

Luego

donde

considerando el caso de una señal de FM no distorsionada a la entrada, y descomponiendo la serie se tiene que

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Distorsión No Lineal (3)

La expresión anterior revela que la distorsión no lineal produce ondas adicionales de FM o armónicos de la frecuencia de la portadora, el n-ésimo armónico tiene amplitud constante y modulación de fase mas una constante de desplazamiento de fase

Si las ondas resultantes no se traslapan en el domino frecuencia, la señal de entrada sin distorsión puede ser recuperada a partir de filtrado; retornando a la señal de FM con variaciones indeseadas de amplitud, las cuales pueden ser aplanadas con un limitador se tiene que

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Distorsión No Lineal (4)

Su función característica de transferencia y circuito son

luego la salida se describe de la forma

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Distorsión No Lineal (5)

y los coeficientes son calculados como

los cuales son independientes del tiempo porque por lo tanto no afecta el signo de luego

posteriormente se puede realizar un filtrado pasabanda para obtener la señal de FM de amplitud constante deseada siempre y cuando las componentes de no traslapen su espectro.

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Generación y Detección de FM y PM

(FM Directa y VCOs) (1)

FM directa requiere solamente de un oscilador controlado por voltaje o VCO, cuya frecuencia de oscilación depende linealmente del voltaje de entrada, esto es posible de obtener introduciendo elementos de reactancia variable como parte de un circuito resonante LC y un oscilador como se muestra en la figura

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Generación y Detección de FM y PM

(FM Directa y VCOs) (2)

Si la capacitancia equivalente tiene una dependencia del tiempo de la forma

y si es lo suficientemente pequeño y lento en sus cambios, luego el oscilador produce una salida de la forma

donde

siendo

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Generación y Detección de FM y PM

(FM Directa y VCOs) (3)

La expansión en serie binomial resulta en

lo cual resulta en una modulación de frecuencia con siempre que

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Generación y Detección de FM y PM

(PM y FM Indirecta) (1)

La figura muestra un modulador de fase de banda estrecha de acuerdo a la expresión de la señal modulada

El cual es depende de la aproximación y desviaciones de fase superiores a 10° derivan en distorsión de la señal modulada.

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Generación y Detección de FM y PM

(PM y FM Indirecta) (2)

Para grandes desplazamientos de fase puede utilizarse el modulador del siguiente diagrama

en este el integrador y el modulador de fase constituyen un modulador de FM de banda angosta, el cual genera una señal inicial NBFM con frecuencia instantánea

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Generación y Detección de FM y PM (PM y

FM Indirecta) (3)

Donde T es la constante de proporcionalidad integrativa, por consiguiente la desviación inicial de frecuencia es la cual se debe incrementar hacia el valor deseado por el multiplicador de frecuencia, dado que este multiplica la frecuencia instantánea por n luego

donde

el proceso de multiplicación afecta el rango de variación de frecuencia pero no la tasa, de acuerdo a que incrementa la frecuencia de la portadora y el índice de modulación pero no la frecuencia de la señal de entrada, por lo cual la amplitud de las líneas de espectro de las bandas laterales se afecta, mas no el

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Detección de Frecuencia (1)

Un detector de frecuencia también llamado discriminador, produce una salida de voltaje que puede variar linealmente con la frecuencia instantánea de la entrada, estos pueden ser implementados de acuerdo a una de las siguientes categorías

• Conversión de FM a AM

• Discriminación de desplazamiento de fase

• Detección de cruce por cero

• Realimentación de frecuencia

Teniendo en cuenta que cualquier dispositivo cuya salida sea igual a la derivada de la entrada produce conversión de FM a AM.

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Detección de Frecuencia (2)

Luego, sea con

por lo tanto

y un detector de envolvente con entrada permite obtener una salida proporcional a

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Detección de Frecuencia (3)

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Detección de Frecuencia (4)

También se puede conseguir detección de FM a partir de circuitos discriminadores de desplazamiento de fase con respuesta lineal en fase, el principio fundamental de funcionamiento radica en la aproximación

asumiendo que es pequeño comparado con la variación de y conociendo que para una señal de FM luego el término puede ser obtenido a partir de un circuito de desplazamiento de fase lineal.

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Detección de Frecuencia (5)

La siguiente figura muestra el diagrama de un discriminador de desplazamiento de fase llamado detector de cuadratura, para el cual el retardo de grupo es y el retardo de portadora es tal que

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Detección de Frecuencia (6)

Luego el desplazamiento de fase es proporcional a

multiplicando por seguido de un filtrado pasabajos se obtiene una salida proporcional a

si es lo suficientemente pequeña tal que entonces

donde la constante de detección incluye a , a pesar de las aproximaciones, el detector en cuadratura proporciona mejor linealidad que el detector por conversión de FM a AM.

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Interferencia (Interferencia de

Sinusoides) (1)

Considere la señal recibida sintonizada a la frecuencia de portadora, donde la señal total recibida es

donde el primer término representa la señal deseada como una portadora no modulada, mientras el segundo término es una portadora interferente.

Representando de la forma envolvente fase tenemos con

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Interferencia (Interferencia de

Sinusoides) (2)

Donde

dada la representación fasorial

por lo tanto dos sinusoides interferentes producen modulación tanto de amplitud como de fase.

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Interferencia (Interferencia de

Sinusoides) (3)

De hecho si

lo cual hace lucir a la señal total como una señal modulada en frecuencia o fase con índice de modulación y a la vez modulada en AM a la frecuencia con

Por otra parte si

donde la envolvente continua presentando modulación de tono, pero la fase corresponde a una portadora desplazada en frecuencia mas una constante

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Interferencia (Interferencia de

Sinusoides) (4)

Ahora, introduciendo la señal recibida a un demodulador ideal de AM, FM o PM para el caso de

si , el término constante en la señal recibida de AM puede ser removido utilizando un circuito de bloqueo de DC, el factor multiplicador en el caso de FM, proviene de la desviación instantánea de frecuencia

Por lo tanto, una interferencia débil en un sistema de modulación lineal o de fase, produce un tono de salida espúrea con amplitud proporcional a independiente de , pero la amplitud del tono es proporcional a en un sistema de FM.

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Interferencia (Interferencia de

Sinusoides) (5)

Por lo tanto, FM es menos vulnerable a la interferencia co-canal, en la cual las frecuencias de portadora son las mismas y

pero mas vulnerable a la interferencia de canal adyacente en la cual

La gráfica muestra la amplitud de la interferencia demodulada vs donde el punto de cruce se encuentra a

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Red de Pre-énfasis De-énfasis (1)

Dado que una señal recibida de FM es mas afectada por la interferencia si es grande, luego se requiere mejorar el desempeño del sistema a través de un filtrado postdetección llamado filtrado de de-énfasis.

Para ilustrar esto, supóngase que el demodulador es seguido por un filtro pasabajos con una tasa de amplitud que decrementa gradualmente por debajo de W, luego el detector tendrá la forma

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Red de Pre-énfasis De-énfasis (2)

Luego, dado que el filtro de de-énfasis atenúa las componentes de alta frecuencia del mensaje y esto causa distorsión, se debe compensar a través de una red de predistorsión o red de pre-énfasis después de haber modulado la señal. Las características de los filtros de pre-enfasis y de-enfasis deben estar relacionadas por

para producir transmisión sin distorsión. El filtro de de-énfasis de FM es usualmente un filtro de primer orden en el cual

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Red de Pre-énfasis De-énfasis (3)

Donde el ancho de banda de 3dB es mucho menor que el ancho de banda del mensaje, dado que la interferencia aumenta linealmente con , en ausencia de filtrado la respuesta en frecuencia de la interferencia al salir de la red de de-énfasis es

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Red de Pre-énfasis De-énfasis (4)

En el extremo transmisor, el filtro de pre-énfasis debe tener una respuesta en frecuencia de la forma

el cual presenta un efecto despreciable para las bajas frecuencias, sin embargo a altas frecuencias el filtro se comporta como diferenciador y el espectro de salida es proporcional a

para .

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