Capitulo 4 Modelo RBC con trabajo constante

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Modelo RBC con trabajo constante

Hamilton Galindo galindo [email protected]

Este borrador: Julio 2015, enero 2017

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_Indice

1. Introducci´on 3

2. Construcci´on del modelo 3

2.1. Familias . . . 4

2.2. Empresas . . . 7

2.3. Equilibrio de mercado y definici´on del choque . . . 7

2.4. Ecuaciones principales . . . 8

3. Calibración 9 4. Estado estacionario 9 5. Log-linealización 12 5.1. Efecto sustitución y efecto ingreso de la tasa de interés . . . 16

6. Solución del sistema lineal: método de coeficientes indeterminados 23 6.1. Análisis de elasticidades . . . 25

7. Representaci´on de series de tiempo 29 7.1. Serie de tiempo del capital . . . 29

7.2. Serie de tiempo del producto . . . 30

7.3. Serie de tiempo del consumo . . . 31

7.4. Serie de tiempo de la tasa de inter´es real bruta . . . 31

7.5. Serie de tiempo de la inversi´on . . . 32

8. Funciones impulso-respuesta 32

9. Simulaci´on de las variables end´ogenas 40

10.Componente c´ıclico de las variables simuladas 42

11.C´alculo de los momentos te´oricos 42

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13.C´odigos 48

13.1. C´odigos en Matlab . . . 48

13.2. C´odigos en Dynare . . . 61

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_{Indice de figuras}

1. Esquema del modelo de oferta de trabajo constante . . . 4

2. Elasticidades (coeficientes de la soluci´on) . . . 29

3. Funci´on impulso-respuesta de las variables macroecon´omicas log-lineales . . 34

4. Efecto sobre la funci´on de producci´on . . . 35

5. Efecto sobre la demanda de capital . . . 36

6. Efecto sobre la oferta y demanda de capital . . . 37

7. Funci´on impulso-respuesta de las variables macroecon´omicas en niveles . . . 39

8. Funci´on impulso-respuesta (comparaci´on de las variables log-lineal vs en niveles) . . . 41

9. Simulaci´on de las variables macroecon´omicas log-lineales . . . 44

10. Aplicaci´on del filtro HP a las variables simuladas . . . 45

11. Distribuciones de la desviación estándar del modelo teórico . . . 46

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_{Indice de cuadros}

1. Sistema de ecuaciones no lineal del modelo . . . 8

2. Calibraci´on (valores base) . . . 9

3. Estado estacionario . . . 12

4. Ecuaciones log-lineal . . . 15

5. Ecuaciones log-lineal (sistema reducido) . . . 16

6. Coeficientes (elasticidades) de la soluci´on del modelo lineal . . . 26

7. Casos especiales . . . 30

8. Construcci´on de la funci´on impulso-respuesta del capital . . . 35

9. Valores de la funci´on impulso-respuesta (variales log-lineales) . . . 37

10. Simluaci´on del capital log-lineal . . . 42

11. Simulaci´on de la productividad y del capital (log-lineal) . . . 42

12. Simulaci´on de las variables macroecon´omicas log-lineales . . . 43

13. Comparaci´on del comportamiento c´ıclico del modelo te´orico con los datos empiricos . . . 47

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1. Introducci´

on

El objetivo de este cap´ıtulo es comprender detalladamente el proceso de construcción y solución de un modelo de ciclos económicos reales. Además, entender cómo se construye la simulación de las variables y cómo se obtiene la función impulo-respuesta. Para ello, en este cap´ıtulo, se analiza en detalle uno de los modelos propuestos por Campbell (1994).

El modelo base propuesto por Campbell (1994) es un modelo estacionario (sin ten-dencia), pero con crecimiento diferente de cero en el estado estacionario. Este modelo es un extensión del modelo de crecimiento estocástico, el cual permite rastrear los efectos dinámicos de cualquier evento aleatorio (choque).

No obstante, la solución del modelo estocástico es dif´ıcil principalmente por las no-linealidades que emergen del mismo modelo, las cuales se derivan de la interacción entre ele-mentos multiplicativos (función de producción Cobb-Douglas) y elementos aditivos (ley de movimiento del capital). Un caso especial es el modelo propuesto por Long y Plosser (1983), descrito en el cap´ıtulo 3. En ese modelo las no-linealidades desaparecen debido al supuesto no realista que la depreciación es total; es decir, la tasa de depreciación es igual a uno (δ= 1), y que además, la función de utilidad es logar´ıtmica (u(ct, ht) =lnct+θln(1−ht)). En este caso el modelo llega a ser lineal y puede ser resuelto anal´ıticamente; en los demás casos una “solución aproximada” es requerida.

En l´ınea con lo anterior, Campbell (1994) menciona que unpaper t´ıpico en la literatura RBC plasma el modelo y luego se mueve directamente a la discusión de las propiedades de solución, sin especificar como se llegó a dicha solución. Lo anterior no permite que el lector entienda el proceso para obtener dichas propiedades de solución, ni la solución en s´ı misma. Ante ello, el autor propone un enfoque anal´ıtico simple del modelo de crecimiento estocástico, cuya versión log-lineal puede ser resuelto anal´ıticamente para mostrar el me-canimo de solución lo más transparente posible. Con el fin de ilustrar el método de solución, Campbell (1994) lo aplica a cuatro modelos: [1] modelo con oferta ed trabajo fija, [2] mo-delo con oferta de trabajo variable y con función de utilidad aditivamente separable, [3] modelo con oferta de trabajo variable y con función de utilidad no aditivamente separable, y [4] el segundo modelo extendido con un choque de gasto público.

En este cap´ıtulo me centro en el primer modelo (oferta de trabajo constante), dejando para el siguiente cap´ıtulo el modelo con oferta de trabajo variable.

2. Construcci´

on del modelo

Este modelo está compuesto por familias y empresas en un entorno de econom´ıa ce-rrada, en la cual existe un único bien. Por un lado las familias tienen trabajo fijo; es decir, todas las familias están empleadas. Por otro lado las familias son dueñas del capital y por tanto demandan bienes para invertir lo cual a su vez crea una oferta de capital. Asimismo, las familias demandan bienes de consumo.

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Las empresas tienen un tecnolog´ıa para producir el ´unico bien en la econom´ıa en funci´on del capital. Por ello las empresas demandan capital. En la figura [1] se esquematiza el modelo.

Figura1: Esquema del modelo de oferta de trabajo constante

Familias Empresas 𝑘𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑘𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑦𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎 Mercado de capital (competencia perfecta) Mercado de bienes (competencia perfecta) Economía cerrada 2.1. Familias

En este modelo se asume que la econom´ıa está poblada por un conjunto de familias idénticas que tienen vida infinita. La familia representativa busca maximizar su función de utilidad descontada: Max {ct,kt+1}∞t=0 E0 ∞ X t=0 βtu(ct) (1)

Dondectes el consumo del periodotyβ es el factor de descuento. Además, la función de utilidad instantánea está descrita por la siguiente forma funcional:

u(ct) = c

1−γ t

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Propiedades de la funci´on de utilidad

La función de utilidad previa tiene un coeficiente de aversión al riesgo igual a γ y una elasticidad de sustitución intertemporal (del consumo)σ = 1/γ

C´alculo de ESI_tc₊₁_,t (σ): uct = c −γ t T M gSI_tc₊₁_,t = −Et uct βuct+1 =−Et cγ_t βcγ_t₊₁ ESI_tc₊₁_,t = ∂ln( ct+1 ct ) ∂ln(T M gSI_tc₊₁_,t) = T M gSIc t+1,t ct+1 ct 1 ∂T M gSIc t+1,t ∂ ct+1 ct = 1 γ

La elasticidad de sustitución intertemporal del consumo (σ) se entiende como la disposi-ción de la familia de sustituir consumo hoy (↓ct) por consumo de mañana (↑ct+1). Cuando

se dice que dicha elasticidad es fuerte (σ es grande), se entiende que el consumidor est´a dispuesto a reducir su consumo hoy en mayor cantidad.

De otro lado, se asume que la familia es dueña del capital f´ısico (kt), cuya dinámica de acumulación está representada por la ley de movimiento del capital:

kt+1= (1−δ)kt+it (3)

Dicho capital (kt) es alquilado a las empresas a una tasa de interés real rt. Este flujo (rtkt) positivo representa los ingresos de la familia, los cuales son distribuidos entre el consumo (ct) y la inversión (it). Esta equivalencia de flujos, para cada periodo de tiempo, está representada en la restricción presupuestaria.

ct+it=rtkt (4)

Problema de optimizaci´on

El problema de optimizaci´on de la familia representativa es el siguiente: Max {ct,kt+1}∞_t₌₀ E0 ∞ X t=0 βtc 1−γ t 1−γ sujeto a la restricci´on presupuestaria:

ct+kt+1−(1−δ)kt=rtkt

Donde la inversión (it) se ha reemplazado por su expresión derivada de la ley de movimiento del capital (ecuación (3)). Además, cabe mencionar que las variables de control, en este problema de optimización, son:ct ykt+1.

El problema de optimizaci´on de las familias puede ser escrito como una funci´on de La-grange: L=E0 ∞ X t=0 βt u(ct) +λt rtkt−(ct+kt+1−(1−δ)kt)

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Donde, de manera similar al capitulo 3 (modelo Lomg y Plosser (1983)), la versi´on extendida de la funci´on de Lagrange se puede expresar de la siguiente manera:

L = E0 β0u(c0) +λ0 r0k0−(c0+k1−(1−δ)k0) + β1u(c1) +λ1 r1k1−(c1+k2−(1−δ)k1) + β2u(c2) +λ2 r2k2−(c2+k3−(1−δ)k2) + β3u(c3) +λ3 r3k3−(c3+k4−(1−δ)k3) + β4 u(c4) +λ4 r4k4−(c4+k5−(1−δ)k4) + ...+ βtu(ct) +λt rtkt−(ct+kt+1−(1−δ)kt) + βt+1u(ct+1) +λt+1 rt+1kt+1−(ct+1+kt+2−(1−δ)kt+1) + ...+ ...

Las condiciones de primer orden, en el periodo “t” son: ∂L ∂ct = 0 =⇒E0 βtuct +λt(−1) = 0 uct =λt (5) ∂L ∂kt+1 = 0 =⇒E0 βt λt(−1)] +βt+1 λt+1(rt+1+ (1−δ)) = 0 λt=βEtλt+1(rt+1+ (1−δ)) (6)

Reemplazando le ecuación (5) en la ecuación (6) se obtiene la ecuación de Euler:

uct = βEtuct+1(rt+1+ (1−δ))

c−_tγ = βEtct−+1γ(rt+1+ (1−δ)) (7)

En l´ınea con Campbell (1994), se define la variable Rt como la tasa bruta de interés de la inversión en capital de un periodo, el cual es igual a la tasa de interés real neta (rt) más el capital no depreciado (1−δ). En el periodo “t+1” esta relación se expresa de la siguiente manera.

Rt+1 =rt+1+ (1−δ) (8)

Considerando la expresi´on anterior, la ecuaci´on de Euler tendr´ıa la forma siguiente: c−_tγ=βEtc−t+1γRt+1 (9)

La ecuaci´on de Euler expresa una comparaci´on beneficio/costo marginal de consumir una unidad del bien. Por un lado se tiene el costo marginal de dejar de consumir una

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unidad adicional del bien, el cual es expresado por la utilidad marginal uct. Por otro lado se tiene el beneficio marginal de no consumir dicha unidad del bien en “t”, la cual en el periodo siguiente “t+ 1” se convierte en 1(1 +rt+1−δ) unidades de bien. Esto se debe a

que existe una tasa de interés y una tasa de depreciación. La utilidad marginal que brinda esta unidad adicional en “t+1” es uct+1Rt+1. Sin embargo, para compararlo con el costo marginal en “t” es necesario traerlo a valor presente por medio del factor de descuento “β”. Por tanto, el beneficio marginal, en “t”, es igual a βuct+1(Rt+1). Esto se observa en la siguiente ecuación.

uct |{z} costo marginal =βEtuct+1(rt+1+ (1−δ)) | {z } beneficio marginal

Por tanto, la ecuaci´on de Euler indica que la familia est´a dispuesta a sacrificar consumo hoy hasta que el costo marginal de dejar de consumir una unidad del bien hoy sea igual al beneficio marginal de dicha unidad del bien traido a valor presente.

2.2. Empresas

Se asume que las empresas se desarrollan en un contexto de competencia perfecta tanto en el mercado de bienes como en el mercado de factores de producción. En este escenario, la empresa representativa maximiza su función de beneficios sujeta a su tecnolog´ıa (función de producción). Dicho problema de optimización está descrito de la siguiente manera:

Max

{kt}∞t=0

Πt=yt−rtkt Sujeto a la funci´on de producci´on:

yt=aαtk1

−α

t (10)

Debido a que la empresa no toma decisiones intertemporales, su problema de optimi-zaci´on se realiza para cada uno de los periodos. Por tanto, el problema de optimizaci´on se puede realizar en ty extender el resultado para los siguientes periodos.

Introduciendo la función de producción en la función objetivo y derivando esta última con respecto a la única variable de control (kt), se obtiene la siguiente expresión.

∂Π ∂kt = 0 =⇒ ∂(aα_tk_t1−α−rtkt) ∂kt = 0 =⇒(1−α) at kt α −rt= 0 De esta condici´on de primer orden se obtiene la demanda de capital:

rt= (1−α) at kt α (11)

2.3. Equilibrio de mercado y definici´on del choque

Para completar el modelo antes descrito es necesario especificar dos ecuaciones adi-cionales. La primera describe el equilibrio en el mercado de bienes; es decir, todo lo que se produce en la econom´ıa debe encontrar su contraparte en los diferentes componentes del gasto agregado. La segunda especifica el comportamiento de la productividad. Con

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respecto a esta ´ultima, usualmente se supone que es estacionaria en media y que tiene una variaza constante. La forma est´andar de representarla es asumiendo que la productividad sigue un proceso autorregresivo de orden uno.

En este modelo en particular, se asume que no existe gasto de gobierno (gt = 0) y que la econom´ıa es pequeña y cerrada. Por tanto, toda la producción tendrá dos posibles destinos: el consumo (ct) y la inversión (it). En ese sentido, la condición de equilibrio está descrita por la siguiente ecuación:

yt=ct+it (12)

De otro lado, la productividad sigue un comportamiento estacionario AR(1), en la cual el choque está representado por el ruido blanco t, que tiene una función de distribución normal con media cero y varianza constante [N(0, σ_e2)]. En estado estacionario, se asu-me que dicho ruido blanco toma el valor de su asu-media. Asimismo, cuando se dice que la econom´ıa ha sufrido un “choque” en t= 0 significa que en dicho periodo el ruido blanco (t) ha dejado de ser cero y ha tomado, solo en ese periodo, algún valor proporcional a su desviación estándar (nσe). Usualmente, se considera quen es igual a uno. La ecuación (13) describe el comportamiento de la productividad.

lnat=φlnat−1+t (13)

Cabe subrayar que el logaritmo de la productividad se comporta como un AR(1) y no la productividad en s´ı misma. Esto es importante porque permite que, en el estado estacionario, la productividad sea igual a uno, lo cual evita cualquier divisi´on entre cero.

2.4. Ecuaciones principales

Las ecuaciones principales del modelo se resumen en cuadro [1]:

Cuadro 1: Sistema de ecuaciones no lineal del modelo

Ecuaciones Descripci´on

c−_tγ =βEtc−_t₊₁γRt+1 Ecuaci´on de Euler

yt=aαtk1t−α Funci´on de producci´on rt= (1−α)at

kt

α

Demanda del capital

Rt=rt+ (1−δ) Rt es la tasa de interés real (bruta) rt es la tasa de interés real (neta) que considera la depreciación yt=ct+it Equilibrio mercado de bienes kt+1= (1−δ)kt+it Ley de movimiento del capital lnat=φlnat−1+t Choque de productividad

Nota:Estas 7 ecuaciones se pueden escribir directamente en un “mod”

en Dynare para obtener la soluci´on del modelo y los IRFs.

Este conjunto de ecuaciones representan un sistema de ecuaciones en diferencias no lineales y estocásticas. Para resolver dicho sistema, como es usual en la literatura, se trans-forma en un sistema de ecuaciones lineales. Esto es debido a que las técnicas matemáticas de solución de sistemas lineales son ampliamente conocidas en la literatura. La solución del

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sistema lineal será una aproximación de la solución del sistema no-lineal. Cabe mencionar que un paso previo a la linealización de sistema de ecuaciones es la asignación de valores a los parámetros (calibración) y el cálculo del estado estacionario.

3. Calibraci´

on

Calibración es una metodolog´ıa emp´ırica, la cual consiste en asignar un valor a los parámetros del modelo de equilibrio general basado en una diversidad de fuentes. Según Heer y Maußner (2009), las fuentes mas comúnes son las siguientes:

1. El uso del promedio del nivel de variables econ´omicas de series de tiempo o el pro-medio de los ratios de dichas variables.

2. La estimación econométrica de una ecuación.

3. Referencia a estudios econometricos basados en datos microecon´omicos o macro-econ´omicos.

4. Ajustar los par´ametros para que el modelo replique ciertos hechos emp´ıricos como segundo momentos de los datos o impulso-respuesta de un VAR estructural.

La forma de evaluar el poder del modelo para capturar la realidad es por medio de la comparación de los valores de los segundos momentos y de las funciones impulso-respuesta con los valores obtenidos emp´ıricamente. En el cuadro [2] se indica los valores de los parámetros del modelo, los cuales están basados en Campbell (1994).

Cuadro 2: Calibraci´on (valores base)

Par´ametro Nombre Sustento anual

α= 0.667 (1−α) es la participaci´on del capital en el producto

δ = 0.025 tasa de depreciaci´on 10 % anual

ln(Rss) = 0.015, lleva a Rss = 1.015 y por tanto: β = 0.9852

tasa de inter´es real bruta de estado estacionario

6.184 % anual: (1 + 0.015)4−1

σ = 0.2 elasticidad de sustituci´on intertem-poral del consumo

φ= 0.95 persistencia del choque

σ = 1 desviaci´on est´andar del choque

4. Estado estacionario

Para el cálculo del estado estacionario se considera que la variable xt se mantiene constante. Entonces, en el estado estacionario se tiene que xt =xt+1 =xss. Esta última condición se aplica a todas las variables endógenas. Además, en el estado estacionario el choquess toma su valor promedio, que es igual a cero.

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Para la ecuaci´on de Euler se tiene lo siguiente: c−_tγ = βEtc−t+1γRt+1 c−_ssγ = βc−_ssγRss 1 = βRss Rss = 1 β (14)

Para la funci´on de producci´on:

yt = aαtkt1−α

yss = aαssk1ss−α (15)

Para la demanda de capital:

rt = (1−α) at kt α rss = (1−α) ass kss α (16) De la ecuaci´on de la tasa de inter´es bruta:

Rt = rt+ (1−δ) Rss = rss+ (1−δ) por la ecuaci´on (14): 1 β = rss+ (1−δ) rss = 1 β −(1−δ) (17)

Para la ecuaci´on de equilibrio en el mercado de bienes:

yt = ct+it

yss = css+iss (18)

De la misma manera para la ley de movimiento del capital: kt = (1−δ)kt+it

kss = (1−δ)kss+iss

iss = δkss (19)

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lnat = φlnat−1+t lnass = φlnass+ ss |{z} =0(valor de su media) lnass = φlnass ln(ass) = ln(aφss) ass = aφss (20)

Al igual que en el modelo de Long y Plosser (1983), dos valores deasspodr´ıan resolver esta última ecuación (20): ass = 1 o ass = 0. Sin embargo, solo cuando ass = 1, el lnass existe. Por tanto, la solución correcta esass= 1. La ventaja de considerar la ecuación del choque de productividad en logaritmos es que evita que la productividad en estado esta-cionario pueda ser cero. Esto es importante porque evita que en las ecuaciones de estado estacionario y en las ecuaciones log-lineales se encuentre algún número o variable divida por cero.

Hasta aqu´ı se ha encontrado el valor de estado estacionario de la tasa de interés bruta Rss, de la tasa de interés neta rss y de la productividad ass; sin embargo para encontrar el estado estacionario para las demás variables se tiene que hacer algunas operaciones algebraicas adicionales. De la ecuación (16) se tiene:

rss = (1−α)

ass kss

α

Como ya se conoce el valor de rss por la ecuaci´on (17) y de ass, entonces se puede conocer el valor del capital kss.

rss = (1−α) ass kss α kss = ass rss (1−α) −_α1 (21) Debido a que ya se conoce kss, entonces se puede hallar el valor del producto yss, de la inversi´on iss y del consumo css:

yss = aα_ssk1_ss−α, de la ecuaci´on (15) (22) iss = δkss, de la ecuaci´on (19) (23)

css = yss−iss, de la ecuaci´on (18) (24)

En el cuadro [3] se resume la expresi´on del estado estacionario de cada variable del modelo.

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Cuadro3: Estado estacionario

Estado estacionario (forma recursiva) Estado estacionario (forma param´etrica)

Rss= 1_β = _β1 rss=Rss−(1−δ) = _β1 −(1−δ) ass= 1 = 1 kss=ass rss (1−α) −_α1 = 1 β−(1−δ) 1−α −_α1 yss=aαsskss1−α = 1 β−(1−δ) 1−α −(1−_αα) iss=δkss =δ 1 β−(1−δ) 1−α −_α1 css=yss−iss = 1 β+αδ−1 1−α 1 β−(1−δ) 1−α −_α1

Nota:El c´alculo de los estados estacionarios se encuentran en Campbell Lfijo.m (secci´on 1).

5. Log-linealizaci´

on

El sistema de ecuaciones que describe el modelo de Campbell (1994) es no lineal. Es-ta caracter´ıstica del modelo dificulEs-ta la forma de encontrar la solución de dicho sistema. Una forma estándar de abordar esta dificultad es log-linealizar cada ecuación; es decir, convertir una ecuación no lineal en una ecuación lineal en términos de log desviación de la variable con respecto a su estado estacionario. Además, para pequeñas desviaciones del estado estacionario, la log desviación de una variable tiene una interpretación económica importante: ella es aproximadamente igual a la desviación, en porcentaje, del estado esta-cionario (Uhlig, 1995).

La ventaja de aplicar log-linealización es que convierte el sistema no lineal en lineal, al cual se le puede aplicar los métodos matemáticos estándar para resolver dichos sistemas (Blanchard y Kahn, 1981).

En primer lugar, se define la variable en log-desviaciones:

b

xt=lnxt−lnxss (25)

En segundo lugar, despejando la variablext de la ecuaci´on [25] se tiene:

xt=xssebxt (26)

En tercer lugar, se hace una aproximaci´on de Taylor de primer orden deexbt con respecto

al estado estacionario, en el cual _bxt= 0; es decir,xt=xss:

exbt b xt=0 ∼ = ebxt=0+ebxt=0( b xt−0) exbt b xt=0 ∼ = 1 +_bxt ebxt ∼= 1 + b xt (27)

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Esta última ecuación se reemplaza en la ecuación (26): xt=xssebxt ∼=xss(1 + b xt) (28) De la ecuación (28) se despejaxtb: b xt∼= xt−xss xss (29)

Por tanto, la variable en log-desviaciones es aproximadamente igual a la desviación, en porcentaje, del estado estacionario. De un punto de vista práctico, se puede reemplazar cada variable por su expresión log-lineal y luego se aplica la aproximación de primer orden según la ecuación (27).

Log-linealizando la ecuaci´on de Euler se tiene:

c−_tγ = βEtc−t+1γRt+1

cssebct−γ = βEtcssecbt+1−γRsseRbt+1

e−γbct = Ete−γbct+1eRbt+1 e−γbct = Ete−γbct+1+Rbt+1 1−γ_bct = Et 1−γ_bct+1+Rb_t₊₁ b ct = Etbct+1− 1 γRtb+1 (30) Haciendo lo mismo para la funci´on de producci´on: ’

yt = aαtk1t−α yssebyt = a ssebatαk ssebkt 1−α yssebyt = aα sseαbatk1 −α ss e(1 −α)bkt ebyt = eαabt+(1−α)bkt 1 +yt_b = 1 +α_bat+ (1−α)bkt b yt = αbat+ (1−α)bkt (31)

Con respecto a la demanda de capital:

rt = (1−α) at kt α rssebrt = (1−α) assebat kssebkt α rssebrt = (1−α) ass kss α ebat ebkt α rssebrt = (1−α) ass kss α (eα(bat−bkt)) ebrt = eα(bat−bkt) 1 +_brt = 1 +α(bat−bkt) b rt = α(bat−bkt) (32)

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En el caso de la tasa bruta de inter´es, su forma log-lineal se obtiene de la siguiente manera: Rt = rt+ (1−δ) RsseRbt ₌ _rssebrt Rss(1 +Rtb ) = rss(1 +_brt) b Rt = rss Rssb rt (33)

En el equilibrio de mercado de bienes:

yt = ct+it yssebyt = c

ssebct +i

ssebit

yss(1 +ybt) = css(1 +bct) +iss(1 +bit)

yss+yssyt_b = css+css_bct+iss+issbit

yssytb = cssbct+issbit b yt = css yssbct+ iss yssbit (34)

La ley de moviento de capital en su forma log-lineal quedar´ıa:

kt+1 = (1−δ)kt+it kssebkt+1 = (1−δ)kssebkt +issebit kss(1 +bkt₊₁) = (1−δ)kss(1 +bkt) +iss(1 +bit) kss+kssbkt₊₁ = (1−δ)kss+ (1−δ)kssbkt+iss+issbit kssbkt₊₁ = (1−δ)kssbkt+issbit b kt+1 = (1−δ)bk_t+ iss kssbit (35)

Finalmente, la ecuaci´on de la productividad:

lnat = φlnat−1+t lnassebat = φlna ssebat−1+ t lnass+bat = φlnass+φbat−1+t b at = φ_bat−1+t (36)

El cuadro [4] resume las ecuaciones log-lineal del modelo:

El número de ecuaciones del cuadro [4] se puede resumir en cinco, para ello se introduce la ecuación de equilibrio del mercado de bienes (ecuación 5) en la ecuación del movimiento del capital (ecuación 6). La variable que relaciona ambas ecuaciones es la inversión. En primer lugar se despeja la inversión de la ecuación 5:

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Cuadro4: Ecuaciones log-lineal Ecuaciones log-lineal Descripci´on

[1] bct=Et b ct+1−_γ1Rtb₊₁ Ecuación de Euler [2] ytb =αbat+ (1−α)bkt Función de producción [3] r_bt=α[bat−bkt] Demanda de capital [4] Rb_t= _Rrss

ssrbt Tasa de inter´es bruta

[5] ytb =

css yssbct+

iss

yssbit Equilibrio en el mercado de bienes [6] bkt₊₁ = (1−δ)bkt+ iss

kssbit Ley de movimiento del capital [7] _bat=φbat−1+t Choque de productividad

Nota:Para obtener directamente la soluci´on del modelo con Dynare se puede utilizar el mod “Campbell Lfijo Dynare.mod”

bi_t= b yt− css yssb ct yss iss

En segundo lugar, se introduce esta ecuaci´on en la ley de movimiento de capital:

b kt+1 = (1−δ)bkt+ iss kss b yt−css yssb ct yss iss

Además, se introduce la ecuación de la función de producción (yt):

b kt+1 = (1−δ)bk_t+ iss kss α_bat+ (1−α)bk_t − css yssbct yss iss

Ordenando los t´erminos algrebraicos se tiene:

b kt+1= (1−δ) +δ(1−α)yss iss | {z } λ1 b kt+δα yss iss | {z } λ2 b at−δ css issb ct (37)

De los coeficientes de la ecuaci´on (37) se demuestra que:

−δcss

iss = 1−λ1−λ2 Por tanto, la ecuaci´on final es:

b

kt+1 =λ1bk_t+λ₂a_b_t+ (1−λ₁−λ₂)_bc_t (38)

De otro lado, la ecuación [3] (demanda de capital) se introduce en la ecuación [4] (tasa de interés bruta): b Rt = α rss Rssrbt b Rt = α rss Rss [_bat−bk_t] b Rt = λ3[bat−bkt] (39)

(16)

Donde en la ecuaci´on previa se ha definido el coeficienteλ3:

λ3 =α

rss Rss

El cuadro [5] resume las cinco principales ecuaciones log-lineal del modelo de trabajo fijo de Campbell (1994).

Cuadro5: Ecuaciones log-lineal (sistema reducido) Ecuaciones log-lineal [1] _bct=Et b ct+1−_γ1Rb_t₊₁ [2] y_bt=αbat+ (1−α)bkt [3] Rtb =λ₃[_bat−bkt] [4] bkt₊₁ =λ₁bkt+λ₂ b at+ (1−λ1−λ2)bct [5] _bat=φbat−1+t

5.1. Efecto sustituci´on y efecto ingreso de la tasa de inter´es

Antes de resolver el sistema log-lineal es importante analizar el impacto de la tasa de interés real sobre el consumo. Para abordar este análisis es muy útil utilizar las ecuaciones log-lineales.

La teor´ıa del consumidor sugiere que cuando el precio (pt) de un bien (qt) cambia hay dos efectos sobre el consumidor: Primero, el precio de qt relativo a otros productos ha cambiado. Segundo, debido al cambio en pt, el ingreso real del consumidor cambia. El cambio del consumo ´optimo como resultado de un cambio en el precio contiene ambos efectos.

El efecto sustituci´on es el efecto debido solo al cambio de precios relativos, mantenien-do constante el ingreso real. Mientras que el efecto ingreso es el efecto debimantenien-do al cambio en el ingreso real.

La tasa de interés representa el precio relativo de la canasta en el periodo ”t+1´´ (ct+1) con respecto a hoy (ct). Por tanto, un cambio en la tasa de interés producirá dos efectos: sustitución e ingreso.

Efecto sustitución (ES):un incremento en la tasa de interés real hace que el consumo de mañana ct+1 sea relativamente menos costoso comparado con el consumo de hoy ct.

Esto se debe a que el ahorro es más rentable para alcanzar el mismo monto de consumo mañana; es decir, el consumidor necesita sacrificar menos consumo hoy. Por tanto, el efecto sustitución se resume en:

↑Rt

Efecto Sustituci´on

−−−−−−−−−−−→↓ct y ↑ct+1

Cabe mencionar que la ecuación de Euler refleja el efecto sustitución del consumo. Además,σ es la elasticidad de sustitución intertemporal del consumo.

(17)

b ct=Et b ct+1− 1 γRbt+1

La magnitud del efecto sustitución es controlado por σ, mientras más grande sea σ mayor será el efecto sustitución; es decir:

↑Rt

Efecto Sustituci´on

−−−−−−−−−−−→↓↓ct y ↑↑ct+1

Efecto ingreso (EI): un incrmento de la tasa de inter´es produce un efecto ingreso. Si el consumidor tiene activos (bonos o ahorro), un incremento de la tasa de inter´es pro-duce mayores ganancias por esos activos y por tanto mayor ingreso. Este efecto tiende a incrementar el consumo en todos los periodos.

↑Rt−Efecto Ingreso−−−−−−−−→↑ct y ↑ct+1

Cabe mencionar que la restricci´on presupuestaria refleja el efecto ingreso: ct+it=rtkt

Un incremento de la tasa de inter´es produce dos efectos:

ES→ ↓ct y ↑ct+1 (Ecuaci´on de Euler)

EI→ ↑ct y ↑ct+1 (Restricci´on presupuestaria)

− − − − − −

ET→ Depende de ESI σ y ↑ct+1

Efecto total (ET): Para observar el efecto final de la tasa de interés sobre el consumo nos basaremos en la restriccón presupuestaria y la ecuación de Euler (de las variables en niveles). ct+it = rkkt (40) pero se sabe : kt+1 = (1−δ)kt+it despejando it : it = kt+1−(1−δ)kt (41) (41) en (40) : ct+kt+1−(1−δ)kt = rkkt ct+kt+1 = (rk+ (1−δ) | {z } Rt )kt ct+kt+1 = Rtkt (42)

Como se sabe el ingreso de la familia representativa en “t” esRtkt, la cual se resumir´a enAt. De igual forma para el ingreso en “t+1”:Rt+1kt+1 =At+1. Reescribiendo la ecuaci´on

(18)

ct+kt+1 = Rtkt ct+Rt+1kt+1 Rt+1 = Rtkt ct+ At+1 Rt+1 = At (43)

La ecuación (43) es una ecuanción en diferencias, la cual se puede resolver iterando hacia adelante. Por inducción matemática hacemos lo siguiente:

At = ct+ At+1 Rt+1 (44) At+1 = ct+1+ At+2 Rt+2 (45) At+2 = ct+2+ At+3 Rt+3 (46) Luego la ecuaci´on (46) se reemplaza en (45):

At+1 = ct+1+ At+2 Rt+2 At+1 = ct+1+ 1 Rt+2 (ct+2+ At+3 Rt+3 ) At+1 = ct+1+ ct+2 Rt+2 + At+3 Rt+2Rt+3 (47) La ecuación (47) se reemplaza en (44): At = ct+ At+1 Rt+1 At = ct+ 1 Rt+1 (ct+1+ ct+2 Rt+2 + At+3 Rt+2Rt+3 ) At = ct+ + ct+1 Rt+1 + ct+2 Rt+1Rt+2 + At+3 Rt+1Rt+2Rt+3 (48) Dividiendo toda la ecuación (48) porRt para hacer una generalización (en sumatoria) más sencilla:

(19)

At Rt = ct Rt + ct+1 RtRt+1 + ct+2 RtRt+1Rt+2 + At+3 RtRt+1Rt+2Rt+3

resumiendo : en una sumatoria... At Rt = 2 X s=0 ct+s Qs j=0Rt+j +_Q₃At+3 j=0Rt+j (49) generalizando para “n” : At Rt = n X s=0 ct+s Qs j=0Rt+j +_QA_nt₊₁+(n+1) j=0 Rt+j aplicando Limite cuando : n→ ∞

At Rt = ∞ X s=0 ct+s Qs j=0Rt+j + Limn→∞ A_t₊₍_n₊₁₎ Qn+1 j=0 Rt+j | {z } =0(por transversalidad) At Rt = ∞ X s=0 ct+s Qs j=0Rt+j (50)

Para encontrar la relación de la tasa de interés con el consumo de hoy es necesario encontrar la relación del ct+s con el consumo actual ct, para ello se usa la ecuación de Euler (abstrayendo el operador expectativa) para “t”, “t+ 1” y “t+ 2”:

c−_tγ = βc−_t₊₁γRt+1

c−_t₊₁γ = βc−_t₊₂γRt+2

c−_t₊₂γ = βc−_t₊₃γRt+3

Multiplicando estas ecuaciones se tiene:

c_t−γc−_t₊₁γc_t−₊₂γ = β3c−_t₊₁γRt+1c −γ t+2Rt+2c −γ t+3Rt+3 c−_tγ = β3c−_t₊₃γ Rt Rt Rt+1Rt+2Rt+3 c−_tγ = β3c −γ t+3 Rt 3 Y j=0 Rt+j generalizando para “s” : c−_tγ = βsc −γ t+s Rt s Y j=0 Rt+j ct+s ct −γ = Rt βsQs j=0Rt+j despejando ct+s : ct+s = Rt βsQs j=0Rt+j −1 γ ct (51)

(20)

Introduciendo la ecuaci´on (51) en la ecuaci´on (50): At Rt = ∞ X s=0 Rt βsQs j=0Rt+j −_γ1 ct Qs j=0Rt+j At Rt = ∞ X s=0 βγs s Y j=0 Rt+j 1_γ−1 ctR −1/γ t At Rt = ct ∞ X s=0 βγs s Y j=0 Rt+j _γ1−1 R−_t1/γ (52)

Caso simplificado:para analizar el efecto de la tasa de ineter´es sobre el consumo de hoy ctse supone que la tasa de inter´es es la misma en todos los periodos; es decir,Rt=Rt+1=

Rt+2 =...=Rt+j =R. Introduciendo este supuesto en la productoria de la ecuaci´on (52) se tiene:

s

Y

j=0

Rt+j =Rs+1

Reemplazando la expresi´on anterior en la ecuaci´on (52) se tiene:

At R = ct ∞ X s=0 βsγ_Rs+1 1 γ−1_R−1/γ At R = ct ∞ X s=0 βsγ_R(s+1) 1 γ−1_R−1/γ At R = ct ∞ X s=0 βsγ_R(s( 1 γ−1)+ 1 γ−1_R−1/γ At R = ct ∞ X s=0 βsγ_R(s( 1 γ−1)_R−1 At = ct ∞ X s=0 βsγ_R(s( 1 γ−1) At = ct ∞ X s=0 β1γ_R 1 γ−1 s (53)

Por progresi´on geom´etrica deP∞

s=0 βγ1_R 1 γ−1 s se tiene que: ∞ X s=0 β1γ_R 1 γ−1 s = 1 + βγ1_R 1 γ−1 + βγ1_R 1 γ−1 2 + βγ1_R 1 γ−1 3 ...= 1 1−βγ1_R 1 γ−1 (54)

(21)

At = ct 1 1−βγ1_R 1 γ−1 ct = At1−β1γ_R 1 γ−1 ₍₅₅₎

Aplicando logaritmo a la ecuaci´on (55) se tiene: ln(At) =ln(ct) +ln1−βγ1_R

1

γ−1 ₍₅₆₎

Aplicando la aproximaci´on de Taylor de primer orden aln1−βγ1_R 1 γ−1_{se tiene que:} ln1−β1γ_R 1 γ−1_{≈ −}_β 1 γ_R 1 γ−1 ₍₅₇₎ Reemplazando (57) en (56): ln(At) =ln(ct) +β1γ_R 1 γ−1 ₍₅₈₎

Tomando diferencial a la ecuaci´on (58) y considerando que At no cambia, y adem´as,

1 γ =σ (ESI), entonces: ∆ln(ct) = −(σ−1)βσRσ∆R ∆ln(ct) ∆R = −(σ−1)β σ_Rσ ₍₅₉₎

La ecuación (59) refleja el efecto final sobre el consumo de hoy un movimiento de la tasa de interés real. Una conclusión importante es que el efecto final depende de la elasticidad de sustitución intertemporal del consumo (σ). La expresión siguiente muestra el efecto final sobre el consumo dependiendo del valor de la ESI:

σ <1 −→ ∆ln(ct) ∆R >0−→↑ct σ = 1 −→ ∆ln(ct) ∆R = 0−→R no afecta el consumo σ >1 −→ ∆ln(ct) ∆R <0−→↓ct

Caso general: considerando la ecuaci´on (52) y desarrollandola se tiene: At Rt = ct ∞ X s=0 βγs s Y j=0 Rt+j _γ1−1 R−_t1/γ At R_t1−1/γ = ct ∞ X s=0 βγs s Y j=0 Rt+j 1 γ−1

siendo expl´ıcito en la sumatoria: At R_t1−1/γ = ct 1 +βγ1₍_RtRt +1) 1 γ−1₊_β 2 γ₍_RtRt +1Rt+2) 1 γ−1₊_β 3 γ₍_RtRt +1Rt+2Rt+3) 1 γ−1_... | {z } Nt At = ctR1 −1/γ t [1 +Nt] At = ctR1 −1/γ t +ctR1 −1/γ t Nt (60)

(22)

Diferenciando la ecuaci´on (60) con respecto aRt+1 y considerando queRj (j6= 1) no depende de Rt+1: ∆At ∆Rt+1 =R1_t−1/γ ∆ct ∆Rt+1 + ∆ct ∆Rt+1 R1_t−1/γNt+ctR1 −1/γ t ∆Nt ∆Rt+1 (61) Desarrollando el diferencial: ∆Nt ∆Rt+1, ∆Nt ∆Rt+1 = 1 γ −1 βγ1₍_RtRt +1) 1 γ−2_Rt₊ 1 γ −1 βγ2₍_RtRt +1Rt+2) 1 γ−2_RtRt +2+ 1 γ −1 βγ3₍_R tRt+1Rt+2Rt+3) 1 γ−2_R tRt+2Rt+3+...

multiplicando y diviviendo porRt+1

= 1 Rt+1 1 γ −1 βγ1₍_R tRt+1) 1 γ−2_R tRt+1+ 1 γ −1 β2γ₍_R tRt+1Rt+2) 1 γ−2_R tRt+1Rt+2+ 1 γ −1 βγ3₍_RtRt +1Rt+2Rt+3) 1 γ−2_Rt_R t+1Rt+2Rt+3+... = 1 Rt+1 1 γ −1 βγ1₍_RtRt₊₁₎ 1 γ−1₊_β 2 γ₍_RtRt₊₁_Rt₊₂₎ 1 γ−1₊_β 3 γ₍_RtRt₊₁_Rt₊₂_Rt₊₃₎ 1 γ−1₊_... = 1 Rt+1 1 γ −1 Nt = 1 γ −1 Nt Rt+1 (62) Introduciendo la ecuci´on (62) en la ecuaci´on (61):

∆At ∆Rt+1 = R1_t−1/γ ∆ct ∆Rt+1 + ∆ct ∆Rt+1 R1_t−1/γNt+ctR1_t−1/γ ∆Nt ∆Rt+1 (63) ∆At ∆Rt+1 = R1_t−1/γ ∆ct ∆Rt+1 + ∆ct ∆Rt+1 R1_t−1/γNt+ctR 1−1/γ t 1 γ −1 Nt Rt+1 ∆At = R1 −1/γ t ∆ct+ ∆ctR1 −1/γ t Nt+ ∆Rt+1ctR1 −1/γ t 1 γ −1 Nt Rt+1

Se sabe que ∆At= 0, entonces:

0 = R1_t−1/γ∆ct+ ∆ctR_t1−1/γNt+ ∆Rt+1ctR1t−1/γ 1 γ −1 Nt Rt+1 0 = R1_t−1/γ ∆ct+ ∆ctNt+ 1 γ −1 ctNt ∆Rt+1 Rt+1 0 = ∆ct+ ∆ctNt+ 1 γ −1 ctNt ∆Rt+1 Rt+1 0 = ∆ct[1 +Nt] + 1 γ −1 ctNt ∆Rt+1 Rt+1

(23)

−∆ct[1 +Nt] = 1 γ −1 ctNt ∆Rt+1 Rt+1 −∆ct ct [1 +Nt] Nt = 1 γ −1 ∆Rt+1 Rt+1 ∆ct ct = − 1 γ −1 Nt 1 +Nt ∆Rt+1 Rt+1 (64) De la ecuación (64) se puede concluir que el impacto de la tasa de interés del perio-do siguiente sobre el consumo de hoy es gobernada por la elasticidad de sustitución del consumo (1_γ =σ), tal como se observó en el caso simplificado.

6. Soluci´

on del sistema lineal: m´

etodo de coeficientes

inde-terminados

El método de coeficientes indeterminados busca encontrar las variables de control en función de las variables de estado (bkt) y de la variable exógena (

b

at).

Al analizar si cada ecuaci´on log-lineal se encuentra en funci´on del capital (bk_t) y de la

productividad (_bat) se observa, en el cuadro [5], que la ecuación [2] (función de producción) y la ecuación [3] (demanda de capital que considera la tasa de interés bruta) dependen de dichas variables. Además la ecuación [5] describe la productividad.

Al introducir la demanda de capital en la ecuación de Euler, dicha ecuación estar´ıa en función del capital y de la productividad:

b

ct=Et(bct+1−σλ3(bat+1−bkt+1)) (65)

De otro lado, la ley de movimiento del capital contiene a la variable de estado y al choque:

b

kt+1 =λ1bk_t+λ₂a_b_t+ (1−λ₁−λ₂)_bc_t (66)

Por tanto, si encontramos el_bctybk_t₊₁ en funci´on de (bk_t,_ba_t), el sistema estar´ıa solucionado.

Para ello, bajo el m´etodo de coeficientes indeterminados, se propone la siguiente soluci´on:

b

ct = ηckbkt+ηca_bat (67)

b

kt+1 = ηkkbk_t+η_ka_ba_t (68)

En este contexto, el problema radica en encontrar los valores de los coeficientes: ηck, ηca,ηkk,ηka. Con este fin, el an´alisis se realizar´a en cinco pasos:

1. Ecuación de Euler: Si reemplazamos la solución propuesta en la ecuación de euler (65) se obtiene una expresión para los coeficientes:

ηca = ηka(σλ3+ηck)−φσλ3 1−φ →ηca=f(ηka, ηck) (69) ηck = ηkkσλ3 1−ηkk →ηck =f(ηkk) (70)

(24)

2. Ecuación del capital:Si reemplazamos la solución propuesta en la ecuacion de mo-vimiento del capital (66) se obtiene una expresión para los coeficientes:

ηkk = λ1+ (1−λ1−λ2)ηck →ηkk=f(ηck) (71) ηka = λ2+ (1−λ1−λ2)ηca →ηka=f(ηca) (72) 3. Primer coeficiente: Para hallarηck elegimos (70) y (71) :

ηck =f(ηkk): ηck = ηkkσλ3 1−ηkk (73) ηkk=f(ηck): ηkk =λ1+ (1−λ1−λ2)ηck (74) 4. La ecuaci´on (74) se reemplaza en (73), de la cual se obtiene:

Q2ηck2 +Q1ηck+Q0 = 0 (75)

Donde, en primer lugar las dos raices de esta ecuaci´on representan los dos valores que puede tomar ηck. En segundo lugar, el valor de este coeficiente permite obtener el valor de los tres restantes, y finalmente, los valores de Qi son:

Q2 = 1−λ1−λ2

Q1 = λ1−1 +σλ3(1−λ1−λ2)

Q0 = λ1σλ3

Al resolver la ecuaci´on (75) se obtiene los dos valores de ηck: ηck1 = −Q1+ p Q2₁−4Q2Q0 2Q2 ηck2 = −Q1− p Q2₁−4Q2Q0 2Q2

El signo de ηck que se debe de elegir es positivo, porque esto permite que ηkk sea menor a uno, lo cual indica que la ecuaci´on del capital es estable (no explosiva). Para ello, se eval´ua el signo de cadaQi:

Q2 <0 (porque λ1 >1 y λ2 >0)

Q0 >0

Q1 >0 (Q1 =λ1−1 +Q2Q0/λ1)

De lo anterior, se demuestra que ηck2 tiene signo positivo, por tanto se elige esta

ra´ız. Esto permite obtener los dos coeficientesηck yηkk: ηck = −Q1− p Q2 1−4Q2Q0 2Q2 (76) ηkk = λ1+ (1−λ1−λ2)ηck (77)

(25)

5. Para hallar los dos coeficientes restantes ηca yηkase elige la ecuaci´on (69) y (72): ηka = λ2+ (1−λ1−λ2)ηca→ηka=f(ηca) ηca = ηka(σλ3+ηck)−φσλ3 1−φ →ηca =f(ηka, ηck) ηka yηca: ηca = −ηckλ2+σλ3(φ−λ2) φ−1 + (1−λ1−λ2)(ηck+σλ3) ηka = λ2+ (1−λ1−λ2)ηca

Con los parámetros calibrados para el modelo base se obtiene que: ηck = 0.3253, ηca = 0.2643, ηkk = 0.9841 y ηka= 0.0551. Finalmente, la solución del modelo para cada una de las variables endógenas son:

Soluci´on para el consumo:

b

ct = ηckbk_t+η_ca b

at (78)

Soluci´on para el capital:

b

kt+1 = ηkkbkt+ηka_bat (79)

Soluci´on para el producto:

b

yt = (1−α)bk_t+α_ba_t (80)

Soluci´on para la inversi´on:

b yt = css yssb ct+ iss yss bi_t bit = yss iss byt− css yssbct Reemplazando (78) y (80): bi_t = yss iss(1−α− css yssηck)bkt+ yss iss(α− css yssηca)bat(81)

Soluci´on (tasa de inter´es neta):

b

rt = α(_bat−bkt) (82)

Soluci´on (tasa de inter´es bruta):

b

Rt = αrss Rss

(_bat−bkt) (83)

6.1. An´alisis de elasticidades

Los coeficientes de la soluci´on de cada una de las variables representan elasticidades. Esto se debe a que las variables est´an expresandas en logaritmos. Por ejemplo para el caso del consumo se tiene:

b

ct=ηckbk_t+η_ca b

at

Dado que _bct=ln(_cc_sst ) y de manera similar para las dem´as variables se tiene: ln( ct css) = ηckln( kt kss) +ηcaln( at ass) ln(ct)−ln(css) = ηck(ln(kt)−ln(kss)) +ηca(ln(at)−ln(ass)) ln(ct) = −[ln(css) +ln(kss) +ln(ass)] +ηckln(kt) +ηcaln(at)

(26)

Tomando diferencial con respecto al capital (kt) se tiene: ∆ln(ct) = ηck∆ln(kt) ∆ct ct = ηck ∆kt kt ∆ct ct ∆kt kt = ηck Elasticidadct,kt = ηck (84)

Como se puede observar la ecuaci´on (84), ηck refleja la elasticidad del consumo ante un cambio del capital. En particular, ηck mide el efecto del capital (“kt”) sobre el con-sumo actual (“ct”), manteniendo constante la productividad (“at”); es decir, si el capital aumenta 1 %, el consumo aumenta enηck%. De esta forma se lee todos los coeficientes de la soluci´on del sistema log-lineal. El cuadro [6] resume las elasticidades.

Cuadro6: Coeficientes (elasticidades) de la soluci´on del modelo lineal

Elasticidad Expresi´on Valor

Elasticidad del consumo al capital: ηck

ηck =

−Q1−√Q2 1−4Q2Q0

2Q2 0.3253

Elasticidad del consumo a la pro-ductividad: ηca

ηca = _φ−1+(1−ηck−λ2λ1+−σλ3λ2)((φη−ckλ2+)σλ3) 0.2643 Elasticidad del capital de ma˜nana al

capital de hoy: ηkk

ηkk =λ1+ (1−λ1−λ2)ηck 0.9841 Elasticidad del capital de ma˜nana a

la productividad:ηka

ηka=λ2+ (1−λ1−λ2)ηca 0.0551

Nota:La expresión de las elasticidades y sus valores están en “Campbell Lfijo.m” (sección 2).

En el análisis de elasticidades dos parámetros son importantes: la elasticidad de sus-titución intertemporal del consumoσ y la persistencia del choqueφ. Para ver cómo estos parámetros influyen sobre las elasticidades vamos a revisar cada una de las elasticidades.

Revisando λ1, λ2 y λ3: λ1 = (1−δ) +δ(1−α) yss iss = (1−δ) +δ(1−α) 1 δk −α ss = (1−δ) + (1−α) rss 1−α = (1−δ) + (1 β −(1−δ)) = 1 β λ1 = F(β) (85)

(27)

λ2 = δα yss iss = δα 1 δk −α ss = α rss 1−α = α 1−α( 1 β −(1−δ)) λ2 = F(α, β, δ) (86) λ3 = α rss Rss = α 1 β −(1−δ) 1 β = α(1−β(1−δ) λ3 = F(α, β, δ) (87) Revisando Q0, Q1 y Q2: Q2 = 1−λ1−λ2 = 1−(1 β)− α 1−α( 1 β −(1−δ)) = − 1 β +αδ−1 1−α Q2 = F(α, β, δ) (88) Q1 = λ1−1 +σλ3(1−λ1−λ2) = λ1 |{z} F(β) −1 +σ λ3(1−λ1−λ2) | {z } F(α,β,δ) Q1 = F(σ(+)α, β, δ) (89) Q0 = λ1σλ3 = λ1 |{z} F(β) σ λ3 |{z} F(α,β,δ) Q0 = F(σ(+)α, β, δ) (90)

(28)

Debido a queQ2 es negativo, el componente dentro del radical es positivo. En ese caso

σ, que afecta positivamente aQ0 yQ1, tiene un impacto positivo sobreηck. De otro lado, Q1 que se encuentra fuera del radical tambi´en traslada el efecto positivo de σ sobre ηck.

Cabe mencionar que ηck no depende de la persistencia del choque (φ). ηck = −Q1− p Q2 1−4Q2Q0 2Q2 =F(σ(+)α, β, δ) (91) De lo anterior se concluye la siguiente observaci´on:

Observaci´on 1:ηckse incrementa a medida que se incrementa la elasticidad de sustituci´on del consumo (σ). ηkk = λ1+ (1−λ1−λ2)ηck = λ1 |{z} F(β) + (1−λ1−λ2) | {z } =−δcss_iss ηck |{z} F(σ(+)_α,β,δ₎ = λ1 |{z} F(β) −δcss iss ηck |{z} F(σ(+)_α,β,δ₎ = λ1 |{z} F(β) − δcss iss | {z } F(α,β,δ) ηck |{z} F(σ(+)_α,β,δ₎ ηkk = F(σ(−)α, β, δ) (92)

De lo anterior se concluye las siguiente observaciones:

Observaci´on 2:ηck yηkk no dependen deφ.

Observaci´on 3: ηkk se reduce a medida que se incrementa la elasticidad de sustituci´on intertemporal del consumo (σ).

¿De qu´e par´ametros dependen las elasticidades (ηca y ηka)?

ηca=

−ηckλ2+σλ3(φ−λ2)

φ−1 + (1−λ1−λ2)(ηck+σλ3)

=F(φ, σ, α, β, δ) (93)

ηka=λ2+ (1−λ1−λ2)ηca =F(φ, σ, α, β, δ) (94) De la expresi´on (94) se puede ver que ηca tiene una relaci´on no lineal con φ y σ. De manera similar para ηka. De lo anterior se concluye las siguiente observaciones:

Observaci´on 4: ηca se incrementa a medida que φ aumenta para valores bajos de σ (σ61), pero se reduce para valores altos (σ >1).

Observaci´on 5:ηkk yηka se reducen a medida que se incrementa la elasticidad de susti-tuci´on del consumo (σ).

(29)

Figura 2: Elasticidades (coeficientes de la soluci´on) 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 η_ck

Elasticidad de sustitución intertemporal del consumo (σ)

0 2 4 6 8 10 0.86 0.88 0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 η_kk

0 2 4 6 8 10 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15

η_ca φ=0 φ=0.4 φ=0.8 0 2 4 6 8 10 0.065 0.07 0.075 0.08 0.085 0.09 0.095 0.1

η_ka

φ=0 φ=0.4 φ=0.8

Nota:Cabe mencionar que estos gr´aficos se obtienen del c´odigo “Campbell Lfijo Sim Parametros.m”

7. Representaci´

on de series de tiempo

Debido a que se tiene la solución del modelo; es decir, cada variable endógena en función de la variable de estado (capital) y de la variable exógena (productividad), considerando además que la productividad se comporta como un proceso AR(1). Entonces, se puede hallar la representación de series de tiempo ARMA (p,q) de cada variable.

7.1. Serie de tiempo del capital

De la solución del modelo, en particular de la ecuación que describe el comportamiento del capital en t+ 1 en función del capital en ty de la productividad se tiene:

b

kt+1=ηkkbkt+η_ka bat

(30)

Cuadro 7: Casos especiales Caso Valor de σ Funci´on de

utili-dad

Elasticidad Serie de tiempo

Caso 1 σ = 0 No existe efecto

sustituci´on inter-temporal

ηkk = 1 ln(ct) es un random walk, y ln(kt) yln(kt) cointegran con elln(ct)

Caso 2 σ = 1 Funci´on de

uti-lidad logaritmica: u(ct) = ln(ct). El efecto sustituci´on y el efecto ingreso se anulan.

Caso 3 σ =∞ Funci´on de

uti-lidad lineal:

u(ct) =ct

ηkk = 0,ηka=φ kt se comporta como un

AR(1), mientras ct y yt

se comportan como un AR-MA(1,1)

Donde los coeficientesηkkyηkahan sido hallados previamente. De esta ecuaci´on se puede encontrar la forma autorregresiva del capital (bkt₊₁):

(1−ηkkL)bkt₊₁ = η_ka b at b kt+1 = ηka 1−ηkkLb at (95) Adem´as, _bat=φbat−1+t

Considerando que_bat se puede expresar como:

at= t

1−φL (96)

Entonces se tiene que:

b kt+1 = ηka (1−ηkkL) t (1−φL) (97) La expresi´on anterior demuestra que el capital se comporta como un AR(2): dos raices reales (φy ηkk) y menores a 1 (kt+1 es estable). La expresi´on AR(2) del capital es:

b kt+1 = ηka (1−ηkkL) t (1−φL) (1−ηkkL)(1−φL)bkt₊₁ = η_kat (1−ηkkL−φL+ηkkφL2)bkt₊₁ = ηkat b kt+1−ηkkbkt−φktb +ηkkφbkt−1 = ηkat b kt+1 = (φ+ηkk)bk_t−η_kkφbk_t−1+ηkat (98)

7.2. Serie de tiempo del producto

De igual manera que en el caso del capital, para encontrar la expresi´on de series de tiempo del producto se parte de la soluci´on del modelo:

b

(31)

Para encontrar el modelo de series de tiempo del producto (yt) se reemplaza en la ecuación previa (98) la expresión de la productividad (en función del error) y la expresión del capital (en función de la productividad). Esta última corresponde a la ecuación (96).

b yt = αbat+ (1−α)bkt b yt = α et 1−φL + (1−α) ηka (1−ηkkL)b at−1 b yt = α et 1−φL + (1−α) ηka (1−ηkkL) et−1 (1−φL) b yt = α et 1−φL + (1−α) ηkaL (1−ηkkL) et (1−φL) (100)

La ecuaci´on (100) sugiere que el producto se comporta como un ARMA(2,1):

b yt = α+ [(1−α)ηka−αηkk]L (1−ηkkL)(1−φL) t (101) (1−ηkkL)(1−φL)ytb = α+ [(1−α)ηka−αηkk]Lt (1−ηkkL−φL+ηkkφL2)ybt = αt+ [(1−α)ηka−αηkk]t−1 b yt−ηkkybt−1−φbyt−1+ηkkφbyt−2 = αt+ [(1−α)ηka−αηkk]t−1 b yt = (ηkk+φ)ytb−1−ηkkφytb−2 | {z } AR(2) +αt+ [(1−α)ηka−αηkk]t−1 | {z } M A(1)

7.3. Serie de tiempo del consumo

De la soluci´on del modelo:

b

ct=ηckbk_t+η_ca_ba_t

El consumo se comporta como un ARMA(2,1)

b ct= ηca+ (ηckηka−ηcaηkk)L (1−ηkkL)(1−φL) t (102)

7.4. Serie de tiempo de la tasa de inter´es real bruta

De la soluci´on del modelo:

b

Rt+1 =λ3(abt+1−bkt+1)

La tasa de inter´es se comporta como un ARMA(2,1)

b Rt+1 =λ3 (1−ηka−ηkkL) (1−ηkkL)(1−φL) t (103)

(32)

7.5. Serie de tiempo de la inversi´on

De la solución para la inversión (ecuación (81)):

bi_t = (1−α− css yss ηck) | {z } ηik b kt+ (α− css yss ηca) | {z } ηia b at bi_t = η_ikbk_t+η_ia_ba_t bit = ηik ηka (1−ηkkL) t−1 (1−φL) +ηia t 1−φL bit = ηik ηkaL (1−ηkkL) +ηia t 1−φL bit = ηikηkaL+ηia(1−ηkkL) (1−ηkkL) t 1−φL bi_t = ηia+ (ηikηka−ηiaηkk)L (1−ηkkL) t 1−φL Por tanto, la inversi´on se comporta como un ARMA(2,1):

bit=

ηia+ (ηikηka−ηiaηkk)L (1−ηkkL)(1−φL)

t (104)

8. Funciones impulso-respuesta

La construcción de la función impulso-respuesta de las variables endógenas consta de dos etapas. La primera es transformar la forma autorregresiva del capital AR(2) a su ver-sión de media móviles MA(∞). La segunda etapa consiste en cuantificar el impacto, en cada periodo, de un choque temporal (de un solo periodo) en cada variable endógena.

Primera etapa:Forma MA(∞) del capital

b kt+1 = (φ+ηkk | {z } φ1 )bk_t+−η_kkφ | {z } φ2 b kt−1+ηkat b kt+1 = φ1bk_t−1+φ2bk_t+η_ka_t (1−φ1L−φ2L2)bk_t₊₁ = η_ka_t

Calculando las raices del AR(2):

1−φ1L−φ2L2= 0

En factores:

(L−y1)(L−y2) = 0

Factorizando y1 del primer factor e y2 del segundo:

y1 1 y1 L−1 y2 1 y2 L−1 = 0

(33)

La expresi´on se reduce a: 1 y1 |{z} θ1 L−1 1 y2 |{z} θ2 L−1 = 0

Multiplicando por (-) a ambos t´erminos:

(1−θ1L)(1−θ2L) = 0

Por tanto: Equivalencia de raices

(L−y1)(L−y2) = (1−θ1L)(1−θ2L) = 0

Donde: θ1= _y11

θ2= _y21

Utilizando la equivalencia de raices del AR(2): (L−y1)(L−y2)bk_t₊₁ = η_ka_t (1−θ1L)(1−θ2L)bkt₊₁ = η_kat b kt+1 = 1 (1−θ1L)(1−θ2L) | {z } Ψ(L) ηkat Donde: Ψ(L) = 1 +ψ1L+ψ2L2+ψ3L3+...+ψkLk+... ψk = = k X j=0 θ₁jθ₂k−j

Versi´on MA(∞) del capital:

b

kt+1 = (1 +ψ1L+ψ2L2+ψ3L3+...)ηkat (105) Con esta expresión calculamos la función impulso-respuesta. La versión extendida de la ecuación (??) es:

b

kt+1 = (1 +ψ1L+ψ2L2+ψ3L3+...)ηkat

b

kt+1 = ηkat+ (ψ1ηka)t−1+ (ψ2ηka)t−2+ (ψ3ηka)t−3+... (106) Segunda etapa:Cálculo del IRF del capital ante un choque de productividad En este caso para el cálculo de la función impulso respuesta del capital se considera que el impulso o choque t se realiza en un solo periodo (el periodo uno) y que toma el valor de una desviación estándar σ, el cual se asume que es igual a uno; es decir, en t = 1, 1 =σ = 1. El error (t) tomar el valor de cero durante los periodos antes del choque y

(34)

Figura3: Funci´on impulso-respuesta de las variables macroecon´omicas log-lineales 0 50 100 150 200 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Producto 0 50 100 150 200 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Capital 0 50 100 150 200 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Consumo 0 50 100 150 200 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Inversión 0 50 100 150 200 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

Tasa de interés real bruta

0 50 100 150 200 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Productividad

Nota:Estas funciones impulso-respuesta corresponde a las variables log-lineales; es decir aybt,bkt,bct,bit,

b

(35)

Cuadro8: Construcci´on de la funci´on impulso-respuesta del capital

t t Versi´on MA(∞) de bkt₊₁ IFR de bkt₊₁

0 0 = 0 bk₁=ηka ₀ |{z} =0 +(ψ1ηka) −1 |{z} =0 +... bk₁=ηka₀ 1 1 = 1 bk₂=ηka ₁ |{z} =1 +(ψ1ηka) 0 |{z} =0 +... bk₂=ηka₁ 2 2 = 0 bk₃=η_ka ₂ |{z} =0 +(ψ1ηka) 1 |{z} =1 +(ψ2ηka) 0 |{z} =0 +... bk₃=ψ₁η_ka₁ 3 3 = 0 bk₄=η_ka ₃ |{z} =0 +(ψ1ηka) 2 |{z} =0 +(ψ2ηka) 1 |{z} =1 +(ψ3ηka) 0 |{z} =0 +... bk₄=ψ₂η_ka₁ 4 4 = 0 ... bk₅=ψ₃η_ka₁

Figura 4: Efecto sobre la funci´on de producci´on

Y

0

Y

1

Y

0

Y

1

K

ss =

K

0 =

K

1

Y

K

A

B

después del choque. El cuadro [8] muestra la construcción de la función impulso-respuesta del capital.

En t = 0 todas las variables se encuentran en su estado estacionario. El capital en t= 1, el cual se determina en t= 0, tambi´en se encuentra en estado estacionario. Tal es as´ı que se cumple la ley de movimiento del capital:k1 = (1−δ)k0+i0, dondek1 =k0=kss. El choque de productividad se realiza en el periodot= 1 produciendo los siguientes efectos:

1er Efecto (sobre las empresas): un incremento de la productividad produce un in-cremento en la funci´on de producci´on para cada nivel de capital.

El capital se hace m´as productivo en t = 1; es decir, con el mismo capital se puede producir m´as. Por tanto, la demanda de capital aumenta.

2do Efecto (sobre las empresas): el aumento de la demanda de capital permite que la tasa de inter´es ent= 1 se incremente:↑rt(r0 −→r1), r1 > r0. Esto se debe a que la

(36)

de productividad.

Figura5: Efecto sobre la demanda de capital

Dk

0

Dk

1

r

0

r

1

K

ss =

K

0 =

K

1

K

r

Ok

0 =

Ok

1

A

B

3er Efecto (sobre las familias): el incremento de la tasa de inter´es real produce un

efecto ingresosobre el consumo:

↑rt(r1 > r0)−→r1k1 > r0k0 −→↑c1

4to Efecto (sobre las familias):el incremento de la tasa de interés incentiva el ahorro, el cual en econom´ıa cerrada es igual a la inversión. Entonces la inversión pasa dei0 a i1

(i1 > i0). El impacto de una mayor inversi´on se vislumbra en el incremento de la oferta

de capital en el siguiente periodo (t= 2)

k2 = (1−δ)k1+i1

Por tanto:

i1 > i0 −→k2> k1

5to Efecto (sobre las empresas y las familias): como el impacto del choque de productividad tiene persistencia; es decir, sus efectos son positivos aunque cada vez menor en el tiempo. Ent= 2 la función de producción se incrementa produciendo que la demanda de capital se incrementa pero en menor magnitud que lo observado ent= 1. Esto produce que la tasa de interés real en t= 2 sea menor que en t= 1 (r2 < r1); sin embargo, sigue

siendo mayor que el valor ent= 0. Entonces dado que el individuo compara su situaci´on en cada periodo con respecto a t = 0 (estado estacionario), entonces esta mayor tasa de inter´es (r2 > r0) produce dos efectos sobre el consumo:

r2 > r0: Efecto sustituci´on−→↓c1 ↑c2

r2 > r0: Efecto ingreso−→r2k2> r1k1−→↑c2

(37)

Figura6: Efecto sobre la oferta y demanda de capital

Dk

0

Dk

1 r0 r1 Kss = K0 =K1 K r

Ok

1 =

Ok

0 K2

Ok

2

Dk

2 r2 A B _C

Cuadro9: Valores de la funci´on impulso-respuesta (variales log-lineales) t _byt bk_t₊₁ b ct bi_t Rb_t _ba_t 0 0 0 0 0 0 0 1 0.667 0.05512 0.26429 2.20468 0.02636 1 2 0.652 0.10660 0.26901 2.11441 0.02359 0.95 3 0.63747 0.15464 0.27321 2.02834 0.02098 0.9025 4 0.62337 0.19943 0.27691 1.94626 0.01852 0.85738 . . . .

Nota:Debido a que el choque se realiza en el primer periodo (t= 1), el valor de las variables en t = 0 es cero. Cabe mencionar que estos valores se obtienen del c´odigo “Campbell Lfijo.m (secci´on 4)”

EI>|ES| −→↑c1 ↑c2

Para leer correctamente los valores de la funci´on impulso-respuesta de cada variable se debe de recordar que estas funciones corresponden a las variables log-lineales, las cuales por ejemplo para el producto est´a expresada de la siguiente manera: y_bt=ln(yt)−ln(yss) o en su forma reducida ytb =ln

yt

yss

.

En l´ınea con lo anterior, seg´un el cuadro [8] el valor del producto (log-lineal) ent= 0 es igual a cero. Es decir, by0 =ln

y0

yss

= 0. La única solución para esta expresión es que y0

yss = 1, lo cual conlleva a quey0 =yss. Esto quiere decir que cuando la variable log-lineal

b

yt se encuentra en el valor cero, esto significa que la variable en nivelesyt se encuentra en su estado estacionario.

De otro lado, ent= 1 el valor del producto (log-lineal) es igual a 0.667, en el cual se cumple: _by1= 0.667 =ln

y1

yss

. Resolviendo la segunda igualdad se tiene que _yy1 ss =e

0.667 ≈

(38)

1 + 0.667. Por tanto, _yy1

ss = 1 + 0.667, lo cual conlleva finalmente a y1= (1 + 0.667)yss. En t= 17→ y_b1 = 0.667 | {z } variable log-lineal 7→y1 = (1 + 0.667)yss | {z } variable en niveles

Por tanto, el valor (0.667) de la funci´on impulso respuesta en t = 1 significa que la variable producto en niveles (y1) est´a 66.7 % por encima de su nivel de estado estacionario

(yss).

En la figura [3] y el cuadro [9] se puede observar lo siguiente:

1. Ent= 0 (antes de choque) todas las variables permanecen en su estado estacionario. Por tanto, las variables log-lineales en t = 0 son iguales a cero (_bxss = ln xss

xss

= ln(1) = 0).

2. En el periodo del choque (t= 1),1 toma el valor de su desviaci´on est´andar, en este

caso igual a 1.

3. El primer efecto del choque de productividad es un incremento en la funci´on de producci´on, la cual incrementa de productividad marginal del capital P M gkt; es decir, la demanda del capital en “t” (Dk).

4. El incremento de la demanda de capital aumenta la tasa de inter´es de hoy (Rtb). Esto

se debe a que la oferta del capital es perfectamente inel´astica (vertical) porque es fijada en el periodo anterior bk_t.

5. ↑Rb_t→ produce un Efecto Ingreso (EI):↑(Rb_tbk_t)

6. El efecto ingreso incrementa el ct yit

7. ↑itexpandekt+1 (oferta del capital de “t+1”).

8. Lo anterior produce una ca´ıda de la tasa de interés en “t+1” (↓rt+1), pero aún está

por encima de su estado estacionario; es decir, es más alta que la tasa de interés antes del choque Rb₀, lo cuál incentiva a la familia trasladar consumo de hoy “t”

hacia mañana “t+ 1”. Es decir, existe un efecto sustitución que es gobernado por la elasticidad de sustitución del consumo. Para poder ver esta relación revisemos la ecuación de Euler log-lineal:

b ct=Et b ct+1− 1 γRbt+1

Aqu´ı se puede observar que si la tasa de interés det+1 se incrementa en 1 % entonces el consumo hoy “t” se reduce en _γ1 (elasticidad de sustitución del consumo). Todo ello es el efecto sustitución que produce la tasa de interés.

9. ↓Rtb₊₁ (pero por encima del estado estado estacionario) produce dos efectos: Efecto

Sustitución (ES) y Efecto Ingreso (EI). 10. Efecto sustitución (de la tasa de interés):

b

(39)

11. Efecto ingreso (de la tasa de inter´es):

b

Rt+1>Rb_t→↑_bc_t₊₁

Figura 7: Funci´on impulso-respuesta de las variables macroecon´omicas en niveles

0 50 100 150 200 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 Producto 0 50 100 150 200 20 25 30 35 40 45 50 Capital 0 50 100 150 200 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 Consumo 0 50 100 150 200 0 1 2 3 4 5 6 Inversión 0 50 100 150 200 1 1.005 1.01 1.015 1.02 1.025 1.03 1.035 1.04 1.045

Tasa de interés real bruta

0 50 100 150 200 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 Productividad

Nota:Estas funciones impulso-respuesta corresponde a las variables en niveles; es decir ayt,kt,ct,it,Rt yat. Cabe mencionar que esta gráfica se obtienen del código “Campbell Lfijo.m” (sección 5).

De la figura [7] se puede concluir algunas ideas. La primera es que el capital es más grande en unidades que cualquier otra variable. Por ejemplo, el valor de estado estacionario del capital es de 23.88 unidades, la cual es mayor en gran medida con respecto a las demás variables (el valor de estado estacionario del producto es de 2.87 unidades). Para entender porque el stock de capital en estado estacionario es grande hay que revisar los parámetros de los cuales depende:

kss=

1

β −(1−δ) 1−α

−_α1

Aplicando el signo del exponente se tiene:

kss= 1−α 1 β −(1−δ) _α1

(40)

Entonces kss es una función de α,β yδ. En primer lugar, el exponente _α1 es mayor a uno porque α es menor a uno (= 0.667), mientras más pequeño sea α más grande será el exponente y mayor será el numerador incrementando el kss. En segundo lugar, un incre-mento de la tasa de depreciación reduce kss, lo cual hace sentido debido a que el capital se consumo a una mayor depreciación, por ejemplo si el capital se deprecia totalmente (δ= 1), entonces kss= 0.1880. Finalmente, una mayor tasa de descuento incrementakss. Una pregunta que surge de lo anterior es: ¿Por qué el capital en estado estacionario es mayor que la inversión? La segunda conclusion es que la inversión es muy pequeño en comparación con el capital. Esto se debe a que en estado estacionario la inversión isses igual a una proporción del capitalδkss, es másδ es igual a 2.5 %; es decir, la inversión en estado estacionario (= 0.597) es igual al 2.5 % del capital. Una tercera conlusion es que dado que los valores de la función impulso-respuesta de las variables log-lineales cumplen que: b yt= css yssb ct+ iss yss bit

Entonces se puede obtener una relaci´on entre los niveles de las variables (en la funci´on impulso-respuesta de las variables en niveles):

b yt = css yssb ct+ iss yss bit ln yt yss = css yss ln ct css + iss yss ln it iss ln(yt) = (ln(yt)− css yssln(css)− iss yssln(iss)) + css yssln(ct) + iss yssln(it) (107) De la figura [8] (gráfica de la derecha) se desprende una conclusión importante: ante un choque de productividad, la inversión reacciona fuertemente superando al producto y el consumo. Es más, la inversión se incrementa un poco más del 200 % del valor de su estado estacionario. Además, las variables demoran más de 100 periodos (trimestres) volver a su estado estacionario debido a que el choque tiene una alta persistencia (φ= 0.95).

9. Simulaci´

on de las variables end´

ogenas

Para la simulaci´on del capital usaremos su representaci´on autorregresiva AR(2):

b

kt+1 =φ1bkt+φ₂bkt₋₁+ηkat

Asumiremos que la variable inicia de su estado estacionario:bk₀= 0. Adem´as, se asume

que la variable en periodos previos se ha mantenido en steady state, entonces:bk₋₁= 0.

Para la simulación de las variables macroeconómicas como el producto, consumo e inversión, primero se necesita la serie simulada de la productividad bat y del capitalbkt, las

cuales se muestran en el cuadro 7. Para esto ´ultimo se utiliza la soluci´on del sistema de ecuaciones log-lineal:

b

at = φbat−1+ b

(41)

Figura8: Funci´on impulso-respuesta (comparaci´on de las variables log-lineal vs en niveles) 0 50 100 150 200 0 1 2 3 4 5 6 Variables en niveles Producto Consumo Inversión SS_Producto SS_Consumo SS_Inversión 0 50 100 150 200 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Variables log−lineal Producto Consumo Inversión

Nota:Cabe mencionar que esta gráfica se obtiene del código “Campbell Lfijo.m (sección 5)”.

Para la simulación de las demás variables macroeconómicas (y_bt,bct,bit yRbt) se utiliza

la soluci´on: b yt = αbat+ (1−αbkt) b ct = ηckbk_t+η_ca_ba_t bit = yss iss(1−α− css yssηck)bkt+ yss iss(α− css yssηca)bat b Rt = λ3(bat−bkt)

Donde:ηik= y_i_ssss(1−α−c_yss_ssηck) y ηia = y_i_ssss(α−c_yss_ssηca)

La simulaci´on de las variables pueden tomar valores negativos debido a que se encuen-tran expresadas en log-desviciones de su estado estacionario (ln

xt xss

). El valor negativo de la variable log-lineal significa que la variable en niveles se encuentra por debajo de su estado estacionario. Adem´as, era de esperar que la variable simulada log-lineal tenga valores negativos porque su media es igual a cero. Sin embargo, la variable simulada en niveles tiene solo valores positivos.

(42)

Cuadro10: Simluaci´on del capital log-lineal

t t Representaci´on AR(2) delkt+1

0 0= 0 (steady state) bk₁ =φ₁bk₀+φ₂bk₋₁+η_ka₀

1 1= valor aleatorio bk₂ =φ₁bk₁+φ₂bk₀+η_ka₁

2 2= valor aleatorio bk₃ =φ₁bk₂+φ₂bk₁+η_ka₂

3 3= valor aleatorio bk₄ =φ₁kb₃+φ₂bk₂+ηka₃

4 4= valor aleatorio bk₅ =φ₁bk₄+φ₂bk₃+η_ka₄

Cuadro11: Simulaci´on de la productividad y del capital (log-lineal)

t t bat bkt+1

0 0 = 0 ba0= 0 bk1 = 0

0 1= valor aleatorio de una N(0,1) ba1 = 0.1832 bk2= 0.0101

0 2= valor aleatorio de una N(0,1) ba2=−0.8557 bk3 =−0.0372

0 3= valor aleatorio de una N(0,1) ba3 = 0.1363 bk4 =−0.0291

0 4= valor aleatorio de una N(0,1) ba4 = 0.4366 bk5 =−0.0046

· · · ·

10. Componente c´ıclico de las variables simuladas

Para hallar el componente c´ıclico de las variables log-lineales se aplica el filtro Hodrick-Prescott (Filtro HP). Este filtro permite separar la serie en dos componentes: el compo-nente tendencial y el compocompo-nente c´ıclico. La figura [10] muestra el compocompo-nente c´ıclico y tendencial para cada variable simulada.

Lo que nos interesa evaluar del modelo son los momentos delcomponente c´ıclicode cada variable simulada. Es decir, la varianza, la autocorrelaci´on y la correlaci´on con otras variables.

11. C´

alculo de los momentos te´

oricos

Al realizar la simulación del modelo en Matlab, lo que se obtiene son los momentos teóricos para las variables log-lineales. Sin embargo, lo que se necesita es volver a las variables en niveles debido a que los momentos emp´ıricos corresponden a las variables en niveles´. Para calcular los momentos teóricos de las variables en niveles se utiliza la relación entre la variable log-lineal y la variable en niveles:

b xt=ln xt xss (108)

Media: la media de la variable log-lineal es cero. Luego de los artificios algrebraicos se concluye la relaci´on (109), la cual indica que la media del logaritmo de la variable “x” es igual al logaritmo de la variable en estado estacionario.